Kuten muutkin taiteet , arkkitehtuuri käyttää matematiikkaa . Vaikka hylkäämme tämän tarpeen rakennuksen suunnittelussa , arkkitehdit eivät voi selviytyä ilman geometrian tuntemusta määrittäessään rakenteen tilamuotoa. Pythagoralaisuuden ajoista (VI vuosisata eKr.) arkkitehtonisten muotojen luomiseksi oli välttämätöntä noudattaa harmonian sääntöjä , eli rakennusten ja ympäröivän maiseman suunnittelu tapahtui matemaattisten ja esteettisten periaatteiden mukaan uskonnollisten periaatteiden ohella. . Matemaattisten esineiden kaltaisia elementtejä käytetään rakennusten verhouksissa, kuten päällystyksessä . Matemaattisia laskelmia tarvitaan myös ympäristötavoitteiden saavuttamiseksi, kuten tuulen nopeuden minimoimiseksi korkeiden rakennusten pohjan lähellä.
Muinaisessa Egyptissä , muinaisessa Kreikassa , Intiassa ja islamilaisessa maailmassa rakenteet, kuten pyramidit , temppelit , moskeijat , palatsit ja mausoleumit , suunniteltiin tietyissä mittasuhteissa uskonnollisista syistä [3] [4] . Islamilaisessa arkkitehtuurissa geometrisia muotoja ja geometrisia mosaiikkikoristeita käytettiin rakennusten verhoukseen sekä sisällä että ulkona [ 5] [6] . Joissakin hindupalatseissa on fraktaalimaisia rakenteita, joissa osa on kuin kokonaisuus edustaen äärettömyyttä hindukosmologiassa [2] [7] . Kiinalaisessa arkkitehtuurissa tulou ( Fujianin maakunta ) ovat pyöreitä kollektiivisen suojan rakenteita. 2000-luvulla matemaattisia koristeita alettiin jälleen käyttää julkisten rakennusten päällysteissä [8] [9] [10] [11] .
Renessanssin arkkitehtuurissa symmetrialla ja mittasuhteilla oli tärkeä rooli, ja niitä korostivat tuon ajan arkkitehdit. Tämä näkyy Leon Battista Albertin , Sebastiano Serlion ja Andrea Palladion teoksissa , jotka kaikki saivat vaikutteita Vitruviuksen tutkielmasta Ten Books on Architecture . 1800-luvun lopulla Vladimir Shukhov Venäjällä ja Antonio Gaudí Espanjassa aloittivat hyperboloidirakenteiden käytön [ 12] [13] [14] . Esimerkiksi Sagrada Familiaa suunniteltaessa Gaudi käytti hyperbolisia paraboloideja , mosaiikkeja , kaaria, joilla oli käänteinen ajojohdon ääriviiva , katenoideja , helikoideja ja viivapintoja [12] [13] [14] . 1900-luvulla arkkitehtoninen modernismi ja dekonstruktivismi käyttivät laajasti geometrisia muotoja suunniteltujen visuaalisten tehosteiden aikaansaamiseksi [15] [16] . "Minimipinnan" käsitettä käytettiin Denverin kansainvälisen lentokentän kupolin suunnittelussa vuorenhuippujen tai telttojen muodossa. Richard Buckminster Fuller oli edelläkävijä geodeettisina kupoleina tunnettujen vahvistettujen ohutseinäisten kuorien käytössä [17] .
Arkkitehdit Michael Oswald ja Kim Williams totesivat arkkitehtuurin ja matematiikan välistä suhdetta analysoidessaan , että nämä kaksi alaa ymmärretään yleensä löyhästi toisiinsa liittyviksi, koska arkkitehtuurilla tarkoitetaan rakennusten käytännön rakentamista, kun taas matematiikka on puhdasta teoriaa, jossa tutkitaan lukuja ja muita abstrakteja . esineitä [18] . Mutta kuten he väittävät, nämä kaksi aluetta ovat vahvasti yhteydessä toisiinsa, ja ne ovat olleet yhteydessä antiikista lähtien . Muinaisessa Roomassa Vitruvius kuvasi arkkitehtia henkilöksi, joka tunsi tarpeeksi muita tieteenaloja, pääasiassa geometriaa , jotta hän pystyi hallitsemaan muiden alojen taitavia käsityöläisiä , kuten muurareita ja puuseppiä [19] . Sama koskee keskiaikaa , jolloin korkeakouluista valmistuneille opetettiin aritmetiikkaa , geometriaa ja estetiikkaa sekä kieliopin, logiikan ja retoriikan peruskursseja ( trivium ) tyylikkäissä luokkahuoneissa, jotka rakensivat monia työntekijöitä valvoneet rakentajat. Ammattinsa huipulla oleville rakentajille annettiin arkkitehdin tai insinöörin arvonimi. Renessanssin aikana aritmetiikan, geometrian, musiikin ja tähtitieteen kvadriviumista tuli lisäohjelma, joka renessanssin ihmisten , kuten Leon Battista Albertin , piti tietää . Samoin Englannissa Sir Christopher Wren , joka nykyään tunnetaan arkkitehtina, oli alun perin kuuluisa tähtitieteilijä [20] .
