Pi (luku)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 19. elokuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Irrationaaliset luvut ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α, δ - e - e π ja π
Merkintä	Numeropisteet $\pi$
Desimaali	3,14159265358979323846264333832795…
Binääri	11.00100100001111110110…
Heksadesimaali	3.243F6A8885A308D31319…
Sexagesimaali	3; 08 29 44 00 47 25 53 07 …
Rationaaliset likiarvot	22 ⁄ 7 , 179 ⁄ 57 , 223 ⁄ 71 , 333 ⁄ 106 , 355 ⁄ 113 , 103 993 ⁄ 33 102 (listattu tarkkuuden mukaan)
Jatkuva murto-osa	[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, …] (Tämä jatkuva murto-osa ei ole jaksollinen . Kirjoitettu lineaarisella merkinnällä)
Trigonometria	$\pi$ radiaani = 180°

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4 999999 837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 598253 4904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909
2189420

Numero , jossa on desimaaliluvun ensimmäiset tuhat korkeampaa numeroa [1]

\pi

${\bold symbol {\pi ))$ (lausutaan " pi ") on matemaattinen vakio , joka on yhtä suuri kuin ympyrän kehän suhde sen halkaisijaan [ K 1] . Merkitään kreikkalaisten aakkosten kirjaimella " π ". Kesäkuusta 2022 lähtien pi:n ensimmäiset 100 biljoonaa desimaalipistettä tiedetään [2] .

Ominaisuudet

Transsendenssi ja irrationaalisuus

Luku on irrationaalinen eli sen arvoa ei voida ilmaista tarkasti murtolukuna , missä on kokonaisluku ja luonnollinen luku. Siksi sen desimaaliesitys ei koskaan pääty eikä ole jaksollinen . Johann Lambert todisti luvun irrationaalisuuden ensimmäisen kerran vuonna 1761 [3] laajentamalla tangentin jatkuvaksi murtoluvuksi . Vuonna 1794 Legendre antoi tarkemman todisteen numeroiden ja järjettömyydestä . Useita todisteita käsitellään yksityiskohtaisesti artikkelissa Todistukset siitä, että π on irrationaalinen . $\pi$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$ $\pi$ $\pi$ $\pi ^{2}$

$\pi$ - transsendentaalinen luku , eli se ei voi olla minkään kokonaislukukertoimien polynomin juuri . Lukujen ylivoimaisuuden todisti vuonna 1882 Königsbergin ja myöhemmin Münchenin yliopiston professori Lindemann . Felix Klein yksinkertaisti todisteen vuonna 1894 [4] . Koska euklidisessa geometriassa ympyrän pinta-ala ja ympyrän ympärysmitta ovat luvun funktioita, ylivoiman todistaminen lopetti yli 2,5 tuhatta vuotta kestäneet yritykset neliöida ympyrä . $\pi$ $\pi$ $\pi$

Vuonna 1934 Gelfond osoitti [5] , että luku on ylivoimainen . Vuonna 1996 Juri Nesterenko osoitti, että mikä tahansa luonnollinen luku ja ovat algebrallisesti riippumattomia , mistä seuraa erityisesti [6] [7] , että luvut ja ovat transsendenttisia . $e^{\pi }$ $n$ $\pi$ $e^{\pi {\sqrt {n))}$ $\pi +e^{\pi },\pi e^{\pi }$ $e^{\pi {\sqrt {n))}$

$\pi$ on jaksorenkaan elementti ( ja siten laskettava ja aritmeettinen luku ). Mutta ei tiedetä, kuuluuko se ajanjaksojen renkaaseen. $1/\pi$

Suhteet

Lukujen laskemiseen on monia kaavoja : $\pi$

Vietan kaava luvun π approksimointiin :

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}} \cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))){2}}\cdot \ldots

Tämä on ensimmäinen tunnettu eksplisiittinen esitys , jossa on ääretön määrä operaatioita. Se voidaan todistaa seuraavasti. Käytämme identiteettiä rekursiivisesti ja ylitämme rajan, saamme

\pi

\sin 2\varphi =2\sin \varphi \cos \varphi

\varphi \cos {\dfrac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\varphi }{4}}\cdots =\sin \varphi .

On vielä korvattava ja käytettävä kaksoiskulmakosinikaavaa :

\varphi ={\frac {\pi }{2))

\cos 2\varphi =\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi .

Wallisin kaava :

{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\ frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}

Leibniz-sarja :

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1} {9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}

Sarjat, joissa käytetään kaksoistekijää:

2+{1 \over 3}\left(2+{2 \over 5}\left(2+{3 \over 7}\left(2+{4 \over 9}(\dots )\right) )\right)\right)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!))=\pi

1+{2 \over 2}\left(1+{1 \over 3}\left(1+{4 \over 4}\left(1+{2 \over 5}\left(1+{) 6 \yli 6}(\pisteet )\oikea)\oikea)\oikea)\oikea)=\pi

Srinivasa Ramanujanin löytämä kaava :

$1-5\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+9\left({\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right) ^{3}-13\vasen({\frac {1\kertaa 3\kertaa 5}{2\kertaa 4\kertaa 6}}\oikea)^{3}+\ldots ={\frac {2}{\ pi}}$

Muut rivit:

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\pisteet ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

( käänteinen neliösarja )

{\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-\dots ={\pi ^{2} \over 12}

{\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\ frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+\pisteet ={\frac {\pi ^{4}}{90}}

{\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\ frac {1}{4^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+\pisteet ={\frac {\pi ^{6}}{945}}

\pi =2{\sqrt {3}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\,3^{k}\,( 2k+1)}}

\pi =\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k)){4^{k))}\left({\frac {2}{4k+1}}+{\frac {2}{4k+2}}+{\frac {1}{4k+3}}\oikea)

Seuraavien rivien avulla voit laskea merkit pi:n heksadesimaalimuodossa laskematta edellisiä merkkejä:

{\begin{aligned}\pi &={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}} \left({\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}+{\frac {4}{8k+4}}-{\frac {1}{8k +7}}\right)=\\&={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\ vasen({\frac {8}{8k+1}}+{\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}-{\frac {2}{8k+ 5 }}-{\frac {2}{8k+6}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)\end{aligned}}

Useita rivejä:

\pi =8\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(4m-2)^{2k} }}=4\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {m^{2}-k^{2}} {(m^{2}+k^{2})^{2))}={\sqrt[{4\,\,}]{360\sum \limits _{k=1}^{\infty } \sum \limits _{m=1}^{k}{\frac {1}{m(k+1)^{3))))}

Rajoitukset :

\pi =\lim \limits _{m\rightarrow \infty }{\frac {(m!)^{4}\,{2}^{4m)){\left[(2m)!\right]^{ 2}\,m}}

