Tasaiset laatoitukset hyperbolisella tasolla
| pallomainen | Euklidinen | Hyperbolinen | |
|---|---|---|---|
{5,3} 5.5.5    
|
{6,3} 6.6.6 
|
{7,3} 7.7.7 
|
{∞,3} ∞.∞.∞ 
|
| Säännölliset laatoitukset pallolla {p,q}, euklidisessa tasossa ja hyperbolisessa tasossa säännöllisillä viisikulmioilla, kuusikulmioilla, seitsemillä ja äärettömillä pinnoilla. | |||
t{5,3} 10.10.3
|
t{6,3} 12.12.3
|
t{7,3} 14.14.3
|
t{∞,3} ∞.∞.3
|
| Katkaistuissa laatoissa on 2p.2p.q vertex-lukuja, jotka on johdettu säännöllisestä {p,q} | |||
r{5,3} 3.5.3.5
|
r{6,3} 3.6.3.6
|
r{7,3} 3.7.3.7
|
r{∞,3} 3.∞.3.∞
|
| Kvasisäännölliset laatoitukset ovat samanlaisia kuin tavalliset laatoitukset, mutta niissä on kahden tyyppisiä säännöllisiä polygoneja, jotka vuorottelevat kunkin kärjen ympärillä. | |||
rr{5,3} 3.4.5.4
|
rr{6,3} 3.4.6.4
|
rr{7,3} 3.4.7.4
|
rr{∞,3} 3.4.∞.4
|
| Puolisäännöllisissä laatoissa on useampi kuin yksi säännöllinen monikulmiotyyppi. | |||
tr{5,3} 4.6.10
|
tr{6,3} 4.6.12
|
tr{7,3} 4.6.14
|
tr{∞,3} 4.6.∞
|
| Katkaistuissa laatoissa on kolme tai useampia säännöllisiä polygoneja, joissa on parillinen määrä sivuja. | |||
Hyperbolisessa geometriassa homogeeninen (säännöllinen, kvasisäännöllinen tai puolisäännöllinen) hyperbolinen laatoitus on hyperbolisen tason täyttö reunasta reunaan säännöllisillä monikulmioilla , joilla on ominaisuus kärjen transitiivisuus ( tämä on huippupistetransitiivinen laatoitus , isogonaalinen , eli on liike , joka vie minkä tahansa kärjen johonkin toiseen). Tästä seuraa, että kaikki kärjet ovat kongruentteja ja laatoituksessa on korkea rotaatio- ja translaatiosymmetria .
Tasaiset laatoitukset määritellään yksiselitteisesti niiden kärkikonfiguraatiolla , joka on numerosarja, joka edustaa kunkin kärjen ympärillä olevien monikulmion sivujen lukumäärää. Esimerkiksi 7.7.7 edustaa seitsemänkulmaista laatoitusta, jonka jokaisen kärjen ympärillä on 3 heptagonia . Se on oikein, koska kaikki polygonit ovat samankokoisia. Siten se voidaan määrittää Schläfli-symbolilla {7,3}.
Tasaiset laatoitukset voivat olla säännöllisiä (jos ne ovat myös pinta- ja reunatransitiivisia), kvasisäännöllisiä (jos ne ovat reunatransitiivisia, mutta eivät pintatransitiivisia) tai puolisäännöllisiä (jos ne eivät ole reuna- tai pintatransitiivisia). Säännöllisille kolmioille ( p q 2) on kaksi säännöllistä laatoitusta Schläfli-symboleilla { p , q } ja { q , p }.
Wytoffin rakennus
Schwarzin kolmioihin ( p q r ) perustuvia yhtenäisiä laatoituksia on ääretön määrä , missä 1/p + 1/q + 1/r < 1, missä p , q , r ovat heijastussymmetriaasteita kolmessa kärjessä . peruskolmio - symmetriaryhmä on kolmion hyperbolinen ryhmä .
Jokainen symmetriaperhe sisältää 7 yhtenäistä laatoitusta, jotka määritellään Wythoff-symbolilla tai Coxeter-Dynkin-kaaviolla , 7 kolmen aktiivisen peilin yhdistelmää. 8. mosaiikki edustaa vuorottelun operaatiota , puolet kärkien poistamista aktiivisten peilien korkeimmasta muodosta.
Perheet, joissa r = 2, sisältävät säännöllisiä hyperbolisia laattoja , jotka ovat määrittäneet Coxeter-ryhmät , kuten [7,3], [8,3], [9,3], ... [5,4], [6,4], . . ..
Hyperboliset perheet, joissa r = 3 tai enemmän, määritellään symboleilla ( p q r ) ja sisältävät (4 3 3), (5 3 3), (6 3 3) ... (4 4 3), (5 4 3) ), ... (4 4 4)....
Hyperboliset perheet ( p q r ) määrittelevät kompaktit homogeeniset hyperboliset laatoitukset. Rajassa mikä tahansa luvuista p , q tai r voidaan korvata symbolilla ∞, joka antaa parakompaktin hyperbolisen kolmion ja luo yhtenäisiä laattoja, joilla on joko äärettömät pinnat (kutsutaan apeirogoniiksi tai äärettömiksi), jotka suppenevat yhteen kuvitteelliseen pisteeseen. , tai äärettömät kärkiluvut, joissa on ääretön määrä reunoja, jotka lähtevät yhdestä imaginaaripisteestä.
On mahdollista rakentaa lisää symmetriaperheitä perusalueista, jotka eivät ole kolmiomaisia.
Jotkut yhtenäisten laatoitusten perheet on esitetty alla (käyttäen Poincarén mallia hyperboliselle tasolle). Kolme niistä - (7 3 2), (5 4 2) ja (4 3 3) - eikä muita, ovat minimaalisia siinä mielessä, että jos jokin määrittävistä luvuista korvataan pienemmällä kokonaisluvulla, saadaan joko Euklidinen tai pallomainen laatoitus, ei hyperbolinen. Ja päinvastoin, mitä tahansa lukua voidaan suurentaa (jopa korvata äärettömyydellä), jotta saadaan erilainen hyperbolinen kuvio.
Jokainen yhtenäinen laatoitus muodostaa kaksinkertaisen yhtenäisen laatoituksen , ja monet niistä on lueteltu myös alla.
Suorakulmaiset peruskolmiot
Kolmioryhmiä on äärettömän monta perhettä ( p q 2). Paperissa esitetään säännölliset laatoitukset aina p , q = 8 asti ja 12 perheen homogeeniset laatoitukset: (7 3 2), (8 3 2), (5 4 2), (6 4 2), (7 4 2), ( 8 4 2), (5 5 2), (6 5 2) (6 6 2), (7 7 2), (8 6 2) ja (8 8 2).
Säännölliset hyperboliset laatoitukset
Yksinkertaisin hyperbolisten laatoitusten joukko on tavalliset laatoitukset { p , q }. Säännöllisen laatoituksen { p , q } kaksoislaatoitus on { q , p } (taulukon diagonaalit ovat symmetrisiä). Itsestään kaksoislaatoitus {3,3} , {4,4} , {5,5} jne. sijaitsee pöydän diagonaalissa.
| Pallomainen (platoninen) / euklidinen / hyperbolinen (Poincare-levy: kompakti / parakompakti / ei- kompakti ) laatoitus Schläfli-symboleineen | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| p\q | 3 | neljä | 5 | 6 | 7 | kahdeksan | ... | ∞ | ... | iπ/λ |
| 3 | ( tetraedri ) {3,3}
|
( oktaedri ) {3,4} 
|
( ikosaedri ) {3,5}
|
( delta laatta ) {3,6}
|
{3,7}
|
{3,8} 
|
{3,∞}
|
{3,iπ/λ} 
| ||
| neljä | ( kuutio ) {4,3}
|
( quadrille ) {4,4}
|
{4,5}
|
{4,6}
|
{4,7}
|
{4,8}
|
{4,∞}
|
{4,iπ/λ}
| ||
| 5 | ( dodekaedri ) {5,3}
|
{5,4}
|
{5,5}
|
{5,6}
|
{5,7}
|
{5,8}
|
{5,∞}
|
{5,iπ/λ}
| ||
| 6 | ( heksatiili ) {6,3}
|
{6,4}
|
{6,5}
|
{6,6}
|
{6,7}
|
{6,8}
|
{6,∞}
|
{6,iπ/λ}
| ||
| 7 | {7,3}
|
{7,4}
|
{7,5}
|
{7,6}
|
{7,7}
|
{7,8}
|
{7,∞}
|
{7,iπ/λ}
| ||
| kahdeksan | {8,3}
|
{8,4}
|
{8,5}
|
{8,6}
|
{8,7}
|
{8,8}
|
{8,∞}
|
{8,iπ/λ}
| ||
| ... | ||||||||||
| ∞ | {∞,3}
|
{∞,4}
|
{∞,5}
|
{∞,6}
|
{∞,7}
|
{∞,8}
|
{∞,∞}
|
{∞,iπ/λ}
| ||
| ... | ||||||||||
| iπ/λ | {ip/λ,3}
|
{ip/λ,4}
|
{ip/λ,5}
|
{ip/λ,6}
|
{ip/λ,7}
|
{ip/λ,8}
|
{iπ/λ,∞}
|
{iπ/λ,iπ/λ}
| ||
(7 3 2)
Kolmioryhmä (7 3 2) , Coxeter-ryhmä [7,3], orbifold (*732) sisältävät nämä homogeeniset laatoitukset.
