Monimutkainen analyysi

Monimutkainen analyysi [1] , kompleksisen muuttujan (tai kompleksisen muuttujan ; lyhennettynä TFCF ) funktioiden teoria on matemaattisen analyysin osa, jossa tarkastellaan ja tutkitaan kompleksisen argumentin toimintoja .

Yleiset käsitteet

Jokaista kompleksista funktiota voidaan pitää kahden muuttujan reaalifunktion parina: määrittämällä sen reaali- ja imaginaariosat, vastaavasti. Funktioita kutsutaan kompleksisen funktion komponenteiksi . $w=f(z)=f(x+iy)$ $f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$ $u, v$ $f(z)$

Lisäksi missä tahansa puhumme monimutkaisen funktion rajoitteisuudesta , tarkoitamme sen moduulin rajoittuneisuutta (mikä tarkoittaa rajallisuutta molempien komponenttien tavanomaisessa merkityksessä).

Jakson ja funktion rajan käsite otetaan käyttöön samalla tavalla kuin todellisessa tapauksessa, ja absoluuttinen arvo korvataan kompleksimoduulilla. Jos , niin ja Päinvastoin on myös totta: itse funktion rajan olemassaolo seuraa komponenttien rajojen olemassaolosta, ja komponenttien rajat ovat rajan komponentteja. Myös kompleksisen funktion jatkuvuus määritellään samalla tavalla kuin todellisessa tapauksessa, ja se vastaa sen molempien komponenttien jatkuvuutta [2] . $\lim _{{z\to a+bi}}f(z)=A+Bi$ $\lim _{\underset {y\to b}{x\to a}}u(x,y)=A$ $\lim _{\underset {y\to b}{x\to a}}v(x,y)=B.$

Kaikki päälauseet todellisten funktioiden rajasta ja jatkuvuudesta tapahtuvat myös kompleksisessa tapauksessa, jos tämä laajennus ei liity kompleksisten suureiden vertailuun enemmän tai vähemmän . Esimerkiksi jatkuvan funktion väliarvojen lauseella ei ole suoraa analogia.

$\varepsilon$ -luvun naapuruus määritellään joukoksi pisteitä, jotka ovat pienempiä kuin : $z_{0}$ $z$ $z_{0}$ $\varepsilon$

|z-z_{0}|<\varepsilon

Kompleksisella tasolla , -naapuruus on ympyrän [2] sisäosa, jonka säde on keskitetty . $\varepsilon$ $\varepsilon$ $z_{0}$

Point at Infinity

Monimutkaisessa analyysissä on usein hyödyllistä tarkastella koko kompleksista tasoa [3] täydennettynä tavanomaiseen äärettömyyteen verrattuna : Tällä lähestymistavalla äärettömästi kasvavan (absoluuttisen arvon) sekvenssin katsotaan konvergoivan äärettömän pisteeseen. . Algebrallisia operaatioita äärettömällä ei suoriteta, vaikka useat algebralliset suhteet ovat voimassa: $z=\infty .$

${\frac {z}{\infty }}=0;z+\infty =\infty (z\neq \infty )$
$z\cdot \infty =\infty ;{\frac {z}{0}}=\infty (z\neq 0)$

$\varepsilon$ Äärettömän pisteen -naapurialueeksi katsotaan joukko pisteitä, joiden moduuli on suurempi kuin , eli origon -naapuruston ulompi osa . $z$ ${\dfrac {1}{\varepsilon ))$ ${\dfrac {1}{\varepsilon ))$

Erottaminen

Määritelmä

Yhden argumentin kompleksisen funktion derivaatta määritellään samalla tavalla kuin reaalifunktiolle [4] : $w=f(z)$

f'(z)={\frac {df}{dz}}=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z) +h)-f(z)}{h}}.

