SL(2;R)

SL(2,R) tai SL 2 (R) on ryhmä todellisia 2 × 2 -matriiseja , joilla on identiteettideterminantti :

{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )=\left\{\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right):a,b ,c,d\in \mathbf {R} {\mbox{ ja }}ad-bc=1\right\}.

Ryhmä on yksinkertainen todellinen valheryhmä, jossa on sovelluksia geometriassa , topologiassa , esitysteoriassa ja fysiikassa .

SL(2, R ) vaikuttaa kompleksiseen ylempään puolitasoon lineaaristen murto-osien muunnoksilla. Ryhmätoiminta kertoi tekijäryhmästä PSL(2,R) ( projektiivinen erityinen lineaarinen ryhmä R :n yli ). Tarkemmin, ${\näyttötyyli 2\kertaa 2}$

{\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} )=\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )/\{{\pm }E\))

jossa E tarkoittaa identiteettimatriisia . SL(2, R ) sisältää modulaarisen ryhmän PSL(2, Z ). ${\näyttötyyli 2\kertaa 2}$

Myös ryhmä SL(2, R ) liittyy läheisesti kaksinkertaiseen peittoryhmään Mp(2, R ), metaplektiseen ryhmään (jos tarkastellaan SL(2, R ) symplektisenä ryhmänä ).

Toinen asiaan liittyvä ryhmä on ryhmä reaalimatriiseja , joissa on determinantti . Tätä ryhmää käytetään kuitenkin yleisimmin modulaarisen ryhmän yhteydessä . $\mathrm {SL} ^{\pm }(2,\mathbf {R} )$ ${\näyttötyyli 2\kertaa 2}$ $\pm 1$

Kuvaus

SL(2, R ) on ryhmä kaikkia avaruuden R 2 lineaarisia muunnoksia , jotka säilyttävät orientoidun alueen . Ryhmä on isomorfinen symplektiselle ryhmälle Sp(2, R ) ja yleistetylle erikoisyksikköryhmälle SU(1,1). Ryhmä on myös isomorfinen yksikköpituisten koquaternionien ryhmän kanssa . Ryhmä säilyttää suuntautumattoman alueen - se voi säilyttää suuntautumisen. $\mathrm {SL} ^{\pm }(2,\mathbf {R} )$

PSL(2, R ) -tekijällä on useita mielenkiintoisia kuvauksia:

Tämä on ryhmä todellisen projektiivisen suoran suuntaa säilyttäviä projektiivisia muunnoksia . ${\displaystyle \mathbf {R} \cup \{\infty \))$
Se on yksikköympyrän konformisten automorfismien ryhmä .
Tämä on ryhmä hyperbolisen tason suuntaa säilyttäviä liikkeitä .
Tämä on kolmiulotteisen Minkowski-avaruuden rajoitettu Lorentzin ryhmä . Vastaavasti se on isomorfinen epämääräiselle ortogonaaliryhmälle SO + (1,2). Tämä tarkoittaa, että SL(2, R ) on isomorfinen spinoriryhmän Spin(2,1) + kanssa .

Modulaariryhmän PSL(2, Z ) elementeillä on lisätulkintoja ryhmän SL(2, Z ) elementteinä (toruksen lineaarimuunnoksina), ja näitä esityksiä voidaan tarkastella myös yleisen teorian valossa. ryhmä SL(2, R ).

Murtoluku lineaarinen muunnos

Ryhmän PSL(2, R ) elementit toimivat todellisella projektitiivisella suoralla lineaari -murto-muunnoksina : ${\displaystyle \mathbf {R} \cup \{\infty \))$

x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d)).

Tämä toiminta on samanlainen kuin PSL(2, C ): n toiminta Riemannin sfäärissä Möbius-muunnoksilla . Toiminta on ryhmän PSL(2, R ) toiminnan rajoitus hyperbolisella tasolla äärettömän rajalla.

Möbius-muunnos

Ryhmän PSL(2, R ) elementit vaikuttavat kompleksitasolla Möbius-muunnoksen avulla:

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\;\;\;\;(a,b,c,d\in \mathbf {R} )

Tämä on täsmälleen Möbius-muunnosten joukko, joka säilyttää tason yläosan . Tämä tarkoittaa, että PSL(2, R ) on ryhmä tason ylemmän puoliskon konformisia automorfismeja. Riemannin kartoituslauseen mukaan tämä ryhmä on yksikköympyrän konformisten automorfismien ryhmä.

Nämä Möbius-muunnokset toimivat hyperbolisen avaruuden tason ylemmän puoliskon mallin isometrioina , ja vastaavat kiekon Möbius-muunnokset ovat Poincarén kiekkomallin hyperbolisia isometrioita .

