Luettelo kvadratuurikaavoista

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7. tammikuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 9 muokkausta .

Tässä artikkelissa on luettelo lukuisista numeerisen integroinnin kvadratuurikaavoista .

Merkintä

Yleensä numeerinen integrointikaava kirjoitetaan seuraavasti:

\int \limits _{\Omega _{x}}f(x)dx=\sum _{i=1}^{m_{g}}({\widetilde {w_{i}}}f( x_{i})}=\sum _{i=1}^{m_{g}}{w_{i}\mathrm {det} (J(\xi _{i}))f(x(\xi _ {i})))}

$f(x)$ on integroitava toiminto;
${\displaystyle w_{i))$ — integrointipainot;
$\xi$ — pääelementin koordinaattijärjestelmä;
$J(\xi )={\frac {\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial (\xi _{1},\dots \xi _{n}) }}$ on Jacobi-matriisi siirtymiselle pääelementtiin.

Integraalin additiivisuudesta johtuen yksinkertaiset alueet ( kolmio , nelikulmio , tetraedri jne.) katsotaan integrointialueeksi , monimutkaisen geometrian avulla alue voidaan esittää yksinkertaisten yhdistelmänä ja laskea integraali niiden yli tai käytä splineä edustamaan kohdistusta pääelementtiin. $\Omega$

Artikkelissa muuttujia käytetään osoittamaan luonnollisia koordinaatteja ja osoittamaan pääelementin koordinaatteja - . $x, y, z$ $\xi ,\eta ,\zeta$

Yksiulotteinen integraali

Yksiulotteinen integrointi on aina integrointia segmentin yli.

Integrointialue: segmentti ; ${\näyttötyyli [x_{0},x_{1}]}$
Pääelementti: leikattu ; ${\näyttötyyli [-1,1]}$
Siirry pääelementtiin: ; $\xi (x)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1$
Siirtyminen pääelementistä: ; ${\displaystyle x(\xi )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2))+x_{0))$
Jacobian: . $\mathrm {det} (J(\xi ))={\frac {x_{1}-x_{0}}{2}}$

Määrä	Pisteiden määrä	Integrointijärjestys	$\xi$	$w$	Lisäksi
yksi	yksi	yksi	$0$	$2$	Suorakaide menetelmä
2	2	yksi	$-yksi$	$yksi$	Puolisuunnikkaan muotoinen menetelmä
2	2	yksi	$yksi$	$yksi$	Puolisuunnikkaan muotoinen menetelmä
3	2	3	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	$yksi$	Gaussin menetelmä -2
3	2	3	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	$yksi$	Gaussin menetelmä -2
neljä	3	3	$-yksi$	${\frac {1}{3))$	Simpsonin menetelmä
			$0$	${\frac {4}{3}}$
			$yksi$	${\frac {1}{3))$
5	3	5	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {3}{5))))$	${\frac {5}{9}}$	Gauss-3 menetelmä
			$0$	${\frac {8}{9}}$
			${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{5))))$	${\frac {5}{9}}$
6	neljä	7	$-{\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}$	Gauss-4 menetelmä
			${\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}$
			$-{\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}$
			${\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}$
7	5	9	$0$	${\frac {128}{225}}$	Gauss-5 menetelmä
			$-{\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}$
			${\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}$
			$-{\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}$
			${\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}$

Kaksiulotteinen integraali

Neliön peruselementti

Integrointialue: suorakulmio $[x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}]$
Pääelementti: neliö ${\näyttötyyli [-1,1]\kertaa [-1,1]}$
Vaihda pääelementtiin:

\xi (x,y)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1

\eta (x,y)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1

;

Siirtyminen pääelementistä:

x(\xi ,\eta )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}

{\displaystyle y(\xi ,\eta )={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2))+y_{0))

;

Jacobian: . $\mathrm {det} (J(\xi ,\eta ))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})}{4))$

Näitä integrointikaavoja voidaan käyttää myös silloin, kun integrointialue on kupera nelikulmio, mutta silloin siirtymäkaavat isäntäelementtiin (ja päinvastoin) eivät ole näin yksinkertaisia. Voit saada lausekkeen siirtymälle käyttämällä interpolointipolynomia .
Monet neliöintegroinnin kaavoista voidaan saada janan kaavojen yhdistelmänä: kaikki mahdolliset yksiulotteisten pisteiden parit otetaan integrointipisteiksi ja vastaavat integrointipainojen tulot otetaan painoiksi. Esimerkkejä tällaisista menetelmistä alla olevassa taulukossa ovat suorakulmiomenetelmä, puolisuunnikkaan menetelmä ja Gauss-2-menetelmä.