Jos tämä raja on olemassa, funktion sanotaan olevan differentioituva tai holomorfinen . Jossa

f(z+h)-f(z)={\frac {df}{dz}}\cdot h+o(h),

missä — " o " on pieni .

o

Yksi tärkeä piirre on otettava huomioon: koska kompleksifunktio on annettu tasossa, pelkistyneen rajan olemassaolo tarkoittaa, että se on sama suunnattuna mistä tahansa suunnasta. Tämä seikka asettaa merkittäviä rajoituksia komponenttifunktioiden muodolle ja määrittää niiden jäykän suhteen ( Cauchy-Riemannin ehdot, ne ovat myös Euler-D'Alembert-ehtoja) [4] : $z$ $u,\;v$

{\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y));\qquad {\frac {\partial u}{\partial y))= -{\frac {\partial v}{\partial x)),

tai lyhyesti sanottuna

{\frac {\partial f}{\partial x))={\frac {\partial f}{i\partial y)).

Tämä tarkoittaa, että komponenttien erilaistuvuus ei riitä itse funktion differentiaatioon. $u$ $v$

Lisäksi on olemassa seuraavat ominaisuudet, jotka erottavat monimutkaisen analyysin todellisesta analyysistä [4] :

Mikä tahansa monimutkainen funktio, joka on differentioituva jossain pisteen naapurustossa, on differentioituva rajattoman määrän kertoja ja on analyyttinen , eli sen Taylor-sarja konvergoi tiettyyn funktioon tämän naapuruston kaikissa kohdissa (kirjallisuudessa termillä analyyttinen funktio , sen synonyymejä " holomorfinen funktio ", " säännöllinen funktio " käytetään myös)). $z$
( Liouvillen lause ): Jos funktio on differentioituva koko kompleksitasolla eikä ole vakio, niin sen moduulia ei voi rajoittaa.
Differentioituvan kompleksifunktion molemmat komponentit ovat harmonisia funktioita , eli ne täyttävät Laplacen yhtälön :

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}=0;\qquad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0.

Mikä tahansa harmoninen funktio voi olla sekä reaali- että imaginaarikomponentti differentioituvassa funktiossa. Tässä tapauksessa toinen komponentti määritetään yksiselitteisesti (Cauchy-Riemannnin ehdoista) vakiotermiin asti.

Siten mikä tahansa differentioituva kompleksifunktio on muodon funktio , jossa ovat kahden argumentin toisiinsa liittyvät harmoniset funktiot. $u+iv$ $u,\;v$

Muut ominaisuudet

Olkoon funktiot ja funktiot differentioituvia verkkotunnuksessa Sitten ja ovat myös erotettavissa tällä alueella. Jos se ei katoa alueelta , se on differentioituva in Funktioiden koostumus on differentioituva kaikkialla, missä se on määritelty. Jos funktion derivaatta alueella ei katoa, sille on käänteinen funktio ja se on differentioituva. $f(z)$ $g(z)$ $G\subseteq \mathbb {C} .$ $f(z)\pm g(z)$ $f(z)\cdot g(z)$ $g(z)$ $G$ ${\frac {f(z)}{g(z)))$ $G.$ $f(g(z))$ $w=f(z)$ $G$ $z=\varphi (w)$

Summan, erotuksen, tulon, osamäärän, funktioiden koostumuksen ja käänteisfunktion derivaatta lasketaan samoilla kaavoilla kuin todellisessa analyysissä.

Derivaatan geometrinen merkitys

Jokainen kompleksifunktio määrittelee kompleksisen tason ja koordinaatit toiselle kompleksitasolle koordinaatteineen . Samaan aikaan ilmaisu $w=f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)$ $(x,\;y)$ $(u,\;v)$

\left|{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}\right|=k(h)

kun se on pieni , se voidaan geometrisesti tulkita skaalaustekijäksi, jonka tämä kartoitus suorittaa liikkuessaan pisteestä pisteeseen . Rajan olemassaolo eli derivaatan moduuli tarkoittaa, että skaalauskerroin on sama mihin tahansa suuntaan pisteestä , eli se ei riipu suunnasta. Yleisesti ottaen skaalauskerroin vaihtelee pisteestä toiseen [5] . $h$ $z$ $z+h$ $\lim _{h\to 0}k(h)$ $|f^{\alkuluku }(z)|=k$ $z$

Jos skaalauskerroin , niin pisteen läheisyydessä pisteiden väliset etäisyydet kasvavat ja skaalaustekijää kutsutaan venytyskertoimeksi . Jos skaalauskerroin , niin pisteen läheisyydessä pisteiden väliset etäisyydet pienenevät ja skaalauskerrointa kutsutaan pakkauskertoimeksi . Esimerkki funktiosta : pisteessä derivaatta on 4, joten kaikki pituudet nelinkertaistuvat. $k>1$ $z$ $k<1$ $z$ $f(z)=z^{2}+2z-1$ $z = 1$

