Säännölliset (2D) polygonit | |
---|---|
kupera | tähti |
{5} |
{5/2} |
Tavallinen 3D-polyhedra | |
kupera | tähti |
{5,3} |
{5/2,5} |
Oikeat 2D-laatoitukset | |
Euklidinen | Hyperbolinen |
{4,4} |
{5,4 |
Tavallinen 4D-polyhedra | |
kupera | tähti |
{5,3,3} |
{5/2,5,3 |
Oikeat 3D-laatoitukset | |
Euklidinen | Hyperbolinen |
{4,3,4} |
{5,3,4} |
Tämä sivu sisältää luettelon säännöllisistä moniulotteisista polytoopeista (polytoopeista) ja näiden polytooppien säännöllisistä yhteyksistä euklidisissa , pallomaisissa ja hyperbolisissa eri ulottuvuuksissa.
Schläfli-symboli kuvaa jokaista säännöllistä n-pallon, euklidisen ja hyperbolisen avaruuden laatoitusta. Schläfli-symboli kuvaamaan n-ulotteista monitahoista kuvaa myös (n-1)-pallon laatoitusta. Lisäksi säännöllisen monitahoisen tai laatoituksen symmetria ilmaistaan Coxeter-ryhmänä , jonka Coxeter merkitsi identtisesti Schläfli-symbolien kanssa lukuun ottamatta rajaa hakasulkeilla, ja tätä merkintää kutsutaan Coxeter-merkinnällä . Toinen asiaan liittyvä symboli on Coxeter-Dynkin-kaavio , joka edustaa symmetriaryhmää (ilman ympyröityjä solmuja) ja säännöllisiä polytooppeja tai tessellaatioita, joissa on ympyröity ensimmäinen solmu. Esimerkiksi kuutiossa on Schläfli-symboli {4,3} ja sen oktaedrisymmetria [4,3] tai, on esitetty Coxeterin kaaviossa.
Säännölliset polyhedrat ryhmitellään ulottuvuuden ja sitten muodon mukaan - kupera, ei-kupera ja ääretön. Ei-kuperat näkymät käyttävät samoja kärkipisteitä kuin kuperat näkymät, mutta niillä on risteävät fasetit (maksimimitan fasetit = tilan mitat - 1). Äärettömät näkymät tekevät euklidisesta avaruudesta yhden ulottuvuuden vähemmän.
Äärettömät muodot voidaan laajentaa hyperbolisiin avaruuden tessellaatioihin . Hyperbolinen avaruus on samanlainen kuin tavallinen avaruus, mutta yhdensuuntaiset suorat eroavat etäisyyden mukaan. Tämä sallii huippukuvioiden negatiivisen kulmavirheen . Esimerkiksi seitsemän säännöllistä kolmiota , jotka sijaitsevat tasossa, voivat konvergoida kärjessä. Tätä ei voida tehdä tavallisella (euklidisella) tasolla, mutta se voidaan tehdä jossain mittakaavassa hyperbolisella tasolla.
Polytooppeja, jotka täyttävät yleisemmän määritelmän ja joissa ei ole yksinkertaisia Schläfli-symboleja, ovat säännölliset vinopolytoopit ja äärettömän kulman säännölliset vinopolyhedrat, joissa on ei-tasoisia fasetteja tai kärkikuvioita .
Taulukossa on yhteenveto tavallisista monitahoista mittojen mukaan.
Lopullinen | Euklidinen | Hyperbolinen | Liitännät | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Koko | Kupera _ |
Star Chat |
vino | Kupera _ |
Kompakti _ |
Star Chat |
Parakompakti _ |
Kupera _ |
Star Chat |
yksi | yksi | 0 | 0 | yksi | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
2 | ∞ | ∞ | ∞ | yksi | yksi | 0 | 0 | ∞ | ∞ |
3 | 5 | neljä | ? | 3 | ∞ | ∞ | ∞ | 5 | 0 |
neljä | 6 | kymmenen | ? | yksi | neljä | 0 | yksitoista | 26 | kaksikymmentä |
5 | 3 | 0 | ? | 3 | 5 | neljä | 2 | 0 | 0 |
6 | 3 | 0 | ? | yksi | 0 | 0 | 5 | 0 | 0 |
7 | 3 | 0 | ? | yksi | 0 | 0 | 0 | 3 | 0 |
kahdeksan | 3 | 0 | ? | yksi | 0 | 0 | 0 | 6 | 0 |
9+ | 3 | 0 | ? | yksi | 0 | 0 | 0 | * | 0 |
* 1, jos mitta on 2 k − 1; 2, jos mitta on kahden potenssi; 0 muuten.
Euklidisessa avaruudessa ei ole säännöllisiä tähtilaattoja minkään ulottuvuuden mukaan.
Coxeter-Dynkin-kaavio esittää peilattuja "tasoja" solmuina ja asettaa ympyrän solmun ympärille, jos piste ei ole tasossa. Segmentti , { },on piste p ja pisteen p peilikuva sekä niiden välinen jana. |
Yksiulotteinen polytooppi (1-polytooppi) on suljettu segmentti , jota rajoittaa kaksi päätepistettä. 1-polytooppi on määritelmän mukaan säännöllinen ja sitä edustaa Schläfli-symboli { } [1] [2] tai Coxeter-kaavio , jossa on yksi ympyröity solmu,. Norman Johnson antoi heille nimen datale ja Schläfli-symbolin { } [3] .
Koska daityyli on triviaali monitahoisena, se syntyy polygonien ja polyhedrien reunuksina [4] . Sitä käytetään homogeenisten prismien määrittelyssä (kuten Schläfli-symbolissa { }×{p}) tai Coxeterin kaaviossa.janan ja säännöllisen monikulmion suorana tulona [5] .
Kaksiulotteisia polytooppeja kutsutaan polygoneiksi . Säännöllisillä monikulmioilla on yhtä suuret sivut ja ne on piirretty ympyrään. Säännöllistä p-kulmiota edustaa Schläfli-symboli {p}.
Yleensä vain kuperia polygoneja pidetään säännöllisinä, mutta tähtipolygoneja , kuten pentagrammi , voidaan myös pitää säännöllisenä. Ne käyttävät samoja pisteitä kuin kuperat muodot, mutta liittyvät eri tavalla, kun ympyrä kulkee useammin kuin kerran.
Tähtipolygoneja tulisi kutsua ei- kuperiksi koveriksi , koska reunojen leikkauspisteet eivät muodosta uusia pisteitä ja kaikki kärjet ovat ympyrässä.
Schläfli-symboli {p} edustaa säännöllistä p - gonia .
Nimi | Kolmio ( 2-simplex ) |
Neliö (2 - ortoplex ) ( 2-kuutio ) |
Pentagon | Kuusikulmio | Seitsenkulmio | Kahdeksankulmio | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Schläfli | {3} | {neljä} | {5} | {6} | {7} | {kahdeksan} | |
Symmetria | D 3 , [3] | D 4 , [4] | D 5 , [5] | D 6 , [6] | D 7 , [7] | D8 , [ 8 ] | |
kokseteri | |||||||
Kuva | |||||||
Nimi | viisikulmio | Decagon | Hendecagon | Dodecagon | Kolmetoista | tetradecagon | |
Schläfli | {9} | {kymmenen} | {yksitoista} | {12} | {13} | {neljätoista} | |
Symmetria | D9 , [ 9 ] | P10 , [ 10 ] | D 11 , [11] | D12 , [ 12 ] | D 13 , [13] | D14 , [ 14 ] | |
Dynkin | |||||||
Kuva | |||||||
Nimi | Pentagon | Kuusikulmio | Seitsemäntoista | kahdeksankulmio | Nineteenagon | Dodecagon | ... p-gon |
Schläfli | {viisitoista} | {16} | {17} | {kahdeksantoista} | {19} | {kaksikymmentä} | { p } |
Symmetria | D15 , [ 15 ] | D16 , [ 16 ] | D17 , [ 17 ] | D18 , [ 18 ] | D19 , [ 19 ] | P20 , [ 20 ] | D p , [p] |
Dynkin | |||||||
Kuva |
Säännöllistä digonia {2} voidaan pitää rappeutuneena säännöllisenä monikulmiona. Se voi esiintyä ei-degeneroituneena joissakin ei-euklidisissa tiloissa, kuten pallon tai toruksen pinnalla .
Nimi | Monogon | Bigon |
---|---|---|
Schläfli-symboli | {yksi} | {2} |
Symmetria | D 1 , [ ] | D 2 , [2] |
Coxeterin kaavio | tai | |
Kuva |
2D-avaruudessa on äärettömän monta säännöllistä tähtipolyhedria (eli polygoneja), joiden Schläfli-symbolit ovat rationaalilukuja { n / m }. Niitä kutsutaan tähtipolygoneiksi ja niillä on sama huippupistejärjestely kuin kuperalla polygonilla.
Yleensä mille tahansa luonnolliselle luvulle n ja kaikille m, joiden m < n /2 ja m , n koprime , on olemassa n-pisteisiä säännöllisiä tähtiä Schläfli-symboleilla { n / m } (tarkasti ottaen { n / m }= { n /( n − m )}) .
Nimi | Pentagrammi | Heptagrammit | Octagram | Enneagrammit | Dekagrammi | ... n-grammaa | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Schläfli | {5/2} | {7/2} | {7/3} | {8/3} | {9/2} | {9/4} | {10/3} | { p/q } |
Symmetria | D 5 , [5] | D 7 , [7] | D8 , [ 8 ] | D9 , [ 9 ], | P10 , [ 10 ] | Dp , [ p ] | ||
kokseteri | ||||||||
Kuva |
{11/2} |
{11/3} |
{11/4} |
{11/5} |
{12/5} |
{13/2} |
{13/3} |
{13/4} |
{13/5} |
{13/6} | |
{14/3} |
{14/5} |
{15/2} |
{15/4} |
{15/7} |
{16/3} |
{16/5} |
{16/7} | |||
{17/2} |
{17/3} |
{17/4} |
{17.5.} |
{17/6} |
{17/7} |
{17.8.} |
{18.5.} |
{18.7} | ||
{19/2} |
{19/3} |
{19/4} |
{19/5} |
{19/6} |
{19/7} |
{19/8} |
{19/9} |
{20/3} |
{20/7} |
{20/9} |
Kolmiulotteisessa avaruudessa säännöllistä spatiaalista monikulmiota [6] kutsutaan antiprismaattiseksi monikulmioksi ja sillä on sama huippupistejärjestely kuin antiprismalla , ja sen reunat ovat antiprisman reunojen osajoukko, joka yhdistää kärjet. ylemmästä ja alemmasta monikulmiosta siksakissa.
