Luettelo säännöllisistä moniulotteisista monitahoista ja yhdisteistä

Esimerkkejä säännöllisistä polyhedraista
Säännölliset (2D) polygonit
kupera tähti

{5}

{5/2}
Tavallinen 3D-polyhedra
kupera tähti

{5,3}

{5/2,5}
Oikeat 2D-laatoitukset
Euklidinen Hyperbolinen

{4,4}

{5,4
Tavallinen 4D-polyhedra
kupera tähti

{5,3,3}

{5/2,5,3
Oikeat 3D-laatoitukset
Euklidinen Hyperbolinen

{4,3,4}

{5,3,4}

Tämä sivu sisältää luettelon säännöllisistä moniulotteisista polytoopeista (polytoopeista) ja näiden polytooppien säännöllisistä yhteyksistä euklidisissa , pallomaisissa ja hyperbolisissa eri ulottuvuuksissa.

Schläfli-symboli kuvaa jokaista säännöllistä n-pallon, euklidisen ja hyperbolisen avaruuden laatoitusta. Schläfli-symboli kuvaamaan n-ulotteista monitahoista kuvaa myös (n-1)-pallon laatoitusta. Lisäksi säännöllisen monitahoisen tai laatoituksen symmetria ilmaistaan ​​Coxeter-ryhmänä , jonka Coxeter merkitsi identtisesti Schläfli-symbolien kanssa lukuun ottamatta rajaa hakasulkeilla, ja tätä merkintää kutsutaan Coxeter-merkinnällä . Toinen asiaan liittyvä symboli on Coxeter-Dynkin-kaavio , joka edustaa symmetriaryhmää (ilman ympyröityjä solmuja) ja säännöllisiä polytooppeja tai tessellaatioita, joissa on ympyröity ensimmäinen solmu. Esimerkiksi kuutiossa on Schläfli-symboli {4,3} ja sen oktaedrisymmetria [4,3] taiCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png, on esitetty Coxeterin kaaviossaCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png.

Säännölliset polyhedrat ryhmitellään ulottuvuuden ja sitten muodon mukaan - kupera, ei-kupera ja ääretön. Ei-kuperat näkymät käyttävät samoja kärkipisteitä kuin kuperat näkymät, mutta niillä on risteävät fasetit (maksimimitan fasetit = tilan mitat - 1). Äärettömät näkymät tekevät euklidisesta avaruudesta yhden ulottuvuuden vähemmän.

Äärettömät muodot voidaan laajentaa hyperbolisiin avaruuden tessellaatioihin . Hyperbolinen avaruus on samanlainen kuin tavallinen avaruus, mutta yhdensuuntaiset suorat eroavat etäisyyden mukaan. Tämä sallii huippukuvioiden negatiivisen kulmavirheen . Esimerkiksi seitsemän säännöllistä kolmiota , jotka sijaitsevat tasossa, voivat konvergoida kärjessä. Tätä ei voida tehdä tavallisella (euklidisella) tasolla, mutta se voidaan tehdä jossain mittakaavassa hyperbolisella tasolla.

Polytooppeja, jotka täyttävät yleisemmän määritelmän ja joissa ei ole yksinkertaisia ​​Schläfli-symboleja, ovat säännölliset vinopolytoopit ja äärettömän kulman säännölliset vinopolyhedrat, joissa on ei-tasoisia fasetteja tai kärkikuvioita .

Yleiskatsaus

Taulukossa on yhteenveto tavallisista monitahoista mittojen mukaan.

Lopullinen Euklidinen Hyperbolinen Liitännät
Koko Kupera
_
Star
Chat
vino Kupera
_
Kompakti
_
Star
Chat
Parakompakti
_
Kupera
_
Star
Chat
yksi yksi 0 0 yksi 0 0 0 0 0
2 yksi yksi 0 0
3 5 neljä ? 3 5 0
neljä 6 kymmenen ? yksi neljä 0 yksitoista 26 kaksikymmentä
5 3 0 ? 3 5 neljä 2 0 0
6 3 0 ? yksi 0 0 5 0 0
7 3 0 ? yksi 0 0 0 3 0
kahdeksan 3 0 ? yksi 0 0 0 6 0
9+ 3 0 ? yksi 0 0 0 * 0

* 1, jos mitta on 2 k − 1; 2, jos mitta on kahden potenssi; 0 muuten.

Euklidisessa avaruudessa ei ole säännöllisiä tähtilaattoja minkään ulottuvuuden mukaan.

Yksiulotteinen avaruus

Coxeter-Dynkin-kaavio esittää peilattuja "tasoja" solmuina ja asettaa ympyrän solmun ympärille, jos piste ei ole tasossa. Segmentti , { },CDel node 1.pngon piste p ja pisteen p peilikuva sekä niiden välinen jana.

Yksiulotteinen polytooppi (1-polytooppi) on suljettu segmentti , jota rajoittaa kaksi päätepistettä. 1-polytooppi on määritelmän mukaan säännöllinen ja sitä edustaa Schläfli-symboli { } [1] [2] tai Coxeter-kaavio , jossa on yksi ympyröity solmu,CDel node 1.png. Norman Johnson antoi heille nimen datale ja Schläfli-symbolin { } [3] .

Koska daityyli on triviaali monitahoisena, se syntyy polygonien ja polyhedrien reunuksina [4] . Sitä käytetään homogeenisten prismien määrittelyssä (kuten Schläfli-symbolissa { }×{p}) tai Coxeterin kaaviossa.CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngjanan ja säännöllisen monikulmion suorana tulona [5] .

Kaksiulotteinen avaruus (polygonit)

Kaksiulotteisia polytooppeja kutsutaan polygoneiksi . Säännöllisillä monikulmioilla on yhtä suuret sivut ja ne on piirretty ympyrään. Säännöllistä p-kulmiota edustaa Schläfli-symboli {p}.

Yleensä vain kuperia polygoneja pidetään säännöllisinä, mutta tähtipolygoneja , kuten pentagrammi , voidaan myös pitää säännöllisenä. Ne käyttävät samoja pisteitä kuin kuperat muodot, mutta liittyvät eri tavalla, kun ympyrä kulkee useammin kuin kerran.

Tähtipolygoneja tulisi kutsua ei- kuperiksi koveriksi , koska reunojen leikkauspisteet eivät muodosta uusia pisteitä ja kaikki kärjet ovat ympyrässä.

Pullistuma

Schläfli-symboli {p} edustaa säännöllistä p - gonia .

Nimi Kolmio
( 2-simplex )
Neliö
(2 - ortoplex )
( 2-kuutio )
Pentagon Kuusikulmio Seitsenkulmio Kahdeksankulmio
Schläfli {3} {neljä} {5} {6} {7} {kahdeksan}
Symmetria D 3 , [3] D 4 , [4] D 5 , [5] D 6 , [6] D 7 , [7] D8 , [ 8 ]
kokseteri CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel8.pngCDel node.png
Kuva
Nimi viisikulmio Decagon Hendecagon Dodecagon Kolmetoista tetradecagon
Schläfli {9} {kymmenen} {yksitoista} {12} {13} {neljätoista}
Symmetria D9 , [ 9 ] P10 , [ 10 ] D 11 , [11] D12 , [ 12 ] D 13 , [13] D14 , [ 14 ]
Dynkin CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 12.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 13.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 14.pngCDel node.png
Kuva
Nimi Pentagon Kuusikulmio Seitsemäntoista kahdeksankulmio Nineteenagon Dodecagon ... p-gon
Schläfli {viisitoista} {16} {17} {kahdeksantoista} {19} {kaksikymmentä} { p }
Symmetria D15 , [ 15 ] D16 , [ 16 ] D17 , [ 17 ] D18 , [ 18 ] D19 , [ 19 ] P20 , [ 20 ] D p , [p]
Dynkin CDel node 1.pngCDel 15.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel16.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 17.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel18.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 19.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel20.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png
Kuva
Pallomainen

Säännöllistä digonia {2} voidaan pitää rappeutuneena säännöllisenä monikulmiona. Se voi esiintyä ei-degeneroituneena joissakin ei-euklidisissa tiloissa, kuten pallon tai toruksen pinnalla .

Nimi Monogon Bigon
Schläfli-symboli {yksi} {2}
Symmetria D 1 , [ ] D 2 , [2]
Coxeterin kaavio CDel node.pngtaiCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.png
Kuva

Tähdet

2D-avaruudessa on äärettömän monta säännöllistä tähtipolyhedria (eli polygoneja), joiden Schläfli-symbolit ovat rationaalilukuja { n / m }. Niitä kutsutaan tähtipolygoneiksi ja niillä on sama huippupistejärjestely kuin kuperalla polygonilla.

Yleensä mille tahansa luonnolliselle luvulle n ja kaikille m, joiden m < n /2 ja m , n koprime , on olemassa n-pisteisiä säännöllisiä tähtiä Schläfli-symboleilla { n / m } (tarkasti ottaen { n / m }= { n /( n − m )}) .

Nimi Pentagrammi Heptagrammit Octagram Enneagrammit Dekagrammi ... n-grammaa
Schläfli {5/2} {7/2} {7/3} {8/3} {9/2} {9/4} {10/3} { p/q }
Symmetria D 5 , [5] D 7 , [7] D8 , [ 8 ] D9 , [ 9 ], P10 , [ 10 ] Dp , [ p ]
kokseteri CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel8.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel dq.pngCDel node.png
Kuva  
Tavalliset tähtipolygonit, joissa on jopa 20 sivua

{11/2}

{11/3}

{11/4}

{11/5}

{12/5}

{13/2}

{13/3}

{13/4}

{13/5}

{13/6}

{14/3}

{14/5}

{15/2}

{15/4}

{15/7}

{16/3}

{16/5}

{16/7}

{17/2}

{17/3}

{17/4}

{17.5.}

{17/6}

{17/7}

{17.8.}

{18.5.}

{18.7}

{19/2}

{19/3}

{19/4}

{19/5}

{19/6}

{19/7}

{19/8}

{19/9}

{20/3}

{20/7}

{20/9}

Spatiaaliset polygonit

Kolmiulotteisessa avaruudessa säännöllistä spatiaalista monikulmiota [6] kutsutaan antiprismaattiseksi monikulmioksi ja sillä on sama huippupistejärjestely kuin antiprismalla , ja sen reunat ovat antiprisman reunojen osajoukko, joka yhdistää kärjet. ylemmästä ja alemmasta monikulmiosta siksakissa.

Esimerkki säännöllisestä spatiaalisesta siksak-polygonista
Kuusikulmio Kahdeksankulmio Decagon
D 3d , [2 + ,6] D4d , [ 2 + ,8] D 5d , [2 + ,10]
{3}#{ } {neljä}#{ } {5}#{ } {5/2}#{ } {5/3}#{ }

4-ulotteisessa avaruudessa säännöllisellä avaruuspolygonilla voi olla kärkipisteitä Clifford-toruksessa ja se liittyy Cliffordin rotaatioon . Toisin kuin antiprismaattisilla 3D-polygoneilla, kaksoiskiertoisilla 3D-polygoneilla voi olla pariton määrä sivuja.

Ne voidaan nähdä kuperoiden säännöllisten neliulotteisten monikulmioiden Petri-polygoneissa , jotka nähdään Coxeterin projektioiden kehän säännöllisinä litteinä monikulmioina:

Pentagon Kahdeksankulmio Dodecagon Tridecagon

Viisisoluinen

Heksadesimaalinen solu

kaksikymmentäneljä solua

Kuusisataa solua

Kolmiulotteinen avaruus (polyhedra)

3D-avaruudessa säännöllinen monitahoinen Schläfli-symboli {p,q} ja Coxeter-kaavioCDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngon säännölliset pinnat muotoa {p} ja säännöllinen kärkikuvio {q}.

