Ryhmäteoria

Ryhmäteoria on yleisen algebran haara , joka tutkii ryhmiksi kutsuttuja algebrallisia rakenteita ja niiden ominaisuuksia. Ryhmä on keskeinen käsite yleisalgebrassa, koska monet tärkeät algebralliset rakenteet, kuten renkaat , kentät , vektoriavaruudet , ovat ryhmiä, joilla on laajennettu joukko operaatioita ja aksioomia . Ryhmiä esiintyy kaikilla matematiikan osa-alueilla, ja ryhmäteorian menetelmillä on vahva vaikutus moniin algebran haaroihin. Ryhmäteorian kehittämisprosessissa rakennettiin tehokas työkalupakki, joka määritti suurelta osin yleisen algebran erityispiirteet kokonaisuutena, muodostettiin oma sanasto , jonka elementtejä lainaavat aktiivisesti matematiikan ja sovellusten liittyvät osat. Kehitetyimmät ryhmäteorian haarat - lineaariset algebralliset ryhmät ja Lie-ryhmät - tulivat itsenäisiksi matematiikan haaroiksi.

Useilla fysikaalisilla järjestelmillä, kuten kiteillä tai vetyatomilla , on symmetriaryhmillä mallinnettavissa olevia symmetrioita , mikä löytää tärkeitä sovelluksia ryhmäteorialle ja siihen läheisesti liittyvälle esitysteorialle fysiikassa ja kemiassa .

Yksi 1900-luvun merkittävimmistä matemaattisista läpimurroista [1] oli yksinkertaisten äärellisten ryhmien täydellinen luokittelu - monien matemaatikoiden yhteisten ponnistelujen tulos, joka vei yli 10 tuhatta painettua sivua, joista suurin osa julkaistiin vuodesta 1960 vuoteen 1980.

Historia

Ryhmäteorialla on kolme historiallista juurta: algebrallisten yhtälöiden teoria , lukuteoria ja geometria . Ryhmäteorian matemaatikot ovat Leonhard Euler , Carl Friedrich Gauss , Joseph Louis Lagrange , Niels Henrik Abel ja Evariste Galois . Galois oli ensimmäinen matemaatikko, joka yhdisti ryhmäteorian abstraktin algebran toiseen haaraan, kenttäteoriaan , kehittäen teoriaa, jota nykyään kutsutaan Galois'n teoriaksi .

Yksi ensimmäisistä ongelmista, joka johti ryhmäteorian syntymiseen, oli ongelma saada m-asteen yhtälö, jolla olisi m juurta annetusta asteen n yhtälöstä ( m <n ). Hudde (1659) käsitteli tätä ongelmaa yksinkertaisissa tapauksissa . Vuonna 1740 Saunderson huomasi, että kaksikvadraattisten lausekkeiden toisen asteen tekijöiden löytäminen rajoittuu kuudennen asteen yhtälön ratkaisemiseen, ja Le Seur (1748) ja Waring (1762-1782) kehittivät tämän ajatuksen.

Permutaatioteoriaan perustuvan yhtälöteorian yleisen perustan löysi Lagrange vuosina 1770-1771, ja tältä pohjalta substituutioteoria myöhemmin kasvoi. Hän havaitsi, että kaikkien hänen kohtaamiensa liuottimien juuret olivat vastaavien yhtälöiden juurien rationaalisia toimintoja . Näiden funktioiden ominaisuuksien tutkimiseksi hän kehitti "yhdistelmien laskennan" ( Calcul des Combinaisons ). Vandermonden (1770) nykyaikainen teos ennakoi myös ryhmäteorian kehitystä.

Paolo Ruffini ehdotti vuonna 1799 todistetta viidennen ja korkeamman asteen yhtälöiden ratkaisemattomuudesta radikaaleissa. Todistuksessa hän käytti ryhmäteorian käsitteitä, vaikka hän kutsui niitä muilla nimillä. Ruffini julkaisi myös Abbatin hänelle kirjoittaman kirjeen, jonka teemana oli ryhmäteoria.