Mitä tulee derivaatan argumenttiin, se määrittää tietyn pisteen läpi kulkevan tasaisen käyrän kiertokulman . Kaikki tasaiset käyrät käännetään tässä näytössä samassa kulmassa. Kulmia säilyttäviä karttoja kutsutaan konformisiksi ; siten mikä tahansa differentioituva kompleksifunktio määrittelee konformisen mappauksen (alueella, jossa sen derivaatta ei katoa) [6] . Tämä tosiasia liittyy monimutkaisten funktioiden laajaan käyttöön kartografiassa ja hydrodynamiikassa [7] . $z$

Integrointi

Monimutkaisten funktioiden integrointi

Antiderivatiivisen kompleksifunktion (indefinite integraali) käsite otetaan käyttöön samalla tavalla kuin todellisessa tapauksessa. Kompleksitasolla ei kuitenkaan ole analogia määrätylle integraalille intervallissa osoitteeseen , koska polku alkupisteestä loppupisteeseen on moniselitteinen. Siksi kompleksisen integraalin päämuoto on kaareva integraali , joka riippuu tietystä polusta. Alla osoitamme ehdot, joissa integraali ei riipu polusta, ja sitten integraali "pisteestä pisteeseen" voidaan määritellä oikein. $a$ $b$

Määrittelee yhtälö , jossa parametri t on suunnattu jostain alkuarvosta a loppuarvoon b , kompleksitasossa jokin paloittain sileä käyrä , jolla on suunta, ja funktio määritellään tämän käyrän pisteissä. Suunta, johon parametri liikkuu, määrittää käyrän tietyn läpimenon: ei ole väliä kumpi on suurempi - b vai a . [8] Jaa parametrisointisegmentti yhtä suuriin osiin ${\näyttötyyli z=z(t),}$ $\gamma$ $f(z)$ $n$ $t_{0},t_{1}\cdots t_{n-1},t_{n}\colon$

$a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b,$ jos a < b ;
tai jos a > b , $a=t_{0}>\ldots >t_{n}=b,$

ja harkitse kokonaissummaa:

\sum _{k=1}^{n}f{\big (}z(t_{k}){\big )}\cdot {\big (}z(t_{k})-z( t_{k-1}){\big )}.

Tämän summan rajaa sen kasvaessa ilman rajoitusta kutsutaan (kompleksi) integraaliksi annetun funktion (suunnatun) käyrän yli ; se on merkitty: $n$ $\gamma$ $f(z)$

\int _{\gamma }f(z)dz.

Jokaiselle funktiolle , joka jatkuu pitkin , tämä integraali on olemassa ja se voidaan laskea tavallisen reaaliintegraalin avulla parametrin yli: $f(z)$ $\gamma$

\int _{\gamma }f(z)dz=\int _{a}^{b}f(z(t))z'(t)dt=\int _{\gamma }(u~ dx-v~dy)+i\int _{\gamma }(v~dx+u~dy).

Tässä komponentit . Tästä esityksestä voidaan nähdä, että kompleksisen integraalin ominaisuudet ovat samanlaiset kuin toisen tyyppisen todellisen kaarevan integraalin ominaisuudet. $u,\;v$ $f(z)$

Ääriviivaintegraali

Käytännössä erityisen kiinnostavia ovat integraalit (suljettua) ääriviivaa pitkin, toisin sanoen paloittain sileää käyrää pitkin ilman itseleikkauspisteitä , joissa aloituspiste on sama kuin loppupiste. Ääriviiva voidaan ohittaa kahteen suuntaan; positiivinen on suunta, jossa ääriviivan rajoittama alue sijaitsee kulkusuunnassa vasemmalla.

Jos käyrä muodostaa suljetun ääriviivan, integraalille käytetään erityistä merkintää: $\gamma$

\oint _{\gamma }f(z)dz.

Joskus ympyrässä oleva nuoli osoittaa suunnan: myötä- tai vastapäivään.