Huippukuvio (polyhedron) on monikulmio, joka saadaan yhdistämällä pisteitä, jotka ovat yhden reunan päässä tietystä kärjestä. Tavallisissa 3D-polyhedraissa tämä kärkikuvio on aina säännöllinen (ja tasomainen) monikulmio.

Säännöllisen monitahoisen {p,q} olemassaoloa rajoittaa kärkikuvion kulmavirheeseen liittyvä epäyhtälö :

 : Polyhedron (olemassa euklidisessa 3-avaruudessa)  : Euklidinen tasolaatoitus  : Hyperbolisen tason laatoitus

Numeroimalla permutaatiot uudelleen , löydämme 5 kuperaa muotoa, 4 tähtimuotoa ja 3 tasomaista laatoitusta, joissa kaikissa on {p} ja {q} polygonit luettelosta: {3}, {4}, {5}, {5/2} ja {6 }.

Euklidisten avaruuslaatoitusten lisäksi on olemassa ääretön määrä säännöllisiä hyperbolisia laatoitusta.

Pullistuma

Viittä kuperaa säännöllistä polyhedraa kutsutaan platonisiksi kiintoaineiksi . Huippupisteen muoto määritetään yhdessä pisteiden lukumäärän kanssa. Kaikilla näillä polyhedreillä on Euler-ominaisuus (χ) 2.

Nimi Schläfli
{p,q}
kokseteri
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
Piirustus
(läpinäkyvä)
Piirustus
(runko)
Piirustus
(pallo)
Fasetit
{p}
kylkiluut Vertices
{q}
Symmetria Kaksinkertainen
Tetraedri
( 3-simplex )
{3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 4
{3}
6 4
{3}
T d
[3,3]
(*332)
(itse-kaksois)
Hex
Cube
( 3-kuutio )
{4,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 6
{4}
12 8
{3}
O h
[4,3]
(*432)
Oktaedri
Oktaedri
(3 -ortoplex )
{3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 8
{3}
12 6
{4}
O h
[4,3]
(*432)
Kuutio
Dodekaedri {5,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 12
{5}
kolmekymmentä 20
{3}
I h
[5,3]
(*532)
ikosaedri
ikosaedri {3,5} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png 20
{3}
kolmekymmentä 12
{5}
I h
[5,3]
(*532)
Dodekaedri
Pallomainen

Pallogeometriassa on säännöllisiä pallomaisia ​​monitahoja ( pallolla olevia laattoja ), jotka ovat tavallisessa tapauksessa rappeutuneita monitahoja. Nämä ovat osohedrat {2,n} ja niiden kaksoisdihedrat { n,2}. Coxeter kutsuu tällaisia ​​tapauksia "sopimattomiksi" tessellaatioiksi [7] .

Muutama ensimmäinen esimerkki (n välillä 2 - 6) on esitetty alla.

Osohedra
Nimi Schläfli
{2,p}
Coxeterin
kaavio
Piirustus
(pallo)
Kasvot
{2} π/p
kylkiluut Vertices
{p}
Symmetria Kaksinkertainen
Kaksikulmainen osoedri {2,2} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png 2
{2} π/2
2 2
{2} π/2
D 2h
[2,2]
(*222)
Itsenäinen kaksinkertainen
kolmion muotoinen osoedri {2,3} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 3
{2} π/3
3 2
{3}
D 3h
[2,3]
(*322)
kolmion kaksitahoinen
Neliön muotoinen osoedri {2,4} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 4
{2} π/4
neljä 2
{4}
D 4h
[2,4]
(*422)
neliön dihedron
Viisikulmainen osoedri {2,5} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png 5
{2} π/5
5 2
{5}
D 5h
[2,5]
(*522)
Viisikulmainen dihedroni
Kuusikulmainen osohedri {2,6} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png 6
{2} π/6
6 2
{6}
D 6h
[2,6]
(*622)
Kuusikulmainen dihedroni
dihedra
Nimi Schläfli
{p,2}

Coxeterin kaavio
Piirustus
(pallo)
Fasetit
{p}
kylkiluut Vertices
{2}
Symmetria Kaksinkertainen
Kaksikulmainen dihedroni {2,2} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png 2
{2} π/2
2 2
{2} π/2
D 2h
[2,2]
(*222)
Itsenäinen kaksinkertainen
kolmion kaksitahoinen {3,2} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png 2
{3}
3 3
{2} π/3
D 3h
[3,2]
(*322)
kolmion muotoinen osoedri
neliön dihedron {4,2} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png 2
{4}
neljä 4
{2} π/4
D 4h
[4,2]
(*422)
Neliön muotoinen osoedri
Viisikulmainen dihedroni {5,2} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png 2
{5}
5 5
{2} π/5
D 5h
[5,2]
(*522)
Viisikulmainen osoedri
Kuusikulmainen dihedroni {6,2} CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2x.pngCDel node.png 2
{6}
6 6
{2} π/6
D 6h
[6,2]
(*622)
Kuusikulmainen osohedri

Myös tähtidihedrat ja osohedrat ovat olemassa, kuten {5/2,2} ja {2,5/2}.

Tähdet

Säännöllisiä tähtikuvioita kutsutaan Kepler-Poinsot-kiintoaineiksi, ja niitä on neljä. Ne perustuvat dodekaedrin {5,3} ja ikosaedrin {3,5} kärkien

Kuten pallomaiset laatat , nämä tähtimuodot menevät pallon päälle useita kertoja, mitä kutsutaan niiden tiheydeksi . Näille muodoille tiheys on 3 tai 7. Mosaiikkipiirustukset esittävät yksittäisten pallomaisten monikulmioiden pinnat keltaisina.

Nimi Piirustus
(läpinäkyvä)
Piirustus
(läpinäkymätön)
Figuuri
(pallomainen)
Kaavio tähtimuodon muodostumisesta _

Schläfli
{p,q} ja
Coxeter
Fasetit
{p}
kylkiluut Vertices
{q}
Kuva
χ Tiheys [ fi Symmetria Kaksinkertainen
Pieni tähtikuvioinen dodekaedri {5/2,5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
12
{5/2}
kolmekymmentä 12
{5}
−6 3 I h
[5,3]
(*532)
Suuri dodekaedri
Suuri dodekaedri {5.5/2}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
12
{5}
kolmekymmentä 12
{5/2}
−6 3 I h
[5,3]
(*532)
Pieni tähtikuvioinen dodekaedri
Suuri tähtikuvioinen dodekaedri {5/2,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
12
{5/2}
kolmekymmentä 20
{3}
2 7 I h
[5,3]
(*532)
Suuri ikosaedri
Suuri ikosaedri {3,5/2}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
20
{3}
kolmekymmentä 12
{5/2}
2 7 I h
[5,3]
(*532)
Suuri tähtikuvioinen dodekaedri

Skew polyhedra

Säännöllinen vino monitaho on yleistys säännöllisten polytooppien joukosta, jossa kärkikuvioiden epätasaisuus on sallittu .

4-ulotteiselle vinolle polyhedralle Coxeter ehdotti modifioitua Schläfli-symbolia {l,m|n}, jossa on kärkikuvio {l,m}, m l-gonia kärjen ympärillä n - kulmaisten reikien kanssa. Niiden kärkimuodot ovat avaruuspolygoneja, jotka edustavat kahden tason välisiä siksakkia.

Säännölliselle vinolle polyhedralle, jota edustaa symboli {l,m|n}, yhtälö pätee:

2*sin(π/l)*sin(π/m)=cos(π/n)

Neljä niistä voidaan nähdä 4-ulotteisessa avaruudessa neljän säännöllisen 4-polyhedran pintojen joukkona , joilla on sama kärkijärjestely ja reunajärjestely :

{4, 6| 3} {6, 4 | 3} {4, 8 | 3} {8, 4| 3}

Neliulotteinen avaruus

Säännöllisissä 4-ulotteisissa monitahoissa , joissa on Schläfli-symboli , on näkymäsolut, kuvapinnat , reunamuodot ja kärkimuodot .

  • Huippufiguuri (4-ulotteisen polytoopin) on (3-ulotteinen) polytooppi, jonka muodostavat tietyn kärjen vieressä olevat polytoopin kärjet. Tavallisille 4-polytooppeille tämä huippukuvio on tavallinen (3-ulotteinen) polytooppi.
  • Reunakuvio on monikulmio, jonka muodostavat reunan vieressä olevat pinnat. Tavallisten 4D-polyhedrien reunakuvio on aina säännöllinen monikulmio.

Säännöllisten neliulotteisten polytooppien olemassaoloa rajoittaa säännöllisen polytoopin olemassaolo . 4-ulotteisille polyhedraille ehdotetaan käytettäväksi nimeä "polychorus" [8] [9]

Jokainen laji voi esiintyä avaruudessa seuraavasta lausekkeesta riippuen:

 : Hyperpallon muotoiset 3-ulotteiset hunajakennot tai 4-ulotteiset monitahot  : Euklidinen 3-ulotteinen hunajakenno  : Hyperbolinen 3-ulotteinen hunajakenno

Nämä rajoitukset koskevat 21 muotoa - 6 muotoa ovat kuperia, 10 ei ole kuperia, yksi on euklidinen 3-ulotteinen hunajakenno ja 4 on hyperbolinen kenno.

Neliulotteisen monitahoisen Eulerin ominaisuus lasketaan kaavalla ja on yhtä suuri kuin nolla kaikille tyypeille.

Pullistuma

6 kuperaa säännöllistä 4D-polyhedraa on esitetty alla olevassa taulukossa. Kaikilla näillä monitahoilla on Euler-ominaisuus (χ) 0.

Nimi
Schläfli
{p,q,r}
kokseteri
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
Solut
{p,q}
Fasetit
{p}
kylkiluu
{r}
Vertices
{q,r}
Dual
{r,q,p}
Viisisoluinen
( 4-simplex )
{3,3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 5
{3,3}
10
{3}
10
{3}
5
{3,3}
(itse-kaksois)
Tesseract
( 4-kuutio )
{4,3,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 8
{4,3}
24
{4}
32
{3}
16
{3,3}
Heksadesimaalinen solu
Kuusitoista solun
(4 - ortoplex )
{3,3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 16
{3,3}
32
{3}
24
{4}
8
{3,4}
tesserakti
kaksikymmentäneljä solua {3,4,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 24
{3,4}
96
{3}
96
{3}
24
{4,3}
(itse-kaksois)
120 solua {5,3,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 120
{5,3}
720
{5}
1200
{3}
600
{3,3}
600 solua
600 solua {3,3,5} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png 600
{3,3}
1200
{3}
720
{5}
120
{3,5}
120 solua
Viisisoluinen tesserakti Kuusitoista
solua
Kaksikymmentäneljä
solu
120
solua
600 solua
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
Lankakehys ( Petri-polygoni ) vinossa ortogonaalisessa projektiossa
ortogonaalinen projektio

Tetraedrinen
kuori
( solu/vertex-
keskeinen )

Kuutiokuori
(solun keskellä)

Kuutiokuori (
solun

keskellä)

Kuuboktaedrinen
kuori

(solukeskeinen)

Katkaistu rombotriakontaedrinen kuori ( solun
keskellä)

Pentakiikosi - dodekaedinen kuori
(vertex centered)
Schlegelin kaaviot ( perspektiiviprojektio )

(keskellä solua)

(keskellä solua)

(keskellä solua)

(keskellä solua)

(keskellä solua)

(ylhäällä keskellä)
Stereografinen projektiokehys ( hypersfäärinen )
Pallomainen

4-ulotteiset dihedrat ja osohedrat ovat olemassa 3-pallon säännöllisinä laatoitusina .