Galois havaitsi, että jos algebrallisella yhtälöllä on useita juuria, silloin on aina olemassa joukko näiden juurien permutaatioita siten, että

jokainen funktio , joka on invariantti ryhmäpermutaatioiden alla, on rationaalinen ja päinvastoin,
jokainen juurten rationaalinen funktio on invariantti ryhmän permutaatioiden alla. Hän julkaisi ensimmäiset ryhmäteorian teoksensa vuonna 1829, 18-vuotiaana, mutta ne jäivät käytännössä huomaamatta, kunnes hänen kokoelmateoksensa julkaistiin vuonna 1846 .

Arthur Cayley ja Augustin Louis Cauchy olivat ensimmäisiä matemaatikkoja, jotka ymmärsivät ryhmäteorian merkityksen. Nämä tutkijat osoittivat myös joitain teorian tärkeitä lauseita. [2] Heidän opiskelunsa aiheen popularisoivat Serret , joka omisti teorialle osan algebra-kirjastaan, Jordan , jonka teoksesta Traité des Substitutions tuli klassikko, ja Eugen Netto (1882). Monet muut 1800-luvun matemaatikot osallistuivat myös suurella panoksella ryhmäteorian kehittämiseen : Bertrand , Hermite , Frobenius , Kronecker ja Mathieu .

Nykyajan määritelmä termille "ryhmä" antoi vasta vuonna 1882 Walther von Dyck [3] .

Vuonna 1884 Sophus Lie aloitti tutkimuksen sellaisista, joita nyt kutsumme Lie-ryhmiksi ja niiden erillisiksi alaryhmiksi muunnosryhmiksi hänen kirjoituksiaan seurasivat Killingin , Studin Schurin , Maurerin ja Elie Cartanin kirjoitukset . Diskreettien ryhmien teorian kehittivät Klein , Lie, Poincare ja Picard modulaaristen muotojen ja muiden objektien tutkimuksen yhteydessä .

1900-luvun puolivälissä (enimmäkseen vuosina 1955-1983) tehtiin valtavasti työtä kaikkien äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelussa , mukaan lukien kymmeniä tuhansia sivuja kirjoituksia.

Myös monet muut matemaatikot antoivat konkreettisen panoksen ryhmäteoriaan, kuten Artin , Emmy Noether , Ludwig Sylow ja muut.

Lyhyt kuvaus teoriasta

Ryhmän käsite syntyi geometristen esineiden symmetrian ja vastaavuuden muodollisen kuvauksen tuloksena . Felix Kleinin Erlangen-ohjelmassa geometrian tutkimus yhdistettiin vastaavien muunnosryhmien tutkimiseen. Jos esimerkiksi tason luvut annetaan , liikeryhmä selvittää niiden tasa-arvon.

määritelmä . Ryhmä on joukko elementtejä (äärellisiä tai äärettömiä), joille on annettu kertolasku [4] ja joka täyttää seuraavat neljä aksioomaa:

Ryhmän sulkeutuminen kertolaskuoperaation suhteen . Ryhmän mille tahansa kahdelle elementille on olemassa kolmas, joka on niiden tuote:

1)~~~\kaikki A,B\G:ssä:~~~\olemassa C\in G~~~A\cdot B=C;

Kertolaskuoperaation assosiatiivisuus . Kertomisjärjestys ei ole merkittävä:

2)~~~\kaikki A,B,C\in G:~~~A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C=A\cdot B\cdot C;

Yhden elementin olemassaolo . Ryhmässä on jokin elementti E , jonka tulo minkä tahansa ryhmän elementin A kanssa antaa saman elementin A :

3)~~~\olemassa E\in G:~~~\forall A\in G\quad A\cdot E=E\cdot A=A;

Käänteisen elementin olemassaolo . Ryhmän mille tahansa elementille A on elementti A −1 , jonka tulo antaa identiteettielementin E :

4)~~~\kaikki A\in G:~~~\olemassa A^{{-1}}\in G:~~~A\cdot A^{{-1}}=A^{{-1 }}\cdot A=E.

