Johdannainen (matematiikka)

Johdannainen on matemaattinen peruskäsite , jota käytetään useissa muunnelmissa (yleistyksissä) monilla matematiikan aloilla. Se on differentiaalilaskennan perusrakenne , joka mahdollistaa monia yleistysten muunnelmia, joita käytetään laskennassa , differentiaalitopologiassa ja -geometriassa sekä algebrassa .

Yhteistä eri variaatioiden ja yleistysten välillä on se, että kartoituksen derivaatta luonnehtii kuvauksen kuvan muutosastetta argumentin (äärettömän) pienellä muutoksella. Tämän käsitteen sisältö määritellään tarkasteltavina olevista matemaattisista rakenteista riippuen.

Noin 20 yleistystä derivaatan käsitteestä tunnetaan vain topologisten lineaariavaruuksien tapauksessa. [yksi]

Yhden muuttujan funktion johdannainen

Perusmääritelmä

Funktion derivaatta pisteessä määritellään funktion lisäyksen ja argumentin lisäyksen suhteen rajaksi, koska argumentin inkrementti pyrkii nollaan: $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ $x_{0}$

f'(x_{0})=\lim _({\Delta x\rightarrow 0)){\frac {\Delta f}{\Delta x))

, missä .

\Delta x=x-x_{0},\ \Delta f=f(x)-f(x_{0})

Graafisesti tämä on tangentin kaltevuus funktiota edustavan käyrän pisteessä . $x_{0}$ $f(x)$

Riittävän pienille muutoksille argumenttiin yhtäläisyys pätee . Yleisessä tapauksessa juuri tämä määritelmän muoto otetaan pohjaksi johdannaisen käsitteen yleistämiselle. $dx$ $df=f'(x_{0})dx$

Yksipuoliset johdannaiset

Määritellään myös yksipuolisia johdannaisia, joissa käytetään yksipuolista ( vasenkätinen ja oikeakätinen ) rajaa vastaavan rajan sijaan. Oikeanpuoleinen johdannainen tai johdannainen oikealla on merkitty symboleilla . Vasemmanpuoleinen derivaatta tai johdannainen vasemmalla on merkitty symboleilla . Tavallinen derivaatta on olemassa silloin ja vain, jos yksipuolisia derivaattoja on yhtä suuri (niiden suuruus on sama kuin derivaatta). $f^{+}(x_{0}),\ f'_{+}(x_{0}),\ {\mathrm {D}}^{+}\!f(x_{0})$ $f^{-}(x_{0}),\ f'_{-}(x_{0}),\ \mathrm {D} ^{-}\!f(x_{0})$

Korkeampien tilausten johdannaiset

Koska yhden muuttujan funktion derivaatta on myös yhden muuttujan tietty funktio, voimme tarkastella derivaatan derivaatta - toista derivaataa ja yleensä minkä tahansa kertaluvun derivaatta (jokin luonnollinen luku). $n$

Useiden muuttujien funktioiden johdannaiset

Osittaiset johdannaiset

Useiden muuttujien funktioissa: Ensin määritetään ns. osittaiset derivaatat - derivaatat yhden muuttujan suhteen edellyttäen, että muiden muuttujien arvot ovat kiinteät: $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$

${\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial x^{i}}}=\lim _{x^{i}\rightarrow x_{0}^{i}}{ \frac {f(x^{1},...,x^{i},...,x^{n})-f(x_{0}^{1},...,x_{0 }^{i},...,x_{0}^{n})}{x^{i}-x_{0}^{i}}}$

Gradientti

Varsinainen derivaatta (ottaen huomioon muutokset muuttujien vektorissa kokonaisuutena, eli kaikki muuttujat) useiden muuttujien funktioiden tapauksessa on funktion ns. gradientti - vektori, jonka komponentit ovat osittaisia derivaattoja:

$f'(\mathbf {x} )=\mathbf {grad} f(\mathbf {x} )=\nabla f={\frac {df(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x } } }}=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},...,{\ frac {\partial f}{\partial x_{n))}\right)$