| Tasaiset seitsemänkulmaiset/kolmiolaatat | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [7,3], (*732) | [7,3] + , (732) | |||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||
| {7,3} | t{7,3} | r{7,3 | 2t{7,3} =t{3,7} | 2r{7,3} ={3,7} | rr{7,3 | tr{7,3 | sr{7,3 | |||
| Homogeeniset kaksoislaatat | ||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||
| V7 3 | V3.14.14 | V3.7.3.7 | V6.6.7 | V3 7 | V3.4.7.4 | V4.6.14 | V3.3.3.3.7 | |||
(8 3 2)
Kolmioryhmä (8 3 2) , Coxeter-ryhmä [8,3], orbifold (*832) sisältävät nämä yhtenäiset laatoitukset.
| Homogeeniset kahdeksankulmaiset/kolmiolaatat | |||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [8,3], (*832) | [8,3] + (832) |
[1 + ,8,3] (*443) |
[8,3 + ] (3*4) | ||||||||||
| {8,3} | t{8,3} | r{8,3} | t{3,8} | {3,8} | rr{8,3} s 2 {3,8} |
tr{8,3} | sr{8,3} | h{8,3} | h 2 {8,3} | s{3,8} | |||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
   
|
|
|
  tai
|
tai
|
| ||||||||
| Homogeeniset kaksoiskappaleet | |||||||||||||
| V8 3 | V3.16.16 | V3.8.3.8 | V6.6.8 | V3 8 | V3.4.8.4 | V4.6.16 | V3 4.8 _ | V(3.4) 3 | V8.6.6 | V3 5.4 _ | |||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||
(5 4 2)
Kolmioryhmä (5 4 2) , Coxeter-ryhmä [5,4], orbifold (*542) sisältävät nämä yhtenäiset laatoitukset.
| Tasaiset viisikulmaiset/neliömäiset laatoitukset | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [5,4], (*542) | [5,4] + , (542) | [5 + ,4], (5*2) | [5,4,1 + ], (*552) | ||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
| {5,4} | t{5,4} | r{5,4} | 2t{5,4}=t{4,5} | 2r{5,4}={4,5} | rr{5,4} | tr{5,4} | sr{5,4} | s{5,4} | h{4,5} | ||
| Homogeeniset kaksoiskappaleet | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
| V5 4 | V4.10.10 | V4.5.4.5 | V5.8.8 | V4 5 | V4.4.5.4 | V4.8.10 | V3.3.4.3.5 | V3.3.5.3.5 | V5 5 | ||
(6 4 2)
Kolmioryhmä (6 4 2) , Coxeter-ryhmä [6,4], orbifold (*642) sisältävät nämä homogeeniset laatoitukset. Koska kaikki elementit ovat parillisia, kahdesta kaksoishomogeenisesta laatoituksesta toinen edustaa peilisymmetrian perusaluetta: *3333, *662, *3232, *443, *222222, *3222 ja *642. Kaikki seitsemän laatoitusta voivat olla vuorottelevia, ja tuloksena oleville laatoille on olemassa kaksoislaatoitus.
| Homogeeniset nelikuusikulmaiset laatoitukset | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria : [6,4], (*642 ) ( [6,6] (*662), [(4,3,3)] (*443) , [∞,3,∞] (*3222) indeksi 2 alisymmetriat) (ja [(∞,3,∞,3)] (*3232) alisymmetriat) | |||||||||||
=    =  = 
|
= 
|
= =  =
|
=
|
=  = = 
|
=
|
| |||||
| {6,4} | t{6,4} | r{6,4} | t{4,6} | {4,6} | rr{6,4} | tr{6,4} | |||||
| Homogeeniset kaksoiskappaleet | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
| v64_ _ | V4.12.12 | V(4.6) 2 | V6.8.8 | v46_ _ | V4.4.4.6 | V4.8.12 | |||||
| Vaihtoehdot | |||||||||||
| [1 + ,6,4] (*443) |
[6 + ,4] (6*2) |
[6,1 + ,4] (*3222) |
[6,4 + ] (4*3) |
[6,4,1 + ] (*662) |
[(6,4,2 + )] (2*32) |
[6,4] + (642) | |||||
=
|
= 
|
=  
|
=
|
= 
|
= 
|
| |||||
| h{6,4} | s{6,4} | h{6,4} | s{4,6} | h{4,6} | hrr{6,4} | sr{6,4} | |||||
(7 4 2)
Kolmioryhmä (7 4 2) , Coxeter-ryhmä [7,4], orbifold (*742) sisältävät nämä yhtenäiset laatoitukset.
| Tasaiset seitsemänkulmaiset/neliömäiset laatoitukset | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [7,4], (*742) | [7,4] + , (742) | [7 + ,4], (7*2) | [7,4,1 + ], (*772) | ||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
| {7,4} | t{7,4} | r{7,4} | 2t{7,4}=t{4,7} | 2r{7,4}={4,7} | rr{7,4} | tr{7,4} | sr{7,4} | s{7,4} | h{4,7} | ||
| Homogeeniset kaksoiskappaleet | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
| V74 _ | V4.14.14 | V4.7.4.7 | V7.8.8 | v47_ _ | V4.4.7.4 | V4.8.14 | V3.3.4.3.7 | V3.3.7.3.7 | V77_ _ | ||
(8 4 2)
Kolmioryhmä (8 4 2) , Coxeter-ryhmä [8,4], orbifold (*842) sisältävät nämä yhtenäiset laatoitukset. Koska kaikki elementit ovat parillisia, kahdesta kaksoishomogeenisesta laatoituksesta toinen edustaa peilisymmetrian perusaluetta: *4444, *882, *4242, *444, *22222222, *4222 ja *842. Kaikki seitsemän laatoitusta voivat olla vuorottelevia, ja tuloksena oleville laatoille on olemassa kaksoislaatoitus.
| Tasaiset kahdeksankulmaiset/neliömäiset laatoitukset | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [8,4], (*842) ([8,8] (*882), [(4,4,4)] (*444) , [∞,4,∞] (*4222) indeksin 2 alisymmetria ) (ja osasymmetria [(∞,4,∞,4)] (*4242) ) | |||||||||||
=  = = 
|
=
|
= = =
|
=
|
= =
|
=
|
| |||||
| {8,4} | t{8,4} |
r{8,4} | 2t{8,4}=t{4,8} | 2r{8,4}={4,8} | rr{8,4} | tr{8,4} | |||||
| Single Dual | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
| V84_ _ | V4.16.16 | V(4.8) 2 | V8.8.8 | V4 8 | V4.4.4.8 | V4.8.16 | |||||
| Vuorotellen | |||||||||||
| [1 + ,8,4] (*444) |
[8 + ,4] (8*2) |
[8,1 + ,4] (*4222) |
[8,4 + ] (4*4) |
[8,4,1 + ] (*882) |
[(8,4,2 + )] (2*42) |
[8,4] + (842) | |||||
=
|
= 
|
=
|
=
|
=
|
=
|
| |||||
| h{8,4} | s{8,4} | h{8,4} | s{4,8} | h{4,8} | hrr{8,4} | sr{8,4} | |||||
| Vaihtelevat duaalit | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
| V(4.4) 4 | V3.(3.8) 2 | V(4.4.4) 2 | V(3.4) 3 | V88_ _ | v4.44 _ | V3.3.4.3.8 | |||||
(5 5 2)
Kolmioryhmä (5 5 2) , Coxeter-ryhmä [5,5], orbifold (*552) sisältävät nämä yhtenäiset laatoitukset.
| Homogeeniset viisi viisikulmaiset laatoitukset | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [5,5], (*552) | [5,5] + , (552) | ||||||||||
=
|
=
|
=
|
=
|
=
|
=
|
=
|
=
| ||||
| {5,5} | t{5,5} |
r{5,5} | 2t{5,5}=t{5,5} | 2r{5,5}={5,5} | rr{5,5} | tr{5,5} | sr{5,5} | ||||
| Homogeeniset kaksoiskappaleet | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
| V5.5.5.5.5 | V5.10.10 | V5.5.5.5 | V5.10.10 | V5.5.5.5.5 | V4.5.4.5 | V4.10.10 | V3.3.5.3.5 | ||||
(6 5 2)
Kolmioryhmä (6 5 2) , Coxeter-ryhmä [6,5], orbifold (*652) sisältävät nämä yhtenäiset laatoitukset.
| Homogeeniset kuusikulmio/viisikulmaiset laatat | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [6,5], (*652) | [6,5] + , (652) | [6,5 + ], (5*3) | [1 + ,6,5], (*553) | ||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
| {6,5} | t{6,5} | r{6,5} | 2t{6,5}=t{5,6} | 2r{6,5}={5,6} | rr{6,5} | tr{6,5} | sr{6,5} | s{5,6} | h{6,5} | ||
| Homogeeniset kaksoiskappaleet | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
| v65_ _ | V5.12.12 | V5.6.5.6 | V6.10.10 | V5 6 | V4.5.4.6 | V4.10.12 | V3.3.5.3.6 | V3.3.3.5.3.5 | V(3.5) 5 | ||
(6 6 2)
Kolmioryhmä (6 6 2) , Coxeter-ryhmä [6,6], orbifold (*662) sisältävät nämä yhtenäiset laatoitukset.
| Tasaiset kuusikulmaiset laatoitukset | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [6,6], (*662) | ||||||
=  =
|
= =
|
= =
|
= =
|
= =
|
= =
|
= =
|
| {6,6} = h{4,6} |
t{6,6} = h 2 {4,6} |
r{6,6} {6,4} |
t{6,6} = h 2 {4,6} |
{6,6} = h{4,6} |
rr{6,6} r{6,4} |
tr{6,6} t{6,4} |
| Homogeeniset kaksoiskappaleet | ||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| V6 6 | V6.12.12 | V6.6.6.6 | V6.12.12 | V6 6 | V4.6.4.6 | V4.12.12 |
| Vuorotellen | ||||||
| [1 + ,6,6] (*663) |
[6 + ,6] (6*3) |
[6,1 + ,6] (*3232) |
[6,6 + ] (6*3) |
[6,6,1 + ] (*663) |
[(6,6,2 + )] (2*33) |
[6,6] + (662) |
| =
|
|
=
|
|
=
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| h{6,6} | s{6,6} | h{6,6} | s{6,6} | h{6,6} | hrr{6,6} | sr{6,6} |
(8 6 2)
Kolmioryhmä (8 6 2) , Coxeter-ryhmä [8,6], orbifold (*862) sisältävät nämä yhtenäiset laatoitukset.