On olemassa tärkeä Cauchyn integraalilause : jokaiselle funktiolle , joka on analyyttinen yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueella , ja mille tahansa suljetulle silmukalle , sen päällä oleva integraali on nolla: $f(z)$ $A\subseteq \mathbb {C} ,$ $\gamma \subseteq A$

{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)dz=0{.))

Seuraus: olkoon funktio analyyttinen yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueessa ja toimialueen pisteet yhdistetään jollain käyrällä . Tällöin integraali riippuu vain pisteistä , mutta ei niitä yhdistävän käyrän valinnasta , joten se voidaan merkitä $f(z)$ $A\subseteq \mathbb {C} ,$ $z_{1},z_{2}$ $A$ $\gamma$ $\textstyle \int _{\gamma }f(z)dz$ $z_{1},z_{2}$ $\gamma$ $\textstyle \int \limits _{z_{1}}^{z_{2}}f(z)dz.$

Jos Cauchyn lauseen ehdot täyttyvät, voimme ottaa käyttöön epämääräisen integraalin käsitteen . Tätä varten kiinnitämme tietyn pisteen alueen sisällä ja harkitsemme integraalia: $f(z)$ $z_{0}$

F(z)=\int _{z_{0}}^{z}{f(w)dw}.

Johdannainen on siis , antiderivaata varten . Perhe antiderivaatteja, jotka eroavat vakiosta (valinnasta riippuen ), muodostaa määrittelemättömän integraalin. Newton-Leibnizin lause [9] pätee : $F'(z)$ $f(z)$ $F(z)$ $f(z).$ $z_{0}$

\int _{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)\,dz}=F(z_{2})-F(z_{1}).

Cauchyn integraalilauseessa on yleistys moninkertaisesti kytketylle alueelle: jos funktio on analyyttinen suljetulla moninkertaisesti kytketyllä alueella , niin sen integraali alueen ulkoääriviivalla on yhtä suuri kuin kaikkien sisäääriviivojen integraalien summa ( samaan suuntaan kuin ulompaa) [10] . Tätä yleistystä on kätevä käyttää, jos toimialue sisältää funktion singulaaripisteen (singulaarisen pisteen määritelmä alla ), jossa funktio ei ole analyyttinen tai sitä ei ole määritelty.

Muita tehokkaita työkaluja monimutkaisten ja todellisten integraalien tutkimiseen:

Cauchyn integraalikaava ja sen seuraukset: maksimimoduuliperiaate , keskiarvolauseet ;
perusjäännöslause .

Ainutlaatuisuuslauseet ja analyyttinen jatko

Funktion nolla on piste , jossa funktio katoaa: . $f(z)$ $z_{0}$ $f(z_{0})=0$

Lause analyyttisen funktion noloista . Jos toimialueella analyyttisen funktion nollien sisällä on rajapiste , funktio katoaa kaikkialle funktiossa . $f(z)$ $D$ $D$ $f(z)$ $D$

Seuraus: jos funktio on analyyttinen alueella, eikä se ole siinä identtisesti nolla, niin missä tahansa rajoitetussa suljetussa aliverkkotunnuksessa sillä voi olla vain äärellinen määrä nollia. $f(z)$ $D$ $C\subseteq D$

Analyyttisen funktion ainutlaatuisuuslause. Antaa olla ääretön konvergentti sekvenssin eri pisteitä . Jos kaksi analyyttistä funktiota osuvat yhteen tämän sekvenssin kaikissa kohdissa, ne ovat identtisesti yhtä suuret $\{z_n\}$ $D.$ $f(z), g(z)$ $D.$

Erityisesti, jos kaksi analyyttistä funktiota osuvat yhteen palakohtaisesti tasaisella käyrällä :ssä , niin ne ovat kaikkialla yhteneväisiä kohdassa . Tämä tarkoittaa, että analyyttisen funktion arvot, jopa pienellä alueella, määrittävät täysin funktion käyttäytymisen sen määritelmän koko alueella. Kun olet antanut analyyttisen funktion käyrällä (esimerkiksi reaaliakselilla), määritämme yksiselitteisesti sen laajennuksen (jos mahdollista) laajemmalle alueelle, jota kutsutaan alkuperäisen funktion analyyttiseksi jatkoksi . $D$ $D$

Kaikki standardianalyysifunktiot - polynomi , lineaarinen murtoluku , potenssifunktio , eksponenttifunktio , trigonometriset funktiot , käänteiset trigonometriset funktiot , logaritmi - mahdollistavat analyyttisen jatkamisen kompleksitasolle. Samanaikaisesti samat algebralliset, differentiaaliset ja muut identiteetit pätevät analyyttisille jatkoilleen kuin todelliselle alkuperäiselle, esimerkiksi:

\sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1;\qquad e^{u}\cdot e^{v}=e^{u+v}.

