Integraaliyhtälö

Integraaliyhtälö on funktionaalinen yhtälö , joka sisältää integraalimuunnoksen tuntemattoman funktion yli. Jos integraaliyhtälö sisältää myös tuntemattoman funktion derivaattoja, puhutaan integro-differentiaaliyhtälöstä .

Integraaliyhtälöiden luokitus

Lineaariset integraaliyhtälöt

Nämä ovat integraaliyhtälöitä, joissa tuntematon funktio tulee lineaarisesti:

\varphi (x)=\lambda \int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)\varphi (s)\,ds+f(x)

missä on haluttu funktio, , ovat tunnetut funktiot ja on parametri. Funktiota kutsutaan integraaliyhtälön ytimeksi . Ytimen tyypistä ja vapaasta termistä riippuen lineaariset yhtälöt voidaan jakaa useisiin muihin tyyppeihin. $\varphi(x)$ $f(x)$ $K(x,\;s)$ $\lambda$ $K(x,\;s)$

Fredholmin yhtälöt Fredholmin 2. tyyppiset yhtälöt

Toisen tyypin Fredholmin yhtälöt ovat muotoa:

\varphi(x)=\lambda\int\limits_a^b K(x,\;s)\varphi(s)\,ds+f(x).

Integroinnin rajat voivat olla joko äärelliset tai äärettömät. Muuttujat täyttävät epäyhtälön: , ja ytimen ja vapaan termin on oltava jatkuvat: , tai täytettävä ehdot: $a\leqslant x,\;s\leqslant b$ $K(x,\;s)\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b),\;f(x)\in C([a,\;b])$

\int\limits_a^b\int\limits_a^b|K(x,\;s)|^2\,dx\,ds<+\infty,\qquad\int\limits_a^b|f(x)|^ 2\,dx<+\infty.

Viimeisen ehdon täyttäviä ytimiä kutsutaan Fredholmiksi . Jos on päällä , yhtälöä kutsutaan homogeeniseksi , muuten sitä kutsutaan epähomogeeniseksi integraaliyhtälöksi . $f(x)\equiv 0$ $[a,\;b]$

Fredholmin 1. tyyppiset yhtälöt

Ensimmäisen tyypin Fredholmin yhtälöt näyttävät samalta kuin 2. tyypin Fredholmin yhtälöt, mutta niissä ei ole integraalin ulkopuolella tuntematonta funktiota sisältävää osaa:

\int\limits_a^b K(x,\;s)\varphi(s)\,ds=f(x),

tässä tapauksessa ydin ja vapaa termi täyttävät ehdot, jotka on muotoiltu toisen tyyppisille Fredholmin yhtälöille.

Volterran yhtälöt Volterran 2. tyyppiset yhtälöt

Volterra-yhtälöt eroavat Fredholmin yhtälöistä siinä, että yksi niiden integrointirajoista on muuttuva:

\varphi(x)=\lambda\int\limits_a^x K(x,\;s)\varphi(s)\,ds+f(x),\qquad a\leqslant x\leqslant b.

Ensimmäisen tyypin Volterran yhtälöt

Myös Fredholm-yhtälöiden osalta ensimmäisen tyypin Volterra-yhtälöissä ei ole tuntematonta funktiota integraalin ulkopuolella:

\int\limits_a^x K(x,\;s)\varphi(s)\,ds=f(x).

Periaatteessa Volterra-yhtälöitä voidaan pitää Fredholm-yhtälöiden erikoistapauksena, jos ydin määritellään uudelleen:

\mathcal{K}(x,\;s)=\begin{cases}K(x,\;s), & a\leqslant s\leqslant x, \\ 0, & x<s\leqslant b.\end {cases}

Joitakin Volterra-yhtälöiden ominaisuuksia ei kuitenkaan voida soveltaa Fredholmin yhtälöihin.

Epälineaariset yhtälöt

Voit keksiä käsittämättömän määrän epälineaarisia yhtälöitä, joten niille ei ole mahdollista antaa täydellistä luokittelua. Tässä on vain joitain niiden tyypeistä, joilla on suuri teoreettinen ja soveltava merkitys.

Urysohnin yhtälöt

\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s,\;\varphi(s))\,ds,\qquad K(x,\;s,\;\varphi)\in C (a\leqslant x,\;s\leqslant b;\;-M\leqslant\varphi\leqslant M).

