Joukon mitta

Joukon mitta on joukon numeerinen ominaisuus; intuitiivisesti se voidaan ymmärtää joukon massaksi, jolla on tietty massajakauma avaruuteen . Joukon suuren käsite syntyi reaalimuuttujan funktioteoriassa integraalin käsitteen kehittämisen aikana [1] .

Itse asiassa mitta on tietty numeerinen funktio , joka määrittää kullekin joukolle (tietystä joukkojen perheestä) jonkin ei-negatiivisen luvun. Sen lisäksi, että suurella funktiona on oltava ei-negatiivinen, sillä on oltava myös additiivisuuden ominaisuus – disjunktijoukkojen liiton suuren on oltava yhtä suuri kuin niiden mittojen summa . On huomattava, että jokainen joukko ei ole mitattavissa - jokaiselle suuren funktiolle tarkoitetaan yleensä tiettyä joukkojen perhettä (jota kutsutaan mitattavissa tietyn suuren suhteen), jolle mitta on olemassa.

Mitan erikoistapaus on osajoukkojen Lebesgue-mitta , joka yleistää tilavuuden , alueen tai pituuden käsitteen sellaisille joukkoille, jotka ovat yleisempiä kuin vain sileän pinnan rajoittamia. $\mathbb {R} ^{n}$ $(n=3)$ $(n=2)$ $(n=1)$

Määritelmät

Olkoon joukko jollakin erottuvalla osajoukkoluokalla , oletetaan, että tämä osajoukkojen luokka on joskus joukkojen rengas tai joukkojen algebra , yleisimmässä tapauksessa joukkojen puolijoukko . $X$ ${\mathcal {F}}$

Funktiota kutsutaan suureksi (joskus tilavuudeksi ), jos se täyttää seuraavat aksioomit: $\mu \colon {\mathcal {F}}\to [0,\;\infty ]$

$\mu (\varnothing )=0$ — tyhjän joukon mitta on nolla;
Kaikille ei-päällekkäisille sarjoille ${\näyttötyyli A,B\in {\mathcal {F)),}$ $A\cap B=\varnothing$ $\mu (A\kuppi B)=\mu (A)+\mu (B)$ — disjunktijoukkojen liiton mitta on yhtä suuri kuin näiden joukkojen mittojen summa ( additiivisuus, äärellinen additiivisuus ).

Ensimmäinen aksiooma on kätevä, mutta tietyssä mielessä redundantti: riittää oletus, että on olemassa ainakin yksi joukko, jolla on äärellinen mitta, josta seuraa, että tyhjän joukon mitta on yhtä suuri kuin nolla (muuten lisäämällä tyhjä joukko mihin tahansa äärellisen suuren joukkoon muuttaisi mittaa, vaikka joukko ei ole muuttunut).

Toisesta aksioomasta seuraa suoraan (joukkojen renkaan tapauksessa), että minkä tahansa äärellisen määrän epäyhtenäisten joukkojen liiton mitta on yhtä suuri kuin näiden joukkojen mittojen summa:

\ mu \ vasen (\ bigcup \ rajat _ {{i = 1}}^{n} a_ {i} \ oikea) = \ sum \ rajat _ {{i = 1}}^{n} \ mu (a_ {{ i})

Määriteltäessä joukkojen puolijoukkoja tämä äärellisen additiivisuuden ominaisuus otetaan yleensä toisen aksiooman sijasta, koska yleensä äärellinen additiivisuus ei seuraa parittaisesta additiivisuudesta [2] .

Läänsä additiivinen mitta

Suuren (äärellinen) additiivisuus ei yleensä tarkoita, että samanlainen ominaisuus pätee disjunktisten joukkojen laskettavalle liitolle. On olemassa erityinen tärkeä mittausluokka, jota kutsutaan countably additiivisiksi mittauksiksi.

Annetaan sarja , jolla on erotettu -algebra . $X$ $\sigma$ ${\mathcal {F}}$

Funktiota kutsutaan laskevasti additiiviseksi (tai -additiiviseksi ) suureksi , jos se täyttää seuraavat aksioomit: $\mu \colon {\mathcal {F}}\to [0,\;\infty ]$ $\sigma$

$\mu (\varnothing )=0.$
( -additiivisuus ) If on laskettava perhe pareittain disjunktoituja joukkoja kohteesta , eli , niin: $\sigma$ $\{E_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ $E_{i}\cap E_{j}=\varnothing ,\;i\neq j$

\mu \left(\bigcup \limits _{{n=1}}^{\infty }E_{n}\right)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }\mu ( E_{n})