Sarjan laajennus

Tehosarja

Lukusarjan summan määritelmä ja konvergenssin merkit kompleksisessa analyysissä ovat käytännössä samat kuin todellisessa analyysissä, absoluuttinen arvo on korvattu kompleksisella moduulilla; Poikkeuksena ovat konvergenssin merkit, joissa vertailu on enemmän tai vähemmän kuin itse sarjan elementtejä, ei niiden moduuleja.

Mikä tahansa pisteessä differentioituva funktio laajenee tämän pisteen läheisyydessä Taylorin potenssisarjassa : $z_{0}$

f(z)=\summa _{{n=0}}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}

Sarjan kertoimet lasketaan tavallisilla kaavoilla. Tämä sarja konvergoi funktioon jossain sädeympyrässä , jonka keskipiste on piste , joka toimii analogisena reaalisarjan konvergenssivälille. Sarja suppenee ehdottomasti tässä ympyrässä ja hajoaa sen ulkopuolella. Tässä tapauksessa 3 tapausta on mahdollista. $f(z)$ $R$ $z_{0}$

Sarja konvergoi ympyrässä, jonka säde on äärellinen ja nollasta poikkeava.
Sarja konvergoi koko kompleksitasossa, eli . Tällaisia funktioita kutsutaan kokonaisluvuiksi . $R=\infty$
Sarja konvergoi vain pisteessä . Esimerkki: . Tällaisia pisteitä kutsutaan singulaareiksi funktiolle Ei-singulaarisia pisteitä kutsutaan säännöllisiksi . Konvergenssiympyrän sisäosa koostuu säännöllisistä pisteistä. $z_{0}$ $\sum _{{n=0}}^{\infty }n!(z-z_{0})^{n}$ $z_{0}$ $f(z).$

Lähestymisympyrän raja sisältää ainakin yhden pisteen. Tästä seuraa, että lähentymisympyrän säde pisteessä on yhtä suuri kuin etäisyys lähimpänä olevaan singulaaripisteeseen. $z_{0}$ $z_{0}$

Abelin lause : jos on potenssisarjan konvergenssiympyrän säde, niin missä tahansa ympyrässä, jolla on sama keskus, mutta jonka säde on pienempi, sarja konvergoi tasaisesti . $R$

Laurent-sarja

On erittäin käytännön kiinnostavaa tutkia funktion käyttäytymistä lähellä eristettyä singulaaripistettä eli pistettä, jonka läheisyydessä funktio on analyyttinen, mutta itse piste ei ole analyyttinen tai sitä ei ole määritelty. Power-sarja on tässä hyödytön, joten yleisempi Laurent-sarja esitellään :

\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{{n=0}}^{{\ infty }}c_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {c_{{-n}}}{ (z-z_{0})^{n}}}

Jos Laurent-sarjan konvergenssialue ei ole tyhjä, se on pyöreä rengas : . $r<|z-z_{0}|<R$

Päälause : jos funktio on analyyttinen ympyrärenkaassa, niin se voidaan esittää tässä renkaassa konvergentilla Laurent-sarjalla ja yksiselitteisesti. $f(z)$

Mitä tulee potenssisarjaan, konvergenssirenkaan rajat määräytyvät funktion singulaaripisteiden jakauman perusteella. Laurent-sarjan muodon perusteella voimme tehdä johtopäätöksiä funktion käyttäytymisestä lähellä pistettä . $z_{0}$

