Osittaisdifferentiaaliyhtälö

Osittaisdifferentiaaliyhtälö (erikoistapauksia tunnetaan myös matemaattisen fysiikan yhtälöinä , UMF ) on differentiaaliyhtälö, joka sisältää useiden muuttujien tuntemattomia funktioita ja niiden osittaisjohdannaisia .

Johdanto

Tarkastellaan suhteellisen yksinkertaista osittaisdifferentiaaliyhtälöä:

{\frac {\partial }{\partial y}}u(x,y)=0\,.

Tästä suhteesta seuraa , että funktion arvo ei riipu . Voimme asettaa sen yhtä suureksi kuin mielivaltainen funktio . Siksi yhtälön yleinen ratkaisu on seuraava: $u(x,y)$ $y$ $x$

u(x,y)=f(x),

missä on mielivaltainen muuttujan funktio . Samankaltaisella tavallisella differentiaaliyhtälöllä on muoto: $f(x)$ $x$

{\frac {dv(x)}{dx}}=0

ja hänen ratkaisunsa

v(x)=c,

missä c on mielivaltainen vakio (riippumaton arvosta ). Nämä kaksi esimerkkiä osoittavat, että tavallisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu sisältää mielivaltaisia vakioita, mutta osittaisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu sisältää mielivaltaisia funktioita. Osittaisdifferentiaaliyhtälön ratkaisu ei yleisesti ottaen ole ainutlaatuinen. Yleisessä tapauksessa lisäehdot määritellään tarkasteltavan alueen rajalla. Esimerkiksi yllä olevan yhtälön ratkaisu (funktio ) on yksiselitteisesti määritelty, jos se on määritelty rivillä . $x$ $f(x)$ $u$ $y = 0$

Historia

Historioitsijat löysivät ensimmäisen osittaisen differentiaaliyhtälön Eulerin pintateoriaa koskevista kirjoista , jotka juontavat juurensa 1734-1735 (julkaistu vuonna 1740). Nykyaikaisessa merkinnässä se näytti tältä:

{\frac {\partial z}{\partial x}}=f(x,y)

Vuodesta 1743 lähtien d'Alembert liittyi Eulerin työhön ja löysi yleisen ratkaisun kielen värähtelyjen aaltoyhtälöön . Seuraavina vuosina Euler ja d'Alembert julkaisivat useita menetelmiä ja tekniikoita tiettyjen osittaisten differentiaaliyhtälöiden tutkimiseksi ja ratkaisemiseksi. Nämä teokset eivät ole vielä luoneet täydellistä teoriaa.

Tämän teeman kehityksen toinen vaihe voidaan ajoittaa vuosille 1770-1830. Lagrangen , Cauchyn ja Jacobin syvälliset tutkimukset kuuluvat tähän ajanjaksoon . Ensimmäiset systemaattiset osittaisten differentiaaliyhtälöiden tutkimukset aloitti Fourier . Hän sovelsi uutta menetelmää merkkijonoyhtälön ratkaisuun - muuttujien erottelumenetelmää , joka myöhemmin sai nimensä.

Sophus Lie ehdotti 1870-luvulla uutta yleistä lähestymistapaa aiheeseen, joka perustuu jatkuvien muunnosryhmien teoriaan .

1800-luvun lopulla osittaisen differentiaaliyhtälön käsite yleistettiin tapaukseen, jossa on ääretön joukko tuntemattomia muuttujia ( osittaisfunktionaalinen differentiaaliyhtälö ).

Epälineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden olemassaolon todistamis- ja ratkaisujen löytämisongelmia ratkaistaan käyttämällä tasaisten monistojen teoriaa , differentiaaligeometriaa , kommutatiivista ja homologista algebraa [1] . Näitä menetelmiä käytetään fysiikassa Lagrangin ja Hamiltonin formalismin tutkimuksessa, korkeampien symmetrioiden ja säilymislakien tutkimuksessa [1] .

