Borromelaiset renkaat

Borromelaiset renkaat
Merkintä
Conway [.yksi]
Alexander-Briggs 6 3 2
Polynomit
Jones   [yksi]
Invariantit
Punoksen pituus 6
Lankojen lukumäärä 3
Risteysten lukumäärä 6
Hyperbolinen tilavuus 7,327724753
Segmenttien lukumäärä 9
Irrota numero 2
Ominaisuudet
Vaihteleva linkki , hyperbolinen
 Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Borromean renkaat [2]  ovat linkki , joka koostuu kolmesta topologisesta ympyrästä , jotka liittyvät toisiinsa ja muodostavat Brunnin linkin (eli minkä tahansa renkaan poistaminen johtaa kahden jäljellä olevan renkaan erottamiseen). Toisin sanoen kahta kolmesta renkaasta ei ole linkitetty, kuten Hopf-linkissä , mutta ne ovat kuitenkin kaikki yhdistetty toisiinsa.

Matemaattiset ominaisuudet

Huolimatta kuvien Borromean renkaiden näennäisestä luonnollisuudesta, tällaista yhteyttä on mahdotonta muodostaa geometrisesti ihanteellisista ympyröistä [3] . Tämä voidaan nähdä myös tarkastelemalla solmukaaviota : jos oletetaan, että ympyrät 1 ja 2 ovat tangentteja kahdessa leikkauspisteessä, ne sijaitsevat joko samassa tasossa tai pallolla. Molemmissa tapauksissa kolmannen ympyrän on leikattava tämä taso tai pallo neljässä pisteessä, eikä se saa olla sen päällä, mikä on mahdotonta [4] .

Samanaikaisesti tällainen sitoutuminen voidaan tehdä ellipsien avulla, ja näiden ellipsien epäkeskisyys voidaan tehdä mielivaltaisen pieneksi. Tästä syystä ohuita joustavasta langasta valmistettuja renkaita voidaan käyttää Borromean-renkaina.

Kihlaus

Solmuteoriassa Borromean renkaat ovat yksinkertaisin esimerkki Brunni-linkistä - vaikka mitään rengasparia ei ole linkitetty , niitä ei voida irrottaa.

Yksinkertaisin tapa todistaa tämä on tarkastella kahden kytkemättömän ympyrän komplementin perusryhmää ; Seifert - van Kampenin lauseella tämä on vapaa ryhmä , jossa on kaksi generaattoria, a ja b, ja sitten kolmas sykli vastaa kommutaattoriluokkaa [ a , b ] = aba −1 b −1 , joka näkyy linkkikaavio. Tämä kommutaattori ei ole triviaali perusryhmässä, ja siksi Borromean renkaat on linkitetty.

Aritmeettisessa topologiassa solmujen ja alkulukujen välillä on analogia , joka mahdollistaa alkulukujen suhteiden jäljittämisen. Alkulukujen kolmikko (13, 61, 937) on kytketty modulo 2:een (sen Rhedei-symboli on yhtä suuri kuin −1), mutta nämä luvut ovat pareittain riippumattomia modulo 2:sta (kaikki Legendre-symbolit ovat yhtä suuria kuin 1). Tällaisia ​​alkulukuja kutsutaan "säännöllisiksi Borromean kolmiosiksi modulo 2" [5] tai "yksinkertaiseksi Borromean modulo 2:ksi". [6]

Hyperbolinen geometria

Borromean renkaat ovat esimerkki hyperbolisesta kytkennästä  – Borromean renkaiden komplementti 3-pallossa sallii täydellisen hyperbolisen -metriikan, jolla on äärellinen tilavuus. Komplementin kanoninen laajennus (Epstein-Penner) koostuu kahdesta säännöllisestä oktaedrista . Hyperbolinen tilavuus on 16Л(π/4) = 7,32772…, missä Л on Lobatševskin funktio . [7]

Yhteys viikateillä

Jos leikkaamme borromelaiset renkaat, saamme yhden iteraation tavanomaisesta punoskudonnasta . Päinvastoin, jos yhdistämme tavallisen punoksen (yhden iteraation) päät, saamme Borromean renkaita. Yhden renkaan poistaminen vapauttaa loput kaksi ja yhden nauhan poistaminen punoksesta vapauttaa kaksi muuta - ne ovat yksinkertaisin brunnilainen linkki ja vastaavasti Brunnian punos .

Vakiolinkkikaaviossa Borromean renkaat on järjestetty syklisessä järjestyksessä . Jos käytät yllä olevia värejä, punainen on vihreän päälle, vihreä sinisen päälle, sininen punaisen päälle, ja kun yksi renkaista poistetaan, yksi jäljellä olevista sormuksista on toisen päällä ja ne eivät ole kiinni. Sama koskee vinoa: jokainen nauha on toisen yläpuolella ja kolmannen alapuolella.

Historia

Nimi "Borromean renkaat" tuli niiden käytöstä Borromean aristokraattisen perheen vaakunassa Pohjois -Italiassa . Kihla on paljon vanhempi ja esiintyi valknutina viikinkien kuvakivillä , jotka ovat peräisin 700-luvulta.