Määrä	Pisteiden määrä	Integrointijärjestys	$\xi$	$\eta$	$w$	Lisäksi
yksi	yksi	yksi	$0$	$0$	$neljä$	Suorakaidemenetelmä (keskimääräinen menetelmä)
2	neljä	yksi	$-yksi$	$-yksi$	$yksi$	Puolisuunnikkaan muotoinen menetelmä
			$-yksi$	$yksi$	$yksi$
			$yksi$	$-yksi$	$yksi$
			$yksi$	$yksi$	$yksi$
3	neljä	3	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	$yksi$	Gauss-2 menetelmä
			${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	$yksi$
			${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	$yksi$
			${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	$yksi$
neljä	12	7	$-c$	$0$	${\displaystyle w_{c))$	$a={\sqrt {\frac {114-3{\sqrt {583}}}{287}}}$ $b={\sqrt {\frac {114+3{\sqrt {583}}}{287}}}$ ${\displaystyle c={\sqrt {\frac {6}{7))))$ $w_{a}={\frac {307}{810}}+{\frac {923}{270{\sqrt {583}}}}$ $w_{b}={\frac {307}{810}}-{\frac {923}{270{\sqrt {583}}}}$ $w_{c}={\frac {98}{405}}$ Solmujen määrä on minimaalinen [1] .
			$c$	$0$	${\displaystyle w_{c))$
			$0$	$-c$	${\displaystyle w_{c))$
			$0$	$c$	${\displaystyle w_{c))$
			$-a$	$-a$	$w_a$
			$a$	$-a$	$w_a$
			$-a$	$a$	$w_a$
			$a$	$a$	$w_a$
			${\näyttötyyli -b}$	$-b$	${\displaystyle w_{b))$
			$b$	$-b$	${\displaystyle w_{b))$
			${\näyttötyyli -b}$	$b$	${\displaystyle w_{b))$
			$b$	$b$	${\displaystyle w_{b))$

Kolmiomainen pääelementti

Integrointialue: kärkien muodostama kolmio ; ${\näyttötyyli (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$
Pääelementti: kärkien muodostama kolmio . ${\näyttötyyli (0,0),(1,0),(0,1)}$

Pääelementtiin siirtymiseksi käytetään barysentrisiä koordinaatteja (L-koordinaatteja), joita merkitään . ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3))$

{\displaystyle \lambda _{i}(x,y)=\alpha _{i1}x+\alpha _{i2}y+\alpha _{i3))

L-koordinaattien kertoimien laskemiseen käytetään matriisia : $D$

D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{pmatrix))

Kerroinmatriisi on käänteinen : . $D$ ${\displaystyle \mathrm {A} =D^{-1))$

Siirry pääelementtiin:

\xi (x,y)=\lambda _{1}(x,y)

\eta (x,y)=\lambda _{2}(x,y)

Siirtyminen pääelementistä:

{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=D{\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\1-\xi -\eta \end{pmatrix} }

Jacobian: . $\mathrm {det} (J(\xi ,\eta ))=\mathrm {det} (D)$

Määrä	Pisteiden määrä	Integrointijärjestys	$\xi$	$\eta$	$w$	Lisäksi
yksi	yksi	yksi	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{3))$	${\frac {1}{2))$	Keskimääräinen menetelmä
2	3	2	${\frac {1}{2))$	$0$	${\frac {1}{6}}$	-
			$0$	${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{6}}$
			${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{6}}$
2	3	2	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	Gauss-3 menetelmä
			${\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$
			${\frac {1}{6}}$	${\frac {2}{3))$	${\frac {1}{6}}$
neljä	neljä	3	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{3))$	$-{\frac {9}{32}}$	Gauss-4 menetelmä
			${\frac {3}{5}}$	${\frac {1}{5}}$	${\frac {25}{96}}$
			${\frac {1}{5}}$	${\frac {3}{5))$	${\frac {25}{96}}$
			${\frac {1}{5}}$	${\frac {1}{5}}$	${\frac {25}{96}}$
5	7	3	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{3))$	${\frac {9}{40}}$	Newton - Cotesin menetelmä _
			${\frac {1}{2))$	$0$	${\frac {1}{15}}$
			${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{15}}$
			$0$	${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{15}}$
			$yksi$	$0$	${\frac {1}{40}}$
			$0$	$yksi$	${\frac {1}{40}}$
			$0$	$0$	${\frac {1}{40}}$