Muistiinpanot

Ellei nimenomaisesti toisin mainita, yleensä viitataan laskettavaan summaavaan mittaan .
Ilmeisesti mikä tahansa laskettava additiivinen mitta on äärellisesti additiivinen, mutta ei päinvastoin.
Jos koko avaruuden mitta on äärellinen, eli , niin tällaista mittaa itseään kutsutaan äärelliseksi . Muuten mitta on ääretön . $\mu (X)<\infty$

Yleensä joukot, jotka ovat mitattavissa tietyn suuren suhteen, muodostavat oman alaluokkansa avaruuden kaikkien osajoukkojen luokassa . Ja vaikka on olemassa useita yleisiä järjestelmiä, jotka mahdollistavat mittausten laajentamisen suuriin mitattavissa olevien joukkojen luokkiin, joskus toimenpiteen laajentaminen on mahdollista vain alkuperäisen mittarin ainutlaatuisten ominaisuuksien menettämisen kustannuksella. Esimerkiksi Lebesguen mitta äärellisulotteisissa euklidisissa avaruksissa on invariantti tämän avaruuden liikkeiden alla. Mikä tahansa Lebesguen suuren laajennus euklidisen avaruuden kaikkien osajoukkojen luokkaan ei voi enää olla invariantti edes pelkkien siirtymien aikana (katso esimerkki mittaamattomasta joukosta ). Käytännön näkökulmasta katsottuna tällaiset jatkot menettävät kaiken arvon. $X$

Suoralla ja kaksiulotteisella tasolla on ääretön määrä Lebesguen suuren laajennuksia Borel -algebrasta kaikkien rajallisten osajoukkojen joukkoon, joka säilyttää suuren äärellisen additiivisuuden ja siten, että kongruentilla joukolla on sama mitta. Ulottuvuudesta 3 alkaen tämä on mahdotonta. $\sigma$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Triplaa kutsutaan väliavaruudeksi suurella, jos on olemassa mitattavissa oleva tila , ja se on sille määritetty mitta. $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$ $(X,\;{\mathcal {F}})$ $\ mu \ colon {\ Mathcal {f}} \ to \ Mathbb {r}$
Jos on todennäköisyysmitta , niin tällaista mittaavaruutta kutsutaan todennäköisyysavaruudeksi . $\mu$
Toimenpiteen tuki on pienin suljettu joukko , johon toimenpide on keskittynyt. Mittausväline on yleensä merkitty . Tarkemmin sanottuna se täydentää suurinta avointa joukkoa siten, että . $\mu$ $\operaattorin nimi {supp} (\mu )$ $\operaattorin nimi {supp} (\mu )$ $\Omega$ $\mu (\Omega )=0$

Ominaisuudet

Määritelmästä seuraa, että suurella on ainakin seuraavat ominaisuudet (oletetaan, että mitta on määritelty ainakin joukon puolikkaalla ):

Tyhjän joukon mitta on nolla $\mu (\varnothing )=0$
- Tämä ominaisuus joko oletetaan aksioomaksi suuren määrittelyssä tai oletetaan, että on olemassa ainakin yksi joukko, jonka mitta on äärellinen . Tästä seuraa suoraan, että tyhjän joukon suuren on oltava yhtä suuri kuin nolla (muuten tyhjän joukon lisääminen äärellisen suureen joukkoon kasvattaa tämän joukon mittaa, vaikka joukko ei muutu). Kaikkien joukkojen suuren äärettömyyden tapauksella ei ole mielenkiintoa eikä käytännön merkitystä. Siksi äärellisten mittajoukkojen olemassaolo oletetaan alusta alkaen.
- Joukon suuren yhtäläisyydestä nollaan ei yleensä seuraa, että tämä joukko olisi tyhjä. On tapana puhua nollamittajoukoista .

Monotonisuus - osajoukon mitta ei ole suurempi kuin itse joukon mitta $A\subseteq B\Rightarrow \mu (A)\leqslant \mu (B)$

Tämä on intuitiivinen ominaisuus - mitä "pienempi" sarja, sitä pienempi sen "koko".

Sisäkkäisten joukkojen eron mitta on yhtä suuri kuin näiden joukkojen mittojen ero $A \ subseTeq B \ oikeanrow \ mu (b \ backslash a) = \ mu (b)-\ mu (a)$

Kahden mielivaltaisen joukon liiton mitta on yhtä suuri kuin näiden joukkojen mittojen summa miinus niiden leikkauspisteen mitta (jos jälkimmäinen on määritelty): ${\ displayStyle \ mu (a \ cup b) = \ mu (a)+\ mu (b)-\ mu (a \ cap b)}}$ ( sisällytys-poissulkemiskaava )

Näin ollen

{\ displayStyle \ mu (a \ cup b) \ leqslant \ mu (a)+\ mu (b)}}

Läännöllisesti additiivisten mittausten ominaisuudet

Laskettavissa olevilla additiivisilla mitoilla on ilmoitettujen lisäksi myös seuraavat ominaisuudet.