Kuusikulmio | Kahdeksankulmio | Decagon | ||
D 3d , [2 + ,6] | D4d , [ 2 + ,8] | D 5d , [2 + ,10] | ||
---|---|---|---|---|
{3}#{ } | {neljä}#{ } | {5}#{ } | {5/2}#{ } | {5/3}#{ } |
4-ulotteisessa avaruudessa säännöllisellä avaruuspolygonilla voi olla kärkipisteitä Clifford-toruksessa ja se liittyy Cliffordin rotaatioon . Toisin kuin antiprismaattisilla 3D-polygoneilla, kaksoiskiertoisilla 3D-polygoneilla voi olla pariton määrä sivuja.
Ne voidaan nähdä kuperoiden säännöllisten neliulotteisten monikulmioiden Petri-polygoneissa , jotka nähdään Coxeterin projektioiden kehän säännöllisinä litteinä monikulmioina:
Pentagon | Kahdeksankulmio | Dodecagon | Tridecagon |
---|---|---|---|
Viisisoluinen |
Heksadesimaalinen solu |
kaksikymmentäneljä solua |
Kuusisataa solua |
3D-avaruudessa säännöllinen monitahoinen Schläfli-symboli {p,q} ja Coxeter-kaavioon säännölliset pinnat muotoa {p} ja säännöllinen kärkikuvio {q}.
Huippukuvio (polyhedron) on monikulmio, joka saadaan yhdistämällä pisteitä, jotka ovat yhden reunan päässä tietystä kärjestä. Tavallisissa 3D-polyhedraissa tämä kärkikuvio on aina säännöllinen (ja tasomainen) monikulmio.
Säännöllisen monitahoisen {p,q} olemassaoloa rajoittaa kärkikuvion kulmavirheeseen liittyvä epäyhtälö :
: Polyhedron (olemassa euklidisessa 3-avaruudessa) : Euklidinen tasolaatoitus : Hyperbolisen tason laatoitusNumeroimalla permutaatiot uudelleen , löydämme 5 kuperaa muotoa, 4 tähtimuotoa ja 3 tasomaista laatoitusta, joissa kaikissa on {p} ja {q} polygonit luettelosta: {3}, {4}, {5}, {5/2} ja {6 }.
Euklidisten avaruuslaatoitusten lisäksi on olemassa ääretön määrä säännöllisiä hyperbolisia laatoitusta.
Viittä kuperaa säännöllistä polyhedraa kutsutaan platonisiksi kiintoaineiksi . Huippupisteen muoto määritetään yhdessä pisteiden lukumäärän kanssa. Kaikilla näillä polyhedreillä on Euler-ominaisuus (χ) 2.
Nimi | Schläfli {p,q} |
kokseteri |
Piirustus (läpinäkyvä) |
Piirustus (runko) |
Piirustus (pallo) |
Fasetit {p} |
kylkiluut | Vertices {q} |
Symmetria | Kaksinkertainen |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Tetraedri ( 3-simplex ) |
{3,3} | 4 {3} |
6 | 4 {3} |
T d [3,3] (*332) |
(itse-kaksois) | ||||
Hex Cube ( 3-kuutio ) |
{4,3} | 6 {4} |
12 | 8 {3} |
O h [4,3] (*432) |
Oktaedri | ||||
Oktaedri (3 -ortoplex ) |
{3,4} | 8 {3} |
12 | 6 {4} |
O h [4,3] (*432) |
Kuutio | ||||
Dodekaedri | {5,3} | 12 {5} |
kolmekymmentä | 20 {3} |
I h [5,3] (*532) |
ikosaedri | ||||
ikosaedri | {3,5} | 20 {3} |
kolmekymmentä | 12 {5} |
I h [5,3] (*532) |
Dodekaedri |
Pallogeometriassa on säännöllisiä pallomaisia monitahoja ( pallolla olevia laattoja ), jotka ovat tavallisessa tapauksessa rappeutuneita monitahoja. Nämä ovat osohedrat {2,n} ja niiden kaksoisdihedrat { n,2}. Coxeter kutsuu tällaisia tapauksia "sopimattomiksi" tessellaatioiksi [7] .
Muutama ensimmäinen esimerkki (n välillä 2 - 6) on esitetty alla.
Nimi | Schläfli {2,p} |
Coxeterin kaavio |
Piirustus (pallo) |
Kasvot {2} π/p |
kylkiluut | Vertices {p} |
Symmetria | Kaksinkertainen |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Kaksikulmainen osoedri | {2,2} | 2 {2} π/2 |
2 | 2 {2} π/2 |
D 2h [2,2] (*222) |
Itsenäinen kaksinkertainen | ||
kolmion muotoinen osoedri | {2,3} | 3 {2} π/3 |
3 | 2 {3} |
D 3h [2,3] (*322) |
kolmion kaksitahoinen | ||
Neliön muotoinen osoedri | {2,4} | 4 {2} π/4 |
neljä | 2 {4} |
D 4h [2,4] (*422) |
neliön dihedron | ||
Viisikulmainen osoedri | {2,5} | 5 {2} π/5 |
5 | 2 {5} |
D 5h [2,5] (*522) |
Viisikulmainen dihedroni | ||
Kuusikulmainen osohedri | {2,6} | 6 {2} π/6 |
6 | 2 {6} |
D 6h [2,6] (*622) |
Kuusikulmainen dihedroni |
Nimi | Schläfli {p,2} |
Coxeterin kaavio |
Piirustus (pallo) |
Fasetit {p} |
kylkiluut | Vertices {2} |
Symmetria | Kaksinkertainen |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Kaksikulmainen dihedroni | {2,2} | 2 {2} π/2 |
2 | 2 {2} π/2 |
D 2h [2,2] (*222) |
Itsenäinen kaksinkertainen | ||
kolmion kaksitahoinen | {3,2} | 2 {3} |
3 | 3 {2} π/3 |
D 3h [3,2] (*322) |
kolmion muotoinen osoedri | ||
neliön dihedron | {4,2} | 2 {4} |
neljä | 4 {2} π/4 |
D 4h [4,2] (*422) |
Neliön muotoinen osoedri | ||
Viisikulmainen dihedroni | {5,2} | 2 {5} |
5 | 5 {2} π/5 |
D 5h [5,2] (*522) |
Viisikulmainen osoedri | ||
Kuusikulmainen dihedroni | {6,2} | 2 {6} |
6 | 6 {2} π/6 |
D 6h [6,2] (*622) |
Kuusikulmainen osohedri |
Myös tähtidihedrat ja osohedrat ovat olemassa, kuten {5/2,2} ja {2,5/2}.
Säännöllisiä tähtikuvioita kutsutaan Kepler-Poinsot-kiintoaineiksi, ja niitä on neljä. Ne perustuvat dodekaedrin {5,3} ja ikosaedrin {3,5} kärkien
Kuten pallomaiset laatat , nämä tähtimuodot menevät pallon päälle useita kertoja, mitä kutsutaan niiden tiheydeksi . Näille muodoille tiheys on 3 tai 7. Mosaiikkipiirustukset esittävät yksittäisten pallomaisten monikulmioiden pinnat keltaisina.
Nimi | Piirustus (läpinäkyvä) |
Piirustus (läpinäkymätön) |
Figuuri (pallomainen) |
Kaavio tähtimuodon muodostumisesta _ |
Schläfli {p,q} ja Coxeter |
Fasetit {p} |
kylkiluut | Vertices {q} Kuva |
χ | Tiheys [ fi | Symmetria | Kaksinkertainen |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Pieni tähtikuvioinen dodekaedri | {5/2,5} |
12 {5/2} |
kolmekymmentä | 12 {5} |
−6 | 3 | I h [5,3] (*532) |
Suuri dodekaedri | ||||
Suuri dodekaedri | {5.5/2} |
12 {5} |
kolmekymmentä | 12 {5/2} |
−6 | 3 | I h [5,3] (*532) |
Pieni tähtikuvioinen dodekaedri | ||||
Suuri tähtikuvioinen dodekaedri | {5/2,3} |
12 {5/2} |
kolmekymmentä | 20 {3} |
2 | 7 | I h [5,3] (*532) |
Suuri ikosaedri | ||||
Suuri ikosaedri | {3,5/2} |
20 {3} |
kolmekymmentä | 12 {5/2} |
2 | 7 | I h [5,3] (*532) |
Suuri tähtikuvioinen dodekaedri |
Säännöllinen vino monitaho on yleistys säännöllisten polytooppien joukosta, jossa kärkikuvioiden epätasaisuus on sallittu .
4-ulotteiselle vinolle polyhedralle Coxeter ehdotti modifioitua Schläfli-symbolia {l,m|n}, jossa on kärkikuvio {l,m}, m l-gonia kärjen ympärillä n - kulmaisten reikien kanssa. Niiden kärkimuodot ovat avaruuspolygoneja, jotka edustavat kahden tason välisiä siksakkia.
Säännölliselle vinolle polyhedralle, jota edustaa symboli {l,m|n}, yhtälö pätee:
2*sin(π/l)*sin(π/m)=cos(π/n)Neljä niistä voidaan nähdä 4-ulotteisessa avaruudessa neljän säännöllisen 4-polyhedran pintojen joukkona , joilla on sama kärkijärjestely ja reunajärjestely :
{4, 6| 3} | {6, 4 | 3} | {4, 8 | 3} | {8, 4| 3} |
---|
Säännöllisissä 4-ulotteisissa monitahoissa , joissa on Schläfli-symboli , on näkymäsolut, kuvapinnat , reunamuodot ja kärkimuodot .
Säännöllisten neliulotteisten polytooppien olemassaoloa rajoittaa säännöllisen polytoopin olemassaolo . 4-ulotteisille polyhedraille ehdotetaan käytettäväksi nimeä "polychorus" [8] [9]
Jokainen laji voi esiintyä avaruudessa seuraavasta lausekkeesta riippuen:
: Hyperpallon muotoiset 3-ulotteiset hunajakennot tai 4-ulotteiset monitahot : Euklidinen 3-ulotteinen hunajakenno : Hyperbolinen 3-ulotteinen hunajakennoNämä rajoitukset koskevat 21 muotoa - 6 muotoa ovat kuperia, 10 ei ole kuperia, yksi on euklidinen 3-ulotteinen hunajakenno ja 4 on hyperbolinen kenno.
Neliulotteisen monitahoisen Eulerin ominaisuus lasketaan kaavalla ja on yhtä suuri kuin nolla kaikille tyypeille.
6 kuperaa säännöllistä 4D-polyhedraa on esitetty alla olevassa taulukossa. Kaikilla näillä monitahoilla on Euler-ominaisuus (χ) 0.