| Tasaiset kahdeksankulmaiset/kuusikulmaiset laatoitukset | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria : [8,6], (*862) | ||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| {8,6} | t{8,6} |
r{8,6} | 2t{8,6}=t{6,8} | 2r{8,6}={6,8} | rr{8,6} | tr{8,6} |
| Homogeeniset kaksoiskappaleet | ||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| V86_ _ | V6.16.16 | V(6.8) 2 | V8.12.12 | V6 8 | V4.6.4.8 | V4.12.16 |
| Vuorotellen | ||||||
| [1 + ,8,6] (*466) |
[8 + ,6] (8*3) |
[8,1 + ,6] (*4232) |
[8,6 + ] (6*4) |
[8,6,1 + ] (*883) |
[(8,6,2 + )] (2*43) |
[8,6] + (862) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| h{8,6} | s{8,6} | h{8,6} | s{6,8} | h{6,8} | hrr{8,6} | sr{8,6} |
| Vaihtelevat duaalit | ||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| V(4.6) 6 | V3.3.8.3.8.3 | V(3.4.4.4) 2 | V3.4.3.4.3.6 | V(3.8) 8 | v3.45 _ | V3.3.6.3.8 |
(7 7 2)
Kolmioryhmä (7 7 2) , Coxeter-ryhmä [7,7], orbifold (*772) sisältävät nämä yhtenäiset laatoitukset.
| Homogeeniset seitsemänkulmaiset laatoitukset | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [7,7], (*772) | [7,7] + , (772) | ||||||||||
= =
|
= =
|
= =
|
= =
|
= =
|
= =
|
= =
|
= =
| ||||
| {7,7} | t{7,7} |
r{7,7} | 2t{7,7}=t{7,7} | 2r{7,7}={7,7} | rr{7,7} | tr{7,7} | sr{7,7} | ||||
| Homogeeniset kaksoiskappaleet | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
| V77_ _ | V7.14.14 | V7.7.7.7 | V7.14.14 | V77_ _ | V4.7.4.7 | V4.14.14 | V3.3.7.3.7 | ||||
(8 8 2)
Kolmioryhmä (8 8 2) , Coxeter-ryhmä [8,8], orbifold (*882) sisältävät nämä yhtenäiset laatoitukset.
| Homogeeniset kahdeksankulmaiset laatoitukset | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [8,8], (*882) | |||||||||||
= =
|
= =
|
= =
|
= =
|
= =
|
= =
|
= =
| |||||
| {8,8} | t{8,8} |
r{8,8} | 2t{8,8}=t{8,8} | 2r{8,8}={8,8} | rr{8,8} | tr{8,8} | |||||
| Homogeeniset kaksoiskappaleet | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
| V88_ _ | V8.16.16 | V8.8.8.8 | V8.16.16 | V88_ _ | V4.8.4.8 | V4.16.16 | |||||
| Vuorotellen | |||||||||||
| [1 + ,8,8] (*884) |
[8 + ,8] (8*4) |
[8,1 + ,8] (*4242) |
[8,8 + ] (8*4) |
[8,8,1 + ] (*884) |
[(8,8,2 + )] (2*44) |
[8,8] + (882) | |||||
| =
|
|
=
|
|
=
|
= =
|
= =
| |||||
| h{8,8} | s{8,8} | h{8,8} | s{8,8} | h{8,8} | hrr{8,8} | sr{8,8} | |||||
| Vaihtoehtoiset duaalit | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
| V(4.8) 8 | V3.4.3.8.3.8 | V(4.4) 4 | V3.4.3.8.3.8 | V(4.8) 8 | v46_ _ | V3.3.8.3.8 | |||||
Yleiset peruskolmiot
Yleisiä kolmioryhmiä ( p q r ) on äärettömän monta perhettä . Artikkelissa näkyy homogeenisia mosaiikkeja 9 perheestä: (4 3 3), (4 4 3), (4 4 4), (5 3 3), (5 4 3), (5 4 4), (6 3 3) , (6 4 3) ja (6 4 4).
(4 3 3)
Kolmioryhmä (4 3 3) , Coxeter-ryhmä [(4,3,3)], orbifold (*433) sisältävät nämä yhtenäiset laatoitukset. Ilman suoraa kulmaa peruskolmiossa Wytoffin rakenteet ovat hieman erilaisia. Esimerkiksi kolmioiden perheessä (4,3,3) snubilla on kuusi monikulmiota kärjen ympärillä ja sen duaalissa on kuusikulmiot, ei viisikulmiot. Yleensä kolmion ( p , q , r ) snub-laatoituksen kärkikuvio on muotoa p.3.q.3.r.3, erityisesti tapaukselle muotoa 4.3.3.3.3.3 alla.
| Tasaiset laatat (4,3,3) | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [(4,3,3)], (*433) | [(4,3,3)] + , (433) | ||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
| h{8,3} t 0 (4,3,3) |
r{3,8} 1/2 t 0,1 ( 4,3,3 ) |
h{8,3} t 1 (4,3,3) |
t 2 {8,3} t 1,2 (4,3,3) |
{3,8} 1/2 t 2 ( 4,3,3 ) |
t 2 {8,3} t 0,2 (4,3,3) |
t {3,8} 1/2 t 0,1,2 ( 4,3,3) |
s{3,8} 1/2 s( 4,3,3 ) | ||||
| Homogeeniset kaksoiskappaleet | |||||||||||
| V(3.4) 3 | V3.8.3.8 | V(3.4) 3 | V3.6.4.6 | V(3.3) 4 | V3.6.4.6 | V6.6.8 | V3.3.3.3.3.4 | ||||
(4 4 3)
Kolmioryhmä (4 4 3) , Coxeter-ryhmä [(4,4,3)], orbifold (*443) sisältävät nämä homogeeniset laatoitukset.
| Tasaiset laatat (4,4,3) | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [(4,4,3)] (*443) | [(4,4,3)] + (443) |
[(4,4,3 + )] (3*22) |
[(4,1 + ,4,3)] (*3232) | |||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| h{6,4} t 0 (4,4,3) |
t 2 {6,4} t 0,1 (4,4,3) |
{4,6} 1/2 t 1 ( 4,4,3 ) |
t 2 {6,4} t 1,2 (4,4,3) |
h{6,4} t 2 (4,4,3) |
r{6,4} 1/2 t 0,2 ( 4,4,3 ) |
t {4,6} 1/2 t 0,1,2 ( 4,4,3) |
s{4,6} 1/2 s( 4,4,3 ) |
h{4,6} 1/2 h ( 4,3,4) |
h{4,6} 1/2 h ( 4,3,4) |
q{4,6} h 1 (4,3,4) |
| Homogeeniset kaksoiskappaleet | ||||||||||
| V(3.4) 4 | V3.8.4.8 | V(4.4) 3 | V3.8.4.8 | V(3.4) 4 | V4.6.4.6 | V6.8.8 | V3.3.3.4.3.4 | V(4.4.3) 2 | V6 6 | V4.3.4.6.6 |
(4 4 4)
Kolmioryhmä (4 4 4) , Coxeter-ryhmä [(4,4,4)], orbifold (*444) sisältävät nämä homogeeniset laatoitukset.
| Tasaiset laatat (4,4,4) | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [(4,4,4)], (*444) | [(4,4,4)] + (444) |
[(1 + ,4,4,4)] (*4242) |
[(4 + ,4,4)] (4*22) | ||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
| t 0 (4,4,4) h{8,4} |
t 0,1 (4,4,4) h 2 {8,4} |
t 1 ( 4,4,4) { 4,8} 1/2 |
t 1,2 (4,4,4) h 2 {8,4} |
t 2 (4,4,4) h{8,4} |
t 0,2 ( 4,4,4) r {4,8} 1/2 |
t 0,1,2 ( 4,4,4) t {4,8} 1/2 |
s ( 4,4,4) s {4,8} 1/2 |
h(4,4,4) h { 4,8} 1/2 |
hr(4,4,4) h { 4,8} 1/2 | ||
| Homogeeniset kaksoiskappaleet | |||||||||||
| V(4.4) 4 | V4.8.4.8 | V(4.4) 4 | V4.8.4.8 | V(4.4) 4 | V4.8.4.8 | V8.8.8 | V3.4.3.4.3.4 | V88_ _ | V(4,4) 3 | ||
(5 3 3)
Kolmioryhmä (5 3 3), Coxeter-ryhmä [(5,3,3)], orbifold (*533) sisältävät nämä yhtenäiset laatoitukset.
| Tasaiset laatat (5,3,3) | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [(5,3,3)], (*533) | [(5,3,3)] + , (533) | ||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
| h{10,3} t 0 (5,3,3) |
r{3,10} 1/2 t 0,1 ( 5,3,3 ) |
h{10,3} t 1 (5,3,3) |
t 2 {10,3} t 1,2 (5,3,3) |
{3,10} 1/2 ( 5,3,3 ) |
h 2 {10,3} t 0,2 (5,3,3) |
t {3,10} 1/2 t 0,1,2 ( 5,3,3) |
s{3,10} 1/2 ht 0,1,2 ( 5,3,3 ) | ||||
| Homogeeniset kaksoiskappaleet | |||||||||||
| V(3.5) 3 | V3.10.3.10 | V(3.5) 3 | V3.6.5.6 | V(3.3) 5 | V3.6.5.6 | V6.6.10 | V3.3.3.3.3.5 | ||||
(5 4 3)
Kolmioryhmä (5 4 3), Coxeter-ryhmä [(5,4,3)], orbifold (*543) sisältävät nämä homogeeniset laatoitukset.