Irrotettava yksittäinen piste : jos Laurent-sarja ei sisällä elementtejä, joilla on negatiivinen potenssi . Sitten tämä on vain potenssisarja, joka määrittää funktion jossain ympyrässä . Tämän ympyrän sarjan summa on äärellinen ja voi poiketa vain pisteestä , joten riittää, että määritetään uudelleen , jotta funktiosta tulee analyyttinen koko ympyrässä. Seuraava kriteeri pätee: jos lähellä oleva funktio on analyyttinen ja rajoitettu, se on irrotettava singulaaripiste. ${\näyttötyyli z-z_{0))$ $z_{0}$ $f(z)$ $z_{0}$ $f(z_{0})$ $z_{0}$ $z_{0}$
Napa : jos Laurent-sarjassa on äärellinen määrä negatiivisen potenssin omaavia elementtejä . Tässä tapauksessa pisteen funktio on ääretön (modulo). ${\näyttötyyli z-z_{0))$ $z_{0}$
Olennainen yksittäinen piste : jos Laurent-sarja sisältää äärettömän määrän elementtejä, joilla on negatiivinen potenssi . Tässä tapauksessa pisteen funktiota ei voida määritellä oikein jatkuvaksi. ${\näyttötyyli z-z_{0))$ $z_{0}$

Sovellukset todellisessa analyysissä

TFKP:n osana olevan jäännösteorian avulla lasketaan monia kompleksisia integraaleja suljettujen ääriviivojen yli.

Monimutkaisen analyysin keinot selittävät joitakin kohtia, joita ei voida helposti tulkita materiaalianalyysin kannalta. Otetaan klassinen esimerkki: funktio

f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}

on jatkuva ja äärettömästi differentioituva koko reaaliviivalla. Harkitse sen Taylor-sarjaa

{\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots

Tämä sarja konvergoi vain välissä , vaikka pisteet eivät ole erityisiä . $(-1;\;1)$ $\pm 1$ $f(x)$

Tilanne selkiytyy siirryttäessä kompleksisen muuttujan funktioon , jolla on kaksi singulaaripistettä: . Näin ollen tämä funktio voidaan laajentaa Taylor-sarjaksi vain ympyrässä . $f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}$ $\pm i$ $\Delta =\{z\colon |z|<1\}$

Historia

Monimutkaisen analyysin perustavanlaatuinen työ liittyy Eulerin , Riemannin , Cauchyn , Weierstrassin ja monien muiden kuuluisien matemaatikoiden nimiin. Konformisten mappausten teoria alkoi kehittyä nopeasti jo olemassa olevien tekniikan sovellusten ansiosta, kompleksisen analyysin menetelmiä ja tuloksia käytetään analyyttisessä lukuteoriassa . Uusi kiinnostus kompleksianalyysiin liittyy monimutkaiseen dynamiikkaan ja fraktaaliteoriaan .

Katso myös

Analyyttinen toiminto
Vähennys (monimutkainen analyysi)
Holomorfinen funktio
Quaternion Analysis
Monimutkaiset luvut
Monimuuttuja monimutkainen analyysi
monogeeninen toiminto
Projektiivisesti laajennettu reaaliviiva on kompleksisen tason yksiulotteinen analogi, jota täydentää etumerkitön piste äärettömässä .

Muistiinpanot

↑
Kaksoisjännitys on annettu seuraavien lähteiden mukaan:
- Great Soviet Encyclopedia , 3. painos. (1973), osa 12, s. 588, artikkeli Kompleksiluvut .
- Neuvostoliiton tietosanakirja (1982), s. 613, artikkeli Kompleksinumero .
- "Venäjän kielen vaikeuksien sanakirjan" (Rosenthal D. E., Telenkova M. A., Iris-press, 2005, s. 273) uusin painos osoittaa molemmat vaihtoehdot: "monimutkaiset (monimutkaiset) numerot".
- Suuressa venäläisessä tietosanakirjassa (nide 14, 2010) jännityksiä tarjotaan samanaikaisesti: Kompleksiluku (s. 691), mutta Kompleksianalyysi (s. 695).
- Venäjän kielen oikeinkirjoitussanakirja (6. painos, 2010), Venäjän kielen kielioppisanakirja, Venäjän tiedeakatemian venäjän oikeinkirjoitussanakirja , toim. V. V. Lopatina ja monet muut sanakirjat osoittavat vaihtoehdot: " kompleksi " ja " kompleksi (matematiikka)".
↑ 1 2 Smirnov V.I., 2010 , s. 7-15..
↑ Svešnikov A. G., Tikhonov A. N. Kompleksisen muuttujan funktioiden teoria. asetus. op., s. 20-21.
↑ 1 2 3 Smirnov V.I., 2010 , s. 15-22..
↑ Smirnov V.I., 2010 , s. 22-23.
↑ Smirnov V.I., 2010 , s. 24-25.
↑ Lavrentiev M. A., Shabat B. V. Hydrodynamiikan ongelmat ja niiden matemaattiset mallit . - M . : Nauka, 1973. (pääsemätön linkki)
↑ Fikhtengolts, Grigori Mihailovitš . Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi, luku 9, kappale 2. . Haettu 8. kesäkuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 19. heinäkuuta 2020. (määrätön)
↑ Matematiikka, sen sisältö, menetelmät ja merkitys (kolmessa osassa). - Neuvostoliiton tiedeakatemia, 1956. - T. 2. - S. 204-205. — 397 s.
↑ Smirnov V.I., 2010 , s. 33.

