Coxeter-Dynkin-kaaviot

Coxeter-Dynkin-kaavio (tai Coxeter-diagrammi , Coxeter- graafi , Coxeter- kaavio [1] ) on graafi , jossa on numeromerkityt reunat (kutsutaan haaraksi ), jotka edustavat avaruudellisia suhteita peilisymmetrioiden (tai peiliheijastushypertasojen ) välillä. Kaavio kuvaa kaleidoskooppista rakennetta - kaavion kukin "vertex" edustaa peiliä (perusalueen pintaa), ja haaratunnisteet asettavat kahden peilin välisen dihedraalisen kulman arvon (perusalueen harjalla, eli kasvoilla, joiden ulottuvuus ). Merkitsemättömät oksat merkitsevät implisiittisesti järjestystä 3. $n-2$

Jokainen kaavio edustaa Coxeter-ryhmää ja Coxeter-ryhmät luokitellaan niihin liittyvien kaavioiden mukaan.

Dynkin-kaaviot liittyvät läheisesti Coxeter-kaavioihin ja eroavat niistä kahdessa suhteessa - ensinnäkin "4" ja sitä suuremmat haarat ovat suunnattuja , kun taas Coxeterin kaavioissa ne ovat suuntaamattomia, ja toiseksi Dynkin-kaavioiden on täytettävä lisä ( kristallografinen ) rajoitus, nimittäin vain 2, 3, 4 ja 6. Dynkin-kaaviot vastaavat juurijärjestelmää ja niitä käytetään niiden luokitteluun ja vastaavat siten puoliyksinkertaisia Lie-ryhmiä [2] .

Kuvaus

Coxeter-Dynkin-kaavion haarat on merkitty rationaalisilla luvuilla p , jotka vastaavat dihedraalisia kulmia 180°/ p . Jos p = 2, kulma on 90° ja peilit eivät vaikuta toisiinsa, joten haara voidaan jättää kaaviosta pois. Jos haaraa ei ole merkitty, oletetaan, että p = 3, mikä vastaa 60°:n kulmaa. Kahdella rinnakkaisella peilillä on haara, joka on merkitty "∞". Periaatteessa n heijastusta voidaan esittää täydellisellä graafilla , johon on piirretty kaikki n ( n − 1)/2 haaraa. Käytännössä lähes kaikki mielenkiintoiset heijastusten yhdistelmät sisältävät jonkin verran suoria kulmia, joten vastaavat haarat voidaan sulkea pois.

Kaaviot voidaan merkitä niiden kaaviorakenteen mukaan. Ensimmäiset Ludwig Schläflin tutkimat muodot olivat yksinkertaistuksia, jotka määritteli joukko keskenään kohtisuoraa reunaa. Schläfli kutsui näitä yksinkertaistuksia ortoskeemeiksi . Ortoskeemejä syntyy eri yhteyksissä, ja erityisesti kun tarkastellaan säännöllisiä polytooppeja ja säännöllisiä hunajakennoja . Plagioskeemit ovat yksinkertaistuksia, joita edustavat haarautuvat graafit, ja sykloskeemat ovat yksinkertaistuksia, joita edustavat sykliset graafit.

Gram Matrix (Schläfli)

Kaikissa Coxeter-kaavioissa on vastaava Schläfli -matriisi merkintöineen

a_{i,j}=a_{j,i}=-2\cos \left({\frac {\pi }{p))\right),

missä on haarajärjestys heijastusparien välillä. Kuten kosinimatriisi , sitä kutsutaan myös Gram-matriisiksi Jörgen Gramin mukaan . Kaikki Coxeter-ryhmän grammamatriisit ovat symmetrisiä, koska niiden juurivektorit ovat normalisoituja. Ne liittyvät läheisesti Cartan-matriiseihin , joita käytetään samankaltaisessa yhteydessä, mutta Dynkin -kaavioiden kohdistetuissa kaavioissa tapauksille ja jotka eivät yleensä ole symmetrisiä. $s$ $p=2,3,4,6$

Schläfli-matriisin determinanttia kutsutaan Schläfliläiseksi (alias Gramianiksi ) ja sen etumerkki määrittää, onko ryhmä äärellinen (positiivinen determinantti), affiininen (nolla) vai epämääräinen (negatiivinen). Tätä sääntöä kutsutaan Schläfli-kriteeriksi [3] .

Gram-matriisin ominaisarvot määrittävät, onko Coxeter-ryhmä äärellinen tyyppi (kaikki arvot ovat positiivisia), affiinityyppinen (kaikki ei-negatiiviset, vähintään yksi arvo on nolla) vai epämääräinen tyyppi (kaikki muut tapaukset) . Epämääräinen tyyppi jaetaan joskus edelleen alatyyppeihin, kuten hyperbolisiin ja muihin Coxeter-ryhmiin. Hyperbolisille Coxeter-ryhmille on kuitenkin monia ei-ekvivalentteja määritelmiä. Käytämme seuraavaa määritelmää: Coxeter-ryhmä, jolla on vastaava diagrammi, on hyperbolinen , jos se ei ole äärellistä eikä affiinista tyyppiä, mutta mikä tahansa yhdistetty alikaavio on joko äärellinen tai affiinityyppinen. Hyperbolinen Coxeter-ryhmä on kompakti , jos kaikki sen alaryhmät ovat äärellisiä (eli niillä on positiivisia determinantteja) ja parakompakti , jos kaikki sen alaryhmät ovat äärellisiä tai affinisia (eli niillä on ei-negatiivisia determinantteja) [4] .

Äärillisiä ja affiineja ryhmiä kutsutaan myös elliptisiksi ja parabolisiksi . Hyperbolisia ryhmiä kutsutaan myös Lanner-ryhmiksi ( ruots . Folke Lannér ), joka listasi kompakteja hyperbolisia ryhmiä vuonna 1950 [5] , ja parakompakteja ryhmiä Koszul- ryhmiä ( ranska Jean-Louis Koszul [kɔ'syl]), tai lähes Lanner-ryhmiä. Muitakin nimiä on. Siten Maxwellin artikkelissa [6] äärellisiä ryhmiä kutsutaan positiivisiksi ja affiiniryhmiksi euklidisiksi.

Coxeter-ryhmät sijalla 2

Arvolla 2 Coxeter-ryhmän tyyppi määrittää kokonaan Gram-matriisideterminantti, koska se on yksinkertaisesti yhtä suuri kuin sen ominaisarvojen tulo: äärellinen tyyppi (positiivinen determinantti), affiininen tyyppi (nolladeterminantti) tai hyperbolinen tyyppi (negatiivinen). määräävä tekijä). Coxeter käyttää vastaavaa hakasulkumerkintää , joka luettelee haarajärjestyksen sekvenssit graafisten solmu-haarakaavioiden sijaan.

Tyyppi	perimmäinen					affiininen	hyperbolinen
Geometria					…
kokseteri	[ ]	[2]	[3]	[neljä]	[p]	[∞]	[∞]	[ip/λ]
Tilaus	2	neljä	6	kahdeksan	2p _	∞
Suorat heijastukset on väritetty Coxeter-kaavion solmujen mukaan. Perusalueet on maalattu vaihtoehtoisilla väreillä.

Kaaviot 2. sijan Coxeter-ryhmästä

Tilaa p	Ryhmä	Coxeterin kaavio		Gram matriisi
Tilaa p	Ryhmä	Coxeterin kaavio		$\left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]$	Determinantti (4-a 21 *a 12 )
Finaali (karsinta>0)
2	I 2 (2) = A 1 xA 1		[2]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]$	neljä
3	I 2 (3) = A 2		[3]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}}\right]$	3
neljä	I 2 (4) = B 2		[neljä]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	2
5	I 2 (5) = H2		[5]	$\left [\begin{smallmatrix}2&-\phi\\-\phi&2\end{smallmatrix}\right ]$	$4\sin^2(\pi/5)$ = $(5-\sqrt{5})/2$ ~1,38196601125
6	I 2 (6) = G 2		[6]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-{\sqrt {3}}\\-{\sqrt {3}}&2\end{smallmatrix}}\right]$	yksi
kahdeksan	I 2 (8)		[kahdeksan]	$\left [\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi/8)\\-2\cos(\pi/8)&2\end{smallmatrix}\right ]$	$2-\sqrt{2}$ ~0,58578643763
kymmenen	I 2 (10)		[kymmenen]	$\left [\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi/10)\\-2\cos(\pi/10)&2\end{smallmatrix}\right ]$	$4\sin^2(\pi/10)$ = $(3-\sqrt{5})/2$ ~0,38196601125
12	I 2 (12)		[12]	$\left [\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi/12)\\-2\cos(\pi/12)&2\end{smallmatrix}\right ]$	$2-\sqrt{3}$ ~0,26794919243
s	I 2 (p)		[p]	$\left [\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi/p)\\-2\cos(\pi/p)&2\end{smallmatrix}\right ]$	$4\sin^2(\pi/p)$
Affine (Determinantti=0)
∞	I 2 (∞) = = ${\tilde{I}}_1$ ${\tilde{A}}_1$		[∞]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]$	0
Hyperbolinen (determinantti≤0)
∞			[∞]	$\left[{\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}}\right]$	0
∞			[ip/λ]	$\left [\begin{smallmatrix}2&-2cosh(2\lambda)\\-2cosh(2\lambda)&2\end{smallmatrix}\right ]$	$-4\sinh^2(2\lambda)\le 0$

Geometrinen esitys

Coxeter-Dynkin-kaaviota voidaan pitää graafisena kuvauksena heijastusten perusalueesta . Peili (joukko kiinteitä heijastuspisteitä) on hypertaso tietyssä pallomaisessa, euklidisessa tai hyperbolisessa avaruudessa. (Kaksiulotteisessa avaruudessa suora toimii peilinä ja kolmiulotteisessa avaruudessa tasona.)

Kaksiulotteisten ja kolmiulotteisten euklidisten ryhmien sekä kaksiulotteisten pallomaisten ryhmien perusalueet on esitetty alla. Kullekin ryhmälle voidaan johtaa Coxeter-kaavio määrittämällä hypertasot ja merkitsemällä niiden yhteydet jättäen huomioimatta 90 asteen dihedraaliset kulmat (kertaluku 2).

