Yleisalgebra

Universaalialgebra on matematiikan haara , joka tutkii algebrallisten järjestelmien yleisiä ominaisuuksia käyttämällä eri algebrallisten rakenteiden - ryhmien, renkaiden, moduulien, hilan - samankaltaisuuksia, esittelemällä niille kaikille luontaisia käsitteitä ja muodostamalla niille kaikille yhteisiä väitteitä. Se sijaitsee matemaattisen logiikan ja yleisalgebran välissä matemaattisen logiikan toteuttamislaitteistona yleisiin algebrallisiin rakenteisiin sovellettaessa.

Keskeinen käsite on algebrallinen järjestelmä , maksimaalisen yleisyyden kohde, joka käsittää merkittävän osan algebrallisten rakenteiden muunnelmista ; Tämän kohteen päälle voidaan rakentaa homomorfismin ja tekijäjärjestelmien käsitteitä yleistäen vastaavia konstruktioita ryhmien, renkaiden, hilan ja niin edelleen teorioista. Jakson kehitetty suunta on aksiomatisoitavien algebrallisten järjestelmien luokkien tutkiminen, ensisijaisesti sellaisia, jotka määritellään lajikkeen identiteeteillä (mukaan lukien vapaat algebrat ), ja jotka määritellään kvasi-lajikkeen kvasi- identiteeteillä . Matemaattisessa aineluokituksessa ylätason osio on määritetty universaalille algebralle 08.

Historia

Ensimmäinen maininta tällä nimellä olevasta matematiikan haarasta viittaa Alfred Whiteheadiin (hänen "Treatise on universal algebra, with applications" [1] julkaistiin vuonna 1898 ) [2] , mutta erillisen tieteenalan synty, joka tutkii algebrallisia rakenteita koska mielivaltaiset joukot mielivaltaisilla operaatioiden ja suhteiden joukoilla liitetään Garrett Birkhoffin työhön vuonna 1935 [3] [4] , hilateoriaa käsittelevän työnsä puitteissa hän kiinnitti huomion useisiin teoriassa käytettyihin rinnakkaisiin rakenteisiin. ryhmistä ja renkaista : homomorfismit , tekijäryhmät ja tekijärenkaat , normaalit alaryhmät ja kaksipuoliset ihanteet . Birkhoffin työt eivät herättäneet julkaistuja vastauksia ja kehitystä vähään aikaan, mutta 1940-luvulla syntyi tietty "folklori", joka liittyi sellaiseen universaaliseen algebra-lähestymistapaan, erityisesti lähestymistapaa hahmotteli Philip 1940-luvun lopun luennoissa . Hall . Hall ) Cambridgen yliopistossa [2] .

Seuraava askel kohti universaalin algebran luomista matematiikan haaraksi ovat Alfred Tarskin työ malliteoriasta ja Kenjiro Shodan työ algebroista binäärioperaatioilla sekä Leon Genkinin [5] , Anatoli Maltsevin [6] , Abraham Robinson [7] , Bjarni Jonsson ( Isl . Bjarni Jónsson ) [8] , jotka kiinnittivät huomiota siihen, kuinka tehokasta oli soveltaa noina vuosina rakennettavan malliteorian puitteissa käytettyä matemaattisen logiikan laitteistoa tutkimukseen. algebrallisia järjestelmiä rakenteina, jotka yleistävät malleja ja algebroita. Samaan aikaan Maltsevin vuoden 1941 työn [9] todettiin ennakoivan loogista lähestymistapaa universaaliin algebraan, mutta se ei saanut vastauksia ja oikea-aikaista kehitystä sodan vuoksi, ja Tarskin luento kansainvälisessä matemaatikoiden kongressissa vuonna 1950 todettiin osion toisen kehitysjakson lähtökohta [10] .

1950-luvun lopusta lähtien vapaiden algebroiden tutkimussuunta on kehittynyt pääasiassa Edvard Marchevskyn työn ja sitä seuranneen puolalaisten matemaatikoiden tämänsuuntaisen yli 50 artikkelin sarjan ansiosta [11] . 1950-luvun puolivälissä Philip Higgins esitteli ja tutki monioperaattoriryhmiä [12] [13] rakenteina, joissa kommutaattorin käsite voidaan yleistää ja mikä tahansa kongruenssi voidaan esittää hajotuksena ihanteiden kosetiksi (analogisesti vastaavien ryhmien kanssa). normaalin alaryhmän ja kaksipuolisen ideaalisen renkaan ominaisuuksia), myöhemmin tutkittiin myös monioperaattoriryhmien erikoisluokkia (monioperaattorirenkaita ja algebroita).