William ja Ostwald, ajatellen matematiikan ja arkkitehtuurin myöhäistä vuorovaikutusta vuodesta 1500 lähtien, tunnistivat saksalaisen sosiologin Theodor Adornon lähestymistavan mukaan kolme arkkitehtuurin suuntausta: vallankumouksellinen , täysin uusia ideoita tarjoava, taantumuksellinen innovaatioita vastustava ja perinteitä elvyttävät taiteilijat . . itse asiassa menossa taaksepäin [21] . On väitetty, että arkkitehdit välttelivät matematiikan käyttöä inspiraationa perinteen elpyessä. Tämä saattaa selittää, miksi perinteiden, kuten uusgootiikan, elpymisen aikana 1800- luvun Englannissa, arkkitehtuurilla ei ollut juurikaan yhteyttä matematiikkaan. He huomasivat myös, että sellaisissa liikkeissä kuin italialainen manierismi noin 1520-1580 tai 1600-luvun barokin ja palladiolainen kausi, matematiikkaan kiinnitettiin vain vähän huomiota. Sitä vastoin 1900-luvun alkuvuosien vallankumoukselliset liikkeet, kuten futurismi ja konstruktivismi , hylkäsivät aktiivisesti vanhoja ideoita, käyttivät matematiikkaa ja johtivat modernismiin arkkitehtuurissa. 1900-luvun loppuun mennessä arkkitehdit omaksuivat nopeasti fraktaaligeometrian , samoin kuin ei- jaksolliset tessellaatiot , jotka mahdollistivat mielenkiintoisten ja houkuttelevien rakennusverhousten luomisen [8] .
Arkkitehdit käyttävät matematiikkaa useista syistä, jopa jättäen sivuun tarpeen käyttää matematiikkaa rakennussuunnittelussa [22] . Ensinnäkin he käyttävät geometriaa rakennuksen tilamuodon määrittämiseen [23] . Toiseksi he käyttävät matematiikkaa suunnitellakseen muotoja, joita pidetään kauniina tai harmonisina [24] . Pythagoralaisuuden ajoista lähtien uskonnollisella lukufilosofiallaan [25] antiikin Kreikan , antiikin Rooman , islamilaisen maailman ja italialaisen renessanssin arkkitehdit ovat valinneet rakennusympäristön - rakennusten ja niiden ympäristön - mittasuhteet esteettisen ja uskonnollisen mukaan. periaatteet [26] [27] [28] [5 ] . Kolmanneksi he voivat käyttää matemaattisia esineitä, kuten tessellaatioita , koristella rakennuksia [29] [30] . Neljänneksi he voivat käyttää matematiikkaa tietokonesimulaatioiden muodossa saavuttaakseen ympäristötavoitteita, kuten pyörteiden minimoimisen korkeiden rakennusten pohjan jalkalistalla [1] .
Vaikuttava antiikin roomalainen arkkitehti Vitruvius väitti, että rakennuksen, kuten temppelin , suunnittelu riippuu kahdesta ominaisuudesta: suhteesta ja symmetriasta . Mittasuhteet ovat vastuussa rakennuksen kunkin osan harmonisesta suhteesta kaikkiin muihin. Vitruviuksen ymmärtämä symmetria tarkoittaa jotain lähempänä modulaarisuutta kuin peilisymmetriaa , koska se viittaa (modulaaristen) osien yhdistämiseen yhdeksi rakenteeksi. Fanon basilika käyttää pienten kokonaislukujen suhteita, erityisesti kolmiolukuja (1, 3, 6, 10, …) (Vitruvian) moduulien rakenteen suhteina [a] . Siten basilikan leveys on suhteessa pituuteen 1:2, sitä ympäröivät navet ovat yhtä korkeita kuin leveys 1:1, pylväiden paksuus on viisi jalkaa ja korkeus viisikymmentä jalkaa, 1 :10 [26] .
Vitruvius nimesi tutkielmassaan Ten Books on Architecture (1400-luvulla eKr.) kolme arkkitehtuurilta vaadittavaa ominaisuutta: vahvuus, käytännöllisyys ja miellyttävä ulkonäkö. Näitä ominaisuuksia voidaan käyttää luokkina luokittelemaan tapoja, joilla matematiikkaa käytetään arkkitehtuurissa. Vahvuudella tarkoitetaan matematiikan käyttöä rakennusten vakavuuden varmistamisessa, sillä matemaattisilla työkaluilla suunnitellaan ja tuetaan rakenteita esimerkiksi vakavuuden ja laadukkaan mallintamisen varmistamiseksi. Käytännöllisyys saavutetaan osittain tehokkaalla matematiikan soveltamisella, perustelemalla ja analysoimalla tila- ja muita suhteita suunnittelussa. Miellyttävä näkymä on rakennuksen attribuutti, joka on rakennuksen matemaattisten suhteiden ruumiillistuma. Se sisältää estetiikkaa, aistillisia ja henkisiä ominaisuuksia [32] .
PantheonRooman vahingoittumaton Pantheon havainnollistaa roomalaisten rakennusten klassista rakennetta, mittasuhteita ja koristeita. Päärakenne on kupoli, jonka korkein kohta jätettiin auki pyöreänä okuluksena , joka päästi valon läpi. Julkisivulta katsottuna Pantheon on varustettu pylväikköllä, jossa on kolmion muotoinen päällystys. Silmän korkeus ja sisäympyrän halkaisija (43,3 metriä) täsmäävät niin, että sisäosa sopii täydellisesti kuutioon [33] . Nämä mitat ovat ymmärrettävämpiä, jos kiinnität huomiota muinaisten roomalaisten yksiköiden luetteloon (kupolin halkaisija on 150 roomalaista jalkaa [b] ). Oculus on halkaisijaltaan 30 roomalaista jalkaa ja oviaukko on 40 roomalaista jalkaa korkea . Pantheon on edelleen maailman suurin raudoittamaton betoniholvi [35] .