\pi ={\sqrt {\frac {6}{\lim \limits _{n\to \infty }\prod \limits _{k=1 \atop p_{k}\in \mathbf {P} }^{n}\,\left(1-{\frac {1}{p_{k}^{2}}}\right)}}}\quad \to

tässä alkuluvut

{\displaystyle p_{k))

\pi =\lim _{n\to \infty }2^{n}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\ sqrt {2}}}}}}}}}},

jossa on yhtä suuri kuin lausekkeen juurten lukumäärä [8] .

n

Eulerin henkilöllisyys :

e^{i\pi }+1=0\;

Muut linkit vakioiden välillä :

{\frac {\pi }{e}}=2\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+1}{2k-1}}\right)^{ 2k-1}\vasen({\frac {k}{k+1}}\oikea)^{2k}

\pi \cdot e=6\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+3}{2k+1}}\oikea)^{2k+1}\vasen ({\frac {k}{k+1}}\oikea)^{2k}

Srinivasa Ramanujanin löytämä kaava :

{\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5 \cdot 7))+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9))+\ldots +{\frac {1}{1+\displaystyle {\frac {1}{ 1+\displaystyle {\frac {2}{1+\displaystyle {\frac {3}{1+\displaystyle {\frac {4}{1+\displaystyle {\frac {5}{1+\ldots }} ))))))))))))={\sqrt {\frac {e\cdot \pi }{2))))

T. n. Poisson- integraali tai Gaussin integraali :

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}

\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {Br(x)}{\displaystyle e^{Br^{4}(x)))}dx={\sqrt {\pi }},

missä on Bring-juuri .

B(x)

Integraalinen sini :

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}=\pi

Lauseke dilogaritmin avulla [9] :

\pi ={\sqrt {6\ln ^{2}2+12\ \operaattorinimi {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)))

Väärän integraalin kautta :

\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x))))=\pi

;

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dx}{(x^{2}+1)))=\pi

Tarina

Ensimmäistä kertaa brittiläinen matemaatikko William Jones käytti vuonna 1706 [10] tämän numeron nimeämistä kreikkalaisella kirjaimella , ja se hyväksyttiin yleisesti Leonard Eulerin vuonna 1737 tekemän työn jälkeen. Tämä nimitys tulee kreikan sanojen alkukirjaimesta περιφέρεια - ympyrä, reuna ja περίμετρος - ympyrä [11] . $\pi$

Numeron tutkiminen ja sen merkityksen tarkentaminen tapahtui rinnakkain kaiken matematiikan kehityksen kanssa ja kestää useita vuosituhansia. Ensin tutkittu geometrian näkökulmasta , sitten matemaattisen analyysin kehitys 1600-luvulla osoitti tämän luvun universaalisuuden. $\pi$ $\pi$

geometrinen ajanjakso

Sen tosiasian, että ympärysmitan suhde halkaisijaan on sama kaikilla ympyröillä ja että tämä suhde on hieman enemmän kuin 3, tiedettiin muinaisen egyptiläisen , babylonilaisen , muinaisen intialaisen ja antiikin Kreikan geometriasta, vanhimmat likiarvot ovat peräisin. kolmannelle vuosituhannelle eKr. e.

Muinaisessa Babylonissa se otettiin kolmeksi, mikä vastasi kehän korvaamista siihen kirjoitetun kuusikulmion kehällä . Ympyrän pinta-ala määriteltiin [12] kehän neliöksi jaettuna luvulla 12, mikä on myös yhdenmukainen oletuksen kanssa . Varhaisimmat tunnetut tarkemmat likiarvot ovat noin vuodelta 1900 eaa. e.: tämä on 25/8 = 3,125 (savitaulu Susasta Vanhan Babylonin valtakunnan ajalta ) [13] ja 256/81 ≈ 3,16 (Egyptin papyrus Ahmes Keski-valtakunnan ajalta ); molemmat arvot poikkeavat todellisesta arvosta enintään 1 %. Vedateksti " Shatapatha Brahmana " antaa likiarvona murto -osan 339/108 ≈ 3,139 . $\pi$ $\pi =3.$ $\pi$

Kiinalainen filosofi ja tiedemies Zhang Heng ehdotti 2. vuosisadalla kahta vastinetta numerolle: 92/29 ≈ 3,1724 ja ≈ 3,1622. Jainismin pyhissä kirjoissa , kirjoitettu 5-6-luvulla eKr. eli havaittiin, että sitten Intiassa se pidettiin yhtä suurena [14] $\pi$ ${\sqrt {10}}$ $\pi$ ${\sqrt {10}}$

Arkhimedes saattoi olla ensimmäinen, joka ehdotti matemaattista laskentatapaa . Tätä varten hän piirsi ympyrän ja kuvasi sen ympärille säännöllisiä polygoneja . Ottaen ympyrän halkaisijan yksikkönä Arkhimedes piti piirretyn monikulmion kehää ympyrän kehän alarajana ja rajatun monikulmion kehää ylärajana. Ottaen huomioon säännöllisen 96-gonin Arkhimedes sai arvion ja ehdotti likimääräistä laskelmaa löytämistään rajojen ylärajaa: - 22/7 ≈ 3,142857142857143. $\pi$ $3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}$ $\pi$

Seuraava eurooppalaisen kulttuurin approksimaatio liittyy tähtitieteilijään Claudius Ptolemaiosin (n. 100 - n. 170), joka loi puolen asteen askelin sointutaulukon, jonka avulla hän sai likiarvon 377/120 , mikä on suunnilleen yhtä suuri kuin puolet yksikköympyrään kirjoitetun 720 kulman kehästä [15] . Leonardo Pisalainen ( Fibonacci ) kirjassa " Practica Geometriae " (noin 1220), joka ilmeisesti ottaa Ptolemaioksen approksimaatiota alarajaksi , antaa likiarvonsa [16 ] - 864/275 . Mutta se osoittautui huonommaksi kuin Ptolemaios, koska jälkimmäinen teki virheen määrittäessään jänteen pituuden puoli astetta ylöspäin, minkä seurauksena likiarvo 377/120 osoittautui ylärajaksi . $\pi$ $\pi$ $\pi$

Intiassa, Aryabhatassa ja Bhaskarassa käytin likiarvoa 3,1416. Varahamihira 6. vuosisadalla käyttää approksimaatiota Pancha Siddhantikassa . ${\sqrt {10}}$

Noin 265 jKr. e. Wein matemaatikko Liu Hui tarjosi yksinkertaisen ja tarkan iteratiivisen algoritmin kaiken tarkkuuden laskentaan . Hän suoritti itsenäisesti laskennan 3072-gonille ja sai likimääräisen arvon seuraavan periaatteen mukaisesti: $\pi$ $\pi$

\pi \approx A_{3072}={3\cdot 2^{8}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+ {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1))))))))))))))))))))))}\noin 3,14159.