| Tasaiset laatat (5,4,3) | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [(5,4,3)], (*543) | [(5,4,3)] + , (543) | ||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
| t 0 (5,4,3) (5,4,3) |
t 0,1 (5.4.3) r(3.5.4) |
t 1 (5,4,3) (4,3,5) |
t 1,2 (5.4.3) r(5.4.3) |
t 2 (5,4,3) (3,5,4) |
t 0,2 (5.4.3) r(4.3.5) |
t 0,1,2 (5,4,3) t (5,4,3) |
s(5,4,3) | ||||
| Homogeeniset kaksoiskappaleet | |||||||||||
| V(3.5) 4 | V3.10.4.10 | V(4.5) 3 | V3.8.5.8 | V(3.4) 5 | V4.6.5.6 | V6.8.10 | V3.5.3.4.3.3 | ||||
(5 4 4)
Kolmioryhmä (5 4 4), Coxeter-ryhmä [(5,4,4)], orbifold (*544) sisältävät nämä homogeeniset laatoitukset.
| Tasaiset laatat (5,4,4) | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [(5,4,4)] (*544) |
[(5,4,4)] + (544) |
[(5 + ,4,4)] (5*22) |
[(5,4,1 + ,4)] (*5222) | ||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
| t 0 (5,4,4) h{10,4} |
t 0,1 ( 5.4,4) r {4,10} 1/2 |
t 1 (5,4,4) h{10,4} |
t 1,2 (5,4,4) h 2 {10,4} |
t 2 ( 5,4,4) { 4,10} 1/2 |
t 0,2 (5,4,4) h 2 {10,4} |
t 0,1,2 ( 5,4,4 ) t {4,10} 1/2 |
s ( 4,5,4) s {4,10} 1/2 |
h(4,5,4) h { 4,10} 1/2 |
hr(4,5,4) h { 4,10} 1/2 | ||
| Homogeeniset kaksoiskappaleet | |||||||||||
| V(4.5) 4 | V4.10.4.10 | V(4.5) 4 | V4.8.5.8 | V(4.4) 5 | V4.8.5.8 | V8.8.10 | V3.4.3.4.3.5 | V10 10 | V(4.4.5) 2 | ||
(6 3 3)
Kolmioryhmä (6 3 3), Coxeter-ryhmä [(6,3,3)], orbifold (*633) sisältävät nämä homogeeniset laatoitukset.
| Tasaiset laatat (6,3,3) | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [(6,3,3)], (*633) | [(6,3,3)] + , (633) | ||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
| t 0 {(6,3,3)} h{12,3} |
t 0,1 { ( 6,3,3)} r {3,12} 1/2 |
t 1 {(6,3,3)} h{12,3} |
t 1,2 {(6,3,3)} h 2 {12,3} |
t 2 { ( 6,3,3)} { 3,12} 1/2 |
t 0,2 {(6,3,3)} h 2 {12,3} |
t 0,1,2 {(6,3,3)} t { 3,12} 1/2 |
s{ ( 6,3,3)} s {3,12} 1/2 | ||||
| Homogeeniset kaksoiskappaleet | |||||||||||
| V(3.6) 3 | V3.12.3.12 | V(3.6) 3 | V3.6.6.6 | V(3.3) 6 {12,3} |
V3.6.6.6 | V6.6.12 | V3.3.3.3.3.6 | ||||
(6 4 3)
Kolmioryhmä (6 4 3), Coxeter-ryhmä [(6,4,3)], orbifold (*643) sisältävät nämä homogeeniset laatoitukset.
| Tasaiset laatat (6,4,3) | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [(6,4,3)] (*643) |
[(6,4,3)] + (643) |
[(6,1 + ,4,3)] (*3332) |
[(6,4,3 + )] (3*32) | ||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=
|
|
| t 0 {(6,4,3)} | t 0,1 {(6,4,3)} | t 1 {(6,4,3)} | t 1,2 {(6,4,3)} | t 2 {(6,4,3)} | t 0,2 {(6,4,3)} | t 0,1,2 {(6,4,3)} | s{(6,4,3)} | h{(6,4,3)} | h{(6,4,3)} |
| Homogeeniset kaksoiskappaleet | |||||||||
| V(3.6) 4 | V3.12.4.12 | V(4.6) 3 | V3.8.6.8 | V(3.4) 6 | V4.6.6.6 | V6.8.12 | V3.6.3.4.3.3 | V(3.6.6) 3 | V4.(3.4) 3 |
(6 4 4)
Kolmioryhmä (6 4 4), Coxeter-ryhmä [(6,4,4)], orbifold (*644) sisältävät nämä homogeeniset laatoitukset.
| Homogeeniset mosaiikit 6-4-4 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria : [(6,4,4)], (*644) | (644) | ||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| (6,4,4) h{12,4} |
t 0,1 ( 6.4,4) r {4,12} 1/2 |
t 1 (6,4,4) h{12,4} |
t 1,2 (6,4,4) h 2 {12,4} |
t 2 ( 6,4,4) { 4,12} 1/2 |
t 0,2 (6,4,4) h 2 {12,4} |
t 0,1,2 ( 6,4,4 ) t {4,12} 1/2 |
s ( 6,4,4) s {4,12} 1/2 |
| Homogeeniset kaksoiskappaleet | |||||||
| V(4.6) 4 | V(4.12) 2 | V(4.6) 4 | V4.8.6.8 | V4 12 | V4.8.6.8 | V8.8.12 | V4.6.4.6.6.6 |
Yhteenvetotaulukko laatoituksista, joissa on äärellinen kolmion muotoinen rajallinen alue
Taulukko kaikista yhtenäisistä hyperbolisista laatoituksista, joissa on perusalue ( p q r ), jossa 2 ≤ p , q , r ≤ 8.
Katso Malli: Taulukko äärellisistä kolmiomaisista hyperbolisista laatoistaNelikulmaiset perusalueet
(3 2 2 2)
Nelikulmaisia perusalueita esiintyy myös hyperbolisella tasolla, ja orbifold *3222 ([∞,3,∞] Coxeterin merkinnällä) on pienin perhe. Generaattorissa on 9 asentoa yhtenäisen mosaiikin saamiseksi nelikulmaisen perusalueen sisällä. Vertex-kuvio voidaan poimia perusalueelta 3 tapauksena (1) Kulma (2) Reunan keskipiste ja (3) Center. Jos generoiva piste on kertaluvun 2 kulmien vieressä, muodostuu tähän kulmaan degeneroitunut pinta {2} digonin muodossa , mutta se voidaan hylätä. Snub ja vuorottelevat yhtenäiset laatoitukset voidaan saada myös (ei esitetty), jos kärkikuvio sisältää vain pinnat, joissa on parillinen määrä sivuja.
Nelisivuisten perusalueiden Coxeter-Dynkin-kaavioita pidetään tetraedrin rappeutuneena graafina, jossa 2 kuudesta reunasta on merkitty äärettömällä tai katkoviivalla. Looginen vaatimus, jonka mukaan ainakin toinen kahdesta rinnakkaispeilistä on aktiivinen, rajoittaa mahdollisten vaihtoehtojen määrän 9:ään, ja muut ympyröidyt vaihtoehdot eivät ole käytettävissä.
| Homogeeniset laatoitukset *3222-symmetrialla | ||||
|---|---|---|---|---|
| 6 4 |
 6.6.4.4 |
 (3.4.4) 2 |
4.3.4.3.3.3 | |
| 6.6.4.4 |
6.4.4.4 |
3.4.4.4.4 | ||
| (3.4.4) 2 |
3.4.4.4.4 |
4 6 | ||
(3 2 3 2)
| Samanlaiset H2-laatoitukset symmetrialla *3232 | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Coxeterin kaaviot |
|
|
|
| ||||
 |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |||||
| Vertex figuuri |
6 6 | (3.4.3.4) 2 | 3.4.6.6.4 | 6.4.6.4 | ||||
| Mosaiikki | ||||||||
| kaksinkertainen | ||||||||
Kuvitteellinen kolmion muotoinen perusalue
Kolmioryhmiä on äärettömän monta perhettä , mukaan lukien äärettömät järjestykset. Artikkelissa esitetään homogeeniset mosaiikit 9 perheestä: (∞ 3 2), (∞ 4 2), (∞ ∞ 2), (∞ 3 3), (∞ 4 3), (∞ 4 4), (∞ ∞ 3) , (∞ ∞ 4) ja (∞ ∞ ∞).
