Laattojen vaihdot

Laattojen korvaaminen on menetelmä mosaiikkien rakentamiseen . Mikä tärkeintä, jotkin laattojen substituutiot muodostavat aperiodisia laattoja , eli tessellaatioita, joiden prototiilit eivät muodosta rinnakkaiskäännöstä laatoitusta . Tunnetuimmat näistä ovat Penrose - laatat . Korvaavat laatoitukset ovat rajallisten alajakosääntöjen erikoistapauksia , joissa laattojen ei vaadita olevan geometrisesti samanlaisia.

Johdanto

Laattojen korvaaminen kuvataan prototiilien joukolla , laajennuskartoituksella ja jakosäännöllä , joka määrittää, kuinka laajennetut prototiilit jaetaan kopioiksi joistakin prototiileista . Laattojen iteratiivinen korvaaminen tuottaa tasoon laatoituksen, jota kutsutaan korvauslaatoitukseksi . Jotkut permutaatiolaatoitukset ovat jaksollisia , eli niillä on translaatiosymmetriaa . Ei-jaksollisista permutaatiolaatoituksista jotkut ovat jaksottaisia , mikä tarkoittaa, että niiden prototiileja ei voida sijoittaa jaksollisiksi laatoiksi. ${\displaystyle T_{1},T_{2},\dots ,T_{m))$ $K$ ${\displaystyle QT_{i))$ $T_{j}$

Yksinkertainen esimerkki jaksollisen laatoituksen luomisesta yhdellä laatalla, nimittäin neliöllä:

Toistamalla tämä vaihto neliöruudukon peittää yhä suuremmat tason alueet. Monimutkaisempi esimerkki kahdesta protolaatasta on esitetty alla.

Voidaan intuitiivisesti ymmärtää, kuinka tämä menettely tuottaa korvauslaatoituksen koko tasolle . Matemaattinen määritelmä on annettu alla. Korvauslaatoitus on varsin hyödyllinen tapa määritellä ajoittainen laatoitus , jota tutkitaan monilla matematiikan aloilla , mukaan lukien automaatioteoria , kombinatoriikka , kombinatorinen geometria , dynaamiset järjestelmät , ryhmäteoria , harmoninen analyysi ja lukuteoria , puhumattakaan. alueet, joista nämä laatat ovat peräisin, kristallografia ja kemia . Erityisesti Penrose-laatoitus on esimerkki jaksoittaisesta permutaatiolaatoituksesta.

Historia

Vuosina 1973 ja 1974 Roger Penrose löysi jaksollisten laatoitusten perheen, jota nykyään kutsutaan Penrose -laatoiksi . Ensimmäinen löytö annettiin "yhdistelmäsäännöillä", joiden mukaan työskentely laattojen kanssa eteni samalla tavalla kuin mosaiikkikuvan palasilla . Todiste siitä, että näiden prototiilien kopiot voidaan liittää yhteen tasolaatoituksen muodostamiseksi , mutta että tämä laatoitus ei voi muodostaa jaksoittaista laatoitusta , käyttää rakennetta, jota voidaan pitää prototiilien korvaavana laatoituksena. Vuonna 1977 Robert Ammann löysi useita jaksollisia prototiileja, ts. prototiileja, joiden täsmäytyssäännöt johtavat ei-jaksollisiin laatoituksiin. Erityisesti hän löysi uudelleen ensimmäisen Penrose-esimerkin. Tämä työ vaikutti kristallografian alalla työskenteleviin tutkijoihin , mikä lopulta johti kvasikiteiden löytämiseen . Päinvastoin kiinnostus kvasikiteisiin on johtanut joidenkin hyvin järjestetyn aperiodisten tessellaatioiden löytämiseen. Monet niistä voidaan helposti kuvata korvaavaksi laatoitukseksi.

Matemaattinen määritelmä

Tarkastellaan alueita , joissa on hyvin ehdollinen , siinä mielessä, että alue on ei-tyhjä kompakti osajoukko, joka on sen sisäosan sulkeminen . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d))$

Otetaan joukko alueita prototiileina. Protiilin sijainti on pari , jossa on isometria . Kuvaa kutsutaan isännöintialueeksi. Laatoitus T on joukko prototiilien sijoitusalueita, joissa prototiilien sisäosilla ei ole yhteisiä osia. Sanomme, että laatoitus T on W:n laatoitus, jos W on T :n vaihealueiden liitto . $\mathbf {P} =\{T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}\}$ $T_{i}$ $(T_{i},\varphi )$ $\varphi$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d))$ $\varphi (T_{i})$

Laattojen korvaamista kirjallisuudessa ei useinkaan ole tarkasti määritelty. Tarkka määritelmä on seuraava [1] .

