Kolmionumero

Vakaa versio kirjattiin ulos 16.8.2022 . Malleissa tai malleissa on vahvistamattomia muutoksia .

Kolmioluku on yksi kiharaisten monikulmiolukujen luokista , joka määritellään pisteiden lukumääränä, joka voidaan järjestää säännöllisen kolmion muotoon . Kuten kuvasta voidaan nähdä, - . kolmioluku on ensimmäisten luonnollisten lukujen summa : $n$ $T_{n}$ $n$

{\begin{aligned}T_{1}&=1&=&\ 1\\T_{2}&=1+2&=&\ 3\\T_{3}&=1+2+3&=& \ 6\\T_{4}&=1+2+3+4&=&\ 10\\\end{tasattu}}

jne. Kolmioluvun yleinen kaava on: $n$

T_{n}={\frac {1}{2}}n(n+1),\;n=1,2,3\pisteet

;

Kolmiolukujen sarja on ääretön. Se alkaa näin: $T_{n}$

1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , 36 , 45 , 55 , 66 , 78 , 91 , 105 120 ... ( OEIS - sekvenssi A000217 )

Jotkut lähteet aloittavat kolmiomaisten lukujen sarjan nollasta, joka vastaa numeroa $n=0.$

Kolmioluvuilla on merkittävä rooli kombinatoriikassa ja lukuteoriassa , ne liittyvät läheisesti moniin muihin kokonaislukuluokkiin .

Ominaisuudet

Toistuva kaava n: nnelle kolmioluvulle [1] :

T_{n}=T_{n-1}+n

Seuraukset ( ) [2] [3] : $n>1$

T_{n+1}=T_{n-1}+2n+1

T_{n+1}+T_{n-1}=2T_{n}+1

{\displaystyle T_{2n-1}=3T_{n-1}+T_{n))

(katso kuva vasemmalla).

{\displaystyle T_{2n}=3T_{n}+T_{n-1))

. (katso kuva oikealla).

Kaksi muuta kaavaa on helppo todistaa induktiolla [4] :

T_{m+n}=T_{m}+T_{n}+mn

T_{mn}=T_{m}T_{n}+T_{m-1}T_{n-1}

Kaikki kolmioluvut 1 ja 3 lukuun ottamatta ovat yhdistelmälukuja . Mikään kolmioluku ei voi päättyä desimaalimuodossa olevaan numeroon [2] . Sarjaelementin pariteetti muuttuu jaksolla 4: pariton, pariton, parillinen, parillinen. ${\näyttötyyli 2,4,7,9.}$

Pascalin kolmion kolmas sivuviiva (diagonaali) koostuu kolmioluvuista [5] .

Kolmiolukujen äärellisen sarjan summa lasketaan jollakin kaavoista [6] :

S_{m-1}=1+3+6+\pisteet +{\frac {(m-1)m}{2}}={\frac {m^{3}-m}{6} }

tai:

S_{m}=1+3+6+\pisteet +{\frac {m(m+1)}{2))={\frac {m(m+1)(m+2)}{ 6}}

Kolmion konvergoivien käänteislukujen sarja (katso teleskooppisarja ):

1+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+\ dots =2\sum _{n=1}^{\infty } \left({1 \over n}-{1 \over n+1}\right)=2

Luvun kolmiomaisuuden kriteerit

Luonnollinen luku on kolmio, jos ja vain jos luku on täydellinen neliö . $x$ $8x+1$

Todellakin, jos se on kolmio, niin päinvastoin luku on pariton, ja jos se on yhtä suuri kuin jonkin luvun neliö, niin se on myös pariton: ja saamme yhtälön: mistä: - kolmioluku ■ . $x$ $8x+1=8{\frac {n(n+1)}{2}}+1=4n^{2}+4n+1=(2n+1)^{2}.$ $8x+1$ $a,$ $a$ $a=2n+1,$ $8x+1=(2n+1)^{2}=4n^{2}+4n+1,$ $x={\frac {n(n+1)}{2))$

Seuraus: kolmiomaisten lukujen sarjassa oleva numero määräytyy kaavalla: $x$

n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}.

Sovellus

Kolmioluvut syntyvät monissa käytännön tilanteissa.

