Mosaiikit kuperista säännöllisistä monikulmioista euklidisella tasolla

Esimerkkejä jaksollisista mosaiikeista

Tavallisella laatoituksella on yhden tyyppiset tavalliset kasvot.	Puolisäännöllisellä tai yhtenäisellä laatoituksella on yksi kärkityyppi, mutta kaksi tai useampia pintatyyppejä.
K - homogeenisella laatoituksella on k vertex-tyyppiä ja kaksi tai useampia säännöllisiä kasvotyyppejä.	Laatoilla, joita ei ole liitetty reunasta reunaan, voi olla erilaiset tavalliset pintakoot.

Euklidisen tason laatoitus kuperilla säännöllisillä polygoneilla on ollut laajalti käytössä antiikin ajoista lähtien. Ensimmäisen systemaattisen esityksen teki Kepler kirjassaan Harmonices Mundi ( Maailman harmonia , latinaksi , 1619).

Tavalliset mosaiikit

Grünbaumin ja Shepardin mukaan laatoituksen sanotaan olevan säännöllinen , jos laatoituksen symmetriaryhmä vaikuttaa transitiivisesti laatoituksen lippuihin , jolloin lippu on kolmiosa, joka koostuu vierekkäisistä laatan kärjeistä , reunoista ja laatoista. laatoitus. Tämä tarkoittaa, että mille tahansa lippuparille on olemassa symmetriaoperaatio, joka yhdistää ensimmäisen lipun toiseen. Tämä vastaa reunasta reunaan yhtenevien säännöllisten polygonien laatoitusta. Jokaisessa kärjessä täytyy olla kuusi säännöllistä kolmiota , neljä ruutua tai kolme säännöllistä kuusikulmiota , joista saadaan kolme säännöllistä laatoitusta .

Tavalliset mosaiikit (3)

p6m, *632		p4m, *442

3 6 (t = 1, e = 1)	6 3 (t = 1, e = 1)	4 4 (t = 1, e = 1)

Arkhimedeolaiset, yhtenäiset tai puolisäännölliset laatoitukset

Vertex-transitiivisuus tarkoittaa, että millä tahansa kärkiparilla on symmetria (symmetrioihin sisältyy myös rinnakkaiskäännös), joka kuvaa ensimmäisen kärjen toiseen [1] .

Jos lipun transitiivisuusvaatimus on lievennetty kärjen transitiivisuudeksi, mutta reunasta reunaan -yhteyden ehto säilyy, on kahdeksan ylimääräistä laatoitusta, jotka tunnetaan nimellä Archimedean , uniform tai semiregular . Huomaa, että on olemassa kaksi peilikuvaa (enantiomorfista tai kiraalista ) 3 4 .6 (snub hexagonal) tessellaatiota, ja molemmat on esitetty alla olevassa taulukossa. Kaikki muut tavalliset ja puolisäännölliset laatoitukset ovat kiraalisia.

Homogeeniset mosaiikit (8)

p6m, *632
3,12 2 (t=2, e=2)	3.4.6.4 (t=3, e=2)	4.6.12 (t=3, e=3)	(3.6) 2 (t = 2, e = 1)
p4m, *442	p4,442	cm, 2*22	p6,632
4,8 2 (t = 2, e = 2)	3 2 .4.3.4 (t = 2, e = 2)	3 3 .4 2 (t=2, e=3)	Snub kuusikulmainen laatoitus (t=3, e=3)

Grünbaum ja Shepard kutsuvat näitä laatoituksia Arkhimedeolaisiksi osoituksena laattojen sijoittelun ominaisuuden lokaalisuudesta pisteiden ympärille erottaakseen ne homogeenisista , joille vertex-transitiivisuus on globaali ominaisuus. Vaikka kaikilla laatoilla on nämä kaksi ominaisuutta tasossa, muissa tiloissa on Arkhimedeen laatoitusta, jotka eivät ole homogeenisia.

k -homogeeniset laatoitukset

3-homogeeninen laatoitus numerolla #57/61

Kuten isotoksaali, keltaiset kolmiot, punaiset neliöt	Kuten 4-isoedrinen, 3 väriä kolmioille

Tällaiset jaksolliset laatoitukset voidaan luokitella kärkien, reunojen ja laattojen kiertoratojen lukumäärän mukaan. Jos kärkiradat ovat , laatoitus katsotaan -tasaiseksi tai -isogonaaliseksi (tasakulmaiseksi). Jos laattojen kiertoradat ovat, laatoituksen sanotaan olevan -isoedrinen. Jos on reunakiertoradat , laatoituksen sanotaan olevan -isotoksaalinen (reunatransitiivinen). $k$ $k$ $k$ $t$ $t$ $e$ $e$

k -yhtenäiset laatat, joilla on samat kärkikuviot, voidaan tunnistaa edelleen niiden taustakuvaryhmäsymmetriasta .

1-homogeeninen laatoitus sisältää 3 tavallista laatoitusta ja 8 puolisäännöllistä laatoitusta, joissa on 2 tai useampia säännöllisiä monikulmiopintoja. On olemassa 20 2-tasaista laatoitusta, 61 3-tasaista laatoitusta, 151 4-tasaista laatoitusta, 332 5-tasaista laatoitusta ja 673 6-tasaista laatoitusta. Kaikki laatat voidaan ryhmitellä useiden m eri kuvioiden mukaan, joita kutsutaan m -arkimedeolaisiksi laatoiksi [2]

K-homogeenisten m-arkimedisten laatoitusten lukumäärä

	m
k		yksi	2	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9	Kaikki yhteensä
	yksi	yksitoista	0	0	0	0	0	0	0	0	yksitoista
	2	0	kaksikymmentä	0	0	0	0	0	0	0	kaksikymmentä
	3	0	22	39	0	0	0	0	0	0	61
	neljä	0	33	85	33	0	0	0	0	0	151
	5	0	74	149	94	viisitoista	0	0	0	0	332
	6	0	100	284	187	92	kymmenen	0	0	0	673
	7	?	?	?	?	?	?	7	0	0	?
	kahdeksan	?	?	?	?	?	?	kaksikymmentä	0	0	?
	9	?	?	?	?	?	?	?	kahdeksan	0	?
	kymmenen	?	?	?	?	?	?	?	27	0	?
	yksitoista	?	?	?	?	?	?	?	?	yksi	?