Luokitus

Mitta

Sama kuin riippumattomien muuttujien lukumäärä . Täytyy olla vähintään 2 (1, saadaan tavallinen differentiaaliyhtälö ).

Lineaarisuus

On lineaarisia ja epälineaarisia yhtälöitä. Lineaarinen yhtälö voidaan esittää tuntemattomien funktioiden derivaattojen lineaarisena yhdistelmänä. Kertoimet voivat tässä tapauksessa olla joko vakioita tai tunnettuja funktioita.

Lineaariyhtälöitä on tutkittu hyvin, ja miljoonia palkintoja on myönnetty tietyntyyppisten epälineaaristen yhtälöiden ( millennium-ongelmat ) ratkaisemisesta.

Homogeenisuus

Yhtälö on epähomogeeninen, jos on termi, joka ei riipu tuntemattomista funktioista.

Tilaa

Yhtälön järjestys määräytyy derivaatan maksimijärjestyksen mukaan. Kaikkien muuttujien tilaukset ovat tärkeitä.

Toisen kertaluvun lineaaristen yhtälöiden luokitus

Toisen kertaluvun lineaariyhtälöt osittaisissa derivaatoissa jaetaan parabolisiin , elliptisiin ja hyperbolisiin .

Kaksi riippumatonta muuttujaa

Toisen asteen lineaarinen yhtälö, joka sisältää kaksi riippumatonta muuttujaa, on muotoa:

A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y))+C{\ frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+...=0,

missä ovat kertoimet riippuvat muuttujista ja , ja ellipsi tarkoittaa termejä riippuen ja ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat: ja . Tämä yhtälö on samanlainen kuin kartioleikkauksen yhtälö : $A,\;B,\;C$ $x$ $y$ $x,\;y,\;u$ ${\partial u}/{\partial x}$ ${\partial u}/{\partial y}$

Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.

Aivan kuten kartioleikkaukset jaetaan ellipseihin , paraabeleihin ja hyperboleihin , erottimen merkistä riippuen , toisen asteen yhtälöt tietyssä pisteessä luokitellaan: $D=B^{2}-AC$

$D=B^{2}-AC\,>0$ - Hyperbolinen yhtälö ,
$D=B^{2}-AC\,<0$ - elliptinen yhtälö ,
$D=B^{2}-AC\,=0$ — Parabolinen yhtälö (tässä oletetaan, että kertoimet eivät katoa tietyssä pisteessä samaan aikaan). $A,\;B,\;C$

Siinä tapauksessa, että kaikki kertoimet ovat vakioita, yhtälöllä on sama tyyppi muuttujien ja tason kaikissa kohdissa . Jos kertoimet riippuvat jatkuvasti ja , pisteiden joukko, joissa annettu yhtälö on hyperbolinen (elliptinen) muodostaa avoimen alueen tasolle, jota kutsutaan hyperboliseksi (elliptiseksi), ja joukko pisteitä, joissa yhtälö on parabolinen. tyyppi on suljettu. Yhtälöä kutsutaan sekatyyppiseksi , jos se on hyperbolinen joissakin tason pisteissä ja elliptinen joissakin pisteissä. Tässä tapauksessa parabolisilla pisteillä on taipumus muodostaa viiva, jota kutsutaan tyypin muutosviivaksi tai rappeutumisviivaksi . $A,\;B,\;C$ $x$ $y$ $A,\;B,\;C$ $x$ $y$

Enemmän kuin kaksi riippumatonta muuttujaa

Yleisessä tapauksessa, kun toisen kertaluvun yhtälö riippuu monista riippumattomista muuttujista:

\sum _{{i=1}}^{{n}}\sum _{{j=1}}^{{n}}a_{{ij}}(x_{1},\cdots ,x_{n }){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j))}+F\left(x_{1},\cdots ,x_{n},u,{ \frac {\partial u}{\partial x_{1))},\cdots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n))}\right)=0,

se voidaan luokitella [2] tiettyyn pisteeseen analogisesti vastaavan toisen asteen muodon kanssa : $M_{0}(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})$

\sum _{{i=1}}^{{n}}\sum _{{j=1}}^{{n}}a_{{ij}}(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})t_{i}t_{j}.

