Kolmikulmainen mosaiikki

Kolmikulmainen mosaiikki
Tyyppi	puolisäännöllinen laatoitus
Vertex- kokoonpano	(3.6) 2
Schläfli-symboli	r{6,3} tai h 2 {6,3}
Wythoff- symboli	2 | 6 3 3 3 | 3
Coxeter-Dynkin- kaavio	=
Symmetriat	p6p, [6,3], (*632)
Pyörimissymmetriat	p6, [6,3] + , (632) p3 , [3 [3] ] + , (333)
Bowersin merkintä	Että
Kaksoiskenno _	rombinen mosaiikki
Ominaisuudet	vertex-transitive edge-transitiivinen

Kolmiheksagonaalinen laatoitus on yksi 11 yhtenäisestä laatoituksesta euklidisessa tasossa säännöllisistä monikulmioista [1] . Mosaiikki koostuu säännöllisistä kolmioista ja säännöllisistä kuusikulmioista , jotka on järjestetty siten, että jokainen kuusikulmio on kolmioiden ympäröimä ja päinvastoin. Laatoituksen nimi tulee siitä , että siinä yhdistyvät tavallinen kuusikulmainen laatoitus ja tavallinen kolmiolaatoitus . Kaksi kuusikulmiota ja kaksi kolmiota vuorottelevat kunkin kärjen ympärillä, ja reunat muodostavat loputtoman kokoonpanon viivoja . Kaksoislaatoitus on rombinen [2] .

Mosaiikin ja sen paikan homogeenisten mosaiikkien luokituksessa esitti Johannes Kepler jo vuonna 1619 kirjassaan Harmonices Mundi [3] . Mallia on pitkään käytetty japanilaisessa korin kudontassa , jossa sitä kutsuttiin kagomeksi . Fyysikot lainasivat japanilaista termiä tälle kuviolle, jossa sitä kutsuttiin kagome-hilaksi . Kuvio löytyy joidenkin mineraalien kiderakenteista. Conway käytti nimeä heksadeltille (kuuden delta-mosaiikki), joka yhdistää osia sanoista hex-/delta/tille [4] .

Kagome

Kagome (籠目) on perinteinen japanilainen bambukudontakuvio . Nimi on yhdistelmä sanoista kago (kori) ja minä (silmä), joista jälkimmäinen viittaa bambukorin reikiin.

Kagome on toisiinsa kietoutunut sauvojen kokoonpano, joka muodostaa kolmikulmaisen mosaiikkikuvion. Kudonta antaa kagomelle kiraalisen tapettiryhmän symmetrian, ryhmät p6.

kagomen ristikko

Termin kagome hila otti käyttöön japanilainen fyysikko, Venäjän tiedeakatemian ulkomainen jäsen [ 5] Koji Fushimi. Termi esiintyi ensimmäisen kerran vuonna 1951 julkaistussa artikkelissa, jonka Ishirō Shoji kirjoitti Fushimin johdolla [6] . Kagome-hila tässä mielessä koostuu kolmikulmaisen laatoituksen pisteistä ja reunoista. Toisin kuin nimi, nämä leikkauspisteet eivät muodosta matemaattista hilaa .

Yhdistetty 3D-rakenne, joka muodostuu neljänneskuution hunajakennon kärjeistä ja reunoista, joka täyttää tilan säännöllisillä tetraedreillä ja katkaistuilla tetraedreillä , kutsutaan kagome-hyperhilaksi [7] . Sitä edustavat neljänneskuutioiden hunajakennojen kärjet ja reunat, jotka täyttävät tilan tetraedreillä ja katkaistuilla tetraedreillä . Rakenne sisältää neljä sarjaa yhdensuuntaisia ​​tasoja, ja jokainen taso on kaksiulotteinen kagomehila. Toisessa esityksessä kolmiulotteisessa avaruudessa on rinnakkaiset kaksiulotteisten hilan tasot ja sitä kutsutaan ortorombiseksi kagome -hilaksi [7] . Kolmikulmaiset prismaattiset hunajakennot edustavat tämän hilan reunoja ja huippuja.