Laattojen substituutio prototiileille P on pari , jossa on lineaarinen kuvaus , jonka kaikki ominaisarvot ovat suurempia kuin yksikkö absoluuttisena arvona, ja korvaussäännöt kartoitetaan ruutuun . Laattojen korvaaminen luo kuvauksen mistä tahansa alueen W ruudusta T alueen ruutuun ${\näyttötyyli (Q,\sigma )}$ ${\displaystyle Q:{\mathbb {R} }^{d}\to {\mathbb {R} }^{d))$ $\sigma$ $T_{i}$ ${\displaystyle QT_{i))$ $\sigma$ $\sigma (\mathbf {T} )$ $Q_{\sigma }(\mathbf {W} )$

\sigma (\mathbf {T} )=\bigcup _{(T_{i},\varphi )\in \mathbf {T} }\{(T_{j},Q\circ \varphi \circ Q ^{-1}\circ \rho ):(T_{j},\rho )\in \sigma (T_{i})\}.

Huomaa, että prototiileja voidaan päätellä laattojen korvaamisesta. Siten niitä ei tarvitse sisällyttää laattojen korvauksiin [2] . ${\näyttötyyli (Q,\sigma )}$

Mitä tahansa laatoitusta , jonka mikä tahansa äärellinen osa on yhdenmukainen joidenkin joukon osajoukon kanssa , kutsutaan korvauslaatoitukseksi (laattojen korvaamiseksi ). ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d))$ $\sigma ^{k}(T_{i})$ ${\näyttötyyli (Q,\sigma )}$

Katso myös

Mosaiikki "Villipyörä"

Muistiinpanot

↑ Frettlöh, 2005 , s. 619-639.
↑ Vince, 2000 , s. 329-370.

Lue lisää lukemista varten

N. Pytheas Fogg. Substituutiot dynamiikassa, aritmetiikassa ja kombinatoriikassa / Toimittajat Berthé, Valérie; Ferenczi, Sebastien; Mauduit, Christian; Siegel, A.. - Berlin: Springer-Verlag , 2002. - T. 1794. - (Matematiikan luentomuistiinpanot). — ISBN 3-540-44141-7 .
D. Frettlöh. Korvausten synnyttämien mallijoukkojen kaksinaisuus // Romanian J. of Pure and Applied Math. - 2005. - Ongelma. 50 .
Vince A. Suunta matemaattisissa kvasikiteissä / M. Baake, R. V. Moody. - Providence: AMS, 2000. - Vol. 13. - (CRM Monograph series).

Linkit

Dirk Frettlöhin ja Edmund Harrissin Encyclopedia of Substitution Tilings

geometriset mosaiikit

Jaksottainen

Pythagoraan
Rombinen
Schwartzin kolmio
Suorakulmainen
- Domino
Viisikulmainen
Homogeeninen mosaiikki
Honeycombs
- Väritys
- Kupera
- Jaettu mosaiikki
Tasainen kristallografinen ryhmä
Wythoffin rakentaminen

jaksoton

Ammann-Binker
Ajoittainen sarja mosaiikkilaattoja
- Lista
Yksi laatta haaste
- Sokolara - Taylor
Gilbert
Penrose
väkkärä
Domed
Jakoiset ja itseliimautuvat sarjat
- Sfinksi
Truche

Muut

Ei -isoedrinen ja isohedraalinen
Arkkitehtoninen ja heijastava
Circle Limit III
Tietokonegrafiikka
hunajakennoja
Reuna transitiivinen
Paketti
Tehtävät
Mosaiikkilaatat
- Conwayn kriteeri
- Girih
Lentokoneen säännöllinen jako
Säännöllinen hila
Korvaukset
Voronoin kaavio
Foderberg

Vertex- konfiguraation mukaan

Pallomainen	2n _ 3 3 n V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _
Oikea	2∞ _ 3 6 4 4 6 3
puoliksi oikein	3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 .4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2 .∞ 4.6.12 4.8 2
Hyperbolinen _	3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 3 8 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3.4.6 2.4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3.7) 2 (3.8) 2 3.14 2 3.16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 4 5 4 6 4 7 4 8 4∞ _ (4.5) 2 (4.6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4.7) 2 (4.8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4.14 2 4.16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5.8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6.8) 2 6.8 2 6.10 2 6.12 2 6.16 2 7 3 74 _ 7 7 7.6 2 7.8 2 7.14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8.6 2 8.16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞.6 2 ∞.8 2