Ryhmän aksioomat eivät millään tavalla säätele kertolaskuoperaation riippuvuutta tekijöiden järjestyksestä. Siksi yleisesti ottaen tekijöiden järjestyksen muuttaminen vaikuttaa tuotteeseen. Ryhmät, joiden tulo ei riipu tekijöiden järjestyksestä, kutsutaan kommutatiivisiksi tai Abelin ryhmiksi. Abelilaiselle ryhmälle

\kaikki A,B\in G:~~~A\cdot B=B\cdot A.

Abelin ryhmät ovat melko harvinaisia fysikaalisissa sovelluksissa. Useimmiten ryhmät, joilla on fyysinen merkitys, ovat ei -abelilaisia :

\olemassa A,B\in G:~~~A\cdot B\not =B\cpiste A.

Pienikokoisia äärellisiä ryhmiä kuvataan kätevästi ns "kertotaulukot". Tässä taulukossa jokainen rivi ja jokainen sarake vastaavat yhtä ryhmän elementtiä, ja vastaavien elementtien kertolaskuoperaation tulos sijoitetaan rivin ja sarakkeen leikkauskohtaan olevaan soluun.

Alla on esimerkki kertotaulukosta ( Cayley tables ) neljän elementin ryhmälle: (1, −1, i, −i), jossa operaatio on tavallinen aritmeettinen kertolasku:

	yksi	−1	i	−i
yksi	yksi	−1	i	−i
−1	−1	yksi	−i	i
i	i	−i	−1	yksi
−i	−i	i	yksi	−1

Identiteettielementti on tässä 1, 1:n ja -1:n käänteiset ovat itse ja alkiot i ja -i ovat toistensa käänteisiä.

Jos ryhmässä on ääretön määrä elementtejä, sitä kutsutaan äärettömäksi ryhmäksi .

Kun ryhmän elementit ovat jatkuvasti riippuvaisia joistakin parametreista, ryhmää kutsutaan jatkuvaksi tai Lie-ryhmäksi . Sanotaan myös, että valheryhmä on ryhmä, jonka elementtijoukko muodostaa tasaisen moniston . Lie - ryhmien avulla symmetriaryhminä löydetään differentiaaliyhtälöiden ratkaisuja .

Ryhmiä käytetään kaikkialla matematiikassa ja luonnontieteissä, usein objektien sisäisen symmetrian löytämiseksi ( automorfismiryhmät ). Sisäinen symmetria liittyy yleensä muuttumattomiin ominaisuuksiin; joukko muunnoksia, jotka säilyttävät tämän ominaisuuden, yhdessä kokoonpanooperaation kanssa muodostavat ryhmän, jota kutsutaan symmetriaryhmäksi.

Galois'n teoriassa, joka synnytti ryhmän käsitteen, ryhmiä käytetään kuvaamaan niiden yhtälöiden symmetriaa, joiden juuret ovat jonkin polynomiyhtälön juuret . Ratkaisevat ryhmät saavat nimensä , koska niillä on tärkeä rooli tässä teoriassa .

Algebrallisessa topologiassa ryhmiä käytetään kuvaamaan topologisten avaruuksien invariantteja [5] . Invarianteilla tarkoitamme tässä avaruuden ominaisuuksia, jotka eivät muutu sen jonkin muodonmuutoksen myötä. Esimerkkejä tästä ryhmien käytöstä ovat perusryhmät , homologia- ja kohomologiaryhmät .

Valheryhmiä käytetään differentiaaliyhtälöiden ja monistojen tutkimuksessa ; ne yhdistävät ryhmäteorian ja laskennan . Näihin ryhmiin liittyvää analyysialuetta kutsutaan harmoniseksi analyysiksi .

Kombinatoriikassa permutaatioryhmän ja ryhmätoiminnan käsitteitä käytetään yksinkertaistamaan joukon elementtien lukumäärän laskemista; erityisesti Burnsiden lemmaa käytetään usein .

