Solmuryhmä

Solmuryhmä on solmun ominaisuus, joka määritellään sen komplementin perusryhmäksi .

Määritelmä

Olkoon solmu. Sitten solmusolmuryhmä määritellään perusryhmäksi . [1] . ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{3))$ $\pi _{1}({\mathbb {R}}^{3}\setminus K)$

Kommentti

Muut sopimukset käsittelevät solmua ympyrän upottamisena 3-palloon . Tässä tapauksessa solmuryhmä määritellään sen komplementin perusryhmäksi . Molemmat määritelmät antavat isomorfisia ryhmiä. $S^{3}$

Ominaisuudet

Kahdella ekvivalentilla solmulla on isomorfiset solmuryhmät, joten solmuryhmä on invariantti ja sen avulla voidaan määrittää, että solmupari ei ole ekvivalentti. Kahdella ei-ekvivalentilla solmulla voi kuitenkin olla isomorfisia solmuryhmiä (katso esimerkki alla).

Solmuryhmän abelisaatio on aina isomorfinen äärettömälle sykliselle ryhmälle . Tämä johtuu siitä tosiasiasta, että abelisaatio osuu yhteen ensimmäisen homologiaryhmän kanssa , mikä on helppo laskea. $\mathbb {Z}$

Solmuryhmä (samoin kuin suuntautuneiden linkkien perusryhmä yleensä) voidaan laskea suhteellisen yksinkertaisilla algoritmeilla Wirtingerin esitystä käyttäen .

Esimerkkejä

Triviaali solmuryhmä on isomorfinen . $\mathbb {Z}$
- Päinvastoin on myös totta.
Trefoil - ryhmä on isomorfinen punosryhmän kanssa , tällä ryhmällä on tehtävä : $B^{3}$ $\langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle$ tai . $\langle a,b\mid aba=bab\rangle$
Ryhmällä - torussolmu on tehtävä: $(p,q)$ $\langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle$ .
Kahdeksan hengen ryhmällä on tehtävä: $\langle x,y\mid yxy^{{-1}}xy=xyx^{{-1}}yx\rangle$ .
Suorassa solmussa ja naisen solmussa on isomorfisia solmuryhmiä, mutta nämä solmut eivät ole vastaavia.

Katso myös

Vaihderyhmä

Muistiinpanot

↑ Boltyansky, 1982 , s. 119.

Kirjallisuus

Ryhmän solmut ja linkit - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista
Boltyansky V.G. , Efremovich V.A. Visuaalinen topologia. - M .: Nauka, 1982. - 160 s.

Solmujen ja linkkien teoria
Hyperbolinen	Kahdeksan (4 1 ) Kolme puolikierrosta (5 2 ) Ahtaus (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Perco-pari (10 161 ) Pitsi (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borromean renkaat (63 2) L10a140
satelliitti	Yhdiste ( vauva ) suoraan Solmujen summa
toric	Triviaali (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seitsemänlehtinen (7 1 ) Linkitetty (02 1) Hopf (22 1) Salomo (42 1)
Invariantit	vuorotellen Arfa invariant Siltojen määrä ( 2 siltaa ) Brunnian linkki Kiraalisuus ( palautuva ) Elokuvien määrä Risteysten lukumäärä Vasiliev invariantti Hyperbolinen tilavuus Khovanovin homologia Suku Solmuryhmä Vaihteistoryhmä Välityssuhde Polynomit ( Aleksanteri Kauffmanin kiinnike HOMFLY Jones Kaufman ) Pitsikihlausta Yksinkertainen solmu ( luettelo ) Segmenttien lukumäärä Tricolor-värien määrä Sidottamisen määrä ja tehtävä
Merkinnät ja operaatiot	Alexander-Briggin notaatio Conway-merkintä Docker-merkintä Mutaatio Reidemeister liike Skene suhde
Muut	Aleksanterin lause Bergen solmu punos teoria Conway-pallo Solmun valmistuminen Kaksoistorussolmu Kerroksellinen solmu Nauha Leikata Solmujen summa Taten hypoteeseja Kierretty Villi Kierrä numero Seifertin pinta