Tavalliset 4-ulotteiset dihedrat (2 puolta = 3-ulotteiset pinnat) sisältävät: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3 ,5,2}, {p,2,2} ja niiden kaksiulotteiset 4-ulotteiset osoedrat (2 kärkeä): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, { 2,3,5}, {2,5,3}, {2,2,p}. Polyedrit muotoa {2,p,2} ovat sekä 4-ulotteisia dihedraja että osohedraja. On myös muotoja {p,2,q}, joissa on dihedraalisia soluja ja osoedrisiä kärkikuvioita.

Tavallinen 4-ulotteinen osohedra hunajakennona 3-pallolla
Schläfli
{2,p,q}
kokseteri
CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
Solut
{2,p} π/q
Pinnat
{2} π/p,π/q
kylkiluut Huiput Vertex-kuvio
{p,q}
Symmetria Kaksinkertainen
{2,3,3} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 4
{2,3} π/3
6
{2} π/3,π/3
neljä 2 {3,3}
[2,3,3] {3,3,2}
{2,4,3} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 6
{2,4} π/3
12
{2} π/4,π/3
kahdeksan 2 {4,3}
[2,4,3] {3,4,2}
{2,3,4} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 8
{2,3} π/4
12
{2} π/3,π/4
6 2 {3,4}
[2,4,3] {4,3,2}
{2,5,3} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 12
{2,5} π/3
30
{2} π/5,π/3
kaksikymmentä 2 {5,3}
[2,5,3] {3,5,2}
{2,3,5} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png 20
{2,3} π/5
30
{2} π/3,π/5
12 2 {3,5}
[2,5,3] {5,3,2}

Tähdet

Säännöllisiä 4-ulotteisia tähtipolyhedraja on kymmenen , joita kutsutaan Schläfli-Hessin polytoopeiksi . Niiden kärjet sijaitsevat kuperassa 120 solussa { 5,3,3 } ja kuusisataa solussa {3,3,5} .

Ludwig Schläfli löysi niistä neljä ja hylkäsi loput kuusi, koska hän ei sallinut Euler-ominaisuuden rikkomista soluissa tai kärkikuvioissa (F+V−E=2). Edmund Hess (1843–1903) täydensi listaa kirjassaan Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder ( [83] doctrilingin johdanto ) pallo ottaen huomioon isoedrisen ja tasakulmaisen monitahoisen teorian) .

Näissä 10 säännöllisessä stellatetussa 4D-polyhedrassa on 4 reuna-asettelua ja 7 kasvojärjestelyä , jotka on esitetty ortogonaalisina projektioina :

Nimi
kehys Runko Schläfli
{p, q, r}
Coxeter
Solut
{p, q}
Fasetit
{p}
kylkiluu
{r}
Vertices
{q, r}
Tiheys [ fi χ Symmetria ryhmä Dual
{r, q, p}
Icosahedral 120-cell
(fasetoitu 600-kenno)
{3,5,5/2}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
120
{3,5}
1200
{3}
720
{5/2}
120
{5,5/2}
neljä 480 H 4
[5,3,3]
Pieni tähtikuvioinen 120-soluinen
Pieni 120-soluinen tähti {5/2,5,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
120
{5/2,5}
720
{5/2}
1200
{3}
120
{5,3}
neljä −480 H 4
[5,3,3]
Ikosaedrinen 120-soluinen
Suuri 120 solua {5,5/2,5}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
120
{5,5/2}
720
{5}
720
{5}
120
{5/2,5}
6 0 H 4
[5,3,3]
itsekaksoittava
Upea 120-soluinen {5,3,5/2}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
120
{5,3}
720
{5}
720
{5/2}
120
{3,5/2}
kaksikymmentä 0 H 4
[5,3,3]
Suuri tähtikuvioinen 120-soluinen
Suuri, 120-soluinen tähtitetty {5/2,3,5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
120
{5/2,3}
720
{5/2}
720
{5}
120
{3,5}
kaksikymmentä 0 H 4
[5,3,3]
Hieno 120-kennoinen
Upea 120-soluinen {5/2, 5, 5/2}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
120
{5/2,5}
720
{5/2}
720
{5/2}
120
{5,5/2}
66 0 H 4
[5,3,3]
itsekaksoittava
Suuri suuri 120-soluinen {5,5/2,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
120
{5,5/2}
720
{5}
1200
{3}
120
{5/2,3}
76 −480 H 4
[5,3,3]
Suuri ikosaedri 120-kennoinen
Suuri ikosaedri, 120 solua
(suuri fasetti 600 solua)
{3,5/2,5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
120
{3,5/2}
1200
{3}
720
{5}
120
{5/2,5}
76 480 H 4
[5,3,3]
Suuri iso 120-kennoinen
Great 600 cell {3,3,5/2}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
600
{3,3}
1200
{3}
720
{5/2}
120
{3,5/2}
191 0 H 4
[5,3,3]
Suuri iso tähtikuvioinen 120-soluinen
Suuri suuri 120-soluinen {5/2,3,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
120
{5/2,3}
720
{5/2}
1200
{3}
600
{3,3}
191 0 H 4
[5,3,3]
Mahtava 600 solu

Polytooppien säännöllisiä tähtipermutaatioita on neljä epäonnistunutta : {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2 }. Niiden solut ja kärkihahmot ovat olemassa, mutta ne eivät peitä hyperpalloa äärellisellä määrällä esityksiä.

Mitat viisi ja enemmän

Viisiulotteisessa avaruudessa [ ] säännölliset polytoopit voidaan merkitä seuraavasti _ kuva.

Huippufiguuri (5-ulotteisen polytoopin) on 4-ulotteinen polytooppi, jonka muodostavat tietyn kärjen vieressä olevat kärjet. Reunakuvio (5-ulotteisen polyhedronin) on monitahoinen, joka muodostuu kunkin reunan ympärillä olevista pinnoista. Kasvojen muoto (5-ulotteinen monitahoinen) on monitahoinen, jonka muodostavat kunkin pinnan ympärillä olevat solut.

Tavallinen 5-polytooppi on olemassa vain, jos ja ovat säännöllisiä 4-polytooppeja.

Riippuen arvosta

hanki tilan tyyppi

: Pallomainen 4D-laatoitus tai 5D-polyhedron : Euklidinen 4-ulotteinen laatoitus : Hyperbolinen 4D-laatoitus

Näistä rajoituksista saadaan 3 kuperaa monitahoista, nolla ei-kuperaa polytooppia, 3 4-ulotteista laatoitusta ja 5 hyperbolista 4-ulotteista laatoitusta. 5D:ssä ja sitä korkeammissa ei ole ei-kuperia säännöllisiä monitahoja.

Pullistuma

Mitoissa 5 ja sitä suuremmissa kuperia säännöllisiä monitahoja on vain kolme tyyppiä [10] .

Nimi
Schläfli-symboli {

p 1 ,...,p n −1 }
kokseteri k - kasvot
Faset- tyyppi
Vertex
figuuri
Kaksinkertainen
n -yksinkertainen { 3n− 1 } CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png { 3n −2 } { 3n −2 } Itsenäinen kaksinkertainen
n -kuutio {4,3n − 2 } CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {4,3n − 3 } { 3n −2 } n -ortoplex
n - ortoplex { 3n − 2,4 } CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png { 3n −2 } { 3n − 3,4 } n -kuutio

On myös sopimattomia tapauksia, joissa jotkin Schläfli-symbolin luvut ovat yhtä suuria kuin 2. Esimerkiksi {p,q,r,...2} on väärä säännöllinen pallomainen polytooppi tapauksessa {p,q,r... } on säännöllinen pallomainen polytooppi ja {2,...p,q,r} on väärä säännöllinen pallomainen polytooppi, kun {...p,q,r} on säännöllinen pallomainen polytooppi. Tällaisia ​​monitahoja voidaan käyttää faseteina, jotka antavat muotoja {p,q,...2...y,z}.

Viisiulotteiset avaruudet
Nimi
Schläfli-symboli {

p,q,r,s}
Coxeter
Fasettien määrä
( neliulotteiset
pinnat)
{p,q,r}
Solut
(3D
-pinnat)
{p,q}
Kasvot
(2D)
{p}
kylkiluut Huiput
Kasvojen muoto
{s}
Reunakuvio
{
r,s}
Vertex-
kuvio

{q,r,s}
Hexateron {3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6
{3,3,3}
15
{3,3}
20
{3}
viisitoista 6 {3} {3,3} {3,3,3}
Penteract {4,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
10
{4,3,3}
40
{4,3}
80
{4}
80 32 {3} {3,3} {3,3,3}
5-ortoplex {3,3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
32
{3,3,3}
80
{3,3}
80
{3}
40 kymmenen {neljä} {3,4} {3,3,4}

Hexateron

Penteract

5-ortoplex
Kuusiulotteinen avaruus
Nimi Schläfli Huiput kylkiluut Fasetit (2D) Solut (3D) 4D kasvot 5D kasvot χ
6-simplex {3,3,3,3,3} 7 21 35 35 21 7 0
Hexeract {4,3,3,3,3} 64 192 240 160 60 12 0
6-ortoplex {3,3,3,3,4} 12 60 160 240 192 64 0

6-ulotteinen simpleksi

Hexeract

6-ulotteinen ortoplex
Seitsenulotteinen avaruus
Nimi Schläfli Huiput kylkiluut Fasetit (2D) Solut (3D) 4D kasvot 5D kasvot 6D kasvot χ
7-simplex {3,3,3,3,3,3} kahdeksan 28 56 70 56 28 kahdeksan 2
Hepteract {4,3,3,3,3,3} 128 448 672 560 280 84 neljätoista 2
7-ortoplex {3,3,3,3,3,4} neljätoista 84 280 560 672 448 128 2

7-simplex

Hepteract

7-ortoplex
Kahdeksuulotteinen avaruus
Nimi Schläfli Huiput kylkiluut Fasetit (2D) Solut (3D) 4D kasvot 5D kasvot 6D kasvot 7D kasvot χ
8-simplex {3,3,3,3,3,3,3} 9 36 84 126 126 84 36 9 0
Octeract {4,3,3,3,3,3,3} 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 0
8-ortoplex {3,3,3,3,3,3,4} 16 112 448 1120 1792 1792 1024 256 0

8-simplex

Octeract

8-ortoplex
Yhdeksänulotteinen avaruus
Nimi Schläfli Huiput kylkiluut Fasetit (2D) Solut (3D) 4D kasvot 5D kasvot 6D kasvot 7D kasvot 8D kasvot χ
9-simplex {3 8 } kymmenen 45 120 210 252 210 120 45 kymmenen 2
Entereract {4,3 7 } 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 kahdeksantoista 2
9-ortoplex {3 7 ,4} kahdeksantoista 144 672 2016 4032 5376 4608 2304 512 2

9-simplex

Entereract

9-ortoplex
Kymmenulotteinen avaruus
Nimi Schläfli Huiput kylkiluut Fasetit (2D) Solut (3D) 4D kasvot 5D kasvot 6D kasvot 7D kasvot 8D kasvot 9D kasvot χ
10-simplex { 39 } yksitoista 55 165 330 462 462 330 165 55 yksitoista 0
Deceract {4,3 8 } 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 kaksikymmentä 0
10-ortoplex {3 8 ,4} kaksikymmentä 180 960 3360 8064 13440 15360 11520 5120 1024 0

10-simplex

Deceract

10-ortoplex

...

Ei-kupera

Ei ole olemassa ei-kuperia säännöllisiä monitahoja, joiden mitat ovat 5 tai suurempia.

