Monikulmio

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 21. heinäkuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 7 muokkausta .

Monikulmio on geometrinen kuvio, joka yleensä määritellään osaksi tasoa, jota rajoittaa suljettu polyline . Jos rajapolygonissa ei ole itseleikkauspisteitä , polygonia kutsutaan yksinkertaiseksi [1] . Esimerkiksi kolmiot ja neliöt ovat yksinkertaisia monikulmioita, mutta pentagrammi ei ole.

Polylinjan murtopisteitä kutsutaan monikulmion kärjeksi ja sen linkkejä monikulmion sivuiksi . Monikulmion sivujen lukumäärä on sama kuin sen kärkien lukumäärä [2] .

Määritelmien muunnelmia

Monikulmion määrittämiseen on kolme eri vaihtoehtoa; jälkimmäinen määritelmä on yleisin [1] .

Litteä suljettu katkoviiva on yleisin tapaus;
Tasainen suljettu polyline ilman itseleikkauksia , jonka mitkään kaksi vierekkäistä linkkiä eivät ole samalla suoralla linjalla;
Se osa tasosta , jota rajoittaa suljettu polyline ilman itseleikkauksia, on tasainen monikulmio ; tässä tapauksessa itse polylinjaa kutsutaan monikulmion ääriviivaksi .

Tämän määritelmän yleistämiseen on myös useita vaihtoehtoja, jotka mahdollistavat äärettömän määrän katkoviivoja, useita erillisiä rajapolylinjoja, katkoviivoja avaruudessa, mielivaltaisia jatkuvien käyrien segmenttejä suorien viivojen segmenttien sijaan jne. [1]

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Monikulmion kärkipisteitä kutsutaan naapuriksi , jos ne ovat sen yhden sivun päät.
Monikulmion sivuja kutsutaan vierekkäisiksi , jos ne ovat saman kärjen vieressä.
Monikulmion kaikkien sivujen kokonaispituutta kutsutaan sen kehäksi .
Diagonaalit ovat segmenttejä, jotka yhdistävät monikulmion ei-naapuripisteitä.
Tasaisen monikulmion kulma (tai sisäkulma ) tietyssä kärjessä on kulma kahden kyseisessä kärjessä lähentyvien sivujen välillä. Kulma voi ylittää , jos monikulmio ei ole kupera. Yksinkertaisen monikulmion kulmien lukumäärä on sama kuin sen sivujen tai kärkien lukumäärä. $180^{\circ }$
Kuperan monikulmion ulkokulma tietyssä kärjessä on kulma , joka on monikulmion sisäkulman vieressä kyseisessä kärjessä. Ei-kuperan monikulmion tapauksessa ulkokulma on ero ja sisäkulma, se voi ottaa arvoja välillä - . $180^{\circ }$ ${\displaystyle -180^{\circ ))$ $180^{\circ }$
Säännöllisen monikulmion piirretyn ympyrän keskustasta jollekin sivulle pudonnutta kohtisuoraa kutsutaan apoteemiksi .

Polygonien tyypit ja niiden ominaisuudet

Monikulmiota, jossa on kolme kärkeä, kutsutaan kolmioksi , jossa on neljä - nelikulmio , viisi - viisikulmio ja niin edelleen. Monikulmiota, jolla on kärkipisteet, kutsutaan -goniksi . $n$ $n$