Ryhmäteorian ymmärtäminen on erittäin tärkeää myös fysiikan ja muiden luonnontieteiden kannalta. Kemiassa ryhmiä käytetään kidehilojen ja molekyylisymmetrioiden luokittelemiseen . Fysiikassa ryhmiä käytetään kuvaamaan fysikaalisia lakeja hallitsevia symmetrioita. Erityisen tärkeitä fysiikassa ovat ryhmäesitykset , erityisesti valheryhmät, koska ne osoittavat usein tietä "mahdollisiin" fysikaalisiin teorioihin.

Ryhmää kutsutaan sykliseksi , jos se on generoitu yhdestä alkiosta a , eli kaikki sen elementit ovat a :n potenssia (tai additiivista terminologiaa käyttäen voidaan esittää muodossa na , missä n on kokonaisluku ). Matemaattinen merkintä: . $(G,\cdot )$ $G=\langle a\rangle$

Ryhmän sanotaan toimivan joukossa, jos $G$ $M$ annetaan homomorfismi ryhmästä joukon kaikkien permutaatioiden ryhmään . Lyhyyden vuoksi se kirjoitetaan usein muodossa tai . $\Phi :G\to S(M)$ $G$ $S(M)$ $M$ $(\Phi (g)) (m)$ $gm$ $gm$

Ryhmäesimerkkejä

Yksinkertaisin ryhmä on tavallisella aritmeettisella kertolaskuoperaatiolla varustettu ryhmä, joka koostuu elementistä 1. Elementti 1 on ryhmän identiteettielementti ja on itsensä käänteinen:

	yksi
yksi	yksi

Seuraava yksinkertainen esimerkki on ryhmä tavallisella aritmeettisella kertolaskuoperaatiolla, joka koostuu alkioista (1, −1). Elementti 1 on ryhmän identiteettielementti, molemmat ryhmän elementit ovat käänteisiä itselleen:

	yksi	−1
yksi	yksi	-yksi
-yksi	-yksi	yksi

Tavanomaiseen kertolaskuoperaatioon nähden ryhmä on neljästä alkiosta (1, −1, i, -i) muodostuva joukko. Identiteettielementti on tässä 1, 1:n ja −1:n käänteiset ovat itse ja alkiot i ja -i ovat toistensa käänteisiä.

	yksi	−1	i	-i
yksi	yksi	-yksi	i	-i
-yksi	-yksi	yksi	-i	i
i	i	-i	-yksi	yksi
-i	-i	i	yksi	-yksi

Ryhmä on kaksi avaruuden kiertoa 0° ja 180° saman akselin ympäri, jos kahden kierron tulo on niiden peräkkäinen suoritus. Tätä ryhmää kutsutaan tavallisesti C2 : ksi . Se on isomorfinen (eli identtinen) yllä olevan ryhmän kanssa, jonka elementit 1 ja −1. Kierto 0°, koska se on identtinen, on merkitty taulukossa kirjaimella E.

C2_ _	E	180 R_
E	E	180 R_
180 R_	180 R_	E

Ryhmä yhdessä identiteettimuunnoksen E kanssa muodostuu inversiooperaatiosta I, joka kääntää jokaisen vektorin suunnan. Ryhmäoperaatio on kahden inversion peräkkäinen suoritus. Tätä ryhmää merkitään yleensä S2 : lla . Se on isomorfinen edellä mainitun ryhmän C2 kanssa .

S2_ _	E	minä
E	E	minä
minä	minä	E

Analogisesti C2- ryhmän kanssa voidaan muodostaa C3 - ryhmä , joka koostuu tasokierroksista 0°, 120° ja 240° kulmien läpi. Voidaan sanoa, että ryhmä C 3 on ryhmä kiertoja, jotka vievät säännöllisen kolmion itseensä.