Yllä olevaa kaavaa voidaan käyttää myös duaalien ja tuplausten Möbius-muunnoksen määrittämiseen . Vastaavat geometriat ovat ei-triviaalisessa yhteydessä [1] Lobatševskin geometrian kanssa .

Liitenäkymä

Ryhmä SL(2, R ) vaikuttaa Lie-algebroihinsa sl(2, R ) konjugoimalla (muista, että Lie-algebran alkiot ovat myös 2 x 2 matriiseja), jolloin saadaan tiukka kolmiulotteinen lineaariesitys ryhmästä PSL. (2, R ). Tätä voidaan vaihtoehtoisesti kuvata ryhmän PSL(2, R ) vaikutukseksi R2 :n neliömäisten muotojen pinnoille . Tuloksena on seuraava näkymä:

{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d ^{2}\end{bmatrix}}.

Tappamismuodossa sl(2, R ) on allekirjoitus (2,1) ja se muodostaa isomorfismin PSL:n (2, R ) ja Lorentzin ryhmän SO + (2,1) välille. Tämä ryhmän PSL(2, R ) toiminta Minkowskin avaruudessa rajoittuu ryhmän PSL(2, R ) isometriseen toimintaan hyperbolisen tason hyperboloidimallissa.

Elementtien luokitus

Elementin ominaisarvot täyttävät ominaispolynomin yhtälön $A\in \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )$

\lambda ^{2}\,-\,\mathrm {tr} (A)\,\lambda \,+\,1\,=\,0

Ja siksi

\lambda ={\frac {\mathrm {tr} (A)\pm {\sqrt {\mathrm {tr} (A)^{2}-4))}{2)).

Tämä johtaa seuraavaan elementtien luokitukseen, jolla on vastaava toiminto euklidisella tasolla:

Jos |tr( A )|< 2, niin elementtiä (matriisia) A kutsutaan elliptiseksi ja se on rotaatio .
Jos |tr( A )|= 2, niin elementtiä A kutsutaan paraboliseksi ja se on avaruuden jatke.
Jos |tr( A )|> 2, niin elementtiä A kutsutaan hyperboliseksi ja se on supistumiskartta .

Nimet vastaavat kartioleikkausten luokittelua epäkeskisyyden mukaan - jos määrität epäkeskisyyden puoleksi jäljen arvosta ( . 2:lla jakaminen korjaa ulottuvuuden vaikutuksen, kun taas absoluuttinen arvo vastaa etumerkin (kertoimen ) huomioimatta jättämistä PSL:n kanssa työskennellessä (2, R )), mikä tarkoittaa: elliptiselle elementille, paraboliselle elementille, hyperboliselle elementille. $\epsilon ={\tfrac {1}{2}}tr$ $\pm 1$ $\epsilon <1$ $\epsilon=1$ $\epsilon >1$

Identiteettielementillä 1 ja negatiivisella elementillä −1 (ne ovat samat PSL:ssä(2, R )) on trace , joten ne ovat tämän luokituksen mukaan parabolisia elementtejä, vaikka niitä käsitelläänkin usein erikseen. $\pm2$

Samaa luokitusta käytetään SL(2, C ) ja PSL(2, C ) ( Möbius-muunnokset ) ja PSL(2, R ) (todelliset Möbius-muunnokset) lisäten "loksodromisia" muunnoksia, jotka vastaavat kompleksisia jälkiä. Samanlaisia luokituksia käytetään monissa muissa paikoissa.

Alaryhmää, joka sisältää elliptisiä (vastaavasti parabolisia ja hyperbolisia) elementtejä sekä identiteettielementin ja sen negatiivisen, kutsutaan elliptiseksi alaryhmäksi (vastaavasti parabolinen alaryhmä , hyperbolinen alaryhmä ).

Tämä luokitus on osajoukkojen , ei alaryhmien mukaan - näitä joukkoja ei suljeta kertolaskulla (esimerkiksi kahden parabolisen alkion tulo ei välttämättä ole parabolinen). Kaikki elementit on kuitenkin yhdistetty kolmeen vakiomuotoiseen yhden parametrin alaryhmään , kuten alla on kuvattu.

