Binomi sarja

Binomisarja on Taylor-sarja funktiolle , jonka antaa jossa missä on mielivaltainen kompleksiluku ja | x | < 1. Selkeä sarja, $f$ $f(x)=(1+x)^{\alpha },$ $\alpha \in \mathbb {C}$

{\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\binom {\alpha }{k))\;x ^{k}\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)( \alpha -2)}{3!}}x^{3}+\cdots ,\end{aligned}}

( 1 )

ja kaavan ( 1 ) oikealla oleva binomisarja on potenssisarja, joka ilmaistaan (yleistettyinä) binomikertoimina

{\binom {\alpha }{k}}:={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!)} .

Erikoistilaisuudet

Jos on ei-negatiivinen kokonaisluku n , niin sekvenssin th termi ja kaikki seuraavat termit ovat 0, koska jokainen niistä sisältää tekijän , joten tässä tapauksessa sarja on äärellinen ja muodostaa algebrallisen Newtonin binomiaalikaavan . $\alpha$ ${\näyttötyyli (n+2)}$ ${\näyttötyyli (nn)}$

Seuraavat lausekkeet ovat tosia kaikille komplekseille , mutta ne ovat erityisen hyödyllisiä käytettäessä negatiivisia kokonaislukupotenssia kaavassa ( 1 ): $\beeta$

{\frac {1}{(1-z)^{\beta +1))}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+\beta \choose k}z^{k }.

Tämän todistamiseksi korvaamme lausekkeen ( 1 ) ja käytämme binomikertoimien identiteettiä ${\näyttötyyli x=-z}$

{\binom {-\beta -1}{k}}=(-1)^{k}{\binom {k+\beta }{k}}.

Lähentyminen

Lähentymisehdot

Se , konvergouko kaavan ( 1 ) sarja, riippuu kompleksilukujen ja x :n arvoista . Tarkemmin: $\alpha$

Jos sarja suppenee ehdottomasti mille tahansa kompleksille . $|x|<1$ $\alpha$
Jos sarja konvergoi ehdottomasti, jos ja vain jos joko , tai , missä tarkoittaa reaaliosaa . $\left|x\right|=1$ $Re(\alpha )>0$ $\alpha = 0$ $Re(\alpha )$ $\alpha$
Jos ja sarja konvergoi jos ja vain jos . $\left|x\right|=1$ $x\neq -1$ $Re(\alpha )>-1$
Jos sarja konvergoi, jos ja vain jos jompikumpi , tai . $x=-1$ $Re(\alpha )>0$ $\alpha = 0$
Jos sarja poikkeaa , paitsi milloin on ei-negatiivinen kokonaisluku (jolloin sarjasta tulee äärellinen summa). $\left|x\right|>1$ $\alpha$

Erityisesti, jos se ei ole negatiivinen kokonaisluku, tilanne konvergenssiympyrän rajalla on annettu alla: $\alpha$ $|x|=1$

Jos sarja yhtyy täysin. $Re(\alpha )>0$
Jos sarja konvergoi ehdollisesti jos , ja hajoaa jos . $-1<Re(\alpha )\leqslant 0$ $x\neq -1$ $x=-1$
Jos sarja eroaa. $Re(\alpha )\leqslant -1$

Todistuksessa käytetyt identiteetit

Seuraava pätee mille tahansa kompleksiluvulle : $\alpha$

{\alpha \choose 0}=1,

{\alpha \choose k+1}={\alpha \choose k}\,{\frac {\alpha -k}{k+1)),

( 2 )

{\alpha \choose k-1}+{\alpha \choose k}={\alpha +1 \choose k}.

( 3 )

Jos ei ole ei-negatiivinen kokonaisluku (jolloin binomikertoimet käännetään, kun ne ovat suurempia kuin ), seuraava asymptoottinen suhde pätee binomikertoimille "o" pieninä : $\alpha$ $k$ $\alpha$

{\alpha \choose k}={\frac {(-1)^{k)){\Gamma (-\alpha )k^{1+\alpha ))}\,(1+o(1 ))\quad {\text{as }}k\to \infty .

( 4 )

Tämä on itse asiassa sama kuin Eulerin määritelmä gammafunktiolle :

\Gamma (z)=\lim _{k\to \infty }{\frac {k!\;k^{z}}{z\;(z+1)\cdots (z+k)} },

josta karkeat rajat seuraavat välittömästi

{\frac {m}{k^{1+\operaattorinimi {Re} \,\alpha }}}\leqslant \left|{\alpha \choose k}\right|\leqslant {\frac {M} {k^{1+\operaattorinimi {Re} \alpha }}},

( 5 )

joillekin positiivisille vakioille m ja M .

Yleistettyjen binomikertoimien kaava ( 2 ) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

{\alpha \choose k}=\prod _{j=1}^{k}\left({\frac {\alpha +1}{j}}-1\right).