Coxeter-ryhmä	${\tilde {C}}_{2}$	${\tilde{I}}_1$ x ${\tilde{I}}_1$	${\tilde {G}}_{2}$	${\tilde {A}}_{2}$
Coxeter-ryhmä	[4,4]	[∞4,∞]	[6,3]	[(3,3,3)] = [3 [3] ]
perusalue
Coxeter-Dynkin- kaavio

Coxeter-ryhmät euklidisella tasolla vastaavien kaavioiden kanssa. Peilit on merkitty graafin solmuiksi R 1, R 2 jne. ja ne on värjätty heijastusjärjestyksen mukaan. 90 asteen heijastukset eivät muuta mitään, joten ne poistetaan kaaviosta. Rinnakkaisheijastukset on merkitty ∞:llä. Prismaattinen ryhmä x esitetään tuplaantuvana , mutta se voidaan luoda myös suorakaiteen muotoisina alueina, jotka on johdettu tuplauskolmioista . on kolmion tuplaus . ${\tilde{I}}_1$ ${\tilde{I}}_1$ ${\tilde{C}}_2$ ${\tilde{G}}_2$ ${\tilde{A}}_2$ ${\tilde{G}}_2$

Jotkut hyperboliset kaleidoskoopit

Coxeter-ryhmä	[n,4]	[∞n,∞]	[n,3]	[(n,3,3)]
perusalue
Kaksoiskaavio (täydellinen Coxeter-kaavio)
Coxeter-Dynkin- kaavio
	n = 5,6...	n = 3,4...	n = 7,8...	n = 4,5

Monet Coxeter-ryhmät hyperbolisella tasolla voidaan laajentaa euklidisesta tapauksesta sarjana hyperbolisia ratkaisuja.

Coxeter-ryhmät kolmiulotteisessa avaruudessa vastaavien kaavioiden kanssa. Peilit (kolmiopinnat) on merkitty vastakkaisilla pisteillä 0..3. Oksat on väritetty heijastusjärjestyksen mukaan. täyttää 1/48 kuutiosta. täyttää 1/24 kuutiosta. täyttää 1/12 kuutiosta. ${\tilde{C}}_3$ ${\tilde{B}}_3$ ${\tilde {A}}_{3}$	Coxeter-ryhmät pallolla vastaavien kaavioiden kanssa. Yksi perusalue on korostettu keltaisella. Alueen kärjet (ja graafin haarat) väritetään heijastusjärjestyksen mukaan.

Rajalliset Coxeter-ryhmät

Katso myös polyhedraperheet näihin ryhmiin liittyvien yhtenäisten polyhedrien taulukosta.

Jokaiselle ryhmälle annetaan kolme erilaista nimitystä - aakkosnumeerinen nimitys, joukko suluissa olevia numeroita ja Coxeter-kaavio.
Haaroittuneet ryhmät D n ovat puoliksi tai vuorottelevia versioita tavallisista ryhmistä C n .
Haaroittuneille ryhmille D n ja E n annetaan yläindeksien merkintä [3 a , b , c ], jossa numerot a , b ja c määrittelevät segmenttien lukumäärän kussakin kolmessa haarassa.

Liittyvät Dynkin-kaaviot 1–9

Sijoitus	Yksinkertaiset valheryhmät			Poikkeukselliset valheryhmät
Sijoitus	${A}_{1+}$	${BC}_{2+}$	${D}_{2+}$		${F}_{3-4}$	${G}_{2}$	${H}_{2-4}$	${I}_{2}(p)$
yksi	A 1 =[]
2	A 2 =[3]	B2 = [4]	D 2 \u003d A 1 xA 1			G2 = [6]	H2 = [5]	I 2 [p]
3	A 3 = [3 2 ]	B3 =[3,4 ]	D3 = A3 _	E 3 \u003d A 2 A 1	F 3 \u003d B 3		H3_ _
neljä	A 4 =[3 3 ]	B 4 \u003d [3 2 ,4]	D4 =[ 3 1,1,1 ]	E 4 = A 4	F4_ _		H4 _
5	A 5 =[3 4 ]	B 5 \u003d [3 3 ,4]	D5 =[ 3 2,1,1 ]	E 5 = D 5
6	A 6 =[3 5 ]	B 6 \u003d [3 4 ,4]	D 6 \u003d [3 3,1,1 ]	E 6 \u003d [3 2,2,1 ]
7	A 7 =[3 6 ]	B 7 \u003d [3 5 ,4]	D 7 \u003d [3 4,1,1 ]	E 7 \u003d [3 3,2,1 ]
kahdeksan	A 8 =[3 7 ]	B 8 \u003d [3 6 ,4]	D 8 \u003d [3 5,1,1 ]	E 8 =[3 4,2,1 ]
9	A 9 =[3 8 ]	B 9 \u003d [3 7 ,4]	D9 =[ 3 6,1,1 ]
10+	..	..	..	..

Sovellus homogeenisille polytoopeille

Coxeter-Dynkin-kaaviot voivat luetella lähes kaikki yhtenäisten polytooppien ja yhtenäisten laattojen luokat selvästi . Jokainen yhtenäinen monitahoinen, jolla on yksinkertainen peilisymmetria (joilla kaikilla on muutamaa erikoistapausta lukuun ottamatta yksinkertainen peilisymmetria), voidaan esittää etiketeillä permutoiduilla Coxeter-Dynkin-kaavioilla . Jokainen yhtenäinen polyhedri voidaan saada käyttämällä tällaisia peilejä ja yhtä generoivaa pistettä - heijastukset luovat uusia pisteitä symmetrian seurauksena, jolloin voit määrittää monitahoisen reunat pisteiden ja niiden peiliheijastusten välillä. Kasvoja voidaan rakentaa generoimalla sykli reunoista jne. Luovan kärjen määrittämiseksi yksi tai useampi solmu on ympyröity, mikä tarkoittaa, että kärki ei ole ympyröityjen solmujen edustamassa peilissä (peileissä). (Jos kaksi tai useampi peili on merkitty, kärki sijaitsee yhtä kaukana niistä.) Peili on aktiivinen (luo heijastuksia) vain pisteissä, jotka eivät ole sen päällä. Kaaviossa on oltava vähintään yksi aktiivinen solmu monitahoa edustamaan.

Kaikilla säännöllisillä moniulotteisilla moniulotteisilla monitahoisilla , joita edustaa Schläfli-symboli ( p , q , r , …), voi olla perusalueita, joita edustaa joukko n peiliä ja vastaava Coxeter–Dynkin-kaavio solmujen ja haarojen sarjana, joka on merkitty p , q , r , … ensimmäisellä ympyröidyllä solmulla.

Tasaiset polyhedrat, joissa on yksi ympyrä, vastaavat luovia pisteitä perusalueen simpleksin kulmissa. Kaksi ympyrää vastaavat simplexin reunoja ja niillä on valinnanvapaus, mutta vain keskimmäinen johtaa homogeeniseen ratkaisuun, jolla on samat reunapituudet. Yleensä generaattorit, joissa on k ympyrää, ovat simpleksin (k-1)-ulotteisia pintoja. Jos kaikki solmut on merkitty ympyröillä, generointipiste on simpleksin sisällä.

Toinen merkintäelementti ilmaisee yhtenäisten polyhedrien ei-peilisymmetrian erikoistapauksen. Nämä tapaukset esiintyvät polyhedrien peilisymmetrian vuorotteluina Tästä merkintäelementistä puuttuu ympyrällä merkityn solmun keskipiste, jota sitten kutsutaan reiäksi , ja tarkoittaa, että tällainen solmu on etäinen vuorotteleva kärki. Tuloksena olevalla polyhedronilla on alkuperäisen Coxeter-ryhmän alisymmetrioita . Katkaistua vuorottelua kutsutaan karsimiseksi .

Yksi solmu edustaa yhtä peiliä. Vastaava ryhmä on merkitty A1: llä . Solmun ympärillä oleva ympyrä muodostaa segmentin , joka on kohtisuorassa peiliin nähden, ja tätä merkitään {}.
Kaksi yhdistämätöntä solmua edustavat kahta kohtisuoraa peiliä. Jos molemmat solmut on ympyröity, voidaan luoda suorakulmio tai neliö , jos pisteet ovat samalla etäisyydellä molemmista peileistä.
Kaksi solmua, jotka on yhdistetty kertaluvun n haaralla, voivat luoda n - kulman , jos piste on jollakin peileistä, ja 2n -gonin , jos piste ei ole missään peilistä. Nämä kaksi solmua muodostavat ryhmän I1 ( n).
Kaksi rinnakkaista peiliä voivat edustaa ääretöntä monikulmioryhmää I 1 (∞), jota myös merkitään ¥ 1 .
Kolme kolmion muotoista peiliä muodostavat kuvat, jotka havaitaan perinteisessä kaleidoskoopissa , ja tämä kokoonpano voidaan esittää kolmella kolmioon yhdistetyllä solmulla. Jaksottaisissa esimerkeissä on haarat, jotka merkitään (3 3 3), (2 4 4) ja (2 3 6), vaikka kaksi viimeistä voidaan piirtää suorina viivoina (poistamalla 2 haaraa ). Ne luovat yhtenäisiä mosaiikkeja .
Kolme peiliä voivat luoda yhtenäisen monitahoisen , joka sisältää rationaalisista luvuista johdettuja Schwarzin kolmioita .
Kolme peiliä, joissa yksi peili on kohtisuorassa kahteen muuhun nähden, voi luoda yhtenäisiä prismoja .

Yhteiselle kolmiolle on olemassa 7 homogeenista peilirakennetta, jotka perustuvat generaattorin 7 topologiseen sijaintiin perusalueen sisällä. Jokaisella yksittäisellä aktiivisella peilillä on generaattori kulmassa ja se muodostaa reunan, kahdella peilillä generaattori on kolmion toisella puolella ja kolmella aktiivisella peilillä on generaattori kolmion sisällä. Yksi tai kaksi vapausastetta voidaan pienentää yhteen asentoon yhtä suuren reunan pituuden saavuttamiseksi tuloksena olevassa monitahoisessa tai laatoituksessa.	Esimerkki seitsemästä generaattorista, joissa on oktaedrisymmetria peruskolmiolla (4 3 2) ja kahdeksas generaattorin karsiminen

Kaksi yhtenäistä polyhedraa on joskus merkitty pystypalkeilla ympyröityjen solmujen sijasta, ja yliviivattu tyhjä solmu (ei sisäistä pistettä) osoittaa leikkauksen. Esimerkiksi,edustaa suorakulmiota (kaksi aktiivista ortogonaalista peiliä), jaedustaa sen kaksoispolygonia ( timantti ).