Säännöllinen projektiivinen polyhedra

Projektiivinen säännöllinen ( n + 1)-polytooppi on olemassa, jos alkuperäinen säännöllinen n -pallomainen laatoitus {p,q,...} on keskisymmetrinen . Tällaisia ​​monitahoja kutsutaan semi-{p,q,...}, ja ne sisältävät puolet vähemmän elementtejä. Coxeter antaa heille merkin {p,q,...}/2, kun taas McMullen kirjoittaa {p,q,...} h/2 , missä h on Coxeterin luku . [yksitoista]

Säännöllisillä monikulmioilla , joissa on parillinen määrä sivuja, on puoli - 2n -kulmaiset projektiiviset polygonit, {2p}/2.

On 4 säännöllistä projektiivista polytooppia , jotka vastaavat neljää viidestä platonisesta kiintoaineesta .

Puolikuutio ja puolioktaedri yleistyvät puoli- n -kuutioihin ja puoli- n - ortopleksiin missä tahansa ulottuvuudessa.

Säännöllinen projektiivinen polyhedra 3D-avaruudessa

3-ulotteiset säännölliset hemipolytoopit
Nimi Coxeter
McMullen
Kuva kasvot Reunat Vertices χ
Puolikuutio {4,3}/2
{4,3} 3
3 6 neljä yksi
Puolioktaedri {3,4}/2
{3,4} 3
neljä 6 3 yksi
Semidodekaedri {5.3}/2
{5.3} 5
6 viisitoista kymmenen yksi
Puolikosaedri {3.5}/2
{3.5} 5
kymmenen viisitoista 6 yksi

Säännöllinen projektiivinen polyhedra neljässä ulottuvuudessa

4-ulotteisessa avaruudessa 5 kuudesta kuperasta säännöllisestä polyhedrasta muodostaa projektiivisia 4-polytooppeja. Kolme erityistapausta ovat puoli kaksikymmentäneljä solua, puoli kuusisataa solua ja puolisataakaksikymmentä solua.

4-ulotteiset säännölliset puolipolytoopit! Otsikko
Coxeterin symboli
McMullenin symboli soluja kasvot kylkiluut Huiput χ
puoliksi tesserakti {4,3,3}/2 {4,3,3} 4 neljä 12 16 kahdeksan 0
puoli kuusitoista solua {3,3,4}/2 {3,3,4} 4 kahdeksan 16 12 neljä 0
puolikaksikymmentäneljä solua {3,4,3}/2 {3,4,3} 6 12 48 48 12 0
puoli 120 solua {5,3,3}/2 {5,3,3} 15 60 360 600 300 0
puoli kuusisataa solua {3,3,5}/2 {3,3,5} 15 300 600 360 60 0

Säännölliset projektiiviset polytoopit viisiulotteisessa avaruudessa

On vain 2 kuperaa säännöllistä projektiivista semipolytooppia tiloissa, joiden ulottuvuus on 5 tai enemmän.

Nimi Schläfli 4D kasvot Solut (3D) Fasetit (2D) kylkiluut Huiput χ
puoliksi läpäisevä {4,3,3,3}/2 5 kaksikymmentä 40 40 16 yksi
semi pentacross {3,3,3,4}/2 16 40 40 kaksikymmentä 5 yksi

Infinitesimaalit

Infinite onmonitahoinen, jolla on ääretön määrä fasetteja. Nhuippu onn-ulotteinen ääretön huippu: 2-ääretön-huippu = ääretön-goni (apeirogon), 3-ääretön huippu = ääretön huippu 3D-avaruudessa jne.

Infinitetopesilla on kaksi päägeometristä luokkaa: [12]

  • Säännölliset hunajakennot n- ulotteisessa avaruudessa, täyttäen täysin n - ulotteisen avaruuden.
  • Säännölliset vinoutumat infinitetopes , jotka sisältävät n -ulotteisia monistoja korkeammissa tiloissa.

Yksiulotteinen avaruus (äärettömät)

Suora apeirogoni on suoran linjan säännöllinen laatoitus, joka on jaettu äärettömän moneen yhtä suureen segmenttiin. Siinä on äärettömän monta kärkeä ja kulmia. Sen Schläfli-symboli on {∞} ja sen Coxeter-kaavio onCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png.

... ...

Hyperbolisen tason apeirogoneilla , joista säännöllinen apeirogoni {∞} on merkittävin, voi olla kaarevuus, kuten äärellisillä monikulmioilla euklidisella tasolla, ja niiden kärjet sijaitsevat horosyklien tai hypersyklien päällä .

Säännöllisillä apeirogoneilla, joiden konvergenssi on äärettömässä, on symboli {∞} ja ne esiintyvät horosyklissä, vaikka yleensä ne voivat esiintyä hypersyklissä.

{∞} {πi/λ}

Infinity horopyörällä

Infinity hyperpyörässä

Yllä on kaksi hyperbolista apeirogonia Poincarén kiekolla . Oikeanpuoleisessa kuvassa on kohtisuorat viivat, jotka erottavat perusalueet toisistaan ​​etäisyydellä λ.

Spatiaaliset äärettömät

Vinot apeirogonit kaksiulotteisessa avaruudessa (tasossa) muodostavat siksakin. Jos siksak on symmetrinen ja tasainen, apeirogoni on oikea.

Vinot apeirogonit voidaan rakentaa minkä tahansa ulottuvuuden tilaan. Kolmiulotteisessa avaruudessa vinot apeirogonit muodostavat spiraalin ja voivat olla vasemmalla tai oikealla.

kaksiulotteinen tila 3D avaruus

Apeirogon siksakin muodossa

kierre apeirogoni

Kaksiulotteinen avaruus (äärettömät)

Euklidiset laatat

Koneessa on kolme säännöllistä laatoitusta. Kaikilla kolmella on Euler-ominaisuus (χ) 0.

Nimi Neliömäinen mosaiikki
(quadrille)
Kolmion muotoinen mosaiikki
(deltatiile)
Kuusikulmainen parketti
(heksatiili)
Symmetria p4m, [4,4], (*442) p6m, [6,3], (*632)
Schläfli {p,q} {4,4} {3,6} {6,3}
Coxeterin kaavio CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Kuva

On olemassa kaksi väärää säännöllistä laatoitusta - {∞,2}, äärettömän kulman kaksitahoinen , joka saadaan kahdesta apeirogoniasta , joista kumpikin täyttää puolitason, ja sen kaksois{2,∞} -laatoitus, äärettömän kulman osoedri , joka voidaan esittää äärettömänä määränä rinnakkaisia ​​viivoja.


{∞,2} ,CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png

{2,∞} ,CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
Euklidisen tähtilaatat

Tasossa ei ole säännöllisiä laatoitusta tähtipolygoneilla . On äärettömän monta lukuparia, joille tasaisen laatoituksen ehto (1/ p + 1/ q = 1/2) täyttyy, esimerkiksi {8/3.8}, {10/3.5}, {5/2.10 }, {12/5,12} jne., mutta mikään näistä tähdistä ei sovellu laatoitukseen.

Hyperboliset laatoitukset

Hyperbolisen kaksiulotteisen avaruuden laatoitukset ovat hyperbolisia laatoitusta . H 2 :ssa on äärettömän monta säännöllistä laatoitusta . Kuten edellä todettiin, mikä tahansa positiivinen pari { p , q } siten, että 1/ p  + 1/ q < 1/2, antaa hyperbolisen laatoituksen. Itse asiassa yleiselle Schwartzin kolmiolle ( p ,  q ,  r ) sama pätee 1/ p  + 1/ q  + 1/ r < 1.

On olemassa monia eri tapoja esittää hyperbolista tasoa, mukaan lukien Poincarén levymalli , joka kartoittaa tason levyksi alla olevan kuvan mukaisesti. Kaikkia laatoituksen monikulmiopintoja tulee käsitellä tasasivuisina, ja polygonit pienenevät, kun pääset lähemmäs levyn reunaa projisoinnin vuoksi, mikä on samanlaista kuin kalansilmäkameran vaikutus .

Muodon {p,q} hyperbolisen tason säännöllisinä laatoitusina on äärettömän monta litteää säännöllistä 3-ääretöntä huippua, jossa p+q<pq/2.

  • {3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
  • {4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
  • {5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
  • {6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
  • {7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
  • {8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
  • {9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
  • ...
  • {∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}

Esimerkkejä:

Hyperboliset tähtilaatat

On olemassa kahta ääretöntä hyperbolisten laatoitusten tyyppiä, joiden pinnat tai kärkihahmot ovat tähtipolygoneja — { m /2, m } ja niiden duaalit { m , m /2} m = 7, 9, 11, .... Mosaiikit { m / 2, m } ovat { m , 3} laattojen tähtiä, kun taas kaksoislaatoinnit { m , m / 2} ovat { 3, m } laatoituksen ja { m , 3} laattojen lisäyksiä

Kaaviot { m /2, m } ja { m , m / 2} jatkuvat parittomille m < 7 monitahoina : jos m = 5, saadaan pieni tähtikuvioinen dodekaedri ja suuri dodekaedri , ja m = 3 :lla tetraedri . Kahdella muulla Kepler-Poinsot-kiintoaineella ( suurella tähtikuvioisella dodekaedrilla ja suurella ikosaedrilla ) ei ole analogeja tavallisissa hyperbolisissa laatoinnissa. Jos m on parillinen, riippuen siitä, kuinka valitsemme { m /2}:n määritelmän, voimme saada joko toisen laatoituksen rappeutuneen kannen tai laattojen risteyksen .

Nimi Schläfli Coxeterin kaavio Kuva Kasvotyyppi
{p}
Vertex-kuvio
{q}
Tiheys [ fi Symmetria kaksinkertainen
Tilauksen 7 seitsemänkulmainen laatoitus {7/2,7} CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png {7/2}
{7}
3 *732
[7,3]
Seitsenkulmainen heptagrammilaatoitus
Seitsenkulmainen heptagrammilaatoitus {7,7/2} CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png {7}
{7/2}
3 *732
[7,3]
Tilauksen heptagrammilaatoitus 7
Järjestyksen enneagrammosaiikki 9 {9/2,9} CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png {9/2}
{9}
3 *932
[9,3]
Enneagrammi yhdeksänpuolinen laatoitus
Enneagrammi yhdeksänpuolinen laatoitus {9,9/2} CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png {9}
{9/2}
3 *932
[9,3]
Tilaa 9 Enneagram yhdeksänpuolinen laatoitus
Genecagram mosaiikki järjestys 11 {11/2,11} CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 11.pngCDel node.png {11/2}
{yksitoista}
3 *11.3.2
[11.3]
Hendecagram-laatoitus yksitoistakulmainen laatoitus
Hendecagram-laatoitus yksitoistakulmainen laatoitus {11,11/2} CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel node.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png {yksitoista}
{11/2}
3 *11.3.2
[11.3]
Genecagram mosaiikki järjestys 11
p - tilauksen gramman laatoitus p { p /2, p } CDel node 1.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.png   { p /2} { p } 3 * s . 32
[s, 3]
p - gramma p - puuhiili laatoitus
p -gramma laatoitus p -kulmalaatoitus { p , p /2} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png   { p } { p /2} 3 * s . 32
[s, 3]
p -gramma tilauksen laatoitus p
Vino äärettömiä euklidisessa 3-avaruudessa

Euklidisessa 3D-avaruudessa on kolme säännöllistä vinoa ääretöntä , joissa on säännöllinen spatiaalinen monikulmio kärkikuvioiden muodossa [13] [14] [15] . Niillä on sama kärkijärjestely ja reunajärjestely kuin kolmella kuperalla yhtenäisellä hunajakennolla .