RevivalEnsimmäinen renessanssin arkkitehtuuria käsittelevä tutkielma oli Leon Battista Albertin (1450) tutkielma Rakentamisen taiteesta (Rakennustaiteesta). Vuonna 1485 julkaistu tutkielma oli ensimmäinen painettu arkkitehtuuria käsittelevä kirja. Se perustui osittain Vitruviuksen kymmeneen arkkitehtuuriin ja Pythagoraan aritmetiikkaan. Alberti aloittaa kuutiosta ja päättelee siitä mittasuhteet. Siten pinnan diagonaalit antavat suhteen 1:√2 ja kuution ympärille piirretyn pallon halkaisijan suhde on 1:√3 [36] [37] . Alberto kuvailee myös Filippo Brunelleschin löytöä lineaarisesta perspektiivistä , joka on kehitetty suunnittelemaan rakennuksia, jotka näyttävät melko verrannollisilta mukavalta etäisyydeltä katsottuna [5] .
Seuraava tärkeä teksti oli Sebastian Serlion kirja Regole generali d'architettura ( Arkkitehtuurin perussäännöt ). Kirjan ensimmäinen osa julkaistiin Venetsiassa vuonna 1537. Vuoden 1545 osa (kirjat 1 ja 2) kattaa geometrian ja perspektiivin . Molemmat Serlion näkökulman rakentamismenetelmät olivat virheellisiä, mutta tämä ei estänyt kirjan laajaa käyttöä [39] .
Vuonna 1570 Andrea Palladio julkaisi Venetsiassa arvovaltaisen I quattro libri dell'architetturan (Neljä kirjaa arkkitehtuurista) . Näitä kirjoja levitettiin laajasti ja edistettiin italialaisen renessanssin ideoita Euroopassa ideoiden kannattajien, kuten englantilaisen diplomaatin Henry Wottonin, joka julkaisi vuonna 1624 tutkielman Elements of Architecture [40] avustuksella . Kartanon jokaisen huoneen suhteet laskettiin käyttämällä yksinkertaisia matemaattisia suhteita, kuten 3:4 ja 4:5, ja talon eri huoneet suhteutettiin näillä suhteilla. Varhaiset arkkitehdit käyttivät näitä kaavoja tasapainottamaan julkisivun symmetriaa . Palladion projektit olivat kuitenkin pääsääntöisesti neliönmuotoisia kartanoita [41] . Palladio salli joukon suhteita Quattro-librissä sanoen [42] [43] :
Huoneita on seitsemän tyyppiä, kaunein ja mitoitettu. Ne ovat pyöreitä, vaikka ne ovat harvinaisia, neliömäisiä, tai niiden pituus on yhtä suuri kuin leveyden neliön lävistäjä, yksi kolmasosa leveä, puolikas leveä ja kaksi kolmasosaa leveä ja kaksi leveä. [c]
Vincenzo Scamozzi julkaisi vuonna 1615 teoksen L'Idea dell'Architettura Universale (Universaalin arkkitehtuurin idea) [44] . Hän yritti korreloida kaupunkien ja rakennusten suunnittelua Vitruviuksen , pythagoralaisten ja Palladion uudempien ajatusten kanssa [45] .
1800-lukuVladimir Shukhov alkoi käyttää hyperboloidisia rakenteita 1800-luvun lopulla mastoihin, majakoihin ja jäähdytystorneihin. Huolimatta materiaalin taloudellisesta käytöstä tuotannossa, Shukhovin mallit ovat melko kestäviä. Shukhovin ensimmäinen hyperboloiditorni esiteltiin näyttelyssä Nižni Novgorodissa vuonna 1896 [46] [47] [48] .
1900-luku1900-luvun alun liike " arkkitehtoninen modernismi ", joka sai alkunsa venäläisestä [d] konstruktivismista [49] , käytti euklidista geometriaa. De Stijl Society of Artists -liikkeessä vaaka- ja pystysuora nähdään osana maailmankaikkeutta. Arkkitehtoniset muodot koostuvat näiden kahden suunnan yhdistämisestä käyttämällä kattotasoja, seinätasoja ja parvekkeita, jotka joko menevät päällekkäin tai leikkaavat toisiaan, kuten Gerrit Rietveldin vuonna 1924 rakentamassa Schröderin talossa [50] .
Modernistiset arkkitehdit saivat vapaasti käyttää käyriä ja tasoja. Lontoon metroasemalla Charles Holdenin 1933 Grovessa on pyöreä tiililippuhalli, jossa on tasainen betonilattia . Bauhaus -taiteilija Laszlo Moholy-Nagy lainasi vuonna 1938 Raoul Heinrich Fransén seitsemän bioteknistä elementtiä : kristallin, , kartion , tason , (kuutio) nauhan, (sylinterimäisen) sauvan ja spiraalin perusrakennuspalikoihin. luonteeltaan [52] [53] .
Le Corbusier ehdotti antropometristä mitta- asteikkoa moduuliarkkitehtuurissa , ihmisen pituuteen perustuvaa mittajärjestelmää [54] . Notre-Dame-du-Hautin kirkko ( Le Corbusier , 1955) käyttää vapaamuotoisia käyriä, joita ei kuvata matemaattisilla kaavoilla [e] . Rakenteessa on vain suuret mittakaavat - pienempien asteikkojen hierarkiaa ei ole, eikä siten fraktaalimittoja. Sama pätee muihin kuuluisiin 1900-luvun rakennuksiin, kuten Sydneyn oopperataloon , Denverin kansainväliseen lentokentälle ja Bilbaon Guggenheim-museoon [15] .
Mielipiteet 2000-luvun arkkitehtuurista Vuoden 2010 World Architecture Survey -tutkimukseen osallistuneet 90 johtavaa arkkitehtia ovat erittäin jakautuneita. Frank Gehryn Bilbaon Guggenheim-museota pidetään parhaana .
Vuonna 1995 rakennetussa Denverin kansainvälisen lentokentän terminaalirakennuksessa on kangaskatto , joka on tuettu minimaalisessa pintatilassa (eli sen keskikaarevuus on nolla) teräskaapeleilla. Rakennus tuo mieleen Coloradon lumiset huiput ja Yhdysvaltojen alkuperäiskansojen tipi - teltat (jota usein kutsutaan virheellisesti wigwameiksi) [56] .