Nimi |
Schläfli {p,q,r} |
kokseteri |
Solut {p,q} |
Fasetit {p} |
kylkiluu {r} |
Vertices {q,r} |
Dual {r,q,p} |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Viisisoluinen ( 4-simplex ) |
{3,3,3} | 5 {3,3} |
10 {3} |
10 {3} |
5 {3,3} |
(itse-kaksois) | |
Tesseract ( 4-kuutio ) |
{4,3,3} | 8 {4,3} |
24 {4} |
32 {3} |
16 {3,3} |
Heksadesimaalinen solu | |
Kuusitoista solun (4 - ortoplex ) |
{3,3,4} | 16 {3,3} |
32 {3} |
24 {4} |
8 {3,4} |
tesserakti | |
kaksikymmentäneljä solua | {3,4,3} | 24 {3,4} |
96 {3} |
96 {3} |
24 {4,3} |
(itse-kaksois) | |
120 solua | {5,3,3} | 120 {5,3} |
720 {5} |
1200 {3} |
600 {3,3} |
600 solua | |
600 solua | {3,3,5} | 600 {3,3} |
1200 {3} |
720 {5} |
120 {3,5} |
120 solua |
Viisisoluinen | tesserakti | Kuusitoista solua |
Kaksikymmentäneljä solu |
120 solua |
600 solua |
---|---|---|---|---|---|
{3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
Lankakehys ( Petri-polygoni ) vinossa ortogonaalisessa projektiossa | |||||
ortogonaalinen projektio | |||||
Tetraedrinen kuori ( solu/vertex- keskeinen ) |
Kuutiokuori (solun keskellä) |
Kuutiokuori ( solun keskellä) |
Kuuboktaedrinen kuori (solukeskeinen) |
Katkaistu rombotriakontaedrinen kuori ( solun keskellä) |
Pentakiikosi - dodekaedinen kuori (vertex centered) |
Schlegelin kaaviot ( perspektiiviprojektio ) | |||||
(keskellä solua) |
(keskellä solua) |
(keskellä solua) |
(keskellä solua) |
(keskellä solua) |
(ylhäällä keskellä) |
Stereografinen projektiokehys ( hypersfäärinen ) | |||||
4-ulotteiset dihedrat ja osohedrat ovat olemassa 3-pallon säännöllisinä laatoitusina .
Tavalliset 4-ulotteiset dihedrat (2 puolta = 3-ulotteiset pinnat) sisältävät: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3 ,5,2}, {p,2,2} ja niiden kaksiulotteiset 4-ulotteiset osoedrat (2 kärkeä): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, { 2,3,5}, {2,5,3}, {2,2,p}. Polyedrit muotoa {2,p,2} ovat sekä 4-ulotteisia dihedraja että osohedraja. On myös muotoja {p,2,q}, joissa on dihedraalisia soluja ja osoedrisiä kärkikuvioita.
Schläfli {2,p,q} |
kokseteri |
Solut {2,p} π/q |
Pinnat {2} π/p,π/q |
kylkiluut | Huiput | Vertex-kuvio {p,q} |
Symmetria | Kaksinkertainen |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
{2,3,3} | 4 {2,3} π/3 |
6 {2} π/3,π/3 |
neljä | 2 | {3,3} |
[2,3,3] | {3,3,2} | |
{2,4,3} | 6 {2,4} π/3 |
12 {2} π/4,π/3 |
kahdeksan | 2 | {4,3} |
[2,4,3] | {3,4,2} | |
{2,3,4} | 8 {2,3} π/4 |
12 {2} π/3,π/4 |
6 | 2 | {3,4} |
[2,4,3] | {4,3,2} | |
{2,5,3} | 12 {2,5} π/3 |
30 {2} π/5,π/3 |
kaksikymmentä | 2 | {5,3} |
[2,5,3] | {3,5,2} | |
{2,3,5} | 20 {2,3} π/5 |
30 {2} π/3,π/5 |
12 | 2 | {3,5} |
[2,5,3] | {5,3,2} |
Säännöllisiä 4-ulotteisia tähtipolyhedraja on kymmenen , joita kutsutaan Schläfli-Hessin polytoopeiksi . Niiden kärjet sijaitsevat kuperassa 120 solussa { 5,3,3 } ja kuusisataa solussa {3,3,5} .
Ludwig Schläfli löysi niistä neljä ja hylkäsi loput kuusi, koska hän ei sallinut Euler-ominaisuuden rikkomista soluissa tai kärkikuvioissa (F+V−E=2). Edmund Hess (1843–1903) täydensi listaa kirjassaan Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder ( [83] doctrilingin johdanto ) pallo ottaen huomioon isoedrisen ja tasakulmaisen monitahoisen teorian) .
Näissä 10 säännöllisessä stellatetussa 4D-polyhedrassa on 4 reuna-asettelua ja 7 kasvojärjestelyä , jotka on esitetty ortogonaalisina projektioina :
Nimi |
kehys | Runko | Schläfli {p, q, r} Coxeter |
Solut {p, q} |
Fasetit {p} |
kylkiluu {r} |
Vertices {q, r} |
Tiheys [ fi | χ | Symmetria ryhmä | Dual {r, q, p} |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Icosahedral 120-cell (fasetoitu 600-kenno) |
{3,5,5/2} |
120 {3,5} |
1200 {3} |
720 {5/2} |
120 {5,5/2} |
neljä | 480 | H 4 [5,3,3] |
Pieni tähtikuvioinen 120-soluinen | ||
Pieni 120-soluinen tähti | {5/2,5,3} |
120 {5/2,5} |
720 {5/2} |
1200 {3} |
120 {5,3} |
neljä | −480 | H 4 [5,3,3] |
Ikosaedrinen 120-soluinen | ||
Suuri 120 solua | {5,5/2,5} |
120 {5,5/2} |
720 {5} |
720 {5} |
120 {5/2,5} |
6 | 0 | H 4 [5,3,3] |
itsekaksoittava | ||
Upea 120-soluinen | {5,3,5/2} |
120 {5,3} |
720 {5} |
720 {5/2} |
120 {3,5/2} |
kaksikymmentä | 0 | H 4 [5,3,3] |
Suuri tähtikuvioinen 120-soluinen | ||
Suuri, 120-soluinen tähtitetty | {5/2,3,5} |
120 {5/2,3} |
720 {5/2} |
720 {5} |
120 {3,5} |
kaksikymmentä | 0 | H 4 [5,3,3] |
Hieno 120-kennoinen | ||
Upea 120-soluinen | {5/2, 5, 5/2} |
120 {5/2,5} |
720 {5/2} |
720 {5/2} |
120 {5,5/2} |
66 | 0 | H 4 [5,3,3] |
itsekaksoittava | ||
Suuri suuri 120-soluinen | {5,5/2,3} |
120 {5,5/2} |
720 {5} |
1200 {3} |
120 {5/2,3} |
76 | −480 | H 4 [5,3,3] |
Suuri ikosaedri 120-kennoinen | ||
Suuri ikosaedri, 120 solua (suuri fasetti 600 solua) |
{3,5/2,5} |
120 {3,5/2} |
1200 {3} |
720 {5} |
120 {5/2,5} |
76 | 480 | H 4 [5,3,3] |
Suuri iso 120-kennoinen | ||
Great 600 cell | {3,3,5/2} |
600 {3,3} |
1200 {3} |
720 {5/2} |
120 {3,5/2} |
191 | 0 | H 4 [5,3,3] |
Suuri iso tähtikuvioinen 120-soluinen | ||
Suuri suuri 120-soluinen | {5/2,3,3} |
120 {5/2,3} |
720 {5/2} |
1200 {3} |
600 {3,3} |
191 | 0 | H 4 [5,3,3] |
Mahtava 600 solu |
Polytooppien säännöllisiä tähtipermutaatioita on neljä epäonnistunutta : {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2 }. Niiden solut ja kärkihahmot ovat olemassa, mutta ne eivät peitä hyperpalloa äärellisellä määrällä esityksiä.
Viisiulotteisessa avaruudessa [ ] säännölliset polytoopit voidaan merkitä seuraavasti _ kuva.
Huippufiguuri (5-ulotteisen polytoopin) on 4-ulotteinen polytooppi, jonka muodostavat tietyn kärjen vieressä olevat kärjet. Reunakuvio (5-ulotteisen polyhedronin) on monitahoinen, joka muodostuu kunkin reunan ympärillä olevista pinnoista. Kasvojen muoto (5-ulotteinen monitahoinen) on monitahoinen, jonka muodostavat kunkin pinnan ympärillä olevat solut.Tavallinen 5-polytooppi on olemassa vain, jos ja ovat säännöllisiä 4-polytooppeja.
Riippuen arvosta
hanki tilan tyyppi
: Pallomainen 4D-laatoitus tai 5D-polyhedron : Euklidinen 4-ulotteinen laatoitus : Hyperbolinen 4D-laatoitusNäistä rajoituksista saadaan 3 kuperaa monitahoista, nolla ei-kuperaa polytooppia, 3 4-ulotteista laatoitusta ja 5 hyperbolista 4-ulotteista laatoitusta. 5D:ssä ja sitä korkeammissa ei ole ei-kuperia säännöllisiä monitahoja.
Mitoissa 5 ja sitä suuremmissa kuperia säännöllisiä monitahoja on vain kolme tyyppiä [10] .
Nimi | Schläfli-symboli { p 1 ,...,p n −1 } |
kokseteri | k - kasvot | Faset- tyyppi |
Vertex figuuri |
Kaksinkertainen |
---|---|---|---|---|---|---|
n -yksinkertainen | { 3n− 1 } | ... | { 3n −2 } | { 3n −2 } | Itsenäinen kaksinkertainen | |
n -kuutio | {4,3n − 2 } | ... | {4,3n − 3 } | { 3n −2 } | n -ortoplex | |
n - ortoplex | { 3n − 2,4 } | ... | { 3n −2 } | { 3n − 3,4 } | n -kuutio |
On myös sopimattomia tapauksia, joissa jotkin Schläfli-symbolin luvut ovat yhtä suuria kuin 2. Esimerkiksi {p,q,r,...2} on väärä säännöllinen pallomainen polytooppi tapauksessa {p,q,r... } on säännöllinen pallomainen polytooppi ja {2,...p,q,r} on väärä säännöllinen pallomainen polytooppi, kun {...p,q,r} on säännöllinen pallomainen polytooppi. Tällaisia monitahoja voidaan käyttää faseteina, jotka antavat muotoja {p,q,...2...y,z}.