Topologisesti, koska jälki on jatkuva kartta, elliptiset elementit (ilman ) ovat avoimia , samoin kuin hyperboliset elementit (ilman ), kun taas paraboliset elementit (mukaan lukien ) ovat suljettuja . $\pm 1$ $\pm 1$ $\pm 1$

Elliptiset elementit

Elliptisen elementin ominaisarvot ovat sekä kompleksisia että konjugoituja arvoja yksikköympyrässä . Tällainen elementti on konjugoitu euklidisen tason kiertoon - ne voidaan tulkita rotaatioiksi (mahdollisesti) ei-ortogonaalisesti, ja ryhmän PSL(2, R ) vastaava elementti toimii (konjugaatti) kiertona . hyperbolinen taso ja Minkowskin avaruus .

Modulaarisen ryhmän elliptisilla elementeillä on oltava ominaisarvot , missä on primitiivinen 3., 4. tai 6. ykkösjuuri . Ne ovat kaikki modulaarisen ryhmän elementtejä, joilla on äärellinen järjestys , ja ne vaikuttavat torukseen jaksollisina diffeomorfismeina. ${\displaystyle \{\omega ,\omega ^{-1}\))$ $\omega$

Elementtejä, joiden jälki on 0, voidaan kutsua "ympyräelementeiksi" (samanlainen kuin epäkeskisyys), mutta tätä käytetään harvoin. Nämä jäljet vastaavat elementtejä, joilla on ominaisarvot ja vastaavat rotaatioita , ja neliö vastaa - E - ne ovat ei-identtisiä involuutioita PSL:ssä(2). $\pm i$ $90^{\circ }$

Elliptiset elementit ovat konjugoituneet euklidisen tason rotaatioiden alaryhmään, joka on kohtisuorassa SO(2)-ryhmään nähden. Kiertokulma on kaarinen - puolet jäljestä kiertomerkin kanssa (kierto ja sen käänteinen konjugaatio GL(2), mutta ei SL(2).

Paraboliset elementit

Parabolisella alkiolla on vain yksi ominaisarvo, joka on joko 1 tai −1. Tällainen elementti toimii avaruuden laajennuksena euklidisessa tasossa ja vastaava PSL(2, R ) -elementti toimii kiertorajoitteena hyperbolisessa tasossa ja Minkowski-avaruuden nollakiertona .

Modulaarisen ryhmän paraboliset elementit toimivat Denat toruksen kierteinä.

Paraboliset elementit ovat konjugoituneet 2-komponenttisessa standardisiirtymien ryhmässä : . Itse asiassa ne kaikki ovat konjugoituja (SL(2)) johonkin neljästä matriisista , (GL(2) tai , voidaan jättää pois, mutta ei SL(2):ssa. $\times {\pm }E$ $\left({\begin{smallmatrix}1&\lambda \\&1\end{smallmatrix}}\right)\times \{\pm E\}$ $\left({\begin{smallmatrix}1&\pm 1\\&1\end{smallmatrix}}\right)$ $\left({\begin{smallmatrix}-1&\pm 1\\&-1\end{smallmatrix}}\right)$ $\mathrm {SL} ^{\pm }(2)$ $\pm$

Hyperboliset elementit

Hyperbolisen elementin ominaisarvot ovat todellisia ja vastakkaisia. Tällainen elementti toimii euklidisen tason supistumiskartana , ja vastaava PSL(2, R ) -elementti toimii hyperbolisen tason rinnakkaissiirrona ja Lorentzin tehosteena Minkowskin avaruudessa .

Modulaarisen ryhmän hyperboliset elementit toimivat Anosov- toruksen diffeomorfismeina.

Hyperboliset elementit kuuluvat 2-komponenttiseen standardisupistusten ryhmään : ; hyperbolisen kierron hyperbolinen kulma on annettu puolen jäljen kaarena , mutta etumerkki voi olla joko positiivinen tai negatiivinen, toisin kuin elliptisessä tapauksessa. Kompressio ja sen käänteinen muunnos on konjugoitu SL2:ssa (akselilla pyörittämällä, standardiakseleille kierto suoritetaan ). $\times {\pm }E$ $\left({\begin{smallmatrix}\lambda \\&\lambda ^{-1}\end{smallmatrix}}\right)\times \{\pm E\}$ $90^{\circ }$

Konjugaatioluokat

Jordanin normaalimuodon mukaan matriisit luokitellaan konjugaatioon asti (GL( n , C )) ominaisarvojen ja nilpotenssin (erityisesti nilpotenssi tarkoittaa sitä, missä ykköset ovat Jordan-soluissa) mukaan. Tällaiset SL(2):n elementit luokitellaan konjugaatioon asti GL(2) :ssa ( ) jäljillä (koska determinantti on kiinteä ja jälki ja determinantti määräytyvät ominaisarvojen mukaan), paitsi jos ominaisarvot ovat yhtä suuret, joten elementit ovat yhtä suuret ja paraboliset, jäljityksen +2 ja jäljen -2 alkiot eivät ole konjugoituja (ensimmäisellä ei ole diagonaalisia elementtejä Jordan-muodossa, kun taas jälkimmäisessä on). $\mathrm {SL} ^{\pm }(2)$ $\pm E$