Arkkitehti Richard Buckminster Fuller tuli tunnetuksi vahvojen , ohutseinäisten rakenteiden rakentamisesta , jotka tunnetaan paremmin geodeettisina kupoleina. Montrealin Biosphere Dome on 61 metriä korkea ja 76 metriä halkaisijaltaan [17] .
Sydneyn oopperatalon katto koostuu kohoavista valkoisista holveista, jotka muistuttavat laivan purjeita. Vakiokomponenteista rakentamisen mahdollistamiseksi holvit koostuvat saman säteen omaavasta pallomaisen kuoren kolmiomaisista osista. Tämä vaati saman kaarevuuden säilyttämistä mihin tahansa suuntaan [57] .
1900-luvun lopun dekonstruktivismin liike luo tarkoituksellisen sotkun, jota Nikos Salingaros kutsuu kirjassaan A Theory of Architecture satunnaisiksi muodoiksi [58] , jotka ovat erittäin monimutkaisia [59] . Sotkua luovat ei-rinnakkaiset seinät, päällekkäiset ritilät ja monimutkaiset kaksiulotteiset pinnat, kuten Walt Disney Concert Hall (arkkitehti Frank Gehry ) ja Guggenheim-museo Bilbaossa [60] [61] . 1900-luvulle asti arkkitehtioppilaitosten opiskelijoilta vaadittiin matematiikan perusteiden opiskelua. Salingaros väittää, että ensimmäinen "karkeasti yksinkertaistettu, poliittisesti motivoitunut" modernismi ja myöhemmin "antitieteellinen" dekonstruktivismi erottivat arkkitehtuurin tehokkaasti matematiikasta. Hän on vakuuttunut siitä, että tämä "matemaattisten arvojen poistaminen" on kohtalokas, koska ei-matemaattisen arkkitehtuurin "kaikkialla läsnä oleva estetiikka" johtaa ihmiset "kaupungin ympäristössä olevan matemaattisen tiedon hylkäämiseen". Hän väittää, että tällä on kielteinen vaikutus yhteiskuntaan [15] .
New Materialality – Walter Gropius Bauhaus , Dessau , 1925
Cylinder - Lontoon metroasema Arnos Grovessa Charles Holden , 1933
Geodeettinen kupoli - Biosfääri Montrealissa , Richard Buckminster Fuller , 1967
Uniform Curvture - Sydneyn oopperatalo , 1973
Dekonstruktivismi - Walt Disney Concert Hall , Los Angeles, 2003
Muinaisen Egyptin pyramidit olivat hautoja , jotka rakennettiin tarkoituksella valituilla mittasuhteilla, mutta millä tarkalleen - ei ole vielä selvää. Etukulma on noin 51°85' ja vinon korkeuden suhde pohjan keskikohtaan on 1,619, mikä on 1 % vähemmän kuin kultaleikkaus . Jos tämä olisi laskentamenetelmä, se seuraisi Keplerin kolmion käyttöä (kulma 51°49') [62] [63] . On kuitenkin todennäköisempää, että pyramidin kaltevuus valittiin kolmion 3-4-5 (kulma 53°8') perusteella, joka tunnetaan Ahmesin papyruksesta (1650-1550 eKr.) tai kolmiosta, jonka kantasuhde hypotenuusaan on 1:4/π (kulma 51°50') [64] .
Usein mainitaan kolmion 3-4-5 käyttäminen suorien kulmien rakentamiseen, esimerkiksi pyramidin pohjan suunnitteluun, ja Pythagoraan lauseen implisiittistä tietämystä [3] . Tämän ehdotti ensimmäisenä historioitsija Moritz Benedikt Kantor vuonna 1882 [3] . Tiedetään, että suorat kulmat rakennettiin muinaisessa Egyptissä tarkasti [3] ja silloiset katsastajat käyttivät mittaamiseen köysiä, joissa oli solmua [3] . Jopa Plutarch kirjasi esseessä Isis ja Osiris (noin 100 jKr.), että egyptiläiset ihailivat kolmiota 3-4-5 [3] . Berliinin papyrus Keski- valtakunnasta (ennen vuotta 1700 eKr.) sanoo, että "neliö, jonka pinta-ala on 100, on sama kuin kahdella pienemmällä neliöllä. Toisen sivu on yhtä suuri kuin ½ + ¼ toisen sivusta” [4] . Matemaattinen historioitsija Roger L. Cook huomautti: "On vaikea kuvitella, että joku olisi kiinnostunut sellaisista asioista ja ei tietäisi Pythagoraan lausetta" [3] . Cook kuitenkin huomasi, ettei missään egyptiläisessä tekstissä ennen vuotta 300 eKr. mainita lauseen käyttämistä kolmion sivujen löytämiseen, ja on olemassa helpompi tapa muodostaa suora kulma. Cooke päättelee, että Cantorin ehdotus on edelleen kyseenalainen - hän ehdotti, että muinaiset egyptiläiset saattoivat tuntea Pythagoraan lauseen, mutta "ei ole todisteita siitä, että he olisivat käyttäneet sitä suorien kulmien rakentamiseen" [3] .
Muinainen IntiaTiede Vastu shastrasta , muinaisen Intian arkkitehtuuri- ja kaupunkisuunnittelusäännöistä , käytti symmetristä piirustusta, jota kutsutaan mandalaksi . Rakennusten ja niiden osien mitat määritettiin monimutkaisilla laskelmilla. Suunnittelu sisälsi arkkitehtuurin yhdistämisen luontoon, rakenteen erillisiin osiin ja muinaisiin uskomuksiin käyttämällä geometrisia ornamentteja ( yantras ), symmetriaa ja suuntaamista [65] [66] . Varhaiset rakentajat ovat kuitenkin saattaneet törmätä matemaattisiin mittasuhteisiin vahingossa. Matemaatikko Georges Ifrach huomautti, että yksinkertaisia "temppuja" köydellä ja paalulla voidaan käyttää geometristen kohteiden, kuten ellipsien ja suorien kulmien merkitsemiseen [5] [67] .