Myöhemmin Liu Hui keksi nopean laskentamenetelmän ja sai likimääräisen arvon 3,1416 vain 96 kulmalla hyödyntäen sitä tosiasiaa, että peräkkäisten polygonien pinta-alaero muodostaa geometrisen progression , jonka nimittäjä on 4. $\pi$

480-luvulla kiinalainen matemaatikko Zu Chongzhi osoitti, että ≈ 355/113 ja osoitti, että 3,1415926 < < 3,1415927 käyttäen Liu Huin algoritmia sovellettiin 12288-goniin. Tämä arvo pysyi tarkin likimääräinen luku seuraavien 900 vuoden ajan. $\pi$ $\pi$ $\pi$

klassinen aikakausi

2000-luvulle asti tiedettiin enintään 10 numeroa . Muita merkittäviä saavutuksia tutkimuksessa liittyy matemaattisen analyysin kehittämiseen , erityisesti sarjojen löytämiseen , jotka mahdollistavat laskennan millä tahansa tarkkuudella summaamalla sopivan määrän termejä sarjassa. $\pi$ $\pi$ $\pi$

Madhava rivi - Leibniz

1400-luvulla Sangamagraman Madhava löysi ensimmäisen näistä riveistä:

{\pi }={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+\ cdots

Tämä tulos tunnetaan Madhava-Leibniz- sarjana tai Gregory-Leibniz-sarjana (sen jälkeen, kun James Gregory ja Gottfried Leibniz löysivät sen uudelleen 1600-luvulla). Tämä sarja konvergoi kuitenkin hyvin hitaasti, mikä vaikeuttaa luvun monien numeroiden laskemista käytännössä - sarjaan on lisättävä noin 4000 termiä Arkhimedesen arvion parantamiseksi. Kuitenkin muuntamalla tämä sarja muotoon $\pi$

\pi ={\sqrt {12}}\,\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{ \frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)

Madhava pystyi laskemaan 3,14159265359 tunnistamalla oikein 11 numeroa numerosyötössä. Tämän ennätyksen rikkoi vuonna 1424 persialainen matemaatikko Jamshid al-Kashi , joka teoksessaan "Treatise on the Circle" antoi numerosta 17 numeroa , joista 16 on oikein. $\pi$ $\pi$

Ludolf numero

Ensimmäinen merkittävä eurooppalainen panos Arkhimedesin jälkeen oli hollantilaisen matemaatikon Ludolf van Zeulenin arvio , joka käytti kymmenen vuotta laskeakseen 20 desimaalin luvun (tämä tulos julkaistiin vuonna 1596). Hän toi Arkhimedesin menetelmää soveltaen tuplaamisen n - goniin, jossa n = 60 2 29 . Esiteltyään tuloksensa esseessä "Ympärysmitta" ("Van den Circkel"), Ludolf päätti sen sanoilla: "Jolla on halu, menköön pidemmälle." Hänen kuolemansa jälkeen hänen käsikirjoituksistaan löytyi 15 tarkempaa numeroa . Ludolph testamentaa, että hänen löytämänsä merkit oli kaiverrettu hänen hautakiveensä. Hänen kunniakseen numeroa kutsuttiin joskus "Ludolf-luvuksi" tai "Ludolf-vakioksi". $\pi$ $\pi$ $\pi$

Ludolf-luku on likimääräinen arvo luvulle , jossa on 35 kelvollista desimaalipistettä [17] . $\pi$

Vietan kaava π:n approksimointiin

Noihin aikoihin Euroopassa alkoi kehittyä menetelmiä äärettömien sarjojen analysoimiseksi ja määrittelemiseksi. Ensimmäinen tällainen esitys oli Vietan kaava luvun π approksimoimiseksi :

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}} \cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))){2}}\cdot \cdots

löysi François Viet vuonna 1593.

Wallisin kaava

Toinen kuuluisa tulos oli Wallisin kaava :

{\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\ frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac { 8}{9}}\cdots

kasvattaja John Wallis vuonna 1655.

Samanlaisia teoksia:

$\pi =3\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2 }-\vasen({\frac {1}{3}}\oikea)^{2}}}$

$\pi ={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^ {2}}{k^{2}-\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}}$

$\pi =4\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2 }-\vasen({\frac {1}{4}}\oikea)^{2}}}$

$\pi ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^ {2}}{k^{2}-\left({\frac {3}{4}}\oikea)^{2}}}$

$\pi =6\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left ({\frac {1}{6}}\oikea)^{2}}}$

$\pi ={\frac {6}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}} {k^{2}-\vasen({\frac {5}{6}}\oikea)^{2}}}$

$\pi =4\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {1}{4} }}}$

$\pi ={\frac {9}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^ {2}+k}{k^{2}+k+{\frac {2}{9))))$

$\pi ={\frac {16}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^ {2}+k}{k^{2}+k+{\frac {3}{16))))$

$\pi ={\frac {36}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+ k}{k^{2}+k+{\frac {5}{36))))$

Tuote, joka todistaa suhteen numeron e kanssa

$\pi =2{\sqrt {3}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1 }{2}}}\vasen(2k-1\oikea)^{{\frac {1}{2}}-k}}{2k+1}}\vasen({\frac {k}{k+1 }}\oikea)^{2k}$

Identiteettiin perustuvat menetelmät

Nykyaikana laskennassa käytetään identiteettiin perustuvia analyyttisiä menetelmiä . Yllä luetelluista kaavoista ei ole juurikaan hyötyä laskentatarkoituksiin, koska ne joko käyttävät hitaasti konvergoivia sarjoja tai vaativat monimutkaisen neliöjuuren erottamisen. $\pi$

Konekaavat

Ensimmäisen tehokkaan ja nykyaikaisen tavan löytää luku (sekä luonnolliset logaritmit ja muut funktiot), joka perustuu hänen kehittämäänsä sarjateoriaan ja matemaattiseen analyysiin, antoi Isaac Newton vuonna 1676 toisessa kirjeessään Oldenburgille [18] . , laajenee sarjassa . Tämän menetelmän perusteella tehokkain kaava löydettiin vuonna 1706 John Machinin toimesta $\pi$ $\mathrm {arctg} {\frac {1}{2))$

{\frac {\pi }{4}}=4\,\mathrm {arctg} {\frac {1}{5}}-\mathrm {arctg} {\frac {1}{239}}

Arkkitangentin laajentaminen Taylor-sarjaksi

\mathrm {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}} {7}}+\cdots

saat nopeasti suppenevan sarjan, joka soveltuu lukujen suuren tarkkuuden laskemiseen. $\pi$