Konjugaatioon asti SL(2):ssa (GL(2):n sijasta) on suuntaa vastaavaa lisätietoa – myötä- ja vastapäivään (ellipsimäinen) kierto ei ole konjugoitua, ei positiivista tai negatiivista leikkausvoimaa, kuten edellä on kuvattu. Sitten kun absoluuttinen jäljitysarvo on pienempi kuin 2, kullekin jäljelle on kaksi konjugaattiluokkaa (myötäpäivään tai vastapäivään). Absoluuttiselle jälkiarvolle 2 on kolme konjugaattiluokkaa kullekin jäljelle (positiivinen siirto, nollasiirtymä, negatiivinen siirtymä). Absoluuttiselle jäljitysarvolle, joka on suurempi kuin 2, tietylle jäljelle on yksi konjugasioluokka.

Topologinen ja universaali peitto

Topologisena avaruutena PSL(2, R ) voidaan kuvata hyperbolisen tason yksikkötangenttikimpuna Se on nippu ympyröillä ja sillä on luonnollinen kontaktirakenne, jonka synnyttää symplektinen rakenne hyperbolisella tasolla. Ryhmä SL(2, R ) on ryhmän PSL(2, R ) kaksinkertainen kansi ja sitä voidaan pitää spinorinipuna hyperbolisella tasolla.

Ryhmän SL(2, R ) perusryhmä on äärellinen syklinen ryhmä Z . Universaali peittoryhmä , merkitty , on esimerkki äärellisulotteisesta Lie-ryhmästä, joka ei ole matriisiryhmä . Eli se ei salli tarkkaa äärellisulotteista esitystä . ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$

Topologisena avaruutena on viivanippu hyperbolisen tason päällä. Jos avaruudessa on vasemmanpuoleinen invarianttimetriikka , 3 -jakoisesta tulee yksi kahdeksasta Thurstonin geometriasta . Esimerkiksi on universaali peite yksikkötangenttinipulle mille tahansa hyperboliselle pinnalle . Mikä tahansa mallina oleva jakoputkisto on suuntautuva ja se on ympyräkimppu jonkin kaksiulotteisen hyperbolisen orbifoldin ( Seifert-nippu ) päällä. ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$

Tällaisella päällysteellä modulaarisen ryhmän PSL(2, Z ) käänteiskuva on 3 generaattorin punosryhmä B3 , joka on modulaarisen ryhmän yleinen keskuslaajennus . Ne ovat hiloja vastaavien algebrallisten ryhmien sisällä, ja tämä vastaa topologian algebrallisesti universaalia peittoryhmää.

Kaksinkertaista peittävää ryhmää voidaan kutsua Mp(2, R ), metaplektiseksi ryhmäksi , jos SL(2, R ) ymmärretään Sp(2, R :n symplektiseksi ryhmäksi ).

Yllä olevat ryhmät muodostavat sarjan:

{\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )}}\to \cdots \to \mathrm {Mp} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ).

On kuitenkin olemassa muita ryhmiä, jotka kattavat ryhmän PSL(2, R ), jotka vastaavat kaikkia n :itä siten , että ne muodostavat jaettavissa olevien ryhmien hilan . Ne ovat SL(2, R ) peitteitä, jos ja vain jos n on parillinen. $n\mathbf {Z} <\mathbf {Z} \cong \pi _{1}(\mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ))$

Algebrallinen rakenne

Ryhmäkeskus SL(2, R ) on kaksielementtinen ryhmä ja tekijä PSL(2, R ) on yksinkertainen ryhmä. $\{\pm 1\}$

Ryhmän PSL(2, R ) erillisiä alaryhmiä kutsutaan fuksialaisiksi ryhmiksi . Ne ovat hyperbolinen vastine euklidisille taustakuvaryhmille ja rajaryhmille . Tunnetuin näistä on modulaarinen ryhmä PSL(2, Z ), joka vaikuttaa hyperbolisen tason laatoitukseen ihanteellisilla kolmioilla .

Ryhmä U(1) , jota voidaan pitää SO(2) :na , on SL(2, R ) maksimikompakti aliryhmä ja ympyrä on PSL(2, R ) maksimikompakti alaryhmä. ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)/\{\pm 1\))$

Diskreetin ryhmän PSL(2, R ) Schur-kerroin on paljon suurempi kuin ryhmä Z ja universaali keskusjatke on paljon suurempi kuin universaali peittoryhmä. Nämä suuret keskuslaajennukset eivät kuitenkaan ota huomioon topologiaa ja ovat jossain määrin patologisia.

