Super redundantti numero

Superabundant-luku ( SA englanniksi superabundant  ) - luonnollinen luku , joka koskee kaikkia

missä  on jakajafunktio (eli luvun kaikkien positiivisten jakajien summa , mukaan lukien ).

Ensimmäiset superredundantit numerot [1] : 1 , 2 , 4 , 6 , 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 120 , …. Esimerkiksi luku 5 ei ole ylimääräinen luku, koska 1, 2, 3, 4 ja 5 sigma on 1, 3, 4, 7, 6 ja 7/4 > 6/5.

Ylimääräiset määrät määritettiin[ selventää ] Leonidas Alaoglu ja Pal Erdős [2] . Noin 30 sivua Ramanujanin vuoden 1915 artikkelista "Superkomponenttinumerot", joita Alaoglu ja Erdős eivät tienneet, suljettiin[ määritä ] . Nämä sivut julkaistiin lopulta Ramanujan's Journal 1:ssä (1997), 119-153[ määritä ] . Tämän artikkelin osiossa 59 Ramanujan määrittelee yleiset superkomposiittiluvut , jotka sisältävät superredundantteja lukuja.

Ominaisuudet

Leonidas Alaoglu ja Pal Erdős ( 1944 [2] ) osoittivat, että jos on ylitarpeita, on olemassa sellaisia ,

missä:

Toisin sanoen he osoittivat, että jos on superredundantti, alkulukujen kertoimella on non-increasing eksponentit (suuremman alkuluvun eksponentti ei ole koskaan suurempi kuin pienemmän alkuluvun eksponentti) ja että kaikki alkuluvut asti  ovat tekijöitä . Tällöin erityisesti mikä tahansa ylimääräinen luku on -:nnen alkuluvun parillinen kokonaislukukerrannainen .

Itse asiassa viimeinen eksponentti on 1, paitsi jos se on 4 tai 36.

Superredundantit luvut liittyvät läheisesti superkomposiittilukuihin. Kaikki ylimääräiset luvut eivät ole superkomposiittilukuja. Itse asiassa vain 449 superredundanttia ja superkomposiittilukua täsmäävät (sekvenssi A166981 OEIS : ssä ). Esimerkiksi 7560 on superkomposiitti, mutta ei superredundantti. Sitä vastoin 1163962800 on superredundantti, mutta ei superkomposiitti.

Alaoglu ja Erdős huomasivat, että kaikki ylimääräiset numerot ovat erittäin redundantteja .

Kaikki ylimääräiset luvut eivät ole ankaria lukuja . Ensimmäinen poikkeus on 105. SA-numero, 149602080797769600. Numeroiden summa on 81, mutta 81 ei ole tasaisesti jaollinen tällä SA-numerolla.

Ylimääräiset luvut kiinnostavat myös Riemannin hypoteesin ja Robinin lauseen yhteydessä, koska Riemannin hypoteesi vastaa lausetta:

kaikille suurempi kuin suurin tunnettu poikkeus, superredundantti luku 5040. Jos tällä epäyhtälöllä on suurempi vastaesimerkki, joka osoittaa Riemannin hypoteesin vääräksi, pienimmän tällaisen vastaesimerkin on oltava superredundantti luku [3] .

Kaikki superredundantit luvut eivät ole valtavan tarpeettomia .

Yleistys

Yleistetyt -superredundantit luvut  ovat sellaisia ​​lukuja, että kaikille , missä on jakajien -th potenssien summa .

1-superredundantit numerot ovat superredundantteja numeroita. 0-superredundantit luvut ovat superkomposiittilukuja.

Esimerkiksi yleistetyt 2-superredundantit luvut ovat [4] 1, 2, 4, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 240, …

Muistiinpanot

1. ↑ OEIS - sekvenssi A004394 _
2. ↑ 1 2 Alaoglu, Leonidas & Erdős, Pal (1944), Superkomponenteista ja vastaavista numeroista , Proceedings of the American Mathematical Society ( American Mathematical Society ). — T. 56 (3): 448–469 , DOI 10.2307/1990319 [ selventää ]
3. ↑ Akbari - Friggstad, 2009 .
4. ↑ OEIS - sekvenssi A208767 _

Kirjallisuus

• Keith Briggs. Runsaat luvut ja Riemannin hypoteesi // Kokeellinen matematiikka . - 2006. - T. 15 . — S. 251–256 .
• Amir Akbary, Zachary Friggstad. Superabundant-luvut ja Riemannin hypoteesi  // American Mathematical Monthly . - 2009. - T. 116 , no. 3 . — S. 273–275 . - doi : 10.4169/193009709X470128 .

Linkit

• MathWorld: Super Redundant Number