(∞ 3 2)
Kuvitteellinen (∞ 3 2) kolmioryhmä , Coxeterin ryhmä [∞,3], orbifold (*∞32) sisältävät nämä yhtenäiset laatoitukset.
| Parakompaktit homogeeniset laatoitukset perheessä [∞,3] | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [∞,3], (*∞32) | [∞,3] + (∞32) |
[1 + ,∞,3] (*∞33) |
[∞,3 + ] (3*∞) | |||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 
|
=
|
=
|
|
=tai
|
=tai
|
=
| ||||
| {∞,3} | t{∞,3} | r{∞,3} | t{3,∞} | {3,∞} | rr{∞,3} | tr{∞,3} | sr{∞,3} | h{∞,3} | h 2 {∞,3} | s{3,∞} |
| Homogeeniset kaksoiskappaleet | ||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| V∞ 3 | V3.∞.∞ | V(3.∞) 2 | V6.6.∞ | V3∞ _ | V4.3.4.∞ | V4.6.∞ | V3.3.3.3.∞ | V(3.∞) 3 | V3.3.3.3.3.∞ | |
(∞ 4 2)
Kuvitteellinen (∞ 42) kolmioryhmä , Coxeterin ryhmä [∞,4], orbifold (*∞42) sisältävät nämä yhtenäiset laatoitukset.
| Parakompaktit homogeeniset laatoitukset perheessä [∞,4] | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| {∞,4} | t{∞,4} | r{∞,4} | 2t{∞,4}=t{4,∞} | 2r{∞,4}={4,∞} | rr{∞,4} | tr{∞,4} | |
| Kaksoishahmot | |||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |
| V∞ 4 | V4.∞.∞ | V(4.∞) 2 | V8.8.∞ | V4∞ _ | V4 3 .∞ | V4.8.∞ | |
| Vuorotellen | |||||||
| [1 + ,∞,4] (*44∞) |
[∞ + ,4] (∞*2) |
[∞,1 + ,4] (*2∞2∞) |
[∞,4 + ] (4*∞) |
[∞,4,1 + ] (*∞∞2) |
[(∞,4,2 + )] (2*2∞) |
[∞,4] + (∞42) | |
=
|
|
|
|
= 
|
|
| |
| h{∞,4} | s{∞,4} | hr{∞,4} | s{4,∞} | h{4,∞} | hrr{∞,4} | s{∞,4} | |
| Vaihtoehtoiset duaalit | |||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |
| V(∞.4) 4 | V3.(3.∞) 2 | V(4.∞.4) 2 | V3.∞.(3.4) 2 | V∞∞ _ | V∞.4 4 | V3.3.4.3.∞ | |
(∞ 5 2)
Kuvitteellinen (∞ 5 2) kolmioryhmä , Coxeterin ryhmä [∞,5], orbifold (*∞52) sisältävät nämä yhtenäiset laatoitukset.
| Parakompakti yhtenäinen ääretön/viisikulmainen laatoitus | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [∞,5], (*∞52) | [∞,5] + (∞52) |
[1 + ,∞,5] (*∞55) |
[∞,5 + ] (5*∞) | ||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| {∞,5} | t{∞,5} | r{∞,5} | 2t{∞,5}=t{5,∞} | 2r{∞,5}={5,∞} | rr{∞,5} | tr{∞,5} | sr{∞,5} | h{∞,5} | h 2 {∞,5} | s{5,∞} | |
| yhtenäiset kaksoiskappaleet | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| V∞ 5 | V5.∞.∞ | V5.∞.5.∞ | V∞.10.10 | V5∞ _ | V4.5.4.∞ | V4.10.∞ | V3.3.5.3.∞ | V(∞.5) 5 | V3.5.3.5.3.∞ | ||
(∞ ∞ 2)
Kuvitteellinen (∞ ∞ 2) kolmioryhmä , Coxeter-ryhmä [∞,∞], orbifold (*∞∞2) sisältävät nämä yhtenäiset laatoitukset.
| Perheen parakompaktit homogeeniset laatoitukset [∞,∞] | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
= =
|
= =
|
= = 
|
= =
|
= =
|
=
|
=
|
| {∞,∞} | t{∞,∞} | r{∞,∞} | 2t{∞,∞}=t{∞,∞} | 2r{∞,∞}={∞,∞} | rr{∞,∞} | tr{∞,∞} |
| Kaksoislaatoitus | ||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| V∞∞ _ | V∞.∞.∞ | V(∞.∞) 2 | V∞.∞.∞ | V∞∞ _ | V4.∞.4.∞ | V4.4.∞ |
| Vuorotellen | ||||||
| [1 + ,∞,∞] (*∞∞2) |
[∞ + ,∞] (∞*∞) |
[∞,1 + ,∞] (*∞∞∞∞) |
[∞,∞ + ] (∞*∞) |
[∞,∞,1 + ] (*∞∞2) |
[(∞,∞,2 + )] (2*∞∞) |
[∞,∞] + (2∞∞) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| h{∞,∞} | s{∞,∞} | hr{∞,∞} | s{∞,∞} | h 2 {∞,∞} | hrr{∞,∞} | sr{∞,∞} |
| Vaihtelevat duaalit | ||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| V(∞.∞) ∞ | V(3.∞) 3 | V(∞.4) 4 | V(3.∞) 3 | V∞∞ _ | V(4.∞.4) 2 | V3.3.∞.3.∞ |
(∞ 3 3)
Kuvitteellinen (∞ 3 3) kolmioryhmä , Coxeter-ryhmä [(∞,3,3)], orbifold (*∞33) sisältävät nämä yhtenäiset laatoitukset.
| Perheen parakompaktit hyperboliset homogeeniset laatoitukset [(∞,3,3)] | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [(∞,3,3)], (*∞33) | [(∞,3,3)] + , (∞33) | ||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
| (∞,∞,3) | t 0,1 (∞, 3,3) | t 1 (∞,3,3) | t 1,2 (∞, 3,3) | t 2 (∞,3,3) | t 0,2 (∞, 3,3) | t 0,1,2 (∞,3,3) | s(∞,3,3) | ||||
| Kaksoislaatoitus | |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
| V(3.∞) 3 | V3.∞.3.∞ | V(3.∞) 3 | V3.6.∞.6 | V(3.3) ∞ | V3.6.∞.6 | V6.6.∞ | V3.3.3.3.3.∞ | ||||
(∞ 4 3)
Kuvitteellinen (∞ 4 3) kolmioryhmä , Coxeterin ryhmä [(∞,4,3)], orbifold (*∞43) sisältävät nämä homogeeniset laatoitukset.
| Perheen parakompaktit hyperboliset homogeeniset laatoitukset [(∞,4,3)] | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [(∞,4,3)] (*∞43) |
[(∞,4,3)] + (∞43) |
[(∞,4,3 + )] (3*4∞) |
[(∞,1 + ,4,3)] (*∞323) | ||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
| ||
| (∞,4,3) | t 0,1 (∞, 4,3) | t 1 (∞,4,3) | t 1,2 (∞, 4,3) | t 2 (∞,4,3) | t 0,2 (∞, 4,3) | t 0,1,2 (∞, 4,3) | s(∞,4,3) | ht 0,2 (∞, 4,3) | ht 1 (∞,4,3) | ||
| Kaksoislaatoitus | |||||||||||
| V(3.∞) 4 | V3.∞.4.∞ | V(4.∞) 3 | V3.8.∞.8 | V(3.4) ∞ | 4.6.∞.6 | V6.8.∞ | V3.3.3.4.3.∞ | V(4.3.4) 2 .∞ | V(6.∞.6) 3 | ||
(∞ 4 4)
Kuvitteellinen (∞ 4 4) kolmioryhmä , Coxeter-ryhmä [(∞,4,4)], orbifold (*∞44) sisältävät nämä homogeeniset laatoitukset.
| Perheen parakompaktit hyperboliset homogeeniset laatoitukset [(4,4,∞)] | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [(4,4,∞)], (*44∞) | (44∞) | ||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
| (4,4,∞) h{∞,4} |
t 0,1 (4,4,∞) r{4, ∞ } 1/2 |
t 1 (4,4,∞) h{4, ∞ } 1/2 |
t 1,2 (4,4,∞) h 2 {∞,4} |
t 2 (4,4,∞) {4, ∞ } 1/2 |
t 0,2 (4,4,∞) h 2 {∞,4} |
t 0,1,2 (4,4,∞) t{4, ∞ } 1/2 |
s(4,4,∞) s{4, ∞ } 1/2 | ||||
| Kaksoislaatoitus | |||||||||||
| V(4.∞) 4 | V4.∞.4.∞ | V(4.∞) 4 | V4.∞.4.∞ | V4∞ _ | V4.∞.4.∞ | V8.8.∞ | V3.4.3.4.3.∞ | ||||
(∞ ∞ 3)
Kuvitteellinen (∞ ∞ 3) kolmioryhmä , Coxeter-ryhmä [(∞,∞,3)], orbifold (*∞∞3) sisältävät nämä yhtenäiset laatoitukset.
| Perheen parakompaktit hyperboliset homogeeniset laatoitukset [(∞,∞,3)] | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [(∞,∞,3)], (*∞∞3) | [(∞,∞,3)] + (∞∞3) |
[(∞,∞,3 + )] (3*∞∞) |
[(∞,1 + ,∞,3)] (*∞3∞3) | ||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| (∞,∞,3) h{6,∞} |
t 0,1 (∞,∞,3) h 2 {6,∞} |
t 1 (∞,∞,3) { ∞,6 } 1/2 |
t 1,2 (∞,∞,3) h 2 {6,∞} |
t 2 (∞,∞,3) h{6,∞} |
t 0,2 (∞,∞,3) r {∞,6 } 1/2 |
t 0,1,2 (∞,∞,3) t {∞,6 } 1/2 |
s(∞,∞,3) s {∞,6 } 1/2 |
h 0,2 (∞,∞,3) h {∞,6 } 1/2 |
h 1 (∞,∞,3) h {∞,6 } 1/2 |
| Kaksoislaatoitus | |||||||||
| V(3.∞) ∞ | V3.∞.∞.∞ | V(∞.∞) 3 | V3.∞.∞.∞ | V(3.∞) ∞ | V(6.∞) 2 | V6.∞.∞ | V3.∞.3.∞.3.3 | V(3.4.∞.4) 2 | V(∞.6) 6 |
(∞ ∞ 4)
Kuvitteellinen (∞ ∞ 4) kolmioryhmä , Coxeter-ryhmä [(∞,∞,4)], orbifold (*∞∞4) sisältävät nämä yhtenäiset laatoitukset.