Muun tyyppiset kärjet euklidisissa tasoissa

Reunasta reunaan euklidisissa laatoissa monikulmioiden sisäkulmien tulee olla 360º. Tavallisella -gonilla on sisäkulma . On seitsemäntoista yhdistelmää säännöllisiä polygoneja, joiden sisäkulmien summa on 360º, joista jokaista kutsutaan kärkinäkymäksi . Neljässä tapauksessa polygoneja on kaksi erilaista syklistä järjestystä, jotka antavat 21 erilaista kärkeä . $n$ $\left(1-{\frac {2}{n}}\right)180^{\circ }$

Vain yksitoista niistä voi esiintyä edellisissä osioissa esitetyssä säännöllisten polygonien yhtenäisessä laatoituksessa.

Erityisesti, jos kolme monikulmiota kohtaavat kärjessä ja yhdellä on pariton määrä sivuja, kahden muun polygonin on oltava samat. Muussa tapauksessa niiden on vuorotellen ympäröitävä ensimmäistä monikulmiota, mikä on mahdotonta sivujen parittomalla puolella. Näiden rajoitusten mukaan seuraavat kuusi vaihtoehtoa eivät voi olla läsnä missään tavallisessa monikulmiolaatoituksessa:

3 polygonia pisteissä (käyttämätön)

3 . 7 . 42	3.8 _ _ 24	3.9 _ _ kahdeksantoista	3.10 . _ viisitoista	4.5 _ kaksikymmentä	5.5.10

Näitä neljää voidaan käyttää k - homogeenisissa laatoissa:

4 polygonia kärkeä kohden (voi esiintyä muun tyyppisten kärkien kanssa)

Kelvolliset kärkityypit _	3 2 .4.12	3.4.3.12	3 2 .6 2	3,4 2,6 _
Esimerkkejä 2-homogeenisista laatoista	alkaen 36	3.12.12 alkaen	kanssa (3.6) 2	kanssa (3.6) 2

Viipaloidut säännölliset polygonit

Osa k - homogeenisista laatoista voidaan saada leikkaamalla laatan laatta symmetrisesti sisäreunoilla, esim.

Leikkaa polygoneja, joiden reunat
ovat samat kuin alkuperäisen monikulmion reunat

Kuusikulmio	Dodecagon

Joitakin k-homogeenisiä polygoneja voidaan saada leikkaamalla säännöllisiä polygoneja, joilla on uudet kärjet alkuperäisissä reunoissa, esimerkiksi:

Leikkaus 1 tai 2 kärjestä per reuna

kolmio			neliö-		kuusikulmio

2-homogeeniset laatoitukset

Euklidisessa tasossa on kaksikymmentä 2-homogeenistä laatoitusta (kutsutaan myös 2 - isogonaalisiksi laatoiksi tai puolisäännöllisiksi laatoiksi ) [3] [4] [5] .

2-homogeeninen laatoitus (20)

p6m, *632						p4m, *442
[3 6 ; 3 2 .4.3.4] (t=3, e=3)	[3.4.6.4; 3 2 .4.3.4] (t = 4, e = 4)	[3.4.6.4; 3 3 .4 2 ] (t = 4, e = 4)	[3.4.6.4; 3,4 2,6 ] (t = 5, e = 5)	[4.6.12; 3.4.6.4] (t=4, e=4)	[3 6 ; 3 2 .4.12] (t=4, e=4)	[3.12.12; 3.4.3.12] (t = 3, e = 3)
p6m, *632	p6,632	p6,632	cm, 2*22	pmm, *2222	cm, 2*22	pmm, *2222
[3 6 ; 3 2 .6 2 ] (t = 2, e = 3)	[3 6 ; 3 4 .6] 1 (t = 3, e = 3)	[3 6 ; 3 4 .6] 2 (t = 5, e = 7)	[ 3 2,6 2 ; 3 4 .6] (t = 2, e = 4)	[3.6.3.6; 3 2 .6 2 ] (t = 2, e = 3)	[3,4 2,6 ; 3.6.3.6] 2 (t=3, e=4)	[3,4 2,6 ; 3.6.3.6] 1 (t = 4, e = 4)
p4g, 4*2	pgg, 2×	cm, 2*22	cm, 2*22	pmm, *2222	cm, 2*22
[ 3 3,4 2 ; 3 2 .4.3.4] 1 (t = 4, e = 5)	[ 3 3,4 2 ; 3 2 .4.3.4] 2 (t=3, e=6)	[4 4 ; 3 3 .4 2 ] 1 (t = 2, e = 4)	[4 4 ; 3 3 .4 2 ] 2 (t = 3, e = 5)	[3 6 ; 3 3 .4 2 ] 1 (t = 3, e = 4)	[3 6 ; 3 3 .4 2 ] 2 (t = 4, e = 5)

3-homogeeniset laatoitukset

Euklidisen tason 3-yhtenäistä laatoitusta on 61 kappaletta. 39 ovat 3-arkimedelaisia, joissa on 3 erilaista kärkeä, ja 22:lla on 2 identtistä pistettä eri symmetriaradoilla [6] .