Borromelaisia ​​sormuksia on käytetty eri yhteyksissä, kuten uskonnossa ja taiteessa, osoittamaan yhtenäisyyden voimaa. Erityisesti sormuksia käytettiin kolminaisuuden symbolina . Psykoanalyytikko Jacques Lacanin tiedetään löytäneen inspiraationsa borromelaisista renkaista ihmispersoonallisuuden topologian mallina, jossa jokainen rengas edustaa todellisuuden peruskomponenttia ("todellista", "kuviteltua" ja "symbolista").

Vuonna 2006 Kansainvälinen matemaattinen liitto päätti käyttää Borromean renkaisiin perustuvaa logoa XXV:ssä kansainvälisessä matemaatikoiden kongressissa Madridissa , Espanjassa [8] .

Kivipylväs temppelissä Chennaissa Tamil Nadussa Intiassa , joka on peräisin 600-luvulta, sisältää tällaisen hahmon [ 9] [10] .

Osittaiset renkaat

Keskiajalta ja renessanssista peräisin olevia visuaalisia merkkejä on monia, jotka koostuvat kolmesta elementistä, jotka liittyvät toisiinsa samalla tavalla kuin Borromean renkaat (yleisesti hyväksytyssä kaksiulotteisessa esityksessä), mutta yksittäiset elementit eivät edusta suljettua. renkaat. Esimerkkejä tällaisista symboleista ovat Snoldelevin -kiven sarvet ja Diane de Poitiersin puolikuu . Esimerkki merkistä, jossa on kolme eri elementtiä, on Internacional -seuran kunniamerkki . Vaikka vähäisemmässä määrin, näihin symboleihin kuuluu gankiel ja kolmielementtinen Venn-kaavio .

Myös apinan nyrkkisolmu on olennaisesti kolmiulotteinen esitys Borromean renkaista, vaikka solmussa on kolme tasoa.

Lisää sormuksia

Jotkut solmuteorian liitännät sisältävät useita Borromean renkaiden kokoonpanoja. Yhtä tämän tyyppistä yhdistettä, joka koostuu viidestä renkaasta, käytetään symbolina discordianismissa Principia Discordia -kirjasta peräisin olevan kuvan perusteella .

Toteutukset

Molekyyliset Borromean renkaat  ovat Borromean renkaiden molekyylianalogeja, jotka ovat mekaanisesti kytkettyjä molekyylirakenteita . Vuonna 1997 biologi Mao Chengde (Chengde Mao) ja kirjoittajat New Yorkin yliopistosta rakensivat onnistuneesti renkaita DNA :sta [11] . Vuonna 2003 kemisti Fraser Stoddart ja muut kirjoittajat Kalifornian yliopistossa käyttivät monimutkaisia ​​yhdisteitä rakentaakseen renkaita 18 komponentista yhdellä toimenpiteellä [12] .

Borromean renkaiden kvanttimekaanista analogia kutsutaan haloksi tai Efimov-tilaksi (tällaisten tilojen olemassaolon ennusti fyysikko Vitali Nikolaevich Efimov vuonna 1970). Vuonna 2006 Rudolf Grimin ja Hans-Christoph Nägerlin tutkimusryhmä Innsbruckin yliopiston (Itävalta) kokeellisen fysiikan instituutista vahvisti kokeellisesti tällaisten tilojen olemassaolon cesiumatomien ultrakylmässä kaasussa ja julkaisi löydön tieteellisessä lehdessä. Luonto [13] . Randall Huletin johtama fyysikkoryhmä Rice Universitystä Houstonissa sai saman tuloksen käyttämällä kolmea sitoutunutta litiumatomia ja julkaisi havaintonsa Science Expressissä [14] . Vuonna 2010 K. Tanakan johtama ryhmä sai Efimovin tilan neutroneilla (neutronihalo) [15] .

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ The Knot Atlas - 2005.
  2. ↑ Nimi on peräisin Borromean perheen vaakunasta , jossa nämä sormukset ovat.
  3. ↑ Freedman-Skora, 1987 .
  4. ↑ Lindström, Zetterström, 1991 .
  5. ↑ Denis Vogel. Massey-tuotteet numerokenttien Galois-kohomologiassa. – 13. helmikuuta 2004.
  6. ↑ Masanori Morishita. Analogioita solmujen ja alkulukujen, 3-jakoputkien ja numerorenkaiden välillä. - 22. huhtikuuta 2009. - arXiv : 0904.3399 .
  7. ↑ William Thurston. Kolmen monisarjan geometria ja topologia. - Maaliskuu 2002. - C. Ch 7. Tilavuuden laskeminen s. 165 .
  8. ↑ ICM 2006 . Haettu 20. toukokuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 3. maaliskuuta 2016.
  9. ↑ Lakshminarayan, 2007 .
  10. ↑ Blogimerkintä Arul Lakshminarayanilta
  11. ↑ Mao, Sun, Seeman, 1997 , s. 137-138.
  12. ↑ Tämä työ julkaistiin julkaisussa Science 2004 , 304 , 1308-1312. Abstract Arkistoitu 8. joulukuuta 2008 Wayback Machinessa
  13. ↑ Kraemer, 2006 , s. 315-318.
  14. ↑ Moskowitz, 2009 .
  15. ↑ Tanaka, 2010 , s. 062701.

Kirjallisuus

Linkit