Viisiulotteiset avaruudetNimi | Schläfli-symboli { p,q,r,s} Coxeter |
Fasettien määrä ( neliulotteiset pinnat) {p,q,r} |
Solut (3D -pinnat) {p,q} |
Kasvot (2D) {p} |
kylkiluut | Huiput | Kasvojen muoto {s} |
Reunakuvio { r,s} |
Vertex- kuvio {q,r,s} |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Hexateron | {3,3,3,3} |
6 {3,3,3} |
15 {3,3} |
20 {3} |
viisitoista | 6 | {3} | {3,3} | {3,3,3} |
Penteract | {4,3,3,3} |
10 {4,3,3} |
40 {4,3} |
80 {4} |
80 | 32 | {3} | {3,3} | {3,3,3} |
5-ortoplex | {3,3,3,4} |
32 {3,3,3} |
80 {3,3} |
80 {3} |
40 | kymmenen | {neljä} | {3,4} | {3,3,4} |
Hexateron |
Penteract |
5-ortoplex |
Nimi | Schläfli | Huiput | kylkiluut | Fasetit (2D) | Solut (3D) | 4D kasvot | 5D kasvot | χ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
6-simplex | {3,3,3,3,3} | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 0 |
Hexeract | {4,3,3,3,3} | 64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 0 |
6-ortoplex | {3,3,3,3,4} | 12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 | 0 |
6-ulotteinen simpleksi |
Hexeract |
6-ulotteinen ortoplex |
Nimi | Schläfli | Huiput | kylkiluut | Fasetit (2D) | Solut (3D) | 4D kasvot | 5D kasvot | 6D kasvot | χ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
7-simplex | {3,3,3,3,3,3} | kahdeksan | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | kahdeksan | 2 |
Hepteract | {4,3,3,3,3,3} | 128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | neljätoista | 2 |
7-ortoplex | {3,3,3,3,3,4} | neljätoista | 84 | 280 | 560 | 672 | 448 | 128 | 2 |
7-simplex |
Hepteract |
7-ortoplex |
Nimi | Schläfli | Huiput | kylkiluut | Fasetit (2D) | Solut (3D) | 4D kasvot | 5D kasvot | 6D kasvot | 7D kasvot | χ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
8-simplex | {3,3,3,3,3,3,3} | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 0 |
Octeract | {4,3,3,3,3,3,3} | 256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 0 |
8-ortoplex | {3,3,3,3,3,3,4} | 16 | 112 | 448 | 1120 | 1792 | 1792 | 1024 | 256 | 0 |
8-simplex |
Octeract |
8-ortoplex |
Nimi | Schläfli | Huiput | kylkiluut | Fasetit (2D) | Solut (3D) | 4D kasvot | 5D kasvot | 6D kasvot | 7D kasvot | 8D kasvot | χ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
9-simplex | {3 8 } | kymmenen | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | kymmenen | 2 |
Entereract | {4,3 7 } | 512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | kahdeksantoista | 2 |
9-ortoplex | {3 7 ,4} | kahdeksantoista | 144 | 672 | 2016 | 4032 | 5376 | 4608 | 2304 | 512 | 2 |
9-simplex |
Entereract |
9-ortoplex |
Nimi | Schläfli | Huiput | kylkiluut | Fasetit (2D) | Solut (3D) | 4D kasvot | 5D kasvot | 6D kasvot | 7D kasvot | 8D kasvot | 9D kasvot | χ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
10-simplex | { 39 } | yksitoista | 55 | 165 | 330 | 462 | 462 | 330 | 165 | 55 | yksitoista | 0 |
Deceract | {4,3 8 } | 1024 | 5120 | 11520 | 15360 | 13440 | 8064 | 3360 | 960 | 180 | kaksikymmentä | 0 |
10-ortoplex | {3 8 ,4} | kaksikymmentä | 180 | 960 | 3360 | 8064 | 13440 | 15360 | 11520 | 5120 | 1024 | 0 |
10-simplex |
Deceract |
10-ortoplex |
...
Ei ole olemassa ei-kuperia säännöllisiä monitahoja, joiden mitat ovat 5 tai suurempia.
Projektiivinen säännöllinen ( n + 1)-polytooppi on olemassa, jos alkuperäinen säännöllinen n -pallomainen laatoitus {p,q,...} on keskisymmetrinen . Tällaisia monitahoja kutsutaan semi-{p,q,...}, ja ne sisältävät puolet vähemmän elementtejä. Coxeter antaa heille merkin {p,q,...}/2, kun taas McMullen kirjoittaa {p,q,...} h/2 , missä h on Coxeterin luku . [yksitoista]
Säännöllisillä monikulmioilla , joissa on parillinen määrä sivuja, on puoli - 2n -kulmaiset projektiiviset polygonit, {2p}/2.
On 4 säännöllistä projektiivista polytooppia , jotka vastaavat neljää viidestä platonisesta kiintoaineesta .
Puolikuutio ja puolioktaedri yleistyvät puoli- n -kuutioihin ja puoli- n - ortopleksiin missä tahansa ulottuvuudessa.
Nimi | Coxeter McMullen |
Kuva | kasvot | Reunat | Vertices | χ |
---|---|---|---|---|---|---|
Puolikuutio | {4,3}/2 {4,3} 3 |
3 | 6 | neljä | yksi | |
Puolioktaedri | {3,4}/2 {3,4} 3 |
neljä | 6 | 3 | yksi | |
Semidodekaedri | {5.3}/2 {5.3} 5 |
6 | viisitoista | kymmenen | yksi | |
Puolikosaedri | {3.5}/2 {3.5} 5 |
kymmenen | viisitoista | 6 | yksi |
4-ulotteisessa avaruudessa 5 kuudesta kuperasta säännöllisestä polyhedrasta muodostaa projektiivisia 4-polytooppeja. Kolme erityistapausta ovat puoli kaksikymmentäneljä solua, puoli kuusisataa solua ja puolisataakaksikymmentä solua.
puoliksi tesserakti | {4,3,3}/2 | {4,3,3} 4 | neljä | 12 | 16 | kahdeksan | 0 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
puoli kuusitoista solua | {3,3,4}/2 | {3,3,4} 4 | kahdeksan | 16 | 12 | neljä | 0 |
puolikaksikymmentäneljä solua | {3,4,3}/2 | {3,4,3} 6 | 12 | 48 | 48 | 12 | 0 |
puoli 120 solua | {5,3,3}/2 | {5,3,3} 15 | 60 | 360 | 600 | 300 | 0 |
puoli kuusisataa solua | {3,3,5}/2 | {3,3,5} 15 | 300 | 600 | 360 | 60 | 0 |
On vain 2 kuperaa säännöllistä projektiivista semipolytooppia tiloissa, joiden ulottuvuus on 5 tai enemmän.
Nimi | Schläfli | 4D kasvot | Solut (3D) | Fasetit (2D) | kylkiluut | Huiput | χ |
---|---|---|---|---|---|---|---|
puoliksi läpäisevä | {4,3,3,3}/2 | 5 | kaksikymmentä | 40 | 40 | 16 | yksi |
semi pentacross | {3,3,3,4}/2 | 16 | 40 | 40 | kaksikymmentä | 5 | yksi |
Infinite onmonitahoinen, jolla on ääretön määrä fasetteja. Nhuippu onn-ulotteinen ääretön huippu: 2-ääretön-huippu = ääretön-goni (apeirogon), 3-ääretön huippu = ääretön huippu 3D-avaruudessa jne.
Infinitetopesilla on kaksi päägeometristä luokkaa: [12]
Suora apeirogoni on suoran linjan säännöllinen laatoitus, joka on jaettu äärettömän moneen yhtä suureen segmenttiin. Siinä on äärettömän monta kärkeä ja kulmia. Sen Schläfli-symboli on {∞} ja sen Coxeter-kaavio on.
... ...
Hyperbolisen tason apeirogoneilla , joista säännöllinen apeirogoni {∞} on merkittävin, voi olla kaarevuus, kuten äärellisillä monikulmioilla euklidisella tasolla, ja niiden kärjet sijaitsevat horosyklien tai hypersyklien päällä .
Säännöllisillä apeirogoneilla, joiden konvergenssi on äärettömässä, on symboli {∞} ja ne esiintyvät horosyklissä, vaikka yleensä ne voivat esiintyä hypersyklissä.
{∞} | {πi/λ} |
---|---|
Infinity horopyörällä |
Infinity hyperpyörässä |
Yllä on kaksi hyperbolista apeirogonia Poincarén kiekolla . Oikeanpuoleisessa kuvassa on kohtisuorat viivat, jotka erottavat perusalueet toisistaan etäisyydellä λ.
Spatiaaliset äärettömätVinot apeirogonit kaksiulotteisessa avaruudessa (tasossa) muodostavat siksakin. Jos siksak on symmetrinen ja tasainen, apeirogoni on oikea.
Vinot apeirogonit voidaan rakentaa minkä tahansa ulottuvuuden tilaan. Kolmiulotteisessa avaruudessa vinot apeirogonit muodostavat spiraalin ja voivat olla vasemmalla tai oikealla.
kaksiulotteinen tila | 3D avaruus |
---|---|
Apeirogon siksakin muodossa |
kierre apeirogoni |
Koneessa on kolme säännöllistä laatoitusta. Kaikilla kolmella on Euler-ominaisuus (χ) 0.
Nimi | Neliömäinen mosaiikki (quadrille) |
Kolmion muotoinen mosaiikki (deltatiile) |
Kuusikulmainen parketti (heksatiili) |
---|---|---|---|
Symmetria | p4m, [4,4], (*442) | p6m, [6,3], (*632) | |
Schläfli {p,q} | {4,4} | {3,6} | {6,3} |
Coxeterin kaavio | |||
Kuva |
On olemassa kaksi väärää säännöllistä laatoitusta - {∞,2}, äärettömän kulman kaksitahoinen , joka saadaan kahdesta apeirogoniasta , joista kumpikin täyttää puolitason, ja sen kaksois{2,∞} -laatoitus, äärettömän kulman osoedri , joka voidaan esittää äärettömänä määränä rinnakkaisia viivoja.
{∞,2} , |
{2,∞} , |
Tasossa ei ole säännöllisiä laatoitusta tähtipolygoneilla . On äärettömän monta lukuparia, joille tasaisen laatoituksen ehto (1/ p + 1/ q = 1/2) täyttyy, esimerkiksi {8/3.8}, {10/3.5}, {5/2.10 }, {12/5,12} jne., mutta mikään näistä tähdistä ei sovellu laatoitukseen.
Hyperboliset laatoituksetHyperbolisen kaksiulotteisen avaruuden laatoitukset ovat hyperbolisia laatoitusta . H 2 :ssa on äärettömän monta säännöllistä laatoitusta . Kuten edellä todettiin, mikä tahansa positiivinen pari { p , q } siten, että 1/ p + 1/ q < 1/2, antaa hyperbolisen laatoituksen. Itse asiassa yleiselle Schwartzin kolmiolle ( p , q , r ) sama pätee 1/ p + 1/ q + 1/ r < 1.