Jotkut mineraalit , nimittäin jarosiitti ja herbertsmitiitti , sisältävät kaksiulotteisia hiloja tai kolmiulotteisia kagomehiloja, jotka on muodostettu atomeista kiderakenteessa . Näillä mineraaleilla on geometrisiin turhautumismagneetteihin liittyviä fyysisiä ominaisuuksia . Esimerkiksi magneettisten ionien spinien jakauma Co 3 V 2 O 8 :ssa on järjestetty kagome-hilan muotoon ja osoittaa hämmästyttävää magneettista käyttäytymistä alhaisissa lämpötiloissa [8] . Termiä käytetään nykyään laajalti tieteellisessä kirjallisuudessa, erityisesti teoreettisen kagome-hilan magneettisten ominaisuuksien teoreettisessa tutkimuksessa.

Symmetria

Kolmikulmaisessa laatoituksessa on Schläfli-symboli r{6,3} ja Coxeter-Dynkin-kaavio , joka symboloi sitä tosiasiaa, että laatoitus on täysin katkaistu kuusikulmainen laatoitus , {6,3}. Sen symmetriat voidaan kuvata tapettiryhmällä p6mm, (*632) [9] . Laatoitus voidaan saada Wytoffin rakenteella tämän ryhmän perusheijastusalueilta . Kolmikulmainen laatoitus on kvasisäännöllinen laatoitus, joka vuorottelee kahden tyyppisiä polygoneja ja jolla on kärkikonfiguraatio (3.6) 2 . Laatoitus on myös yhtenäinen laatoitus , yksi kahdeksasta, joka on johdettu tavallisesta kuusikulmaisesta laatoituksesta.

Tasaiset värit

Kolmikulmaisessa laatassa on kaksi erilaista yhtenäistä väritystä . Näillä kahdella värjäyksellä, jos määrität väriindeksit neljälle pinnalle kärjen ympärillä (3.6.3.6), on indeksijoukot 1212 ja 1232 [10] . Toista väritystä kutsutaan viistetyksi kuusikulmioksi , h 2 {6,3}, jossa on kaksi kolmioväriä p3m1-tapettiryhmän symmetriasta (*333) .

Symmetria	p6m, (*632)	p3m, (*333)
Väritys
perusalue _
Wythoff- symboli	2 | 6 3	3 3 | 3
Coxeter -Dynkin- kaavio		=
Schläfli- symboli	r{6,3}	r{3 [3] } = h 2 {6,3}

Topologisesti vastaavat laatoitukset

Kolmikulmainen laatoitus voidaan kaareutua geometrisesti topologisesti vastaaviksi laatoiksi, joilla on pienempi symmetria [10] . Näissä mosaiikkiversioissa reunat eivät välttämättä ole segmenttejä (ne voivat olla kaarevia).

Aiheeseen liittyvät lähes tavalliset laatoitukset

Kolmikulmainen laatoitus esiintyy lähes säännöllisten laatoitusten symmetriajonossa, jossa on kärkikonfiguraatiot (3. n ) 2 , joka alkaa pallon laatoituksista, menee euklidiselle tasolle ja siirtyy hyperboliseen tasoon. Orbifold -merkinnällä* n 32 symmetria, kaikki nämä laatoitukset luodaan Wythoff-konstruktiolla , jossa on perussymmetria - alue ja generaattoripiste alueen kärjessä, jossa on suora kulma [11] [12] .

Liittyvät säännölliset kompleksiset äärettömät

On olemassa 2 säännöllistä kompleksista ääretöntä, joilla on samat kärjet kuin kolmikulmaisella laatoituksella. Säännöllisillä kompleksisilla äärettömillä on kärjet ja reunat, kun taas reunoilla voi olla 2 tai useampia pisteitä. Säännöllisillä äärettömillä (apeirogoneilla) p { q } r on rajoittava yhtälö: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Reunoissa on p pistettä, jotka on järjestetty säännöllisen monikulmion tapaan, ja pistekuviot ovat r -gonaalisia [13 ] .

Ensimmäinen ääretön koostuu kolmiomaisista reunoista, kahdesta kolmiosta kunkin kärjen ympärillä, toisessa on kuusikulmaiset reunat, kaksi kuusikulmiota kunkin kärjen ympärillä.