Fraktaalien matematiikkaa käytettiin luomaan rakennuksista yleismaailmallinen vetovoima, koska ne tarjosivat tarkkailijalle mittakaavan tunteen mistä tahansa etäisyydestä. Esimerkiksi hindutemppelien korkeissa gopuramissa , kuten 1600-luvulla rakennetussa Virupaksha - temppelissä Hampissa ja Khajurahon temppeliryhmän Kandarya Mahadevan temppelissä , joissa osilla ja kokonaisuudella on sama ominaisuudet, joiden fraktaalimitta vaihtelee välillä 1,7 - 1,8. Ryhmä pienempiä torneja ( shikhara ) korkeamman keskustornin ympärillä, joka edustaa pyhää Kailash-vuorta , Shivan jumaluuden asuinpaikkaa, ja se on kuvattu hindulaisen kosmologian universumien loputtomana toistona [2] [7] .
Madurain kaupungissa sijaitseva Meenakshi-temppeli on suuri kompleksi, jossa on monia hautoja ja katuja, jotka säteilevät samankeskisesti temppelistä Shastrasin mukaan . Neljä porttia ovat korkeita torneja ( gopuramia ), joissa on toistuva fraktaalimainen rakenne. Kunkin pyhäkön ympärillä olevat alueet ovat suorakaiteen muotoisia, ja niitä ympäröivät korkeat kiviseinät [68] .
Muinainen KreikkaPythagoras (569-475 eKr.) ja hänen seuraajansa, pythagoralaiset, uskoivat, että "kaikki on numeroita". He havaitsivat äänen tuottaman harmonian pienillä kokonaislukutaajuussuhteilla ja väittivät, että myös rakennukset pitäisi suunnitella samoilla suhteilla. Kreikan sana symmetria tarkoitti arkkitehtonisten muotojen harmoniaa tarkan kokosuhteen suhteen pienistä yksityiskohdista koko rakennukseen [5] .
Parthenon on 69,5 metriä pitkä, 30,9 metriä leveä ja 13,7 metriä korkea räystästään. Tämä antaa leveyden ja pituuden suhteen 4:9 ja saman korkeuden ja leveyden suhteen. Kun kaikki lasketaan yhteen, saadaan korkeus: leveys: pituus = 16:36:81, 4 2 :6 2 :9 2 . 4:9 suorakulmio voidaan rakentaa kolmeksi peräkkäiseksi suorakulmioksi, joiden kuvasuhde on 3:4. Puolet jokaisesta suorakulmiosta osoittautuu sitten tutuksi 3:4:5 suorakulmaiseksi kolmioksi, joka mahdollisti kulmien ja sivujen tarkistamisen sopivalla solmitulla köydellä. Vastaavasti sisäalueen ( naos ) suhde on 4:9 (21,44 metriä leveä ja 48,3 metriä pitkä). Ulkopylväiden halkaisijan (1,905 metriä) suhde niiden keskipisteiden väliseen etäisyyteen (4,293 metriä) on myös 4:9 [5] .
John Julius Narwichin kaltaiset kirjailijat pitävät Parthenonia "täydellisimpana Dorian temppelinä, joka on koskaan rakennettu" [69] . Temppelin taidokkaat arkkitehtoniset yksityiskohdat sisältävät "hieno vastaavuus stylobaatin kaarevuuden , kellon seinämien paksuuden tasaisen vaihtelun ja stobsien entaasin välillä" [69] . Entasis on hienovarainen pylväiden halkaisijan pienentäminen. Stylobaatti on alusta, jolla pylväät seisovat. Kuten muissakin klassisissa kreikkalaisissa temppeleissä [70] , alustalla on lievä parabolinen kaarevuus (pullistuma) sadeveden poistamiseksi ja rakennuksen vahvistamiseksi maanjäristyksen sattuessa. Tästä johtuen pylväät putoaisivat ulospäin, mutta todellisuudessa kallistuvat hieman sisäänpäin, joten jos niitä pidennetään ylöspäin, ne kohtaavat mailin rakennuksen yläpuolella. Koska ne ovat kaikki samankorkuisia, stylobaatin ulkoreunan kaarevuus heijastuu arkkiraaviin ja sen yläpuolella olevaan kattoon: "kaikki noudattaa sääntöä rakentaa hienovaraisia käyriä pitkin" [71] .
Kultainen leikkaus on tunnettu vuodesta 300 eKr., jolloin Eukleides kuvasi geometrisen rakentamisen menetelmän [72] . Hän väitti, että kultaista leikkausta käytettiin sekä Parthenonin ja muiden antiikin kreikkalaisten rakennusten suunnittelussa että veistoksissa, maalauksissa ja maljakoissa [73] . Uudemmat kirjoittajat, kuten Nikos Salingaros, kuitenkin epäilevät näitä väitteitä [74] . Tietojenkäsittelytieteilijä George Markowskin kokeet eivät löytäneet yhteyttä kultaiseen suorakulmioon [62] .