C3_ _	E	120 R_	R240 _
E	E	120 R_	R240 _
120 R_	120 R_	R240 _	E
R240 _	R240 _	E	120 R_

Jos lisäämme ryhmään C 3 kolmion heijastukset sen kolmen symmetria-akselin (R 1 , R 2 , R 3 ) ympärillä , saadaan täydellinen operaatioryhmä, joka ottaa kolmion itseensä. Tätä ryhmää kutsutaan D3 :ksi .

D3_ _	E	120 R_	R240 _	R1_ _	R2_ _	R3_ _
E	E	120 R_	R240 _	R1_ _	R2_ _	R3_ _
120 R_	120 R_	R240 _	E	R2_ _	R3_ _	R1_ _
R240 _	R240 _	E	120 R_	R3_ _	R1_ _	R2_ _
R1_ _	R1_ _	R3_ _	R2_ _	E	R240 _	120 R_
R2_ _	R2_ _	R1_ _	R3_ _	120 R_	E	R240 _
R3_ _	R3_ _	R2_ _	R1_ _	R240 _	120 R_	E

Kaikkien kiertojen joukko yhden akselin ympäri muodostaa jatkuvan ryhmän nimeltä R 2 . Sen elementit merkitään symboleilla R ( a ), jossa a on kiertokulma, joka on 0 ≤ a < 360°. Tämän ryhmän kertotaulukko on ääretön, joten ryhmää kuvataan yleisellä kaavalla

R(a)\cdot R(b)=R(a+b~|~{\bmod {~}}360^{\circ }).

Koska kahden peräkkäisen kierroksen tulos saman akselin ympäri ei riipu pyörimisjärjestyksestä, ryhmä R2 on kommutiivinen. Ryhmän käänteisalkio määritellään kaavalla

R^{-1}(a)=R(360^{\circ }-a).

Ryhmä R3 on ryhmä kaikkia mahdollisia kolmiulotteisen avaruuden kiertoja yhden pisteen läpi kulkevien akseleiden ympäri. Tämä ryhmä on pallon symmetriaryhmä. Jokainen ryhmän R elementti (α,β, a ) määritellään kolmella parametrilla: α ja β ovat Euler-kulmat, jotka määrittävät akselin sijainnin, a on kiertokulma.

Ryhmä S n tai kertaluvun n symmetrinen ryhmä on kokoelma n ! kaikki mahdolliset n elementin permutaatiot. Permutaatio on kätevästi merkitty symbolilla

P={\begin{pmatrix}1&2&3&\dots &n\\p_{1}&p_{2}&p_{3}&\dots &p_{n}\end{pmatrix)),

osoittaa, että elementti n korvataan elementillä p n , kun se permutoidaan . Elementin P käänteisalkio on elementti

P^{-1}={\begin{pmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&\pisteet &p_{n}\\1&2&3&\pisteet &n\end{pmatrix)).

Mielenkiintoista on, että ryhmä S 3 on isomorfinen ryhmän D 3 kanssa, koska jälkimmäinen sisältää kaikki mahdolliset muunnokset, jotka vievät kolmion itseensä, ja kolmion muunnos voidaan antaa sen kolmen kärjen erilaisilla permutaatioilla:

E={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix));~~R_{120}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix));~R_{240 }={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix));

R_{1}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2\end{pmatrix));~R_{2}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix));~~ ~R_{3}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}.

Jäännösrenkaan kertova ryhmä (jossa on luonnollinen luku) on ryhmä , joka muodostuu koalkiluvusta tähteillä ( ) modulo Esimerkiksi $G(n)$ $n$ $n$ $\mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $n.$ $G(2)=\{1\},\quad G(3)\approx \mathbb {Z} _{2},\quad \quad G(4)\approx \mathbb {Z} _{2 },\quad \quad G(5)\approx \mathbb {Z} _{4},\quad \quad G(6)\approx \mathbb {Z} _{2},\quad \quad G(7) \noin \mathbb {Z} _{6},\quad \quad G(8)\noin \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.$

Abelin ryhmät

Abelin ryhmä on ryhmä , jossa ryhmäoperaatio on kommutatiivista ; eli ryhmä on Abelin, jos kahdelle elementille . $G$ $ab=ba$ $a,\;b\in G$