| Perheen parakompaktit hyperboliset homogeeniset laatoitukset [(∞,∞,4)] | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Symmetria: [(∞,∞,4)], (*∞∞4) | ||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| (∞,∞,4) h{8,∞} |
t 0,1 (∞,∞,4) h 2 {8,∞} |
t 1 (∞,∞,4) {∞,8} |
t 1,2 (∞,∞,4) h 2 {∞,8} |
t 2 (∞,∞,4) h{8,∞} |
t 0,2 (∞,∞,4) r{∞,8} |
t 0,1,2 (∞,∞,4) t{∞,8} |
| Kaksoislaatoitus | ||||||
| V(4.∞) ∞ | V∞.∞.∞.4 | V∞ 4 | V∞.∞.∞.4 | V(4.∞) ∞ | V∞.∞.∞.4 | V∞.∞.8 |
| Vuorotellen | ||||||
| [(1 + ,∞,∞,4)] (*2∞∞∞) |
[(∞ + ,∞,4)] (∞*2∞) |
[(∞,1 + ,∞,4)] (*2∞∞∞) |
[(∞,∞ + ,4)] (∞*2∞) |
[(∞,∞,1 + ,4)] (*2∞∞∞) |
[(∞,∞,4 + )] (2*∞∞) |
[(∞,∞,4)] + (4∞∞) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Vaihtelevat duaalit | ||||||
| V∞∞ _ | V∞.4 4 | V(∞.4) 4 | V∞.4 4 | V∞∞ _ | V∞.4 4 | V3.∞.3.∞.3.4 |
(∞ ∞ ∞)
Kuvitteellinen (∞ ∞ ∞) kolmioryhmä , Coxeterin ryhmä [(∞,∞,∞)], orbifold (*∞∞∞) sisältävät nämä yhtenäiset laatoitukset.
| Perheen parakompaktit homogeeniset laatoitukset [(∞,∞,∞)] | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| (∞,∞,∞) h{∞,∞} |
r(∞,∞,∞) h 2 {∞,∞} |
(∞,∞,∞) h{∞,∞} |
r(∞,∞,∞) h 2 {∞,∞} |
(∞,∞,∞) h{∞,∞} |
r(∞,∞,∞) r{∞,∞} |
t(∞,∞,∞) t{∞,∞} |
| Kaksoislaatoitus | ||||||
| V∞∞ _ | V∞.∞.∞.∞ | V∞∞ _ | V∞.∞.∞.∞ | V∞∞ _ | V∞.∞.∞.∞ | V∞.∞.∞ |
| Vuorotellen | ||||||
| [(1 + ,∞,∞,∞)] (*∞∞∞∞) |
[∞ + ,∞,∞)] (∞*∞) |
[∞,1 + ,∞,∞)] (*∞∞∞∞) |
[∞,∞ + ,∞)] (∞*∞) |
[(∞,∞,∞,1 + )] (*∞∞∞∞) |
[(∞,∞,∞ + )] (∞*∞) |
[∞,∞,∞)] + (∞∞∞) |
|
|
|
|
|
|
|
|
| Vaihtelevat duaalit | ||||||
| V(∞.∞) ∞ | V(∞.4) 4 | V(∞.∞) ∞ | V(∞.4) 4 | V(∞.∞) ∞ | V(∞.4) 4 | V3.∞.3.∞.3.∞ |
Yhteenvetotaulukko laatoituksista, joissa on äärettömät kolmiomaiset perusalueet
Taulukko kaikista yhtenäisistä hyperbolisista laatoista, joissa on perusalue ( p q r ), jossa 2 ≤ p , q , r ≤ 8 ja yksi tai useampi arvoista on ∞.
| Äärettömät kolmion muotoiset hyperboliset laatoitukset | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (pqr) | t0 | h0 | t01 | h01 | t1 | h1 | t12 | h12 | t2 | h2 | t02 | h02 | t012 | s | |||||
(∞ 3 2) |
t 0 {∞,3} ∞ 3 |
h 0 {∞,3} (3.∞) 3 |
t 01 {∞,3} ∞.3.∞ |
t 1 {∞,3} (3.∞) 2 |
t 12 {∞,3} 6.∞.6 |
h 12 {∞,3} 3.3.3.∞.3.3 |
t 2 {∞,3} 3 ∞ |
t 02 {∞,3} 3.4.∞.4 |
t 012 {∞,3} 4.6.∞ |
s{∞,3} 3.3.3.3.∞ | |||||||||
(∞ 4 2) |
t 0 {∞,4} ∞ 4 |
h 0 {∞,4} (4.∞) 4 |
t 01 {∞,4} ∞.4.∞ |
h 01 {∞,4} 3.∞.3.3.∞ |
t 1 {∞,4} (4.∞) 2 |
h 1 {∞,4} (4.4.∞) 2 |
t 12 {∞,4} 8.∞.8 |
h 12 {∞,4} 3.4.3.∞.3.4 |
t2 {∞, 4 } 4∞ |
h 2 {∞,4 } ∞∞ |
t 02 {∞,4} 4.4.∞.4 |
h 02 {∞,4} 4.4.4.∞.4 |
t 012 {∞,4} 4.8.∞ |
s{∞,4} 3.3.4.3.∞ | |||||
(∞ 5 2) |
t 0 {∞,5} ∞ 5 |
h 0 {∞,5} (5.∞) 5 |
t 01 {∞,5} ∞.5.∞ |
t 1 {∞,5} (5.∞) 2 |
t 12 {∞,5} 10.∞.10 |
h 12 {∞,5} 3.5.3.∞.3.5 |
t 2 {∞,5 } 5∞ |
t 02 {∞,5} 5.4.∞.4 |
t 012 {∞,5} 4.10.∞ |
s{∞,5} 3.3.5.3.∞ | |||||||||
(∞ 6 2) |
t 0 {∞,6} ∞ 6 |
h 0 {∞,6} (6.∞) 6 |
t 01 {∞,6} ∞.6.∞ |
h 01 {∞,6} 3.∞.3.3.3.∞ |
t 1 {∞,6} (6.∞) 2 |
h 1 {∞,6} (4.3.4.∞) 2 |
t 12 {∞,6} 12.∞.12 |
h 12 {∞,6} 3.6.3.∞.3.6 |
t 2 {∞,6} 6 ∞ |
h 2 {∞,6} (∞.3) ∞ |
t 02 {∞,6} 6.4.∞.4 |
h 02 {∞,6} 4.3.4.4.∞.4 |
t 012 {∞,6} 4.12.∞ |
s{∞,6} 3.3.6.3.∞ | |||||
(∞ 7 2) |
t 0 {∞,7} ∞ 7 |
h 0 {∞,7} (7.∞) 7 |
t 01 {∞,7} ∞.7.∞ |
t 1 {∞,7} (7.∞) 2 |
t 12 {∞,7} 14.∞.14 |
h 12 {∞,7} 3.7.3.∞.3.7 |
t 2 {∞,7 } 7∞ |
t 02 {∞,7} 7.4.∞.4 |
t 012 {∞,7} 4.14.∞ |
s{∞,7} 3.3.7.3.∞ | |||||||||
(∞ 8 2) |
t 0 {∞,8} ∞ 8 |
h 0 {∞,8} (8.∞) 8 |
t 01 {∞,8} ∞.8.∞ |
h 01 {∞,8} 3.∞.3.4.3.∞ |
t 1 {∞,8} (8.∞) 2 |
h 1 {∞,8} (4.4.4.∞) 2 |
t 12 {∞,8} 16.∞.16 |
h 12 {∞,8} 3.8.3.∞.3.8 |
t 2 {∞,8 } 8∞ |
h 2 {∞,8} (∞.4) ∞ |
t 02 {∞,8} 8.4.∞.4 |
h 02 {∞,8} 4.4.4.4.∞.4 |
t 012 {∞,8} 4.16.∞ |
s{∞,8} 3.3.8.3.∞ | |||||
(∞ ∞ 2) |
t 0 {∞,∞ } ∞∞ |
h 0 {∞,∞} (∞.∞) ∞ |
t 01 {∞,∞} ∞.∞.∞ |
h 01 {∞,∞} 3.∞.3.∞.3.∞ |
t 1 {∞,∞} ∞ 4 |
h 1 {∞,∞} (4.∞) 4 |
t 12 {∞,∞} ∞.∞.∞ |
h 12 {∞,∞} 3.∞.3.∞.3.∞ |
t 2 {∞,∞ } ∞∞ |
h 2 {∞,∞} (∞.∞) ∞ |
t 02 {∞,∞} (∞.4) 2 |
h 02 {∞,∞} (4.∞.4) 2 |
t 012 {∞,∞} 4.∞.∞ |
s{∞,∞} 3.3.∞.3.∞ | |||||
(∞ 3 3) |
t 0 (∞,3,3) (∞.3) 3 |
t 01 (∞,3,3) (3.∞) 2 |
t 1 (∞,3,3) (3.∞) 3 |
t 12 (∞,3,3) 3.6.∞.6 |
t 2 (∞,3,3) 3 ∞ |
t 02 (∞,3,3) 3.6.∞.6 |
t 012 (∞,3,3) 6.6.∞ |
s(∞,3,3) 3.3.3.3.3.∞ | |||||||||||
(∞ 4 3) |
t 0 (∞,4,3) (∞.3) 4 |
t 01 (∞,4,3) 3.∞.4.∞ |
t 1 (∞,4,3) (4.∞) 3 |
h 1 (∞,4,3) (6.6.∞) 3 |
t 12 (∞,4,3) 3.8.∞.8 |
t 2 (∞,4,3) (4.3) ∞ |
