Piirretyn ympyrän keskipiste

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3. joulukuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Piirretyn ympyrän keskipiste
Kolmioon piirretty ympyrä $ABC$
barysentriset koordinaatit	$a:b:c$
Trilineaariset koordinaatit	1:1:1
ECT- koodi	X(1)
Yhdistetyt pisteet
isogonaalisesti konjugoitu	hän on
Muut	Spiekerin keskusta
anticomplementary	Nagelin piste
Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Kolmion piirretyn ympyrän keskipiste ( incenter ) on yksi kolmion merkittävistä pisteistä, kolmion puolittajien leikkauspiste . Kolmioon piirretyn ympyrän keskustaa kutsutaan joskus myös keskipisteeksi .

Se on perinteisesti merkitty latinalaisella kirjaimella (englannin sanan "Incenter" ensimmäisellä kirjaimella). Encyclopedia of Triangle Centers -tietosanakirjassa se on lueteltu symbolin alla . $minä$ $X(1)$

Ominaisuudet

Kolmion piirretyn ympyrän keskipiste on samalla etäisyydellä kolmion kaikista sivuista.

Kolmion , jonka sivut , ja , vastakkaiset vertices , ja vastaavasti, incenter jakaa kulman puolittaja suhteessa: $\kolmio ABC$ $a$ $b$ $c$ $A$ $B$ $C$ $A$ $\frac{b+c}{a}$ .

Jos kulman puolittajan jatke leikkaa rajatun ympyrän pisteessä , niin yhtäläisyys pätee: , Jossa on sivun excircle tangentin keskipiste ; tämä keskipisteen ominaisuus tunnetaan apilalauseena (myös trident-lemma , Kleinerin lause ). $B$ $\kolmio ABC$ $D$ $DA=DC=DI=DJ$ $J$ $AC$

Etäisyys rajatun ympyrän keskipisteen ja keskipisteen välillä ilmaistaan Eulerin kaavalla : $minä$ $O$ $OI^2=R^2-2Rr$ ,

missä ja ovat rajatun ja piirretyn ympyrän säteet, vastaavasti.

R

r

Kolmion sivuille kohotetut kohtisuorat ulkopiirien kosketuspisteissä leikkaavat yhdessä pisteessä. Tämä piste on symmetrinen piirretyn ympyrän keskustaan nähden rajatun ympyrän keskipisteen suhteen [1] .

Keskipiste löytyy kolmion kärkien massakeskipisteeksi, jos jokaiseen kärkeen sijoitetaan vastakkaisen sivun pituutta vastaava massa (katso myös Spiekerin keskus ).

Tietyn kolmion keskipiste on sen 3 mediaanin muodostaman kolmion Nagel-piste ( kolmion keskipiste ). [2]

Verrierin lemma [3] . Verrier-ympyröiden ( puoliympyröiden) ja sivujen tangenttipisteet sijaitsevat suoralla linjalla, joka kulkeeympyrän keskipisteen () läpi (katso harmaa kuva alla).

Rigbyn lause . Jos piirretään teräväkulmaisen kolmion jollekin sivulle korkeus ja sitä koskettava ulkokehä toisella puolella , niin jälkimmäisen kosketuspiste tämän sivun kanssa, mainitun korkeuden keskipiste ja myös keskipiste ovat yhdellä suora viiva. [4] .

- Rigbyn lauseesta seuraa , että 3 segmenttiä, jotka yhdistävät kolmion kunkin kolmen korkeuden keskipisteen korkeuden kanssa samalle puolelle piirretyn ulkokehän kosketuspisteeseen, leikkaavat keskipisteessä .

Thebon kolmas lause . Antaa olla mielivaltainen kolmio , olla mielivaltainen piste puolella , olla keskellä ympyrän tangentti segmenttejä ja rajattu noin ympyrän, on keskellä ympyrän tangentti segmenttejä ja rajattu noin ympyrän. Sitten segmentti kulkee pisteen - ympyrän keskipisteen läpi, joka on merkitty , ja samalla missä . $ABC$ $D$ $eKr$ $I_1$ $AD,BD$ $\Delta ABC$ $minä_{2}$ $CD,AD$ $\Delta ABC$ $minä_{1}minä_{2}$ $minä$ $\Delta ABC$ $I_{1}I:II_{2}=\operaattorinimi {tg}^{2}{\frac {\phi }{2))$ $\phi =\angle BDA$
Kolmion heikko kohta on sellainen, joka löytää kaksosen kolmion ulkopuolelta ortogonaalisen konjugaation avulla. Esimerkiksi incenter , Nagel-piste ja muut ovat heikkoja kohtia , koska ne mahdollistavat samankaltaisten pisteiden saamisen, kun ne yhdistetään kolmion ulkopuolelle. [5] .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Myakishev A. G. . Kolmion geometrian elementit. - M .: MTSNMO, 2002. - 32 s. - (Kirjasto "Mathematical Education", numero 19). — ISBN 5-94057-048-8 . - S. 11, s. 5.
↑ Honsberger, R. . Jaksot yhdeksännentoista ja kahdennenkymmenennen vuosisadan euklidisessa geometriassa. Washington, DC: Matematiikka. Assoc. amer. 1995. s. 51, kohta (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
↑ Efremov D. Kolmion uusi geometria . - Odessa, 1902. - S. 130. - 334 s.
↑ Ross Honsberger , "3. An Unlyckly Collinearity" teoksessa "Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry" (Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390 ), s. 30, kuva 34
↑ Myakishev A. Kävely ympyröissä: Eulerista Tayloriin // Matematiikka. Kaikki opettajalle! nro 6 (6). kesäkuuta. 2011. s. 11, oikea sarake, 2. kappale ylhäältä// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf

Kirjallisuus

Valinnainen matematiikan kurssi. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaja. - M . : Koulutus , 1991. - S. 88-90. — 383 s. — ISBN 5-09-001287-3 .

Kolmio
Kolmioiden tyypit	Suorakulmainen Tasakylkinen Tasasivuinen Tasakylkinen suorakaiteen muotoinen
Ihanat linjat kolmiossa	Mediaani Korkeus Bisector Keskisuorassa keskiviiva Piirretyt ja kaiverretut ympyrät Simsonin suora Eulerin linja Simediana Cheviana
Kolmion merkittäviä pisteitä	Orthocenter Keskus Incent Brocardin piste Vecten-piste Point Gergonne Lemoinen piste Miquel pointti Nagelin piste Napoleonin pisteet Torricellin kohdat Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste Spieker Center Kolmiokeskusten tietosanakirja
Peruslauseet	kolmion epätasa-arvo Merkkejä kolmioiden samankaltaisuudesta Kolmioiden ratkaiseminen Kolmion ulkokulman lause Kolmion kulmien summan lause Pythagoraan lause Kosinilause Sinilause Projektiolause Heronin kaava
Lisälauseita	Van Obelin lause Menelaoksen lause Reuschlen (Terkema) lause Stewartin lause Tangenttilause Kotangenttilause Cevan lause Mollweiden kaavat
Yleistykset	pallomainen kolmio hyperbolinen kolmio Yksinkertainen