Jonesin polynomi

Jones -polynomi on polynomin solmuinvariantti , joka määrittää kullekin solmulle tai linkittää Laurentin polynomin muodollisessa muuttujassa kokonaislukukertoimilla. Vaughn Jonesin rakentama vuonna 1984 . $t^{{1/2}}$

Määritelmä Kauffmanin hakasulkeen kautta

Tietylle suunnatulle linkille määritetään apupolynomi: $L$

X(L)=(-A^{3})^{{-w(L)}}\langle L\rangle

missä on kaavion kierrenumero ja Kauffmanin hakasulke . Kierreluku määritellään erotuksena positiivisten risteysten lukumäärän ja negatiivisten risteytysten välillä , eikä se ole solmuinvariantti: sitä ei säilytetä tyypin I Reidemeister-muunnoksissa. $w(L)$ $L$ $\langle L\rangle$ $L_{{+}}$ $L_{{-}}$

$X(L)$ on solmuinvariantti, koska se on invariantti kaavion kaikissa kolmessa Reidemeister-muunnoksessa . Tyypin II ja III muunnosten invarianssi seuraa Kauffmanin hakasulkeen ja näiden muunnosten kierreluvun invarianssista. Sitä vastoin tyypin I muunnoksessa Kauffmanin hakasulke kerrotaan luvulla , mikä kompensoidaan täsmälleen +1 tai −1 muutoksella kierreluvussa . $L$ $-A^{{\pm 3}}$ $w(L)$

Jones-polynomi määritetään substituutiosta: $X(L)$

A=t^{{-1/4}}

tuloksena oleva lauseke on Laurentin polynomi muuttujassa . $t^{{1/2}}$

Määritelmä punosryhmien esityksissä

Jonesin alkuperäinen määritelmä käyttää operaattorialgebraa ja punoksen esitysjäljen käsitettä, joka syntyi tilastomekaniikasta ( Potts-malli ).

Alexanderin lause väittää, että mikä tahansa linkkion lankapunosten sulkeminen, tämän yhteydessä on mahdollista määritellälankojenpunosryhmänesitys Temperley-Lieb-algebralla kertoimillaja. Punosten standardigeneraattorion, missä ovat Temperley-Lieb-algebran standardigeneraattorit. Punossanalle, jossa onMarkovin jälki , tulos on, missähakasulkeinen polynomi. $L$ $n$ $\rho$ $B_{n}$ $n$ $TL_{n}$ $\mathbb {Z} [A,A^{-1}]$ $\delta =-A^{2}-A^{-2}$ $\sigma_i$ $A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1$ ${\displaystyle 1,e_{1},e_{2},...,e_{n-1))$ $\sigma$ $L$ $\sigma ^{n-1}tr\rho (\sigma )$ $tr$ $\langle L\rangle$ $\langle$ $\rangle$

Tämän lähestymistavan etuna on, että valitsemalla analogiset esitykset muissa algebroissa, kuten -matriisien esitys, voidaan päätyä Jonesin invarianttien yleistyksiin (esimerkiksi [1] Jones -rinnakkaispolynomin käsite ). $R$ $k$

Määritelmä vyyhtisuhteiden suhteen

Jones-polynomin määrittelee yksiselitteisesti se tosiasia, että se on yhtä suuri kuin 1 missä tahansa triviaalissa solmukaaviossa , ja seuraavalla ihorelaatiolla :

{\näyttötyyli (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-}) }

jossa , , ja ovat kolme suunnattua linkkikaaviota, jotka ovat yhtäpitäviä kaikkialla paitsi pienellä alueella, jossa niiden käyttäytyminen on vastaavasti positiivinen ja negatiivinen risteys ja tasainen kulku ilman yhteisiä pisteitä: $L_{{+}}$ $L_{{-}}$ $L_{{0}}$

Ominaisuudet

Jones-polynomilla on monia upeita ominaisuuksia [2] [3] .

Linkeissä, joissa on pariton määrä komponentteja (etenkin solmuille), kaikki Jones-polynomin muuttujan potenssit ovat kokonaislukuja ja linkeissä, joissa on parillinen määrä komponentteja, ne ovat puolikokonaislukuja. $t$

Solmujen yhdistetyn summan Jones-polynomi on yhtä suuri kuin termien Jones-polynomien tulo, eli:

V(L_{1}\#L_{2})=V(L_{1})V(L_{2})

Irrallisen solmusumman Jones-polynomi on:

V(L_{1}\cup L_{2})=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L_{1})V(L_{2})

Jones-polynomi linkin ja triviaalisen solmun liitosta on: $L$

V(L\cup O)=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L)

Suuntaiselle linkille, joka on saatu tietystä suunnatusta linkistä korvaamalla jonkin komponentin suunta vastakkaisella, meillä on: $L^{*_{k))$ $L$ $k$

V_{L^{*}}=t^{-3\cdot \lambda }\cdot V(L)

missä on komponentin linkityskerroin ja . $\lambda$ $k$ $Lk$

Jones-polynomi ei muutu, kun solmu käännetään, eli kun ohituksen suunta vaihtuu (orientaation muutos).

