Solmuteoriassa Brunnin linkki on ei-triviaali linkki , joka hajoaa, kun jokin komponentti poistetaan. Toisin sanoen minkä tahansa (topologisen) renkaan leikkaaminen irrottaa kaikki muut renkaat (täten kahta renkaasta ei ole linkitetty, kuten Hopf-linkissä ).
Nimi brunnovo on annettu Hermann Brunnin kunniaksi , joka vuonna 1892 Über Verkettung -lehteä käsittelevässä artikkelissa antoi esimerkkejä tällaisista vaihteista.
Tunnetuin ja yksinkertaisin brunnilainen linkki on Borromean renkaat , kolmen renkaan linkki. Jokaiselle numerolle, alkaen kolmesta, on kuitenkin ääretön määrä Brunnilaisia linkkejä, jotka sisältävät tällaisen määrän renkaita. On olemassa useita suhteellisen yksinkertaisia kolmikomponenttisia linkkejä, jotka eivät vastaa Borromean renkaita:
Linkki, jossa on 12 risteystä.
Linkki 18 risteykseen.
Linkki, jossa on 24 risteystä.
Yksinkertaisin Brunnilainen linkki Borromean renkaita lukuun ottamatta (jossa on 6 leikkauskohtaa) näyttää olevan linkki L10a140 , jossa on 10 leikkauspistettä [1] .
Esimerkki n - komponenttisesta Brunni-linkistä on Brunnin "kumirengas" -linkki , jossa kukin komponentti kietoo edellisen kaaviossa aba −1 b −1 ja viimeinen rengas linkitetään ensimmäiseen muodostaen syklin .
John Milnor kuvailee brunnilaisia linkkejä homotopiaan saakka vuoden 1954 artikkelissa [2] , ja hänen esittämiä invariantteja kutsutaan nykyään Milnorin invarianteiksi .
( n + 1)-komponenttilinkki voidaan ymmärtää n linkittämättömän komponentin linkkiryhmän elementiksi (linkkiryhmä on tässä tapauksessa linkin en] peruskomplementtiryhmä ). n linkittämättömän komponentin linkkiryhmä on n generaattorin vapaa tulo , eli vapaa ryhmä F n .
Kaikki ryhmän F n elementit eivät luo Brunnin linkkiä. Milnor osoitti, että Brunni-linkkejä vastaava elementtiryhmä liittyy vapaan ryhmän alemman keskussarjan asteittaiseen Lie-algebraan , ja se voidaan ymmärtää "relaatioina" vapaassa Lie-algebrassa .
Brunnian linkit voidaan ymmärtää Massey-tuotteilla : Massey-tuote on n - termi tuote, joka määritellään vain, jos kaikki ( n − 1)-termituotteet katoavat. Tämä vastaa Brunnin linkkiominaisuutta, jossa kaikkia ( n − 1)-komponenttien joukkoja ei ole linkitetty, vaan kaikki n komponenttia yhdessä muodostavat ei-triviaalisen linkin.
Brunnian punos on punos, joka muuttuu triviaaliksi, kun jokin sen säikeistä poistetaan. Brunnilaiset punokset muodostavat alaryhmän punosryhmässä . Brunnilaiset punokset pallolla , jotka eivät ole brunnialaisia (litteällä) kiekolla , antavat ei-triviaaleja elementtejä pallon homotoopiaryhmiin. Esimerkiksi Borromean renkaita vastaava "standardi" punos antaa Hopf-kuidun S 3 → S 2 , ja tällaisen kudoksen jatkaminen antaa myös Brunnilaisen punoksen.
Monet irrotuspalapelit ja jotkut mekaaniset palapelit ovat muunnelmia Brunnian linkeistä, ja niiden tavoitteena on vapauttaa jokin elementti, joka on osittain yhteydessä muuhun palapeliin.
Brunn-ketjuja käytetään koristeellisten korujen luomiseen kumirenkaista käyttämällä laitteita, kuten Wonder Loom (tai sen Rainbow Loom -versio).