3-homogeeniset laatoitukset, 3 tyyppiä kärkipisteitä 3-homogeeniset laatat, joissa on 3 huipputyyppiä (39)

[3,4 2 6; 3.6.3.6; 4.6.12] (t = 6, e = 7)	[3 6 ; 3 2 4,12; 4.6.12] (t = 5, e = 6)	[3 2 4,12; 3.4.6.4; 3,12 2 ] (t = 5, e = 6)	[3.4.3.12; 3.4.6.4; 3,12 2 ] (t = 5, e = 6)	[3 3 4 2 ; 3 2 4,12; 3.4.6.4] (t = 6, e = 8)
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3 x 2 4,12] (t = 6, e = 7)	[3 6 ; 3 2 4.3.4; 3 x 2 4,12] (t = 5, e = 6)	[3 4 6; 3 3 4 2 ; 3 2 4.3.4] (t = 5, e = 6)	[3 6 ; 3 2 4.3.4; 3,4 2 6] (t = 5, e = 6)	[3 6 ; 3 2 4.3.4; 3.4.6.4] (t = 5, e = 6)
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3.4.6.4] (t = 6, e = 6)	[3 6 ; 3 2 4.3.4; 3.4.6.4] (t = 6, e = 6)	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3 x 2 4.3.4] (t = 4, e = 5)	[3 2 4,12; 3.4.3.12; 3,12 2 ] (t = 4, e = 7)	[3.4.6.4; 3,4 2 6; 4 4 ] (t = 3, e = 4)
[3 2 4.3.4; 3.4.6.4; 3,4 2 6] (t = 4, e = 6)	[3 3 4 2 ; 3 2 4.3.4; 4 4 ] (t = 4, e = 6)	[3,4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ] (t = 5, e = 7)	[3,4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ] (t = 6, e = 7)	[3,4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ] (t = 4, e = 5)
[3,4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ] (t = 5, e = 6)	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3,4 2 6] (t = 5, e = 8)	[3 2 6 2 ; 3,4 2 6; 3.6.3.6] (t = 4, e = 7)	[3 2 6 2 ; 3,4 2 6; 3.6.3.6] (t = 5, e = 7)	[3 4 6; 3 3 4 2 ; 3,4 2 6] (t = 5, e = 7)
[3 2 6 2 ; 3.6.3.6; 6 3 ] (t = 4, e = 5)	[3 2 6 2 ; 3.6.3.6; 6 3 ] (t = 2, e = 4)	[3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] (t = 2, e = 5)	[3 6 ; 3 2 6 2 ; 6 3 ] (t = 2, e = 3)	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ] (t = 5, e = 8)
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ] (t = 3, e = 5)	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ] (t = 3, e = 6)	[3 6 ; 3 4 6; 3.6.3.6] (t = 5, e = 6)	[3 6 ; 3 4 6; 3.6.3.6] (t = 4, e = 4)	[3 6 ; 3 4 6; 3.6.3.6] (t=3, e=3)
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] (t = 4, e = 6)	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] (t = 5, e = 7)	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] (t = 3, e = 5)	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] (t = 4, e = 6)

3-tasaiset laatat, 2 tyyppiä kärkipisteitä (2:1) 3-tasaiset laatat (2:1) (22)

[(3.4.6.4)2; 3,4 2 6] (t = 6, e = 6)	[( 36 )2; 3 4 6] (t = 3, e = 4)	[( 36 )2; 3 4 6] (t = 5, e = 5)	[( 36 )2; 3 4 6] (t = 7, e = 9)	[3 6 ; (3 4 6) 2] (t = 4, e = 6)
[3 6 ; (3 2 4.3.4)2] (t = 4, e = 5)	[(3,4 2 6)2; 3.6.3.6] (t = 6, e = 8)	[3,4 2 6; (3.6.3.6)2] (t=4, e=6)	[3,4 2 6; (3.6.3.6)2] (t=5, e=6)	[3 2 6 2 ; (3.6.3.6)2] (t=3, e=5)
[(3 4 6)2; 3.6.3.6] (t = 4, e = 7)	[(3 4 6)2; 3.6.3.6] (t = 4, e = 7)	[3 3 4 2 ; (4 4 )2] (t = 4, e = 7)	[(3 3 4 2 )2; 4 4 ] (t = 5, e = 7)	[3 3 4 2 ; (4 4 )2] (t = 3, e = 6)
[(3 3 4 2 )2; 4 4 ] (t = 4, e = 6)	[(3 3 4 2 )2; 3 2 4.3.4] (t = 5, e = 8)	[3 3 4 2 ; (3 2 4.3.4)2] (t = 6, e = 9)	[3 6 ; (3 3 4 2 )2] (t = 5, e = 7)	[3 6 ; (3 3 4 2 )2] (t = 4, e = 6)
[( 36 )2; 3 3 4 2 ] (t = 6, e = 7)	[( 36 )2; 3 3 4 2 ] (t = 5, e = 6)

4-homogeeniset laatoitukset

Euklidisen tason 4-yhtenäistä laatoitusta on 151 kappaletta. Brian Galebachin tutkimus toisti Krotenheerdtin luettelon 33 4-yhtenäisestä laatoituksesta, joissa on 4 eri huipputyyppiä, 85 laatoitusta, joissa on 3 huipputyyppiä, ja 33 laatoitusta, joissa on 2 huipputyyppiä.

4-homogeeninen laatoitus, 4 tyyppiä kärkipisteitä

Laatoitettuja laattoja on 34, ja niissä on 4 tyyppiä huippupisteitä.

4-homogeeninen laatoitus 4 kärkityypillä (33)

[33434; 3 2 6 2 ; 3446; 6 3 ]	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 46.12]	[33434; 3 2 6 2 ; 3446; 46.12]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 334.12]	[3 6 ; 33434; 334,12; 3.12 2 ]
[3 6 ; 33434; 343,12; 3.12 2 ]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 3464]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 3464]	[3 6 ; 33434; 3464; 3446]	[3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ]
[3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ]	[334,12; 343,12; 3464; 46.12]	[3 3 4 2 ; 334,12; 343,12; 3.12 2 ]	[3 3 4 2 ; 334,12; 343,12; 4 4 ]	[3 3 4 2 ; 334,12; 343,12; 3.12 2 ]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 4 4 ]	[33434; 3 2 6 2 ; 3464; 3446]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3446; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446]	[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636]	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 6 3 ]	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 6 3 ]	[3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ]
[3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ]	[3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ]	[3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ]

4-homogeeniset laatat, 3 tyyppiä kärkiä (2:1:1)

On 85 mosaiikkia, joissa on 3 tyyppistä kärkiä.