Analogisesti yhden muuttujan tapauksen kanssa, pienille muutoksille muuttujien vektorissa seuraava yhtäläisyys pätee: $d\mathbf {x} =(dx_{1},dx_{2},...,dx_{n})$ $\mathbf {x}$

$df({\mathbf {x}})=f'({\mathbf {x_{0}}})d{\mathbf {x}}=\sum _{{i=1}}^{n}{\ frac {\partial f}{\partial x^{i))}dx^{i}$

Suuntajohdannainen

Usean muuttujan funktioille voidaan määritellä suuntaderivaata eli olettaen, että muuttujat muuttuvat tiettyyn suuntaan. Funktion derivaatta vektorin suunnan suhteen määritellään seuraavasti: $f$ $\mathbf {e}$

$f'_{{\mathbf {e}}}({\mathbf {x}}_{0})=\lim _{{t\rightarrow 0}}{\frac {f({\mathbf {x}} _{0}+t{\mathbf {e}})-f({\mathbf {x}}_{0})}{t}}$

Jos suunta osuu yhteen jonkin koordinaattiakselin suunnan kanssa, niin tämän suunnan derivaatta on itse asiassa vastaava osaderivaata. Voidaan osoittaa, että suuntaderivaata on yhtä suuri kuin gradienttivektorin ja normalisoidun suuntavektorin pistetulo (eli yksikköpituinen suuntavektori, joka voidaan saada mistä tahansa suuntavektorista jakamalla sen pituudella): $\mathbf {e}$ $\mathbf {e}$

$f'_{{\mathbf {e}}}({\mathbf {x}}_{0})=(f'({\mathbf {x}}_{0}),{\mathbf {e}} )$

Korkeampien tilausten johdannaiset

Analogisesti yhden muuttujan funktioiden tapauksessa voidaan tarkastella mielivaltaisen järjestyksen osittaisia derivaattoja. Lisäksi tässä tapauksessa voit käyttää sekä samaa muuttujaa useita kertoja että useita muuttujia samanaikaisesti:

${\frac {\osittinen ^{k}f}{\osittinen x_{1}^{{k_{1}}}\osittainen x_{2}^{{k_{2}}},...,\osittainen x_{n}^{{k_{n}}}}}$ , missä $\sum k_{i}=k$

Toisen derivaatan analogi usean muuttujan funktion tapauksessa on toisten osittaisten derivaattojen matriisi - Hessin matriisi , joka on vektoriarvoisen funktion derivaatta (katso alla) - skalaarifunktion gradientti. Tämän matriisin elementit ovat toisia derivaattoja . ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\partial x^{j))}$

Yhteensä johdannainen

Monissa tapauksissa tulee tarpeelliseksi arvioida funktion riippuvuus tietyn muuttujan muutoksesta tilanteessa, jossa muut muuttujat muuttuvat tietyllä tavalla riippuen , eli tämän muuttujan muutos vaikuttaa funktion arvoon sekä suoraan (joka ilmaistaan osittaisella derivaatalla) ja epäsuorasti muiden muuttujien muutoksen kautta . Kokonaisvaikutus ilmaistaan kokonaisderivaattana : $f$ $x^{j}$ $x^{j}$ $f$

${\frac {df}{dx^{j}}}=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {\osittainen x^{i}}{\osittainen x^{j}}}$

Yleisessä tapauksessa voidaan tarkastella riippumattomien muuttujien liikerataa parametrisessa muodossa , jossa on jokin parametri (fysiikassa tämä on useimmiten aika). Sitten voimme tarkastella kokonaisjohdannaista tämän parametrin suhteen: $x^{i}(t)$ $t$

${\frac {df}{dt}}=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {dx^{ i}}{dt}}$

Tässä tapauksessa yksi muuttujista voi toimia parametrina . $t$ $x^i$

Lagrangen derivaatta ottaa huomioon muutokset, jotka johtuvat aikariippuvuudesta ja liikkeestä avaruudessa vektorikenttää pitkin.