Islamilainen arkkitehtuuriIslamilainen taidehistorioitsija Antonio Fernandez-Puertas ehdotti, että Alhambran arkkitehtoninen ja puistokokonaisuus , kuten Córdoban katedraalin moskeija [75] , suunniteltiin käyttämällä espanjalais-muslimijalkaa (tai kodoa , noin 0,62 metriä). Palatsin leijonapihalla mittasuhteet ovat radikaaleja . Piha on suorakulmio, jonka sivut ovat 1 ja √2, ja sen lävistäjä on Pythagoraan lauseen mukaan √3. Sarja jatkuu √4:llä (antaen suhteen 1:2), √5:llä ja niin edelleen. Koristekuvioissa on samanlaiset mittasuhteet, √2 muodostaa neliöitä ympyröiden sisään ja kahdeksankulmaisia tähtiä, √3 muodostaa kuusikulmaisia tähtiä. Ei ole näyttöä kultaisen leikkauksen käytöstä Alhambran suunnittelussa [27] [76] . Leijonan sisäpihaa ympäröivät Kahden sisaren sali ja Abenserrachien sali. Näiden kahden hallin keskipisteistä ja leijonan pihan neljästä sisäkulmasta voidaan piirtää säännöllinen kuusikulmio [77] .
Mimar Sinan rakensi Selimiye-moskeijan Edirnen kaupungissa Turkissa siten, että mihrab voidaan nähdä mistä tahansa kohdasta rakennuksen sisällä. Erittäin suuri sisätila on muodoltaan kahdeksankulmio, joka muodostuu 8 valtavasta pilarista ja jota peittää pyöreä kupoli, jonka halkaisija on 31,25 metriä ja korkeus 43 metriä. Kahdeksankulmio on muodostettu neliön sisään, jossa on neljä puolikupolia ja neljä poikkeuksellisen korkeaa (83 metriä) minareettia. Rakennuksen pohjapiirros näyttää ympyrältä neliön sisällä olevan kahdeksankulmion sisällä [78] .
Mughal-arkkitehtuuriMughal-arkkitehtuurilla , joka näkyy hylätyssä keisarillisen Fatehpur Sikri -kaupungissa ja Taj Mahal -kompleksissa , on erottuva matemaattinen järjestely ja vahva estetiikka, joka perustuu symmetriaan ja harmoniaan [28] [79] .
Taj Mahal on esimerkki mongolien arkkitehtuurista, sekä edustaa paratiisia [80] että osoittaa koolla, symmetrialla ja kalliilla koristeluilla mongolien keisarin Shah Jahanin voiman . Valkoinen marmorimausoleumi , koristeltu firenzeläisillä mosaiikeilla , pääportti, rakennusten kokonaisuus, tuomioistuimet ja kulkutiet muodostavat yhden hierarkkisen rakenteen. Rakennukset, mukaan lukien moskeija , joka on valmistettu punaisesta hiekkakivestä lännessä ja lähes identtinen rakennus, Jawab, idässä, tukevat kompleksin kahdenvälistä symmetriaa. Charbakh (puutarha neljässä osassa) on neljä osaa, jotka symboloivat neljää paratiisin jokea, jotka heijastavat vedessä olevaa mausoleumia. Jokainen osa on jaettu 16 parteriin [81] .
Taj Mahal -kompleksi piirrettiin ruudukolle, joka oli jaettu pienempiin ruudukkoihin. Kompleksin leveys on 374 Mongolian jaardia tai zir [f] . Pääosa on kolme 374 jaardin neliötä. Ne jaettiin basaarien ja karavaaniseraisien paikoissa 17 zirin moduuleiksi. Puutarha ja terassit on jaettu 23 zirin moduuleiksi, 368 zirin leveiksi (16 x 23). Mausoleumi, moskeija ja guesthouse on piirretty 7 zirin ruudukkoon. Koch ja Barro huomasivat, että jos kompleksissa toistuvasti käytetyn kahdeksankulmion sivut ovat 7 yksikköä, niin sen leveys on 17 yksikköä [g] , mikä voi auttaa selittämään kompleksin suhteiden valinnan [82] .
Kristillinen arkkitehtuuriBysantin kaupungissa (nykyisin Istanbul ) sijaitseva Hagia Sofia , joka rakennettiin vuonna 537 (ja rakennettiin uudelleen kahdesti), oli tuhat vuotta [h] suurin katedraali. Hän kannusti rakentamaan monia myöhempiä rakennuksia, mukaan lukien Sultanahmetin moskeija ja muut kaupungin moskeijat. Bysanttilaiseen arkkitehtuuriin kuuluu kuisti , jonka päällä on pyöreä kupoli ja kaksi halkaisijaltaan (31 metriä) olevaa puolikupolia, joista viisi pienempää puolikupolia muodostavat apsiden ja neljä pyöreää kulmaa tilavassa suorakaiteen muotoisessa sisustuksessa [83] . Keskiaikaiset arkkitehdit tulkitsivat tämän esityksenä maallisesta alhaalta (neliöpohja) ja pyhästä taivaasta yläpuolella (ylöspäin suunnattu pallomainen kupoli) [84] . Keisari Justinianus I työskenteli arkkitehdeinä kaksi geometriä, Isidore of Miletus ja Anthemius of Thrallus . Isidore Miletoslainen keräsi Arkhimedesen teoksia stereometriasta , jolla oli suuri vaikutus häneen [5] [85] .
Vesikasteen merkitys kristinuskossa näkyi kastekappelin arkkitehtuurissa . Vanhin, vuonna 440 [86] rakennettu Rooman Lateraani kastekammio , loi suuntauksen kahdeksankulmaisille kastetuille. Näiden rakenteiden sisällä oleva fontti oli usein kahdeksankulmainen, vaikka Pisan suurin italialainen kastekappeli , rakennettu vuosina 1152–1363, on pyöreä ja siinä on kahdeksankulmainen säiliö. Kastekappelin korkeus on 54,86 metriä ja halkaisija 34,13 metriä (suhde 8:5) [87] . Ambrose of Milan kirjoitti, että tankeilla ja kastekameroilla oli kahdeksankulmainen muoto, "koska kahdeksantena päivänä [i] tapahtui ylösnousemus" [88] [89] . Aurelius Augustinus kuvailee kahdeksan päivää samalla tavalla "ikuisuudeksi... Kristuksen ylösnousemuksen pyhittämäksi" [89] [90] . Firenzen San Giovannin kahdeksankulmainen kastekappeli , joka on rakennettu vuosina 1059–1128, on yksi kaupungin vanhimmista rakennuksista ja yksi viimeisistä esimerkkeistä muinaisesta perinteestä. Kastekappelilla oli syvällinen vaikutus firenzeläisiin arkkitehdeihin, ja aikakauden suuret arkkitehdit, mukaan lukien Francesco Talenti , Alberti ja Filippo Brunelleschi , käyttivät sitä klassisen arkkitehtuurin mallina .