Binomikertoimena luku määrittää yhdistelmien lukumäärän, jolla valitaan kaksi elementtiä mahdollisista. $T_{n}=C_{n+1}^{2}$ $T_{n}$ $n+1$

Jos objektit on yhdistetty pareittain segmenteillä, segmenttien lukumäärä ( koko graafin reunojen lukumäärä ) ilmaistaan kolmiolukuna: $n$

T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2))

Tämä näkyy siitä, että jokainen objekteista on yhdistetty muihin objekteihin, joten yhteyksiä on, mutta tällä kirjanpidolla jokainen yhteys lasketaan kahdesti (kahdesta eri päästä), joten tuloksen on oltava jaettu puoliksi. $n$ $n-1$ $n(n-1)$

Vastaavasti henkilön maksimi kädenpuristusmäärä tai shakkipelien määrä turnauksessa, jossa on osallistujia, on sama . Samoista näkökohdista voidaan päätellä, että kuperan monikulmion , jonka sivut (n>3) diagonaalien määrä on yhtä suuri vastaanottajalle: $n$ $n$ $T_{n-1}.$ $n$

T_{n-2}-1={\frac {n(n-3)}{2))

Suorilla pizzaleikkauksilla (katso oikealla oleva kuva) saatava enimmäismäärä viipaleita on (katso Keskipolygonaaliset numerot , OEIS - sekvenssi A000124 ). $s$ $n$ $T_{n}+1$

Mystiikassa tunnettu " pedon numero " (666) on 36. kolmio [7] . Se on pienin kolmioluku, joka voidaan esittää kolmiolukujen neliöiden summana [8] : $666=15^{2}+21^{2}.$

Pythagoralaiset pitivät neljättä kolmiomaista numeroa 10 ( tetraksis ) pyhänä, mikä määritti maailmankaikkeuden harmonian - erityisesti musiikillisten intervallien suhteen , vuodenaikojen vaihtelun ja planeettojen liikkeen [9] .

Suhde muihin lukuluokkiin

Mikä tahansa kulmaluku voidaan ilmaista kolmiomaisena [10] : $k$ $P_{n}^{(k)}\;(k\geqslant 3,n>1)$

P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}=(k-3)T_{n-1}+T_{ n}

Kahden peräkkäisen kolmioluvun summa on neliöluku (täydellinen neliö), eli [7] :

T_{n-1}+T_{n}=n^{2}\;

( Theon of Smyrna [11] kaava .

Esimerkkejä:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

Tämän kaavan yleistys on Nicomachian kaava - mille tahansa, ero -hiili- ja -hiililukujen välillä , joilla on sama numero, on kolmioluku [12] : $k \geqslant 3$ $(k+1)$ $k$

{\displaystyle P_{n}^{(k+1)}-P_{n}^{(k)}=T_{n-1))

Edellinen kaava saadaan kaavalla $k=3.$

On olemassa ainutlaatuinen Pythagoraan kolmio, joka koostuu kolmiomaisista luvuista [13] :

\{T_{132},T_{143},T_{164}\}=\{8778,10296,13530\}.

Kolmiolukujen joukossa on palindrominumeroita eli numeroita, jotka ovat samoja luettaessa vasemmalta oikealle ja oikealta vasemmalle (sekvenssi A003098 OEIS : ssä ):

1,3,6,55,66,171,595,666,3003,5995,8778,\pisteet

On äärettömän monta kolmiolukua, jotka ovat samanaikaisesti neliön muotoisia (" neliön kolmioluvut ") [14] [15] : (sekvenssi A001110 OEIS : ssä ). ${\näyttötyyli 1,36,1225,41616,1413721\pisteet }$

Kolmioluku voi olla myös samaan aikaan

viisikulmainen (sekvenssi A014979 OEIS : ssä ):

1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315623646…

kuusikulmainen (kaikki kolmiomaiset luvut, joissa on pariton luku);
seitsemänkulmainen (sekvenssi A046194 OEIS : ssä ):

1, 21, 11781, 203841, 113123361, 1957283461, 1086210502741, 18793835590881, 10429793134197921, 818045, 818041

jne. Ei tiedetä, onko olemassa lukuja, jotka ovat samanaikaisesti kolmion, neliön ja viisikulmaisia; pienempien numeroiden tietokonetarkistus ei löytänyt sellaista lukua, mutta ei ole todistettu, että niitä ei olisi [16] . $10^{22166},$

Neljä kolmiolukua ovat samanaikaisesti Mersennen lukuja (sekvenssi A076046 OEIS : ssä ) (katso Ramanujan-Nagel-yhtälö ). $1,3,15,4095$

Viisi numeroa (ja vain ne) ovat sekä kolmiomaisia että nelitahoisia (sekvenssi A027568 OEIS : ssä ). $1,10,120,1540,7140$

Neljä numeroa ovat sekä kolmion että neliön muotoisia pyramideja (sekvenssi A039596 OEIS : ssä ). $1,55,91,208335$

Mikään luonnollinen luku 1:tä lukuun ottamatta ei voi olla samanaikaisesti [17] [18] :

kolmiomainen ja kuutiomainen;
kolmion ja kaksinkertainen [19] ;
kolmio ja kokonaisluvun viides potenssi [17] ;

Jokainen parillinen täydellinen luku on kolmion muotoinen [20] .

