Loppuryhmä

Yleisalgebran äärellinen ryhmä on ryhmä, joka sisältää äärellisen määrän alkioita (tätä lukua kutsutaan sen " järjestykseksi ") [1] . Lisäksi ryhmän oletetaan olevan kertova , eli siinä oleva operaatio on merkitty kertolaskuksi ; lisäysryhmät, joissa on lisäys, määritellään erikseen. Kertovan ryhmän yksikkö merkitään symbolilla 1. Ryhmän järjestys merkitään yleensä $G$ $|G|.$

Äärillisiä ryhmiä käytetään laajasti sekä matematiikassa että muissa tieteissä: kryptografiassa , kristallografiassa , atomifysiikassa , ornamenttiteoriassa jne. Äärilliset muunnosryhmät liittyvät läheisesti tutkittavien objektien symmetriaan .

Esimerkkejä

Jäämäluokkien additiivinen ryhmä modulo . $\mathbb{Z}_n=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $n$
Multiplikatiivinen ryhmä ykseyden th- juuria , jotka ovat $n$ isomorfisia edellisen ryhmän kanssa.
Jäännösten pelkistetty järjestelmä modulo : jonka järjestys on ( Euler -funktio ). $m$ $\mathbb {Z} _{m}^{\times }=U(\mathbb {Z} _{m}),$ $\varphi(m)$
Ei-kommutatiivinen 8 kvaternioyksikön ryhmä : katso Quaternion ryhmä . $Q_{8}=\left\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\oikea\};$
Symmetrinen ryhmä (elementtien substituutioiden tai permutaatioiden ryhmä ) . Sen järjestys on yhtä suuri kuin ja se on ei-kommutoiva. $n$ $S_{n}$ $n!$ $n>2$
Kleinin nelinkertainen ryhmä . $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2=D_{2}$
Kentän äärellisen laajennuksen Galois'n ryhmä ja ryhmän järjestys on yhtä suuri kuin laajennuksen aste . Esimerkiksi reaalilukukentän laajentamiseksi kaikkien kompleksilukujen kenttään Galois-ryhmä sisältää 2 elementtiä: yksikön ( identiteettikartta ) ja kompleksikonjugoinnin .

Ominaisuudet ja niihin liittyvät määritelmät

Cayleyn lause: äärellisen ryhmän elementtien kertotaulukko muodostaa latinalaisen neliön [2] .

Äärillisen ryhmän G alkion g järjestys määritellään luonnolliseksi vähimmäisluvuksi m siten, että . Järjestys määritellään jokaiselle äärellisen ryhmän elementille. $g^{m}=1$

Lagrangen lause : äärellisen ryhmän minkä tahansa aliryhmän järjestys on ryhmän järjestyksen jakaja.

Seuraus 1: äärellisen ryhmän minkä tahansa alkion järjestys on ryhmän järjestyksen jakaja.
Seuraus 2: mikä tahansa alkio g kertaluvun n äärellisessä ryhmässä täyttää suhteen: Lukuteoriassa pelkistetylle jäännösjärjestelmälle tämä kaava antaa tärkeän Eulerin lauseen . $g^{n}=1.$
Seuraus 3: äärellisen ryhmän alkio g täyttää suhteen: jos ja vain jos luku on kertaluvun $g^{m}=1$ $m$ $g.$
Seuraus 4: Olkoon äärellisen ryhmän alkion g järjestys Tämän elementin kaksi potenssia ovat yhtä suuret: jos ja vain jos eksponentit ovat yhteneviä modulo $m.$ ${\displaystyle g^{i}=g^{k))$ $m:$

i\equiv k{\pmod {m}}

Osamäärää, jossa ryhmän järjestys jaetaan sen alaryhmän järjestyksellä, kutsutaan tämän alaryhmän indeksiksi ja sitä merkitään . Esimerkiksi yllä olevassa kvaternioniyksiköiden ryhmässä (asteen 8) on alaryhmä 2 ja indeksi 4 sekä alaryhmä 4 ja 2. $G$ $H$ $G:H$ $\{1;-1\}$ $\{1;-1;i;-i\}$

Cauchyn lause (1815): Jokaisella ryhmällä, jonka järjestys on jaollinen alkuluvulla , on järjestyselementti . $s$ $s$

Jos jokaista ryhmän järjestyksen jakajaa vastaa järjestyksen aliryhmä , niin ryhmää kutsutaan Lagrangialaiseksi . Kaikki ryhmät eivät ole Lagrangenia - esimerkiksi dodekaedrin rotaatioryhmän järjestys on 60, mutta sillä ei ole 15:n suuruisia alaryhmiä [3] . Riittävät ehdot tietyn kertaluvun aliryhmän olemassaololle (joillakin lisäoletuksilla) muodostavat Sylowin lauseet . Esimerkki Lagrangin ryhmästä on symmetrinen ryhmä . $k$ $k$ $S_4$