Ei-degeneroitu lineaarinen muunnos

s_{i}=\sum _{{j=1}}^{{n}}A_{{ij}}t_{j},i=1,2\cdots n,\det \left\|A_{{ ij}}\right\|\neq 0

neliömuoto voidaan aina pelkistää kanoniseen muotoon:

\sum _{{i=1}}^{{n}}\lambda _{i}s_{i}^{2}.

Lisäksi inertialauseen mukaan positiivisten, negatiivisten ja nollakertoimien lukumäärä neliömuodon kanonisessa muodossa on invariantti eikä se riipu lineaarisesta muutoksesta. Tämän perusteella tehdään tarkasteltavan yhtälön luokitus (pisteessä ): $\lambda_i$ $M_{0}$

Jos jossain pisteessä kanonisen muodon toisen asteen muodolla on kaikki saman merkin kertoimet, niin tässä pisteessä olevaa yhtälöä kutsutaan elliptistä tyyppiä olevaksi yhtälöksi . $M_{0}$
Jos kanonisen muodon toisen asteen muodolla on eri merkkien kertoimia, mutta ne ovat kaikki erilaisia kuin , niin yhtälöä tässä vaiheessa kutsutaan hyperbolisen tyypin yhtälöksi . $M_{0}$ $0$
Jos kanonisessa muodossa olevalla neliömuodolla on vähintään yksi kerroin, joka on yhtä suuri kuin piste, niin tässä pisteessä olevaa yhtälöä kutsutaan parabolityyppiseksi yhtälöksi . $M_{0}$ $0$

Useiden riippumattomien muuttujien tapauksessa voidaan tehdä tarkempi luokittelu (jolle ei ole tarvetta kahden riippumattoman muuttujan tapauksessa):

Hyperbolinen tyyppi voidaan luokitella edelleen:
1. Normaali hyperbolinen tyyppi , jos yhdellä kertoimella on yksi merkki ja muilla toinen.
2. Ultrahyperbolinen tyyppi , jos sekä yhden että toisen merkin kertoimet ovat enemmän kuin yksi.
Parabolinen tyyppi voidaan luokitella edelleen:
1. Elliptinen-parabolinen tyyppi , jos vain yksi kerroin on nolla ja loput ovat samanmerkkisiä.
2. Hyperbolinen-parabolinen tyyppi , jos vain yksi kerroin on nolla ja muilla on eri etumerkit. Kuten hyperbolinen tyyppi, se voidaan jakaa:
  1. Normaali hyperbolinen-parabolinen tyyppi
  2. Ultrahyperbolinen-parabolinen tyyppi
3. Ultraparabolinen tyyppi , jos useampi kuin yksi kerroin on nolla. Tässä myös lisäluokittelu on mahdollista nollasta poikkeavien kertoimien etumerkeistä riippuen.

Ratkaisun olemassaolo ja ainutlaatuisuus

Vaikka vastauksella kysymykseen tavallisen differentiaaliyhtälön ratkaisun olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta on täysin tyhjentävä vastaus ( Picard-Lindelöfin lause ), tähän kysymykseen ei ole yksiselitteistä vastausta osittaiselle differentiaaliyhtälölle. On olemassa yleinen lause ( Cauchyn-Kovalevskajan teoreema ), jonka mukaan Cauchyn ongelmalla mille tahansa osittaisdifferentiaaliyhtälölle, joka on analyyttinen tuntemattomien funktioiden ja niiden derivaattojen suhteen, on ainutlaatuinen analyyttinen ratkaisu [3] . On kuitenkin esimerkkejä lineaarisista osittaisdifferentiaaliyhtälöistä, joiden kertoimilla on kaiken asteiset derivaatat ja joilla ei ole ratkaisua ( Lévy [ 1957 ). Vaikka ratkaisu olisi olemassa ja se on ainutlaatuinen, sillä voi olla ei-toivottuja ominaisuuksia.