Kolmiulotteinen integraali

Kuutiomainen pääelementti

Integrointialue: suuntaissärmiö $[x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}]\times [z_{0},z_{1}]$
Pääelementti: Kuutio ${\näyttötyyli [-1,1]\kertaa [-1,1]\kertaa [-1,1]}$
Vaihda pääelementtiin:

\xi (x,y,z)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1

\eta (x,y,z)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1

\zeta (x,y,z)=2{\frac {z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}}-1

Siirtyminen pääelementistä:

{\displaystyle x(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2))+x_{0))

{\displaystyle y(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2))+y_{0))

;

{\displaystyle z(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(z_{1}-z_{0})(\zeta +1)}{2))+z_{0))

;

Jacobian: . $\mathrm {det} (J(\xi ,\eta ,\zeta ))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})(z_ {1}-z_{0})}{8}}$

Neliön lisäksi kuutiota voidaan käyttää pääelementtinä mielivaltaiselle kuusikulmiolle [ selventää ] , mutta silloin siirtymä ja Jacobilaiset kaavat monimutkaistuvat.
Samoin, kuten neliö, segmentin integrointikaavoista voidaan saada monia kuution integrointikaavoja, solmujen koordinaatit ovat kaikki mahdollisia yksiulotteisen kaavan koordinaattien kolmiosia ja integrointipainot ovat tulojen vastaavien painojen tuloja. yksiulotteinen kaava.

Määrä	Pisteiden määrä	Integrointijärjestys	$\xi$	$\eta$	$\zeta$	$w$	Lisäksi
yksi	yksi	yksi	$0$	$0$	$0$	$kahdeksan$	Suorakaidemenetelmä (keskimääräinen menetelmä)
2	kahdeksan	3	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	$yksi$	Gauss-2 menetelmä
			${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	$yksi$
			${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	$yksi$
			${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	$yksi$
			${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	$yksi$
			${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	$yksi$
			${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {3))))$	$yksi$
			${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3))))$	$yksi$
3	neljätoista	5	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{30))))$	$0$	$0$	${\frac {320}{361}}$	Solmujen lukumäärä kaavojen luokassa, joiden likimääräinen kertaluku on 5 ja jotka eivät sisällä origoa, on minimaalinen. [2]
			${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{30))))$	$0$	$0$	${\frac {320}{361}}$
			$0$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{30))))$	$0$	${\frac {320}{361}}$
			$0$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{30))))$	$0$	${\frac {320}{361}}$
			$0$	$0$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{30))))$	${\frac {320}{361}}$
			$0$	$0$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{30))))$	${\frac {320}{361}}$
			${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\frac {121}{361}}$
			${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\frac {121}{361}}$
			${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\frac {121}{361}}$
			${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\frac {121}{361}}$
			${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\frac {121}{361}}$
			${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\frac {121}{361}}$
			${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle -{\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\frac {121}{361}}$
			${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {19}{33))))$	${\frac {121}{361}}$

Koska korkean asteen integrointikaavat sisältävät monia pisteitä, esitämme ne erikseen.