Cosets ja osamääräryhmä

Olkoon H aliryhmä, jonka kertaluku on n kertaluvun äärellisessä ryhmässä G. Käsittelemme elementtejä aliryhmän H suhteen vastaavina, jos sellaisia on olemassa , että on helppo tarkistaa, onko kyseessä ekvivalenssirelaatio ryhmässä G . Se jakaa ryhmän ei-päällekkäisiin ekvivalenssiluokkiin, joita kutsutaan (vasemmaksi) cosetiksi , jotka kaikki sisältävät m elementtiä, ja luokkien lukumäärä on yhtä suuri kuin aliryhmäindeksi. Jokainen elementti kuuluu kosetiin, jonka muodostavat kaikki mahdolliset g :n tulot ja alaryhmän H alkiot . $g,g'\in G$ $h\in H$ $g=g'h.$ $g\in G$ ${\bar {g}}=gH$

Jos alaryhmä H on normaalijakaja , niin ryhmäoperaatio voidaan siirtää kosettien joukkoon määrittämällä:

(g_{1}H)(g_{2}H)=(g_{1}g_{2})H

Tällaisen toimenpiteen tulos ei riipu edustajien valinnasta ja muuttaa kosettien joukon ryhmäksi, jota kutsutaan tekijäryhmäksi . Se on merkitty . Tekijäryhmän järjestys on yhtä suuri kuin vastaavan alaryhmän indeksi. $g_{1}g_{2}$ $G/H$

Luokitus

Tietyn tilauksen erillisten ryhmien lukumäärä

Tilaus	ryhmien määrä [4]	kommutatiivisia	ei-kommutatiivista
0	0	0	0
yksi	yksi	yksi	0
2	yksi	yksi	0
3	yksi	yksi	0
neljä	2	2	0
5	yksi	yksi	0
6	2	yksi	yksi
7	yksi	yksi	0
kahdeksan	5	3	2
9	2	2	0
kymmenen	2	yksi	yksi
yksitoista	yksi	yksi	0
12	5	2	3
13	yksi	yksi	0
neljätoista	2	yksi	yksi
viisitoista	yksi	yksi	0
16	neljätoista	5	9
17	yksi	yksi	0
kahdeksantoista	5	2	3
19	yksi	yksi	0
kaksikymmentä	5	2	3
21	2	yksi	yksi
22	2	yksi	yksi
23	yksi	yksi	0
24	viisitoista	3	12
25	2	2	0
26	2	yksi	yksi
27	5	3	2
28	neljä	2	2
29	yksi	yksi	0
kolmekymmentä	neljä	yksi	3

Äärilliset sykliset ryhmät

Yksinkertaisin rakenne on äärellisillä syklisillä ryhmillä , joiden kaikki elementit voidaan esittää jonkin kiinteän elementin peräkkäisinä potenssiina $a:$

1,a,a^{2},a^{3}\pisteet a^{{n-1}}\

( n on ryhmän järjestys).

Elementtiä a kutsutaan tietyn ryhmän generaattoriksi (tai antiderivaatiiviseksi ) ja itse luotua ryhmää merkitään $a,$ $\langle a\rangle .$

Ryhmän generoivana elementtinä ei voi toimia vain elementti, vaan myös sen asteet , joiden eksponentti on ryhmän järjestyksen mukainen. Tällaisten generaattoreiden lukumäärä luokkaa n olevalle ryhmälle on ( Euler-funktio ). Esimerkki: juuriryhmä yhtenäisyydestä . $\langle a\rangle$ $a,$ $a^{k},$ $k$ $\varphi (n)$

Mikä tahansa äärellinen syklinen järjestysryhmä on isomorfinen additiivisen jäännösluokkaryhmän kanssa . Tämä isomorfisten ryhmien luokka on yleensä merkitty . Tästä seuraa, että $n$ $\mathbb {Z} _{n}$ $C_{n}$

isomorfismiin asti on vain yksi rajallinen syklinen ryhmä tietyssä järjestyksessä.
sykliset ryhmät ovat aina kommutatiivisia ( Abelin ) ja Lagrangenia.
syklisellä ryhmällä on ei-triviaaleja aliryhmiä silloin ja vain, jos sen järjestys on yhdistelmäluku .
mikä tahansa syklisen ryhmän alaryhmä on myös syklinen. Mikä tahansa syklisen ryhmän G/H osamäärä on myös syklinen . Syklisen järjestyksen ryhmän erillisten alaryhmien määrä on yhtä suuri kuin luvun (positiivisten) jakajien määrä $n$ $n.$

