Steinmetzin ruumis

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 28. tammikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 14 muokkausta .

Steinmetzin kappale on kappale , joka saadaan kahden tai kolmen samansäteisen sylinterin leikkauspisteestä kohtisuorassa toisiinsa nähden . Jokainen sylinterien leikkauspisteestä muodostuva käyrä on ellipsi.

Kahden sylinterin leikkauskohtaa kutsutaan bisylinteriksi . Topologisesti kaksisylinteri vastaa neliömäistä osohedriaa . On olemassa myös kappaleita, jotka ovat muodoltaan samanlaisia kuin Steinmatzin kappale, esimerkiksi: kolmen sylinterin leikkauskohtaa kutsutaan trisylinteriksi ja puolta kaksisylinteristä holviksi [1] . [2] Arkkitehtuurin kupoliholvi on myös holvi.

Steinmetzin kappaleet on nimetty matemaatikko Charles Proteus Steinmetzin [3] mukaan, joka ratkaisi leikkaustilavuuden löytämisen ongelman. Tämän ongelman ratkaisivat kuitenkin kauan ennen häntä Archimedes muinaisessa Kreikassa [4] [5] , Zu Chongzhi muinaisessa Kiinassa [6] ja Piero della Francesca varhaisen Italian renessanssin aikana [4] .

Bicylinder

Kaksisylinterillä, joka muodostuu kahdesta säteisestä sylinteristä, on tilavuus: , ja pinta-ala [1] [7] . $r$ $V={\frac {16}{3}}r^{3}$ $S=16r^{2}$

Poljasylinterin yläpuoli on neliön muotoinen versio suljetusta holvista , kuperalle monikulmiolle lepäävä kupumainen runko, jonka vaakasuorat osat ovat pohjan pienennettyjä kopioita. Suljetun kaaren tilavuuden ja pinta-alan laskemiseksi on olemassa samanlaisia kaavoja kuin vastaavat suuret (joillakin rationaalisilla kertoimilla) prismassa , jolla on sama kanta [8] .

Tilavuuskaavan johtaminen

Tilavuuskaavan saamiseksi on kätevää käyttää yleistä ajatusta pallon tilavuuden laskemisesta - ohuiden lieriömäisten kerrosten summausta. Meidän tapauksessamme kerrokset ovat neliömäisiä suuntaissärmiöitä (katso kuva). Sitten saamme:

V=\int _{-r}^{r}(2x)^{2}\mathrm {d} z=4\cdot \int _{-r}^{r}x^{2}\ mathrm {d} z=4\cdot \int _{-r}^{r}(r^{2}-z^{2})\mathrm {d} z={\frac {16}{3)) r^{3}

Tiedetään, että puolipalloon (puolipallon korkeuteen ja puolipallon pohjaan lepäävän), puolipallon ja pallon ympärille kuvatun sylinterin (puolipallon korkeuden kanssa) piirretyn kartion tilavuudet liittyvät toisiinsa 1: 2: 3. Samanlaiset väittämät pätevät puoleen kaksisylinteristä:

Piirretyn neliömäisen pyramidin ( ), kaksisylinterin puolikkaan ( ) ja rajatun suorakaiteen muotoisen suuntaissärmiön ( ) tilavuussuhteet ovat 1:2:3. $a=2r,h=r,V={\frac {4}{3}}r^{3}$ $V={\frac {8}{3}}r^{3}$ ${\displaystyle a=2r,\,h=r,\,V=4r^{3))$

Analyyttinen johtaminen

Harkitse sylinterikaavoja:

$x^{2}+z^{2}=r^{2}$ ja $x^{2}+y^{2}=r^{2}$

Tilavuus saadaan kaavalla:

$V=\iiint _{V}\mathrm {d} z\mathrm {d} y\mathrm {d} x$

Integraation rajoituksin:

$-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\leqslant z\leqslant {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$

$-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\leqslant y\leqslant {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$

$-r\leqslant x\leqslant r$

Korvaamalla saamme:

$V=\int \limits _{-r}^{r}\int \limits _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2))))^{\sqrt {r^ {2}-x^{2}}}\int \limits _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}^{\sqrt {r^{2}-x^{ 2))}\mathrm {d} z\mathrm {d} y\mathrm {d} x=8r^{3}-{\frac {8r^{3}}{3}}={\frac {16r^ {3}}{3}}$