4-tasaiset laatat (3:1)

[3464; (3446)2; 46.12]	[3464; 3446; (46.12)2]	[334,12; 3464; (3,12 2 )2]	[343,12; 3464; (3,12 2 )2]	[33434; 343,12; (3464)2]
[( 36 )2; 3 3 4 2 ; 334.12]	[(3464)2; 3446; 3636]	[3464; 3446; (3636)2]	[3464; (3446)2; 3636]	[( 36 )2; 3 3 4 2 ; 33434]
[( 36 )2; 3 3 4 2 ; 33434]	[3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]	[3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]	[3 6 ; (3 2 6 2 )2; 6 3 ]	[3 6 ; (3 2 6 2 )2; 6 3 ]
[3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]	[3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]	[3 6 ; (3 4 6) 2; 3 2 6 2 ]	[3 6 ; (3 2 6 2 )2; 3636]	[(3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 6 3 ]
[(3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 6 3 ]	[3 4 6; 3 2 6 2 ; (3636)2]	[3 4 6; 3 2 6 2 ; (3636)2]	[3 3 4 2 ; 33434; (3464)2]	[3 6 ; 33434; (3464)2]
[3 6 ; (33434)2; 3464]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 3464]	[(3464)2; 3446; 3636]	[3 4 6; (33434)2; 3446]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434)2]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434)2]	[(3 3 4 2 )2; 33434; 4 4 ]	[(3 3 4 2 )2; 33434; 4 4 ]	[3464; (3446)2; 4 4 ]	[33434; (334,12)2; 343.12]
[3 6 ; (3 2 6 2 )2; 6 3 ]	[3 6 ; (3 2 6 2 )2; 6 3 ]	[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2]	[( 36 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ]	[( 36 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ]
[( 36 )2; 3 4 6; 3636]	[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636]	[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636]	[(3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636]	[(3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; (3636)2]	[3 2 6 2 ; (3636)2; 6 3 ]	[3 2 6 2 ; (3636)2; 6 3 ]	[(3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]	[3 2 6 2 ; 3636; (6 3 )2]
[3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]	[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)2]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)2]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3636]
[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3636]	[3 4 6; 3 3 4 2 ; (3446)2]	[3446; 3636; (4 4 )2]	[3446; 3636; (4 4 )2]	[3446; 3636; (4 4 )2]
[3446; 3636; (4 4 )2]	[(3446)2; 3636; 4 4 ]	[(3446)2; 3636; 4 4 ]	[(3446)2; 3636; 4 4 ]	[(3446)2; 3636; 4 4 ]
[(3446)2; 3636; 4 4 ]	[(3446)2; 3636; 4 4 ]	[(3446)2; 3636; 4 4 ]	[(3446)2; 3636; 4 4 ]	[3446; (3636)2; 4 4 ]
[3446; (3636)2; 4 4 ]	[3446; (3636)2; 4 4 ]	[3446; (3636)2; 4 4 ]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )2]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )2]
[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )2]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )2]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]	[( 36 )2; 3 3 4 2 ; 4 4 ]	[( 36 )2; 3 3 4 2 ; 4 4 ]	[( 36 )2; 3 3 4 2 ; 4 4 ]	[( 36 )2; 3 3 4 2 ; 4 4 ]

4-homogeeniset laatat, 2 tyyppiä kärkipisteitä (2:2) ja (3:1)

Laattoja on 33, joissa on 2 huipputyyppiä, 12 laattatyyppien suhde on 2:2 ja 21 suhde (3:1).

4-tasaiset laatat (2:2)

[(3464)2; (46.12)2]	[(33434)2; (3464)2]	[(33434)2; (3464)2]	[(3 4 6)2; (3636)2]	[( 36 )2; (3 4 6)2]
[(3 3 4 2 )2; (33434)2]	[(3 3 4 2 )2; (4 4 )2]	[(3 3 4 2 )2; (4 4 )2]	[(3 3 4 2 )2; (4 4 )2]	[( 36 )2; (3 3 4 2 )2]
[( 36 )2; (3 3 4 2 )2]	[( 36 )2; (3 3 4 2 )2]

4-tasaiset laatat (3:1)

[343,12; (3,12 2 )3]	[(3 4 6)3; 3636]	[3 6 ; (3 4 6) 3]	[( 36 )3; 3 4 6]	[( 36 )3; 3 4 6]
[(3 3 4 2 )3; 33434]	[3 3 4 2 ; (33434)3]	[3446; (3636)3]	[3446; (3636)3]	[3 2 6 2 ; (3636)3]
[3 2 6 2 ; (3636)3]	[3 3 4 2 ; (4 4 )3]	[3 3 4 2 ; (4 4 )3]	[(3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[(3 3 4 2 )3; 4 4 ]
[(3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3]	[( 36 )3; 3 3 4 2 ]
[( 36 )3; 3 3 4 2 ]

5-homogeeniset laatoitukset

Euklidisessa tasossa on 332 5-homogeenistä laatoitusta. Brian Galebachin tutkimus tuotti 332 5-homogeenistä laatoitusta, joissa on 2-5 kärkityyppiä, joista 74 laatoitusta on 2 kärkityyppiä, 149 laatoitusta 3 kärkityypillä, 94 laatoitusta 4 kärkityypillä ja 15 laatoitusta, joissa on 5 kärkityyppiä.

5-homogeeninen laatoitus, 5 tyyppistä kärkiä

On olemassa 15 5-homogeenistä laatoitusta, joissa on 5 tyyppistä kärkikuviota.