t 02 (∞,4,3) 4.6.∞.6 |
h 02 (∞,4,3) 4.4.3.4.∞.4.3 |
t 012 (∞,4,3) 6.8.∞ |
s(∞,4,3) 3.3.3.4.3.∞ | |||||||||
(∞ 5 3) |
t 0 (∞,5,3) (∞.3) 5 |
t 01 (∞,5,3) 3.∞.5.∞ |
t 1 (∞,5,3) (5.∞) 3 |
t 12 (∞,5,3) 3.10.∞.10 |
t 2 (∞,5,3) (5.3) ∞ |
t 02 (∞,5,3) 5.6.∞.6 |
t 012 (∞,5,3) 6.10.∞ |
s(∞,5,3) 3.3.3.5.3.∞ | |||||||||||
(∞ 6 3) |
t 0 (∞,6,3) (∞.3) 6 |
t 01 (∞,6,3) 3.∞.6.∞ |
t 1 (∞,6,3) (6.∞) 3 |
h 1 (∞,6,3) (6.3.6.∞) 3 |
t 12 (∞,6,3) 3.12.∞.12 |
t 2 (∞,6,3) (6.3) ∞ |
t 02 (∞,6,3) 6.6.∞.6 |
h 02 (∞,6,3) 4.3.4.3.4.∞.4.3 |
t 012 (∞,6,3) 6.12.∞ |
s(∞,6,3) 3.3.3.6.3.∞ | |||||||||
(∞ 7 3) |
t 0 (∞,7,3) (∞.3) 7 |
t 01 (∞,7,3) 3.∞.7.∞ |
t 1 (∞,7,3) (7.∞) 3 |
t 12 (∞,7,3) 3.14.∞.14 |
t 2 (∞,7,3) (7.3) ∞ |
t 02 (∞,7,3) 7.6.∞.6 |
t 012 (∞,7,3) 6.14.∞ |
s(∞,7,3) 3.3.3.7.3.∞ | |||||||||||
(∞ 8 3) |
t 0 (∞,8,3) (∞.3) 8 |
t 01 (∞,8,3) 3.∞.8.∞ |
t 1 (∞,8,3) (8.∞) 3 |
h 1 (∞,8,3) (6.4.6.∞) 3 |
t 12 (∞,8,3) 3.16.∞.16 |
t 2 (∞,8,3) (8.3) ∞ |
t 02 (∞,8,3) 8.6.∞.6 |
h 02 (∞,8,3) 4.4.4.3.4.∞.4.3 |
t 012 (∞,8,3) 6.16.∞ |
s(∞,8,3) 3.3.3.8.3.∞ | |||||||||
(∞∞3) |
t 0 (∞,∞,3) (∞.3) ∞ |
t 01 (∞,∞,3) 3.∞.∞.∞ |
t 1 (∞,∞,3) ∞ 6 |
h 1 (∞,∞,3) (6.∞) 6 |
t 12 (∞,∞,3) 3.∞.∞.∞ |
t 2 (∞,∞,3) (∞.3) ∞ |
t 02 (∞,∞,3) (∞.6) 2 |
h 02 (∞,∞,3) (4.∞.4.3) 2 |
t 012 (∞,∞,3) 6.∞.∞ |
s(∞,∞,3) 3.3.3.∞.3.∞ | |||||||||
(∞ 4 4) |
t 0 (∞,4,4) (∞.4) 4 |
h 0 (∞,4,4) (8.∞.8) 4 |
t 01 (∞,4,4) (4.∞) 2 |
h 01 (∞,4,4) (4.4.∞) 2 |
t 1 (∞,4,4) (4.∞) 4 |
h 1 (∞,4,4) (8.8.∞) 4 |
t 12 (∞,4,4) 4.8.∞.8 |
h 12 (∞,4,4) 4.4.4.4.∞.4.4 |
t 2 (∞,4,4) 4 ∞ |
h 2 (∞,4,4) ∞ ∞ |
t 02 (∞,4,4) 4.8.∞.8 |
h 02 (∞,4,4) 4.4.4.4.∞.4.4 |
t 012 (∞,4,4) 8.8.∞ |
s(∞,4,4) 3.4.3.4.3.∞ | |||||
(∞ 5 4) |
t 0 (∞,5,4) (∞.4) 5 |
h 0 (∞,5,4) (10.∞.10) 5 |
t 01 (∞,5,4) 4.∞.5.∞ |
t 1 (∞,5,4) (5.∞) 4 |
t 12 (∞,5,4) 4.10.∞.10 |
h 12 (∞,5,4) 4.4.5.4.∞.4.5 |
t 2 (∞,5,4) (5.4) ∞ |
t 02 (∞,5,4) 5.8.∞.8 |
t 012 (∞,5,4) 8.10.∞ |
s(∞,5,4) 3.4.3.5.3.∞ | |||||||||
(∞ 6 4) |
t 0 (∞,6,4) (∞.4) 6 |
h 0 (∞,6,4) (12.∞.12) 6 |
t 01 (∞,6,4) 4.∞.6.∞ |
h 01 (∞,6,4) 4.4.∞.4.3.4.∞ |
t 1 (∞,6,4) (6.∞) 4 |
h 1 (∞,6,4) (8.3.8.∞) 4 |
t 12 (∞,6,4) 4.12.∞.12 |
h 12 (∞,6,4) 4.4.6.4.∞.4.6 |
t 2 (∞,6,4) (6.4) ∞ |
h 2 (∞,6,4) (∞.3.∞) ∞ |
t 02 (∞,6,4) 6.8.∞.8 |
h 02 (∞,6,4) 4.3.4.4.4.∞.4.4 |
t 012 (∞,6,4) 8.12.∞ |
s(∞,6,4) 3.4.3.6.3.∞ | |||||
(∞ 7 4) |
t 0 (∞,7,4) (∞.4) 7 |
h 0 (∞,7,4) (14.∞.14) 7 |
t 01 (∞,7,4) 4.∞.7.∞ |
t 1 (∞,7,4) (7.∞) 4 |
t 12 (∞,7,4) 4.14.∞.14 |
h 12 (∞,7,4) 4.4.7.4.∞.4.7 |
t 2 (∞,7,4) (7.4) ∞ |
t 02 (∞,7,4) 7.8.∞.8 |
t 012 (∞,7,4) 8.14.∞ |
s(∞,7,4) 3.4.3.7.3.∞ | |||||||||
(∞ 8 4) |
t 0 (∞,8,4) (∞.4) 8 |
h 0 (∞,8,4) (16.∞.16) 8 |
t 01 (∞,8,4) 4.∞.8.∞ |
h 01 (∞,8,4) 4.4.∞.4.4.4.∞ |
t 1 (∞,8,4) (8.∞) 4 |
h 1 (∞,8,4) (8.4.8.∞) 4 |
t 12 (∞,8,4) 4.16.∞.16 |
h 12 (∞,8,4) 4.4.8.4.∞.4.8 |
t 2 (∞,8,4) (8.4) ∞ |
h 2 (∞,8,4) (∞.4.∞) ∞ |
t 02 (∞,8,4) 8.8.∞.8 |
h 02 (∞,8,4) 4.4.4.4.4.∞.4.4 |
t 012 (∞,8,4) 8.16.∞ |
s(∞,8,4) 3.4.3.8.3.∞ | |||||
(∞∞4) |
t 0 (∞,∞,4) (∞.4) ∞ |
h 0 (∞,∞,4) (∞.∞.∞) ∞ |
t 01 (∞,∞,4) 4.∞.∞.∞ |
h 01 (∞,∞,4) 4.4.∞.4.∞.4.∞ |
t 1 (∞,∞,4) ∞ 8 |
h 1 (∞,∞,4) (8.∞) 8 |
t 12 (∞,∞,4) 4.∞.∞.∞ |
h 12 (∞,∞,4) 4.4.∞.4.∞.4.∞ |
t 2 (∞,∞,4) (∞.4) ∞ |
h 2 (∞,∞,4) (∞.∞.∞) ∞ |
t 02 (∞,∞,4) (∞.8) 2 |
h 02 (∞,∞,4) (4.∞.4.4) 2 |
t 012 (∞,∞,4) 8.∞.∞ |
s(∞,∞,4) 3.4.3.∞.3.∞ | |||||
(∞ 5 5) |
t 0 (∞,5,5) (∞.5) 5 |
t 01 (∞,5,5) (5.∞) 2 |
t 1 (∞,5,5) (5.∞) 5 |
t 12 (∞,5,5) 5.10.∞.10 |
t 2 ( ∞ ,5,5) 5∞ |
t 02 (∞,5,5) 5.10.∞.10 |
t 012 (∞,5,5) 10.10.∞ |
s(∞,5,5) 3.5.3.5.3.∞ | |||||||||||
(∞ 6 5) |
t 0 (∞,6,5) (∞,5) 6 |
t 01 (∞,6,5) 5.∞.6.∞ |
t 1 (∞,6,5) (6.∞) 5 |
h 1 (∞,6,5) (10.3.10.∞) 5 |
t 12 (∞,6,5) 5.12.∞.12 |
t 2 (∞,6,5) (6.5) ∞ |
t 02 (∞,6,5) 6.10.∞.10 |
h 02 (∞,6,5) 4.3.4.5.4.∞.4.5 |
t 012 (∞,6,5) 10.12.∞ |
s(∞,6,5) 3.5.3.6.3.∞ | |||||||||
(∞ 7 5) |
t 0 ( ∞.7.5) (∞.5) 7 |
t 01 (∞,7,5) 5.∞.7.∞ |
t 1 (∞,7,5) (7.∞) 5 |
t 12 (∞,7,5) 5.14.∞.14 |
t 2 (∞,7,5) (7.5) ∞ |
t 02 (∞,7,5) 7.10.∞.10 |
t 012 (∞,7,5) 10.14.∞ |
s(∞,7,5) 3.5.3.7.3.∞ | |||||||||||
(∞ 8 5) |
t 0 (∞,8,5) (∞,5) 8 |
t 01 (∞,8,5) 5.∞.8.∞ |
t 1 (∞,8,5) (8.∞) 5 |
h 1 (∞,8,5) (10.4.10.∞) 5 |
t 12 (∞,8,5) 5.16.∞.16 |
t 2 (∞,8,5) (8.5) ∞ |
t 02 (∞,8,5) 8.10.∞.10 |
h 02 (∞,8,5) 4.4.4.5.4.∞.4.5 |
t 012 (∞,8,5) 10.16.∞ |
s(∞,8,5) 3.5.3.8.3.∞ | |||||||||
(∞∞5) |
t 0 (∞,∞,5) (∞.5) ∞ |
t 01 (∞,∞,5) 5.∞.∞.∞ |
t 1 (∞,∞,5) ∞ 10 |