Vakio on jokin positiivinen luku, jota ei aina voida määrittää etukäteen. $M$

Hammersteinin yhtälöt

Hammersteinin yhtälöt ovat tärkeä erikoistapaus Urysohnin yhtälöstä:

\varphi(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s)F(s,\;\varphi(s))\,ds,

missä on Fredholm-ydin. $K(x,\;s)$

Lyapunov-Lichtenstein yhtälöt

On tapana nimetä Lyapunov-Lichtenstein-yhtälöt, jotka sisältävät olennaisesti epälineaarisia operaattoreita, esimerkiksi yhtälö, jonka muoto on:

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_a^b K_{[1]}(x,\;s)\varphi(s)\,ds+\mu\int\limits_a^b\int \limits_a^b K_{[1,\;1]}(x,\;s,\;z)\varphi(x)\varphi(z)\,ds\,dz+\ldots

Epälineaarinen Volterran yhtälö

\varphi(x)=\int\limits_a^x F(x,\;s,\;\varphi(s))\,ds,

jossa funktio on jatkuva muuttujiensa kokonaisuudessa. $F(x,\;s,\;\varphi)$

Ratkaisumenetelmät

Ennen kuin harkitaan joitain integraaliyhtälöiden ratkaisumenetelmiä, on huomattava, että niille, kuten myös differentiaaliyhtälöille , ei aina ole mahdollista saada tarkkaa analyyttistä ratkaisua. Ratkaisumenetelmän valinta riippuu yhtälön tyypistä. Tässä tarkastellaan useita menetelmiä lineaaristen integraaliyhtälöiden ratkaisemiseksi.

Laplace-muunnos

Laplacen muunnosmenetelmää voidaan soveltaa integraaliyhtälöön, jos siihen sisältyvä integraali on kahden funktion konvoluution muotoinen :

\int\limits_0^xf(xt)g(t)\,dt\risingdotseq F(p)G(p),

eli kun ydin on kahden muuttujan eron funktio:

\varphi(x)=f(x)+\int\limits_0^x K(xs)\varphi(s)\,ds.

Esimerkiksi seuraava yhtälö:

\varphi(x)=\sin x+2\int\limits_0^x \cos(xs)\varphi(s)\,ds.

Sovelletaan Laplacen muunnos yhtälön molemmille puolille:

\varphi(x)\risingdotseq\Phi(p),

\Phi(p)=\frac{1}{1+p^2}+2\frac{p}{1+p^2}\Phi(p)\Rightarrow\Phi(p)=\frac{1} {(p-1)^2}.

Käyttämällä käänteistä Laplace-muunnosta saamme:

\varphi(x)=\underset{p=1}{\mathrm{res}}\,\frac{1}{(p-1)^2}e^{px}=(e^{px})' _p\Big|_{p=1}=xe^x.

Peräkkäisten approksimaatioiden menetelmä

Peräkkäisten approksimaatioiden menetelmää sovelletaan 2. tyypin Fredholmin yhtälöihin, jos seuraava ehto täyttyy:

|\lambda||ba|\max_{a\leqslant x,\;s\leqslant b}|K(x,\;s)|<1.

Tämä ehto on välttämätön Liouville-Neumann-sarjan lähentymiselle :

\varphi(x)=\sum_{k=0}^\infty\lambda^k(K^kf)(x),

joka on yhtälön ratkaisu. - integraalioperaattorin aste : $(K^kf)(x)$ $k$ $(Kf)(x)$

(Kf)(x)=\int\limits_a^b K(x,\;s)f(s)\,ds.

Tällainen ratkaisu on kuitenkin hyvä likiarvo vain riittävän pienille . $|\lambda|$

Tämä menetelmä soveltuu myös toisen tyyppisten Volterran yhtälöiden ratkaisuun. Tässä tapauksessa Liouville-Neumann-sarja konvergoi kaikille arvoille , ei vain pienille. $|\lambda|$

Liuotinmenetelmä

Resoluutiomenetelmä ei ole nopein ratkaisu toisen tyyppiseen Fredholmin integraaliyhtälöön, mutta joskus on mahdotonta osoittaa muita tapoja ongelman ratkaisemiseksi.