( 6 )

Todiste

Todista (i) ja (v) käyttämällä d'Alembert-testiä ja käyttämällä yllä olevaa kaavaa ( 2 ) osoittamaan, että kun se ei ole ei-negatiivinen kokonaisluku, konvergenssisäde on täsmälleen 1. Lause (ii) seuraa kaavasta ( 5 ) vertaamalla yleistettyihin harmonisiin sarjoihin $\alpha$

\sum _{k=1}^{\infty }\;{\frac {1}{k^{p))},

kanssa . Todistaaksemme (iii) käytämme ensin kaavaa ( 3 ) saadaksemme $p=1+\operaattorinimi {Re} \alpha$

(1+x)\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;x^{k}=\sum _{k=0}^{n}\ ;{\alpha +1 \choose k}\;x^{k}+{\alpha \choose n}\;x^{n+1},

( 7 )

ja käytä sitten (ii) ja kaavaa ( 5 ) uudelleen todistamaan oikean puolen konvergenssi, kun . Toisaalta sarja ei konvergoi if ja , jälleen kaavan ( 5 ) perusteella. Muuten voimme nähdä, että kaikki , . Sitten kaavan ( 6 ) mukaan kaikille . Tämä täydentää väitteen todistamisen (iii). Siirry kohtaan (iv) ja käytä yllä olevaa identiteettiä ( 7 ) yhdessä ja sen sijaan ja käytä kaavaa ( 4 ) saadaksesi $\operaattorinimi {Re} \alpha >-1$ $|x|=1$ $\operaattorinimi {Re} \alpha \leqslant -1$ $j$ ${\textstyle \left|{\frac {\alpha +1}{j}}-1\right|\geqslant 1-{\frac {\operaattorinimi {Re} \alpha +1}{j}}\geqslant 1}$ ${\textstyle k,\left|{\alpha \choose k}\right|\geqslant 1}$ $x=-1$ $\alpha -1$ $\alpha$

\sum _{k=0}^{n}\;{\alpha \choose k}\;(-1)^{k}={\alpha -1 \choose n}\;(-1) ^{n}={\frac {1}{\Gamma (-\alpha +1)n^{\alpha }}}(1+o(1))

osoitteessa . Lause (iv) seuraa nyt sekvenssin asymptoottisesta käyttäytymisestä . (Nimittäin se konvergoi ehdottomasti arvoon if ja hajoaa jos . Jos , sitten ja konvergoi jos ja vain jos sekvenssi , joka ehdottomasti pätee jos , mutta ei jos ). $n\to\infty$ ${\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-\alpha \log(n)))$ ${\displaystyle \left|e^{-\alpha \log n}\right|=e^{-\operaattorinimi {Re} \alpha \,\log n))$ $0$ $\operatorname {Re} \alpha >0$ $+\infty$ $\operatorname {Re} \alpha <0$ $\operaattorin nimi {Re} \alpha =0$ ${\displaystyle n^{-\alpha }=e^{-i\operaattorinimi {Im} \alpha \log n))$ $\operaattorinimi {Im} \alpha \log n$ $\alpha=0$ $\operaattorin nimi {Im} \alpha \neq 0$

Binomisarjojen summaus

Tavallinen lähestymistapa binomisarjan summan laskemiseen on seuraava. Jos erotamme termi kerrallaan konvergenssiympyrän binomisarjat ja käytämme kaavaa ( 1 ), saadaan, että sarjan summa on analyyttinen funktio , joka ratkaisee tavallisen differentiaaliyhtälön alkuarvolla . Ainoa ratkaisu tähän ongelmaan on funktio , joka on siten binomisarjan summa, ainakin . Yhtälö laajenee, jos sarja konvergoi Abelin lauseen ja jatkuvuuden seurauksena . $\left|x\right|<1$ $(1+x)u'(x)=\alpha u(x)$ $u(0)=1$ ${\displaystyle u(x)=(1+x)^{\alpha ))$ $\left|x\right|<1$ $\left|x\right|=1$ ${\näyttötyyli (1+x)^{\alpha ))$

Historia

Ensimmäiset tulokset ei-positiivisten kokonaislukupotenssien binomisarjoista sai Isaac Newton tutkiessaan tiettyjen käyrien rajoittamia alueita . John Wallis havaitsi tästä työstä ottaen huomioon muotoa, jossa m on murtoluku, että (nykyisin termein) seuraavat kertoimet at saadaan kertomalla edellinen kerroin (kuten kokonaislukupotenssien tapauksessa), jolloin hän antoi kaava näille kertoimille. Hän kirjoitti nimenomaisesti seuraavat ilmaisut [a] ${\displaystyle y=(1-x^{2})^{m))$ $c_{k}$ ${\displaystyle (-x^{2})^{k))$ ${\tfrac {m-(k-1)}{k))$

(1-x^{2})^{1/2}=1-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{8}} -{\frac {x^{6}}{16}}\cdots

(1-x^{2})^{3/2}=1-{\frac {3x^{2}}{2}}+{\frac {3x^{4}}{8}} +{\frac {x^{6}}{16}}\cdots

(1-x^{2})^{1/3}=1-{\frac {x^{2}}{3}}-{\frac {x^{4}}{9}} -{\frac {5x^{6}}{81}}\cdots

Binomisarjaa kutsutaan siksi joskus Newtonin binomilauseeksi . Newton ei antanut todisteita eikä viitteitä tämän sarjan luonteesta. Myöhemmin, vuonna 1826, Niels Henrik Abel käsitteli sarjaa Crelle-lehdessä julkaistussa artikkelissa ja pohti tärkeitä konvergenssikysymyksiä [2] .