  • 6 ruutua jokaisen kärjen ympärillä: {4,6|4}
  • 4 kuusikulmiota kunkin kärjen ympärillä: {6,4|4}
  • 6 kuusikulmiota kunkin kärjen ympärillä: {6,6|3}
Säännöllinen vino monikulmio

{4,6|4}

{6,4|4}

{6,6|3}

Euklidisessa kolmiulotteisessa avaruudessa on kolmekymmentä säännöllistä ääretöntä [17] . Ne sisältävät sekä yllä luetellut että 8 muuta "puhdasta" ääretöntä. Ne kaikki liittyvät kuution kennoihin {4,3,4}. Muilla on spatiaaliset monikulmiopinnat: {6,6} 4 , {4,6} 4 , {6,4} 6 , {∞,3} a , {∞,3} b , {∞,4} .*3 , {∞,4} 6.4 , {∞,6} 4.4 ja {∞,6} 6.3 .

Vinot äärettömät hyperbolisessa 3D-avaruudessa

Hyperbolisessa kolmiulotteisessa avaruudessa on 31 säännöllistä vinoa ääretöntä [18] :

  • 14 kompaktia: {8.10|3}, {10.8|3}, {10.4|3}, {4.10|3}, {6.4|5}, {4.6|5}, {10,6|3}, {6 ,10|3}, {8,8|3}, {6,6|4}, {10,10|3}, {6,6|5}, { 8,6|3} ja {6,8|3}.
  • 17 parakompakti: {12.10|3}, {10.12|3}, {12.4|3}, {4.12|3}, {6.4|6}, {4.6|6}, {8,4|4}, {4, 8|4}, {12,6|3}, {6,12|3}, {12,12|3}, {6,6|6}, { 8,6|4}, {6,8|4}, { 12,8|3}, {8,12|3} ja {8,8|4}.

Euklidisen kolmiulotteisen avaruuden tessellaatiot

Kolmiulotteisessa avaruudessa ( hunajakenno ) on vain yksi ei-rappeutunut säännöllinen laatoitus, {4, 3, 4} [19] :

Nimi Schläfli
{p,q,r}
kokseteri
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
Solutyyppi
{
p,q}
Kasvotyyppi
{
p}
Reunakuvio
{
r}
Vertex-
kuvio

{q,r}
χ Kaksinkertainen
kuutioinen hunajakenno {4,3,4} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {4,3} {neljä} {neljä} {3,4} 0 Itsenäinen kaksinkertainen
Euklidisen kolmiulotteisen avaruuden virheelliset laatoitukset

On kuusi väärää säännöllistä laatoitusta, jotka perustuvat pareittain kolmeen tavalliseen euklidiseen laatoitukseen. Niiden solut ja pistekuviot ovat säännöllisiä { 2,n} osohedra , {n, 2} dihedra ja euklidinen laatoitus. Nämä epäasianmukaiset säännölliset tessellaatiot liittyvät rakenteellisesti prismaattisiin yhtenäisiin kennoihin katkaisutoiminnolla. Ne ovat 2. kertaluvun äärettömän kulman laatoituksen [en ja äärettömän kulman osohedrin korkeaulotteisia vastineita .

Schläfli
{p,q,r}

Coxeterin kaavio
Solutyyppi
{
p,q}
Kasvotyyppi
{
p}
Reunakuvio
{
r}
Vertex-
kuvio

{q,r}
{2,4,4 CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {2,4} {2} {neljä} {4,4}
{2,3,6 CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png {2,3} {2} {6} {3,6}
{2,6,3} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {2,6} {2} {3} {6,3}
{4,4,2} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png {4,4} {neljä} {2} {4,2}
{3,6,2} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png {3,6} {3} {2} {6,2}
{6,3,2} CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png {6,3} {6} {2} {3,2}
Hyperbolisen kolmiulotteisen avaruuden laatoitukset
4 kompaktia tavallista kampaa

{5,3,4}

{5,3,5

{4,3,5

{3,5,3
4/11 parakompaktia tavallista kampaa

{3,4,4}

{3,6,3

{4,4,3}

{4,4,4}

Hyperbolisessa kolmiulotteisessa avaruudessa on kymmenen litteää säännöllistä hunajakennoa [20] ( lueteltu yllä laatoitusina):

  • 4 kompaktia: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} ja {5,3,5}
  • 6 parakompaktia: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6} , {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} ja {6,3,6}.

Hyperbolisen 3-tilan laatoitusta voidaan kutsua hyperbolisiksi hunajakennoiksi . H 3 : ssa on 15 hyperbolista kennoa, 4 kompaktia ja 11 parakompaktia.

Nimi
Schläfli-symboli {

p,q,r}
kokseteri
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
Solutyyppi
{
p,q}
Kasvotyyppi
{
p}
Reunakuvio
{
r}
Vertex-
kuvio

{q,r}
χ Kaksinkertainen
Icosahedral hunajakennot {3,5,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {3,5} {3} {3} {5,3} 0 Itsenäinen kaksinkertainen
Cubic hunajakennoja tilaus 5 {4,3,5} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png {4,3} {neljä} {5} {3,5} 0 {5,3,4}
Tilaa 4 dodekaedristä hunajakennoa {5,3,4} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {5,3} {5} {neljä} {3,4} 0 {4,3,5}
Dodecahedral hunajakennojärjestys 5 {5,3,5} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png {5,3} {5} {5} {3,5} 0 Itsenäinen kaksinkertainen

Siellä on myös 11 parakompaktia H 3 -kennoa (jossa on äärettömiä (euklidisia) soluja ja/tai huippulukuja): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4 , 3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5 } ja {6,3,6}.

Nimi
Schläfli-symboli {

p,q,r}
kokseteri
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png
Solutyyppi
{
p,q}
Tpi
reuna
{p}
Reunakuvio
{
r}
Vertex-
kuvio

{q,r}
χ Kaksinkertainen
Tetrahedriset hunajakennot, luokkaa 6 {3,3,6} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png {3,3} {3} {6} {3,6} 0 {6,3,3}
Kuusikulmaiset mosaiikkikennot {6,3,3} CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {6,3} {6} {3} {3,3} 0 {3,3,6}
Tilaa 4 oktaedristä hunajakennoa {3,4,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {3,4} {3} {neljä} {4,4} 0 {4,4,3}
Neliömäiset mosaiikkikennot {4,4,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {4,4} {neljä} {3} {4,3} 0 {3,3,4}
Kolmion muotoiset mosaiikkikennot {3,6,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {3,6} {3} {3} {6,3} 0 Itsenäinen kaksinkertainen
Cubic hunajakennoja tilaus 6 {4,3,6} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png {4,3} {neljä} {neljä} {3,4} 0 {6,3,4}
Tilaa 4 kuusikulmaista mosaiikkikennoa {6,3,4} CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {6,3} {6} {neljä} {3,4} 0 {4,3,6}
Neliömäiset mosaiikkikennot tilaus 4 {4,4,4} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {4,4} {neljä} {neljä} {4,4} 0 {4,4,4}
Dodecahedral hunajakennojärjestys 6 {5,3,6} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png {5,3} {5} {5} {3,5} 0 {6,3,5}
Kuusikulmainen mosaiikkikennojärjestys 5 {6,3,5} CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png {6,3} {6} {5} {3,5} 0 {5,3,6}
Kuusikulmaiset mosaiikkikennot tilaus 6 {6,3,6} CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png {6,3} {6} {6} {3,6} 0 Itsenäinen kaksinkertainen

Ei-kompaktit ratkaisut ovat olemassa Lorentzian Coxeter-ryhminä, ja ne voidaan visualisoida avoimella alueella hyperbolisessa avaruudessa (perustetraedri, jonka osia ei voi saavuttaa äärettömän takia), ja jotkut on piirretty alla osoittaen niiden leikkauspisteen tason kanssa. Kaikki kennot, joita ei ole esitetty taulukoissa ja joiden Schläfli-symbolissa ei ole 2, ovat epätiiviitä.

Pallomainen / euklidinen / hyperbolinen ( kompakti / parakompakti / epätiivis ) hunajakennot {p,3,r}
PR 3 neljä 5 6 7 kahdeksan ...∞
3

{3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

{3,3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

{3,3,6}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png

{3,3,7}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png

{3,3,8}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel8.pngCDel node.png

{3,3,∞}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
neljä

{4,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{4,3,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

{4,3,5}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

{4,3,6}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png

{4,3,7}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png

{4,3,8}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel8.pngCDel node.png

{4,3,∞}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
5

{5,3,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{5,3,4}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

{5,3,5}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

{5,3,6}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png

{5,3,7}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png

{5,3,8}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel8.pngCDel node.png

{5,3,∞}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
6

{6,3,3}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{6,3,4}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

{6,3,5}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

{6,3,6}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png

{6,3,7}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png

{6,3,8}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel8.pngCDel node.png

{6,3,∞}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
7

{7,3,3}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{7,3,4}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
{7,3,5}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
{7,3,6}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
{7,3,7}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
{7,3,8}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel8.pngCDel node.png
{7,3,∞}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
kahdeksan
{8,3,3}
CDel node 1.pngCDel8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{8,3,4}
CDel node 1.pngCDel8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
{8,3,5}
CDel node 1.pngCDel8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
{8,3,6}
CDel node 1.pngCDel8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel8.pngCDel node.png
{8,3,7}
CDel node 1.pngCDel8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
{8,3,8}
CDel node 1.pngCDel8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel8.pngCDel node.png
{8,3,∞}
CDel node 1.pngCDel8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
... ∞
{∞,3,3}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{∞,3,4}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
{∞,3,5}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
{∞,3,6}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{∞,3,7}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
{∞,3,8}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel8.pngCDel node.png
{∞,3,∞}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
q = 4 q = 5 q = 6
PR 3 neljä 5
3

{3,4,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{3,4,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

{3,4,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
neljä

{4,4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{4,4,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

{4,4,5}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
5

{5,4,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{5,4,4}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

{5,4,5}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
PR 3 neljä
3

{3,5,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{3,5,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
neljä

{4,5,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{4,5,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
5

{5,5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{5,5,4}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
PR 3 neljä
3

{3,6,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{3,6,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
neljä

{4,6,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{4,6,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
5

{5,6,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{5,6,4}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

H 3 :ssa ei ole hyperbolisia tähtikuvioita - kaikki muodot, joissa on säännöllinen monitahoinen solukko, kärkihahmo tai molemmat, osoittautuvat pallomaisiksi.

Neliulotteinen avaruus (5-infinite-hedra)

4-ulotteisen avaruuden euklidiset laatoitukset

On olemassa kolmenlaisia ​​äärettömiä säännöllisiä ( hunajakennoja ), jotka voivat täyttää euklidisen neliulotteisen avaruuden:

Nimi
Schläfli-symboli {

p,q,r,s}

Fasetin tyyppi
{p,q,r}
Solutyyppi
{
p,q}
Kasvotyyppi
{
p}

kasvojen muoto
{s}
Reunakuvio
{
r,s}
Vertex-
kuvio

{q,r,s}
Kaksinkertainen
Tesseract honeycombs {4,3,3,4} {4,3,3} {4,3} {neljä} {neljä} {3,4} {3,3,4} Itsenäinen kaksinkertainen
16 solun hunajakenno {3,3,4,3} {3,3,4} {3,3} {3} {3} {4,3} {3,4,3} {3,4,3,3}
Kaksikymmentäneljäsoluinen hunajakenno {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {3} {3,3} {4,3,3} {3,3,4,3}

Projisoitu hunajakennofragmentti {4,3,3,4}
(Tesseract hunajakenno)

Projisoitu solufragmentti {3,3,4,3}
(16 solun hunajakenno)

Projisoitu solufragmentti {3,4,3,3}
(24-soluinen kenno)

On myös kaksi sopimatonta tapausta, {4,3,4,2} ja {2,4,3,4}. Euklidisessa 4-ulotteisessa avaruudessa on kolme litteää säännöllistä hunajakennotyyppiä: [19]

  • {4,3,3,4}, {3,3,4,3} ja {3,4,3,3}.