h 1 (∞,∞,5) (10.∞) 10 |
t 12 (∞,∞,5) 5.∞.∞.∞ |
t 2 (∞,∞,5) (∞.5) ∞ |
t 02 (∞,∞,5) (∞.10) 2 |
h 02 (∞,∞,5) (4.∞.4.5) 2 |
t 012 (∞,∞,5) 10.∞.∞ |
s(∞,∞,5) 3.5.3.∞.3.∞ | |||||||||
(∞ 6 6) |
t 0 (∞,6,6) (∞.6) 6 |
h 0 (∞,6,6) (12.∞.12.3) 6 |
t 01 (∞,6,6) (6.∞) 2 |
h 01 (∞,6,6) (4.3.4.∞) 2 |
t 1 (∞,6,6) (6.∞) 6 |
h 1 (∞,6,6) (12.3.12.∞) 6 |
t 12 (∞,6,6) 6.12.∞.12 |
h 12 (∞,6,6) 4.3.4.6.4.∞.4.6 |
t 2 (∞,6,6) 6 ∞ |
h 2 (∞,6,6) (∞.3) ∞ |
t 02 (∞,6,6) 6.12.∞.12 |
h 02 (∞,6,6) 4.3.4.6.4.∞.4.6 |
t 012 (∞,6,6) 12.12.∞ |
s(∞,6,6) 3.6.3.6.3.∞ | |||||
(∞ 7 6) |
t 0 (∞,7,6) (∞.6) 7 |
h 0 (∞,7,6) (14.∞.14.3) 7 |
t 01 (∞,7,6) 6.∞.7.∞ |
t 1 (∞,7,6) (7.∞) 6 |
t 12 (∞,7,6) 6.14.∞.14 |
h 12 (∞,7,6) 4.3.4.7.4.∞.4.7 |
t 2 (∞,7,6) (7.6) ∞ |
t 02 (∞,7,6) 7.12.∞.12 |
t 012 (∞,7,6) 12.14.∞ |
s(∞,7,6) 3.6.3.7.3.∞ | |||||||||
(∞ 8 6) |
t 0 (∞,8,6) (∞,6) 8 |
h 0 (∞,8,6) (16.∞.16.3) 8 |
t 01 (∞,8,6) 6.∞.8.∞ |
h 01 (∞,8,6) 4.3.4.∞.4.4.4.∞ |
t 1 (∞,8,6) (8.∞) 6 |
h 1 (∞,8,6) (12.4.12.∞) 6 |
t 12 (∞,8,6) 6.16.∞.16 |
h 12 (∞,8,6) 4.3.4.8.4.∞.4.8 |
t 2 (∞,8,6) (8.6) ∞ |
h 2 (∞,8,6) (∞.4.∞.3) ∞ |
t 02 (∞,8,6) 8.12.∞.12 |
h 02 (∞,8,6) 4.4.4.6.4.∞.4.6 |
t 012 (∞,8,6) 12.16.∞ |
s(∞,8,6) 3.6.3.8.3.∞ | |||||
(∞ ∞ 6) |
t 0 (∞,∞,6) (∞.6) ∞ |
h 0 (∞,∞,6) (∞.∞.∞.3) ∞ |
t 01 (∞,∞,6) 6.∞.∞.∞ |
h 01 (∞,∞,6) 4.3.4.∞.4.∞.4.∞ |
t 1 (∞,∞,6) ∞ 12 |
h 1 (∞,∞,6) (12.∞) 12 |
t 12 (∞,∞,6) 6.∞.∞.∞ |
h 12 (∞,∞,6) 4.3.4.∞.4.∞.4.∞ |
t 2 (∞,∞,6) (∞.6) ∞ |
h 2 (∞,∞,6) (∞.∞.∞.3) ∞ |
t 02 (∞,∞,6) (∞.12) 2 |
h 02 (∞,∞,6) (4.∞.4.6) 2 |
t 012 (∞,∞,6) 12.∞.∞ |
s(∞,∞,6) 3.6.3.∞.3.∞ | |||||
(∞ 7 7) |
t 0 (∞,7,7) (∞,7) 7 |
t 01 (∞,7,7) (7.∞) 2 |
t 1 (∞,7,7) (7.∞) 7 |
t 12 (∞,7,7) 7.14.∞.14 |
t 2 ( ∞ ,7,7) 7∞ |
t 02 (∞,7,7) 7.14.∞.14 |
t 012 (∞,7,7) 14.14.∞ |
s(∞,7,7) 3.7.3.7.3.∞ | |||||||||||
(∞ 8 7) |
t 0 (∞,8,7) (∞,7) 8 |
t 01 (∞,8,7) 7.∞.8.∞ |
t 1 (∞,8,7) (8.∞) 7 |
h 1 (∞,8,7) (14.4.14.∞) 7 |
t 12 (∞,8,7) 7.16.∞.16 |
t 2 (∞,8,7) (8.7) ∞ |
t 02 (∞,8,7) 8.14.∞.14 |
h 02 (∞,8,7) 4.4.4.7.4.∞.4.7 |
t 012 (∞,8,7) 14.16.∞ |
s(∞,8,7) 3.7.3.8.3.∞ | |||||||||
(∞∞7) |
t 0 (∞,∞,7) (∞.7) ∞ |
t 01 (∞,∞,7) 7.∞.∞.∞ |
t 1 (∞,∞,7) ∞ 14 |
h 1 (∞,∞,7) (14.∞) 14 |
t 12 (∞,∞,7) 7.∞.∞.∞ |
t 2 (∞,∞,7) (∞.7) ∞ |
t 02 (∞,∞,7) (∞.14) 2 |
h 02 (∞,∞,7) (4.∞.4.7) 2 |
t 012 (∞,∞,7) 14.∞.∞ |
s(∞,∞,7) 3.7.3.∞.3.∞ | |||||||||
(∞ 8 8) |
t 0 (∞,8,8) (∞,8) 8 |
h 0 (∞,8,8) (16.∞.16.4) 8 |
t 01 (∞,8,8) (8.∞) 2 |
h 01 (∞,8,8) (4.4.4.∞) 2 |
t 1 (∞,8,8) (8.∞) 8 |
h 1 (∞,8,8) (16.4.16.∞) 8 |
t 12 (∞,8,8) 8.16.∞.16 |
h 12 (∞,8,8) 4.4.4.8.4.∞.4.8 |
t 2 ( ∞ ,8,8) 8∞ |
h 2 (∞,8,8) (∞.4) ∞ |
t 02 (∞,8,8) 8.16.∞.16 |
h 02 (∞,8,8) 4.4.4.8.4.∞.4.8 |
t 012 (∞,8,8) 16.16.∞ |
s(∞,8,8) 3.8.3.8.3.∞ | |||||
(∞∞8) |
t 0 (∞,∞,8) (∞.8) ∞ |
h 0 (∞,∞,8) (∞.∞.∞.4) ∞ |
t 01 (∞,∞,8) 8.∞.∞.∞ |
h 01 (∞,∞,8) 4.4.4.∞.4.∞.4.∞ |
t 1 (∞,∞,8) ∞ 16 |
h 1 (∞,∞,8) (16.∞) 16 |
t 12 (∞,∞,8) 8.∞.∞.∞ |
h 12 (∞,∞,8) 4.4.4.∞.4.∞.4.∞ |
t 2 (∞,∞,8) (∞.8) ∞ |
h 2 (∞,∞,8) (∞.∞.∞.4) ∞ |
t 02 (∞,∞,8) (∞.16) 2 |
h 02 (∞,∞,8) (4.∞.4.8) 2 |
t 012 (∞,∞,8) 16.∞.∞ |
s(∞,∞,8) 3.8.3.∞.3.∞ | |||||
(∞∞∞) |
t 0 (∞,∞,∞) ∞ ∞ |
h 0 (∞,∞,∞) (∞.∞) ∞ |
t 01 (∞,∞,∞) (∞.∞) 2 |
h 01 (∞,∞,∞) (4.∞.4.∞) 2 |
t 1 (∞,∞,∞) ∞ ∞ |
h 1 (∞,∞,∞) (∞.∞) ∞ |
t 12 (∞,∞,∞) (∞.∞) 2 |
h 12 (∞,∞,∞) (4.∞.4.∞) 2 |
t 2 (∞,∞,∞) ∞ ∞ |
h 2 (∞,∞,∞) (∞.∞) ∞ |
t 02 (∞,∞,∞) (∞.∞) 2 |
h 02 (∞,∞,∞) (4.∞.4.∞) 2 |
t 012 (∞,∞,∞) ∞ 3 |
s(∞,∞,∞) (3.∞) 3 | |||||
Kirjallisuus
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Asioiden symmetria. - 2008. - S. Luku 19, Hyperboliset Archimedean tessellaatiot. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
Linkit
- Hatch, Don. Hyperboliset tasomaiset kudokset . Haettu 19. elokuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 2. syyskuuta 2013.
- Eppstein, David. Geometry Junkyard: Hyperbolic Laatoitus . Haettu 19. elokuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 5. tammikuuta 2021.
- Joyce, David. Hyperboliset kudokset . Haettu 19. elokuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 10. syyskuuta 2006.
- Richard Klitzing, 2D Tesselations, Hyperbolic Tesselations Arkistoitu 15. toukokuuta 2016 Wayback Machinessa
| geometriset mosaiikit | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Jaksottainen |
| ||||||||
| jaksoton |
| ||||||||
| Muut |
| ||||||||
| Vertex- konfiguraation mukaan |
| ||||||||