On olemassa monia eri tapoja esittää hyperbolista tasoa, mukaan lukien Poincarén levymalli , joka kartoittaa tason levyksi alla olevan kuvan mukaisesti. Kaikkia laatoituksen monikulmiopintoja tulee käsitellä tasasivuisina, ja polygonit pienenevät, kun pääset lähemmäs levyn reunaa projisoinnin vuoksi, mikä on samanlaista kuin kalansilmäkameran vaikutus .
Muodon {p,q} hyperbolisen tason säännöllisinä laatoitusina on äärettömän monta litteää säännöllistä 3-ääretöntä huippua, jossa p+q<pq/2.
Esimerkkejä:
Pallomainen (platoninen) / euklidinen / hyperbolinen (Poincare-levy: kompakti / parakompakti / ei- kompakti ) laatoitus Schläfli-symboleineen | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
p\q | 3 | neljä | 5 | 6 | 7 | kahdeksan | ... | ∞ | ... | iπ/λ |
3 | ( tetraedri ) {3,3} |
( oktaedri ) {3,4} |
( ikosaedri ) {3,5} |
( delta laatta ) {3,6} |
{3,7} |
{3,8} |
{3,∞} |
{3,iπ/λ} | ||
neljä | ( kuutio ) {4,3} |
( quadrille ) {4,4} |
{4,5} |
{4,6} |
{4,7} |
{4,8} |
{4,∞} |
{4,iπ/λ} | ||
5 | ( dodekaedri ) {5,3} |
{5,4} |
{5,5} |
{5,6} |
{5,7} |
{5,8} |
{5,∞} |
{5,iπ/λ} | ||
6 | ( heksatiili ) {6,3} |
{6,4} |
{6,5} |
{6,6} |
{6,7} |
{6,8} |
{6,∞} |
{6,iπ/λ} | ||
7 | {7,3} |
{7,4} |
{7,5} |
{7,6} |
{7,7} |
{7,8} |
{7,∞} |
{7,iπ/λ} | ||
kahdeksan | {8,3} |
{8,4} |
{8,5} |
{8,6} |
{8,7} |
{8,8} |
{8,∞} |
{8,iπ/λ} | ||
... | ||||||||||
∞ | {∞,3} |
{∞,4} |
{∞,5} |
{∞,6} |
{∞,7} |
{∞,8} |
{∞,∞} |
{∞,iπ/λ} | ||
... | ||||||||||
iπ/λ | {ip/λ,3} |
{ip/λ,4} |
{ip/λ,5} |
{ip/λ,6} |
{ip/λ,7} |
{ip/λ,8} |
{iπ/λ,∞} |
{iπ/λ,iπ/λ} |
On olemassa kahta ääretöntä hyperbolisten laatoitusten tyyppiä, joiden pinnat tai kärkihahmot ovat tähtipolygoneja — { m /2, m } ja niiden duaalit { m , m /2} m = 7, 9, 11, .... Mosaiikit { m / 2, m } ovat { m , 3} laattojen tähtiä, kun taas kaksoislaatoinnit { m , m / 2} ovat { 3, m } laatoituksen ja { m , 3} laattojen lisäyksiä
Kaaviot { m /2, m } ja { m , m / 2} jatkuvat parittomille m < 7 monitahoina : jos m = 5, saadaan pieni tähtikuvioinen dodekaedri ja suuri dodekaedri , ja m = 3 :lla tetraedri . Kahdella muulla Kepler-Poinsot-kiintoaineella ( suurella tähtikuvioisella dodekaedrilla ja suurella ikosaedrilla ) ei ole analogeja tavallisissa hyperbolisissa laatoinnissa. Jos m on parillinen, riippuen siitä, kuinka valitsemme { m /2}:n määritelmän, voimme saada joko toisen laatoituksen rappeutuneen kannen tai laattojen risteyksen .
Nimi | Schläfli | Coxeterin kaavio | Kuva | Kasvotyyppi {p} |
Vertex-kuvio {q} |
Tiheys [ fi | Symmetria | kaksinkertainen |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Tilauksen 7 seitsemänkulmainen laatoitus | {7/2,7} | {7/2} |
{7} |
3 | *732 [7,3] |
Seitsenkulmainen heptagrammilaatoitus | ||
Seitsenkulmainen heptagrammilaatoitus | {7,7/2} | {7} |
{7/2} |
3 | *732 [7,3] |
Tilauksen heptagrammilaatoitus 7 | ||
Järjestyksen enneagrammosaiikki 9 | {9/2,9} | {9/2} |
{9} |
3 | *932 [9,3] |
Enneagrammi yhdeksänpuolinen laatoitus | ||
Enneagrammi yhdeksänpuolinen laatoitus | {9,9/2} | {9} |
{9/2} |
3 | *932 [9,3] |
Tilaa 9 Enneagram yhdeksänpuolinen laatoitus | ||
Genecagram mosaiikki järjestys 11 | {11/2,11} | {11/2} |
{yksitoista} |
3 | *11.3.2 [11.3] |
Hendecagram-laatoitus yksitoistakulmainen laatoitus | ||
Hendecagram-laatoitus yksitoistakulmainen laatoitus | {11,11/2} | {yksitoista} |
{11/2} |
3 | *11.3.2 [11.3] |
Genecagram mosaiikki järjestys 11 | ||
p - tilauksen gramman laatoitus p | { p /2, p } | { p /2} | { p } | 3 | * s . 32 [s, 3] |
p - gramma p - puuhiili laatoitus | ||
p -gramma laatoitus p -kulmalaatoitus | { p , p /2} | { p } | { p /2} | 3 | * s . 32 [s, 3] |
p -gramma tilauksen laatoitus p |
Euklidisessa 3D-avaruudessa on kolme säännöllistä vinoa ääretöntä , joissa on säännöllinen spatiaalinen monikulmio kärkikuvioiden muodossa [13] [14] [15] . Niillä on sama kärkijärjestely ja reunajärjestely kuin kolmella kuperalla yhtenäisellä hunajakennolla .
Säännöllinen vino monikulmio | ||
---|---|---|
{4,6|4} |
{6,4|4} |
{6,6|3} |
Euklidisessa kolmiulotteisessa avaruudessa on kolmekymmentä säännöllistä ääretöntä [17] . Ne sisältävät sekä yllä luetellut että 8 muuta "puhdasta" ääretöntä. Ne kaikki liittyvät kuution kennoihin {4,3,4}. Muilla on spatiaaliset monikulmiopinnat: {6,6} 4 , {4,6} 4 , {6,4} 6 , {∞,3} a , {∞,3} b , {∞,4} .*3 , {∞,4} 6.4 , {∞,6} 4.4 ja {∞,6} 6.3 .
Vinot äärettömät hyperbolisessa 3D-avaruudessaHyperbolisessa kolmiulotteisessa avaruudessa on 31 säännöllistä vinoa ääretöntä [18] :
Kolmiulotteisessa avaruudessa ( hunajakenno ) on vain yksi ei-rappeutunut säännöllinen laatoitus, {4, 3, 4} [19] :
Nimi | Schläfli {p,q,r} |
kokseteri |
Solutyyppi { p,q} |
Kasvotyyppi { p} |
Reunakuvio { r} |
Vertex- kuvio {q,r} |
χ | Kaksinkertainen |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
kuutioinen hunajakenno | {4,3,4} | {4,3} | {neljä} | {neljä} | {3,4} | 0 | Itsenäinen kaksinkertainen |
On kuusi väärää säännöllistä laatoitusta, jotka perustuvat pareittain kolmeen tavalliseen euklidiseen laatoitukseen. Niiden solut ja pistekuviot ovat säännöllisiä { 2,n} osohedra , {n, 2} dihedra ja euklidinen laatoitus. Nämä epäasianmukaiset säännölliset tessellaatiot liittyvät rakenteellisesti prismaattisiin yhtenäisiin kennoihin katkaisutoiminnolla. Ne ovat 2. kertaluvun äärettömän kulman laatoituksen [en ja äärettömän kulman osohedrin korkeaulotteisia vastineita .
Schläfli {p,q,r} |
Coxeterin kaavio |
Solutyyppi { p,q} |
Kasvotyyppi { p} |
Reunakuvio { r} |
Vertex- kuvio {q,r} |
---|---|---|---|---|---|
{2,4,4 | {2,4} | {2} | {neljä} | {4,4} | |
{2,3,6 | {2,3} | {2} | {6} | {3,6} | |
{2,6,3} | {2,6} | {2} | {3} | {6,3} | |
{4,4,2} | {4,4} | {neljä} | {2} | {4,2} | |
{3,6,2} | {3,6} | {3} | {2} | {6,2} | |
{6,3,2} | {6,3} | {6} | {2} | {3,2} |
| ||||
|
Hyperbolisessa kolmiulotteisessa avaruudessa on kymmenen litteää säännöllistä hunajakennoa [20] ( lueteltu yllä laatoitusina):
Hyperbolisen 3-tilan laatoitusta voidaan kutsua hyperbolisiksi hunajakennoiksi . H 3 : ssa on 15 hyperbolista kennoa, 4 kompaktia ja 11 parakompaktia.
Nimi | Schläfli-symboli { p,q,r} |
kokseteri |
Solutyyppi { p,q} |
Kasvotyyppi { p} |
Reunakuvio { r} |
Vertex- kuvio {q,r} |
χ | Kaksinkertainen |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Icosahedral hunajakennot | {3,5,3} | {3,5} | {3} | {3} | {5,3} | 0 | Itsenäinen kaksinkertainen | |
Cubic hunajakennoja tilaus 5 | {4,3,5} | {4,3} | {neljä} | {5} | {3,5} | 0 | {5,3,4} | |
Tilaa 4 dodekaedristä hunajakennoa | {5,3,4} | {5,3} | {5} | {neljä} | {3,4} | 0 | {4,3,5} | |
Dodecahedral hunajakennojärjestys 5 | {5,3,5} | {5,3} | {5} | {5} | {3,5} | 0 | Itsenäinen kaksinkertainen |
Siellä on myös 11 parakompaktia H 3 -kennoa (jossa on äärettömiä (euklidisia) soluja ja/tai huippulukuja): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4 , 3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5 } ja {6,3,6}.