Kvasivarianttien teoria ja kysymykset niiden yhteydestä algebrallisten järjestelmien aksiomatisoitaviin luokkiin ovat kehittyneet 1960-luvun alusta lähtien (Maltsev, Gorbunov ), nopeimmin kehittynyt suunta 1970-luvun alussa - puolivälissä oli kongruenssien lajikkeiden tutkimus. (Bjarni Jónsson, Gretzer).

Vuoteen 1968 mennessä yleisalgebran bibliografia sisälsi yli 1 000 artikkelia, vuoteen 1980 mennessä yli 5 000 artikkelia. vuosina 1976-1988 julkaistiin 2 tuhatta teosta [14] .

1970-luvun toisella puoliskolla yleisalgebran sovellukset syntyivät tietojenkäsittelytieteessä - abstraktien tietotyyppien teoria , tietokannan hallintajärjestelmien teoria [15] , sovellukset rakentuvat pääasiassa monilajiteltavien algebroiden käsitteen ympärille . 1980-1990-luvuilla aktiivisimmin kehitettyjä pääalueita [16] ovat kvasivarianttien teoria, monien kongruenssien kommutaattorien teoria ja luonnollisen kaksinaisuuden teoria . 2000-luvulla kehitettiin intensiivisesti erillinen suunta - universaali algebrallinen geometria , klassisen algebrallisen geometrian yleistäminen , algebrallisten kenttien kanssa työskentely laajempiin algebrallisten järjestelmien luokkiin [17] .

Algebralliset järjestelmät, algebrat ja mallit

Jakson perustutkimuksen kohteena on algebrallinen järjestelmä — mielivaltainen ei-tyhjä joukko, jolla on tietty (mahdollisesti ääretön) joukko äärellisten taulukoiden operaatioita ja äärellisten taulukkojen suhteita: , , . Joukkoa kutsutaan tässä tapauksessa järjestelmän kantoaaltoksi (tai pääjoukoksi ), funktionaalisten ja predikaattisymbolien joukko ariteeteineen on sen allekirjoitus . Järjestelmää, jossa on tyhjä relaatiojoukko, kutsutaan universaaliksi algebraksi (subjektin kontekstissa - useammin vain algebra ) ja tyhjällä operaatiojoukolla - malliksi [18] tai relaatiojärjestelmäksi , relaatiojärjestelmäksi. [19] . ${\mathfrak {A}}=\langle A,\;F,\;R\rangle$ $F=\langle f_{1}\colon A^{n_{1}}\to A,\;\ldots f_{i}\colon A^{n_{i}}\to A,\;\ ldots \rangle$ $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1)),\;\ldots r_{i}\subseteq A^{m_{i)),\;\ldots \rangle$ $A$ $\langle F,\;R,\;\langle n_{1},\;\ldots n_{i},\;\ldots \rangle ,\;\langle m_{1}\ldots m_{i} ,\;\ldots \rangle \rangle$

Tähän abstraktioon sopivat kaikki yleiset algebralliset perusrakenteet, esimerkiksi osittain järjestetty joukko on relaatiojärjestelmä, jossa on binääriosajärjestyssuhde, ja ryhmä on algebra, joka on varustettu nollaoperaatiolla [20] , joka valitsee neutraalin elementin , a. unaarinen operaatio käänteisen elementin saamiseksi ja binäärinen assosiatiivinen operaatio.

Koska mikä tahansa -ary operaatio voidaan esittää -ulotteisena relaationa , mitä tahansa algebrallista järjestelmää voidaan tutkia malleina käyttämällä malliteoreettisia työkaluja [21] . $n$ $f\colon A^{n}\to A$ $(n+1)$ $\mathrm {r} f=\{\langle a_{1},\;\ldots ,\;a_{n},\;a_{n+1}\rangle \mid a_{n+1}= f(a_{1},\;\ldots ,\;a_{n})\}$