Numeroa viisi käytettiin "innokkaasti" [92] Pyhän Johannes Nepomukin kirkossa (1721) Zelena goran kaupungissa lähellä Zdar nad Sazavoua Tšekin tasavallassa, jonka suunnitteli Jan Blaža Santini-Aichl . Nave on ympyrän muotoinen, ja sitä ympäröivät viisi pylväsparia ja viisi soikeaa kupolia, joissa on teräväkärkiset apses . Kirkossa on viisi porttia, viisi kappelia , viisi alttaria ja viisi tähteä. Legenda väittää, että kun Johannes Nepomuk kuoli marttyyrikuoleman, hänen päänsä päälle ilmestyi viisi tähteä [92] [93] . Viisiosainen arkkitehtuuri voi myös symboloida Kristuksen viittä haavaa ja viittä kirjainta "Tacui" (latinaksi: "Olen vaiti" [ tunnustuksen salaisuuksista ]) [94] .
Antonio Gaudí käytti laajaa valikoimaa geometrisia rakenteita Sagrada Familiassa Barcelonassa , joka perustettiin vuonna 1882 (ja ei valmistunut vuoteen 2015 mennessä). Niihin kuuluvat hyperboliset paraboloidit ja hyperboloidit vallankumouksessa , [14] tessellaatiot, kaaret, joissa on taaksepäin suuntautuvan ajojohdon ääriviivat , katenoidit , helikoidit ja viivatut pinnat . Geometriavariaatioita yhdistellään eri tavoin kirkon ympärillä . Esimerkiksi Sagrada Familia -kirkon Kristuksen kärsimyksen julkisivulle Gaudi kokosi kiveä "oksat" hyperbolisten paraboloidien muodossa, jotka koskettavat kärjet ilman konvergenssia yhteen pisteeseen. Sen sijaan pylväikkössä on hyperboliset paraboloidipinnat, jotka yhdistävät sujuvasti muita rakenteita muodostaen irrotettuja pintoja. Gaudí käytti luonnollisia kuvioita , jotka ovat sinänsä matemaattisia, ja niissä oli puita muistuttavia pylväitä ja basaltista valmistettuja kammia , jotka luonnollisesti jakautuivat (sulan laavan jäähtyessä) kuusikulmaisiksi pylväiksi [12] [13] [14] .
San Franciscossa vuonna 1971 sijaitsevassa Pyhän Marian taivaaseenastumisen katedraalissa on harjakatto , joka koostuu kahdeksasta hyperbolisten paraboloidien segmentistä, jotka on järjestetty siten, että katon alemmat vaakasuorat osat ovat neliöitä ja ylemmät osat ristejä . Neliörakennuksen sivun pituus on 77,7 metriä ja korkeus 57,9 metriä [95] . Oscar Niemeyerin (1970) Brasilian katedraali käyttää hyperboloidirakennetta eri tavalla. Katedraali on rakennettu 16 identtisestä betonipalkista, joista kukin painaa 90 tonnia ja jotka on järjestetty ympyrään muodostamaan vallankumouksen hyperboloidin. Valkoiset säteet luovat muodon kuin kädet, jotka rukoilevat taivasta [96] [97] [98] [99] .
Jotkut keskiaikaiset kirkot Skandinaviassa ovat pyöreitä mukaan lukien neljä kirkkoa Tanskan Bornholmin saarella . Yhdessä vanhimmista, 1160 Esterlarin kirkosta on pyöreä nave rakennusta ympäröivien massiivisten kivipylväiden ympärillä, kaareilla lävistettynä ja freskoilla koristeltu. Pyöreässä rakenteessa on kolme kerrosta. Kirkko oli epäilemättä linnoitettu, ja ylempi kerros toimi puolustuksena [100] [101]
Hagia Sofian naveholvit , Istanbul, 562
San Giovannin kahdeksankulmainen kastekappeli , Firenze, valmistunut 1128
Viisinkertainen symmetria: arkkitehti Jan Santinin Pyhän Johannes Nepomukin kirkko Zelena Gorassa, 1721
Kristuksen kärsimyksen julkisivu Sagrada Familia arkkitehti Antoni Gaudí , Barcelona , perustettu vuonna 1882
Brasilian katedraali, arkkitehti Oscar Niemeyer , 1970
Pyhän Marian taivaaseenastumisen katedraali, San Francisco , 1971
Österlarin pyöreän kirkon keskuspylväs , Tanskassa
Islamilaiset rakennukset on usein koristeltu geometrisilla koristeilla , joissa käytetään yleensä keraamisista laatoista muodostettuja matemaattisia mosaiikkeja ( girih , zellige ), jotka voivat olla sileitä tai koristeltu raidoilla [5] . Islamilaisissa malleissa käytetään symmetrisiä hahmoja, kuten tähtiä, joissa on kuusi, kahdeksan tai kahdeksan kulman kerrannaisia. Jotkut niistä perustuvat Salomonin sinettiin, kahdeksankulmaiseen tähteen, joka koostuu kahdesta neliöstä, jotka on kierretty 45 astetta toisiinsa nähden [6] . Islamilaiset mallit käyttävät monia 17 mahdollisesta taustakuvaryhmästä . Vuonna 1944 Edith Müller osoitti, että Alhambra- yhtyeen sisustamiseen käytettiin 11 ryhmää tapetteja , ja vuonna 1986 Branko Grünbaum väitti löytäneensä 13 tapettia Alhambrasta, mutta väitti, että loput 4 ryhmää ei löytynyt mistään Islamilaiset koristeet [6] .