Nimi | Schläfli-symboli { p,q,r} |
kokseteri |
Solutyyppi { p,q} |
Tpi reuna {p} |
Reunakuvio { r} |
Vertex- kuvio {q,r} |
χ | Kaksinkertainen |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Tetrahedriset hunajakennot, luokkaa 6 | {3,3,6} | {3,3} | {3} | {6} | {3,6} | 0 | {6,3,3} | |
Kuusikulmaiset mosaiikkikennot | {6,3,3} | {6,3} | {6} | {3} | {3,3} | 0 | {3,3,6} | |
Tilaa 4 oktaedristä hunajakennoa | {3,4,4} | {3,4} | {3} | {neljä} | {4,4} | 0 | {4,4,3} | |
Neliömäiset mosaiikkikennot | {4,4,3} | {4,4} | {neljä} | {3} | {4,3} | 0 | {3,3,4} | |
Kolmion muotoiset mosaiikkikennot | {3,6,3} | {3,6} | {3} | {3} | {6,3} | 0 | Itsenäinen kaksinkertainen | |
Cubic hunajakennoja tilaus 6 | {4,3,6} | {4,3} | {neljä} | {neljä} | {3,4} | 0 | {6,3,4} | |
Tilaa 4 kuusikulmaista mosaiikkikennoa | {6,3,4} | {6,3} | {6} | {neljä} | {3,4} | 0 | {4,3,6} | |
Neliömäiset mosaiikkikennot tilaus 4 | {4,4,4} | {4,4} | {neljä} | {neljä} | {4,4} | 0 | {4,4,4} | |
Dodecahedral hunajakennojärjestys 6 | {5,3,6} | {5,3} | {5} | {5} | {3,5} | 0 | {6,3,5} | |
Kuusikulmainen mosaiikkikennojärjestys 5 | {6,3,5} | {6,3} | {6} | {5} | {3,5} | 0 | {5,3,6} | |
Kuusikulmaiset mosaiikkikennot tilaus 6 | {6,3,6} | {6,3} | {6} | {6} | {3,6} | 0 | Itsenäinen kaksinkertainen |
Ei-kompaktit ratkaisut ovat olemassa Lorentzian Coxeter-ryhminä, ja ne voidaan visualisoida avoimella alueella hyperbolisessa avaruudessa (perustetraedri, jonka osia ei voi saavuttaa äärettömän takia), ja jotkut on piirretty alla osoittaen niiden leikkauspisteen tason kanssa. Kaikki kennot, joita ei ole esitetty taulukoissa ja joiden Schläfli-symbolissa ei ole 2, ovat epätiiviitä.
PR | 3 | neljä | 5 | 6 | 7 | kahdeksan | ...∞ |
---|---|---|---|---|---|---|---|
3 |
{3,3,3} |
{3,3,4} |
{3,3,5} |
{3,3,6} |
{3,3,7} |
{3,3,8} |
{3,3,∞} |
neljä |
{4,3,3} |
{4,3,4} |
{4,3,5} |
{4,3,6} |
{4,3,7} |
{4,3,8} |
{4,3,∞} |
5 |
{5,3,3} |
{5,3,4} |
{5,3,5} |
{5,3,6} |
{5,3,7} |
{5,3,8} |
{5,3,∞} |
6 |
{6,3,3} |
{6,3,4} |
{6,3,5} |
{6,3,6} |
{6,3,7} |
{6,3,8} |
{6,3,∞} |
7 |
{7,3,3} |
{7,3,4} |
{7,3,5} |
{7,3,6} |
{7,3,7} |
{7,3,8} |
{7,3,∞} |
kahdeksan |
{8,3,3} |
{8,3,4} |
{8,3,5} |
{8,3,6} |
{8,3,7} |
{8,3,8} |
{8,3,∞} |
... ∞ |
{∞,3,3} |
{∞,3,4} |
{∞,3,5} |
{∞,3,6} |
{∞,3,7} |
{∞,3,8} |
{∞,3,∞} |
q = 4 | q = 5 | q = 6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
H 3 :ssa ei ole hyperbolisia tähtikuvioita - kaikki muodot, joissa on säännöllinen monitahoinen solukko, kärkihahmo tai molemmat, osoittautuvat pallomaisiksi.
On olemassa kolmenlaisia äärettömiä säännöllisiä ( hunajakennoja ), jotka voivat täyttää euklidisen neliulotteisen avaruuden:
Nimi | Schläfli-symboli { p,q,r,s} |
Fasetin tyyppi {p,q,r} |
Solutyyppi { p,q} |
Kasvotyyppi { p} |
kasvojen muoto {s} |
Reunakuvio { r,s} |
Vertex- kuvio {q,r,s} |
Kaksinkertainen |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Tesseract honeycombs | {4,3,3,4} | {4,3,3} | {4,3} | {neljä} | {neljä} | {3,4} | {3,3,4} | Itsenäinen kaksinkertainen |
16 solun hunajakenno | {3,3,4,3} | {3,3,4} | {3,3} | {3} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,4,3,3} |
Kaksikymmentäneljäsoluinen hunajakenno | {3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {3} | {3,3} | {4,3,3} | {3,3,4,3} |
Projisoitu hunajakennofragmentti {4,3,3,4} (Tesseract hunajakenno) |
Projisoitu solufragmentti {3,3,4,3} (16 solun hunajakenno) |
Projisoitu solufragmentti {3,4,3,3} (24-soluinen kenno) |
On myös kaksi sopimatonta tapausta, {4,3,4,2} ja {2,4,3,4}. Euklidisessa 4-ulotteisessa avaruudessa on kolme litteää säännöllistä hunajakennotyyppiä: [19]
Hyperbolisessa 4-ulotteisessa avaruudessa on seitsemän litteää säännöllistä kuperaa hunajakennoa: [20]
Hyperbolisessa 4-ulotteisessa avaruudessa on neljä litteää säännöllistä tähtityyppiä hunajakennoja: [20]
Avaruudessa H 4 on seitsemän kuperia säännöllistä hunajakennoa ja neljä tähden muotoista kennoa [21] . Viisi kuperaa tyyppiä on kompakteja ja kaksi parakompakteja.
Viisi kompaktia säännöllistä hunajakennoa H 4 :ssä:
Nimi | Schläfli-symboli { p,q,r,s} |
Fasetin tyyppi {p,q,r} |
Solutyyppi { p,q} |
Kasvotyyppi { p} |
kasvojen muoto {s} |
Reunakuvio { r,s} |
Vertex- kuvio {q,r,s} |
Kaksinkertainen |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Viisikennoinen kennotilaus 5 | {3,3,3,5} | {3,3,3} | {3,3} | {3} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | {5,3,3,3} |
120 solukennoa | {5,3,3,3} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {3} | {3,3} | {3,3,3} | {3,3,3,5} |
Tesseract honeycombs order 5 | {4,3,3,5} | {4,3,3} | {4,3} | {neljä} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | {5,3,3,4} |
120 solujärjestys 4 solua | {5,3,3,4} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {neljä} | {3,4} | {3,3,4} | {4,3,3,5} |
120 kennojärjestys 5 kennoa | {5,3,3,5} | {5,3,3} | {5,3} | {5} | {5} | {3,5} | {3,3,5} | Itsenäinen kaksinkertainen |
Kaksi tavallista parakompaktia säännöllistä hunajakennotyyppiä H 4 :ssä: {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.
Nimi | Schläfli-symboli { p,q,r,s} |
Fasetin tyyppi {p,q,r} |
Solutyyppi { p,q} |
Kasvotyyppi { p} |
kasvojen muoto {s} |
Reunakuvio { r,s} |
Vertex- kuvio {q,r,s} |
Kaksinkertainen |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
24 solujärjestys 4 solua | {3,4,3,4} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {neljä} | {3,4} | {4,3,4} | {4,3,4,3} |
Cubic hunajakenno | {4,3,4,3} | {4,3,4} | {4,3} | {neljä} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,4,3,4} |
Ei-kompakteja ratkaisuja on olemassa Lorentzian Coxeter-ryhminä, ja ne voidaan visualisoida käyttämällä avointa aluetta hyperbolisessa avaruudessa (perusmuotoinen viisisoluinen solu, jonka osia ei voida saavuttaa äärettömyyden vuoksi). Kaikki kennot, joita ei ole esitetty taulukoissa ja joiden Schläfli-symbolissa ei ole 2, ovat epätiiviitä.
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
H 4 -avaruudessa on neljä tyyppiä tavallisia tähtikuvioita :
Nimi | Schläfli-symboli { p,q,r,s} |
Fasetin tyyppi {p,q,r} |
Solutyypin tyyppi {p,q} |
Kasvotyyppi { p} |
kasvojen muoto {s} |
Reunakuvio { r,s} |
Vertex- kuvio {q,r,s} |
Kaksinkertainen | Tiheys _ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Hunajakenno pienestä 120-soluisesta | {5/2,5,3,3} | {5/2,5,3 | {5/2,5} | {5} | {5} | {3,3} | {5,3,3} | {3,3,5,5/2} | 5 |
600 solun pentagrammijärjestys | {3,3,5,5/2} | {3,3,5} | {3,3} | {3} | {5/2} | {5.5/2} | {3,5,5/2} | {5/2,5,3,3} | 5 |
Icosahedral 120-kennoinen kennojärjestys 5 | {3,5,5/2,5} | {3,5,5/2} | {3,5} | {3} | {5} | {5/2,5} | {5,5/2,5} | {5.5/2.5.3} | kymmenen |
Suuren 120 solun hunajakennot | {5.5/2.5.3} | {5,5/2,5} | {5.5/2} | {5} | {3} | {5,3} | {5/2,5,3} | {3,5,5/2,5} | kymmenen |
Euklidisessa 5-avaruudessa on vain yksi tasainen säännöllinen hunajakenno: ( lueteltu yllä laatoina) [19]
Hyperbolisessa 5-tilassa on viisi litteää säännöllistä hunajakennoa, jotka kaikki ovat parakompakteja: ( lueteltu yllä laatoina ) [20]
Hyperkuutiokenno on ainoa säännöllisten kennojen perhe, joka voi laatoittaa minkä tahansa mittaisen tilan (vähintään viisi), jonka muodostavat hyperkuution fasetit , neljä kunkin (n-2)-ulotteisen pinnan ympärillä.