Useiden muuttujien funktioiden joukko

Useiden muuttujien funktioiden joukko voidaan tulkita vektoriarvoiseksi funktioksi: . Tällaisen funktion derivaatta on ns. Jacobi-matriisi , jonka rivit ovat joukon muodostavien funktioiden gradientteja, eli -. rivin ja - :nnen sarakkeen elementti on yhtä suuri kuin osaderivaata. funktion muuttujan suhteen : $\mathbf {F}$ $f_{i}$ ${\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $J$ $f_{i}$ $\mathbf {F}$ $i$ $j$ $f_{i}$ $x^{j}$

$J_F=\mathbf{F}'(\mathbf{x}_0)=\left[\frac {\partial f_i}{\partial x^j}\right]$

Analogisesti skalaarifunktioiden kanssa, pienille muutoksille argumenttivektorissa yhtäläisyys on totta: $d{\mathbf {x}}$

$d{\mathbf {F}}={\mathbf {F}}'({\mathbf {x}}_{0})d{\mathbf {x}}$

Vektoriarvoisen funktion derivaatan erikoistapaus on jonkin skalaarifunktion gradientin derivaatta , koska gradientti on itse asiassa useiden osittaisten derivaattafunktioiden vektori. Tämä derivaatta, kuten edellä todettiin, on olennaisesti skalaarifunktion toinen derivaatta ja on matriisi tämän funktion toisen kertaluvun osittaisista derivaatoista - Hessenin matriisista ( ) tai Hessenin matriisista (Hessianista kutsutaan yleensä Hessenin determinantiksi matriisi). $f$ $H_{f}$

Johdannaiset mielivaltaisten lineaariavaruuksien kartoituksista

Alustava yleistys

Useiden muuttujien skalaarifunktiota käsiteltiin edellä muodollisesti vektorin funktiona, jonka komponentit ovat riippumattomia muuttujia. Yleisessä tapauksessa tulisi harkita skalaari- (numeerisia) funktioita mielivaltaisissa jonkin ulottuvuuden vektoriavaruuksissa . Sitten kussakin kiinteässä perustassa tällaista kartoitusta voidaan pitää useiden muuttujien funktiona. Siten kaikki edellä käsitellyt käsitteet voidaan tulkita johdannaisten koordinaattimääritelmiksi mielivaltaisen avaruuden kiinteälle kantalle (jolla on näihin tarkoituksiin riittävä topologinen rakenne). $f:X\rightarrow R$ $X$

Vastaavasti funktiojoukon arvoja pidettiin myös muodollisesti jonkin vektorin komponentteina, ja tätä funktiojoukkoa käsiteltiin (muodollisesti) kartoitus vektorista toiseen. Yleisessä tapauksessa kannattaa harkita kartoitusta mielivaltaisten vektoriavaruuksien välillä ja erikokoisten ja -luonteisten (joka on varustettu tarvittavalla topologisella rakenteella). Jos kiinnitämme kantaa molempiin tiloihin, tämä kuvaus on analoginen useiden edellä tarkasteltujen muuttujien funktioiden joukon kanssa. Siten kaikki vastaavat määritelmät tulkitaan yleisessä tapauksessa vastaavien tilojen kiinteiden kantakohtien alla olevien derivaattojen koordinaattimääritelmäksi. $F:X\nuoli oikealle Y$ $X$ $Y$

Tämä tulkinta tarkoittaa samalla, että huolimatta siitä, että derivaattojen koordinaattiesitys riippuu kannasta (ne muuttuvat siirtyessään kannasta toiseen), itse derivaatan käsitteet eivät saisi olla riippuvaisia kantavalinnasta. Siksi johdannaisille tarvitaan yleisesti ottaen yleisempiä määritelmiä, jotka eivät liity suoraan kantan valintaan ja niiden koordinaattiesitykseen. Lisäksi nämä määritelmät yleistyvät äärettömän ulottuvuuden avaruuteen, jota käytetään esimerkiksi funktionaalisessa analyysissä ja variaatioiden laskennassa.

