Kuusikulmainen parketti

Kuusikulmainen mosaiikki
Tyyppi	Oikea mosaiikki
Vertex figuuri	6.6.6 (6 3 )
Schläfli-symboli	{6,3} t{3,6}
Wythoff-symboli	3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 |
Coxeterin kaavio
Symmetria ryhmä	p6m , [6,3], (*632)
Pyörimissymmetria	p6 , [6,3] + , (632)
Kaksoislaatoitus _	kolmion muotoinen mosaiikki
Ominaisuudet	Vertex-transitiivinen , reunatransitiivinen , face-transitiivinen

Kuusikulmainen parketti ( hexagonal parquet [1] ) tai kuusikulmainen mosaiikki on laatoitus tasosta , jossa on yhtä suuret säännölliset kuusikulmiot , jotka sijaitsevat sivuttain.

Kuusikulmainen laatoitus on kolmiomaisen laatoituksen kaksois - jos yhdistät vierekkäisten kuusikulmioiden keskipisteet, piirretyt segmentit muodostavat kolmiomaisen laatoituksen [1] [2] . Kuusikulmaisen parketin Schläfli-symboli on {6,3} (eli kolme kuusikulmiota suppenee parketin jokaisessa kärjessä) tai t {3,6}, jos laatoitusta pidetään katkaistuna kolmiomaisena laatoituksena.

Englantilainen matemaatikko Conway kutsui laatoitusta hextilleksi (kuusiparketiksi).

Kuusikulmion sisäkulma on 120 astetta, joten kolme kuusikulmiota samassa kärjessä laskee yhteen 360 astetta. Tämä on yksi kolmesta tavallisesta tasolaatoituksesta . Kaksi muuta mosaiikkia ovat kolmioparketti ja neliöparketti .

Sovellukset

Tason laatoitus säännöllisillä kuusikulmioilla on perusta kuusikulmaiselle shakille ja muille ruudullisen kentän peleille , polyhekseille , Life-mallin muunnelmille ja muille kaksiulotteisille soluautomaateille , rengasflexagoneille jne .

Kuusikulmainen laatoitus on tihein tapa pakata ympyröitä 2D-avaruuteen. Hunajakennooletuksen kuusikulmainen laatoitus on paras tapa jakaa pinta tasa-alaltaan pienin kokonaiskehä. Lord Kelvin tutki optimaalisen kolmiulotteisen rakenteen hunajakennoille (melko saippuakuplia) , joka uskoi, että Kelvin-rakenne (tai vartalokeskeinen kuutiohila ) oli optimaalinen. Vähemmän säännöllinen Waeaire–Phelan -rakenne on kuitenkin hieman parempi.

Tämä rakenne esiintyy luonnossa grafiitin muodossa , jossa jokainen grafeenikerros muistuttaa metalliverkkoa, jossa langan roolia hoitavat vahvat kovalenttiset sidokset. Putkimaisia ​​grafeenilevyjä on syntetisoitu ja ne tunnetaan hiilinanoputkina . Niillä on monia mahdollisia sovelluksia korkean vetolujuutensa ja sähköisten ominaisuuksiensa vuoksi. Silikeeni on samanlainen kuin grafeeni .

• Tiivimmällä ympyröiden pakkauksella on kuusikulmaisen laatoituksen kaltainen rakenne

• Chick verkko

• Grafeeni

• Hiilinanoputkia voidaan nähdä kuusikulmaisena mosaiikkina lieriömäisellä pinnalla

Kuusikulmainen mosaiikki esiintyy monissa kiteissä. 3D-avaruudessa kiteistä löytyy usein kasvokeskeinen kuutiorakenne ja kuusikulmainen tiiviisti pakattu rakenne. Ne ovat 3D-avaruuden tiheimpiä palloja. Rakenteellisesti ne koostuvat samansuuntaisista kuusikulmaisen mosaiikin kerroksista, jotka ovat samanlaisia ​​kuin grafiitin rakenne. Ne eroavat toisistaan ​​​​tasosiirron tyypissä, kun taas kasvokeskeinen kuutiorakenne on oikeampi. Puhdas kupari muodostaa muiden materiaalien ohella kasvokeskeisen kuutiohilan.