Nimi | Schläfli { p 1 , p 2 , ..., p n −1 } |
Faset- tyyppi |
Vertex figuuri |
Kaksinkertainen |
---|---|---|---|---|
Neliönmuotoinen parketti | {4,4} | {neljä} | {neljä} | Itsenäinen kaksois |
kuutioinen hunajakenno | {4,3,4} | {4,3} | {3,4} | Itsenäinen kaksois |
Tesseract honeycombs | {4,3 2,4 } | {4,3 2 } | {3 2 ,4} | Itsenäinen kaksois |
5-kuutioinen hunajakenno | {4,3 3,4 } | {4,3 3 } | {3 3 ,4} | Itsenäinen kaksois |
6-kuutioinen hunajakenno | {4,3 4,4 } | {4,3 4 } | {3 4 ,4} | Itsenäinen kaksois |
7 kuutiota hunajakennoja | {4,3 5,4 } | {4,3 5 } | {3 5 ,4} | Itsenäinen kaksois |
8 kuutiota hunajakennoja | {4,3 6,4 } | {4,3 6 } | {3 6 ,4} | Itsenäinen kaksois |
n -ulotteiset hyperkuutioiset kennot | {4,3 n−2 ,4} | {4,3n −2 } | { 3n−2 ,4} | Itsenäinen kaksois |
E 5 :ssä on myös virheellisiä tapauksia {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3,3 , 4,3}, {3,4,3,3,2} ja {2,3,4,3,3}. En : ssä {4,3 n −3 ,4,2} ja {2,4,3 n−3 ,4} ovat aina virheellisiä euklidisia laatoitusta.
Hyperbolisen 5-ulotteisen avaruuden laatoituksetH 5 :ssä on 5 tavallista hunajakennotyyppiä , kaikki parakompakteja. Ne sisältävät äärettömät (euklidiset) fasetit tai kärkimuodot: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,3,3,4,3}, {3, 4,3,3,4} ja {4,3,3,4,3}.
Hyperbolisessa tilassa, jonka ulottuvuus on 5 tai enemmän, on kaksi ei-kompaktia säännöllistä laatoitusta, ja hyperbolisessa tilassa, jonka ulottuvuus on 6 tai enemmän, ei ole parakompakteja säännöllisiä laatoitusta.
Nimi | Schläfli-symboli { p,q,r,s,t} |
Fasetin tyyppi {p,q,r,s} |
4-kasvotyyppi { p,q,r} |
solutyyppi {p , q} |
kasvotyyppi { p} |
solukuvio { t} |
kasvohahmo {s , t} |
reunakuvio { r,s,t} |
Vertex- kuvio {q,r,s,t} |
Kaksinkertainen |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
5-orthoplex hunajakenno | {3,3,3,4,3} | {3,3,3,4} | {3,3,3} | {3,3} | {3} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,3,4,3} | {3,4,3,3,3} |
Kaksikymmentäneljäsoluinen hunajakenno | {3,4,3,3,3} | {3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {3} | {3,3} | {3,3,3} | {4,3,3,3} | {3,3,3,4,3} |
16 solun hunajakenno | {3,3,4,3,3} | {3,3,4,3} | {3,3,4} | {3,3} | {3} | {3} | {3,3} | {4,3,3} | {3,4,3,3} | Itsenäinen kaksois |
24 solujärjestys 4 solua | {3,4,3,3,4} | {3,4,3,3} | {3,4,3} | {3,4} | {3} | {neljä} | {3,4} | {3,3,4} | {4,3,3,4 | {4,3,3,4,3} |
Tesseract honeycombs | {4,3,3,4,3} | {4,3,3,4 | {4,3,3} | {4,3} | {neljä} | {3} | {4,3} | {3,4,3} | {3,3,4,3} | {3,4,3,3,4} |
Koska n ≥ 5:lle ei ole olemassa säännöllisiä stellattuja n -polytooppeja, jotka voisivat olla potentiaalisia soluja tai huippukuvioita, H n : ssä ei ole enää hyperbolisia tähtikuvioita, kun n ≥ 5.
Ei ole olemassa oikeita kompakteja tai parakompakteja laatoitusta hyperboliselle tilalle, jonka mitat ovat 6 tai suuremmat. Kaikki lukemattomat kokonaislukuarvot antavat hyperbolisen n - ulotteisen avaruuden ei-kompaktin laatoituksen.
Jokaiselle luonnolliselle luvulle n on olemassa n-pisteinen säännöllinen tähtipolygoni, jonka Schläfli-symboli on {n/m} mille tahansa m:lle < n/2 (tarkasti ottaen {n/m}={n/(n−m)} ), missä m ja n ovat suhteellisen alkulukuja . Jos m ja n eivät ole suhteellisen alkulukuja, tuloksena olevalla polygonilla on n / m sivua. Uusi luku saadaan kiertämällä näitä n / m -kulmia yhden kärjen verran (vasemmalle), kunnes kiertojen määrä saavuttaa luvun n / m miinus yksi, ja yhdistämällä nämä kierretyt luvut. Äärimmäisessä tapauksessa, kun n / m on yhtä suuri kuin 2, saamme n / 2 segmentin luvun. Tällaista hahmoa kutsutaan rappeutuneeksi tähtipolygoniksi .
Muissa tapauksissa, kun n :llä ja m :llä on yhteinen jakaja, saadaan tähtipolygoni, jolla on pienempi n , ja siihen voidaan yhdistää rotaatiolla saadut versiot. Näitä muotoja kutsutaan tähtimuodoiksi , sopimattomiksi tähtipolygoneiksi tai yhdistelmäpolygoneiksi . Heille käytetään usein samaa merkintää { n / m } , vaikka jotkut kirjoittajat, kuten Grünbaum (1994), pitävät (joillakin tarkennuksilla) oikeampana muotoa k { n }, jossa yleensä k = m .
Lisäkomplikaatio syntyy, kun yhdistämme kaksi tai useampia tähtipolygoneja, kuten kaksi pentagrammia, joiden kierto on 36° ja jotka on merkitty kymmenkulmioon. Tässä tapauksessa on oikeampaa kirjoittaa muodossa k { n / m }, meidän tapauksessamme 2{5/2}, kuin käyttää yleisesti käytettyä {10/4}.
Laajennettu Coxeterin merkintä monikulmioiden yhdistämiseksi on c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}, mikä heijastaa sitä d erillistä { p , q ,...} yhdessä peittävät kärjet { m , n ,...} c kertaa ja pinnat { s , t ,...} e kertaa. Jos kelvollista { m , n ,...} -tunnusta ei ole, merkinnän ensimmäinen osa poistetaan jättäen [ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}. Päinvastainen tapaus on, jos oikeaa { s , t ,...} ei ole. Sanojen c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...} duaali on e { t , s ,...}[ d { q , p ,...}] c { n , m ,...}. Jos c tai e on yhtä suuri kuin 1, ne voidaan jättää pois. Monikulmioiden yhdistämiseksi tämä merkintä pienenee muotoon { nk }[ k { n / m }]{ nk }. Esimerkiksi heksagrammi voidaan kirjoittaa muodossa {6}[2{3}]{6}.
2{2} |
3{2} |
4{2} |
5{2} |
6{2} |
7{2} |
8{2} |
9{2} |
10{2} |
11{2} |
12{2} |
13{2} |
14{2} |
15{2} | |
2{3} |
3{3} |
4{3} |
5{3} |
6{3} |
7{3} |
8{3} |
9{3} |
10{3} |
2{4} |
3{4} |
4{4} |
5{4} |
6{4} |
7{4} |
2{5} |
3{5} |
4{5} |
5{5} |
6{5} |
2 {5/2} |
3 {5/2} |
4 {5/2} |
5 {5/2} |
6. {5/2} |
2{6} |
3{6} |
4{6} |
5{6} | |
2{7} |
3{7} |
4{7} |
2 {7/2} |
3 {7/2} |
4 {7/2} |
2 {7/3} |
3 {7/3} |
4 {7/3} |
2{8} |
3{8} |
2. {8.3. |
3. {8.3. | ||
2{9} |
3{9} |
2. {9/2} |
3 {9/2} |
2 {9/4} |
3 {9/4} |
2{10} |
3{10} |
2{10/3} |
3 {10/3} | |||||
2{11} |
2{11/2} |
2 {11/3} |
2 {11/4} |
2 {11/5} |
2{12} |
2. {12/5} |
2{13} |
2 {13/2} |
2 {13/3} |
2 {13/4} |
2 {13/5} |
2 {13/6} | ||
2{14} |
2. {14/3} |
2 {14/5} |
2{15} |
2 {15/2} |
2 {15/4} |
2 {15/7} |
Säännölliset spatiaaliset monikulmiot luovat myös yhteyksiä, joita voidaan havaita antiprismien prismaattisen yhteyden reunoissa , esim.
Avaruusneliöiden yhdistäminen |
Tilallisten kuusikulmioiden kytkentä |
Tilallisten kymmenkulmioiden yhdistäminen | |
Kaksi {2}#{ } | Kolme {2}#{ } | Kaksi {3}#{ } | Kaksi {5/3}#{ } |
Säännölliset polytooppiyhteydet voidaan määritellä yhteyksiksi, jotka säännöllisten polytooppien tapaan ovat vertex-transitiivisia , reunatransitiivisia ja face-transitiivisia . Tämän määritelmän mukaan on 5 oikeaa yhteyttä.
Symmetria | [4,3], O h | [5,3] + , I | [5,3], Ih | ||
---|---|---|---|---|---|
Kaksinaisuus | itsekaksoittava | Kaksoisparit | |||
Kuva | |||||
Pallomainen | |||||
Polyhedra | tähtikuvioinen oktaedri | 5 {3,3} | 10 {3,3 | 5 {4,3} | 5 {3,4} |
kokseteri | {4,3} [2 {3,3} ] {3,4} | {5,3} [5 {3,3} ] {3,5} | 2 {5,3} [10 {3,3} ]2 {3,5} | 2 {5,3} [5 {4,3} ] | [5 {3.4} ]2 {3.5} |
Euklidisen tasolaatoituksen säännöllisiä yhteyksiä on kahdeksantoista kaksiparametrista perhettä. Viisi yhden parametrin perhettä ja seitsemäntoista yksittäistapausta tunnetaan hyperbolisella tasolla, mutta tämän luettelon täydellisyyttä ei ole vielä todistettu.
Euklidisen ja hyperbolisen tason 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p on kokonaisluku) yhdisteperheet ovat samanlaisia kuin pallomaiset tähtioktaedrit , 2 {3,3}.