Ryhmäoperaatiota Abelin ryhmissä kutsutaan yleensä "lisäykseksi" ja sitä merkitään . Abelin ryhmät ovat perusta monimutkaisempien objektien, kuten renkaiden , kenttien ja moduulien , rakentamiselle abstraktissa algebrassa . Nimi on annettu norjalaisen matemaatikon Abelin kunniaksi hänen panoksestaan permutaatioryhmien tutkimuksessa. $+$

Esimerkkejä

Rinnakkaisten käännösten ryhmä lineaarisessa avaruudessa.
Mikä tahansa syklinen ryhmä . Todellakin, kaikille ja se on totta $G=\langle a\rangle$ $x=a^{n}$ $y=a^{m}$ $xy=a^{m}a^{n}=a^{{m+n}}=a^{n}a^{m}=yx$ .
- Erityisesti kokonaisluvut muodostavat kommutatiivisen ryhmän yhteenlaskun alla, kuten myös jäännösluokat . $\mathbb {Z}$ $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z }$
Mikä tahansa rengas on kommutatiivinen (Abelin) ryhmä lisäyksensä perusteella. Sisältää reaaliluvut summaustoiminnolla .
Kommutatiivisen renkaan käännettävät elementit , erityisesti minkä tahansa kentän nollasta poikkeavat alkiot , muodostavat kertomalla Abelin ryhmän. Esimerkiksi reaaliluvut, jotka eivät ole yhtä suuria kuin nolla, kertolaskutoiminnolla.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Analogisesti vektoriavaruuksien ulottuvuuden kanssa jokaisella Abelin ryhmällä on arvo . Se määritellään rationaalisten lukujen kentän yläpuolella olevan avaruuden minimimitana, johon ryhmän tekijä vääntönsä mukaan on upotettu .

Ominaisuudet

Äärimmäisen generoidut Abelin ryhmät ovat isomorfisia syklisten ryhmien suorille summille .
- Äärilliset Abelin ryhmät ovat isomorfisia äärellisten syklisten ryhmien suorille summille.
Jokaisella Abelin ryhmällä on luonnollinen moduulirakenne kokonaislukujen renkaan päällä . Todellakin, anna olla luonnollinen luku ja olla kommutatiivisen ryhmän elementti, jonka operaatio on merkitty +, niin voimme määritellä sekä ( kertaa) että . $n$ $x$ $G$ $nx$ $x+x+\ldots +x$ $n$ $(-n)x=-(nx)$
- Lausunnot ja lauseet, jotka ovat tosia Abelin ryhmille (eli moduulit pääideaalirenkaan yli ) , voidaan usein yleistää moduuleiksi mielivaltaisen pääideaalirenkaan yläpuolella. Tyypillinen esimerkki on
äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien luokittelu . $\mathbb {Z}$

Kaikkien ryhmähomomorfismien homomorfismien joukko alkaen - on itse Abelin ryhmä. Todellakin, olkoon kaksi ryhmähomomorfismia Abelin ryhmien välillä, niin niiden summa , annettu muodossa , on myös homomorfismi (tämä ei pidä paikkaansa, jos ryhmä ei ole kommutoiva).

\operaattorin nimi {Hom}(G,\;H)

G

H

f,\;g:G\-H

f+g

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

H

Rajalliset Abelin ryhmät

Peruslause äärellisen Abelin ryhmän rakenteesta sanoo, että mikä tahansa äärellinen Abelin ryhmä voidaan hajottaa sen syklisten aliryhmien suoraksi summaksi, jonka kertaluvut ovat alkulukujen potenssit . Tämä on seurausta yleisestä lauseesta äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien rakenteesta sellaiselle tapaukselle, jossa ryhmässä ei ole äärettömän järjestyksen elementtejä. on isomorfinen suoralle summalle silloin ja vain jos ja ovat koprime. $\mathbb{Z } _{{mn}}$ $\mathbb{Z } _{m}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $m$ $n$