Jos otamme käyttöön seuraavan merkinnän:

\begin{align} K_0(x,\;t)=K(x,\;t),\\ K_1(t,\;s)=K(t,\;s), \end{align}

silloin ytimen toistuvat ytimet ovat ytimiä : $K(x,\;s)$ $K_p(x,\;s)$

K_p(x,\;s)=\int\limits_a^b K(x,\;t)K_{p-1}(t,\;s)\,dt.

Toistuvista ytimistä koostuva sarja,

\mathcal{R}(x,\;s,\;\lambda)=\sum_{k=0}^\infty\lambda^k K_{k+1}(x,\;s),

kutsutaan ytimen solventiksi ja se on säännöllisesti konvergoituva kohdassa , ja yllä oleva ehto Liouville-Neumann-sarjan konvergenssille . Integraaliyhtälön ratkaisu esitetään kaavalla: $K(x,\;s)$ $a\leqslant x$ $s\leqslant b$

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_a^b\mathcal{R}(x,\;s,\;\lambda)f(s)\,ds.

Esimerkiksi integraaliyhtälölle

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_0^1 xs\varphi(s)\,ds

seuraavat ytimet toistetaan:

K_0(x,\;s)=xs,

K_1(x,\;t)=xt,

K_2(x,\;t)=\int\limits_0^1 xs\,st\,ds=\frac{xt}{3},

K_3(x,\;t)=\int\limits_0^1 xs\frac{st}{3}\,ds=\frac{xt}{9},

\ldots

K_{n+1}=\frac{xt}{3^n},

ja liuotin on funktio

\mathcal{R}(x,\;t,\;\lambda)=\sum_{n=0}^\infty\lambda^n K_{n+1}=\sum_{n=0}^\infty\ lambda^n\frac{xt}{3^n}=xt\frac{1}{1-\dfrac{\lambda}{3}}=\frac{3xt}{3-\lambda}.

Sitten yhtälön ratkaisu löydetään kaavasta:

\varphi(x)=f(x)+\lambda\int\limits_0^1\frac{3xt}{3-\lambda}f(t)\,dt.

Algebrallisen yhtälön pelkistysmenetelmä

Jos Fredholmin integraaliyhtälön ydin on degeneroitunut , eli itse integraaliyhtälö voidaan pelkistää algebrallisten yhtälöiden järjestelmäksi . Itse asiassa tässä tapauksessa yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: $K(x,\;s)=\sum_{i=1}^N f_i(x)g_i(s)$

\varphi(x)=\lambda\sum_{i=1}^N f_i(x)\int\limits_a^b g_i(s)\varphi(s)\,ds+f(x)=\lambda\sum_{ i=1}^N c_if_i(x)+f(x),

missä . Kertomalla edellinen yhtälö ja integroimalla se segmenttiin , saamme tuntemattomien lukujen algebrallisen yhtälön järjestelmän : $c_i=\int\limits_a^b\varphi(s)g_i(s)\,ds$ $g_i(x)$ $x$ $[a,\;b]$ $c_{i}$

c_i=\lambda\sum_{k=0}^N a_{ik}c_k+b_i,\qquad i=1,\;\ldots,\;N,

missä ja ovat numeeriset kertoimet. $a_{ik}=\int\limits_a^b g_i(x)f_k(x)\,dx$ $b_i=\int\limits_a^b g_i(x)f(x)\,dx$

Suunnilleen tätä menetelmää voidaan käyttää Fredholmin integraaliyhtälön ratkaisemiseen minkä tahansa ytimen kanssa, jos funktion Taylor-sarjan segmentti otetaan degeneroituneeksi ytimeksi, joka on lähellä todellista . [yksi] $K(x,\;s)$