Esimerkkejä polyhedraista ja laatoituksista

Esimerkkinä Coxeter-ryhmällä B3 on kaavio. Sitä kutsutaan myös oktaedriseksi symmetriaksi .

On olemassa 7 kuperaa yhtenäistä polyhedraa , jotka voidaan rakentaa käyttämällä tätä symmetriaryhmää ja kolmea sen alternation -alisymmetriaa, joista jokaisella on yksi Coxeter-Dynkin-kaavio. Wythoff-symboli edustaa Coxeterin kaavion erikoistapausta tason 3 graafeille, joissa on kaikki kolme haaraa poistamatta kertaluvun 2 haaroja. Wythoff-symboli voi toimia leikkausten kanssa , mutta ei yleisten vuorottelujen kanssa, kun kaikki solmut eivät ole ympyröity.

Tasainen oktaedrillinen polyhedra

Symmetria : [4,3], (*432)							[4,3] + , (432)	[3 + ,4], (3*2)


{4,3}	t{4,3}	r{4,3}	t{3,4}	{3,4}	rr{4,3}	tr{4,3}	sr{4,3}	s{3,4}
Kaksoispolyhedra

V4 3	v3.82 _	V(3.4) 2	v4.62 _	V3 4	v3.43 _	V4.6.8	V3 4.4 _	V3 5

Samat rakenteet voidaan tehdä irrotetuilla (ortogonaalisilla) Coxeter-ryhmillä, kuten homogeenisten prismojen ryhmällä , ja ne voidaan nähdä selkeämmin dihedrien ja osohedrien laatoitusina pallolla, kuten perheet [6] × [] tai [6, 2]:

Tasainen kuusikulmainen kaksitahoinen pallomainen monitahoinen

Symmetria : [6,2] , (*622)							[6,2] + , (622)	[6,2 + ], (2*3)


{6,2}	t{6,2}	r{6,2}	t{2,6}	{2,6}	rr{2,6}	tr{6,2	sr{6,2}	s{2,6}
Heidän kaksoispolyhedransa

V6 2	V12 2	V6 2	V4.4.6	v26 _	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Verrattuna [6,3], perheluo kaksi rinnakkaista perhettä, joissa on 7 yhtenäistä Euklidisen tason laatoitusta ja niiden kaksoislaatoitusta. Jälleen on 3 vuorottelua ja useita puolisymmetrisiä versioita.

Homogeeniset kuusikulmio/kolmiolaatat

Symmetria : [6,3], (*632)							[6,3] + (632)	[6,3 + ] (3*3)
{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}	s{3,6}


6 3	3,12 2	(3.6) 2	6.6.6	3 6	3.4.12.4	4.6.12	3.3.3.3.6	3.3.3.3.3.3
Niiden kaksoishomogeeninen laatoitus

V6 3	V3.122 [ fi	V(3.6 2	V6 3	V3 6	V3.4.12.4	V.4.6.12	V3 4.6 [ fi	V3 6

Hyperbolisella tasolla [7,3] perheluo kaksi rinnakkaista euklidisen tason homogeenista laatoitusjoukkoa ja niiden kaksoislaatoitus. On vain yksi vuorottelu ( katkaisu ), koska kaikki haarat ovat parittomia. Hyperbolisen tason yhtenäisten laatoitusten joukossa näkyy monia muita hyperbolisia yhtenäisten laatoitusten perheitä .

Tasaiset seitsemänkulmaiset/kolmiolaatat
Symmetria: [7,3], (*732)							[7,3] + , (732)


{7,3}	t{7,3}	r{7,3	2t{7,3} =t{3,7}	2r{7,3} ={3,7}	rr{7,3	tr{7,3	sr{7,3
Homogeeniset kaksoislaatat


V7 3	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V3 7	V3.4.7.4	V4.6.14	V3.3.3.3.7

Affine Coxeter -ryhmät

Kuverien homogeenisten euklidisten laatoitusten perheet määritellään affinisella Coxeter-ryhmällä . Nämä ryhmät ovat identtisiä lehtiryhmien kanssa yhden solmun lisäyksellä. Aakkosjärjestyksessä niille annetaan sama kirjain, jonka yläpuolella on aaltoviiva ("~"). Indeksi viittaa äärelliseen ryhmään, joten sijoitus on indeksi + 1. ( Affiinisten ryhmien Witt -symbolit on myös merkitty )

${\tilde{A}}_{n-1}$ : tämän tyyppiset kaaviot ovat syklejä. (myös P n )
${\tilde{C}}_{n-1}$ liittyy hyperkuutioiden säännöllisten laatoitusten perheeseen (3, …., 4). (myös R n )
${\tilde{B}}_{n-1}$ liittyy C:n poistamiseen yhden alaikäisen. (myös S n )
${\tilde{D}}_{n-1}$ liittyy C:hen poistamalla kaksi alaikäistä. (myös Q n )
${\tilde {E}}_{6}$ , , . (Myös T 7 , T 8 , T 9 ) ${\tilde{E}}_7$ ${\tilde{E}}_8$
${\tilde{F}}_4$ muodostaa {3,4,3,3} tavallisen laatoituksen. (myös U5 )
${\tilde{G}}_2$ muodostaa 30-60-90 kolmion muotoista perusaluetta. (myös V3 )
${\tilde{I}}_1$ koostuu kahdesta rinnakkaisesta peilistä. (= = ) (myös W 2 ) ${\tilde{A}}_1$ ${\tilde{C}}_1$

Yhdistelmäryhmät voidaan määritellä ortogonaalisiksi järjestelmiksi. Yleisimmin käytetty . Esimerkiksi, ${\tilde{A}}_1$ ${\tilde{A}}_1^2$ edustaa neliön tai suorakaiteen muotoisia alueita euklidisella tasolla, ja ${\tilde{A}}_1 {\tilde{G}}_2$ edustaa perusaluetta kolmiomaisena prismana euklidisessa 3D-avaruudessa.

Affine Coxeter -ryhmät (2-10 solmua)

Sijoitus	${\tilde {A}}_{1+}$ (P2 + )	${\tilde {B}}_{3+}$ (S4 + )	${\tilde{C}}_{1+}$ (R2 + )	${\tilde {D}}_{4+}$ (Q5 + )	${\tilde{E}}_n$ (T n+1 ) / (U 5 ) / (V 3 ) ${\tilde{F}}_4$ ${\tilde{G}}_2$
2	${\tilde{A}}_1$ =[∞]		${\tilde{C}}_1$ =[∞]
3	${\tilde {A}}_{2}$ =[3 [3] ] *		${\tilde {C}}_{2}$ =[4,4] *		${\tilde {G}}_{2}$ =[6,3] *
neljä	${\tilde {A}}_{3}$ =[3 [4] ] *	${\tilde {B}}_{3}$ =[4,3 1,1 ] *	${\tilde {C}}_{3}$ =[4,3,4] *	${\tilde{D}}_{3}$ =[3 1,1 ,3 −1 ,3 1,1 ] = ${\tilde {A}}_{3}$
5	${\tilde {A}}_{4}$ =[3 [5] ] *	${\tilde {B}}_{4}$ =[4,3,3 1,1 ] *	${\tilde {C}}_{4}$ =[4,3 2,4 ] *	${\tilde {D}}_{4}$ =[3 1,1,1,1 ] *	${\tilde {F}}_{4}$ =[3,4,3,3] *
6	${\tilde {A}}_{5}$ =[3 [6] ] *	${\tilde {B}}_{5}$ =[4,3 2 , 3 1,1 ] *	${\tilde {C}}_{5}$ =[4,3 3,4 ] *	${\tilde {D}}_{5}$ =[3 1,1 ,3,3 1,1 ] *
7	${\tilde {A}}_{6}$ =[3 [7] ] *	${\tilde {B}}_{6}$ =[4,3 3 , 3 1,1 ]	${\tilde {C}}_{6}$ =[4,3 4,4 ]	${\tilde {D}}_{6}$ =[3 1,1 ,3 2 ,3 1,1 ]	${\tilde {E}}_{6}$ =[3 2,2,2 ]
kahdeksan	${\tilde {A}}_{7}$ =[3 [8] ] *	${\tilde {B}}_{7}$ =[4,3 4 , 3 1,1 ] *	${\tilde {C}}_{7}$ =[4,3 5,4 ]	${\tilde {D}}_{7}$ =[3 1,1 ,3 3 ,3 1,1 ] *	${\tilde {E}}_{7}$ =[3 3,3,1 ] *
9	${\tilde {A}}_{8}$ =[3 [9] ] *	${\tilde {B}}_{8}$ = [ 4,35,31,1 ] _	${\tilde {C}}_{8}$ =[4,3 6,4 ]	${\tilde {D}}_{8}$ =[3 1,1 ,3 4 ,3 1,1 ]	${\tilde {E}}_{8}$ =[3 5,2,1 ] *
kymmenen	${\tilde {A}}_{9}$ =[3 [10] ] *	${\tilde {B}}_{9}$ =[4,3 6 ,3 1,1 ]	${\tilde {C}}_{9}$ =[4,3 7,4 ]	${\tilde {D}}_{9}$ =[3 1,1 ,3 5 ,3 1,1 ]
yksitoista	…	…	…	…

Hyperboliset Coxeter-ryhmät

Hyperbolisia Coxeter-ryhmiä on äärettömän monta . Hyperboliset ryhmät jaetaan kompakteihin ja ei-kompakteihin, joissa kompakteilla ryhmillä on rajattu perusalueita. Hyperbolisten yksinkertaisteiden kompakteja ryhmiä ( Lanner yksinkertaiset ) on olemassa 3–5. Yksinkertaisten ryhmien parakompakteja ryhmiä ( Koszul yksinkertaiset ) on aina 10. luokkaan asti. Hyperkompakteja ( Vinberg polyhedra ) ryhmiä on tutkittu, mutta niitä ei ole vielä täysin ymmärretty. Vuonna 2006 Allcock osoitti, että pienikokoisia Vinberg-polytooppeja on äärettömän paljon tiloihin, joiden ulottuvuus on enintään 6, ja Vinbergin polytooppeja, joiden koko on enintään 19 [7] , joten täydellinen luettelointi on mahdotonta. Kaikkia näitä heijastusten perusalueita, sekä yksinkertaisia että ei-yksinkertaisia, kutsutaan usein Coxeterin polytoopeiksi tai joskus, vähemmän tarkasti, Coxeter - polyhedraksi .