Kupera monikulmio on monikulmio, joka sijaitsee minkä tahansa sen sivun sisältävän suoran toisella puolella (eli monikulmion sivujen jatkeet eivät leikkaa sen muita sivuja). Kuperalle monikulmiolle on olemassa muita vastaavia määritelmiä . Kupera monikulmio on aina yksinkertainen , eli sillä ei ole itseleikkauspisteitä.
Kuperaa monikulmiota kutsutaan säännölliseksi , jos sen kaikki sivut ja kulmat ovat yhtä suuret, kuten tasasivuinen kolmio , neliö ja säännöllinen viisikulmio . Säännöllisen -gonin Schläfli-symboli on . $n$ ${\näyttötyyli \{n\))$
Monikulmiota, jonka kaikki sivut ja kaikki kulmat ovat yhtä suuret, mutta jossa on omat leikkauspisteet, kutsutaan säännölliseksi monikulmioksi , esimerkiksi pentagrammi ja oktagrammi .
Monikulmiota kutsutaan ympyrään piirretyksi , jos sen kaikki kärjet ovat samalla ympyrällä. Ympyrä itsessään on nimeltään rajattu , ja sen keskipiste sijaitsee monikulmion sivujen mediaalisten kohtisuorien leikkauspisteessä. Mikä tahansa kolmio on piirretty johonkin ympyrään.
Monikulmiota kutsutaan ympyräksi , jos sen kaikki sivut koskettavat ympyrää. Itse ympyrää kutsutaan sisäänkirjoitetuksi , ja sen keskus sijaitsee monikulmion kulmien puolittajien leikkauspisteessä. Mikä tahansa kolmio on rajattu jonkin ympyrän ympärille.
Kuperaa nelikulmiota kutsutaan ei -ympyrän ympärille piirretyksi , jos sen kaikkien sivujen jatkeet (mutta eivät itse sivut) ovat jonkin ympyrän tangentti. [3] Ympyrää kutsutaan excircle . Excircle on olemassa myös mielivaltaiselle kolmiolle .

Yleiset ominaisuudet

Kolmion epäyhtälö

Kolmio - epäyhtälössä sanotaan, että kolmion minkä tahansa sivun pituus on aina pienempi kuin sen kahden muun sivun pituuksien summa: . Käänteinen kolmio-epäyhtälö kertoo, että kolmion minkä tahansa sivun pituus on aina suurempi kuin sen kahden muun sivun pituuksien välisen eron moduuli. $a<b+c,\quad b<c+a,\quad c<a+b$

Nelisivuinen epäyhtälö

Nelisivuinen epäyhtälö - nelikulmion minkä tahansa kahden sivun eron moduuli ei ylitä kahden muun sivun summaa : . $\left|ab\right|\leq c+d$
Vastaavasti: missä tahansa nelikulmiossa (mukaan lukien rappeutunut) sen kolmen sivun pituuksien summa ei ole pienempi kuin neljännen sivun pituus, eli: ; ; ; . $a\leq b+c+d$ $b\leq +c+d$ $c\leq a+b+d$ $d\leq a+b+c$

Monikulmion kulman summalause

Yksinkertaisen tasaisen kulman sisäkulmien summa on [4] . Ulkokulmien summa ei riipu sivujen lukumäärästä ja on aina yhtä suuri $n$ $180^{\circ }(n-2)$ $360^{\circ }.$

Diagonaalien lukumäärä

Minkä tahansa -gonin diagonaalien lukumäärä on . $n$ ${\tfrac {n(n-3)}{2))$

Alue

Antaa olla peräkkäin koordinaattien kärkipisteet -gon vierekkäin ilman itse-leikkauksia . Sitten sen pinta-ala lasketaan Gaussin kaavalla : $\{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,...,n$ $n$

S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{{i=1}}^{n}(X_{i}+X_{{i+1}})(Y_{i }-Y_{{i+1}})\oikea|

, missä .

(X_{{n+1}},Y_{{n+1}})=(X_{1},Y_{1})

Kun otetaan huomioon monikulmion sivujen pituudet ja sivujen atsimuuttikulmat, monikulmion pinta-ala voidaan löytää Sarronin kaavalla [5] .

Säännöllisen kulman pinta-ala lasketaan jollakin kaavoista [6] : $n$

puolet kehän tulosta -gon ja apoteemi : $n$

$S={\frac {n}{4}}\ a^{2}{\mathop {{\mathrm {}}}}\,\operaattorin nimi {ctg}{\frac {\pi }{n}}$ .