Itsenäinen kaksinkertainen | Itsenäinen kaksinkertainen | Itsenäinen kaksinkertainen | |
---|---|---|---|
2 {4,4} | 2 {6,3} | 2 {3,6} | 2 {∞,∞} |
{{4,4}} tai a{4,4} tai {4,4}[2{4,4}]{4,4} + tai |
[2{6,3}]{3,6} | a{6,3} tai {6,3}[2{3,6}] +tai |
{{∞,∞}} tai a{∞,∞} tai {4,∞}[2{∞,∞}]{∞,4} +tai |
3 {6,3} | 3 {3,6} | 3 {∞,∞} | |
2{3,6}[3{6,3}]{6,3} | {3,6}[3{3,6}]2{6,3} ++ |
++ |
75 {4,3,3} | 75 {3,3,4} |
---|
4-ulotteisessa avaruudessa on 32 säännöllistä polytooppien säännöllistä yhteyttä, jotka Coxeter listasi kirjassaan Regular Polytopes : [22]
Yhdiste | Symmetria | Vertexin sijainti | Solun asettelu |
---|---|---|---|
120 {3,3,3} | [5,3,3], tilaus 14400 | {5,3,3} | {3,3,5} |
5 {3,4,3} | [5,3,3], tilaus 14400 | {3,3,5} | {5,3,3} |
Yhdiste 1 | Yhdiste 2 | Symmetria | Vertexin sijainti (1) | Soluasettelu (1) | Vertexin sijainti (2) | Soluasettelu (2) |
---|---|---|---|---|---|---|
3 {3,3,4} [23] | 3 {4,3,3} | [3,4,3], tilaus 1152 | {3,4,3} | 2{3,4,3} | 2{3,4,3} | {3,4,3} |
15 {3,3,4} | 15 {4,3,3} | [5,3,3], tilaus 14400 | {3,3,5} | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} | {5,3,3} |
75 {3,3,4} | 75 {4,3,3} | [5,3,3], tilaus 14400 | 5{3,3,5} | 10{5,3,3} | 10{3,3,5} | 5{5,3,3} |
75 {3,3,4} | 75 {4,3,3} | [5,3,3], tilaus 14400 | {5,3,3} | 2{3,3,5} | 2{5,3,3} | {3,3,5} |
300 {3,3,4} | 300 {4,3,3} | [5,3,3] + , tilaus 7200 | 4{5,3,3} | 8{3,3,5} | 8{5,3,3} | 4{3,3,5} |
600 {3,3,4} | 600 {4,3,3} | [5,3,3], tilaus 14400 | 8{5,3,3} | 16{3,3,5} | 16{5,3,3} | 8{3,3,5} |
25 {3,4,3} | 25 {3,4,3} | [5,3,3], tilaus 14400 | {5,3,3} | 5{5,3,3} | 5{3,3,5} | {3,3,5} |
On olemassa kaksi erilaista 75 tesseraktin yhteyttä: toinen käyttää samoja kärkipisteitä kuin 120-soluinen ja toinen käyttää samoja pisteitä kuin 600-soluinen. Tästä seuraa, että vastaavat 75 kuusitoista solun kaksoisyhdisteet ovat myös erilaisia.
Yhdiste | Symmetria | Vertexin sijainti | Solun asettelu |
---|---|---|---|
5 {5.5/2.5} | [5,3,3] + , tilaus 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} |
10 {5.5/2.5} | [5,3,3], tilaus 14400 | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
5 {5/2,5,5/2} | [5,3,3] + , tilaus 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} |
10 {5/2,5,5/2} | [5,3,3], tilaus 14400 | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
Yhteys 1 | Yhteys 2 | Symmetria | Vertexin sijainti (1) | Soluasettelu (1) | Vertexin sijainti (2) | Soluasettelu (2) |
---|---|---|---|---|---|---|
5 {3,5,5/2 | 5 {5/2,5,3 | [5,3,3] + , tilaus 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} | {5,3,3} | {3,3,5} |
10 {3,5,5/2} | 10 {5/2,5,3 | [5,3,3], tilaus 14400 | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
5 {5.5/2.3} | 5 {3.5/2.5} | [5,3,3] + , tilaus 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} | {5,3,3} | {3,3,5} |
10 _ | 10 {3.5/2.5} | [5,3,3], tilaus 14400 | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
5 {5/2,3,5 | 5 {5,3,5/2} | [5,3,3] + , tilaus 7200 | {5,3,3} | {3,3,5} | {5,3,3} | {3,3,5} |
10 {5/2,3,5 | 10 {5,3,5/2} | [5,3,3], tilaus 14400 | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} | 2{5,3,3} | 2{3,3,5} |
On myös neljätoista osittain säännöllistä liitosta, jotka ovat joko vertex-transitiivisia tai solutransitiivisia, mutta eivät molempia. Seitsemän vertex-transitiivista osittain säännöllistä liitosta ovat duaalit seitsemän solutransitiivisen osittain säännöllisen liitoksen kanssa.
Yhdiste 1 on huipputransitiivinen |
Yhdiste 2 solun transitiivinen |
Symmetria |
---|---|---|
2 hex solua [24] | 2 tesseraktia | [4,3,3], tilaus 384 |
100 kaksikymmentäneljä solua | 100 kaksikymmentäneljä solua | [5,3,3] + , tilaus 7200 |
200 kaksikymmentäneljä solua | 200 kaksikymmentäneljä solua | [5,3,3], tilaus 14400 |
5 kuusisataa solua | 5 sataakaksikymmentä solua | [5,3,3] + , tilaus 7200 |
10 kuusisataa solua | 10 satakaksikymmentä solua | [5,3,3], tilaus 14400 |
Yhteys1 ovat vertex-transitiivisia |
Join2 solu transitiivinen |
Symmetria |
---|---|---|
5 {3,3,5/2 | 5 {5/2,3,3 | [5,3,3] + , tilaus 7200 |
10 {3,3,5/2 | 10 {5/2,3,3 | [5,3,3], tilaus 14400 |
Ainoat säännölliset euklidiset hunajakennoyhteydet ovat loputon perhe kuutiokennoyhteyksiä , jotka jakavat kärjet ja pinnat muiden kuutioiden kennojen kanssa. Tässä yhteydessä voi olla mikä tahansa määrä kuutiosoluja. Coxeterin merkintätapa on {4,3,4}[ d {4,3,4}]{4,3,4}.
Viisi- ja kuusiulotteisissa tiloissa ei ole oikeita yhteyksiä. Tunnetaan kolme seitsemänulotteista yhdistettä (16, 240 ja 480 7-yksinkertaista ) ja kuusi kahdeksanulotteista (16, 240 ja 480 okteraktia tai 8- ortopleksia ). N -ulotteisessa avaruudessa on myös yksi n - ulotteisten yksinkertaisten yhteys , edellyttäen, että n on yksi pienempi kuin kahden potenssi, sekä kaksi yhteyttä ( n - ulotteisten kuutioiden yhteys ja sen n - ulotteisten ortopleksien kaksoisyhteys ) n - ulotteisessa avaruudessa, jos n on kahden potenssi.
Coxeterin merkintä näille yhdisteille (jossa α n = {3 n −1 }, β n = {3 n −2 .4 }, γ n = {4.3 n −2 }:
Yleinen tapaus (kun n = 2 k ja d = 2 2 k − k − 1 , k = 2, 3, 4, ...):
Tunnetaan ääretön perhe säännöllisiä euklidisia hunajakennoyhteyksiä, joiden ulottuvuus on viisi ja sitä suurempi – hyperkuutioisten kennojen yhteys, joilla on yhteiset kärjet ja pinnat muiden hyperbolisten kennojen kanssa. Tässä yhteydessä voi olla mielivaltainen määrä hyperbolisia soluja. Coxeterin merkintätapa näille yhdisteille on δ n [ d δ n ]δ n missä δ n = {∞} kun n = 2 ja {4,3 n −3 ,4} kun n ≥ 3.
Abstraktin monitahoisen käsite syntyi, kun yritettiin tutkia monitahoja yhdistämättä niitä geometriseen tilaan, jossa ne sijaitsevat. Niihin kuuluvat pallomaisten, euklidisten ja hyperbolisten tilojen laatoitukset, muiden monistojen laatoitukset ja monet muut kohteet, joilla ei ole tarkkaan määriteltyä topologiaa, mutta joille on sen sijaan tunnusomaista niiden "paikallinen" topologia. Abstrakteja polyhedraja on äärettömän monta missä tahansa ulottuvuudessa. Katso esimerkkejä atlasista . Joitakin merkittäviä esimerkkejä abstrakteista säännöllisistä monitahoista, joita on vaikea löytää muualta, ovat yksitoista solu , {3,5,3} ja 57 solu , { 5,3,5 }, joissa on säännöllisiä projektiivisia polytooppeja soluina ja kärkikuvioina.
Abstraktin monitahoisen elementit ovat sen runko (maksimielementti), pinnat, reunat, kärjet ja nollapolyhedron (tyhjä joukko). Nämä abstraktit elementit voidaan esittää tavallisessa tilassa tai ottaa geometrisiksi muodoiksi. Joillakin abstrakteilla polyhedreillä on hyvin muotoiltuja tai uskottavia toteutuksia, toisilla ei. Lippu on joukko kunkin ulottuvuuden toisiinsa liittyviä elementtejä. Neliulotteiselle monitahoiselle tämä on runko, kasvot, tämän pinnan reuna, reunan kärki ja nollapolyedri. Abstraktin monitahoisen sanotaan olevan säännöllinen , jos sen kombinatoriset symmetriat ovat transitiivisia sen lipuissa, eli mikä tahansa sen lipuista voidaan kääntää monitahoisen symmetrian avulla joksikin muuksi. Abstraktit säännölliset polyhedrat ovat aktiivinen tutkimusalue.
Viisi sellaista säännöllistä abstraktia polyhedraa, joita ei voida uskottavasti toteuttaa, esitti Coxeter kirjassaan Regular Polytopes (1977) ja myöhemmin JM Willsin artikkelissa "The kombinatorally regular polyhedra of index 2" (1987) [25] . Ne vastaavat topologisesti toroidia . Niiden rakentamista asettamalla n pintaa jokaisen kärjen lähelle voidaan jatkaa loputtomiin, jolloin saadaan hyperbolisen tason laatoitus.
Polyhedron | Keskimmäinen rombotriakontaedri |
Dodekoodidekaedri |
Keskimmäinen triambikykosaedri |
Bitrigonaalinen dodekaedri |
lovettu dodekaedri |
---|---|---|---|---|---|
Vertex figuuri | {5}, {5/2} |
(5,5/2) 2 |
{5}, {5/2} |
(5,5/3) 3 |
|
Fasetit | 30 timanttia |
12 viisikulmiota 12 pentagrammia |
20 kuusikulmiota |
12 viisikulmiota 12 pentagrammia |
20 heksagrammaa |
Mosaiikki | {4, 5 |
{5, 4 |
{6, 5 |
{5, 6 |
{6, 6}{6, 6 |
χ | −6 | −6 | −16 | −16 | −20 |
Ne näkyvät kaksoispareina:
Fundamentaaliset kuperat säännölliset ja yhtenäiset kennot mitoiltaan 2–10 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
geometriset mosaiikit | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Jaksottainen |
| ||||||||
jaksoton |
| ||||||||
Muut |
| ||||||||
Vertex- konfiguraation mukaan |
|