Tämän tyyppisiä kaavoja, jotka tunnetaan nykyään Machinin -kaavoina , on käytetty useiden peräkkäisten tietueiden asettamiseen, ja ne ovat säilyneet tunnetuimpina tietokoneiden nopean laskennan menetelminä. Erinomaisen ennätyksen teki ilmiömäinen laskuri Johann Daze , joka vuonna 1844 Gaussin määräyksestä sovelsi Machinin kaavaa 200 numeron laskemiseen . Parhaan tuloksen 1800-luvun loppuun mennessä sai englantilainen William Shanks , jolla 707 numeron laskeminen kesti 15 vuotta. Hän kuitenkin teki virheen 528. numerossa, minkä seurauksena kaikki seuraavat numerot osoittautuivat vääriksi [19] . Tällaisten virheiden välttämiseksi tällaiset nykyaikaiset laskelmat suoritetaan kahdesti. Jos tulokset täsmäävät, ne ovat todennäköisesti oikein. Yksi ensimmäisistä tietokoneista löysi Shanksin vian vuonna 1948; hän myös laski 808 merkkiä muutamassa tunnissa . $\pi$ $\pi$ $\pi$

Pi on transsendenttinen luku

Teoreettiset edistysaskeleet 1700-luvulla johtivat näkemyksiin lukujen luonteesta, joita ei voitu saavuttaa pelkällä numeerisella laskennalla. Johann Lambert osoitti järjettömyyden vuonna 1761 ja Adrien Legendre vuonna 1774 . Vuonna 1735 peruslukujen välille muodostettiin yhteys ja kun Leonhard Euler ratkaisi kuuluisan Baselin ongelman - tarkan arvon löytämisen ongelman. $\pi$ $\pi$ $\pi ^{2}$ $\pi$

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1 }{4^{2}}}+\cdots

joka osoittautui yhtäläiseksi . Sekä Legendre että Euler ehdottivat, että se voisi olla transsendenttista , minkä lopulta vuonna 1882 Ferdinand von Lindemann todisti . ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$ $\pi$

Vuonna 1945 Cartwright yksinkertaisti Charles Hermiten alkeellista todistetta siitä, että luku on irrationaalinen . $\pi$

Symboli " "

\pi

William Jonesin Synopsis Palmoriorum Mathesios , 1706, uskotaan olevan ensimmäinen, joka ottaa käyttöön kreikkalaisen kirjaimen tälle vakiolle, mutta tämä merkintä tuli yleisesti hyväksytyksi sen jälkeen, kun Leonhard Euler otti sen käyttöön (tai päätyi siihen itsenäisesti) vuonna 1737 [11 ] . Euler kirjoitti: " On monia muita tapoja löytää vastaavan käyrän tai tasokuvan pituudet tai alueet, mikä voi helpottaa harjoittelua suuresti; esimerkiksi ympyrässä halkaisija on suhteessa ympärään 1:stä ". $\pi$ $\left({\frac {16}{5}}-{\frac {4}{239}}\oikea)-{\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {16}{ 5^{3}}}-{\frac {4}{239^{3}}}\oikea)+\cdots =3{,}14159\cdots =\pi$

Tietojenkäsittelyn aikakausi

Digitaalisen tekniikan aikakausi 1900-luvulla johti tietojenkäsittelytietueiden ilmestymisnopeuteen. John von Neumann ja muut käyttivät ENIAC :ia vuonna 1949 laskeakseen 2037 numeroa , mikä kesti 70 tuntia. Vuonna 1961 Daniel Shanks laski 100 000 merkkiä IBM 7090 :ssä , ja miljoonan raja ylitettiin vuonna 1973 [K 2] . Tämä kehitys ei johtunut vain nopeammasta laitteistosta, vaan myös uusista algoritmeista. $\pi$

Hollantilainen matemaatikko Leutzen Brouwer 1900-luvun alkupuoliskolla mainitsi esimerkkinä merkityksettömästä tehtävästä etsinnän sekvenssin desimaalilaajennuksessa - hänen mielestään tähän tarvittavaa tarkkuutta ei koskaan saavuteta. Tämä sekvenssi löydettiin 1900-luvun lopulla; se alkaa 17 387 594 880 desimaalista [20] . $\pi$ $0123456789$

Intialainen matemaatikko Srinivasa Ramanujan löysi 1900-luvun alussa monia uusia kaavoja , joista osa tuli tunnetuksi tyylikkyydestään ja matemaattisesta syvyydestään. Yksi näistä kaavoista on sarja: $\pi$

{\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)! (1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}

Veljekset Chudnovskyt vuonna 1987 löysivät sen samankaltaisen:

{\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{426880{\sqrt {10005}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)! (13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}

joka antaa noin 14 numeroa jokaiselle sarjan jäsenelle. Tšudnovskyt käyttivät tätä kaavaa asettaakseen useita laskentaennätyksiä 1980-luvun lopulla, mukaan lukien yksi, joka johti 1 011 196 691 desimaalinumeroon vuonna 1989. $\pi$

Tätä kaavaa käytetään ohjelmissa, jotka laskevat henkilökohtaisissa tietokoneissa, toisin kuin supertietokoneissa , jotka tekevät nykyaikaisia ennätyksiä. $\pi$

Vaikka sarja yleensä parantaa tarkkuutta kiinteällä määrällä jokaisella peräkkäisellä termillä, on iteratiivisia algoritmeja, jotka "kertovat" oikeiden numeroiden määrän kussakin vaiheessa, mutta vaativat korkeita laskentakustannuksia kussakin näistä vaiheista.

Tässä suhteessa tehtiin läpimurto vuonna 1975, kun Richard Brent ja Eugene Salamis löysivät itsenäisesti Brent-Salamin-algoritmin , joka käyttämällä vain aritmetiikkaa kaksinkertaistaa tunnettujen merkkien määrän jokaisessa vaiheessa [21] . Algoritmi koostuu alkuarvojen asettamisesta

a_{0}=1\quad \quad \quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2))}\quad \quad \quad t_{0}={\frac {1}{4 }}\quad \quad \quad p_{0}=1

ja iteraatiot:

a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\quad \quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n} }}

t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\quad \quad \quad p_{n+1}=2p_{n}

kunnes a n ja b n ovat tarpeeksi lähellä. Sitten arvio annetaan kaavalla $\pi$

\pi \noin {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.