Järjestys: 7, pisteiden lukumäärä: 34

Pistenumero	$\xi$	$\eta$	$\zeta$	$w$	Lisäksi
yksi	$a$	$0$	$0$	$w_{1}$	${\displaystyle a={\sqrt {\frac {6}{7))))$ , , , , , , $b={\sqrt {\frac {960-33{\sqrt {238}}}{2726}}}$ $c={\sqrt {\frac {960+33{\sqrt {238}}}{2726}}}$ $w_{1}={\frac {1078}{3645}}$ $w_{2}={\frac {343}{3645}}$ $w_{3}={\frac {43}{135}}+{\frac {829{\sqrt {238}}}{136323}}$ $w_{4}={\frac {43}{135}}-{\frac {829{\sqrt {238}}}{136323}}$
2	$-a$	$0$	$0$	$w_{1}$
3	$0$	$a$	$0$	$w_{1}$
neljä	$0$	$-a$	$0$	$w_{1}$
5	$0$	$0$	$a$	$w_{1}$
6	$0$	$0$	$-a$	$w_{1}$
7	$a$	$a$	$0$	${\displaystyle w_{2))$
kahdeksan	$a$	$-a$	$0$	${\displaystyle w_{2))$
9	$-a$	$a$	$0$	${\displaystyle w_{2))$
kymmenen	$-a$	$-a$	$0$	${\displaystyle w_{2))$
yksitoista	$a$	$0$	$a$	${\displaystyle w_{2))$
12	$a$	$0$	$-a$	${\displaystyle w_{2))$
13	$-a$	$0$	$a$	${\displaystyle w_{2))$
neljätoista	$-a$	$0$	$-a$	${\displaystyle w_{2))$
viisitoista	$0$	$a$	$a$	${\displaystyle w_{2))$
16	$0$	$a$	$-a$	${\displaystyle w_{2))$
17	$0$	$-a$	$a$	${\displaystyle w_{2))$
kahdeksantoista	$0$	$-a$	$-a$	${\displaystyle w_{2))$
19	$b$	$b$	$b$	${\displaystyle w_{3))$
kaksikymmentä	$b$	$b$	$-b$	${\displaystyle w_{3))$
21	$b$	$-b$	$b$	${\displaystyle w_{3))$
22	$b$	$-b$	$-b$	${\displaystyle w_{3))$
23	$-b$	$b$	$b$	${\displaystyle w_{3))$
24	$-b$	$b$	$-b$	${\displaystyle w_{3))$
25	$-b$	$-b$	$b$	${\displaystyle w_{3))$
26	$-b$	$-b$	$-b$	${\displaystyle w_{3))$
27	$c$	$c$	$c$	$w_{4}$
28	$c$	$c$	$-c$	$w_{4}$
29	$c$	$-c$	$c$	$w_{4}$
kolmekymmentä	$c$	$-c$	$-c$	$w_{4}$
31	$-c$	$c$	$c$	$w_{4}$
32	$-c$	$c$	$-c$	$w_{4}$
33	$-c$	$-c$	$c$	$w_{4}$
34	$-c$	$-c$	$-c$	$w_{4}$

Tetrahedral master elementti

Integrointialue: kärkien muodostama tetraedri . ${\näyttötyyli (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2}),(x_{3},y_{3},y_{ 3}),(x_{4},y_{4},z_{4})}$
Pääelementti : kärkien muodostama tetraedri . ${\näyttötyyli (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$

Samoin kolmion kanssa tetraedrin L-koordinaatteja käytetään pääelementtiin, jota merkitään : ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\lambda _{4))$

{\displaystyle \lambda _{i}(x,y,z)=\alpha _{i1}x+\alpha _{i2}y+\alpha _{i3}z+\alpha _{i4))

Kerroinmatriisi määritellään seuraavasti: , missä ${\displaystyle \mathrm {A} =D^{-1))$

D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&y_{4}\\z_{1 }&z_{2}&z_{3}&z_{4}\\1&1&1&1\end{pmatrix}}

Vaihda pääelementtiin:

\xi (x,y,z)=\lambda _{1}(x,y,z)

\eta (x,y,z)=\lambda _{2}(x,y,z)

\zeta (x,y,z)=\lambda _{3}(x,y,z)

Siirtyminen pääelementistä:

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}=D{\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\\zeta \\1-\xi - \eta -\zeta \end{pmatrix}}