Hyperbolisessa 4-ulotteisessa avaruudessa on seitsemän litteää säännöllistä kuperaa hunajakennoa: [20]

  • 5 kompaktia: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3 , 5}
  • 2 parakompaktia: {3,4,3,4} ja {4,3,4,3}.

Hyperbolisessa 4-ulotteisessa avaruudessa on neljä litteää säännöllistä tähtityyppiä hunajakennoja: [20]

  • {5/2.5.3.3}, {3.3.5.5/2}, {3.5.5/2.5} ja {5.5/2.5.3}.
Hyperbolisen 4-välin laatoitukset

Avaruudessa H 4 on seitsemän kuperia säännöllistä hunajakennoa ja neljä tähden muotoista kennoa [21] . Viisi kuperaa tyyppiä on kompakteja ja kaksi parakompakteja.

Viisi kompaktia säännöllistä hunajakennoa H 4 :ssä:

Nimi
Schläfli-symboli {

p,q,r,s}

Fasetin tyyppi
{p,q,r}
Solutyyppi
{
p,q}
Kasvotyyppi
{
p}

kasvojen muoto
{s}
Reunakuvio
{
r,s}
Vertex-
kuvio

{q,r,s}
Kaksinkertainen
Viisikennoinen kennotilaus 5 {3,3,3,5} {3,3,3} {3,3} {3} {5} {3,5} {3,3,5} {5,3,3,3}
120 solukennoa {5,3,3,3} {5,3,3} {5,3} {5} {3} {3,3} {3,3,3} {3,3,3,5}
Tesseract honeycombs order 5 {4,3,3,5} {4,3,3} {4,3} {neljä} {5} {3,5} {3,3,5} {5,3,3,4}
120 solujärjestys 4 solua {5,3,3,4} {5,3,3} {5,3} {5} {neljä} {3,4} {3,3,4} {4,3,3,5}
120 kennojärjestys 5 kennoa {5,3,3,5} {5,3,3} {5,3} {5} {5} {3,5} {3,3,5} Itsenäinen kaksinkertainen

Kaksi tavallista parakompaktia säännöllistä hunajakennotyyppiä H 4 :ssä: {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.

Nimi
Schläfli-symboli {

p,q,r,s}

Fasetin tyyppi
{p,q,r}
Solutyyppi
{
p,q}
Kasvotyyppi
{
p}

kasvojen muoto
{s}
Reunakuvio
{
r,s}
Vertex-
kuvio

{q,r,s}
Kaksinkertainen
24 solujärjestys 4 solua {3,4,3,4} {3,4,3} {3,4} {3} {neljä} {3,4} {4,3,4} {4,3,4,3}
Cubic hunajakenno {4,3,4,3} {4,3,4} {4,3} {neljä} {3} {4,3} {3,4,3} {3,4,3,4}

Ei-kompakteja ratkaisuja on olemassa Lorentzian Coxeter-ryhminä, ja ne voidaan visualisoida käyttämällä avointa aluetta hyperbolisessa avaruudessa (perusmuotoinen viisisoluinen solu, jonka osia ei voida saavuttaa äärettömyyden vuoksi). Kaikki kennot, joita ei ole esitetty taulukoissa ja joiden Schläfli-symbolissa ei ole 2, ovat epätiiviitä.

Pallomaiset / euklidiset / hyperboliset ( kompakti / parakompakti / epätiivis ) hunajakennot {p,q,r,s}
q = 3, s = 3
PR 3 neljä 5
3
{3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{3,3,4,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{3,3,5,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
neljä
{4,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{4,3,4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{4,3,5,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
5
{5,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{5,3,4,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{5,3,5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
q = 3, s = 4
PR 3 neljä
3
{3,3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

{3,3,4,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
neljä
{4,3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

{4,3,4,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
5
{5,3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

{5,3,4,4}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
q = 3, s = 5
PR 3 neljä
3 {3,3,3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

{3,3,4,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
neljä {4,3,3,5}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

{4,3,4,5}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
5
{5,3,3,5}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

{5,3,4,5}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
q = 4, s = 3
PR 3 neljä
3
{3,4,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{3,4,4,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
neljä
{4,4,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

{4,3,4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
q = 4, s = 4
PR 3 neljä
3 {3,4,3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

{3,4,4,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
neljä
{4,4,3,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

{4,4,4,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
q = 4, s = 5
PR 3 neljä
3 {3,4,3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

{3,4,4,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
neljä
{4,4,3,5}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png

{4,4,4,5}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Hyperbolisen 4-avaruuden tähtilaatat

H 4 -avaruudessa on neljä tyyppiä tavallisia tähtikuvioita :

Nimi
Schläfli-symboli {

p,q,r,s}

Fasetin tyyppi
{p,q,r}
Solutyypin
tyyppi
{p,q}
Kasvotyyppi
{
p}

kasvojen muoto
{s}
Reunakuvio
{
r,s}
Vertex-
kuvio

{q,r,s}
Kaksinkertainen Tiheys
_
Hunajakenno pienestä 120-soluisesta {5/2,5,3,3} {5/2,5,3 {5/2,5} {5} {5} {3,3} {5,3,3} {3,3,5,5/2} 5
600 solun pentagrammijärjestys {3,3,5,5/2} {3,3,5} {3,3} {3} {5/2} {5.5/2} {3,5,5/2} {5/2,5,3,3} 5
Icosahedral 120-kennoinen kennojärjestys 5 {3,5,5/2,5} {3,5,5/2} {3,5} {3} {5} {5/2,5} {5,5/2,5} {5.5/2.5.3} kymmenen
Suuren 120 solun hunajakennot {5.5/2.5.3} {5,5/2,5} {5.5/2} {5} {3} {5,3} {5/2,5,3} {3,5,5/2,5} kymmenen

Viisiulotteinen avaruus (ääretön kulmainen 6-polyhedra)

Euklidisessa 5-avaruudessa on vain yksi tasainen säännöllinen hunajakenno: ( lueteltu yllä laatoina) [19]

  • {4,3,3,3,4}

Hyperbolisessa 5-tilassa on viisi litteää säännöllistä hunajakennoa, jotka kaikki ovat parakompakteja: ( lueteltu yllä laatoina ) [20]

  • {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4} ja {4 ,3,3,4,3}
Euklidisen 5-avaruuden laatoitus

Hyperkuutiokenno on ainoa säännöllisten kennojen perhe, joka voi laatoittaa minkä tahansa mittaisen tilan (vähintään viisi), jonka muodostavat hyperkuution fasetit , neljä kunkin (n-2)-ulotteisen pinnan ympärillä.

Nimi Schläfli
{ p 1 , p 2 , ..., p n −1 }

Faset- tyyppi
Vertex
figuuri
Kaksinkertainen
Neliönmuotoinen parketti {4,4} {neljä} {neljä}
Itsenäinen kaksois
kuutioinen hunajakenno {4,3,4} {4,3} {3,4}
Itsenäinen kaksois
Tesseract honeycombs {4,3 2,4 } {4,3 2 } {3 2 ,4}
Itsenäinen kaksois
5-kuutioinen hunajakenno {4,3 3,4 } {4,3 3 } {3 3 ,4}
Itsenäinen kaksois
6-kuutioinen hunajakenno {4,3 4,4 } {4,3 4 } {3 4 ,4}
Itsenäinen kaksois
7 kuutiota hunajakennoja {4,3 5,4 } {4,3 5 } {3 5 ,4}
Itsenäinen kaksois
8 kuutiota hunajakennoja {4,3 6,4 } {4,3 6 } {3 6 ,4}
Itsenäinen kaksois
n -ulotteiset hyperkuutioiset kennot {4,3 n−2 ,4} {4,3n −2 } { 3n−2 ,4}
Itsenäinen kaksois

E 5 :ssä on myös virheellisiä tapauksia {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3,3 , 4,3}, {3,4,3,3,2} ja {2,3,4,3,3}. En : ssä {4,3 n −3 ,4,2} ja {2,4,3 n−3 ,4} ovat aina virheellisiä euklidisia laatoitusta.

Hyperbolisen 5-ulotteisen avaruuden laatoitukset

H 5 :ssä on 5 tavallista hunajakennotyyppiä , kaikki parakompakteja. Ne sisältävät äärettömät (euklidiset) fasetit tai kärkimuodot: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,3,3,4,3}, {3, 4,3,3,4} ja {4,3,3,4,3}.

Hyperbolisessa tilassa, jonka ulottuvuus on 5 tai enemmän, on kaksi ei-kompaktia säännöllistä laatoitusta, ja hyperbolisessa tilassa, jonka ulottuvuus on 6 tai enemmän, ei ole parakompakteja säännöllisiä laatoitusta.

Nimi
Schläfli-symboli {

p,q,r,s,t}

Fasetin tyyppi
{p,q,r,s}
4-kasvotyyppi
{
p,q,r}
solutyyppi {p
,
q}
kasvotyyppi
{
p}
solukuvio
{
t}
kasvohahmo {s
,
t}
reunakuvio
{
r,s,t}
Vertex-
kuvio

{q,r,s,t}
Kaksinkertainen
5-orthoplex hunajakenno {3,3,3,4,3} {3,3,3,4} {3,3,3} {3,3} {3} {3} {4,3} {3,4,3} {3,3,4,3} {3,4,3,3,3}
Kaksikymmentäneljäsoluinen hunajakenno {3,4,3,3,3} {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {3} {3,3} {3,3,3} {4,3,3,3} {3,3,3,4,3}
16 solun hunajakenno {3,3,4,3,3} {3,3,4,3} {3,3,4} {3,3} {3} {3} {3,3} {4,3,3} {3,4,3,3}
Itsenäinen kaksois
24 solujärjestys 4 solua {3,4,3,3,4} {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {neljä} {3,4} {3,3,4} {4,3,3,4 {4,3,3,4,3}
Tesseract honeycombs {4,3,3,4,3} {4,3,3,4 {4,3,3} {4,3} {neljä} {3} {4,3} {3,4,3} {3,3,4,3} {3,4,3,3,4}

Koska n ≥ 5:lle ei ole olemassa säännöllisiä stellattuja n -polytooppeja, jotka voisivat olla potentiaalisia soluja tai huippukuvioita, H n :  ssä ei ole enää hyperbolisia tähtikuvioita, kun n  ≥ 5.

Dimension 6 ja enemmän (7-ulotteinen ääretön+)

Hyperbolisen 6-ulotteisen avaruuden laatoitukset ja sitä suuremmat

Ei ole olemassa oikeita kompakteja tai parakompakteja laatoitusta hyperboliselle tilalle, jonka mitat ovat 6 tai suuremmat. Kaikki lukemattomat kokonaislukuarvot antavat hyperbolisen n - ulotteisen avaruuden ei-kompaktin laatoituksen.

Polyhedran yhdisteet

2D-yhteydet

Jokaiselle luonnolliselle luvulle n on olemassa n-pisteinen säännöllinen tähtipolygoni, jonka Schläfli-symboli on {n/m} mille tahansa m:lle < n/2 (tarkasti ottaen {n/m}={n/(n−m)} ), missä m ja n ovat suhteellisen alkulukuja . Jos m ja n eivät ole suhteellisen alkulukuja, tuloksena olevalla polygonilla on n / m sivua. Uusi luku saadaan kiertämällä näitä n / m -kulmia yhden kärjen verran (vasemmalle), kunnes kiertojen määrä saavuttaa luvun n / m miinus yksi, ja yhdistämällä nämä kierretyt luvut. Äärimmäisessä tapauksessa, kun n / m on yhtä suuri kuin 2, saamme n / 2 segmentin luvun. Tällaista hahmoa kutsutaan rappeutuneeksi tähtipolygoniksi .