Tällä menetelmällä 25 iteraatiota riittää 45 miljoonan desimaalin tarkkuuden saamiseksi. Jonathan Borwain Peter Borwain [22] löysi samanlaisen algoritmin, joka nelinkertaistaa tarkkuuden jokaisessa vaiheessa . Näillä menetelmillä Yasumasa Canada ja hänen ryhmänsä tekivät vuodesta 1980 alkaen eniten laskennallisia ennätyksiä , jopa 206 158 430 000 merkkiä vuonna 1999. Vuonna 2002 Kanada ja hänen ryhmänsä tekivät uuden ennätyksen 1 241 100 000 000 desimaalilla. Suurin osa Kanadan aiemmista ennätyksistä tehtiin Brent-Salamin-algoritmilla, mutta vuoden 2002 laskelmissa käytettiin kahta Machin-tyyppistä kaavaa, jotka olivat hitaampia, mutta vähensivät huomattavasti muistin käyttöä. Laskelma suoritettiin 64-solmun Hitachi - supertietokoneella , jossa on 1 teratavu RAM-muistia, joka pystyy suorittamaan 2 biljoonaa toimintoa sekunnissa. $\pi$

Tärkeä viimeaikainen kehitys on Bailey-Borwain-Pluff-kaava , jonka Simon Pluff löysi vuonna 1997 ja joka on nimetty sen artikkelin kirjoittajien mukaan, jossa se ensimmäisen kerran julkaistiin [23] . Tämä kaava

\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k))}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac { 2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\oikea),

Huomattava siinä, että sen avulla voit poimia luvun minkä tahansa tietyn heksadesimaali- tai binäärinumeron laskematta edellisiä [23] . Vuosina 1998–2000 PiHex hajautettu laskentaprojekti käytti muokattua Bellard-kaavaa laskeakseen luvun kvadrillijoonasosan bitin , joka osoittautui nollaksi [24] . $\pi$ $\pi$

Vuonna 2006 Simon Pluff löysi PSLQ-algoritmia käyttäen useita kauniita kaavoja [25] . Olkoon sitten q = e π

{\frac {\pi }{24}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {3}{q^{n} -1}}-{\frac {4}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\oikea)

{\frac {\pi ^{3}}{180}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\left({\frac { 4}{q^{n}-1}}-{\frac {5}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\oikea)

ja muita tyyppejä

\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k))}\left({\frac {a}{q^{n}- 1))+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\oikea)

missä q \ u003d e π , k on pariton luku ja a , b , c ovat rationaalilukuja . Jos k on muotoa 4 m + 3, niin tällä kaavalla on erityisen yksinkertainen muoto:

p\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {2^{k-1}} {q^{n}-1}}-{\frac {2^{k-1}+1}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1 }}\oikea)

rationaaliselle p :lle , jonka nimittäjä on hyvin tekijöille jaoteltava luku, vaikka tiukkaa todistetta ei ole vielä esitetty.

Elokuussa 2009 japanilaisen Tsukuban yliopiston tutkijat laskivat 2 576 980 377 524 desimaalin sekvenssin [26] .

19. lokakuuta 2011 Alexander Yi ja Shigeru Kondo laskivat sekvenssin 10 biljoonan desimaalin tarkkuudella [27] [28] . 28. joulukuuta 2013 he myös laskivat sekvenssin 12,1 biljoonan numeron tarkkuudella desimaalipilkun jälkeen [29] .

14. maaliskuuta 2019, jolloin vietettiin luvun pi epävirallista juhlapäivää, Google esitteli tämän luvun 31,4 biljoonan desimaalin tarkkuudella. Emma Haruka-Iwao, Googlen työntekijä Japanissa, onnistui laskemaan sen sellaisella tarkkuudella [30] .

Elokuussa 2021 Graubündenin ammattikorkeakoulun sveitsiläiset tutkijat pystyivät laskemaan luvun 62,8 biljoonan desimaalin tarkkuudella päivittämällä aiempia ennätyksiä. Laskelmat tehtiin supertietokoneella 108 päivän ja yhdeksän tunnin ajan. Laskentanopeus oli kaksi kertaa Googlen vuonna 2019 asettama ennätys ja 3,5 kertaa vuonna 2020 asetettu ennätys, jolloin luvussa laskettiin yli 50 biljoonaa desimaalin tarkkuutta [31] [32] . $\pi$ $\pi$

9. kesäkuuta 2022 Emma Haruka-Iwaon johtama Google-tiimi laski pi:n ensimmäiset 100 biljoonaa desimaalipistettä lähes 158 päivässä [2] [33] .

" Super Pi " -ohjelmaa, joka määrittää ajan, joka kuluu Pi:n tietyn numeromäärän (jopa 32 miljoonaan) laskemiseen, voidaan käyttää tietokoneiden suorituskyvyn testaamiseen .

Rationaaliset likiarvot

${\frac {22}{7))$ - Archimedes (III vuosisata eKr.) - antiikin kreikkalainen matemaatikko, fyysikko ja insinööri;
${\frac {377}{120}}$ - Claudius Ptolemaios (2. vuosisadalla jKr.) - antiikin kreikkalainen tähtitieteilijä ja maantieteilijä, ja Ariabhata (5. vuosisadalla jKr.) - intialainen tähtitieteilijä ja matemaatikko;
${\frac {355}{113}}$ - Zu Chongzhi (5. vuosisadalla jKr.) - kiinalainen tähtitieteilijä ja matemaatikko.

Approksimaation tarkkuuden vertailu

Määrä	Pyöristetty arvo	Tarkkuus ( numeroiden yhteensopivuus )
$\pi$	3,14159265…
${\frac {22}{7))$	3,14 285714…	2 desimaalin tarkkuudella
${\frac {377}{120}}$	3,141 66667…	3 desimaalin tarkkuudella
${\frac {355}{113}}$	3,141592 92…	6 desimaalin tarkkuudella

Avoimet ongelmat

Numeroiden irrationaalisuuden tarkkaa mittaa ei tunneta ( mutta tiedetään, että se ei ylitä 7,103205334137) [34] [35] . $\pi$ $\pi ^{2}$ $\pi$
Irrationaalisuuden mittaa ei tunneta millekään seuraavista luvuista: Yhdellekään niistä ei edes tiedetä, onko se rationaaliluku , algebrallinen irrationaaliluku vai transsendentaalinen luku. Siksi ei tiedetä, ovatko luvut ja luvut algebrallisesti riippumattomia [6] [36] [37] [38] [39] . $\pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e)),\pi ^{e},\pi ^{\sqrt {2)),\ln \pi ,\pi ^{\pi },e^{\pi ^{2)).$ $\pi$ $e$
Ei tiedetä, onko se kokonaisluku millä tahansa positiivisella kokonaisluvulla (katso tetratio ). ${^{n}\pi }$ $n$
Toistaiseksi ei tiedetä mitään numeron normaalista ; ei edes tiedetä mitkä numerot 0-9 esiintyvät luvun desimaalimuodossa äärettömän monta kertaa. Tietokonetarkistus 200 miljardilla desimaalilla osoitti, että kaikki 10 numeroa esiintyvät tässä tietueessa lähes yhtä usein [40] : $\pi$ $\pi$ $\pi$

Määrä	Kuinka monta kertaa se näkyy
0	20 000 030 841
yksi	19 999 914 711
2	20 000 013 697
3	20 000 069 393
neljä	19 999 921 691
5	19 999 917 053
6	19 999 881 515
7	19 999 967 594
kahdeksan	20 000 291 044
9	19 999 869 180

Mitään tiukkaa näyttöä ei kuitenkaan ole.