5-homogeeninen mosaiikki, 5 tyyppiä

[33434; 3 2 6 2 ; 3464; 3446; 6 3 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; 46.12]	[3 4 6; 3 3 4 2 ; 33434; 3446; 4 4 ]	[3 6 ; 33434; 3464; 3446; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; 3464; 3446; 3636]	[33434; 334,12; 3464; 3.12.12; 46.12]	[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ]
[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3446; 3636; 4 4 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; 4 4 ]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446]

5-tasainen laatoitus, 4 tyyppiä kärkipisteitä (2:1:1:1)

On 94 5-homogeenistä laatoitusta, joissa on 4 erilaista kärkeä.

5 yhtenäistä laatoitusta (2:1:1:1)

[3 6 ; 33434; (3446)2; 46.12]	[3 6 ; 33434; 3446; (46.12)2]	[3 6 ; 33434; 3464; (46.12)2]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (334,12)2; 3464]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 334,12; 3464]
[3 6 ; 33434; (334,12)2; 3464]	[3 6 ; 33434; 334,12; (3.12.12)2]	[3 6 ; 3 4 6; (3 3 4 2 )2; 334.12]	[3 6 ; 33434; 343,12; (3.12.12)2]	[(3 3 4 2 )2; 334,12; 343,12; 3.12.12]
[(3 3 4 2 )2; 334,12; 343,12; 3.12.12]	[(3 3 4 2 )2; 334,12; 343,12; 4 4 ]	[33434; 3 2 6 2 ; (3446)2; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 33434; 4 4 ]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 33434; 4 4 ]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (3464)2; 3446]	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3464; (3446)2]	[33434; 3 2 6 2 ; 3464; (3446)2]	[3 6 ; 33434; (3446)2; 3636]	[3 3 4 2 ; 33434; 3464; (3446)2]
[3 6 ; 33434; (3 2 6 2 )2; 3446]	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; (3464)2; 3446]	[33434; 3 2 6 2 ; (3464)2; 3446]	[3 4 6; 3 3 4 2 ; (3464)2; 3446]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 33434; 3464]
[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 33434; 3464]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434)2; 3464]	[( 36 )2; 3 3 4 2 ; 33434; 3464]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434)2; 3464]	[( 36 )2; 3 3 4 2 ; 33434; 334.12]
[3 6 ; 33434; (334,12)2; 343.12]	[( 36 )2; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 33434]	[( 36 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]	[3 6 ; (3 4 6) 2; 3 2 6 2 ; 6 3 ]	[( 36 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636]	[3 6 ; (3 4 6) 2; 3 2 6 2 ; 3636]	[( 36 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (3636)2]	[3 6 ; (3 4 6) 2; 3 2 6 2 ; 3636]
[3 6 ; (3 4 6) 2; 3 2 6 2 ; 3636]	[3 6 ; (3 4 6) 2; 3 2 6 2 ; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]
[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 6 3 ]	[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]	[(3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ]	[( 36 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]	[( 36 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]	[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 6 3 ]	[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]
[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]	[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]	[3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; (6 3 )2]	[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (6 3 )2]
[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (6 3 )2]	[3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 )2]	[3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 )2]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)2; 4 4 ]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)2; 4 4 ]
[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (4 4 )2]	[3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; (4 4 )2]	[3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 )2]	[3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 )2]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)2; 4 4 ]
[3 2 6 2 ; 3446; (3636)2; 4 4 ]	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (4 4 )2]	[3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; (4 4 )2]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3636; 4 4 ]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (3446)2; 3636]
[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446; 3636]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446; 3636]	[( 36 )2; 3 4 6; 3446; 3636]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (3446)2; 3636]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446; 3636]
[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446; 3636]	[( 36 )2; 3 4 6; 3446; 3636]	[( 36 )2; 3 3 4 2 ; 3446; 3636]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3446; (3636)2]	[3 4 6; 3 3 4 2 ; (3446)2; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3 2 6 2 ; 3636]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3 2 6 2 ; 3636]	[3 6 ; (3 4 6) 2; 3 3 4 2 ; 3446]	[3 6 ; (3 4 6) 2; 3 3 4 2 ; 3446]
[3 6 ; (3 4 6) 2; 3 3 4 2 ; 3446]	[3 6 ; 3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3 2 6 2 ]	[( 36 )2; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3636]	[( 36 )2; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3636]

5-tasainen laatoitus, 3 tyyppiä kärkipisteitä (3:1:1) ja (2:2:1)

5-yhtenäisiä laattoja on 149 kpl, joissa on kolme erilaista kärkeä, joista 60:ssä on kärkityypit suhteessa 3:1:1 ja 89:ssä 2:2:1.

5 yhtenäistä laatoitusta (3:1:1)