Muissa tapauksissa, kun n :llä ja m :llä on yhteinen jakaja, saadaan tähtipolygoni, jolla on pienempi n , ja siihen voidaan yhdistää rotaatiolla saadut versiot. Näitä muotoja kutsutaan tähtimuodoiksi , sopimattomiksi tähtipolygoneiksi tai yhdistelmäpolygoneiksi . Heille käytetään usein samaa merkintää { n / m } , vaikka jotkut kirjoittajat, kuten Grünbaum (1994), pitävät (joillakin tarkennuksilla) oikeampana muotoa k { n }, jossa yleensä k = m .

Lisäkomplikaatio syntyy, kun yhdistämme kaksi tai useampia tähtipolygoneja, kuten kaksi pentagrammia, joiden kierto on 36° ja jotka on merkitty kymmenkulmioon. Tässä tapauksessa on oikeampaa kirjoittaa muodossa k { n / m }, meidän tapauksessamme 2{5/2}, kuin käyttää yleisesti käytettyä {10/4}.

Laajennettu Coxeterin merkintä monikulmioiden yhdistämiseksi on c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}, mikä heijastaa sitä d erillistä { p , q ,...} yhdessä peittävät kärjet { m , n ,...} c kertaa ja pinnat { s , t ,...} e kertaa. Jos kelvollista { m , n ,...} -tunnusta ei ole, merkinnän ensimmäinen osa poistetaan jättäen [ d { p , q ,...}] e { s , t ,...}. Päinvastainen tapaus on, jos oikeaa { s , t ,...} ei ole. Sanojen c { m , n ,...}[ d { p , q ,...}] e { s , t ,...} duaali on e { t , s ,...}[ d { q , p ,...}] c { n , m ,...}. Jos c tai e on yhtä suuri kuin 1, ne voidaan jättää pois. Monikulmioiden yhdistämiseksi tämä merkintä pienenee muotoon { nk }[ k { n / m }]{ nk }. Esimerkiksi heksagrammi voidaan kirjoittaa muodossa {6}[2{3}]{6}.

Esimerkkejä n = 2...10, nk ≤30

2{2}

3{2}

4{2}

5{2}

6{2}

7{2}

8{2}

9{2}

10{2}

11{2}

12{2}

13{2}

14{2}

15{2}

2{3}

3{3}

4{3}


5{3}

6{3}

7{3}

8{3}

9{3}

10{3}

2{4}

3{4}

4{4}

5{4}

6{4}

7{4}

2{5}

3{5}

4{5}

5{5}

6{5}

2 {5/2}

3 {5/2}

4 {5/2}

5 {5/2}

6. {5/2}

2{6}

3{6}

4{6}

5{6}

2{7}

3{7}

4{7}

2 {7/2}

3 {7/2}

4 {7/2}

2 {7/3}

3 {7/3}

4 {7/3}

2{8}

3{8}

2. {8.3.

3. {8.3.

2{9}

3{9}

2. {9/2}

3 {9/2}

2 {9/4}

3 {9/4}

2{10}

3{10}

2{10/3}

3 {10/3}

2{11}

2{11/2}

2 {11/3}

2 {11/4}

2 {11/5}

2{12}

2. {12/5}

2{13}

2 {13/2}

2 {13/3}

2 {13/4}

2 {13/5}

2 {13/6}

2{14}

2. {14/3}

2 {14/5}

2{15}

2 {15/2}

2 {15/4}

2 {15/7}

Säännölliset spatiaaliset monikulmiot luovat myös yhteyksiä, joita voidaan havaita antiprismien prismaattisen yhteyden reunoissa , esim.

Avaruuspolygonien oikeat kytkennät

Avaruusneliöiden yhdistäminen

Tilallisten kuusikulmioiden kytkentä

Tilallisten kymmenkulmioiden yhdistäminen
Kaksi {2}#{ } Kolme {2}#{ } Kaksi {3}#{ } Kaksi {5/3}#{ }

3D-yhteydet

Säännölliset polytooppiyhteydet voidaan määritellä yhteyksiksi, jotka säännöllisten polytooppien tapaan ovat vertex-transitiivisia , reunatransitiivisia ja face-transitiivisia . Tämän määritelmän mukaan on 5 oikeaa yhteyttä.

Symmetria [4,3], O h [5,3] + , I [5,3], Ih
Kaksinaisuus itsekaksoittava Kaksoisparit
Kuva
Pallomainen
Polyhedra tähtikuvioinen oktaedri 5 {3,3} 10 {3,3 5 {4,3} 5 {3,4}
kokseteri {4,3} [2 {3,3} ] {3,4} {5,3} [5 {3,3} ] {3,5} 2 {5,3} [10 {3,3} ]2 {3,5} 2 {5,3} [5 {4,3} ] [5 {3.4} ]2 {3.5}
Yhteydet euklidisella ja hyperbolisella tasolla

Euklidisen tasolaatoituksen säännöllisiä yhteyksiä on kahdeksantoista kaksiparametrista perhettä. Viisi yhden parametrin perhettä ja seitsemäntoista yksittäistapausta tunnetaan hyperbolisella tasolla, mutta tämän luettelon täydellisyyttä ei ole vielä todistettu.

Euklidisen ja hyperbolisen tason 2 { p , p } (4 ≤ p ≤ ∞, p on kokonaisluku) yhdisteperheet ovat samanlaisia ​​kuin pallomaiset tähtioktaedrit , 2 {3,3}.

Muutamia esimerkkejä euklidisista ja hyperbolisista säännöllisistä yhteyksistä
Itsenäinen kaksinkertainen Itsenäinen kaksinkertainen Itsenäinen kaksinkertainen
2 {4,4} 2 {6,3} 2 {3,6} 2 {∞,∞}
{{4,4}} tai a{4,4} tai {4,4}[2{4,4}]{4,4}
CDel-solmut 10ru.pngCDel split2-44.pngCDel node.png+ CDel nodes 01rd.pngCDel split2-44.pngCDel node.pngtaiCDel node h3.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[2{6,3}]{3,6} a{6,3} tai {6,3}[2{3,6}]
CDel haara 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png+CDel haara 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.pngtaiCDel node h3.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
{{∞,∞}} tai a{∞,∞} tai {4,∞}[2{∞,∞}]{∞,4}
CDel labelinfin.pngCDel haara 10ru.pngCDel split2-ii.pngCDel node.png+CDel labelinfin.pngCDel haara 01rd.pngCDel split2-ii.pngCDel node.pngtaiCDel node h3.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
3 {6,3} 3 {3,6} 3 {∞,∞}
2{3,6}[3{6,3}]{6,3} {3,6}[3{3,6}]2{6,3}
CDel haara 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.png+CDel haara 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.png+CDel-branch.pngCDel split2.pngCDel node 1.png

CDel labelinfin.pngCDel haara 10ru.pngCDel split2-ii.pngCDel node.png+CDel labelinfin.pngCDel haara 01rd.pngCDel split2-ii.pngCDel node.png+CDel labelinfin.pngCDel-branch.pngCDel split2-ii.pngCDel node 1.png

Yhteydet 4D-avaruudessa

Ortografiset projektiot
75 {4,3,3} 75 {3,3,4}

4-ulotteisessa avaruudessa on 32 säännöllistä polytooppien säännöllistä yhteyttä, jotka Coxeter listasi kirjassaan Regular Polytopes : [22]

Itsenäiset säännölliset konjunktiot
Yhdiste Symmetria Vertexin sijainti Solun asettelu
120 {3,3,3} [5,3,3], tilaus 14400 {5,3,3} {3,3,5}
5 {3,4,3} [5,3,3], tilaus 14400 {3,3,5} {5,3,3}
Oikeat liitännät kaksoispareina
Yhdiste 1 Yhdiste 2 Symmetria Vertexin sijainti (1) Soluasettelu (1) Vertexin sijainti (2) Soluasettelu (2)
3 {3,3,4} [23] 3 {4,3,3} [3,4,3], tilaus 1152 {3,4,3} 2{3,4,3} 2{3,4,3} {3,4,3}
15 {3,3,4} 15 {4,3,3} [5,3,3], tilaus 14400 {3,3,5} 2{5,3,3} 2{3,3,5} {5,3,3}
75 {3,3,4} 75 {4,3,3} [5,3,3], tilaus 14400 5{3,3,5} 10{5,3,3} 10{3,3,5} 5{5,3,3}
75 {3,3,4} 75 {4,3,3} [5,3,3], tilaus 14400 {5,3,3} 2{3,3,5} 2{5,3,3} {3,3,5}
300 {3,3,4} 300 {4,3,3} [5,3,3] + , tilaus 7200 4{5,3,3} 8{3,3,5} 8{5,3,3} 4{3,3,5}
600 {3,3,4} 600 {4,3,3} [5,3,3], tilaus 14400 8{5,3,3} 16{3,3,5} 16{5,3,3} 8{3,3,5}
25 {3,4,3} 25 {3,4,3} [5,3,3], tilaus 14400 {5,3,3} 5{5,3,3} 5{3,3,5} {3,3,5}

On olemassa kaksi erilaista 75 tesseraktin yhteyttä: toinen käyttää samoja kärkipisteitä kuin 120-soluinen ja toinen käyttää samoja pisteitä kuin 600-soluinen. Tästä seuraa, että vastaavat 75 kuusitoista solun kaksoisyhdisteet ovat myös erilaisia.

Self-Dual Star yhdisteet
Yhdiste Symmetria Vertexin sijainti Solun asettelu
5 {5.5/2.5} [5,3,3] + , tilaus 7200 {5,3,3} {3,3,5}
10 {5.5/2.5} [5,3,3], tilaus 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5}
5 {5/2,5,5/2} [5,3,3] + , tilaus 7200 {5,3,3} {3,3,5}
10 {5/2,5,5/2} [5,3,3], tilaus 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5}
Säännölliset tähtiliitännät kaksoispareina
Yhteys 1 Yhteys 2 Symmetria Vertexin sijainti (1) Soluasettelu (1) Vertexin sijainti (2) Soluasettelu (2)
5 {3,5,5/2 5 {5/2,5,3 [5,3,3] + , tilaus 7200 {5,3,3} {3,3,5} {5,3,3} {3,3,5}
10 {3,5,5/2} 10 {5/2,5,3 [5,3,3], tilaus 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5} 2{5,3,3} 2{3,3,5}
5 {5.5/2.3} 5 {3.5/2.5} [5,3,3] + , tilaus 7200 {5,3,3} {3,3,5} {5,3,3} {3,3,5}
10 _ 10 {3.5/2.5} [5,3,3], tilaus 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5} 2{5,3,3} 2{3,3,5}
5 {5/2,3,5 5 {5,3,5/2} [5,3,3] + , tilaus 7200 {5,3,3} {3,3,5} {5,3,3} {3,3,5}
10 {5/2,3,5 10 {5,3,5/2} [5,3,3], tilaus 14400 2{5,3,3} 2{3,3,5} 2{5,3,3} 2{3,3,5}

On myös neljätoista osittain säännöllistä liitosta, jotka ovat joko vertex-transitiivisia tai solutransitiivisia, mutta eivät molempia. Seitsemän vertex-transitiivista osittain säännöllistä liitosta ovat duaalit seitsemän solutransitiivisen osittain säännöllisen liitoksen kanssa.