Jatkuvuus: sisäkkäisten joukkojen äärettömän sarjan rajan mitta on yhtä suuri kuin näiden joukkojen mittasarjan raja: $A_ {1} \ supSeteq a_ {2} \ supSeeq a_ {3} ... \ supSeteq a = \ bigcap _ {{n = 1}}^{\ infty} a_ {n} \ oikeanpuoleinen \ lim _ {{n \rightarrow \infty }}\mu (A_{n})=\mu (A)$
- Tässä oletetaan, että ensimmäisen joukon mitta on äärellinen.
Tämä ominaisuus pätee myös "käänteiseen" sarjasekvenssiin $A_ {1} \ subseteq a_ {2} \ subseteq a_ {3} ... \ subseteq a = \ bigcup _ {{n = 1}}^{\ infty} a_ {n} \ oikeanrow \ lim _ {{n \rightarrow \infty }}\mu (A_{n})=\mu (A)$

Laskettava monotonisuus tarkoittaa, että laskettavan joukkojen liiton osajoukon mitta ei ole suurempi kuin näiden joukkojen mittojen summa: $A\subseteq \bigcup _{{i=1}}^{\infty }A_{i}\Rightarrow \mu (A)\leqslant \sum _{{i=1}}^{\infty }\mu (A_) {i})$

Esimerkkejä

Jordanin mitta on esimerkki äärettömän additiivisesta toimenpiteestä.
Lebesguen mitta on esimerkki laskettavasti additiivisesta suuresta.
Todennäköisyys on esimerkki äärellisestä suuresta.
Hausdorffin mitta
Borel-mitta
Haar mitta
Ultrasuodatin voidaan määritellä äärellisesti additiivinen mitta, jonka arvot ovat kaksielementtisarjassa $\{0,1\}$

Jatkuvat toimenpiteet

Usein on vaikeaa ja tarpeetonta määrittää jokaiselle suurelle eksplisiittisesti vastaava joukkojen sigma-algebra (rengas tai algebra), koska riittää, että määritetään mitta jollekin mitattavien joukkojen luokalle ja sitten käyttämällä standardimenettelyjä ( ja tunnetuissa olosuhteissa), jatka tämän luokan muodostamien joukkojen renkaaseen, algebraan tai sigma-algebraan.

Jatkoa puoliympyrästä

Mitattavien joukkojen luokan rakenteessa tulee olla joukkojen rengas (jos mitta on additiivinen) tai joukkojen sigma-algebra (jos mitta on laskettavasti additiivinen), mutta suuren määrittämiseen riittää molemmissa tapauksissa määritellä se joukkojen puolirenkaalla - sitten mittaa voidaan jatkaa ainutlaatuisella tavalla alkuperäisen puolisarjan sisältävien joukkojen minimirenkaaseen (minimaalinen sigma-algebra).

Olkoon mitattavien joukkojen alkuluokalla puolijoukkojen rakenne: se sisältää tyhjän joukon ja sallii mille tahansa joukolle A ja B niiden erosta äärellisen osion mitattavissa oleviin ryhmiin alkaen , eli on äärellinen joukko disjunktoituja joukkoja . sellasta ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ $C_{1},C_{2},...,C_{n}$ ${\mathcal {F}}_{0}$

A\setminus B=C_{1}\cup C_{2}\cup \dots \cup C_{n}

Antaa tarkoittaa kaikkien tarkasteltavana olevan avaruuden osajoukkojen luokkaa, jotka sallivat äärellisen osion joukoksi alkaen . Luokka on suljettu erotuksen, leikkauspisteen ja joukkojen liiton operaatioiden alla ja on siten joukko joukkoja, jotka sisältävät (ja ilmeisesti minimaalisen). Mikä tahansa lisätty toiminto voi ulottua yksiselitteisesti lisätoimintoon, jos ja vain, jos sen arvot ovat yhteensopivia . Tämä vaatimus tarkoittaa, että kaikille disjunktettujen joukkojen ja joukon kokoelmista , jos niiden liitto on sama, myös niiden mittojen summan on oltava sama: ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ $\mu$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ $B_ {1}, b_ {2}, ..., b_ {m}$ ${\mathcal {F}}_{0}$

Jos , niin .