Satunnaisen äärellisen ryhmän minkä tahansa elementin potenssit muodostavat generoidun syklisen aliryhmän (yksikölle tämä on triviaali aliryhmä , joka koostuu vain itse yksiköstä). Tämä aliryhmä sisältyy mihin tahansa muuhun aliryhmään, joka sisältää elementin . Järjestys on yhtä suuri kuin generoivan elementin järjestys Seuraus: järjestysryhmä on syklinen silloin ja vain, jos se sisältää saman luokan elementin $a$ $G$ $H$ $a$ $g,$ $a.$ $H$ $a.$ $n$ $n.$

Kaikki ryhmät, joiden järjestys on pienempi kuin 4, ovat syklisiä, joten niille ei ole olemassa kahta samaa kertaluokkaa olevaa ei-isomorfista ryhmää. Järjestyksen 1 ryhmä ( triviaali ryhmä ) sisältää vain identiteetin. Järjestyksen 2 ryhmä koostuu elementeistä (ja ); planimetriassa tällainen on esimerkiksi yksikkömuunnosten ryhmä (identtinen muunnos) ja peiliheijastus kiinteän suoran suhteen. Järjestyksen 3 ryhmä sisältää elementtejä ${\näyttötyyli \{1,a\))$ $a^{2}=1$ $\{1,a,a^{2}\}.$

Kaikki kommutatiiviset äärelliset ryhmät eivät ole syklisiä. Yksinkertaisin vastaesimerkki: Kleinin nelinkertainen ryhmä .

Ryhmät, joissa on ensisijainen järjestys (p-ryhmät)

Olkoon ryhmäjärjestys alkuluku p , niin seuraavat ominaisuudet ovat voimassa.

Ryhmä on syklinen .
Ryhmä on kommutatiivinen ( abelilainen ) ja nilpotentti .
Kaikki samaa luokkaa p olevat ryhmät ovat isomorfisia keskenään.

Yleisempi ja monimutkaisempi on tapaus, jossa ryhmän järjestys on alkuluvun potenssi; tällaisia ryhmiä kutsutaan yleisesti p-ryhmiksi .

Yksinkertaiset ryhmät

Äärillistä ryhmää kutsutaan yksinkertaiseksi, jos kaikki sen normaalit alaryhmät ovat triviaaleja (eli ne ovat yhteneväisiä joko identiteettialiryhmän tai koko ryhmän kanssa) [5] . Katso niiden yleinen luokittelu .

Kommutatiiviset (abelilaiset) ryhmät

Päälause ( Frobenius ): Jokainen kommutatiivinen äärellinen ryhmä voidaan esittää p-ryhmien suorana summana . Tämä on seurausta yleisestä lauseesta äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien rakenteesta sellaiselle tapaukselle, jossa ryhmässä ei ole äärettömän järjestyksen elementtejä.

Historia

Ensimmäiset rajallisten ryhmien tutkimukset ilmestyivät kauan ennen tämän termin ilmestymistä, ja ne koskivat tämän rakenteen erityisiä edustajia. Ensimmäistä kertaa tällainen tarve syntyi radikaalien ratkaistavuuden algebrallisten yhtälöiden tutkimuksessa , jota varten Larrange , Ruffini ja Abel tutkivat syvällisesti polynomijuurten permutaatioryhmiä . Vuonna 1771 Lagrange löysi lauseen syklisistä permutaatioryhmistä , joka on nimetty hänen mukaansa ja jolla on täysin yleinen luonne. Abel täydensi merkittävästi Lagrangen saavutuksia, ja koska hän selvensi kommutatiivisten permutaatioryhmien roolia tässä ongelmassa, tällaisia ryhmiä on sittemmin kutsuttu Abelilaisiksi. Cauchy osoitti vuonna 1815 , että jokaisella ryhmällä, jonka järjestys on jaollinen alkuluvulla p, on kertaluvun p elementti. Todistus oli luonteeltaan yleinen, vaikka Cauchy rajoittui myös permutaatioryhmään.

Toinen tulevaisuuden teorian kohde oli additiiviset jäännösryhmät . Leibniz tarkasteli yksinkertaisinta ei-triviaalista kahden elementin ryhmää , ja Euler ja Gauss antoivat mielekkään teorian tästä rakenteesta mielivaltaiselle moduulille .

Termi "ryhmä" esiintyi ensimmäisen kerran Galoisin teoksissa , joka myös tutki permutaatioryhmiä, mutta määritelmä annettiin melko yleisessä muodossa. Galois esitteli myös normaalin alaryhmän , osamääräryhmän ja ratkaistavan ryhmän peruskäsitteet .