Hyperboliset ryhmät H 2 :ssa

Poincarén malli kolmioiden perusalueesta

Esimerkkejä suorakulmaisista kolmioista [p, q]
[3,7]	[3,8]	[3,9]	[3,∞]
[4,5]	[4,6]	[4,7]	[4,8]	[∞,4]
[5,5]	[5,6]	[5,7]	[6,6]	[∞,∞]
Esimerkkejä yleisistä kolmioista [(p, q, r)]
[(3,3,4)]	[(3,3,5)]	[(3,3,6)]	[(3,3,7)]	[(3,3,∞)]
[(3,4,4)]	[(3,6,6)]	[(3,∞,∞)]	[(6,6,6)]	[(∞,∞,∞)]

Kaksiulotteiset hyperboliset kolmioryhmät ovat kolmion (pqr) määrittelemiä Coxeter-kaavioita, joiden arvo on 3:

\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}<1.

Kompakteja kolmion muotoisia hyperbolisia Coxeter-ryhmiä on äärettömän monta, mukaan lukien viiva- ja kolmiokaaviot. Suorakaavioita on olemassa suorakulmaisille kolmioille (jossa r=2). [kahdeksan]

Kompaktit hyperboliset Coxeter-ryhmät

Lineaarinen

Syklinen

∞ [p, q],

:
2(p+q)<pq

…

…

…

∞ [(p, q, r)],

: p+q+r>9

			…

Paracompact Coxeter -ryhmät, jotka ovat sijalla 3, ovat olemassa kompaktien rajojena.

Viivakaaviot	Sykliset kaaviot
[p,∞] [∞,∞]	[(p, q,∞)] [(p,∞,∞)] [(∞,∞,∞)]

Kolmion aritmeettinen ryhmä

Hyperbolisten kolmioryhmien äärellinen osajoukko on aritmeettiset ryhmät . Täydellinen luettelo tällaisista ryhmistä löydettiin Kisao Takeuchin tietokoneella ja julkaistiin vuoden 1977 paperissa Aritmetic Groups of Triangles [9] . Tällaisia ryhmiä on 85, joista 76 on kompakteja ja 9 parakompakteja.

Suorakulmaiset kolmiot (pq 2)	Yleiset kolmiot (pqr)
Kompaktit ryhmät: (76) ,,,,,,,,,, ,,,,,, ,,,,, ,,,, ,,,,,,, Parakompaktit suorakulmaiset kolmiot: (4) ,,,	Yleiset kolmiot: (39) ,,,,,,, ,,,,,,,,, ,,,,,,, ,,, ,,,,,,,, Yleiset parakompaktit kolmiot: (5) ,,,,
(2 3 7), (2 3 8), (2 3 9), (2 3 10), (2 3 11), (2 3 12), (2 3 14), (2 3 16), (2) 3 18), (2 3 24), (2 3 30) (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7), (2 4 8), (2 4 10), (2 4 12), (2 4 18), (2 5 5), (2 5 6), (2 5 8), (2 5 10), (2 5 20), (2 5 30) (2 6 6), (2 6 8), (2 6 12) (2 7 7), (2 7 14), (2 8 8), (2 8 16), (2 9 18) (2 10 10) (2 12 12) (2 12 24), (2 15 30), (2 18 18) (2 3 ∞) (2,4 ∞) (2,6 ∞) (2 ∞ ∞)	(3 3 4), (3 3 5), (3 3 6), (3 3 7), (3 3 8), (3 3 9), (3 3 12), (3 3 15) (3 4 4), (3 4 6), (3 4 12), (3 5 5), (3 6 6), (3 6 18), (3 8 8), (3 8 24), (3) 10 30), (3 12 12) (4 4 4), (4 4 5), (4 4 6), (4 4 9), (4 5 5), (4 6 6), (4 8 8), (4 16 16) (5 5 5), (5 5 10), (5 5 15), (5 10 10) (6 6 6), (6 12 12), (6 24 24) (7 7 7) (8 8 8) (9 9 9) (9 18 18) (12 12 12) (15 15 15) (3,3∞) (3∞∞) (4,4 ∞) (6 6 ∞) (∞ ∞ ∞)

Hyperboliset Coxeterin polygonit kolmioiden yli Nelikulmioryhmien perusalue

Alueet, joilla on täydelliset kärjet
tai [∞,3,∞] [iπ/λ 1 ,3,iπ/λ 2 ] (*3222)	tai [((3,∞,3)),∞] [((3,iπ/λ 1 ,3)), iπ/λ 2 ] (*3322)	tai [(3,∞) [2] ] [(3,iπ/λ 1 ,3,iπ/λ 2 )] (*3232)	tai [(4,∞) [2] ] [(4,iπ/λ 1 ,4,iπ/λ 2 )] (*4242)	(*3333)
[iπ/λ 1 ,∞,iπ/λ 2 ] (*∞222)	(*∞∞22)	[(iπ/λ 1 ,∞,iπ/λ 2 ,∞)] (*2∞2∞)	(*∞∞∞∞)	(*4444)

Muita H 2 -hyperbolisia kaleidoskooppeja voidaan rakentaa korkeamman asteen polygoneista. Kuten kolmioryhmät, nämä kaleidoskoopit voidaan tunnistaa syklisestä sekvenssistä peiliristeysjärjestyksistä perusalueen ympärillä, kuten (abcd …) tai vastaavasti ( orbifold-merkinnän mukaan ) muodossa * abcd …. Coxeter-Dynkin-kaavioita näille monikulmioisille kaleidoskoopeille voidaan pitää perusalueena, jossa on degeneroitunut -ulotteinen simpleksi haarojen a, b, c… syklisessä järjestyksessä, ja loput haarat on merkitty äärettömiksi (∞) ja edustavat ei-leikkauksia. peilit. Ainoa ei-hyperbolinen esimerkki on neliön tai suorakulmion neljän peilin symmetria (euklidisessa avaruudessa), $(n-1)$ $n\cdot (n-3)/2$ , [∞,2,∞] (orbifold *2222). Toinen Vinbergin ehdottama esitys epäyhtenäisten peilien haaroista näyttää äärettömät oksat katko- tai katkoviivoilla, jotta kaaviot näyttävät tältäoletetaan neljällä kertaluvun 2 haaralla kehän ympärillä.

Esimerkiksi nelikulmaisella alueella (abcd) on kaksi äärettömän kertaluvun haaraa, jotka yhdistävät ultrarinnakkaispeilet. Pienin hyperbolinen esimerkki on, [∞,3,∞] tai [iπ/λ 1 ,3,iπ/λ 2 ] (orbifold *3222), missä (λ 1 ,λ 2 ) on ultrarinnakkaispeilien välinen etäisyys. Vaihtoehtoinen ilmaisu on, jossa oletetaan kolme luokkaa 2 olevaa haaraa kehän ympärillä. Vastaavasti (2 3 2 3) (orbifold *3232) voidaan esittää muodossaja (3 3 3 3), (orbifold *3333) voidaan esittää täydellisenä graafina.

Korkein neliöalue (∞ ∞ ∞ ∞) on ääretön neliö, jota edustaa täydellinen tetraedrikaavio , jossa on 4 kehähaaraa ihanteellisina kärkipisteinä ja kaksi diagonaalihaaraa äärettömänä (esitetty katkoviivoilla) ultrarinnakkaisille peileille:.

Kompakti (Lanner simplice -ryhmät)

Kompakteja hyperbolisia ryhmiä kutsutaan Lanner-ryhmiksi Folke Lannerin mukaan, joka tutki niitä vuonna 1950 [5] . Ryhmät ovat olemassa vain 4- ja 5-arvoisille kaavioille. Coxeter tutki (oman nimensä) lineaarisia hyperbolisia ryhmiä vuoden 1954 artikkelissa Regular Honeycombs in hyperbolic space [ 10] , joka antaa kaksi rationaalista ratkaisua 4-ulotteisessa hyperbolisessa avaruudessa : [5/2,5,3,3] =ja [5,5/2,5,3] =.

Sijat 4-5

Minkä tahansa jaetun ryhmän [5,3 1,1 ] ja [5,3,3 1,1 ] perusalue on vastaavan lineaarisen ryhmän [5,3,4] ja [5,3] kaksinkertaistuminen. ,3,4] vastaavasti . Johnson on antanut ryhmien kirjainnimet jatkona Witt-symboleille [11] .

Kompaktit hyperboliset Coxeter-ryhmät

Mitta H d	Sijoitus	Kokonaismäärä	Lineaarinen	halkeavaa	Syklinen
H3_ _	neljä	9	3: ${\bar{BH}}_3$ = [4,3,5]: ${\bar{K}}_3$ = [5,3,5]: ${\bar{J}}_3$ = [3,5,3]:	${\bar{DH}}_3$ = [5,3 1,1 ]:	${\widehat{AB}}_3$ = [(3 3 ,4)]: ${\widehat{AH}}_3$ = [(3 3 ,5)]: ${\widehat{BB}}_3$ = [(3,4) [2] ]: ${\widehat{BH}}_3$ = [(3,4,3,5)]: ${\widehat{HH}}_3$ = [(3,5) [2] ]:
H4 _	5	5	3: ${\bar{H}}_4$ = [3 3 ,5]: ${\bar{BH}}_4$ = [4,3,3,5]: ${\bar{K}}_4$ = [5,3,3,5]:	${\bar{DH}}_4$ = [5,3,3 1,1 ]:	${\widehat{AF}}_4$ = [(3 4 ,4)]:

Paracompact (Koszul-yksinkertaisten ryhmät)

Parakompaktit (kutsutaan myös ei-kompakteiksi) hyperboliset Coxeter-ryhmät sisältävät affiineja alaryhmiä ja niillä on asymptoottisesti simplex-perusalueet. Korkeimmat parakompaktit hyperboliset Coxeter-ryhmät ovat sijalla 10. Nämä ryhmät on nimetty ranskalaisen matemaatikon Jean-Louis Koszul [12] mukaan . Niitä kutsutaan myös kvasi-Lanner-ryhmiksi kompaktien Lanner-ryhmien laajennuksina. M. Chein löysi täydellisen luettelon ryhmistä tietokoneella ja julkaisi vuonna 1969 [13] .