Ei tiedetä kuuluuko se jaksorenkaaseen . ${\frac {1}{\pi ))$

Buffon-neulamenetelmä

Tasolla, joka on vuorattu yhtä kaukana olevilla viivoilla, heitetään satunnaisesti neula, jonka pituus on yhtä suuri kuin vierekkäisten viivojen välinen etäisyys, niin että jokaisessa heitossa neula joko ei ylitä viivoja tai ylittää täsmälleen yhden. Voidaan osoittaa, että neulan jonkin suoran leikkauskohtien lukumäärän suhde heittojen kokonaismäärään pyrkii heittojen määrän kasvaessa äärettömään [41] . Tämä neulamenetelmä perustuu todennäköisyysteoriaan ja on Monte Carlon menetelmän perusta [42] . ${\frac {2}{\pi }}$

Mnemoniset säännöt ja muistikirjat

Runot luvun π 8-11 numeron muistamiseen:

Jotta emme tekisi virheitä,
meidän on luettava oikein:
Kolme, neljätoista, viisitoista,
yhdeksänkymmentäkaksi ja kuusi.

Sinun täytyy vain yrittää
Ja muistaa kaikki sellaisena kuin se on:
kolme, neljätoista, viisitoista,
yhdeksänkymmentäkaksi ja kuusi.

Kolme, neljätoista, viisitoista,
yhdeksän, kaksi, kuusi, viisi, kolme, viisi.
Jotta voisimme osallistua tieteeseen,
kaikkien pitäisi tietää tämä.

Voit vain yrittää
toistaa useammin:
"Kolme, neljätoista, viisitoista,
yhdeksän, kaksikymmentäkuusi ja viisi."

Ulkoa muistamista voi auttaa seuraamalla runollista kokoa:

Kolme, neljätoista, viisitoista, yhdeksän kaksi, kuusi viisi, kolme viisi
kahdeksan yhdeksän, seitsemän ja yhdeksän, kolme kaksi, kolme kahdeksan, neljäkymmentä kuusi
kaksi kuusi neljä, kolme kolme kahdeksan, kolme kaksi seitsemän yhdeksän, viisi nolla kaksi
kahdeksan kahdeksan ja neljä, yhdeksäntoista seitsemän yksi

On säkeitä, joissa luvun π ensimmäiset numerot on salattu kirjainten lukumääränä sanoissa:

Tämän tiedän ja muistan täydellisesti: Ja
monet merkit ovat minulle tarpeettomia, turhaan.
Luotetaan laajaan tietoon
Ne, jotka laskivat, armadan lukuihin.

Opi ja tiedä tunnetussa numerossa Numeron
takana on numero, kuinka huomata onni.

Kolyasta ja Arinasta lähtien repimme
höyhensängyt.
Valkoinen nukka lensi, ympyröi,
Rohkeasti, jäätyi,
Tyytyväinen,
Mutta hän antoi meille
vanhojen naisten päänsärkyä.
Vau, vaarallinen pörröhenki!

- Georgi Aleksandrov

Samanlaisia säkeitä oli myös uudistusta edeltävässä ortografiassa . Esimerkiksi seuraava runo, jonka on säveltänyt Nižni Novgorodin lukion opettaja Shenrok [43] :

Se, joka vitsillä ja pian haluaa
tuntea Piin, tietää jo numeron.

Desimaalien muistamisen maailmanennätys kuuluu 21-vuotiaalle intialaiselle opiskelijalle Rajveer Meenalle, joka maaliskuussa 2015 toisti 70 000 desimaaleja 9 tunnissa ja 27 minuutissa [44] . Tätä ennen, lähes 10 vuoden ajan, ennätys oli kiinalaisen Liu Chaon hallussa, joka vuonna 2006 toisti 67 890 desimaalin tarkkuudella virheetöntä 24 tunnin ja 4 minuutin sisällä [45] [46] . Samassa vuonna 2006 japanilainen Akira Haraguchi ilmoitti muistavansa luvun 100 000 desimaalin tarkkuudella [47] , mutta sitä ei vahvistettu virallisesti [48] . $\pi$ $\pi$

Venäjällä ulkoa ennätyksen teki vuonna 2019 Denis Babushkin (13 202 merkkiä) [49] .

Kulttuurissa

Indianan osavaltiossa (USA) hyväksyttiin vuonna 1897 Pi Bill , jonka arvoksi vahvistettiin lainsäädännöllisesti 3,2 [50] . Tästä lakiehdotuksesta ei tullut lakia, koska Purduen yliopiston professori puuttui ajoissa asiaan. Hän oli läsnä osavaltion lainsäätäjässä tämän lain käsittelyn aikana.
On pitkä elokuva nimeltä Pi;
Epävirallista juhlapäivää " Pi Day " vietetään vuosittain 14. maaliskuuta , joka amerikkalaisessa päivämäärämuodossa (kuukausi/päivä) on kirjoitettu 3.14, mikä vastaa likimääräistä numeron arvoa . Uskotaan [51] , että loman keksi vuonna 1987 San Franciscon fyysikko Larry Shaw , joka kiinnitti huomion siihen tosiasiaan, että 14. maaliskuuta kello 01.59 päivämäärä ja aika ovat samat Pi = 3,14159:n ensimmäisten numeroiden kanssa; $\pi$
- Toinen numeroon liittyvä päivämäärä on
heinäkuun 22. päivä, jota kutsutaan nimellä " Pi-approximation Day ", koska eurooppalaisessa päivämäärämuodossa tämä päivä on kirjoitettu 22/7 ja tämän murtoluvun arvo on rationaalinen likimääräinen lukuarvo . $\pi$ $\pi$

Amerikkalainen progressiivista metallia edustava After The Burial nauhoitti kappaleen Pi - The Mercury God of Infinity, jossa rytmikitaran ja bassorummun osat perustuvat luvun desimaalimurtoluvun korkeimpiin numeroihin .

\pi

François Arago kirjoitti artikkelissa "Yleisesti ymmärrettävä tähtitiede" [52] :

Katsotaanpa, millä tarkkuudella on mahdollista laskea Pi-luvuilla (Pi-luvut) ympärysmitta, jonka säde on yhtä suuri kuin Maan keskimääräinen etäisyys Auringosta (150 000 000 km). Jos otamme 18 numeroa Pi:lle, yhden yksikön virhe viimeisessä numerossa aiheuttaa 0,0003 millimetrin virheen lasketun ympyrän pituudessa; se on paljon pienempi kuin hiusten paksuus.