Perusmallit

Algebrallisille järjestelmille otetaan käyttöön rakenteet, jotka ovat tyypillisiä kaikille yleisille algebrallisille perusrakenteille: alijärjestelmä ( alijärjestelmä , alimalli ) järjestelmän kantajan osajoukkona, joka on suljettu kaikkien operaatioiden ja suhteiden suhteen, järjestelmien homomorfismi , kuvauksina samantyyppisten järjestelmien välillä, säilyttäen perustoiminnot ja -relaatiot, isomorfismi käännettävänä homomorfismina, automorfismi isomorfismina itseensä. Kongruenssin käsitteen käyttöönotto järjestelmän stabiilina ekvivalenssirelaationa mahdollistaa tällaisen konstruktion rakentamisen tekijäjärjestelmäksi ( tekijäalgebra , tekijämalli ) - järjestelmäksi ekvivalenssiluokkien yli. Samalla todistetaan kaikille algebrallisille järjestelmille yhteinen homomorfismilause , jonka mukaan minkä tahansa homomorfismin tapauksessa tekijäjärjestelmän luonnollinen kartoitus ydinkongurenssiin nähden on homomorfismi , ja algebroiden tapauksessa , se on isomorfismi . $\varphi \colon {\mathfrak {A}}(A,\;\Sigma )\to {\mathfrak {A}}'(A',\;\Sigma )$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}/\{(x,\;y)\in A\times A'\mid \varphi (x)=\varphi (y)\))$ ${\mathfrak A}'$

Algebrallisen järjestelmän kaikki alijärjestelmät muodostavat täydellisen hilan , lisäksi mikä tahansa algebrallinen hila (eli hila, jonka jokainen elementti voidaan esittää sen kompaktien elementtien pienimpänä ylärajana) on isomorfinen joidenkin alialgebrojen hilan kanssa. universaali algebra [22] . Tutkittiin algebrallisten järjestelmien automorfismien ryhmiä [23] , kongruenssien hiloja . Erityisesti on osoitettu, että mille tahansa ryhmälle ja hilat ja on olemassa universaali algebra siten, että , , . $\mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Aut} \,{\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}$ $G$ $L_0$ $L_{1}$ $\mathfrak A$ $G\cong \mathbf {Aut} \,{\mathfrak {A}}$ $L_{0}\cong \mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}$ $L_{1}\cong \mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}$

Samantyyppisten algebrallisten järjestelmien perheessä suora tulo määritellään järjestelmäksi, jonka operaatiot ja suhteet on määritelty koordinaatistoittain kantoaaltojen suorakulmaisessa tulossa: eli for - ja for - . Suorat tuoteprojektiot ovat luonnollisia surjektiivisia homomorfismeja , jotka palauttavat tuotteen komponenttien toiminnot ja suhteet. Algebrallisen järjestelmän karteesinen aste on suora tulo itsensä kanssa: ; algebran kongruenssien hilan tässä mielessä voidaan katsoa menevän sen karteesisen neliön osabalgebrojen hilaan, ja lisäksi on todettu, että se on siinä täydellinen alihila [24] . $\prod _{i\in I}{{\mathfrak {A}}_{i}(A_{i},\;\langle f_{1}\colon A^{n_{1}}\to A,\;\ldots f_{i}\colon A^{n_{i}}\to A,\;\ldots \rangle ,\;\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}}, \;\ldots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\;\ldots \rangle )}$ $f_{k}\colon (\prod _{i\in I}A_{i})^{n_{k}}\to \prod _{i\in I}A_{i}$ $f_{k}(\langle \ldots a_{i,\;1}\ldots \rangle ,\;\ldots ,\;\langle \ldots a_{i,\;n_{k))\ldots \ range )=\langle \ldots ,\;f(a_{i,\;1},\;\ldots a_{i,\;n_{k}}),\;\ldots \rangle$ $r_{k}\subseteq (\prod _{{i\in I}}A_{i})^{{n_{k}}}$ $\{\langle \ldots ,\;r(a_{i,\;1},\;\ldots ,\;a_{i,\;k}),\;\ldots \rangle \mid a_{ i,\;j}\in A_{i},\;i\in I,\;1\leqslant j\leqslant k\}$ $\pi _{k}\colon \prod _{i\in I}{{\mathfrak {A}}_{i}}\to {\mathfrak {A}}_{k}$ ${\mathfrak A}^{n}=\prod _{{i=1}}^{n}{{\mathfrak A}_{i}}$ $\mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}^{2}$

Lajikkeet

Algebrallisten järjestelmien valikoima (tai yhtälöluokka ) on kiinteän allekirjoituksen algebrallisten järjestelmien luokka, joka on aksiomatisoitu joukolla allekirjoitustermeillä ilmaistuja identiteettejä. Tämä käsite yleistää sellaiset erityiset aksiomaattisesti annetut algebroluokat kuin kaikkien puoliryhmien luokka, kaikkien ryhmien luokka, kaikkien sormusten luokka. Pohja tällaisen yleistyneen konstruktion tutkimiselle lajikkeena on Birkhoffin teoreema , jonka mukaan ei-tyhjä algebrallisten järjestelmien luokka on aksiomatisoitavissa identiteeteillä, on välttämätöntä ja riittävää, että se sisältää: ${\mathfrak {K}}$