Mikä tahansa luonnollinen luku voidaan esittää enintään kolmen kolmioluvun summana. Lausunnon muotoili ensimmäisen kerran Pierre Fermat vuonna 1638 Mersennelle osoittamassaan kirjeessä ilman todisteita, ja Gauss todisti sen ensimmäisen kerran vuonna 1796 [21] .

N:nnen kolmioluvun neliö on ensimmäisten luonnollisten lukujen kuutioiden summa [22] . Seuraus: Kahden peräkkäisen kolmion numeron neliöiden erotus antaa kuutioluvun . Esimerkiksi, $n$ $15^{2}-10^{2}=125=5^{3}.$

Luodaan funktio

Potenssisarja, jonka kertoimet ovat kolmiolukuja, konvergoi, kun : $|x|<1$

{\frac {x}{(1-x)^{3}}}=T_{1}x+T_{2}x^{2}+T_{3}x^{3}+\pisteet +T_{n}x^{n}+\pisteet

Vasemmalla oleva lauseke on kolmiolukujonon generointifunktio [23] .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Kolmiolukujen muunnelma ovat keskitettyjä kolmiolukuja .

Litteän kolmioluvun käsite voidaan yleistää kolmeen tai useampaan ulottuvuuteen. Niiden spatiaaliset analogit ovat tetraedrilukuja , ja mielivaltaisessa -ulotteisessa avaruudessa voidaan määritellä hypertetraedrilukuja [24] : $d$

T_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!)))

Niiden erikoistapaukset ovat:

$T_{n}^{[2]}$ ovat kolmion muotoisia lukuja.
$T_{n}^{[3]}$ ovat tetraedrilukuja.
$T_{n}^{[4]}$ ovat pentatooppilukuja .

Toinen kolmiolukujen yleistys ovat toisen tyyppiset Stirling-luvut [25] :

T_{n}=S(n+1,n)

Muistiinpanot

↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 16.
↑ 12 Villemin . _
↑ Deza E., 2011 , s. 24-25, 29.
↑ Deza E., 2011 , s. 66.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 188.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 71.
↑ 1 2 Shamshurin A. V. Kolmiolukujen taikavoima . Aloita tieteestä . Käyttöönottopäivä: 7.4.2021. (Venäjän kieli)
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 225.
↑ Dimitra Karamanides (2005), Pythagoras: muinaisen Kreikan uraauurtava matemaatikko ja musiikin teoreetikko , The Rosen Publishing Group, s. 65, ISBN 9781404205000 , < https://books.google.com/books?id=DQpSA4CEnIwC > Arkistoitu 14. lokakuuta 2020 Wayback Machinessa
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. viisitoista.
↑ Deza E., 2011 , s. 23.
↑ Matematiikan oppikirjan sivujen takana, 1996 , s. viisikymmentä.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 195.
↑ On olemassa kolmiolukuja, jotka ovat myös neliöitä . leikkaa solmu . Haettu 7. huhtikuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 27. huhtikuuta 2006.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 25-33.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 34-37.
↑ 1 2 Pingviinien sanakirja uteliaista ja mielenkiintoisista numeroista . Haettu: 9. maaliskuuta 2021.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 77-78.
↑ Dickson, 2005 , s. kahdeksan.
↑ Voight, John. Täydelliset numerot: alkeisjohdanto // University of California, Berkley. - 1998. - S. 7 . Arkistoitu alkuperäisestä 25. helmikuuta 2017.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. kymmenen.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 79.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 17-19.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 126-134.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 214-215.

Kirjallisuus

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Matematiikan oppikirjan sivujen takana: Aritmetiikka. Algebra. Geometria . - M . : Koulutus, 1996. - S. 30 . – 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa . - M . : Koulutus, 1964. - 376 s.
Deza E. Luonnonsarjan erikoisnumerot: Oppikirja .. - M . : Kirjatalo "LIBROKOM", 2011. - 240 s. - ISBN 978-5-397-01750-3 .
Deza E., Deza M. Kiharat numerot. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 s. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .
Dickson LE monikulmio. pyramidi- ja kuvionumerot //Numeroteorian historia . - New York: Dover, 2005. - Voi. 2: Diofantiinianalyysi. - s. 22-23.