1900-luvun lopulla arkkitehdit alkoivat käyttää uusia matemaattisia rakenteita, kuten fraktaaligeometriaa ja aperiodisia tessellaatioita rakennusten verhoiluun [8] . Vuonna 1913 modernistinen arkkitehti Adolf Loz julisti pääkirjoituksessaan : "Ornamentti on rikos" [9] , joka vaikutti arkkitehtoniseen ajatteluun 1900-luvun loppuun asti. 2000-luvulla arkkitehdit alkoivat käyttää ornamenttia uudelleen , mutta 2000-luvun koristelu on hyvin erilaista. Vuoden 2011 Henning Larsen konserttitalo ja konferenssikeskus Reykjavikissa näyttää kristalliseinältä ja on tehty suurista lasilohkoista [9] . Vuonna 2010 valmistunut Ravensbourne College London on päällystetty 28 000 punaisen, valkoisen ja ruskean anodisoidulla alumiinilaatalla, jotka sitovat erikokoisia pyöreitä ikkunoita. Kannessa käytetään kolmenlaisia laattoja - tasasivuista kolmiota ja kahta epäsäännöllistä viisikulmiota [10] [11] [j] . Kanazawan kirjastossa (arkkitehdit Kazumi Kudo ja Hiroshi Horiba Coelacanth K&H Architectsista) on koristeellinen ristikko, joka on tehty pienistä pyöreistä lasipaloista, jotka on asetettu tasaisiin betoniseiniin [9] .
Ravensbourne College , Lontoo, 2010
Kirjasto Kanazawassa , Japani, 2011
Soumayan taidemuseo , Mexico City, 2011
Linnoitusarkkitehtuuri kehittyi 1400-luvun puolivälin ja 1800-luvun puolivälin välillä keskiaikaisista linnoituksista , joissa oli korkeat kiviseinät, matalaan, symmetriseen linnakejärjestelmään, joka pystyi kestämään tykistötulen . Tähden muodon geometrian saneli tarve estää kuolleita alueita, joille hyökkäävä jalkaväki voisi suojautua puolustavan puolen tulelta. Ulkonevien pisteiden sivut muodostivat kulman peittääkseen koko pinnan tulella ja sallivat ristitulen (molemmalta puolilta) jokaisesta ulkonevasta kohdasta. Tunnettuja arkkitehteja, jotka ovat kehittäneet tällaisen suojan, ovat Michelangelo , Baldassare Peruzzi , Vincenzo Scamozzi ja Sebastien Le Pretre de Vauban [102] [103] .
Arkkitehtuurihistorioitsija Siegfried Giedion sanoi , että tähtien muodossa olevilla linnoituksilla oli ihanteellisten kaupunkienrenessanssinratkaiseva vaikutus [104] .
Suunnitelma Coevordenin kaupungin linnoituksesta 1600-luvulla
Palmanova , Italia , venetsialainen kaupunki linnoitusjärjestelmällä . 17. vuosisata
Neuf-Briesach Alsace , yksi Vaubanin linnoituksista
1500 -luvulta peräisin olevassa kiinalaisessa arkkitehtuurissa Fujianin maakunnan tulou ovat pyöreitä julkisia suojarakenteita, joissa on yleensä kiinteät seinät ja yksi rautapäällysteinen puinen ovi. Seinät on myös peitetty katoilla, jotka ovat hieman kaltevia ulko- ja sisäsivuille muodostaen renkaan. Renkaan keskipiste on avoin kivetty sisäpiha, jossa usein seinä ympäröi jopa viisikerroksisia linnoitettuja gallerioita [105] .
Arkkitehdit voivat valita rakennuksen muodon myös ympäristösyistä [92] . Esimerkiksi Lontoon Foster and Partnersin Mary Axe -rakennus , joka tunnetaan kurkkumaisen muodostaan nimellä "The Gherkin", on vallankumous . Rakennus on suunniteltu tietokoneavusteisella suunnittelujärjestelmällä . Rakennuksen geometria ei valittu pelkästään esteettisistä syistä, vaan myös ilman pyörteiden minimoimiseksi rakennuksen pohjassa. Toisin kuin näennäisesti kaareva pinta, kaikki pinnan muodostavat lasit ovat litteitä lukuun ottamatta rakennuksen yläosassa olevaa linssiä. Suurin osa paneeleista on neliömäisiä, koska tämä mahdollistaa lasin leikkaamisen vähemmällä jätemäärällä [1] .
Persian perinteinen yakhchal (jääkuoppa) toimii haihdutusjäähdyttimenä . Pinnan yläpuolella rakenne on kupumainen, mutta siinä on maanalainen säilytystila jäälle ja joskus ruokaan. Maanalainen tila ja paksu, lämmönkestävä rakenne eristävät tilan ympäri vuoden. Sisätilaa jäähdytettiin usein tuulipyörillä . Jäätä oli saatavilla kesällä kylmän jälkiruoka falouden valmistukseen [106] .
Selitykset
Frode Ronning,. Islamilaiset mallit ja symmetriaryhmät. - Exeterin yliopisto, 2009.
| Teknisten tietojen visualisointi | |
|---|---|
| Alueet |
|
Kuvatyypit _ |
|
| Persoonallisuudet |
|
| Liittyvät alueet |
|