Todiste pinta-alakaavasta

Tarkasteltava pinta koostuu kahdesta punaisesta ja kahdesta sinisestä lieriömäisestä kaksikulmiosta. Yksi punainen digoni jaetaan kahtia yz-tasolla ja avataan tasossa siten, että puolet ympyrästä (yz-tason leikkaus) avautuu positiiviselle -akselille ja taittamatonta kaksikulmaa ylhäältä rajoittaa kaari . Siksi tämän taittamattoman hahmon pinta-ala (puolet lävistäjästä) on yhtä suuri: $\xi$ $\eta =r\sin \left({\frac {\xi }{r}}\right),\ 0\leqslant \xi \leqslant \pi r$

B=\int _{0}^{\pi r}r\sin \left({\frac {\xi }{r))\right)\mathrm {d} \xi =2r^{2}

ja kokonaispinta-ala on:

A=8\cdot B=16r^{2}

Vaihtoehtoinen todistus tilavuuskaavasta

Bisylinterin (valkoinen) tilavuuden ulostulo voidaan tehdä pakkaamalla kuutioon (punainen). Tason (sylinterin akselien kanssa yhdensuuntainen) ja kaksisylinterin leikkauspiste muodostaa neliön ja leikkaus kuution kanssa muodostaa suuremman neliön. Näiden kahden ruudun alueiden välinen ero on sama kuin neljällä pienellä neliöllä (sininen). Kun kone liikkuu kehon läpi, nämä siniset neliöt muodostavat neliömäisiä pyramideja, joiden kulmissa on tasakylkiset pinnat. Pyramideissa on kärjet kuution neljän reunan keskellä. Lentokoneen eteneminen koko sylinterin läpi hahmottelee 8 pyramidia.

Zu Chongzhin menetelmä (samanlainen kuin jakamaton menetelmä ) pallon tilavuuden laskemiseksi sisältää kaksisylinterin tilavuuden laskemisen.
Kaksisylinterin pinnan poikkileikkausalan ja kuution poikkileikkauksen välinen suhde

Kuution tilavuus (punainen) miinus kahdeksan pyramidin tilavuus (sininen) on yhtä suuri kuin kaksisylinterin tilavuus (valkoinen). 8 pyramidin tilavuus on , ja voimme nyt laskea kaksisylinterin tilavuuden $\textstyle 8\times {\frac {1}{3}}r^{2}\times r={\frac {8}{3}}r^{3}$ $\textstyle (2r)^{3}-{\frac {8}{3}}r^{3}={\frac {16}{3}}r^{3}$

Kolmisylinteri

Kolmen lieriön ja kohtisuorassa leikkaavien akseleiden leikkaus muodostaa kappaleen pinnan, jossa on pisteet, joista kukin suppenee 3 reunaa, ja pisteet, joista kukin konvergoi 4 reunaa. Keskeinen tosiasia tilavuuden ja pinta-alan määrittämisessä on havainto, että kolmisylinteri voidaan koota kuutiosta, jonka kärjet ovat samat kuin kolmisylinterin kärjet, jossa 3 reunaa konvergoi (katso kuva) ja 6 kaarevaa pyramidia (kolmiot ovat osa sylinterien pinnasta). Kaarevakolmioiden tilavuus ja pinta-ala voidaan laskea samalla tavalla kuin edellä kaksisylinterille [1] [7] .

Kolmisylinterin tilavuus on:

V=8(2-{\sqrt {2}})r^{3}

Ja pinta-ala on:

A=24(2-{\sqrt {2}})r^{2}.

Ylittää enemmän sylintereitä

Neljälle sylinterille, joiden akselit vastaavat tetraedrin korkeuksia , tilavuus on [1] [7] :

V neljä = 12 ( 2 2 − 6 ) r 3 {\displaystyle V_{4}=12\left(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}}\right)r^{3}\,}

V_{4}=12\left(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}}\right)r^{3}\,

Kuuden sylinterin osalta, joiden akselit ovat samansuuntaiset kuution pintojen lävistäjän kanssa , tilavuus on [1] [7] :

V_{6}={\frac {16}{3}}\left(3+2{\sqrt {3}}-4{\sqrt {2}}\right)r^{3}\,

Katso myös

Nail

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 5 Steinmetz Solid ? . matematiikkamaailma. . Haettu 27. lokakuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 28. lokakuuta 2021. (määrätön)
↑ Kupuholvi on muunnos suljetusta holvista. Suljetun holvin pohjassa on suorakulmio, kupoliholvissa neliö.
↑ Eves, 1981 , s. 111.
↑ 12 Peterson , 1997 , s. 33–40.
↑ Hogendijk, 2002 , s. 199-203.
↑ Swetz, 1995 , s. 142-145.
↑ 1 2 3 4 Moore, 1974 , s. 181-185.
↑ Apostol, Mnatsakanian, 2006 , s. 521–540.