Vuonna 1854 Cayley antoi ensimmäisen abstraktin määritelmän ryhmälle. Vuoden 1878 paperissa hän osoitti keskeisen lauseen mielivaltaisen äärellisen ryhmän esittämisestä permutaatioilla. Vuonna 1872 norjalainen matemaatikko Sylow sai kuuluisat tulokset maksimaalisista p-alaryhmistä, jotka ovat edelleen äärellisen ryhmäteorian perusta tähän päivään asti.

Merkittävän panoksen abstraktien äärellisten ryhmien teoriaan antoi myös Frobenius , jonka ansiosta äärelliset Abelin ryhmät kuvattiin täydellisesti ja luotiin teoria niiden matriisiesitystavoista. 1800-luvun loppuun mennessä äärellisiä ryhmiä sovellettiin menestyksekkäästi sekä matematiikassa että luonnontieteissä (esimerkiksi kristallografiassa ). 1900-luvun alussa Emmy Noetherin ja Artinin työ loi perustan modernille ryhmäteorialle.

Katso myös

Kirjallisuus

Vectomov E. M. Lagrangian ryhmistä. §yksi. Ryhmäteorian historiasta // Matematiikan ja matematiikan koulutuksen historiallisen ja tieteellisen tutkimuksen ongelmat: Kansainvälisen tieteellisen konferenssin aineistoa. - Perm: Permin osavaltio. Pedagoginen yliopisto, 2007. - S. 23-32 . .
Vinberg E. B. Algebra-kurssi. - 3. painos - M . : Factorial Press, 2002. - 544 s. — ISBN 5-88688-060-7 . .
Gorenstein D. Äärilliset yksinkertaiset ryhmät. Johdatus niiden luokitteluun. - M .: Mir, 1985.
Matemaattinen tietosanakirja (5 osassa) . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982.
Navarro, Joaquin. Katselasin läpi. Symmetria matematiikassa. — M .: De Agostini, 2014. — 160 s. — (Matematiikan maailma: 45 nidettä, nide 17). - ISBN 978-5-9774-0712-0 .
Hall M. Ryhmien teoria. M .: Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1962.

Linkit

Rajallinen ryhmä Wolfram Math Worldissä. (Englanti)

Muistiinpanot

↑ Mathematical Encyclopedia, 1982 , Volume 2. Finite group.
↑ Malykh A. E. Kirkman-ongelmasta ja sen kehityksestä 1800-luvun jälkipuoliskolla - 1900-luvun alkupuolella // Historiallisen ja tieteellisen tutkimuksen ongelmat matematiikan ja matemaattisen koulutuksen alalla: Kansainvälisen tieteellisen konferenssin julkaisuja, Perm, syyskuu 2007 .. - Perm : Permin osavaltio. Ped. Yliopisto, 2007. - S. 84. .
↑ Stuart, tammikuu Nykyajan matematiikan käsitteet. - Minsk: Higher School, 1980. - S. 133-134. — 384 s.
↑ Humphreys, John F. Ryhmäteorian kurssi . - Oxford University Press , 1996. - P. 238-242 . — ISBN 0198534590 .
↑ Mathematical Encyclopedia, 1982 , osa 4. Yksinkertainen ryhmä.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Britannica (verkossa) Universalis
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 11969510z J9U : 987007531228305171 LCCN : sh85048354 NDL : 00574433

Ryhmäteoria
Peruskonseptit	Alaryhmä Normaali alaryhmä Tekijäryhmä Työ suoraan puolisuorat vapaa
Algebralliset ominaisuudet	kommutatiivista ryhmää Syklinen ryhmä tilattu ryhmä Muuta ryhmää Ratkaistava ryhmä Schreierin Lemma Lagrangen lause Sylowin lauseet Yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelu
rajalliset ryhmät	Äärillinen syklinen ryhmä C n Symmetrinen ryhmä S n Dihedral ryhmä D n Vaihteleva ryhmä A n Kleinin neljän hengen ryhmä Mathieun ryhmät M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway-ryhmät Yhteistyö 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankon ryhmät J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Kalastajaryhmät F22 _ F 23 F24 _ Hirviö (M)
Topologiset ryhmät	Valheryhmät Ortogonaalinen ryhmä O(n) Erityinen ortogonaalinen ryhmä SO(n) Yhtenäinen ryhmä U(n) Erityinen yhtenäinen ryhmä SU(n) Symplektinen ryhmä Sp(n) Poikkeuksellisen yksinkertainen Lorentzin ryhmä Poincarén ryhmä
Algoritmit ryhmissä	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier-muunnos