Integraalin korvaaminen äärellisellä summalla

Tarkastellaan 2. tyyppistä Fredholmin integraaliyhtälöä: , jossa ja joilla on halutun kertaluvun jatkuvat derivaatat, on annettu luku. Käytämme kvadratuurikaavaa: , jossa ovat janan pisteet ja kertoimet eivät riipu funktion tyypistä . Tarkastellaan alkuperäistä yhtälöä pisteissä : . Korvataan yhtälön vasemmalla puolella oleva integraali kvadratuurikaavalla: . Saamme lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän tuntemattomilla , jotka ovat ratkaisun likimääräisiä arvoja pisteissä . Alkuperäisen integraaliyhtälön likimääräiseksi ratkaisuksi voit ottaa funktion: [1] . $\varphi(x) - \lambda \int_{a}^{b} K(x,t) \varphi(t) dt = f(x)$ $K(x,t)$ $f(x)$ $\lambda$ $\int_{a}^{b}\Phi(x)dx\approx\sum_{k=1}^{n}A_{k}\Phi(x_{k})$ $x_{1}, x_{2}, ... x_{n}$ $[a,b]$ $A_{1}, A_{2}, ... , A_{n}$ $\Phi (x)$ $x_{k}$ $\varphi(x_{k}) - \lambda \int_{a}^{b} K(x_{k},t) \varphi(t) dt = f(x_{k})$ $\varphi(x_{k}) - \lambda \sum_{m=1}^{n} K(x_{k}, x_{m}) \varphi(x_{m}) = f(x_{k})$ $n$ $n$ $\varphi(x_{1}), \varphi(x_{2}), ... \varphi(x_{n})$ $\varphi(x)$ $x_{1}, x_{2}, ... x_{n}$ $\overline{\varphi(x)} = \lambda \sum_{m=1}^{n} A_{m}K(x, x_{m}) \varphi(x_{m})$

Sovellukset

P. Dubois-Reymond otti käyttöön termin "integraaliyhtälö" vuonna 1888 , mutta ensimmäiset integraaliyhtälöiden ongelmat ratkaistiin aikaisemmin. Esimerkiksi vuonna 1811 Fourier ratkaisi integraaliinversioongelman , joka nyt kantaa hänen nimeään.

Fourier-inversiokaava

Tehtävänä on löytää tuntematon funktio tunnetusta funktiosta : $f(y)$ $g(x)$

g(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{ixy}f(y)\,dy.

Fourier sai lausekkeen funktiolle : $f(y)$

f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-ixy}g(x)\,dx.

Cauchyn ongelman pelkistys integraaliyhtälöksi

Cauchyn ongelma tavallisille differentiaaliyhtälöille johtaa epälineaarisiin Volterran integraaliyhtälöihin :

\frac{dx}{dt}=F(t,\;x(t)),\qquad x(a)=x_0.

Todellakin , tämä yhtälö voidaan integroida välillä : $t$ $a$ $t$

x(t)=x_0+\int\limits_a^t F(s,\;x(s))\,ds.

Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden alkuongelman ratkaisu johtaa toisen tyyppisiin lineaarisiin Volterran integraaliyhtälöihin. Liouville käytti tätä hyväkseen vuonna 1837 . Oletetaan esimerkiksi, että tehtävä on asetettu:

x''(t)+[\lambda^2-\nu(t)]x(t)=0\qquad (\lambda=\mathrm{const}),\;x(a)=1,\;x '(a) = 0.

Yhtälölle, jolla on vakiokertoimet samoilla alkuehdoilla:

x''(t)+\lambda^2x(t)=g(t)

ratkaisu löytyy vakioiden vaihtelumenetelmällä ja se esitetään seuraavasti:

x(t)=\cos\lambda(ta)+\frac{1}{\lambda}\int\limits_a^tg(\tau)\sin\lambda(t-\tau)\,d\tau.

Sitten alkuperäiselle yhtälölle käy ilmi:

x(t)=\cos\lambda(ta)+\frac{1}{\lambda}\int\limits_a^t \nu(\tau)\sin\lambda(t-\tau)x(\tau)\ ,d\tau

on toisen tyyppinen Volterran integraaliyhtälö.

Lineaarinen differentiaaliyhtälö -. kertaluku $n$

\frac{d^nx}{dt^n}+a_1(t)\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\ldots+a_n(t)x(t) =F(t),\qquad t>a,

x(a)=C_0,\;x'(a)=C_1,\;\ldots,\;x^{(n-1)}(a)=C_{n-1}

voidaan myös pelkistää toisen tyypin Volterran integraaliyhtälöön.