Mielivaltaisen sekvenssin karteesinen tulo (oli moninkertaisesti suljettu); ${\mathfrak {K}}$
mikä tahansa mielivaltaisen -järjestelmän alijärjestelmä (se oli perinnöllinen); ${\mathfrak {K}}$
minkä tahansa -järjestelmän homomorfinen kuva (oli homomorfisesti suljettu) [25] . ${\mathfrak {K}}$

Kolmas ehto vastaa sulkemista tekijäjärjestelmien suhteen.

Universaalialgebran tutkimuksissa tarkastellaan yksityiskohtaisesti monistojen rakenteellisia ominaisuuksia ja kysymyksiä yhden moniston järjestelmien upotettavuudesta toisen järjestelmiin. Tietyn yhtälöluokan alalajit muodostavat hilan inkluusiolla, ja tällaisten lajikkeiden hilan ominaisuudet ovat erilaiset, erityisesti kaikkien hilalajikkeiden hila on distributiivinen ja sillä on jatkumon kardinaalisuus ja kaikkien hilatyyppien hila. ryhmät on modulaarinen , mutta ei jakavia.

Lajikkeiden lisäksi sellaiset yleisemmät järjestelmäluokat, kuten esilajikkeet (replica-complete classs), jotka ovat ali- ja karteesisten tuotteiden suhteen suljettuja luokkia, jotka sisältävät yksialkuisen järjestelmän, ja kvasilajikkeet , on aksiomatisoitu joukolla kvasiidentiteettejä ( määritellään Horn -lauseilla ), ja myös lajikkeiden ja kvasi-lajikkeiden äärellisesti suljetut muunnelmat ovat pseudo- ja pseudo-kvasi- lajikkeita .

Ilmaiset algebrat

Erikoisalgebrat

Algebrallisten järjestelmien luokat

Sovellukset

Muistiinpanot

↑ Whitehead, Alfred North. Tutkimus universaalista algebrasta sovelluksineen . - Cambridge : Cambridge University Press , 1898. - 547 s.
↑ 1 2 Kohn, 1969 , s. yksitoista.
↑ Maltsev, 1970 , s. 7.
↑ Gretzer, 2008 , Vaikka Whitehead ymmärsi universaalin algebran tarpeen, hänellä ei ollut tuloksia. Ensimmäiset tulokset julkaisi G. Birkhoff 30-luvulla, s. vii.
↑ Henkin L. Joitakin yhteyksiä modernin algebran ja matemaattisen logiikan välillä // Transactions of the American Mathematical Society . - 1953. - Voi. 74 . - s. 410-427 . — ISSN 0002-9947 . Arkistoitu alkuperäisestä 21. syyskuuta 2015.
↑ A. I. Maltsev. Algebrallisten järjestelmien yleisestä teoriasta // Matemaattinen kokoelma . - 1954. - T. 35 , nro 77 . - S. 3-20 . (Venäjän kieli)
↑ Abraham Robinson. Huomautus algebrallisten järjestelmien upotuslauseesta // Journal of the London Mathamtical Society . - 1955. - Voi. 30 . - s. 249-252 .
↑ Bjarni Jonsson. Universaalit relaatiojärjestelmät (englanniksi) // Mathematica Scandinavica. - 1957. - Ei. 5 . - s. 224-229 . — ISSN 0025-5521 .
↑ Maltsev A.I. Yleisestä menetelmästä paikallisten ryhmäteorialauseiden saamiseksi // Ivanovon valtion pedagogisen instituutin tieteelliset muistiinpanot. Fysikaalisten ja matemaattisten tieteiden sarja. - 1941. - T. 1 , nro 1 . - S. 3-20 .
↑ Gretzer, 2008 , Mal'cevin vuoden 1941 paperi oli ensimmäinen, mutta se jäi huomaamatta sodan vuoksi. Sodan jälkeen A. Tarski, LA Henkin ja A. Robinson aloittivat työskentelyn tällä alalla ja he alkoivat julkaista tuloksiaan noin vuonna 1950. A. Tarskin luentoa kansainvälisessä matemaatikoiden kongressissa (Cambridge, Massachusetts, 1950) voidaan pitää mm. uuden kauden alku., s. viii.
↑ Gretzer, 2008 , Marczewski korosti vapaiden algebroiden kantaosien merkitystä; hän kutsui niitä itsenäisiksi joukoiksi. Tämän seurauksena Marczewski, J. Mycielski, W. Narkiewicz, W. Nitka, J. Plonka, S. Swierczkowski, K. Urbanik ja muut olivat vastuussa yli 50 vapaan algebran algebrallista teoriaa käsittelevästä artikkelista, s. viii.
↑ Higginsin PJ - ryhmät useilla operaattoreilla // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1956. - Voi. 6 , ei. 3 . - s. 366-416 . - doi : 10.1112/plms/s3-6.3.366 .
↑ Kurosh A. G. Luennot yleisalgebrasta / toim. O. N. Golovin - 2. painos. — M .: Nauka , 1973. — 400 s. — ISBN 978-5-8114-0617-3
↑ Yleisalgebra, 1991 , s. 45.
↑ Plotkin B. I. Universaali algebra, algebrallinen logiikka ja tietokannat. - M .: Nauka, 1991. - 448 s. - 3960 kappaletta. — ISBN 5-02-014635-8 .
↑ Gretzer, 2008 , s. 584.
↑ Venäjän tiedeakatemian puheenjohtajisto päätti (loka-marraskuu 2007) // Venäjän tiedeakatemian tiedote. - 2008. - T. 78 , no. 3 . - S. 286 . Arkistoitu alkuperäisestä 9. joulukuuta 2014.
↑ Maltsev, 1970 .
↑ Gretzer, 2008 , s. kahdeksan.
↑ Oletetaan, että $A^{0}=\varnothing$
↑ Yleisalgebra, 1991 , s. 313.
↑ Gretzer, 2008 , Lause 2, s. 48.
↑ Plotkin B. I. Algebrallisten järjestelmien automorfismiryhmät. — M .: Nauka , 1966. — 603 s. - 6000 kappaletta.
↑ Yleisalgebra, 1991 , s. 302.
↑ Maltsev, 1970 , s. 337-339.