$S={\frac {1}{2}}nR^{2}\sin {\frac {360^{\circ }}{n));$

$S=nr^{2}{\mathop {{\mathrm {tg))))\,{\frac {\pi }{n))$

missä on monikulmion sivun pituus, on rajatun ympyrän säde, on piirretyn ympyrän säde. $a$ $R$ $r$

Figuurien neliöinti

Monikulmiojoukon avulla määritetään tasossa olevan mielivaltaisen hahmon neliöinti ja pinta-ala. Lukua kutsutaan neliöintiksi , jos jollakin on monikulmioiden pari ja , niin että ja , missä tarkoittaa aluetta . $F$ $\varepsilon > 0$ $P$ $K$ $P\alajoukko F\alajoukko Q$ $S(Q)-S(P)<\varepsilon$ $S(P)$ $P$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Monitaho on yleistys kolmiulotteisesta polygonista, monikulmioista koostuvasta suljetusta pinnasta tai sen rajoittamasta kappaleesta.

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Polygon // Mathematical Encyclopedia (5 osassa) . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 3. - S. 749-752.
↑ 1 2 3 Elementary Mathematics, 1976 , s. 383-384.
↑ Kartaslov.ru
↑ Elementary Mathematics, 1976 , s. 499.
↑ Khrenov L. S. Polygonien pinta-alojen laskeminen Sarronin menetelmällä Arkistokopio 19. heinäkuuta 2020 Wayback Machinessa // Mathematical Education. 1936. Numero 6. S. 12-15
↑ Elementary Mathematics, 1976 , s. 503-504.

Kirjallisuus

Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Perusmatematiikka. Toista kurssi. - Kolmas painos, stereotyyppinen. - M .: Nauka, 1976. - 591 s.

Linkit

Weisstein, Eric W. Polygon (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Monikulmiot

Sivujen lukumäärän mukaan

Monogon
Bigon
Kolmio
Nelikulmainen
Pentagon
Kuusikulmio
Seitsenkulmio
Kahdeksankulmio
viisikulmio
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Kolmetoista
tetradecagon
Pentagon
Kuusikulmio
Seitsemäntoista
kahdeksankulmio
Nineteenagon
Dodecagon
Kaksikymmentäyksipuolinen
Kaksikymmentäkaksi kulma
Twentytrigon
Kaksikymmentänelikulmainen
Kaksikymmentä viisikulmio
Kaksikymmentä kahdeksankulmio
Tridecagon
Thirty-Biagon
Neljäkymmentäneliö
Neljäkymmentä kaksikulmio
helluntailainen
helluntailainen
Kuusikulmio
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ fi
Millagon
Kymmenentuhattagon
Satatuhatosa
Milliogon
ääretön

oikea

kupera	Kolmio Neliö Pentagon Kuusikulmio Seitsenkulmio Kahdeksankulmio viisikulmio tetradecagon Seitsemäntoista 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
tähti	Pentagrammi Heksagrammi Heptagrammi Octagram ( Lakshmin tähti ) Enneagrammi Dekagrammi Endekagrammi Dodecagram

kolmiot

Nelikulmat

Katso myös

Schläfli-symboli
Monikulmiot	{yksi} {2} {3} {neljä} {5} {6} {7} {kahdeksan} {9} {kymmenen} {yksitoista} {12} {neljätoista} {viisitoista} {17} {kahdeksantoista} {kaksikymmentä} {kolmekymmentä} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
tähtipolygoneja	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Tasaiset parketit _	{3,6} {4,4} {6,3}
Tavalliset monitahoiset ja pallomaiset parketit	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsot-polyhedra	{5/2,5} {5.5/2} {5/2,3} {3,5/2}
hunajakennoja	{4,3,4}
Neliulotteinen polyhedra	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Hienoa norjalaista Iso venäläinen Uusi Britannica (verkossa) Brockhaus
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 12266998h GND : 4175197-8 J9U : 987007563260005171 LCCN : sh85104637 NKC : ph327599