Vinbergin mukaan kaikki paitsi kahdeksan näistä 72 kompaktista ja parakompakteista ryhmästä ovat aritmeettisia. Kaksi ei-aritmeettista ryhmää ovat kompakteja −ja. Loput kuusi ei-aritmeettista ryhmää ovat parakompakteja, joista viisi on kolmiulotteisia (,,,ja), ja yksi on 5-ulotteinen ().

Ihanteelliset yksinkertaiset

On 5 hyperbolista Coxeter-ryhmää, jotka heijastavat ihanteellisia yksinkertaistuksia , joissa on kaavioita, joiden minkä tahansa kärjen poistaminen johtaa affiiniseen Coxeter-ryhmään. Tässä tapauksessa näiden ihanteellisten yksinkertaisuuksien kaikki kärjet ovat äärettömässä [14] .

Sijoitus	Ihanteellinen ryhmä	Affiinit alaryhmät
3	[(∞,∞,∞)]	[∞]
neljä	[4 [4] ]	[4,4]
neljä	[3 [3,3] ]	[3 [3] ]
neljä	[(3,6) [2] ]	[3,6]
6	[(3,3,4) [2] ]	[4,3,3,4], [3,4,3,3]	,

Sijat 4-10

On olemassa 58 parakompaktia hyperbolista Coxeter-ryhmää, joiden arvot ovat 4-10. Kaikki 58 ryhmää on ryhmitelty viiteen luokkaan. Johnson antoi ryhmien kirjaimet Extended Witt -symboleina , joihin hän käytti kirjaimia PQRSTWUV affiinisista Witt-symboleista ja lisäsi kirjaimet LMNOXYZ. Hyperbolisten ryhmien nimitysten kirjainten yläpuolella on alleviivaus tai yläosa (syklisille kaavioille). Coxeterin hakasulkujen merkintä on linearisoitu esitys Coxeter-ryhmästä.

Hyperboliset parakompaktiryhmät

Sijoitus	Täysi numero	ryhmät
neljä	23	${\widehat{BR}}_3$ = [(3,3,4,4)]: ${\widehat{CR}}_3$ = [(3,4 3 )]: ${\widehat{RR}}_3$ = [4 [4] ]: ${\widehat{AV}}_3$ = [(3 3 ,6)]: ${\widehat{BV}}_3$ = [(3,4,3,6)]: ${\widehat{HV}}_3$ = [(3,5,3,6)]: ${\widehat{VV}}_3$ = [(3,6) [2] ]:	${\bar{P}}_3$ = [3,3 [3] ]: ${\bar{BP}}_3$ = [4,3 [3] ]: ${\bar{HP}}_3$ = [5,3 [3] ]: ${\bar{VP}}_3$ = [6,3 [3] ]: ${\bar{DV}}_3$ = [6,3 1,1 ]: ${\bar{O}}_3$ = [3,4 1,1 ]: ${\bar{M}}_3$ = [4 1,1,1 ]:	${\bar{R}}_3$ = [3,4,4]: ${\bar{N}}_3$ = [4 3 ]: ${\bar{V}}_3$ = [3,3,6]: ${\bar{BV}}_3$ = [4,3,6]: ${\bar{HV}}_3$ = [5,3,6]: ${\bar{Y}}_3$ = [3,6,3]: ${\bar{Z}}_3$ = [6,3,6]:	${\bar{DP}}_3$ = [3 []x[] ]: ${\bar{PP}}_3$ = [3 [3,3] ]:
5	9	${\bar{P}}_4$ = [3,3 [4] ]: ${\bar{BP}}_4$ = [4,3 [4] ]: ${\widehat{FR}}_4$ = [(3 2 ,4,3,4)]: ${\bar{DP}}_4$ = [3 [3]x[] ]:	${\bar{N}}_4$ = [4,3,((4,2,3))]: ${\bar{O}}_4$ = [3,4,3 1,1 ]: ${\bar{S}}_4$ = [4,3 2,1 ]:	${\bar{R}}_4$ = [(3,4) 2 ]:	${\bar{M}}_4$ = [4,3 1,1,1 ]:
6	12	${\bar{P}}_5$ = [3,3 [5] ]: ${\widehat{AU}}_5$ = [(3 5 ,4)]: ${\widehat{AR}}_5$ = [(3,3,4) [2] ]:	${\bar{S}}_5$ = [4,3,3 2,1 ]: ${\bar{O}}_5$ = [3,4,3 1,1 ]: ${\bar{N}}_5$ = [3,(3,4) 1,1 ]:	${\bar{U}}_5$ = [3 3 ,4,3]: ${\bar{X}}_5$ = [3,3,4,3,3]: ${\bar{R}}_5$ = [3,4,3,3,4]:	${\bar{Q}}_5$ = [3 2,1,1,1 ]: ${\bar{M}}_5$ = [4,3,3 1,1,1 ]: ${\bar{L}}_5$ = [3 1,1,1,1,1 ]:
7	3	${\bar{P}}_6$ = [3,3 [6] ]:	${\bar{Q}}_6$ = [3 1,1 ,3,3 2,1 ]:	${\bar{S}}_6$ = [4,3 2 , 3 2,1 ]:
kahdeksan	neljä	${\bar{P}}_7$ = [3,3 [7] ]:	${\bar{Q}}_7$ = [3 1,1 ,3 2 ,3 2,1 ]:	${\bar{S}}_7$ = [4,3 3 , 3 2,1 ]:	${\bar{T}}_7$ = [3 3,2,2 ]:
9	neljä	${\bar{P}}_8$ = [3,3 [8] ]:	${\bar{Q}}_8$ = [3 1,1 ,3 3 ,3 2,1 ]:	${\bar{S}}_8$ = [4,3 4 , 3 2,1 ]:	${\bar{T}}_8$ = [3 4,3,1 ]:
kymmenen	3		${\bar{Q}}_9$ = [3 1,1 ,3 4 ,3 2,1 ]:	${\bar{S}}_9$ = [4,3 5 ,3 2,1 ]:	${\bar{T}}_9$ = [3 6,2,1 ]:

Parakompaktien hyperbolisten ryhmien alaryhmien yhteydet

Alla olevat kaaviot esittävät parakompaktien hyperbolisten ryhmien alaryhmien yhteyksiä. Jokaisen reunan alaryhmäindeksi on merkitty punaisella [15] . Alaryhmät indeksillä 2 tarkoittavat peilin poistamista ja perusalueen kaksinkertaistamista. Muut alaryhmät ovat suhteellisia (tilavuuksien suhde on kokonaisluku).

H3_ _
H4 _
H5 _

Hyperkompaktit Coxeter-ryhmät (Vinbergin polytoopit)

Kuten hyperbolisen tason H 2 tapauksessa , jossa on ei-kolmiomaiset monikulmion perusalueet, korkeammissa ulottuvuuksissa on alueita, jotka eivät ole yksinkertaisia. Näitä alueita voidaan pitää rappeutuneina yksinkertaisina ei-leikkautuvilla peileillä, jotka antavat äärettömän järjestyksen. Coxeter-kaavioissa tällaiset haarat heijastuvat katko- tai katkoviivoilla. Tällaisia alueita, jotka eivät ole yksinkertaisia , kutsutaan Vinbergin polytoopeiksi Ernest Vinbergin mukaan, joka kehitti algoritmin hyperbolisen heijastusryhmän ei-simplex-perusalueen löytämiseksi. Geometrisesti nämä perusalueet voidaan luokitella nelikulmaisiksi pyramideiksi tai prismoiksi tai muiksi monitahoiksi , joiden kaikilla reunoilla on dihedraaliset kulmat π/n, kun n=2,3,4…

Yksipuolisissa alueilla on n + 1 peiliä n-ulotteiselle avaruudelle. Ei-simplex-alueilla on enemmän kuin n + 1 peiliä. Lista on rajallinen, mutta ei vielä täysin tiedossa. On olemassa osittaisia listoja, joissa on n + k peiliä k:lle 2,3 ja 4.

Hyperkompaktit Coxeter-ryhmät kolmiulotteisessa avaruudessa ja sitä korkeammissa eroavat kaksiulotteisista ryhmistä yhdellä olennaisella tavalla. Tasossa kahdella hyperbolisella n-kulmalla, joilla on samat kulmat jossakin syklisessä järjestyksessä, voi olla eri reunanpituudet, eivätkä ne yleensä ole yhteneviä . Vinbergin polytoopit 3-ulotteisessa avaruudessa ja sitä suuremmissa määrittyvät täysin dihedraalisilla kulmilla. Tämä tosiasia perustuu Mostow'n jäykkyyslauseeseen , jonka mukaan kaksi isomorfista ryhmää, jotka muodostuvat H n :n heijastuksista n>=3:lle, määrittelevät kongruentteja perusalueita (Vinberg-polytooppeja).

Vinbergin polytoopit arvolla n+2 n-ulotteiselle avaruudelle

F. Esselmann antoi vuonna 1996 täydellisen luettelon Vinbergin polytoopeista, joiden peiliarvo on n+2 n-ulotteisten avaruuksien osalta [16] . Osittainen luettelo julkaisi vuonna 1974 I. M. Kaplinskaya [17] .