Harkitse Cauchyn tehtävien sarjaa (riippuen ) Laplacen yhtälöstä : $n$

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}=0 ,

alkuehdoilla : _

u(x,0)=0,

{\frac {\partial u}{\partial y))(x,0)={\frac {\sin nx}{n)),

missä on kokonaisluku. Toiminnon derivaatta muuttujan suhteen pyrkii tasaisesti kasvamaan , mutta yhtälön ratkaisu on $n$ $u$ $y$ $0$ $x$ $n$

u(x,y)={\frac {(\mathrm {sh} \,ny)(\sin nx)}{n^{2))}.

Ratkaisu pyrkii äärettömyyteen, ellei minkä tahansa arvon nollasta poikkeavan arvon kerrannainen . Cauchyn ongelmaa Laplacen yhtälölle kutsutaan huonosti asetetuksi tai virheelliseksi , koska ratkaisulla ei ole jatkuvaa riippuvuutta lähtötiedoista. $nx$ $\pi$ $y$

Epälineaaristen osittaisdifferentiaaliyhtälöiden järjestelmissä todisteet ratkaisujen olemassaolosta ja kaikkien ratkaisujen monistojen etsiminen suoritetaan käyttämällä sileän monistojen teoriaa , differentiaaligeometriaa , kommutatiivista ja homologista algebraa [1] . Näitä menetelmiä käytetään fysiikassa Lagrangin ja Hamiltonin formalismin tutkimuksessa, korkeampien symmetrioiden ja säilymislakien tutkimuksessa [1] .

Esimerkkejä

Yksiulotteinen lämpöyhtälö

Lämmön etenemistä homogeenisessa sauvassa kuvaava yhtälö on parabolista tyyppiä ja muotoa

{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t))=\alpha ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))))

missä on lämpötila, ja on positiivinen vakio, joka kuvaa lämmön etenemisnopeutta. Cauchyn ongelma esitetään seuraavasti: ${\näyttötyyli u(t,x)}$ $\alpha$

$u(0,x)\,=f(x)$ ,

missä on mielivaltainen funktio. $f(x)$

Merkkijonon värähtelyyhtälö

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

Yhtälö on hyperbolista tyyppiä. Tässä on merkkijonon siirtymä tasapainoasennosta tai ylimääräinen ilmanpaine putkessa tai putken sähkömagneettisen kentän suuruus, ja se on aallon etenemisnopeus. Cauchyn ongelman muotoilemiseksi alkuajanhetkellä tulee määrittää merkkijonon siirtymä ja nopeus alkuhetkellä: ${\näyttötyyli u(t,x)}$ $c$

u(0,x)=f(x),

{\dfrac {\partial u}{\partial t))(0,x)=g(x),

Kaksiulotteinen Laplacen yhtälö

Laplacen yhtälö kahden muuttujan tuntemattomalle funktiolle on muotoa:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}=0$

Elliptinen tyyppiyhtälö. Sen ratkaisuja kutsutaan harmonisiksi funktioiksi .

Suhde analyyttisiin funktioihin

Minkä tahansa kompleksisen muuttujan holomorfisen funktion reaali- ja imaginaariosat ovat konjugoituja harmonisia funktioita: ne molemmat täyttävät Laplacen yhtälön ja niiden gradientit ovat ortogonaalisia. Jos , niin Cauchy-Riemannin ehdot ilmoittavat seuraavaa: $f$ $z=x+iy$ $f=u+iv$

{\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y)),\quad {\frac {\partial v}{\partial x))= -{\frac {\partial u}{\partial y)),

Lisäämällä ja vähentämällä yhtälöt toisistaan, saamme:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}=0 ,\quad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2))}=0 .

Voidaan myös osoittaa, että mikä tahansa harmoninen funktio on jonkin analyyttisen funktion todellinen osa.