Linkin peilisymmetrisessä kuvassa on Jones-polynomi, joka saadaan korvaamalla ( ominaisuus on helppo tarkistaa Kauffmanin hakasulkeen määritelmän avulla). $t$ $t^{{-1}}$

Jos on solmu, niin: $K$

V_{K}(e^{2\pi i/3})=1

Jones-polynomin arvo linkille linkin komponenttien lukumäärän kanssa kohdassa 1: $L$ $s$

V_{L}(1)=(-2)^{p-1}

Torisen solmun Jones-polynomi : $(m,n)$

V(t)={\frac {t^{\frac {(m-1)\cdot (n-1)}{2}}\cdot (1-t^{m+1}-t^ {n+1}+t^{m+n})}{1-t^{2}}}

Avoimet numerot

Vuonna 2003 muodostettiin ei-triviaalilinkkien perhe, jonka Jones-polynomi on yhtä suuri kuin triviaalilinkin Jones-polynomi [4] , mutta ei tiedetä, onko olemassa ei-triviaalisolmua, jonka Jones-polynomi on sama kuin se. triviaalista solmusta. Vuonna 2017 rakennettiin ei-triviaalisten solmujen perhe leikkauspisteineen , joille Jones-polynomi on kongruentti yksikkömoduulin kanssa [5] . ${\näyttötyyli K_{r))$ $20\cdot 2^{r-1}+1$ $V(K_{r})$ $2^{r}$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Chern-Simonsin teoria kuvaa topologista järjestystä murto-osan kvantti Hall-ilmiön tiloissa. Matemaattisesta näkökulmasta Chern-Simonsin teoria on mielenkiintoinen, koska sen avulla voit laskea solmuinvariantteja, kuten Jones-polynomin.

Vuonna 2000 Mikhail Khovanov rakensi ketjukompleksin solmuille ja lenkeille ja osoitti, että tämän kompleksin homologia on solmuinvariantti ( Khovanov-homologia ). Tämä homologiateoria on Jones-polynomin luokittelu, eli Jones-polynomi on Euler-ominaisuus tälle homologialle.

HOMFLY-polynomi on samanlainen solmu- ja linkkiinvariantti.

Muistiinpanot

↑ Murakami J., Linkkien polynomimuuttujien rinnakkaisversio Arkistoitu 2. kesäkuuta 2016 Wayback Machinessa , Osaka J. Math., 1989.
↑ Jones, VFR, A polynomiaalinen invariantti solmuille von Neumann-algebroiden kautta Arkistoitu 19. tammikuuta 2022, Wayback Machine , Bull. amer. Matematiikka. Soc. 12:103-111, 1987.
↑ Duzhin S. V., Chmutov S. V. Solmut ja niiden muuttujat , Mat. Enlightenment, 1999, numero 3, 59-93.
↑ Eliahou S., Kauffman L., Thistlethwaite M. Infinite family of links with triviaal Jones polynomial, 2003. . Haettu 1. lokakuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 6. toukokuuta 2021. (määrätön)
↑ Eliahou S., Fromentin J. Merkittävä 20 risteyksen sotku, 2017. . Haettu 1. lokakuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 5. lokakuuta 2021. (määrätön)

Kirjallisuus

Prasolov V. V. , Sosinsky A. B. Solmut, linkit, punokset ja kolmiulotteiset jakoputket . - M .: MTSNMO , 1997. - ISBN 5-900916-10-3 .

Solmujen ja linkkien teoria
Hyperbolinen	Kahdeksan (4 1 ) Kolme puolikierrosta (5 2 ) Ahtaus (6 1 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick (8 18 ) Perco-pari (10 161 ) Pitsi (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Borromean renkaat (63 2) L10a140
satelliitti	Yhdiste ( vauva ) suoraan Solmujen summa
toric	Triviaali (0 1 ) Shamrock (3 1 ) Potentilla (5 1 ) Seitsemänlehtinen (7 1 ) Linkitetty (02 1) Hopf (22 1) Salomo (42 1)
Invariantit	vuorotellen Arfa invariant Siltojen määrä ( 2 siltaa ) Brunnian linkki Kiraalisuus ( palautuva ) Elokuvien määrä Risteysten lukumäärä Vasiliev invariantti Hyperbolinen tilavuus Khovanovin homologia Suku Solmuryhmä Vaihteistoryhmä Välityssuhde Polynomit ( Aleksanteri Kauffmanin kiinnike HOMFLY Jones Kaufman ) Pitsikihlausta Yksinkertainen solmu ( luettelo ) Segmenttien lukumäärä Trikolorivärien määrä Sidottamisen määrä ja tehtävä
Merkinnät ja operaatiot	Alexander-Briggin notaatio Conway-merkintä Docker-merkintä Mutaatio Reidemeister liike Skene suhde
Muut	Aleksanterin lause Bergen solmu punos teoria Conway-pallo Solmun valmistuminen Kaksoistorussolmu Kerroksellinen solmu Nauha Leikata Solmujen summa Taten hypoteeseja Kierretty Villi Kierrä numero Seifertin pinta