Tasaiset värit

Kuusikulmaisessa laatoituksessa on kolme erilaista yhtenäistä väritystä , jotka kaikki on saatu Wythofin rakenteiden peilisymmetriasta . Merkintä ( h , k ) edustaa värillisen laatan jaksoittaista toistoa kuusikulmaisilla etäisyyksillä h ja k .

k-homogeeninen	1 - homogeeninen			2 - homogeeninen		3 - homogeeninen
Symmetria	p6m, (*632)		p3m1, (*333)	p6m, (*632)		p6, (632)
Kuva
värit	yksi	2	3	2	neljä	2	7
(h, k)	(1.0)	(1.1)		(2.0)		(2.1)
Schläfli	{6,3}	t{3,6}	t{3 [3] }
Wiethoff	3 | 6 2	2 6 | 3	3 3 3 |
kokseteri
Conway	H	tΔ		CH

Kolmivärinen laatoitus muodostuu luokkaa 3 olevasta permutaatiopolyhedristä .

Viistetty kuusikulmainen laatoitus

Kuusikulmaisen laatoituksen viisto korvaa reunat uusilla kuusikulmioilla ja muuntaa toisen kuusikulmaisen laatoituksen. Rajassa alkuperäiset pinnat katoavat ja uudet kuusikulmiot muunnetaan rombeiksi, jolloin laatoitus muuttuu rombiseksi .

Kuusikulmat (H)	Viistetyt kuusikulmiot (CH)			rombi (daH)

Aiheeseen liittyvät mosaiikit

Kuusikulmiot voidaan jakaa 6 kolmioon. Tuloksena on kaksi 2-tasaista laatoitusta ja kolmion muotoinen laatoitus :

Oikea mosaiikki	jakaminen	2-homogeeninen laatoitus		Oikea mosaiikki
Alkukirjain		murtunut 1/3 kuusikulmio	murtunut 2/3 kuusikulmio	täysi osio

Kuusikulmaista laatoitusta voidaan pitää pitkänomaisena rombisena laatoituksena , jossa rombisen laatoituksen jokainen kärki "venytetään" muodostamaan uusi reuna. Tämä on samanlainen kuin rombisen dodekaedrin ja rombisen kuusikulmaisen dodekaedrin tessellaatioiden yhdistäminen kolmiulotteisessa avaruudessa.

Rombinen mosaiikki

Kuusikulmainen mosaiikki

Ruudukko näyttää tällaisen yhteyden

Joidenkin kuusikulmaisten laattojen prototiilit voidaan myös jakaa kahteen, kolmeen, neljään tai yhdeksään identtiseen viisikulmioon:

Tyypin 1 viisikulmainen laatoitus , jossa on päällekkäiset säännölliset kuusikulmiot (jokainen kuusikulmio koostuu 2 viisikulmiosta).

Tyypin 3 viisikulmainen laatoitus, jossa on päällekkäiset säännölliset kuusikulmiot (jokainen kuusikulmio koostuu 3 viisikulmiosta).

Tyypin 4 viisikulmainen laatoitus, jossa on päällekkäiset puolisäännölliset kuusikulmiot (jokainen kuusikulmio koostuu 4 viisikulmiosta).

Tyypin 3 viisikulmainen laatoitus kahden koon päällekkäin menevillä säännöllisillä kuusikulmioilla (kuusikulmiot koostuvat 3 ja 9 viisikulmiosta).

Symmetriaasetukset

Tämä laatoitus liittyy topologisesti säännöllisiin laatoitussarjaan, jossa on kuusikulmainen pinta ja joka alkaa kuusikulmaisella laatoituksella. Äärettömän sekvenssin mosaiikeissa on Schläfli-symboli {6,n} ja Coxeterin kaavio .