Gateau-johdannainen

Melko yleistä derivaatan käsitettä tarkastellaan funktionaalisessa analyysissä , jossa suuntaderivaatan käsite yleistetään mielivaltaisiin lokaalikonveksiin topologisiin vektoriavaruuksiin . Vastaavaa derivaatta kutsutaan yleensä Gateaux-derivaatta tai heikko derivaatta. Gateaux-derivaatan määritelmä on olennaisesti sama kuin suuntaderivaatta useiden muuttujien funktiolle:

$f'_{{e}}({x}_{0})=\lim _{{t\rightarrow 0}}{\frac {f({x}_{0}+t{e})-f ({x}_{0})}{t}}$

Fréchet-johdannainen

Banach-avaruuksien tapauksessa määritellään Fréchetin derivaatta tai vahva derivaatta . Kuvauksen Fréchet-derivaata on sellainen lineaarinen operaattori , jolle pätee seuraava yhtäläisyys: $F:X\nuoli oikealle Y$ $F'$

$\lim _{{||h||_{X}\rightarrow 0}}{\frac {||F(x+h)-F(x)-F'(x)h||_{Y}} {||h||_{X}}}=0$ ,

Tämä tarkoittaa, että riittävän pienillä (avaruuden normin mukaan ) muutoksilla argumentissa muutos konvergoi (avaruuden Y normin mukaan) arvoon , joka voidaan kirjoittaa muodollisesti yhtäläiseksi: $X$ $dx$ $x$ $dF$ $F'(x)dx$

d F ( x ) = F ′ ( x ) d x {\displaystyle dF(x)=F'(x)dx} $dF(x)=F'(x)dx$

Jos tämä derivaatta on olemassa, se on sama kuin Gateaux-derivaata. Äärillisulotteisten avaruuksien kohdalla koordinaatistossa on Jacobian matriisi, ja jos , niin on skalaarifunktion gradientti. $F'(x)$ $Y=R$

Variaatioderivaata

Variaatiolaskelmassa , jossa integraalifunktioita tarkastellaan funktioiden avaruudessa, jossa skalaaritulo otetaan käyttöön (funktioparin integraalin muodossa), variaatioderivaatta , jota kutsutaan myös funktionaaliseksi derivaatiksi , on esiteltiin . Funktionin variaatioderivaata on funktio (yleensä yleistetty funktio ) , jolle funktion pienellä vaihtelulla pätee seuraava yhtäläisyys: $F(f)$ $\delta F/\delta f$ $\delta f$ $f$

δ F = F ( f + δ f ) − F ( f ) = ( δ F / δ f , δ f ) = ∫ δ F ( f ( x ) ) δ f δ f ( x ) d x {\displaystyle \delta F=F(f+\delta f)-F(f)=(\delta F/\delta f,\delta f)=\int {\frac {\delta F(f(x))} {\delta f}}\delta f(x)dx} $\delta F=F(f+\delta f)-F(f)=(\delta F/\delta f,\delta f)=\int {\frac {\delta F(f(x))} {\delta f}}\delta f(x)dx$

Voidaan osoittaa, että pohjimmiltaan variaatioderivaata on Fréchet-derivaata.

Johdannainen suhteessa mittaan

Mittateoriassa Radon-Nikodimin derivaatta yleistää jakobilaisen , jota käytetään muuttujien mittaamiseen. Se ilmaisee yhden toimenpiteen toisella toimenpiteellä (tietyin edellytyksin). $\mu$ $\nu$

Derivaata mahdollistaa myös yleistykset jakaumien avaruuteen käyttämällä osien integrointia sopivassa hyvin järjestetyssä aliavaruudessa.

Differentiaalioperaattorit äärellisulotteisissa avaruudessa

1. Vektoriarvoisten funktioiden ( vektorikenttien ) ero (divergenssi) äärellisulotteisessa avaruudessa antaa mittarin siitä, kuinka vahva "lähde" tai "nielu" on tässä kohdassa. Sitä voidaan käyttää virtauksen laskemiseen divergenssilauseen avulla . Koordinaattiesityksessä (korteesisissa koordinaateissa) ero on $F:X\nuoli oikealle X$ $X$

$\operatorname {div}{\mathbf {F}}=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial F_{{x^{i}}}}{\partial x^{ minä}}}$