[3 6 ; 334,12; (46.12)3]	[( 36 )2; (3 3 4 2 )2; 3464]	[(3 3 4 2 )2; 334,12; (3464)2]	[3 6 ; (33434)2; (3464)2]	[3 3 4 2 ; (33434)2; (3464)2]
[3 3 4 2 ; (33434)2; (3464)2]	[3 3 4 2 ; (33434)2; (3464)2]	[(33434)2; 343,12; (3464)2]	[3464; 3446; (46.12)3]	[3 6 ; (334,12)3; 46.12]
[334,12; 343,12; (3.12.12)3]	[3 6 ; (33434)3; 343.12]
[3 2 6 2 ; 3636; (6 3 )3]	[3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )3]	[3 6 ; (3 2 6 2 )3; 6 3 ]	[3 6 ; (3 2 6 2 )3; 6 3 ]	[3 2 6 2 ; (3636)3; 6 3 ]
[3446; 3636; (4 4 )3]	[3446; 3636; (4 4 )3]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )3]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )3]	[3446; (3636)3; 4 4 ]
[3446; (3636)3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[( 36 )3; 3 3 4 2 ; 4 4 ]
[( 36 )3; 3 3 4 2 ; 4 4 ]	[3446; 3636; (4 4 )3]	[3446; 3636; (4 4 )3]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )3]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )3]
[(3 3 4 2 )3; 3 2 6 2 ; 3446]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)3]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)3]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)3]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)3]
[3446; (3636)3; 4 4 ]	[3446; (3636)3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]
[( 36 )3; 3 3 4 2 ; 4 4 ]	[( 36 )3; 3 3 4 2 ; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]
[(3 3 4 2 )3; 3446; 3636]	[(3 3 4 2 )3; 3446; 3636]	[3 4 6; (3 3 4 2 )3; 3446]	[( 36 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ]	[( 36 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ]
[( 36 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ]	[3 4 6; (3 2 6 2 )3; 3636]	[3 4 6; (3 2 6 2 )3; 3636]	[(3 4 6)3; 3 2 6 2 ; 3636]	[(3 4 6)3; 3 2 6 2 ; 3636]
[( 36 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ]	[( 36 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ]	[(3 4 6)3; 3 2 6 2 ; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; (3636)3]	[3 6 ; 3 4 6; (3636)3]
[3 6 ; 3 4 6; (3636)3]	[3 6 ; 3 4 6; (3636)3]	[( 36 )3; 3 4 6; 3636]	[( 36 )3; 3 4 6; 3636]	[3 6 ; (3 4 6) 3; 3636]

5 yhtenäistä laatoitusta (2:2:1)

[(3446)2; (3636)2; 46.12]	[3 6 ; (3 2 6 2 )2; (6 3 )2]	[(3 2 6 2 )2; (3636)2; 6 3 ]	[(3 4 6)2; (3 2 6 2 )2; 6 3 ]	[3 6 ; (3 2 6 2 )2; (6 3 )2]
[( 36 )2; (3 3 4 2 )2; 33434]	[( 36 )2; 3 3 4 2 ; (33434)2]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; (33434)2]	[( 36 )2; 3 3 4 2 ; (33434)2]	[( 36 )2; 3 3 4 2 ; (33434)2]
[(3 2 6 2 )2; 3636; (6 3 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[3446; (3636)2; (4 4 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]
[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[3446; (3636)2; (4 4 )2]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 )2]	[( 36 )2; 3 3 4 2 ; (4 4 )2]	[( 36 )2; 3 3 4 2 ; (4 4 )2]
[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]
[3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 )2]	[( 36 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[3446; (3636)2; (4 4 )2]
[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[3446; (3636)2; (4 4 )2]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 )2]	[( 36 )2; 3 3 4 2 ; (4 4 )2]
[( 36 )2; 3 3 4 2 ; (4 4 )2]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 )2]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[( 36 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]
[( 36 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]	[( 36 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]	[( 36 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]	[(33434)2; 3 2 6 2 ; (3446)2]	[3 3 4 2 ; (3 2 6 2 )2; (3446)2]
[3 3 4 2 ; (3 2 6 2 )2; (3446)2]	[3 2 6 2 ; (3446)2; (3636)2]	[(3 2 6 2 )2; 3446; (3636)2]	[(3 2 6 2 )2; 3446; (3636)2]	[(3464)2; (3446)2; 3636]
[3 2 6 2 ; (3446)2; (3636)2]	[3 2 6 2 ; (3446)2; (3636)2]	[(3 4 6)2; (3446)2; 3636]	[(3 4 6)2; (3446)2; 3636]	[(3 4 6)2; (3446)2; 3636]
[(3 4 6)2; (3446)2; 3636]	[(3 3 4 2 )2; (3446)2; 3636]	[(3 3 4 2 )2; (3446)2; 3636]	[(3 4 6)2; (3 3 4 2 )2; 3446]	[(3 4 6)2; 3 3 4 2 ; (3446)2]
[( 36 )2; (3 4 6) 2; 3 2 6 2 ]	[3 6 ; (3 4 6) 2; (3 2 6 2 )2]	[( 36 )2; 3 4 6; (3 2 6 2 )2]
[3 6 ; (3 4 6) 2; (3 2 6 2 )2]	[3 4 6; (3 2 6 2 )2; (3636)2]	[(3 4 6)2; (3 2 6 2 )2; 3636]	[3 6 ; (3 4 6) 2; (3 2 6 2 )2]	[(3 4 6)2; 3 2 6 2 ; (3636)2]
[(3 4 6)2; (3 2 6 2 )2; 3636]	[( 36 )2; (3 4 6) 2; 3 2 6 2 ]	[( 36 )2; (3 4 6) 2; 3 2 6 2 ]	[( 36 )2; (3 4 6) 2; 3636]	[( 36 )2; (3 4 6) 2; 3636]
[3 6 ; (3 4 6) 2; (3 3 4 2 )2]	[( 36 )2; (3 4 6) 2; 3 2 6 2 ]	[3 6 ; (3 4 6) 2; (3 2 6 2 )2]	[3 6 ; (3 4 6) 2; (3 2 6 2 )2]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; (3636)2]
[3 4 6; (3 3 4 2 )2; (3636)2]	[( 36 )2; 3 4 6; (3636)2]	[( 36 )2; (3 4 6) 2; 3636]	[( 36 )2; 3 3 4 2 ; (33434)2]

5-homogeeninen laatoitus, 2 tyyppistä kärkiä (4:1) ja (3:2)

On 74 5-yhtenäistä laatoitusta, joissa on 2 kärkityyppiä, 27 laatoitusta 4:1-suhteella ja 47 laatoitusta, joiden suhde on 3:2.