Otimme Pi:stä 18 numeroa. On helppo kuvitella, mikä käsittämättömän pieni virhe olisi tehty lasketun ympyrän valtavuuden vuoksi, jos Pi:lle olisi käytetty kaikkia tunnettuja lukuja. Sen perusteella, mitä on sanottu, on selvää, kuinka väärässä ovat ne, jotka ajattelevat, että tieteet muuttaisivat muotoaan ja heidän sovelluksensa hyötyisivät suuresti tarkan Pi:n löytämisestä, jos se olisi olemassa.

Joten edes tähtitiedelle - tarkimpiin laskelmiin turvautuvalle tieteelle - ei vaadita täysin tarkkaa ratkaisua ...

Katso myös

Huomautuksia

Kommentit

↑ Tämä määritelmä pätee vain euklidiselle geometrialle . Muissa geometrioissa ympyrän kehän suhde sen halkaisijan pituuteen voi olla mielivaltainen. Esimerkiksi Lobachevsky-geometriassa tämä suhde on pienempi kuin . $\pi$
↑ Nykyään luku lasketaan tietokoneen avulla biljoonien numeroiden tarkkuudella, mikä on enemmän teknistä kuin tieteellinen mielenkiinto, koska sellaisesta tarkkuudesta ei ole käytännön hyötyä. Laskennan tarkkuutta rajoittavat yleensä tietokoneen käytettävissä olevat resurssit, useimmiten aika, jonkin verran harvemmin muistin määrä. $\pi$

Lähteet

↑ P.I. _ Haettu 13. syyskuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 3. syyskuuta 2010. (määrätön)
↑ 1 2 Pavel Kotov. Google Cloudin työntekijä on laskenut pi:n määrän 100 biljoonaan desimaaliin – tämä on uusi ennätys . 3DNews Daily Digital Digest (6.9.2022). Haettu 10. kesäkuuta 2022. Arkistoitu alkuperäisestä 10. kesäkuuta 2022. (määrätön)
↑ Lambert, Johann Heinrich . Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logaritmiques, s. 265-322.
↑ Kleinin todistus on liitetty Göttingenissä vuonna 1908 julkaistuun teokseen "Kysymyksiä alkeis- ja korkeammasta matematiikan tutkimuksesta", osa 1.
↑ Weisstein , Eric W. Gelfondin vakio Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Irrational Number (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Modulaariset funktiot ja transsendenssikysymykset
↑ Romer P. Uusi lauseke π: lle // V.O.F.E.M. . - 1890. - Nro 97 . - S. 2-4 . (Venäjän kieli)
↑ Weisstein, Eric W. Pi Squared Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Gnezdovsky Yu. Yu . Johdanto // Trigonometrian käsikirja. - Ecoperspective, 2006. - S. 3. - ISBN 985-469-141-1 .
↑ 1 2 Kaikkialla läsnä oleva numero "pi", 2007 , s. 10-11.
↑ Kympan, 1971 .
↑ E. M. Bruins . Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse Arkistoitu 3. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa , 1950.
↑ Stroik D. Ya. Lyhyt essee matematiikan historiasta = Abriss der Geschichte der Mathematik / Per. sen kanssa.; Ch. toim. Fys.-Math. kirjallisuus. - 4. painos, Rev. - M .: Tiede , 1984. - S. 47-48. — 285 s. — ISBN 5-02-014329-4 . (Venäjän kieli)
↑ Kaikkialla oleva numero "pi", 2007 , s. 29.
↑ Kympan, 1971 , s. 81.
↑ Pi: Lähdekirja . Haettu 19. marraskuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 19. marraskuuta 2021. (määrätön)
↑ Isaac Newton. Matemaattiset teokset (kääntäjä ja tarkistanut Morduchai-Boltovsky) / Morduchai-Boltovsky (myös käännös ja kommentti). - Moskova, Leningrad: Teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden pääkustantaja, 1937.
↑ Arndt, George; Haenel, Christoph. Pi Unleashed . — Springer-Verlag , 2006. — S. 194–196. - 270p. - ISBN 978-3-540-66572-4 .
↑ Joaquin Navarro, 2014 , s. yksitoista..
↑ Brent, Richard (1975), Traub, JF, toim., Multiple-Precision zero-finding method and the complexity of elementary function assessment , Analytic Computational Complexity (New York: Academic Press): 151–176 , < http:// wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html > Arkistoitu 23. heinäkuuta 2008 Wayback Machinessa
↑ Jonathan M Borwein. Pi: Lähdekirja. - Springer, 2004. - ISBN 0387205713 . (Englanti)
↑ 1 2 David H. Bailey, Peter B. Borwein, Simon Plouffe. Erilaisten polylogaritmisten vakioiden nopeasta laskemisesta // Laskennan matematiikka. - 1997. - T. 66 , no. 218 . - S. 903-913 . (Englanti)
↑ Fabrice Bellard . Uusi kaava pi :n n :nnen binääriluvun laskemiseksi . Haettu 11. tammikuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 21. elokuuta 2011.
↑ Simon Plouffe. Ramanujanin muistikirjoista inspiroidut identiteetit (osa 2) (eng.) (linkki ei saatavilla) . Haettu 11. tammikuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 21. elokuuta 2011.
↑ Uusi ennätys luvun π laskentatarkkuudelle on asetettu (pääsemätön linkki) . Haettu 20. elokuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 22. elokuuta 2009. (määrätön)
↑ 10 biljoonaa desimaalilukua määritettynä π:lle (downlink) . Haettu 4. lokakuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 25. heinäkuuta 2018. (määrätön)
↑ Kierros 2…10 biljoonaa Pi:n numeroa . Käyttöpäivä: 22. lokakuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 1. lokakuuta 2018. (määrätön)
↑ Pi - 12,1 biljoonaa numeroa . www.numberworld.org. Haettu 29. lokakuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 1. lokakuuta 2018. (määrätön)
↑ Luvun "pi" arvo laskettiin 31,4 biljoonan desimaalin tarkkuudella . www.mk.ru Haettu 14. maaliskuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 14. maaliskuuta 2019. (Venäjän kieli)
↑ Sveitsiläiset tutkijat julistivat uuden tarkan pi- luvun ennätyksen . phys.org (17. elokuuta 2021). Haettu 17. elokuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 17. elokuuta 2021.
↑ UAS Grisons maailmanennätysyritys . fhgr.ch (17. elokuuta 2021). Haettu 17. elokuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 17. elokuuta 2021.
↑ Roman Kildyushkin. Google asetti Pi-laskennan maailmanennätyksen Google on laskenut Pi:n tarkkuudella 100 biljoonaa desimaalin tarkkuutta . Gazeta.ru (9.06.2022). Haettu 10. kesäkuuta 2022. Arkistoitu alkuperäisestä 10. kesäkuuta 2022. (määrätön)
↑ Weisstein, Eric W. Irrationaalisuuden mitta Wolfram MathWorldissä .
↑ Doron Zeilberger, Wadim Zudilin. Pi:n irrationaalisuusmitta on enintään 7,103205334137 . archive.org (2019). Arkistoitu 17. lokakuuta 2020. (määrätön)
↑ Weisstein, Eric W. Pi Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Joitakin ratkaisemattomia lukuteorian ongelmia . Haettu 27. syyskuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 19. heinäkuuta 2010. (määrätön)
↑ Weisstein, Eric W. Transsendenttinen numero (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Johdatus irrationaalisuuteen ja transsendenssimenetelmiin . Käyttöpäivä: 27. syyskuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 17. toukokuuta 2013. (määrätön)
↑ Kaikkialla oleva numero "pi", 2007 , s. 67-69.
↑ Petos vai harha? Arkistoitu 30. tammikuuta 2012 Wayback Machinessa // Kvant. - 1983. - Nro 5.
↑ Galperin G.A. Dynaaminen biljardijärjestelmä pi :lle Arkistokopio 13. kesäkuuta 2014 Wayback Machinessa .
↑ "Alkugeometria" Kiseljov s. 225
↑ 21-vuotias muistaa 70 000 Pi-numeroa, asettaa Guinnessin ennätyksen . Haettu 3. huhtikuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 18. huhtikuuta 2016. (määrätön)
↑ Kiinalainen opiskelija rikkoi Guinessin ennätyksen lausumalla 67 890 pi:n numeroa . Haettu 26. syyskuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 7. toukokuuta 2011. (määrätön)
↑ Haastattelu Mr. Chao Lu . Haettu 26. syyskuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 24. syyskuuta 2010. (määrätön)
↑ Kuinka kukaan voi muistaa 100 000 numeroa? – The Japan Times, 17.12.2006.
↑ Pi-maailman rankinglista . Haettu 26. syyskuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 30. syyskuuta 2010. (määrätön)
↑ Julia Stalin. "Ajatukset Johnny Deppistä auttoivat": Jekaterinburgista kotoisin oleva koulupoika muisti 13202 Pi:n numeroa . KP.RU (28.10.2019). Haettu 10. kesäkuuta 2022. Arkistoitu alkuperäisestä 15. toukokuuta 2022. (määrätön)
↑ The Indiana Pi Bill, 1897 Arkistoitu 17. kesäkuuta 2016 Wayback Machinessa
↑ Los Angeles Timesin artikkeli "Haluaisitko palan "? (nimi vaikuttaa numeron ja sanan pie (eng. pie) oikeinkirjoituksen samankaltaisuuteen) $\pi$ $\pi$ Arkistokopio päivätty 19. helmikuuta 2009 Wayback Machinessa (pääsemätön linkki 22-05-2013 [3451 päivää] - historia , kopio ) (eng.) .
↑ Lainaus kirjan sivuilta 16-17: Perelman Ya. I. Ympyrän neliöinti. - L . : Viihdyttävän tieteen talo, 1941.