3{12}2 tai	6{6}2 tai

Katso myös

• perkolaatiokynnys
• Davidin tähti
• Kolmikulmaiset prismaattiset hunajakennot

Muistiinpanot

1. ↑ Grünbaum, Shephard, 1987 . Katso erityisesti Lause 2.1.3 sivulla 59 (homogeenisten laatoitusten luokitus), Kuva 2.1.5 sivulla 63 (kuva tästä laatoituksesta), Lause 2.9.1 sivulla 103 (värillisten laatoitusten luokitus), Kuva 2.9 . 2 sivulla 105 (kuva värillisistä laatoista), Kuva 2.5.3(d) sivulla 83 (topologisesti vastaava tähtilaatoitus) ja Harjoitus 4.1.3 sivulla 171 (kolmikuus- ja kaksikulmaisten laatoitusten topologinen vastaavuus).
2. ↑ Williams, 1979 , s. 38.
3. ↑ Kepler, 1997 , s. 104-105.
4. ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strauss, 2008 , s. 288.
5. ↑ Fushimi Koji. | ON ARAN . Haettu 4. syyskuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 4. kesäkuuta 2021. (määrätön)
6. ↑ Mekata, 2003 , s. 12–13.
7. ↑ 1 2 Lawler, Kee, Kim, Vishwanath, 2008 .
8. ↑ Yen, Chaudhury, Galstyan et ai., 2008 , s. 1487-1489
9. ↑ Steurer, Deloudi, 2009 , s. kaksikymmentä.
10. ↑ 1 2 Grünbaum, Shephard, 1987 .
11. ↑ Coxeter, 1973 .
12. ↑ Daniel Husonin kaksiulotteiset symmetriamutaatiot
13. ↑ Coxeter, 1991 , s. 111-112, 136.

Kirjallisuus

• Robert Williams. Luonnonrakenteen geometrinen perusta: suunnittelun lähdekirja . - New York: Dover Publications , 1979. - s  . 32 . — ISBN 0-486-23729-X .
• Branko Grünbaum , Shephard GC -laatat ja -kuviot. - New York: W.H. Freeman, 1987. - ISBN 0-7167-1193-1 .
• Johannes Kepler. The Harmony of the World, Johannes Kepler / Aiton EJ, Duncan AM, Field JV. - American Philosophical Society, 1997. - T. 209. - S. 104-105. - (American Philosophical Societyn muistelmat). — ISBN 9780871692092 .
• Coxeter HSMD säännölliset monimutkaiset polytoopit . – 2. - New York, Port Chester, Melburne, Sydney: Cambridge University Press, 1991. - P.  111-112 , 136. - ISBN 0-521-39490-2 .
• Coxeter HSMD Luku V: Kaleidoskooppi, Osa: 5.7 Wytoffin rakenne // Tavalliset polytoopit . — Kolmas painos. - Dover-painos, 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Luku 21: Archimedean ja Katalonian monitahoisten ja laattojen nimeäminen; Euklidisen tason tessellaatiot // Asioiden symmetriat. - Wellesley, MA: A.K. Peters, Ltd., 2008. - S. 288. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
• Mamoru Mekata. Kagome: Tarina koripudotusta hilasta // Physics Today. - AIP Publishing, 2003. - Helmikuu ( nide 56 , numero 2 ). — S. 12–13 . - doi : 10.1063/1.1564329 . — .
• Michael J. Lawler, Hae-Young Kee, Yong Baek Kim, Ashvin Vishwanath. Topologinen spinneste Na 4 Ir 3 O 8 :n hyperkagomihilassa  // Physical Review Letters. - 2008. - Kesäkuu ( nide 100 , numero 22 ). - doi : 10.1103/physrevlett.100.227201 . - . - arXiv : 0705.0990 .
• Yen F., Chaudhury RP, Galstyan E., Lorenz B., Wang YQ, Sun YY, Chu CW Kagomen portaikkoyhdisteen Co 3 V 2 O 8 magneettiset vaihekaaviot  // Physica B: Condensed Matter. - 2008. - T. 403 . - S. 1487-1489 . - doi : 10.1016/j.physb.2007.10.334 . - . - arXiv : 0710.1009 .
• Dale Seymour, Jill Britton. Johdatus Tessellaatioihin . - 1989. - S.  50-56 . — ISBN 978-0866514613 .
• Walter Steurer, Sofia Deloudi. Kvasikiteiden kristallografia: käsitteet, menetelmät ja rakenteet . - Springer, 2009. - T. 126. - P. 20. - (Springer-sarja materiaalitieteessä). — ISBN 9783642018992 .