5-tasainen laatoitus (4:1)

[(3464)4; 46.12]	[343,12; (3.12.12)4]	[3 6 ; (33434)4]	[3 6 ; (33434)4]	[( 36 )4; 3 4 6]
[( 36 )4; 3 4 6]	[( 36 )4; 3 4 6]	[3 6 ; (3 4 6) 4]	[3 2 6 2 ; (3636)4]	[(3 4 6)4; 3 2 6 2 ]
[(3 4 6)4; 3 2 6 2 ]	[(3 4 6)4; 3636]	[3 2 6 2 ; (3636)4]	[3446; (3636)4]	[3446; (3636)4]
[(3 3 4 2 )4; 33434]	[3 3 4 2 ; (33434)4]
[3 3 4 2 ; (4 4 )4]	[3 3 4 2 ; (4 4 )4]	[(3 3 4 2 )4; 4 4 ]	[(3 3 4 2 )4; 4 4 ]	[(3 3 4 2 )4; 4 4 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 )4]	[3 6 ; (3 3 4 2 )4]	[3 6 ; (3 3 4 2 )4]	[( 36 )4; 3 3 4 2 ]	[( 36 )4; 3 3 4 2 ]

On olemassa 29 5-homogeenista laatoitusta, joiden kärkisuhde on 3:2.

5-tasainen laatoitus (3:2)

[(3464)2; (46.12)3]	[(3464)2; (46.12)3]	[(3464)3; (3446)2]	[(33434)2; (3464)3]	[(33434)3; (3464)2]
[( 36 )2; (3 4 6) 3]	[( 36 )2; (3 4 6) 3]	[( 36 )3; (3 4 6)2]	[( 36 )3; (3 4 6)2]	[( 36 )3; (3 4 6)2]
[( 36 )3; (3 4 6)2]	[( 36 )2; (3 4 6) 3]	[( 36 )2; (3 4 6) 3]	[( 36 )2; (3 4 6) 3]
[(3 2 6 2 )2; (3636)3]	[(3 4 6)3; (3636)2]	[(3 4 6)3; (3636)2]	[(3 4 6)2; (3636)3]
[(3446)3; (3636)2]	[(3446)2; (3636)3]	[(3446)3; (3636)2]	[(3446)2; (3636)3]	[(3446)2; (3636)3]
[(3 3 4 2 )3; (33434)2]	[(3 3 4 2 )3; (33434)2]	[(3 3 4 2 )2; (33434)3]	[(3 3 4 2 )2; (33434)3]
[(3 3 4 2 )2; (4 4 )3]	[(3 3 4 2 )2; (4 4 )3]	[(3 3 4 2 )2; (4 4 )3]	[(3 3 4 2 )3; (4 4 )2]	[(3 3 4 2 )2; (4 4 )3]
[(3 3 4 2 )3; (4 4 )2]	[(3 3 4 2 )2; (4 4 )3]	[(3 3 4 2 )2; (4 4 )3]	[(3 3 4 2 )3; (4 4 )2]	[(3 3 4 2 )3; (4 4 )2]
[( 36 )2; (3 3 4 2 )3]	[( 36 )2; (3 3 4 2 )3]	[( 36 )2; (3 3 4 2 )3]	[( 36 )2; (3 3 4 2 )3]	[( 36 )3; (3 3 4 2 )2]
[( 36 )3; (3 3 4 2 )2]	[( 36 )3; (3 3 4 2 )2]	[( 36 )3; (3 3 4 2 )2]	[( 36 )3; (3 3 4 2 )2]	[( 36 )3; (3 3 4 2 )2]

korkeamman asteen k-uniform laatoitus

k -uniform laatoitus on listattu 6 asti. Euklidisessa tasossa on 673 6-tasaista laatoitusta. Brian Galebachin tutkimus toisti Krotenhirdtin luettelon 10 6-homogeenisesta laatoituksesta, joissa on 6 eri kärkityyppiä, 92, jossa on 5 huipputyyppiä, 187, jossa on 4 kärkityyppiä, 284, jossa on 3 huipputyyppiä, ja 100, jossa on 2 huipputyyppiä.

Mosaiikit laatoista, joita ei ole yhdistetty reunasta reunaan

Kuperat säännölliset polygonit voivat muodostaa tasolaatoitusta, kun polygoneja ei ole yhdistetty reunasta reunaan. Tällaisia laatoituksia voidaan pitää reunasta reunaan laatoitusina, mutta polygonit ovat epäsäännöllisiä ja niiden reunat ovat samalla linjalla.

Perheitä on seitsemän, joiden parametri määrittää vierekkäisten laattojen reunojen limityssuhteen tai eri laattojen reunojen pituuksien suhteen. Nämä kaksi perhettä muodostuvat neliöiden siirrosta, vakio tai siksak. Grünbaum ja Shepard kutsuvat näitä laattoja homogeenisiksi , vaikka tämä on ristiriidassa Coxeterin homogeenisuuden määritelmän kanssa, joka vaatii reunasta reunaan -yhteyden [7] . Tällaiset tasakulmaiset laatoitukset ovat itse asiassa topologisesti identtisiä tasaisten laattojen kanssa, joilla on erilaiset geometriset suhteet.

Kuperien säännöllisten monikulmioiden jaksolliset isogonaaliset laatoitukset
, joita ei ole yhdistetty reunasta reunaan

yksi	2	3	neljä	5	6	7
Nelikulmioiden rivit vaakasuoralla siirrolla		Kolmioiden rivit vaakasuuntaisilla siirroilla	Mosaiikki neliöistä	Jokaisen kolmion ympärillä on kolme kuusikulmiota	Kuusi kolmiota ympäröivät kutakin kuusikulmiota	Kolmiot kolmessa koossa
cm (2*22)	p2 (2222)	cm (2*22)	p4m (*442)	p6 (632)		p3 (333)
Kuusikulmainen mosaiikki		Neliön muotoinen laatoitus (degeneroitunut)	Katkaistu neliöparketti	Katkaistu kuusikulmainen parketti	Kuusikulmainen mosaiikki	Kolmikulmainen mosaiikki

Katso myös

Tasaiset laatoitukset hyperbolisella tasolla
Luettelo kuperista yhtenäisistä laatoista
Wythoff-symboli
laatoitus
Taustakuva ryhmä
Platoniset kiinteät aineet
Puolisäännöllinen monitahoinen (mukaan lukien Archimedean kiinteät aineet )
Lobatševskin geometria
Penrosen mosaiikki
Tesselaatio suorakulmioilla