2. Kolmiulotteisen avaruuden vektorikenttien roottori mittaa vektorikentän "kiertoa" tässä pisteessä. Koordinaateissa (korteesisissa koordinaateissa) on: $\mathbb {R} ^{3}$ $\operaattorinnimi {rot} \mathbf {F} =\operaattorinnimi {rot} \;(F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y }+F_{z}\mathbf {e} _{z})=\left({\frac {\partial F_{z)){\partial y))-{\frac {\partial F_{y)){ \partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}} {\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x} }{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}.$

( F on vektorikenttä, jossa on suorakulmaisia komponentteja ja ovat suorakulmaisten koordinaattien ortteja ) ${\näyttötyyli (F_{x},F_{y},F_{z})}$ $\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z$

3. Laplalainen on skalaarifunktion (skalaarikentän) gradientin divergenssi (divergenssi) äärellisulotteisessa avaruudessa. Usein merkitty tai . Koordinaateissa (korteesisissa koordinaateissa) on: $\Delta$ $\nabla ^{2}$

$\operaattorinimi {div}\operaattorinimi {grad}f=\Delta f=\nabla ^{2}f=\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {\partial ^{2}f} {\osittainen x_{i}^{2))}$

4. D'Alembertian - määritelty samalla tavalla kuin laplalainen, mutta käyttämällä Minkowskin avaruusmetriikkaa euklidisen avaruusmetriikan sijaan . Fysiikassa sitä pidetään neliulotteisen aika-avaruuden osalta. Koordinaateissa (korteesisissa koordinaateissa) on:

\square f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2))}+ {\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{ \osittainen t^{2}}}.

Johdannaiset differentiaalitopologiassa, geometriassa ja tensorianalyysissä

Tangenttivektori ja tangenttikartoitus

Differentiaalitopologiassa tasaisen jakosarjan ( jäljempänä vain jako ja vain funktio) sileitä skalaarifunktioita varten otetaan käyttöön tangenttivektorin käsite pisteessä . Nämä funktiot muodostavat algebran pisteittäisten yhteen-, kerto- ja kertolaskuoperaatioiden alla. Tangenttivektori määritellään tällaisten funktioiden algebran lineaarifunktioksi, joka täyttää Leibnizin säännön . Monille, jotka ovat osajoukkoja , tämä tangenttivektori on analoginen suunnatun derivaatan kanssa edellä määritellyssä kohdassa. $f:M\rightarrow R$ $M$ $p\in M$ $\mathbb {R} ^{n}$

Lineaarinen operaattori funktioiden algebralla, joka täyttää Leibnizin säännön, on itse asiassa näiden funktioiden algebran johdannainen ja itse asiassa määrittää skalaarifunktioiden derivaatan. Tällaiset skalaarifunktioiden algebran lineaariset operaattorit muodostavat monistossa vektorikentän. Tämä vektorikenttä voidaan myös määritellä kuvaukseksi, joka määrittää moniston jokaiselle pisteelle tangenttivektorin kyseiselle pisteelle.

Kaikkien moniston tietyn pisteen tangenttivektorien joukko muodostaa tietyn pisteen tangenttiavaruuden . $T_{p}M$

Mielivaltaisten mittojen omaavien monisarjojen tasaisissa kartoituksissa pisteen differentiaali on lineaarinen operaattori , joka mille tahansa tangenttivektorille koostuu funktion erottamisesta mielivaltaiselle numeeriselle funktiolle f monistossa N. $F\colon M\to N$ $p\in M$ $d_{p}F:T_{p}M\rightarrow T_{F(p)}N$ $X\in T_{p}M$ $g(p)=f(F(p))$

Koordinaattiesityksessä differentiaali on Jacobin matriisi . Tangenttiavaruuksien kantakohdat määritellään pisteen p koordinaattiesityksen numeeristen funktioiden osittaisina derivaattaina. $\left\{{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}\right\}$