\bigcup \limits _{{i=1}}^{{n}}A_{i}=\bigcup \limits _{{j=1}}^{{m}}B_{j}

\sum \limits _{{i=1}}^{{n}}\mu (A_{i})=\sum \limits _{{j=1}}^{{m}}\mu (B_{ j})

Esimerkki

Olkoon ja olkoon mitattavien joukkojen luokkia välilyönnillä ja joilla on puolirenkaan rakenne. Joukot muodolla missä muodostavat joukon puolijoukon avaruudessa . ${\mathcal {F}}_{1}$ ${\mathcal {F}}_{2}$ $X_{1}$ $X_{2}$ $A \ kertaa b$ $A\in {\mathcal {F}}_{1}$ $B \ in {\ matematiikka {f}} _ {2}$ ${\mathcal {F}}$ $X = x_ {1} \ kertaa x_ {2}$

Jos mitat ja annetaan kohdissa ja , niin yhtenäisyysvaatimuksen täyttämiselle määritellään additiivinen funktio . Sen laajennusta minimirenkaaseen, joka sisältää , kutsutaan mittojen suoraksi tuloksi ja ja sitä merkitään . Jos alkuperäiset suuret olivat sigma-additiivisia määrittelyalueillaan, niin mitta on myös sigma-additiivinen. Tätä mittaa käytetään useiden integraalien teoriassa (katso Fubinin lause ). ${\mathcal {F}}_{1}$ ${\mathcal {F}}_{2}$ $\mu_{1}$ $\mu_{2}$ ${\mathcal {F}}$ $\ mu (a \ kertaa b) = \ mu _ {1} (a) \ mu _ {2} (b)$ ${\mathcal {F}}$ $\mu_{1}$ $\mu_{2}$ $\mu =\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ $\mu$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Yksi käsitteen yleistämisen vaihtoehdoista on lataus , joka voi saada negatiivisia arvoja

Joskus mittaa pidetään mielivaltaisena äärellisesti additiivisena funktiona, jonka vaihteluväli on Abelin puoliryhmässä : laskettavasti additiiviselle suurelle arvojen luonnollinen alue on topologinen Abelin puoliryhmä ( topologiaa tarvitaan, jotta voidaan puhua laskettavan määrän mitattavia osia mittaussarjan konvergenssi, johon laskettavan additiivisuuden määritelmässä mitattavissa oleva joukko on jaettu). Esimerkki ei-numeerisesta suuresta on mitta, jolla on arvot lineaarisessa avaruudessa , erityisesti projektorin arvoinen mitta, joka liittyy spektrilauseen geometriseen muotoiluun .

Muistiinpanot

↑ Sazonov V.V. Joukon mitta // Mathematical Encyclopedia : [5 osassa] / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - S. 636. - 1184 jne. : sairas. - 150 000 kappaletta.
↑ Vastaesimerkki puolirenkaan tapaukselle: olkoon = , = , ja määritä funktio seuraavasti: , , , . On helppo nähdä, että parillinen additiivisuus ja puoliksi muodostuvat aksioomat pätevät tässä, mutta rajallista additiivisuutta ei ole. $X$ $\{1,2,3,4\}$ ${\mathcal {F}}$ $\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{1,2\},X\}$ $\mu$ $\mu (\varnothing )=0$ $\mu (\{1\})=\mu (\{2\})=\mu (\{3\})=\mu (\{4\})=1$ $\ mu (\ {1,2 \}) = 2$ $\ mu (x) = 3$

Kirjallisuus

Vulikh, B. Z. Lyhyt kurssi reaalimuuttujan funktioiden teoriasta (johdanto integraalin teoriaan). - M .: Nauka, 1973. - 352 s.
Khalmosh P. Mittojen teoria. - M .: Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo , 1953. - 282 s. http://icm.krasn.ru/refextra.php?id=3787 (kirja on bibliografinen harvinaisuus vuonna 2011)
A. N. Kolmogorov , S. V. Fomin Funktioteorian ja funktionaalisen analyysin elementit Nauka, 1976.
Bogachev V. I. Mittateorian perusteet, 2. painos, kahdessa osassa, Research Center Regular and Chaotic Dynamics, Moskova-Iževsk, 2006.
Bogachev V. I., Smolyanov O. G. Todellinen ja toiminnallinen analyysi. Julkaisijat: Research Center "Regular and Chaotic Dynamics", Institute for Computer Research, 2009. 724 s. ISBN 978-5-93972-742-6 .
Bogachev V.I., Gaussin toimenpiteet, Nauka, Moskova , 1997.
Bogachev V.I., Differentiable mittaus ja Mallyavin laskenta, Research Center Regular and Chaotic Dynamics, Moskova, 2008.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen Suuri Neuvostoliitto (1 painos) Britannica (verkossa) Universalis

Integraalilaskenta

Main

Riemannin integraalin yleistykset

Integraalit
muunnokset

Numeerinen
integrointi

mittateoria

liittyvät aiheet

Listat integraaleista