Edustusteoria

SL(2, R ) on todellinen ei-kompakti yksinkertainen Lie-ryhmä ja on jaettu reaalimuoto kompleksisesta Lie-ryhmästä SL(2, C ). Ryhmän SL(2, R ) Lie-algebra , jota merkitään sl(2, R ), on kaikkien todellisten, jäljittämättömien [2] matriisien algebra. Tämä on tyypin VIII Bianchin algebra . ${\näyttötyyli 2\kertaa 2}$

Ryhmän SL(2, R ) äärellisulotteinen esitysteoria vastaa esitysteoriaa SU(2) , joka on ryhmän SL(2, C ) kompakti reaalimuoto. Erityisesti SL(2, R ):lla ei ole ei-triviaaleja äärellisulotteisia unitaarisia esityksiä. Tämä on minkä tahansa yhdistetyn yksinkertaisen ei-tiiviin Lie-ryhmän ominaisuus. Katso todisteen pääpiirteet artikkelista "Esityksen epäyhtenäisyys" .

Ryhmän SL(2, R ) ääretön esitysteoria on erittäin mielenkiintoinen. Ryhmällä on useita yhtenäisten esitysten perheitä, jotka ovat yksityiskohtaisesti kehittäneet Gelfand ja Naimark (1946), V. Bargman (1947) ja Harish-Chandra (1952).

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Kisil, 2012 , s. xiv+192.
↑ Jäljitön matriisi on matriisi, jonka jälki on 0.

Kirjallisuus

Valentine Bargmann. Lorentz-ryhmän redusoitumattomat yhtenäiset esitykset // Matematiikan Annals . - 1947. - T. 48 , no. 3 . — S. 568–640 . - doi : 10.2307/1969129 . — .
Gelfand I.M., Naimark M.A. Lorentz-ryhmän yhtenäiset esitykset // Izv. Neuvostoliiton tiedeakatemia. Ser. Matem .. - 1947. - T. 11 , no. 5 . — S. 411–504 .
Harish Chandra. Plancherel-kaava todelliselle unimodulaariselle ryhmälle // Proc. Natl. Acad. sci. USA. - 1952. - T. 38 . — S. 337–342 . - doi : 10.1073/pnas.38.4.337 . — PMID 16589101 . ${\näyttötyyli 2\kertaa 2}$
Serge Lang. . - New York: Springer-Verlag, 1985. - V. 105. - ISBN 0-387-96198-4 . - doi : 10.1007/978-1-4612-5142-2 . $\mathrm {SL} _{2}(\mathbf {R} )$
- Leng S. / Englannista kääntänyt V.I. Vasyunin ja M.A. Semjonov-Tyan-Shansky; Toimittaja A.A. Kirillov. - Moskova: Mir, 1977. $SL_{2}(R)$
William Thurston. Kolmiulotteinen geometria ja topologia. Voi. 1. - Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997. - V. 35. - ISBN 0-691-08304-5 .
Vladimir V. Kisil. Möbius-muunnosten geometria. SL(2,R) elliptiset, paraboliset ja hyperboliset vaikutukset. - Lontoo: Imperial College Press, 2012. - ISBN 978-1-84816-858-9 . - doi : 10.1142/p835 .

Ryhmäteoria
Peruskonseptit	Alaryhmä Normaali alaryhmä Tekijäryhmä Työ suoraan puolisuorat vapaa
Algebralliset ominaisuudet	kommutatiivista ryhmää Syklinen ryhmä tilattu ryhmä Muuta ryhmää Ratkaistava ryhmä Schreierin Lemma Lagrangen lause Sylowin lauseet Yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelu
rajalliset ryhmät	Äärillinen syklinen ryhmä C n Symmetrinen ryhmä S n Dihedral ryhmä D n Vaihteleva ryhmä A n Kleinin neljän hengen ryhmä Mathieun ryhmät M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway-ryhmät Yhteistyö 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankon ryhmät J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Kalastajaryhmät F22 _ F 23 F24 _ Hirviö (M)
Topologiset ryhmät	Valheryhmät Ortogonaalinen ryhmä O(n) Erityinen ortogonaalinen ryhmä SO(n) Yhtenäinen ryhmä U(n) Erityinen yhtenäinen ryhmä SU(n) Symplektinen ryhmä Sp(n) Poikkeuksellisen yksinkertainen Lorentzin ryhmä Poincarén ryhmä
Algoritmit ryhmissä	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier-muunnos