P. V. Tumarkin julkaisi vuonna 2003 täydellisen luettelon parakompakteista ratkaisuista kooille 3-17 [18] .

Pienin parakompakti joukko H 3 :ssa voidaan esittää muodossatai [∞,3,3,∞], ja se voidaan rakentaa poistamalla peili parakompaktista hyperbolisesta ryhmästä [3,4,4]. Kaksinkertainen perusalue muuttuu tetraedristä nelikulmaiseksi pyramidiksi. Muita pyramideja ovat [4,4,1 + ,4] = [∞,4,4,∞],=. Peilin poistaminen joistakin syklisistä hyperbolisista Coxeter-kaavioista muuttaa ne rusetiksi: [(3,3,4,1 + ,4)] = [((3,∞,3)), ((3,∞,3)) ] tai, [(3,4,4,1 + ,4)] = [((4,∞,3)), ((3,∞,4))] tai, [(4,4,4,1 + ,4)] = [((4,∞,4)), ((4,∞,4))] tai.

Muita parakompakteja kaavioita, joissa on nelikulmaisia pyramidin perusalueita, ovat:

Ulottuvuus	Sijoitus	Laskee
H3_ _	5	,,,, ,,,,, ,,,,,, ,,,,,,,,,,,,

Toinen alaryhmä [1 + ,4 1,1,1 ] = [∞,4,1 + ,4,∞] = [∞ [6] ].==. [19]

Vinbergin polytoopit arvolla n+3 n-ulotteiselle avaruudelle

Avaruudessa on rajallinen määrä rappeutuneita perusalueita aina 8 ulottuvuuteen asti. P. V. Tumarkin antoi vuonna 2004 täydellisen luettelon kompakteista Vinberg -polytoopeista, joiden peiliarvo on n+3 n-ulotteisten avaruuksien osalta. Nämä ryhmät on merkitty katkoviivoilla ultrarinnakkaisille haareille.

Dimensioissa 4-8 Coxeter-ryhmien lukumäärä 7-11 on 44, 16, 3, 1 ja 1 [20] . Bugaenko löysi korkeimman luokan ryhmän vuonna 1984 ulottuvuuden 8 avaruudesta, ja sillä on sija 11 [21] :

Mitat	Sijoitus	tapauksia	Kaaviot
H4 _	7	44	…
H5 _	kahdeksan	16	..
H6 _	9	3
H7_ _	kymmenen	yksi
H8_ _	yksitoista	yksi

Vinbergin polytoopit arvolla n+4 n-ulotteiselle avaruudelle

On olemassa rajallinen määrä rappeutuneita perustavanlaatuisia yksinkertaistuksia ulottuvuuksissa kahdeksaan asti. Anna Felikson ja Pavel Tumarkin tutkivat kompakteja Vinberg- polytooppeja, joiden peiliarvo on n+4 dimensiolle n. [22]

Lorentz-ryhmät

Säännölliset hunajakennot Lorentz-ryhmien kanssa

{3,3,7} hyperbolisessa 3-ulotteisessa avaruudessa. Hunajakennojen ja äärettömän tason leikkaus on esitetty Poincarén puoliavaruusmallissa .	{7,3,3} , edustettuna Poincarén pallomallin ulkopuolella.

Lorentz-ryhmät ovat Minkowski-avaruuden Lorentzin muunnosryhmiä . Niillä on yhteys erityisessä suhteellisuusteoriassa käytettyyn Hendrik Lorentzin mukaan nimettyyn Lorentzin geometriaan sekä yleisen suhteellisuusteorian aika-avaruuskäsitteeseen , joka sisältää aikakaltaisia vektoreita, joiden skalaaritulo itsensä kanssa antaa negatiivinen tulos [11] .

Maxwellin, Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups -julkaisussa vuodelta 1982 on luettelo Lorentzin ryhmistä 5 - 11. Hänen antama luettelo on täydellinen, mutta se ei heijasta tapauksia, joissa yksi ryhmä on toisen alaryhmä. Lorentz-ryhmiä on äärettömän monta sijalla 4. Rikeillä 5-11 on rajallinen määrä Lorentz-ryhmiä - 186, 66, 36, 13, 10, 8 ja 4, vastaavasti [6] . Vuonna 2013 julkaistussa artikkelissa Chen ja Labbé (H. Chen, J.-P. Labbé, Lorentzian Coxeter ryhmät ja Boyd--Maxwell pallopakkaukset ) laskivat uudelleen ja täydensivät luetteloa [23] .

Lorentz Coxeterin ryhmät

Sijoitus	kokonaismäärä _	ryhmät
neljä	∞	[3,3,7] … [∞,∞,∞]:… [4,3 [3] ] … [∞,∞ [3] ]:… [5,4 1,1 ] … [∞ 1,1,1 ]:… … [(5,4,3,3)] … [∞ [4] ]: …… … [4 []×[] ] … [∞ []×[] ]: … … [4 [3,3] ] … [∞ [3,3] ]
5	186	…[3 [3,3,3] ]:…
6	66
7	36	[3 1,1,1,1,1,1 ]:…
kahdeksan	13	[3,3,3 [6] ]: [3,3 [6] , 3]: [3,3 [2+4] ,3]: [3,3 [1+5] ,3]: [3 [ ]e × [3] ]:	[4,3,3,3 3,1 ]: [3 1,1 ,3,3 3,1 ]: [3,(3,3,4) 1,1 ]: [3 2,1 ,3,3 2,1 ]:		[4,3,3,3 2,2 ]: [3 1,1 ,3,3 2,2 ]:
9	kymmenen	[3,3 [3+4] ,3]: [3,3 [9] ]: [3,3 [2+5] ,3]:	[3 2.1 ,3 2.3 2.1 ] :	[3 3,1 ,3 3 ,4]: [3 3,1 ,3,3,3 1,1 ]:	[3 3,3,2 ]: [3 2,2,4 ]: [3 2,2 ,3 3 ,4]: [3 2,2 ,3,3,3 1,1 ]:
kymmenen	kahdeksan	[3,3 [8] , 3]: [3,3 [3+5] ,3]: [3,3 [9] ]:	[3 2.1 ,3 3.3 2.1 ] :	[3 5,3,1 ]: [3 3,1 ,3 4 ,4]: [3 3.1 , 3 3.3 1.1 ]:	[3 4,4,1 ]:
yksitoista	neljä		[3 2.1 ,3 4.3 2.1 ] :	[3 2,1 ,3 6 ,4]: [3 2.1 ,3 5.3 1.1 ] :	[3 7,2,1 ]:

Erittäin laajennetut Coxeter-kaaviot

Joskus käytetään käsitettä voimakkaasti laajennetut Dynkin -diagrammit , joissa affiineja pidetään laajennetuina , hyperbolisia ryhmiä olennaisesti laajennettuina ja kolmatta haaraa pidetään vahvasti laajennetuina yksinkertaisina ryhminä. Nämä laajennukset on yleensä merkitty 1, 2 tai 3 + yläindeksiin laajennettujen kärkien lukumäärälle. Näitä laajennettuja sarjoja voidaan laajentaa vastakkaiseen suuntaan poistamalla peräkkäin graafin samassa kohdassa olevia solmuja, vaikka prosessi pysähtyy, kun haarautuva solmu poistetaan. Laajennettu perhe E 8 on tunnetuin esimerkki jatkumisesta taaksepäin E3: sta ja eteenpäin E11: een .

Laajennusprosessi voi antaa rajoitetun sarjan Coxeter-kaavioita, jotka siirtyvät äärellisistä affiinisiin, sitten hyperbolisiin ja Lorentz-ryhmiin. Cartan-matriisideterminantti määrittää, missä sarja muuttuu äärellisestä (positiivinen determinantti) affiiniseksi (nolla), sitten hyperboliseksi (negatiivinen) ja päättyy Lorentz-ryhmään, joka sisältää vähintään yhden hyperbolisen alaryhmän [24] . Ei-kristallografiset ryhmät Hn muodostavat laajennetun sarjan, jossa H4 laajenee kompaktiksi hyperboliseksi ryhmäksi ja laajenee olennaisesti Lorentz-ryhmäksi.

Schläfli-matriisin determinantti asteikkojen mukaan [25] :

det(A 1 n =[2 n-1 ]) = 2 n (lopullinen kaikille n)
det(A n =[3 n-1 ]) = n+1 (lopullinen kaikille n)
det(B n =[4,3 n-2 ]) = 2 (lopullinen kaikille n)
det(D n =[3 n-3,1,1 ]) = 4 (lopullinen kaikille n)

Schläfli-matriisideterminantti poikkeuksellisissa sarjoissa:

det( E n =[3 n-3,2,1 ]) = 9-n (lopullinen E 3 (=A 2 A 1 ), E 4 (=A 4 ), E 5 (= D 5 ) ), E 6 , E 7 ja E 8 , affiininen E9:lle ( ), hyperbolinen E 10 : lle ) ${\tilde {E}}_{8}$
det([3 n-4,3,1 ]) = 2(8-n) (Äärillinen arvolle n = 4 - 7, affiininen arvolle ( ) ja hyperbolinen arvolle n = 8.) ${\tilde {E}}_{7}$
det([3 n-4,2,2 ]) = 3(7-n) (Äärillinen arvolle n = 4 - 6, affiini arvolle ( ) ja hyperbolinen arvolle n = 7.) ${\tilde {E}}_{6}$
det(F n =[3,4,3 n-3 ]) = 5-n (äärellinen F 3 (=B 3 ) ja F 4 , affine F 5 ( ), hyperbolinen F 6 ) ${\tilde {F}}_{4}$
det(G n =[6,3 n-2 ]) = 3-n (äärellinen G 2 :lle, affiini G 3 :lle ( ), hyperbolinen G 4 :lle ) ${\tilde {G}}_{2}$