Linkit

Kiharat numerot . OSNOVA Publishing Group. (Venäjän kieli)
Villemin, Gerard. Nombre triangulaire Nombres Triangulaires (fr.) . Nombres-Curiosites, théorie et usages (2007).
Weisstein, Eric W. Triangular Number (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)

kiharat numerot

tasainen

Klassinen monikulmio	kolmion muotoinen Neliö Viisikulmainen Kuusikulmainen Seitsenkulmainen Kahdeksankulmainen Kaksikulmainen
Keskitetty	kolmion muotoinen Neliö Viisikulmainen Kuusikulmainen Seitsenkulmainen Kahdeksankulmainen Yhdeksänkulmainen Dekagonaalinen

Pyramidin muotoinen	tetraedrinen Neliön muotoinen pyramidi
moniulotteinen	kuutio Octahedral Dodekaedri ikosaedrinen Tähtikuvioinen oktaedri

moniulotteinen	Pentatopic Bisquare

Luonnollisten lukujen luokat

Potensseja ja
niihin liittyviä lukuja

Numerot, jotka ovat muotoa
a × 2 b ± 1

Muut
polynomiluvut
_

Rekursiivisesti
määritellyt
luvut

Numerosarjat
, joilla on tietyt
ominaisuudet

Summissa ilmaistuna

Ei-hypotenuusa
Käytännöllinen
Pääasia on puoliksi yksinkertainen
Ulama
Wolsenholm

Saatu seulan
avulla

onnennumeroita

Aiheeseen liittyvät koodit
_

Mirtens

kiharat numerot

2-ulotteinen

keskitetty _	kolmion muotoinen neliö- viisikulmainen kuusikulmainen seitsemänkulmainen kahdeksankulmainen ei-kulmamainen kymmenkulmainen tähti
keskustan ulkopuolella	kolmion muotoinen neliö- neliön kolmion muotoinen kuusikulmainen kahdeksankulmainen

3 ulotteinen

keskitetty _	tetraedrinen kuutio oktaedri dodekaedri ikosaedrinen
keskustan ulkopuolella	tetraedrinen oktaedri dodekaedri ikosaedrinen Tähti-oktaedri
pyramidin muotoinen_	neliö- viisikulmainen kuusikulmainen seitsemänkulmainen

4-ulotteinen

keskitetty _	pentakoorinen kolmion muotoinen neliössä
keskustan ulkopuolella	pentatooppi

Pseudoyksinkertaista

Carmichael
katalaani
elliptinen
Euler
Euler-Jacobi
Maatila
Frobenius
Luca
Somera - Luca
vahva pseudosimple

kombinatoriset
numerot

Aritmeettiset
funktiot

σ( n )	tarpeeton melkein täydellinen aritmeettinen valtavan tarpeeton Descartes puolitäydelliset luvut erittäin tarpeettomia numeroita korkeakomponenttiset numerot hypertäydelliset luvut moninkertaiset luvut sitoutunut käytännöllinen primitiivinen tarpeeton hieman tarpeeton tau numerot majesteettiset numerot ylimääräisiä lukuja superkomposiittiluvut supertäydelliset numerot
Ω( n )	melkein yksinkertainen puoliksi yksinkertainen
φ( n )	erittäin kovalenttinen korkeatietoinen täydellinen potilas hieman kärsivällinen
s( n )	ystävällinen kihloissa riittämätön puolitäydellinen

Euclid
onnennumerot

Jakajien mukaan

Muut
alkujakajat tai
liittyvät
jaettavuuteen

Viihdyttävää
matematiikkaa

Numerojärjestelmät
_

automorfinen numero
syklinen
Osiris
Dudeni
yhtä suuret numerot
liioiteltu
Factorion
Friedman
tyytyväinen
Nivena
Kita
Lichrel
määrä josta puuttuu numero
Armstrong
palindrominen
pandigitaalinen
loistaudit
haitallista
maaginen
primitiivinen
toistonumeroita
uudet yksiköt
itse tuotettu
itsekuvaava
Smarandsha - Wellena
ehdottomasti ei-palindrominen
vaihtajat
siirtymä
trimorfinen
aaltoileva
vampyyrit

Aronsonin sekvenssi
pannukakkujen numerot