Kaikkien jakosarjan pisteiden kaikkien tangenttiavaruuksien (jota pidetään disjunktijoukkoina) liittoa kutsutaan jakosarjan tangenttikimpuksi (sillä on mitta 2n, koska tangenttikimppu on pohjimmiltaan joukko pareja - piste ja tangenttivektori se). Tarkemmin sanottuna tangenttikimppu on avaruuden TM kartoitus monistoon M. Tangenttikuvaus ( eng. pushforward ) on jakobilaisen käsitteen yleistys ja vaikuttaa monijohtimien tangenttikimppuihin: . Tangentin näyttöargumentit ovat piste ja vektori . Kiinteälle pisteelle kartoitus on edellä oleva differentiaali pisteessä - lineaarinen kartoitus tangentiavaruudesta tangentiavaruuteen . $TM$ $dF\colon \,TM\to TN$ $p\in M$ $\xi \inTM$ $p\in M$ $dF(x,\cdot )\colon \,T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N$ $T_{p}$ $T_{F(p)}N$

Moniston vektorikenttä on moniston M kartoitus TM:hen, toisin sanoen kenttä, joka osoittaa jokaiselle moniston pisteelle tangenttivektorin tähän pisteeseen. Vektorikenttää voidaan pitää tangenttikipun osana - M:n kartoitus TM:hen. Vektorikenttiä voidaan pitää myös funktioalgebran johdannaisina, jotka kuvaavat algebran jokaisen funktion saman algebran toiseen funktioon. Tämä on lineaarinen kartoitus, joka täyttää Leibnizin säännön.

Riemannin monistoja varten skalaarifunktion f gradientti määritellään tangenttiavaruusvektoriksi siten, että mille tahansa tangenttivektorille X funktion differentiaali on yhtä suuri kuin skalaaritulo . Koordinaattiesityksessä tämä on avaruusmetriikan konvoluutio funktion osittaisilla derivaatoilla: $\nabla f$ $T_{x}M$ $(d_{x}f)X=Xf=(\nabla f,X)$ $\nabla f=g^{ij}\partial _{i}f$

Valheen derivaatta

Lie-derivaata on tensorikentän (erityisesti skalaari- tai vektorikentän) muutosnopeustietyn vektorikentän suunnassa. Skalaarikentän tapauksessa Lie-derivaata osuu yhteen suuntaderivaatan kanssa . Vektorikenttien Lie derivaatta on yhtä suuri kuin ns. Lie hakasulku . Tämä on esimerkki Lie-sulun soveltamisesta ( vektorikentätmuodostavat Lie-algebran moniston diffeomorfismiryhmässä ). Tämä on algebran 0. asteen derivaatta.

Ulkoiset ja sisäiset johdannaiset

Differentiaalimuotojen uloimmassa algebrassa tasaisen moniston yli ulompi derivaatta on ainutlaatuinen lineaarinen kuvaus , joka täyttää Leibnizin lain ordinaalisen version ja on nolla neliöitynä. Tämä on ulomman algebran ensimmäisen asteen derivaatta.

Sisäinen derivaatta on muotojen ulkoisen algebran järjestyksen "-1" derivaatta. Yhdessä ulompi derivaatta, Lie-derivaata ja sisäderivaata muodostavat Lie-superalgebran .

Kovarianttijohdannainen

Differentiaaligeometriassa (ja tuloksena olevassa tensorianalyysissä ) kovarianttiderivaatan avulla derivaatat otetaan vektorikenttien suuntiin käyriä pitkin tai yleensä kaarevassa koordinaatistossa. Tämä laajentaa skalaarifunktioiden suuntaderivaatta vektorinippujen tai pääkimppujen osiin . Riemannin geometriassa metriikan olemassaolo mahdollistaa kanonisen valinnan vääntövapaasta kovarianttiderivaatasta, joka tunnetaan nimellä Levi-Civita-yhteys .

Skalaarifunktioille kovarianttiderivaata on sama kuin derivaatta vektorikentän suunnan suhteen . Vektorikentän kovarianttiderivaata suhteessa vektorikenttään voidaan muodollisesti määritellä kuvaukseksi, joka on F-lineaarinen (eli summana ja kertolasku skalaarifunktiolla), additiivisuus ja standardi Leibnizin sääntö tulolle skalaarikenttä ja vektorikenttä . Tensorikenttien yleisessä tapauksessa Leibnizin sääntö vaaditaan niiden tensoritulolle. $f$ $D_{v}f$ $v$ $u$ $v$ $v$ $u$ $f$ $u$

Vektorikentän tapauksessa koordinaattiesityksen kovarianttiderivaata voidaan kirjoittaa seuraavasti:

D_{j}u^{i}=\osittainen _{j}u^{i}+\Gamma _{{kj}}^{i}u^{k}

missä on tavallinen osittaisderivaata koordinaatin suhteen ja ovat Christoffel - symbolit . $\osittainen _{j}u^{i}$ $x^{j}$ $\Gamma _{{kj}}^{i}$

Karteesisten koordinaattien tapauksessa Christoffel-symbolit ovat nollia, joten kovarianttiderivaata on yhtä suuri kuin tavallinen derivaatta.