Siksi Abelin ryhmä voidaan kirjoittaa suoran summan muodossa $G$

\mathbb{Z } _{{k_{1}}}\oplus \ldots \oplus \mathbb{Z } _{{k_{u}}}

kahdella eri tavalla:

Missä ovat alkuluvut $k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}$
Missä jakaa , mikä jakaa ja niin edelleen aina . $k_{1}$ $k_{2}$ $k_{3}$ $k_{u}$

Se voidaan esimerkiksi hajottaa kahden järjestyksen 3 ja 5 syklisen alaryhmän suoraksi summaksi: . Sama voidaan sanoa mistä tahansa viidentoista luokan Abelin ryhmästä, päättelemme, että kaikki luokan 15 Abelin ryhmät ovat isomorfisia. $\mathbb{Z } /15\mathbb{Z } =\mathbb{Z } _{{15}}$ $\mathbb{Z } /15\mathbb{Z } =\{0,\;5,\;10\}\oplus \{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Differentiaaliryhmä on Abelin ryhmä , jossa sellainen endomorfismi annetaan , että . Tätä endomorfismia kutsutaan differentiaaliksi . Differentiaaliryhmien elementtejä kutsutaan ketjuiksi , ydinsyklien elementeiksi , kuvarajojen elementeiksi . ${\mathbf {C}}$ $d\colon {\mathbf {C}}\to {\mathbf {C}}$ $d^{2}=0$ $\ker \,d$ ${\mathrm {Im}}\,d$

Hyperboliset ryhmät

Äärimmäisen generoitua ryhmää kutsutaan hyperboliseksi , jos se on hyperbolinen metriavaruudena.

Tarkemmin sanottuna rajallisesti luodulle ryhmälle, jossa on valittuja generaattoreita, on luonnollinen metriikka, sanakirjametriikka . Ryhmää kutsutaan hyperboliseksi, jos se tällä metriikalla varustettuna osoittautuu hyperboliseksi metriavaruudena. Koska kun valittu generaattorijärjestelmä korvataan, metriikka muuttuu kvasisometrisesti , samalla kun metriavaruuden hyperbolisuus säilyy, konsepti osoittautuu riippumattomaksi generaattorijärjestelmän valinnasta.

Koska hyperbolisuus on tietyssä mielessä metrisen avaruuden ominaisuuksien "samankaltaisuus" puun kanssa, vapaa ryhmä ( jonka Cayley-graafi on puu), jolla on äärellinen määrä generaattoreita, on hyperbolinen.
Ryhmä PSL(2,Z) on hyperbolinen.
Äärillinen ryhmä on hyperbolinen.

Hyperbolisuus säilyy, kun siirrytään äärellisen indeksin alaryhmään.
Mikä tahansa hyperbolinen ryhmä esitetään äärellisesti : sen antaa äärellinen määrä generaattoreita ja äärellinen määrä suhteita. (Tämän seurauksena hyperbolisia ryhmiä - toisin kuin kaikki ryhmät yleensä - on vain lukemattomia.)
Hyperbolisuus sisältää (ja itse asiassa vastaa) lineaarista isoperimetristä epäyhtälöä : triviaali sana, joka on kirjoitettu N:n generaattorin tulona, esitetään CN-konjugaattien tulona perusrelaatioihin (jossa tietyllä tavalla säädellään sen pituutta). konjugointituotteet).

P. de la Harp, E. Gies, Hyperboliset ryhmät Mikhail Gromovin mukaan

(P. de la Harpe, E. Ghys, Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov)

Mihail Gromov, Hyperboliset ryhmät. Ryhmäteorian esseitä, 75-263, Math. sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.

Edustusteoria

Ryhmäteorian sovellukset

Ryhmäteorialla on monia sovelluksia. Monia yleisalgebran rakenteita voidaan pitää ryhmien erikoistapauksina, esimerkiksi renkaita voidaan pitää Abelin ryhminä (yhteenlaskussa), joihin on lisätty toinen operaatio, kertolasku. Siksi ryhmät ovat suuren osan näiden esineiden teorian taustalla.