Kirjallisuus

Howard Eves. Leikkaa se ohueksi // Matemaattinen Gardner, Wadsworth International. - 1981. - S. 111.
Jan Hogendijk. Polkupyörän pinta-ala ja Archimedesin menetelmä // Historia Mathematica . - 2002. - T. 29 , no. 2 . — S. 199–203 . - doi : 10.1006/hmat.2002.2349 .
Frank J. Swetz. Pallon tilavuus: kiinalainen johdannainen // Matematiikan opettaja. - 1995. - Helmikuu ( nide 88 , numero 2 ). — S. 142–145 . — .
Mark A. Peterson. Piero della Francescan geometria // Matemaattinen tiedustelu . - 1997. - T. 19 , no. 3 . - S. 33-40 . - doi : 10.1007/BF03025346 .
Moore, M. Oikeanpuoleisten pyöreiden sylinterien symmetriset leikkauspisteet // The Mathematical Gazette . - 1974. - T. 58 , no. 405 . - S. 181-185 . - doi : 10.2307/3615957 . — .
Tom M. Apostol, Mamikon A. Mnatsakanian. Solids cimuscribing spheres // American Mathematical Monthly . - 2006. - T. 113 , no. 6 . — S. 521–540 . doi : 10.2307 / 27641977 . — .

Linkit

Steinmetzin solidin 3D-malli Google-mallinnusvarastossa

Todellisen analyysin osat
Analyysin perusteet	Euler-funktio $\phi(n)$ Jordan-toiminto Binomilause kupera funktio jatkuva näyttö Factorial Rajalliset erot Vapaat ja sidotut muuttujat Funktiokaavio Lineaarinen funktio Radian Rollen lause Sekantti Kaltevuus Tangentti
rajoja	Epävarmuustekijöiden paljastaminen Toiminnan raja Yksipuolinen raja Jakson raja Arviointijärjestys (ε, δ)-rajan määritelmä
Differentiaalilaskenta _	Funktiojohdannainen Differentiaaliyhtälö Differentiaalioperaattori Keskimääräinen lause Merkintä Leibnizin merkintä Newtonin merkintätapa Erottamisen säännöt Lineaarisuus Tutkintojen erottelu Monimutkainen toimintojen erottelu L'Hopitalin sääntö tuotesääntö Leibnizin kaava Murtoluvun johdannainen Muut tekniikat Implisiittinen erilaistuminen Käänteinen funktion erottelu logaritminen derivaatta Liittyvät kertoimet Kiinteät pisteet Ensimmäinen johdannaistesti Toinen johdannaistesti Äärimmäinen lause Extreem Muut sovellukset Newtonin menetelmä Taylorin lause
Integraali	antijohdannainen Käyrän pituus Integraatiovakio Analyysin päälause Erotus integraalimerkin alla Integrointi osien mukaan Korvausmenetelmä Trigonometrinen korvaaminen Eulerin vaihdot Weierstrassin vaihto Hajoaminen yksinkertaisimpiin Neliöllinen integraali Puolisuunnikkaan muotoinen menetelmä Volyymit Pesumenetelmä Alitalon integrointi
Vektorianalyysi _	Johdannaiset Roottori Suuntajohdannainen Eroaminen Kaltevuus laplalainen Peruslauseet gradienttilause Greenin lause Stokesin lause Gauss-Ostrogradsky-kaava
Monien muuttujien funktioiden analyysi	Gauss-Ostrogradsky-kaava Geometrinen analyysi Hessenin funktiot Jacobilainen matriisi Lagrange-kertoimet Kaareva integraali Matriisianalyysi Useita integraali Osittainen johdannainen Pintaintegraalit Äänenvoimakkuuden integraali Lisäluvut Differentiaaliset muodot Ulkoinen johdannainen Yleistetty Stokesin lause tensorianalyysi )
Jaksot ja rivit	Aritmeettis-geometrinen progressio Rivien tyypit merkki vuorotellen Binomi Fourier-sarja geometrinen sarja Harmoninen Rivi Tehoa Maclaurin Taylor Teleskooppinen Merkkejä lähentymisestä abel Leibniz Cauchy Vertailumerkki Dirichlet Integraali Raja vertailu D'Alembert Radikaali Tarpeellinen kunto
Erikoisfunktiot ja numerot	Bernoullin numerot e (numero) Eksponentti funktio luonnollinen logaritmi Stirlingin kaava
Infinitesimaalien analyysi _	Riittävyys Brooke Taylor Colin Maclaurin Algebran universaalisuus Gottfried Wilhelm Leibniz Äärettömän pieni ja äärettömän suuri Isaac Newton Fluxions Flux menetelmä Jatkuvuusperiaate Leonhard Euler Mekaanisten lauseiden menetelmä