Katso myös

Binomiaalinen approksimaatio
Binomilause

Muistiinpanot

↑ [1] Itse asiassa tämä lähde antaa kaikki ei-vakioiset negatiiviset termit, mikä ei pidä paikkaansa toiselle yhtälölle; pitäisi pitää lainausvirheenä.

↑ Coolidge, 1949 .
↑ Abel, 1826 .

Kirjallisuus

Niels Abel . Recherches sur la serie 1 + (m/1)x + (m(m-1)/1,2) x 2 + (m(m-1) (m-2)/1,2,3) x 3 + ... / / Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1826. - T. 1 . — S. 311–339 .
Coolidge JL Binomiaalilauseen tarina // The American Mathematical Monthly. - 1949. - T. 56 , no. 3 . - S. 147-157 . - doi : 10.2307/2305028 . — .

Linkit

Weisstein, Eric W. Binomial Series (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Binomial Theorem (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
binomiaalikaava (englanniksi) PlanetMath- verkkosivustolla .
Hazewinkel, Michiel, toim. (2001), Binominen sarja , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

Todellisen analyysin osat
Analyysin perusteet	Euler-funktio $\phi(n)$ Jordan-toiminto Binomilause kupera funktio jatkuva näyttö Factorial Rajalliset erot Vapaat ja sidotut muuttujat Funktiokaavio Lineaarinen funktio Radian Rollen lause Sekantti Kaltevuus Tangentti
rajoja	Epävarmuustekijöiden paljastaminen Toiminnan raja Yksipuolinen raja Jakson raja Arviointijärjestys (ε, δ)-rajan määritelmä
Differentiaalilaskenta _	Funktiojohdannainen Differentiaaliyhtälö Differentiaalioperaattori Keskimääräinen lause Merkintä Leibnizin merkintä Newtonin merkintätapa Erottamisen säännöt Lineaarisuus Tutkintojen erottelu Monimutkainen toimintojen erottelu L'Hopitalin sääntö tuotesääntö Leibnizin kaava Murtoluvun johdannainen Muut tekniikat Implisiittinen erilaistuminen Käänteinen funktion erottelu logaritminen derivaatta Liittyvät kertoimet Kiinteät pisteet Ensimmäinen johdannaistesti Toinen johdannaistesti Äärimmäinen lause Extreem Muut sovellukset Newtonin menetelmä Taylorin lause
Integraali	antijohdannainen Käyrän pituus Integraatiovakio Analyysin päälause Erotus integraalimerkin alla Integrointi osien mukaan Korvausmenetelmä Trigonometrinen korvaaminen Eulerin vaihdot Weierstrassin vaihto Hajoaminen yksinkertaisimpiin Neliöllinen integraali Puolisuunnikkaan muotoinen menetelmä Volyymit Pesumenetelmä Alitalon integrointi
Vektorianalyysi _	Johdannaiset Roottori Suuntajohdannainen Eroaminen Kaltevuus laplalainen Peruslauseet gradienttilause Greenin lause Stokesin lause Gauss-Ostrogradsky-kaava
Monien muuttujien funktioiden analyysi	Gauss-Ostrogradsky-kaava Geometrinen analyysi Hessenin funktiot Jacobilainen matriisi Lagrange-kertoimet Kaareva integraali Matriisianalyysi Useita integraali Osittainen johdannainen Pintaintegraalit Äänenvoimakkuuden integraali Lisäluvut Differentiaaliset muodot Ulkoinen johdannainen Yleistetty Stokesin lause tensorianalyysi )
Jaksot ja rivit	Aritmeettis-geometrinen progressio Rivien tyypit merkki vuorotellen Binomi Fourier-sarja geometrinen sarja Harmoninen Rivi Tehoa Maclaurin Taylor Teleskooppinen Merkkejä lähentymisestä abel Leibniz Cauchy Vertailumerkki Dirichlet Integraali Raja vertailu D'Alembert Radikaali Tarpeellinen kunto
Erikoisfunktiot ja numerot	Bernoullin numerot e (numero) Eksponentti funktio luonnollinen logaritmi Stirlingin kaava
Infinitesimaalien analyysi _	Riittävyys Brooke Taylor Colin Maclaurin Algebran universaalisuus Gottfried Wilhelm Leibniz Äärettömän pieni ja äärettömän suuri Isaac Newton Fluxions Flux menetelmä Jatkuvuusperiaate Leonhard Euler Mekaanisten lauseiden menetelmä