Galois'n teoria käyttää ryhmiä kuvaamaan polynomin juurien symmetriaa. Galois'n teorian peruslause muodostaa yhteyden algebrallisten laajennusten ja ryhmäteorian välille. Tämä antaa tehokkaan kriteerin algebrallisten yhtälöiden ratkaistavuudelle vastaavien Galois'n ryhmien olosuhteissa .

Ratkaisemattomia ongelmia ryhmäteoriassa

Tunnetuin ryhmäteorian useiden tuhansien ratkaisemattomien ongelmien kokoelma on Kourovka-muistikirja .

Muistiinpanot

↑ Elwes, Richard, " Valtava teoreema: äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelu, Arkistoitu 2. helmikuuta 2009 Wayback Machinessa " Plus Magazine , numero 41, joulukuu 2006.
↑ Esimerkiksi Cayleyn lause ja Cauchyn lause
↑ Barut A., Ronchka R. Ryhmäesitysteoria ja sen sovellukset, osa 1, 2, M., 1980.
↑ Operaatiota kutsutaan yleensä " kertolaskuksi ", harvemmin käytetään nimeä " yhteenlasku " .
↑ tästä esimerkiksi nimi " vääntöalaryhmä " on peräisin

Kirjallisuus

Lyakhovsky V. D., Bolokhov A. A. Symmetriaryhmät ja alkuainehiukkaset, Leningradin valtionyliopiston kustantamo, 1983.
Barut A., Ronchka R. Ryhmien esitysteoria ja sen sovellukset, osa 1, 2, M., 1980.
Zhelobenko D. P. Compact Lie -ryhmät ja niiden edustukset, Moskova, 1970.
Zhelobenko D. P., Shtern A. I. Lie-ryhmien edustajia, Moskova, 1980.
Kargapolov M. I. , Merzlyakov Yu. I. Ryhmäteorian perusteet, Nauka Publishing House, 1972.
Isaev A.P., Rubakov V.A. Ryhmien ja symmetrioiden teoria. loppuryhmät. Valheryhmät ja algebrat. Kustantaja URSS, 2018.

Linkit

R. Borcherds (englanti) , "Group theory" YouTube - soittolista
GAP-ryhmät, algoritmit, järjestelmän ohjelmointi laskennalliselle diskreetille algebralle
Korkeamman ulottuvuuden ryhmäteoria
Abstraktin ryhmäkäsitteen historia
Plus opettaja- ja opiskelijapaketti: Ryhmäteoria

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Bibliografisissa luetteloissa
BNE : XX4576398 BNF : 11941215h GND : 4072157-7 J9U : 987007543476605171 LCCN : sh85057512 NDL : 00562608 NKC : ph126556 SUDOC : 027351440

Ryhmäteoria
Peruskonseptit	Alaryhmä Normaali alaryhmä Tekijäryhmä Työ suoraan puolisuorat vapaa
Algebralliset ominaisuudet	kommutatiivista ryhmää Syklinen ryhmä tilattu ryhmä Muuta ryhmää Ratkaistava ryhmä Schreierin Lemma Lagrangen lause Sylowin lauseet Yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelu
rajalliset ryhmät	Äärillinen syklinen ryhmä C n Symmetrinen ryhmä S n Dihedral ryhmä D n Vaihteleva ryhmä A n Kleinin neljän hengen ryhmä Mathieun ryhmät M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway-ryhmät Yhteistyö 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankon ryhmät J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Kalastajaryhmät F22 _ F 23 F24 _ Hirviö (M)
Topologiset ryhmät	Valheryhmät Ortogonaalinen ryhmä O(n) Erityinen ortogonaalinen ryhmä SO(n) Yhtenäinen ryhmä U(n) Erityinen yhtenäinen ryhmä SU(n) Symplektinen ryhmä Sp(n) Poikkeuksellisen yksinkertainen Lorentzin ryhmä Poincarén ryhmä
Algoritmit ryhmissä	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier-muunnos