Ulompi kovarianttiderivaata laajentaa ulomman derivaatan vektoriarvoisiin muotoihin.

Johdannainen muilla matematiikan aloilla

Johdannaiset monimutkaisessa analyysissä

Kompleksianalyysissä (kompleksimuuttujien funktioiden analyysi ) keskeisiä tutkimuskohteita ovat holomorfiset funktiot , jotka ovat kompleksiarvoisia funktioita kompleksilukujen tasolla ja jotka täyttävät vastaavasti laajennetun differentiatiivisuuden määritelmän.

Schwartzin derivaatta kuvaa, kuinka kompleksinen funktio approksimoidaan lineaarisen murto-osan kuvauksella, samalla tavalla kuin tavallinen derivaatta kuvaa kuinka funktio approksoidaan lineaarisella mappauksella.

Algebran ja algebrallisen geometrian derivaatat

Johdannainen yleisalgebrassa on lineaarinen kartoitus renkaaseen tai algebraan , joka täyttää Leibnizin lain ( tulosääntö ). Niitä tutkitaan puhtaasti algebrallisessa ympäristössä Galois'n differentiaaliteoriassa , mutta ne näkyvät myös monilla muilla aloilla, joilla niitä käytetään usein vähemmän tiukoilla derivaattojen algebrallisilla määritelmillä.

Algebrallisessa Kahler-geometriassa differentiaali mahdollistaa ulkoisen derivaatan määritelmän laajentamisen mielivaltaisiin algebrallisiin lajikkeisiin pelkkien tasaisten lajikkeiden sijaan .

Muut yleistykset

On täysin mahdollista yhdistää kaksi tai useampia yksinkertaisen derivaatan laajennus- tai abstraktiokäsitteitä. Esimerkiksi Finsler-geometria tutkii avaruuksia, jotka näyttävät paikallisesti Banach-avaruuksilta . Tällä tavalla on mahdollista luoda derivaatta, jossa on joitain funktionaalisen derivaatan ja kovarianttiderivaatan ominaisuuksia .

Kvanttiryhmien alalla -derivaata on funktion tavallisen derivaatan -deformaatio . $q$

Murtolukujohdannaiset

Minkä tahansa luonnollisen luvun : n derivaatan lisäksi eri menetelmillä on mahdollista tuoda derivaattoja murtoluvuissa, jolloin saadaan ns. murtolukuderivaatat . Negatiivisten tilausten johdannaiset vastaavat integraatiota, josta termi differentintegral tulee . Ei-luonnollisten järjestysten johdannaisten erilaisten mahdollisten määritelmien ja merkintöjen tutkiminen tunnetaan murtolukulaskentana . $n$ $n$

Tarvitaan määritelmä

Dini-johdannainen
Matriisilaskenta
Pinkerlen johdannainen
Parametrinen derivaatta
Puolierilaistuvuus

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Frölicher, 1970 , s. 131.

Kirjallisuus

Frölicher, A., Bucher W. Differentiaalilaskenta vektoriavaruuksissa ilman normia. - M .: Mir, 1970.

Differentiaalilaskenta

Main

yksityiset näkymät

Differentiaalioperaattorit
( eri koordinaateissa )

Ensimmäinen tilaus	Nabla operaattori Kaltevuus Eroaminen Roottori Helmholtzian
toinen tilaus	Elliptinen operaattori Laplacen operaattori Laplace-vektorioperaattori D'Alembert-operaattori Laplace-Beltrami operaattori
korkeammat tilaukset	Hypoelliptinen operaattori

liittyvät aiheet