Jacobian: . $\mathrm {det} (J(\xi ,\eta ,\zeta ))=\mathrm {det} (D)$

Määrä	Pisteiden määrä	Integrointijärjestys	$\xi$	$\eta$	$\zeta$	$w$	Lisäksi
yksi	yksi	yksi	${\frac {1}{4))$	${\frac {1}{4))$	${\frac {1}{4))$	${\frac {1}{6}}$	Keskimääräinen menetelmä
2	neljä	2	${\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$	Gauss-4 menetelmä
			${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$
			${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$
			${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$
3	5	3	${\frac {1}{4))$	${\frac {1}{4))$	${\frac {1}{4))$	$-{\frac {2}{15}}$
			${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {3}{40}}$
			${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{2))$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {3}{40}}$
			${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{2))$	${\frac {3}{40}}$
			${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {3}{40}}$
neljä	yksitoista	neljä	${\frac {1}{4))$	${\frac {1}{4))$	${\frac {1}{4))$	$-{\frac {74}{5625}}$	Gauss-11 menetelmä
			${\frac {11}{14}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {343}{45000}}$
			${\frac {5}{70}}$	${\frac {11}{14}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {343}{45000}}$
			${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {11}{14}}$	${\frac {343}{45000}}$
			${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {343}{45000}}$
			${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
			${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
			${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
			${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
			${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
			${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
5	neljätoista	5	$a$	$a$	$a$	$A$	${\näyttötyyli A,\B,\C,\a,\b,\c}$ määritetään seuraavista yhtälöistä: ${\begin{cases}t={\frac {4}{27}}\left(71-4{\sqrt {79}}\sin \left({\frac {1}{3}}\ vasen[{\frac {\pi }{2}}+\arctan \left({\frac {27{\sqrt {10815}}}{67}}\right)\right]\right)\right)\\ a={\frac {1+\alpha }{4)),\ b={\frac {1+\beta }{4)),\ c={\frac {1+2\gamma }{4)) \\\gamma ={\sqrt {1/t)),\ C=t^{2}/7!,\ \alpha >0\\A\alpha ^{2}+B\beta ^{2}= (1-t/21)/5!\\A\alpha ^{3}+B\beta ^{3}=-2/6!\\A\alpha ^{4}+B\beta ^{4} =10/7!\\A\alpha ^{5}+B\beta ^{5}=-6/7!\\\end{cases}}$ $A\noin 0,01878132095300264180$ $B\noin 0,01224884051939365826$ $C\noin 0,00709100346284691107$ $a\noin 0,31088591926330060980$ $b\noin 0,09273525031089122640$ $c\approx 0,45449629587435035051$
			${\näyttötyyli 1-3a}$	$a$	$a$	$A$
			$a$	${\näyttötyyli 1-3a}$	$a$	$A$
			$a$	$a$	${\näyttötyyli 1-3a}$	$A$
			$b$	$b$	$b$	$B$
			${\näyttötyyli 1-3b}$	$b$	$b$	$B$
			$b$	${\näyttötyyli 1-3b}$	$b$	$B$
			$b$	$b$	${\näyttötyyli 1-3b}$	$B$
			${\frac {1}{2}}-c$	$c$	$c$	$C$
			$c$	${\frac {1}{2}}-c$	$c$	$C$
			$c$	$c$	${\frac {1}{2}}-c$	$C$
			${\frac {1}{2}}-c$	${\frac {1}{2}}-c$	$c$	$C$
			${\frac {1}{2}}-c$	$c$	${\frac {1}{2}}-c$	$C$
			$c$	${\frac {1}{2}}-c$	${\frac {1}{2}}-c$	$C$

Muistiinpanot

↑ Mysovskikh, 1981 , s. 285.
↑ Mysovskikh, 1981 , s. 280.

Kirjallisuus

Mysovskikh IP Interpolaatiokubatuurikaavat. - Moskova: Nauka, 1981. - S. 336.

Linkit

Numeerinen integrointi kolmiomaisen verkkotunnuksen kautta (englanniksi) (linkki ei ole käytettävissä) . — Integrointi kolmiomaisen elementin yli. Haettu 12. kesäkuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 14. heinäkuuta 2014.
Numeerinen integrointi Tetrahedral Domainin kautta (englanniksi) (linkki ei ole käytettävissä) . — Integrointi tetraedrisen elementin yli. Haettu 12. kesäkuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 14. heinäkuuta 2014.

Integraalilaskenta

Main

Riemannin integraalin yleistykset

Integraalit
muunnokset

Numeerinen
integrointi

mittateoria

liittyvät aiheet

Listat integraaleista