Kirjallisuus

Evgrafov M. A. Analyyttiset toiminnot. - 2. painos, tarkistettu. ja ylimääräistä — M .: Nauka , 1968. — 472 s.
1700-luvun matematiikka // Matematiikan historia / Toimittanut A. P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M .: Nauka, 1972. - T. III.
Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Kompleksisen muuttujan funktiot. operatiivinen laskenta. Vakauden teoria. — M .: Nauka , 1981. — 304 s.
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Monimutkaisen muuttujan funktioteorian menetelmät. - 4. painos - M .: Nauka , 1972 .
Sveshnikov A. G. , Tikhonov A. N. Monimutkaisen muuttujan funktioiden teoria. - M .: Nauka, 1967. - 304 s.
Smirnov V. I. Korkeamman matematiikan kurssi kolmessa osassa. - Toim. 10. - Pietari. : BHV-Petersburg, 2010. - V. 3, osa 2. — 816 s. - ISBN 978-5-9775-0087-6 .
Titchmarsh E. Funktioteoria: Per. englannista. - 2. painos, tarkistettu. — M .: Nauka , 1980. — 464 s.
Fikhtengol'ts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi, kolme osaa. - M. : Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Shabat BV Johdatus monimutkaiseen analyysiin. — M .: Nauka , 1969. — 577 s.

Matematiikan alat

Portaali "Tiede"

Matematiikan perusteet joukko teoria matemaattinen logiikka logiikan algebra

Lukuteoria ( aritmetiikka )

Algebra
Algebra	Yhtälön ratkaisu
Lineaarialgebra	Vektorilaskenta matriiseja Tensorilaskenta Multilineaarinen algebra
Yleisalgebra	Kommutatiivinen algebra Edustusteoria Differentiaalialgebra Homologinen algebra Yleisalgebra Luokkateoria

Analyysi
Klassinen analyysi	Differentiaalilaskenta Integraalilaskenta
Funktion teoria	Harmoninen analyysi Quaternion Analysis Monimutkainen analyysi mittateoria Reaalimuuttujan funktioiden teoria toiminnallinen analyysi Variaatiolaskelma
Differentiaali- ja integraaliyhtälöt	Dynaamiset järjestelmät ja ergodinen teoria Differentiaaliyhtälöt tavallinen osittaisissa johdannaisissa Integraaliyhtälöt
Vektorianalyysi Globaali analyysi Katastrofi teoria Mukautettu analyysi Sujuva äärettömän pieni analyysi

Geometria ja topologia
Geometria	Algebrallinen geometria Analyyttinen geometria Euklidinen geometria Ei-euklidinen geometria Planimetria Stereometria
Topologia	Yleinen topologia Algebrallinen topologia Differentiaaligeometria ja topologia

Diskreetti matematiikka
Kombinatoriikka graafiteoria

Sovellettu matematiikka
Matemaattinen fysiikka Matemaattinen kemia matemaattinen biologia Matemaattiset tilastot Matemaattinen mallinnus Algoritmien teoria Numeeriset menetelmät matemaattinen taloustiede talousmatematiikka Todennäköisyysteoria Toimintatutkimus Peliteoria

Portaali "Matematiikka"
Luokka "Matematiikka"

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Iso venäläinen maailman ympäri Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4018935-1 J9U : 987007553156205171 LCCN : sh85052356 NKC : ph135388