Pieni laajennettu sarja

	$A_{2}$	$C_{2}$	$G_{2}$	$A_{3}$	$B_{3}$	$C_{3}$	$H_4$
sijoitus n	[3 [3] ,3 n-3 ]	[4,4,3n -3 ]	G n \u003d [6,3 n-2 ]	[3 [4] ,3 n-4 ]	[4,3 1,n-3 ]	[4,3,4,3n -4 ]	H n \u003d [5,3 n-2 ]
2	[3 ] A2	[4 ] C2	[6 ] G2		[2] A 1 2	[4 ] C2	[5 ] H2
3	[3 [3] ] A 2 + = ${\tilde {A}}_{2}$	[4,4] C 2 + = ${\tilde {C}}_{2}$	[6,3] G 2 + = ${\tilde {G}}_{2}$	[3,3] = A 3	[4,3 ] B3	[4,3 ] C3	[5,3 ] H3
neljä	[3 [3] ,3] A 2 ++ = ${\bar{P}}_3$	[4,4,3 ] C2 ++ = ${\bar{R}}_3$	[6,3,3] G 2 ++ = ${\bar{V}}_3$	[3 [4] ] A 3 + = ${\tilde {A}}_{3}$	[4,3 1,1 ] B 3 + = ${\tilde {B}}_{3}$	[4,3,4] C 3 + = ${\tilde {C}}_{3}$	[5,3,3 ] H4
5	[3 [3] ,3,3] A 2 +++	[4,4,3,3 ] C2 +++	[6,3,3,3] G 2 +++	[3 [4] ,3] A 3 ++ = ${\bar{P}}_4$	[4,3 2,1 ] B 3 ++ = ${\bar{S}}_4$	[4,3,4,3] C 3 ++ = ${\bar{R}}_4$	[ 5,33 ] H5 = _ ${\bar{H}}_4$
6				[3 [4] ,3,3] A 3 +++	[4,3 3,1 ] B 3 +++	[4,3,4,3,3] C 3 +++	[5,3 4 ] H 6
Det(M n )	3(3- n )	2(3- n )	3- n	4 (4- n )	2(4- n )

Medium Extended Series

	$A_{4}$	$B_{4}$	$C_{4}$	$D_{4}$	$F_{4}$	$A_{5}$	$B_{5}$	$D_{5}$
sijoitus n	[3 [5] ,3 n-5 ]	[4,3,3n -4,1 ]	[4,3,3,4,3n -5 ]	[ 3n-4,1,1,1 ]	[3,4,3n -3 ]	[3 [6] , 3 n-6 ]	[4,3,3,3n -5,1 ]	[3 1.1 ,3.3 n-5.1 ]
3		[4.3 −1.1 ] B 2 A 1	[4,3 ] B3	[3 −1,1,1,1 ] A 1 3	[3,4 ] B3		[4,3,3 ] C3
neljä	[3 3 ] A 4	[4,3,3 ] B4	[4,3,3 ] C4	[3 0,1,1,1 ] D 4	[3,4,3] F 4		[4,3,3,3 −1,1 ] B 3 A 1	[3 1,1 ,3,3 −1,1 ] A 3 A 1
5	[3 [5] ] A 4 + = ${\tilde {A}}_{4}$	[4,3,3 1,1 ] B 4 + = ${\tilde {B}}_{4}$	[4,3,3,4] C 4 + = ${\tilde {C}}_{4}$	[3 1,1,1,1 ] D 4 + = ${\tilde {D}}_{4}$	[3,4,3,3] F 4 + = ${\tilde {F}}_{4}$	[3 4 ] A 5	[4,3,3,3,3] B 5	[3 1,1 ,3,3] D 5
6	[3 [5] ,3] A 4 ++ = ${\bar{P}}_5$	[4,3,3 2,1 ] B 4 ++ = ${\bar{S}}_5$	[4,3,3,4,3] C 4 ++ = ${\bar{R}}_5$	[ 3 2,1,1,1 ] D4 ++ = ${\bar{Q}}_5$	[3,4,3 3 ] F 4 ++ = ${\bar{U}}_5$	[3 [6] ] A 5 + = ${\tilde {A}}_{5}$	[4,3,3,3 1,1 ] B 5 + = ${\tilde {B}}_{5}$	[3 1,1 ,3,3 1,1 ] D 5 + = ${\tilde {D}}_{5}$
7	[3 [5] ,3,3] A 4 +++	[4,3,3 3,1 ] B 4 +++	[4,3,3,4,3,3 ] C4 +++	[3 3,1,1,1 ] D 4 +++	[3,4,3 4 ] F 4 +++	[3 [6] , 3] A 5 ++ = ${\bar{P}}_6$	[4,3,3,3 2,1 ] B 5 ++ = ${\bar{S}}_6$	[3 1,1 ,3,3 2,1 ] D 5 ++ = ${\bar{Q}}_6$
kahdeksan						[3 [6] ,3,3] A 5 +++	[4,3,3,3 3,1 ] B 5 +++	[3 1,1 ,3,3 3,1 ] D 5 +++
Det(M n )	5 (5- n )	2(5- n )		4 (5- n )	5- n	6 (6- n )	4 (6- n )

Muutama voimakkaasti laajennettu sarja

	$A_{6}$	$B_{6}$	$D_{6}$	$E_{6}$	$A_7$	$B_7$	$D_7$	$E_7$
sijoitus n	[3 [7] ,3 n-7 ]	[4.3 3.3 n - 6.1 ]	[3 1.1 ,3.3.3 n-6.1 ]	[ 3n-5,2,2 ]	[3 [8] , 3 n-8 ]	[4.3 4.3 n - 7.1 ]	[3 1,1 ,3,3,3,3 n-7,1 ]	[ 3n-5,3,1 ]	E n \u003d [3 n-4,2,1 ]
3									[3 −1,2,1 ] E 3 =A 2 A 1
neljä				[3 −1,2,2 ] A 2 2				[3 −1,3,1 ] A 3 A 1	[3 0,2,1 ] E 4 =A 4
5		[4,3,3,3,3 −1,1 ] B 4 A 1	[3 1,1 ,3,3,3 −1,1 ] D 4 A 1	[3 0,2,2 ] A 5				[3 0,3,1 ] A 5	[3 1,2,1 ] E 5 =D 5
6	[3 5 ] A 6	[4,3 4 ] B 6	[3 1,1 ,3,3,3] D 6	[3 1,2,2 ] E 6		[4,3,3,3,3,3 −1,1 ] B 5 A 1	[3 1,1 ,3,3,3,3 −1,1 ] D 5 A 1	[3 1,3,1 ] D 6	[3 2,2,1 ] E 6 *
7	[3 [7] ] A 6 + = ${\tilde {A}}_{6}$	[4,3 3 , 3 1,1 ] B 6 + = ${\tilde {B}}_{6}$	[3 1,1 ,3,3,3 1,1 ] D 6 + = ${\tilde {D}}_{6}$	[3 2,2,2 ] E 6 + = ${\tilde {E}}_{6}$	[3 6 ] A 7	[4,3 5 ] B 7	[3 1,1 ,3,3,3,3 0,1 ] D 7	[3 2,3,1 ] E 7 *	[3 3,2,1 ] E 7 *
kahdeksan	[3 [7] ,3] A 6 ++ = ${\bar{P}}_7$	[4,3 3 , 3 2,1 ] B 6 ++ = ${\bar{S}}_7$	[3 1,1 ,3,3,3 2,1 ] D 6 ++ = ${\bar{Q}}_7$	[3 3,2,2 ] E 6 ++ = ${\bar{T}}_7$	[3 [8] ] A 7 + = * ${\tilde {A}}_{7}$	[4,3 4 , 3 1,1 ] B 7 + = * ${\tilde {B}}_{7}$	[3 1,1 ,3,3,3,3 1,1 ] D 7 + = * ${\tilde {D}}_{7}$	[3 3,3,1 ] E 7 + = * ${\tilde {E}}_{7}$	[3 4,2,1 ] E 8 *
9	[3 [7] ,3,3] A 6 +++	[4,3 3 , 3 3,1 ] B 6 +++	[3 1,1 ,3,3,3 3,1 ] D 6 +++	[3 4,2,2 ] E 6 +++	[3 [8] ,3] A 7 ++ = * ${\bar{P}}_8$	[4,3 4 , 3 2,1 ] B 7 ++ = * ${\bar{S}}_8$	[3 1,1 ,3,3,3,3 2,1 ] D 7 ++ = * ${\bar{Q}}_8$	[3 4,3,1 ] E 7 ++ = * ${\bar{T}}_8$	[3 5,2,1 ] E 9 =E 8 + = * ${\tilde {E}}_{8}$
kymmenen					[3 [8] ,3,3] A 7 +++ *	[4,3 4 , 3 3,1 ] B 7 +++ *	[3 1,1 ,3,3,3,3 3,1 ] D 7 +++ *	[3 5,3,1 ] E 7 +++ *	[3 6,2,1 ] E 10 =E 8 ++ = * ${\bar{T}}_9$
yksitoista									[3 7,2,1 ] E 11 =E 8 +++ *
Det(M n )	7(7- n )	2 (7- n )	4(7- n )	3(7- n )	8 (8- n )	2 (8- n )	4 (8- n )	2 (8- n )	9- n

Geometriset kierteet

Äärelliset ja äärettömät konvoluutiot [26]

φ A : A Γ --> A Γ' äärellisille tyypeille
Γ	Γ'	Konvoluution kuvaus	Coxeter-Dynkinin suunnitelmat
I 2 ( h )	Γ(h)	dihedraalinen konvoluutio
B n	A 2n	(I,s n )
B n	Dn +1 , A2n-1	(A 3 ,+/-ε)
F4_ _	E 6	(A 3 ,±ε)
H4 _	E 8	(A 4 ±ε)
H3_ _	D6 _
H2_ _	A4 _
G2_ _	A5 _	(A 5 ±ε)
G2_ _	D4 _	(D 4 ,±ε)
φ: A Γ + --> A Γ' + kaikille affiinisille tyypeille
${\tilde{A}}_{n-1}$	${\tilde{A}}_{kn-1}$	Paikallisesti triviaalia
${\tilde{B}}_{n}$	${\tilde{D}}_{2n+1}$	(I,s n )
${\tilde{B}}_{n}$	${\tilde{D}}_{n+1}$ , ${\tilde{D}}_{2n}$	(A 3 ,±ε)
${\tilde{C}}_{n}$	${\tilde{B}}_{n+1}$ , ${\tilde{C}}_{2n}$	(A 3 ,±ε)
${\tilde{C}}_{n}$	${\tilde{C}}_{2n+1}$	(I,s n )
${\tilde{C}}_{n}$	${\tilde{A}}_{2n+1}$	(I,s n ) & (I,s 0 )
	${\tilde{A}}_{2n}$	(A 3 ,ε) & (I,s 0 )
	${\tilde{A}}_{2n-1}$	(A 3 ,ε) & (A 3 ,ε')
${\tilde{C}}_{n}$	${\tilde{D}}_{n+2}$	(A 3 ,-ε) & (A 3 ,-ε')
${\tilde {C}}_{2}$	${\tilde {D}}_{5}$	(minä,s 1 )
${\tilde {F}}_{4}$	${\tilde {E}}_{6}$ , ${\tilde {E}}_{7}$	(A 3 ,±ε)
${\tilde {G}}_{2}$	${\tilde {D}}_{6}$ , ${\tilde {E}}_{7}$	(A 5 ±ε)
	${\tilde {B}}_{3}$ , ${\tilde {F}}_{4}$	(B 3 ,±ε)
	${\tilde {D}}_{4}$ , ${\tilde {E}}_{6}$	(D 4 ,±ε)

Coxeter-Dynkin-kaavio (yksinkertaisilla yhteyksillä [27] , äärellinen, affiininen tai hyperbolinen), jolla on symmetria (täyttää yhden ehdon), voidaan muuntaa symmetrian avulla uudeksi, yleensä monisäikeiseksi skeemaksi "konvoluutio"-nimisellä prosessilla [28] [ 29] .