Kirjallisuus

Zhukov A. V. Numerosta π . - M .: MTsMNO, 2002. - 32 s. - ISBN 5-94057-030-5 .
Zhukov A. V. Kaikkialla oleva numero "pi". - 2. painos - M . : Kustantaja LKI, 2007. - 216 s. - ISBN 978-5-382-00174-6 .
Quimpan, Florida. Pi:n historia. — M .: Nauka , 1971. — 217 s.
Navarro, Joaquin. Numeron salaisuudet Miksi ympyrän neliöintiongelma on ratkaisematon. — M .: De Agostini, 2014. — 143 s. — (Matematiikan maailma: 45 nidettä, osa 7). - ISBN 978-5-9774-0629-1 . $\pi.$
Perelman Ya. I. Ympyrän neliöinti. - L . : House of Entertaining Science, 1941.Uudelleenjulkaisu: YOYO Media,ISBN 978-5-458-62773-3.
Shumikhin S., Shumikhina A. Pi-numero. 4000 vuoden historia. - M . : Eksmo, 2011. - 192 s. - (Universumin salaisuudet). - ISBN 978-5-699-51331-4 . — ISBN 5-4574041-9-6 . - ISBN 978-5-4574041-9-9 .
David H. Bailey, Jonathan M. Borwein. Pi: Seuraava sukupolvi Lähdekirja Pi:n ja sen laskennan lähihistoriasta. - Springer, 2016. - 507 s. — ISBN 978-3-319-32375-6 .
Arndt, George; Haenel, Christoph. Pi Unleashed . — Springer-Verlag , 2006. — S. 194–196. - 270p. - ISBN 978-3-540-66572-4 .

Linkit

pi.delivery Arkistoitu 10. marraskuuta 2020 Wayback Machinessa 50 biljoonaa pi-numeroa (maailmanennätys).
Weisstein, Eric W. Pi kaavat (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Pi:n eri esitykset arkistoitu 12. elokuuta 2011 Wayback Machinessa WolframAlphassa
https://functions.wolfram.com/Constants/Pi/ Arkistoitu 12. tammikuuta 2021 Wayback Machinessa
sekvenssi A000796 OEIS : ssä
22,4 biljoonaa numeroa pi:stä arkistoitu 10. marraskuuta 2020 Wayback Machinessa

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Bibliografisissa luetteloissa
BNE : XX536170 GND : 4174646-6 J9U : 987007546007205171 LCCN : sh85101712 NDL : 00562015 NKC : ph117728

Numerot oikeilla nimillä

Matemaattiset vakiot

Algebrallinen

Transsendenttinen ,
luultavasti transsendenttinen

Tuhannen astetta

Vanhat venäläiset numerot

Muut kymmenen tehot

Kahdentoista voimat

Muu kokonaisuus

Muut numerot

kuvitteellinen yksikkö

Irrationaalisia lukuja
Apéry-vakio ( ζ(3) ) Erdős-Borweinin vakio ( E ) Feigenbaumin vakiot sofomorian unelma Alkulukuvakio (ρ) Muovinumero (ρ) Kahden logaritmi (ln 2) 12. juuri 2:sta ( 12 √ 2 ) 2:n neliöjuuri ( √ 2 ) 3:n neliöjuuri ( √ 3 ) 5 :n neliöjuuri ( √5 ) Kultainen suhde (φ) Superkultainen suhde (ψ) Hopeaosa ( δS ) e π Gelfond-vakio ( e π ) Gelfond-Schneiderin vakio ( 2 √ 2 ) Käänteinen Fibonaccin vakio (ψ)
transsendenttinen Trigonometrinen