Abelin ongelma

Historiallisesti uskotaan, että ensimmäinen ongelma, joka johti tarpeeseen tarkastella integraaliyhtälöitä, on Abel-ongelma . Vuonna 1823 Abel yleistäessään tautokronin ongelmaa päätyi yhtälöön:

f(x)=\int\limits_0^x\frac{\varphi(\eta)}{\sqrt{x-\eta}}\,d\eta,

missä on annettu funktio ja vaadittu funktio. Tämä yhtälö on 1. lajin Volterran lineaarisen integraaliyhtälön erikoistapaus. Abel-yhtälö on mielenkiintoinen siinä mielessä, että yhden tai toisen mekaniikan tai fysiikan erityisongelman muotoileminen johtaa siihen suoraan ( differentiaaliyhtälöiden ohittamiseen ). Esimerkiksi ongelma potentiaalienergian määrittämiseksi värähtelyjaksosta johtaa tämän tyyppiseen yhtälöön [2] $f(x)$ $\varphi(x)$

Abelin ongelman muotoilu näytti tältä:

Painovoiman vaikutuksesta aineellinen piste liikkuu pystytasossa tiettyä käyrää pitkin. Tämä käyrä on määriteltävä siten, että materiaalipiste, joka on aloittanut liikkeensä ilman alkunopeutta käyrän pisteessä, jossa on ordinaatit , saavuttaa ajassa akselin , jossa on annettu funktio. $(\xi ,\;\eta )$ $x$ $O\xi$ $t=f_1(x)$ $f_1(x)$

Jos määritämme lentoradan tangentin ja akselin välisen kulman Newtonin lakien mukaan , voimme päästä seuraavaan yhtälöön: $O\xi$ $\beeta$

\int\limits_0^x\frac{\varphi(\eta)}{\sqrt{x-\eta}}\,d\eta=-\sqrt{2g}f_1(x),\qquad\varphi(\beta )=\frac{1}{\sin\beta}.

Muistiinpanot

↑ 1 2 Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Integraaliyhtälöt. - M .: Nauka, 1976. - S. 214.
↑ Landau L. D. , Livshits E. M. Teoreettinen fysiikka: oppikirja. korvaus: Yliopistoille. 10 osassa T. I. Mechanics .. - 5th ed. Stereot.. - M. : FIZMATLIT, 2004. - S. 42-43. — 224 s. - ISBN 5-9221-0055-6 .

Kirjallisuus

Krasnov M. L. Integraaliyhtälöt: Johdatus teoriaan. - M.: Nauka, 1975.
Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Matemaattisen fysiikan yhtälöt. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .
Petrovsky I. G. Luennot osittaisista differentiaaliyhtälöistä, 3. painos. – 1961.
Vasilyeva A. B., Tikhonov N. A. Integraaliyhtälöt. - 2. painos, stereotypia. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 160 s. — ISBN 5-9221-0275-3 .
Zabreiko P. P. , Koshelev A. I., Krasnoselsky M. A. Integraaliyhtälöt. - M.: Nauka, 1968.

Integraalilaskenta

Main

Riemannin integraalin yleistykset

Integraalit
muunnokset

Numeerinen
integrointi

mittateoria

liittyvät aiheet

Listat integraaleista

Matemaattinen fysiikka

Yhtälöiden tyypit

Yhtälötyypit

Reunaehdot

Matemaattisen fysiikan yhtälöt

Diffuusio ja konvektio	Lämpöyhtälö Diffuusioyhtälö Mason-Weaverin yhtälö
Hydrodynamiikka	Siirtoyhtälö Navier-Stokes yhtälöt Eulerin yhtälö Gromeka-Lamb yhtälö Pyörreyhtälö Burgers yhtälö Matalan veden yhtälöt Korteweg-de Vriesin yhtälö
Sähkömagnetismi	Maxwellin yhtälöt Helmholtzin yhtälö Landau-Lifshitzin yhtälö Seulottu Poisson-yhtälö
Kvanttimekaniikka	Schrödingerin yhtälö Heisenbergin yhtälö Rarita-Schwinger yhtälö Hartreen yhtälö Diracin yhtälö Klein-Gordonin yhtälö
Yleiset mallit	Jatkuvuusyhtälö aaltoyhtälö Fokker-Planck yhtälö Poissonin yhtälö

Ratkaisumenetelmät

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Ruudukkomenetelmät

Elementtimenetelmät	Elementtimenetelmä Galerkinin menetelmä Epäjatkuva Galerkin-menetelmä Moniasteinen äärellisten elementtien menetelmä Multigrid-menetelmä
Muut menetelmät	Äärillisen eron menetelmä Rajallisen tilavuuden menetelmä Godunovin menetelmä Rajaelementtimenetelmä

Ei-ruudukkomenetelmät

Yhtälötutkimus

liittyvät aiheet