Kirjallisuus

Artamonov V. A. . Luku VI. Yleisalgebrat // Yleisalgebra / Toim. toim. L. A. Skornyakova . - M .: Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. – 480 s. — (Matemaattinen viitekirjasto). – 25 000 kappaletta. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Kon P. Yleisalgebra. - M .: Mir , 1969. - 351 s.
Maltsev AI Algebralliset järjestelmät. — M .: Nauka , 1970. — 392 s. - 17 500 kappaletta.
Gratzer, George. Yleisalgebra. – 2. - Springer , 2008. - 585 s. — ISBN 978-0-387-77486-2 .

Matematiikan alat

Portaali "Tiede"

Matematiikan perusteet joukko teoria matemaattinen logiikka logiikan algebra

Lukuteoria ( aritmetiikka )

Algebra
Algebra	Yhtälön ratkaisu
Lineaarialgebra	Vektorilaskenta matriiseja Tensorilaskenta Multilineaarinen algebra
Yleisalgebra	Kommutatiivinen algebra Edustusteoria Differentiaalialgebra Homologinen algebra Yleisalgebra Luokkateoria

Analyysi
Klassinen analyysi	Differentiaalilaskenta Integraalilaskenta
Funktion teoria	Harmoninen analyysi Quaternion Analysis Monimutkainen analyysi mittateoria Reaalimuuttujan funktioiden teoria toiminnallinen analyysi Variaatiolaskelma
Differentiaali- ja integraaliyhtälöt	Dynaamiset järjestelmät ja ergodinen teoria Differentiaaliyhtälöt tavallinen osittaisissa johdannaisissa Integraaliyhtälöt
Vektorianalyysi Globaali analyysi Katastrofi teoria Mukautettu analyysi Sujuva äärettömän pieni analyysi

Geometria ja topologia
Geometria	Algebrallinen geometria Analyyttinen geometria Euklidinen geometria Ei-euklidinen geometria Planimetria Stereometria
Topologia	Yleinen topologia Algebrallinen topologia Differentiaaligeometria ja topologia

Diskreetti matematiikka
Kombinatoriikka graafiteoria

Sovellettu matematiikka
Matemaattinen fysiikka Matemaattinen kemia matemaattinen biologia Matemaattiset tilastot Matemaattinen mallinnus Algoritmien teoria Numeeriset menetelmät matemaattinen taloustiede talousmatematiikka Todennäköisyysteoria Toimintatutkimus Peliteoria

Portaali "Matematiikka"
Luokka "Matematiikka"