Geometrisesti tämä vastaa tasaisten polyhedrien ja laattojen ortogonaalisia projektioita . Mielenkiintoista on, että mikä tahansa äärellinen Coxeter-Dynkin-kaavio, jossa on yksinkertaisia yhteyksiä, voidaan taittaa I 2 :ksi ( h ), jossa h on Coxeterin luku , joka vastaa geometrisesti projektiota Coxeterin tasolle .

Joitakin hyperbolisia konvoluutioita

Katso myös

Coxeter-ryhmä
Schwartzin kolmio
Goursat-tetraedri
Dynkinin kaavio
Homogeeninen polytooppi
- Wythoff-symboli
- Tasainen monitahoinen
- Luettelo yhtenäisistä polyhedraista
- Luettelo tasaisista yhtenäisistä laatoista
- Homogeeninen 4-ulotteinen polytooppi
- Kuperat yhtenäiset hunajakennot
- Kuperat homogeeniset hunajakennot hyperbolisessa avaruudessa
Wythoff-rakennus ja Wythoff- symboli

Muistiinpanot

↑ V. O. Bugaenko. Tavallinen polyhedra. - (Matematiikan koulutus Ser.3).
↑ Brian C. Hall. Valheryhmät, valhealgebrat ja esitykset: perusjohdanto. - Springer, 2003. - ISBN 0-387-40122-9 .
↑ Coxeter, . 7.7. Schlaflin kriteeri //Tavalliset polytoopit . – 3. - Dover-painos, 1973. - S. 133. —ISBN 0-486-61480-8.
↑ V. O. Bugaenko. Coxeter-polyhedran luokitus // Matem. valaistuminen .. - 2003. - Numero. 7 . - S. 82-106 .
↑ 1 2 Folke Lanner. Komplekseista transitiivisten automorfismiryhmien kanssa . - 1950. - T. 11. - S. 1-71. - (Meddelanden Från Lunds Universitets Matematiska Seminarium [Communications du Séminaire Mathématique de l'Université de Lund]).
↑ 1 2 George Maxwell, Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups Arkistoitu 30. kesäkuuta 2013. , Journal of Algebra 79 :1, 78-97 (1982)
↑ Daniel Allcock. Äärettömän monta hyperbolista Coxeter-ryhmää ulottuvuuden 19 kautta. - Vol. 10. - P. 737-758. - doi : 10.2140/gt.2006.10.737 .
↑ The Geometry and Topology of Coxeter Groups , Michael W. Davis, 2008 Arkistoitu 28. kesäkuuta 2010 the Wayback Machine p. 105 Taulukko 6.2. hyperboliset kaaviot
↑ Takeuchi, Kisao. Aritmeettiset kolmioryhmät // Journal of the Mathematical Society of Japan. - 1977. - T. 29 . - S. 91-106 .
↑ Tavalliset hunajakennot hyperbolisessa avaruudessa Arkistoitu 10. kesäkuuta 2016, the Wayback Machine , Coxeter, 1954
↑ 1 2 Norman Johnson, Geometries and Transformations , luku 13: Hyperboliset Coxeter-ryhmät, 13.6 Lorentzian hilat
↑ JL Koszul, Luennot hyperbolisista Coxeter-ryhmistä , Notre Damen yliopisto (1967)
↑ M. Chein, Recherche des graphes des matrices de Coxeter hyperboliques d'ordre ≤10, Rev. Ranskan tiedot. Recherche Opérationnelle 3 (1969), no. Ser. R-3, 3-16 (ranska). [1] Arkistoitu 10. kesäkuuta 2015 Wayback Machinessa
↑ Hyperbolisten Kay-Moody-algebrojen subalgebrat Arkistoitu 20. toukokuuta 2021 Wayback Machinessa , kuva 5.1, s.13
↑ NW Johnson, R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz, Hyperbolisten Coxeter-ryhmien vertailuluokat H 3 : p130, H 4 : p137, H 5 : p 138. [2] Arkistoitu 24. syyskuuta 2015 Wayback-koneella
↑ F. Esselmann, Kompaktien hyperbolisten Coxeterin d-polytooppien luokittelu d+2-fasettien kanssa. kommentti. Matematiikka. Helvetici 71 (1996), 229-242. [3] Arkistoitu 5. kesäkuuta 2018 Wayback Machinessa
↑ I. M. Kaplinskaja. Erillisistä ryhmistä, jotka syntyvät heijastuksista yksinkertaisten prismojen kasvoissa Lobatševskin avaruudessa // Mat. muistiinpanoja. - 1974. - T. 15 , no. 1 . - S. 159-164 .
↑ P. V. Tumarkin. Hyperbolic Coxeter polyhedra in H 3 with n+2 facets // Matem. muistiinpanoja. - 2004. - T. 75 , no. 6 . - S. 909-916 .
↑ Norman W. Johnson ja Asia Ivic Weiss. Neliölliset kokonaisluvut ja Coxeter-ryhmät // Kanada. J Math. - 1999. - T. Voi. 51 , nro. 6 . - S. 1307-1336 .
↑ P. V. Tumarkin. Hyperbolinen n-ulotteinen Coxeter-polyhedra, jossa on n+3 fasettia // Uspekhi Mat. - 2003. - T. 58 , no. 4(352) . - S. 161-162 .
↑ V. O. Bugaenko. Automorfismista unimodulaaristen hyperbolisten neliömuotojen ryhmät renkaan päällä Z // Vest. Moskovan valtionyliopisto. - 1984. - S. 5, 6-12. .
↑ Anna Felikson, Pavel Tumarkin, Kompakteista hyperbolisista Coxeterin d-polytoopeista, joissa on d+4- fasetti , 2005 [4] Arkistoitu 20. toukokuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Hao Chen, Jean-Philippe Labbé, Lorentzian Coxeter -ryhmät ja Boyd-Maxwellin pallopakkaukset , http://arxiv.org/abs/1310.8608 Arkistoitu 19. syyskuuta 2017 Wayback Machinessa
↑ Kac-Moody-algebrat M-teoriassa . Haettu 7. lokakuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 30. elokuuta 2021. (määrätön)
↑ Cartan-Gram-determinantit yksinkertaisille valheryhmille Arkistoitu 7. helmikuuta 2016, Wayback Machine , Wu, Alfred C. T, The American Institute of Physics, marraskuu 1982
↑ John Crisp , ' Injective maps between Artin groups , julkaisussa Down under group theory, Proceedings of the Special Year on Geometric Group Theory, (Australian National University, Canberra, Australia, 1996), Postscript arkistoitu 16. lokakuuta 2005. , s. 13-14 ja googlebook, Geometric group theory alhaalla, s. 131
↑ eli sillä on vain 3 haaratunnistetta
↑ Jean-Bernard Zuber. Yleistetyt Dynkin-kaaviot ja juurijärjestelmät ja niiden taitto. - S. 28-30 .
↑ Pierre-Philippe Dechant, Celine Boehm, Reidun Twarock. Projektion indusoimat ei-kristallografisten Coxeter-ryhmien affiiniset laajennukset. 25. lokakuuta 2011

Lue lisää lukemista varten

James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups , Cambridge-tutkimukset edistyneen matematiikan alalla, 29 (1990)
Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , toimittajat F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 , Googlebook [ 5] 6]
- (Paper 17) Coxeter , The Evolution of Coxeter-Dynkin diagrams , [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
Coxeter . Luku 3: Wytoffin rakentaminen yhtenäisille polytoopeille // Geometrian kauneus: Kaksitoista esseetä . - Dover Publications, 1999. - ISBN 978-0-486-40919-1 .
- HSM Coxeter. Luku 5: Kaleidoskooppi, Osa 11.3 Esitys graafisesti // Säännölliset polytoopit . - Dover-painos, 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
G.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser. Erillisten ryhmien generaattorit ja suhteet = HSM Coxeter, WOJ Moser, Diskreettien ryhmien generaattorit ja suhteet. - Moskova: Nauka, 1980.
Norman Johnson , Geometries and Transformations , luvut 11,12,13, preprint 2011
Norman Johnson , R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz. muunnosryhmät. - 1999. - T. 4 , numero. 4 . - S. 329-353 .
Norman W. Johnson, Asia Ivic Weiss. Neliölliset kokonaisluvut ja Coxeter-ryhmät // Kanada. J Math. - 1999. - T. 51 , no. 6 . - S. 1307-1336 .

Linkit

Weisstein, Eric W. Coxeter–Dynkin-kaavio (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
lokakuu 1978 keskustelu Coxeterin kaavioiden historiasta Coxeterin ja Dynkinin Torontossa , Kanadassa ; Eugene Dynkinin matematiikan haastattelujen kokoelma, Cornellin yliopiston kirjasto .