Osittain oikeat liitännät kaksoispareina
Yhdiste 1
on huipputransitiivinen
Yhdiste 2
solun transitiivinen
Symmetria
2 hex solua [24] 2 tesseraktia [4,3,3], tilaus 384
100 kaksikymmentäneljä solua 100 kaksikymmentäneljä solua [5,3,3] + , tilaus 7200
200 kaksikymmentäneljä solua 200 kaksikymmentäneljä solua [5,3,3], tilaus 14400
5 kuusisataa solua 5 sataakaksikymmentä solua [5,3,3] + , tilaus 7200
10 kuusisataa solua 10 satakaksikymmentä solua [5,3,3], tilaus 14400
Osittain säännölliset tähtiliitännät kaksoispareina
Yhteys1
ovat vertex-transitiivisia
Join2
solu transitiivinen
Symmetria
5 {3,3,5/2 5 {5/2,3,3 [5,3,3] + , tilaus 7200
10 {3,3,5/2 10 {5/2,3,3 [5,3,3], tilaus 14400
Yhteydet euklidisessa 3-avaruudessa

Ainoat säännölliset euklidiset hunajakennoyhteydet ovat loputon perhe kuutiokennoyhteyksiä , jotka jakavat kärjet ja pinnat muiden kuutioiden kennojen kanssa. Tässä yhteydessä voi olla mikä tahansa määrä kuutiosoluja. Coxeterin merkintätapa on {4,3,4}[ d {4,3,4}]{4,3,4}.

Yhteydet viisiulotteisissa ja korkeammissa tiloissa

Viisi- ja kuusiulotteisissa tiloissa ei ole oikeita yhteyksiä. Tunnetaan kolme seitsemänulotteista yhdistettä (16, 240 ja 480 7-yksinkertaista ) ja kuusi kahdeksanulotteista (16, 240 ja 480 okteraktia tai 8- ortopleksia ). N -ulotteisessa avaruudessa on myös yksi n - ulotteisten yksinkertaisten yhteys , edellyttäen, että n on yksi pienempi kuin kahden potenssi, sekä kaksi yhteyttä ( n - ulotteisten kuutioiden yhteys ja sen n - ulotteisten ortopleksien kaksoisyhteys ) n - ulotteisessa avaruudessa, jos n on kahden potenssi.

Coxeterin merkintä näille yhdisteille (jossa α n = {3 n −1 }, β n = {3 n −2 .4 }, γ n = {4.3 n −2 }:

  • 7 yksinkertaisuutta: c γ 7 [16 c α 7 ] c β 7 , jossa c = 1, 15 tai 30
  • 8-ortopleksit: c γ 8 [16 c β 8 ]
  • 8 kuutiota: [16 c γ 8 ] c β 8

Yleinen tapaus (kun n = 2 k ja d = 2 2 k − k − 1 , k = 2, 3, 4, ...):

  • Simplexit: γ n −1 [ d α n −1 ]β n −1
  • Ortopleksit: γ n [ d β n ]
  • Hyperkuutiot: [ d γ n ]β n
Euklidinen hunajakennoyhteys

Tunnetaan ääretön perhe säännöllisiä euklidisia hunajakennoyhteyksiä, joiden ulottuvuus on viisi ja sitä suurempi – hyperkuutioisten kennojen yhteys, joilla on yhteiset kärjet ja pinnat muiden hyperbolisten kennojen kanssa. Tässä yhteydessä voi olla mielivaltainen määrä hyperbolisia soluja. Coxeterin merkintätapa näille yhdisteille on δ n [ d δ n ]δ n missä δ n = {∞} kun n = 2 ja {4,3 n −3 ,4} kun n ≥ 3.

Abstrakti polyhedra

Abstraktin monitahoisen käsite syntyi, kun yritettiin tutkia monitahoja yhdistämättä niitä geometriseen tilaan, jossa ne sijaitsevat. Niihin kuuluvat pallomaisten, euklidisten ja hyperbolisten tilojen laatoitukset, muiden monistojen laatoitukset ja monet muut kohteet, joilla ei ole tarkkaan määriteltyä topologiaa, mutta joille on sen sijaan tunnusomaista niiden "paikallinen" topologia. Abstrakteja polyhedraja on äärettömän monta missä tahansa ulottuvuudessa. Katso esimerkkejä atlasista . Joitakin merkittäviä esimerkkejä abstrakteista säännöllisistä monitahoista, joita on vaikea löytää muualta, ovat yksitoista solu , {3,5,3} ja 57 solu , { 5,3,5 }, joissa on säännöllisiä projektiivisia polytooppeja soluina ja kärkikuvioina.

Abstraktin monitahoisen elementit ovat sen runko (maksimielementti), pinnat, reunat, kärjet ja nollapolyhedron (tyhjä joukko). Nämä abstraktit elementit voidaan esittää tavallisessa tilassa tai ottaa geometrisiksi muodoiksi. Joillakin abstrakteilla polyhedreillä on hyvin muotoiltuja tai uskottavia toteutuksia, toisilla ei. Lippu on joukko kunkin ulottuvuuden toisiinsa liittyviä elementtejä. Neliulotteiselle monitahoiselle tämä on runko, kasvot, tämän pinnan reuna, reunan kärki ja nollapolyedri. Abstraktin monitahoisen sanotaan olevan säännöllinen , jos sen kombinatoriset symmetriat ovat transitiivisia sen lipuissa, eli mikä tahansa sen lipuista voidaan kääntää monitahoisen symmetrian avulla joksikin muuksi. Abstraktit säännölliset polyhedrat ovat aktiivinen tutkimusalue.

Viisi sellaista säännöllistä abstraktia polyhedraa, joita ei voida uskottavasti toteuttaa, esitti Coxeter kirjassaan Regular Polytopes (1977) ja myöhemmin JM Willsin artikkelissa "The kombinatorally regular polyhedra of index 2" (1987) [25] . Ne vastaavat topologisesti toroidia . Niiden rakentamista asettamalla n pintaa jokaisen kärjen lähelle voidaan jatkaa loputtomiin, jolloin saadaan hyperbolisen tason laatoitus.

Polyhedron
Keskimmäinen rombotriakontaedri

Dodekoodidekaedri

Keskimmäinen triambikykosaedri

Bitrigonaalinen dodekaedri

lovettu dodekaedri
Vertex figuuri {5}, {5/2}
(5,5/2) 2
{5}, {5/2}
(5,5/3) 3
Fasetit 30 timanttia
12 viisikulmiota
12 pentagrammia
20 kuusikulmiota
12 viisikulmiota
12 pentagrammia
20 heksagrammaa
Mosaiikki
{4, 5

{5, 4

{6, 5

{5, 6

{6, 6}{6, 6
χ −6 −6 −16 −16 −20

Ne näkyvät kaksoispareina:

  • Keskimmäinen rombinen triakontaedri ja dodekodeekaedri ovat kaksoiskappaleita keskenään.
  • Keskimmäinen triambikykosaedri ja bitrigonaalinen dodekaedri ovat kaksoiskappaleita keskenään.
  • Lovitettu dodekaedri on itsedual.

Katso myös

Muistiinpanot

  1. Coxeter, 1973 , s. 129.
  2. McMullen, Schulte, 2002 , s. kolmekymmentä.
  3. Johnson, 2012 , s. 86.
  4. Coxeter, 1973 , s. 120.
  5. Coxeter, 1973 , s. 124.
  6. Englanninkielisessä kirjallisuudessa - vino polygoni, kirjaimellisesti - vino polygoni . Venäläisessä kirjallisuudessa termi spatial polygon on juurtunut ja termi vino polyhedron vastaa termiä vino polyhedron ( vino polyhedron ). Tässä artikkelissa käytetään termiä vino polyhedron mitat 4 tai sitä suuremmat.
  7. Coxeter, 1973 , s. 66-67.
  8. Lähde . Käyttöpäivä: 10. tammikuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 29. marraskuuta 2014.
  9. Englannin kielessä polyhedralle käytetään seuraavia nimiä: polyhedra - kolmiulotteinen polyhedron, polychoron - neliulotteinen polyhedron, polytope - polyhedron, jonka ulottuvuus on 5 tai suurempi. Venäjän kielessä kaikille näistä lajeista käytetään yleensä termiä polyhedron , joskus polytooppi .
  10. Coxeter (1973 ), Taulukko I: Tavalliset polytoopit, (iii) Kolme säännöllistä polytooppia mitoille n (n>=5), s. 294–295.
  11. Abstraktit säännölliset polytoopit, s. 162-165 [1] Arkistoitu 15. syyskuuta 2019 Wayback Machinessa
  12. Grünbaum, B.; "Regular Polyhedra - Old and New", Aeqationes mathematicae , Voi. 16 (1977), s. 1–20.
  13. Coxeter, 1937 , s. 33–62.
  14. Coxeter, tavalliset ja puolisäännölliset polytoopit II 2.34
  15. The Symmetry of Things, 2008, Luku 23 Objektit, joilla on ensisijainen symmetria , Infinite Platonic Polyhedra , s. 333–335
  16. McMullen, Schulte, 2002 , s. 224.
  17. McMullen, Schulte, 2002 , s. Osa 7E.
  18. Garner, CWL Regular Skew Polyhedra Hyperbolic Three-Space. Kanada. J Math. 19, 1179–1186, 1967. [2] Arkistoitu 2. huhtikuuta 2015 Wayback Machinessa Huomautus: Artikkelissa sanotaan, että niitä on 32, mutta yksi on itsekaksoistunut, joten jäljelle jää 31.
  19. 1 2 3 Coxeter, 1973 , s. 296, Taulukko II: Tavalliset hunajakennot.
  20. 1 2 3 4 Coxeter, 1999 , s. Luku 10
  21. Coxeter, 1956 , s. 213, Taulukko IV.
  22. Coxeter, 1973 , s. 305 Taulukko VII.
  23. Richard Klitzing, yhtenäinen yhdiste, tähtikuvioinen icositetrachoron Arkistoitu 4. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa
  24. Richard Klitzing, yhtenäinen yhdiste, demidistesseract Arkistoitu 4. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa
  25. The Regular Polyhedra (indeksin kaksi) Arkistoitu 4. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa , David A. Richter

Kirjallisuus

  • HSM Coxeter . Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954, Amsterdam, voi. III. - Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1956. - P. 155-169. . Uusintapainos HSM Coxeterissa . Luku 10, s. 199–214 // Geometrian kauneus: Kaksitoista esseetä . - Mineola, NY: Dover Publications, Inc., 1999. - ISBN 0-486-40919-8 . . Katso erityisesti taulukot II, III, IV, V, s. 212–213 julkaisustaThe Beauty of Geometry.
  • HSM Coxeter . Tavallisia polytooppeja. – 3. - Dover Publications, Inc., 1973.. Katso erityisesti taulukot I ja II: Tavalliset polytoopit ja hunajakennot, s. 294–296.
  • Norman W. Johnson. Kansainvälinen etäisyyden ja sovellusten matematiikan konferenssi. — 2.–5. heinäkuuta 2012, Varna, Bulgaria, 2012. — s. 85–95.
  • HSM Coxeter. Normaali vino polyhedra kolmessa ja neljässä ulottuvuudessa // Proc. Lontoon matematiikka. Soc.. - 1937. - Numero. 43 . — s. 33–62 .
  • Peter McMullen, Egon Schulte. Abstraktit säännölliset polytoopit. - Cambridge University Press, 2002. - V. 92. - (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). - ISBN 0-521-81496-0 . - doi : 10.1017/CBO9780511546686 .
  • DMY Sommerville. Johdatus n - mitan geometriaan. - New York: Dover Publications, Inc., 1958. . Uudelleenjulkaisu 1930, EP Dutton. Katso luku X: Tavalliset polytoopit.
  • Hyperbolisten hunajakennojen visualisointi Roice Nelson, Henry Segerman, (2015) [4]

Linkit