Muistiinpanot

↑ Critchlow, 2000 , s. 60-61.
↑ k-uniform laatoitus säännöllisillä polygoneilla Arkistoitu 30. kesäkuuta 2015. Nils Lengren, 2009
↑ Critchlow, 2000 , s. 62-67.
↑ Grünbaum ja Shephard 1990 , s. 65-67.
↑ In Search of Demiregular Tilings (downlink) . Käyttöpäivä: 16. tammikuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 7. toukokuuta 2016. (määrätön)
↑ Chavey, 1989 .
↑ Laatoitukset tavallisten polygonien mukaan Arkistoitu 3. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa s.236

Grünbaum, Branko , G. C. Shephard Laatoitukset ja kuviot. - W. H. Freeman and Company, 1990. - ISBN 0-7167-1193-1 .
Branko Grünbaum, Geoffrey C. Shephard. Laatoitus säännöllisillä polygoneilla // Math. Mag.. - 1977. - T. 50 . — S. 227–247 . - doi : 10.2307/2689529 .
Branko Grünbaum, GC Shephard. Tason yhdeksänkymmentäyksi isogonaalista laatoitustyyppiä // Trans. Olen. matematiikka. Soc.. - 1978. - T. 252 . — S. 335–353 . - doi : 10.1090/S0002-9947-1978-0496813-3 .
I. Debroey, F. Landuyt. Equitransitiiviset reunasta reunaan laatoitukset // Geometriae Dedicata. - 1981. - T. 11 , no. 1 . — s. 47–60 . - doi : 10.1007/BF00183189 .
Ding Ren, John R. Reay. Rajaominaisuus ja Pickin lause Arkhimedoksen tasolaatoituksessa // J. Combinat. Teoria A. - 1987. - T. 44 , no. 1 . - S. 110-119 . - doi : 10.1016/0097-3165(87)90063-X .
D. Chavey. Laatoitus säännöllisillä polygoneilla — II: Laatoitusluettelo // Tietokoneet ja matematiikka sovelluksineen. - 1989. - T. 17 . — S. 147–165 . - doi : 10.1016/0898-1221(89)90156-9 .
Keith Critchlow. Tilaa avaruudessa: Suunnittelun lähdekirja. - New York,: Thames & Hudson, 2000. - ISBN 0-500-34033-1 . Uusintapainos 1969 Lontoo ISBN=9-780-500-34033-2
Duncan MacLaren Young Sommerville. Johdatus n - mitan geometriaan. - Dover Publications, 1958. Luku X: Tavalliset polytoopit
P. = Prea. Etäisyyssekvenssit ja perkolaatiokynnykset Archimedean Tilingsissa // Mathl. Comput. Mallintaminen. - 1997. - T. 26 . — S. 317–320 . - doi : 10.1016/S0895-7177(97)00216-1 .
Jurij Kovic. Symmetriatyyppiset graafit platonisista ja arkhimedeaisista kiinteistä aineista // Math. Commun.. - 2011. - V. 16 , no. 2 . — S. 491–507 .
Daniel Pellicer, Gordon Williams. Arkhimedeen laattojen minimikannet // El. J. Combinat. - 2012. - T. 19 , nro 3 . — C. P6 .
Dale Seymour, Jill Britton. Johdatus Tessellaatioihin . - Palo Alto: Dale Seymour Publications, 1989. - S. 50-57 . — ISBN 978-0866514613 .

Linkit

Euklidiset ja yleiset laatoituslinkit:

hollantilainen, Steve. Yhtenäiset laatat (linkki ei saatavilla) . Haettu 9. syyskuuta 2006. Arkistoitu alkuperäisestä 9. syyskuuta 2006. (määrätön)
Mitchell, K. Puolisäännölliset laatat . Haettu 9. syyskuuta 2006. (määrätön)
Weisstein, Eric W. Tessellation (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Semiregular tessellation (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
- Weisstein, Eric W. Demiregular tessellation (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

geometriset mosaiikit

Jaksottainen

Pythagoraan
Rombinen
Schwartzin kolmio
Suorakulmainen
- Domino
Viisikulmainen
Homogeeninen mosaiikki
Honeycombs
- Väritys
- Kupera
- Jaettu mosaiikki
Tasainen kristallografinen ryhmä
Wythoffin rakentaminen

jaksoton

Ammann-Binker
Ajoittainen sarja mosaiikkilaattoja
- Lista
Yksi laatta haaste
- Sokolara - Taylor
Gilbert
Penrose
väkkärä
Domed
Jakoiset ja itseliimautuvat sarjat
- Sfinksi
Truche

Muut

Ei -isoedrinen ja isohedraalinen
Arkkitehtoninen ja heijastava
Circle Limit III
Tietokonegrafiikka
hunajakennoja
Reuna transitiivinen
Paketti
Tehtävät
Mosaiikkilaatat
- Conwayn kriteeri
- Girih
Lentokoneen säännöllinen jako
Säännöllinen hila
Korvaukset
Voronoin kaavio
Foderberg

Vertex- konfiguraation mukaan

Pallomainen	2n _ 3 3 n V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _
Oikea	2∞ _ 3 6 4 4 6 3
puoliksi oikein	3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 .4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2 .∞ 4.6.12 4.8 2
Hyperbolinen _	3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 3 8 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3.4.6 2.4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3.7) 2 (3.8) 2 3.14 2 3.16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 4 5 4 6 4 7 4 8 4∞ _ (4.5) 2 (4.6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4.7) 2 (4.8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4.14 2 4.16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5.8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6.8) 2 6.8 2 6.10 2 6.12 2 6.16 2 7 3 74 _ 7 7 7.6 2 7.8 2 7.14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8.6 2 8.16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞.6 2 ∞.8 2