Rajaongelmat

Rajatehtävät asetetaan seuraavasti: etsi funktio , joka täyttää Laplacen yhtälön alueen kaikissa sisäpisteissä ja alueen rajalla - tietty ehto. Ehdon tyypistä riippuen erotetaan seuraavat raja-arvoongelmat: $u$ $S$ $\osittainen S$

$u|_{{\osittais S}}=\psi (x,y),\quad x,y\in \partial S$ - Dirichlet-ongelma
${\frac {\partial u}{\partial n)){\big |}_({\partial S))=\psi (x,y),\quad x,y\in \partial S$ - Neumannin ongelma

Matemaattisen fysiikan yhtälöiden ratkaiseminen

Tämän tyyppisten yhtälöiden ratkaisemiseen on olemassa kahdenlaisia menetelmiä:

analyyttinen, jossa tulos johdetaan erilaisilla matemaattisilla muunnoksilla;
numeerinen, jossa saatu tulos vastaa todellista annetulla tarkkuudella, mutta joka vaatii paljon rutiinilaskutoimituksia ja siksi voidaan suorittaa vain tietotekniikan (tietokoneen) avulla.

Analyyttinen ratkaisu

Matemaattisen fysiikan yhtälöiden analyyttisiä ratkaisuja voidaan saada monin eri tavoin. Esimerkiksi:

Greenin funktion käyttäminen ;
Käyttämällä Fourier-muuttujaerottelumenetelmää;
Potentiaaliteorian avulla ;
Käyttämällä Kirchhoffin kaavaa .

Nämä menetelmät on kehitetty erityyppisille yhtälöille ja joissakin yksinkertaisissa tapauksissa niiden avulla voidaan saada ratkaisu jonkin kaavan tai konvergentin sarjan muodossa, esimerkiksi merkkijonovärähtelyyhtälölle :

\Delta u=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2))}

u(x,t){\iso |}_{{x=0}}=u(x,t){\big |}_{{x=L}}=0

u(x,t){\big |}_{{t=0}}=f(x),\ {\dfrac {\partial u}{\partial t}}(x,t){\big |} _{{t=0}}=g(x)

Fourier-menetelmää käyttävä analyyttinen ratkaisu on muotoa:

u(x,t)\,=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}\left[A_{n}\cos \left({\dfrac {a\pi n}{ L}}t\oikea)+B_{n}\sin \left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)\right]\sin \left({\dfrac {\pi nx} {L}}\oikea)

A_{n}={\dfrac {2}{L}}\int \limits _{{0}}^{{L}}f(x)\sin \left({\dfrac {\pi nx}{L }}\right)dx,\quad B_{n}={\dfrac {2}{n\pi a}}\int \limits _{{0}}^{{L}}g(x)\sin \ vasen({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)dx

Numeerinen ratkaisu

Koska yksinkertaisellekaan yhtälölle ei aina ole mahdollista löytää analyyttistä ratkaisua monimutkaiselta alueelta, matemaattisen fysiikan yhtälöiden ratkaisemiseen on kehitetty monia menetelmiä. Jotkut niistä perustuvat differentiaalioperaattorin approksimaatioon joillakin lausekkeilla, toiset pelkistävät ongelman projektioksi tai variaatioksi ja ratkaisevat sen, joitain usein käytettyjä numeerisia menetelmiä ovat:

Jokaisella menetelmällä on omat ominaisuutensa ja omat tehtäväluokat, jotka on ratkaistava. Esimerkiksi värähtelyyhtälön äärellinen erotusratkaisu voidaan saada käyttämällä seuraavaa erotuskaaviota :

u_{i}^{{j+1}}={{\tau ^{2}a^{2} \h^{2}}}\left(u_{{i+1}}^{j} -2u_{i}^{j}+u_{{i-1}}^{j}\oikea)+2u_{i}^{j}-u_{i}^{{j-1}}

missä on aikaaskel ja avaruusaskel. $\tau$ $h$

Heikot ratkaisut

Jos osittaisdifferentiaaliyhtälö esitetään muodossa _ _ . _ _ _ _ _ _ $Lu=f$ $L$ $f$ $u(x)$ $\varphi$ $\int uL^{*}\varphi \,dx=\int f\varphi \,dx$ $L^{*}$

