Laattojen korvaaminen on menetelmä mosaiikkien rakentamiseen . Mikä tärkeintä, jotkin laattojen substituutiot muodostavat aperiodisia laattoja , eli tessellaatioita, joiden prototiilit eivät muodosta rinnakkaiskäännöstä laatoitusta . Tunnetuimmat näistä ovat Penrose - laatat . Korvaavat laatoitukset ovat rajallisten alajakosääntöjen erikoistapauksia , joissa laattojen ei vaadita olevan geometrisesti samanlaisia.
Laattojen korvaaminen kuvataan prototiilien joukolla , laajennuskartoituksella ja jakosäännöllä , joka määrittää, kuinka laajennetut prototiilit jaetaan kopioiksi joistakin prototiileista . Laattojen iteratiivinen korvaaminen tuottaa tasoon laatoituksen, jota kutsutaan korvauslaatoitukseksi . Jotkut permutaatiolaatoitukset ovat jaksollisia , eli niillä on translaatiosymmetriaa . Ei-jaksollisista permutaatiolaatoituksista jotkut ovat jaksottaisia , mikä tarkoittaa, että niiden prototiileja ei voida sijoittaa jaksollisiksi laatoiksi.
Yksinkertainen esimerkki jaksollisen laatoituksen luomisesta yhdellä laatalla, nimittäin neliöllä:
Toistamalla tämä vaihto neliöruudukon peittää yhä suuremmat tason alueet. Monimutkaisempi esimerkki kahdesta protolaatasta on esitetty alla.
Voidaan intuitiivisesti ymmärtää, kuinka tämä menettely tuottaa korvauslaatoituksen koko tasolle . Matemaattinen määritelmä on annettu alla. Korvauslaatoitus on varsin hyödyllinen tapa määritellä ajoittainen laatoitus , jota tutkitaan monilla matematiikan aloilla , mukaan lukien automaatioteoria , kombinatoriikka , kombinatorinen geometria , dynaamiset järjestelmät , ryhmäteoria , harmoninen analyysi ja lukuteoria , puhumattakaan. alueet, joista nämä laatat ovat peräisin, kristallografia ja kemia . Erityisesti Penrose-laatoitus on esimerkki jaksoittaisesta permutaatiolaatoituksesta.
Vuosina 1973 ja 1974 Roger Penrose löysi jaksollisten laatoitusten perheen, jota nykyään kutsutaan Penrose -laatoiksi . Ensimmäinen löytö annettiin "yhdistelmäsäännöillä", joiden mukaan työskentely laattojen kanssa eteni samalla tavalla kuin mosaiikkikuvan palasilla . Todiste siitä, että näiden prototiilien kopiot voidaan liittää yhteen tasolaatoituksen muodostamiseksi , mutta että tämä laatoitus ei voi muodostaa jaksoittaista laatoitusta , käyttää rakennetta, jota voidaan pitää prototiilien korvaavana laatoituksena. Vuonna 1977 Robert Ammann löysi useita jaksollisia prototiileja, ts. prototiileja, joiden täsmäytyssäännöt johtavat ei-jaksollisiin laatoituksiin. Erityisesti hän löysi uudelleen ensimmäisen Penrose-esimerkin. Tämä työ vaikutti kristallografian alalla työskenteleviin tutkijoihin , mikä lopulta johti kvasikiteiden löytämiseen . Päinvastoin kiinnostus kvasikiteisiin on johtanut joidenkin hyvin järjestetyn aperiodisten tessellaatioiden löytämiseen. Monet niistä voidaan helposti kuvata korvaavaksi laatoitukseksi.
Tarkastellaan alueita , joissa on hyvin ehdollinen , siinä mielessä, että alue on ei-tyhjä kompakti osajoukko, joka on sen sisäosan sulkeminen .
Otetaan joukko alueita prototiileina. Protiilin sijainti on pari , jossa on isometria . Kuvaa kutsutaan isännöintialueeksi. Laatoitus T on joukko prototiilien sijoitusalueita, joissa prototiilien sisäosilla ei ole yhteisiä osia. Sanomme, että laatoitus T on W:n laatoitus, jos W on T :n vaihealueiden liitto .
Laattojen korvaamista kirjallisuudessa ei useinkaan ole tarkasti määritelty. Tarkka määritelmä on seuraava [1] .
Laattojen substituutio prototiileille P on pari , jossa on lineaarinen kuvaus , jonka kaikki ominaisarvot ovat suurempia kuin yksikkö absoluuttisena arvona, ja korvaussäännöt kartoitetaan ruutuun . Laattojen korvaaminen luo kuvauksen mistä tahansa alueen W ruudusta T alueen ruutuun
Huomaa, että prototiileja voidaan päätellä laattojen korvaamisesta. Siten niitä ei tarvitse sisällyttää laattojen korvauksiin [2] .
Mitä tahansa laatoitusta , jonka mikä tahansa äärellinen osa on yhdenmukainen joidenkin joukon osajoukon kanssa , kutsutaan korvauslaatoitukseksi (laattojen korvaamiseksi ).
geometriset mosaiikit | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Jaksottainen |
| ||||||||
jaksoton |
| ||||||||
Muut |
| ||||||||
Vertex- konfiguraation mukaan |
|