Viskositeettiliuos

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 Pommare, 1983 , s. 5.
↑ Sveshnikov A. G., Bogolyubov A. N., Kravtsov V. V. Luku II. Differentiaaliyhtälöiden luokittelu toisen kertaluvun osittaisissa derivaatoissa. // Matemaattisen fysiikan luentoja. — 2. painos, korjattu. ja ylimääräistä - M . : Moskovan valtionyliopiston kustantamo; Tiede, 2004. - S. 49. - 416 s. — ISBN 5-211-04899-7 .
↑ A.M. Nakhushev. Cauchyn–Kovalevskajan lause (englanniksi) (html). Springer Online (2001). - Cauchyn-Kovalevskajan lause. Käyttöpäivä: 9. tammikuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 12. helmikuuta 2012.
↑ L. Behrs, F. John, M. Schechter. Osittaisdifferentiaaliyhtälöt . - M .: Mir, 1966. - S. 146.

Kirjallisuus

Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Matemaattisen fysiikan yhtälöt. - 7. painos - M . : Moskovan valtionyliopiston kustantamo; Nauka, 2004. - 798 s. — ISBN 5-211-04843-1 .
Mizohata S. Osittaisten differentiaaliyhtälöiden teoria. - M .: Mir, 1977. - 504 s.
Demidov S. S. Differentiaaliyhtälöiden teorian synty osittaisilla derivaatoilla // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M . : Nauka , 1975. - Nro 20 . - S. 204-220 .
Pommare J. Osittaisdifferentiaaliyhtälöjärjestelmät ja Lie-pseudoryhmät. - M .: Mir, 1983. - 400 s.
Trev J. Luentoja lineaarisista osittaisdifferentiaaliyhtälöistä vakiokertoimilla. - M . : Mir, 1965. - 296 s.
Yhtälöiden matemaattinen fysiikka / V. S. Vladimirov // Suuri venäläinen tietosanakirja : [35 nidettä] / ch. toim. Yu. S. Osipov . - M . : Suuri venäläinen tietosanakirja, 2004-2017.

Linkit

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Bibliografisissa luetteloissa
BNF : 11931364s GND : 4044779-0 J9U : 987007552909105171 LCCN : sh85037912 LNB : 000087182 NDL : 00563088 NKC : ph123970

Matemaattinen fysiikka

Yhtälöiden tyypit

Yhtälötyypit

Reunaehdot

Matemaattisen fysiikan yhtälöt

Diffuusio ja konvektio	Lämpöyhtälö Diffuusioyhtälö Mason-Weaverin yhtälö
Hydrodynamiikka	Siirtoyhtälö Navier-Stokes yhtälöt Eulerin yhtälö Gromeka-Lamb yhtälö Pyörreyhtälö Burgers yhtälö Matalan veden yhtälöt Korteweg-de Vriesin yhtälö
Sähkömagnetismi	Maxwellin yhtälöt Helmholtzin yhtälö Landau-Lifshitzin yhtälö Seulottu Poisson-yhtälö
Kvanttimekaniikka	Schrödingerin yhtälö Heisenbergin yhtälö Rarita-Schwinger yhtälö Hartreen yhtälö Diracin yhtälö Klein-Gordonin yhtälö
Yleiset mallit	Jatkuvuusyhtälö aaltoyhtälö Fokker-Planck yhtälö Poissonin yhtälö

Ratkaisumenetelmät

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Ruudukkomenetelmät

Elementtimenetelmät	Elementtimenetelmä Galerkinin menetelmä Epäjatkuva Galerkin-menetelmä Moniasteinen äärellisten elementtien menetelmä Multigrid-menetelmä
Muut menetelmät	Äärillisen eron menetelmä Rajallisen tilavuuden menetelmä Godunovin menetelmä Rajaelementtimenetelmä

Ei-ruudukkomenetelmät

Yhtälötutkimus

liittyvät aiheet