Homogeenisten antiprismien perhe n .3.3.3

* n 62 symmetriavaihtoehtoa tavallisille laatoituksille: {6, n }
Pallomainen	Euklidinen	Hyperboliset laatoitukset
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6,∞}

Kuusikulmainen laatoitus liittyy topologisesti (osana sarjaa) säännölliseen monitahoiseen, jonka kärkikuvio on n 3 .

* n 32 symmetriavaihtoehtoa tavallisille laatoituksille: n 3 tai { n ,3}

Pallomainen				Euklidinen	Kompakti hyperbolinen.		Parakompakti .	Ei-kompakti hyperbolinen.
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

Samalla tavalla laatoitus liittyy yhtenäisiin katkaistuihin monitahoihin, joiden kärkikuva on n .6.6.

* n 32 katkaistua laatoitussymmetriamutaatiota: n .6.6
Symmetria * n 32 [n,3]	pallomainen		Euklidinen	Kompakti hyperbolinen				Parakompakti.	Ei-kompakti hyperbolinen
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Katkaistut luvut
Conf.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
n-kis hahmot
Conf.	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

Laatoitus on myös osa katkaistua rombista polyhedraa ja laatoitusta, jossa on Coxeter -ryhmäsymmetria [n,3]. Kuutiota voidaan pitää rombisena heksaedrina, jossa kaikki rombit ovat neliöitä. Katkaistuissa muodoissa on säännölliset n-kulmiot katkaistujen kärkien tilalla ja epäsäännölliset kuusikulmiopinnat.

Kaksinkertaisen kvasisäännöllisen laatoituksen symmetria: V(3.n) 2

	Pallomainen			Euklidinen	Hyperbolinen
*n32	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Mosaiikki
Conf.	V(3.3) 2	V(3.4) 2	V(3.5) 2	V(3.6) 2	V(3.7) 2	V(3.8) 2	V(3.∞) 2

Wythofin kuusi- ja kolmiolaatoitusrakenne

Tasaisten monitahoisten laatoitusten tapaan on olemassa kahdeksan yhtenäistä laatoitusta , jotka perustuvat tavallisiin kuusikulmaisiin laatoituksiin (tai kaksoiskolmiolaattoihin ) .

Jos värjätään alkuperäisten pintojen laatat punaisiksi, alkuperäiset kärjet (tuloksena olevat polygonit) keltaisiksi ja alkuperäiset reunat (syntyneet polygonit) siniseksi, muotoja on 8, joista 7 on topologisesti erillisiä. ( Katkaistu kolmiolaatoitus on topologisesti identtinen kuusikulmaisen laatoituksen kanssa.)

Homogeeniset kuusikulmio/kolmiolaatat
Perustoimialueet _	Symmetria : [6,3], (*632)							[6,3] + , (632)
	{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}
Konfig.	6 3	3.12.12	(6.3) 2	6.6.6	3 6	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Monohedral kupera kuusikulmainen laatoitus

On olemassa 3 tyyppiä yksiedrisiä [3] kuperia kuusikulmainen laatoitus [4] . Ne ovat kaikki isohedrisiä . Jokaisella on parametriset muunnelmat kiinteällä symmetrialla. Tyyppi 2 sisältää liukuvan symmetrian ja pitää kiraaliset parit erillisinä.

3 tyyppiä yksitahoisia kuperia kuusikulmainen laatoitus

yksi	2		3
s. 2, 2222	pgg, 22×	s. 2, 2222	p3,333
b = e B+C+D = 360°	b=e, d=f B+C+E=360°		a = f, b = c, d = e B = D = F = 120°
kahden laatan verkko	neljän laatan ruudukko		kolmen laatan ruudukko

Topologisesti vastaavat laatoitukset

Kuusikulmaiset laatoitukset voivat olla identtisiä tavallisen laatoitustopologian {6,3} kanssa (3 kuusikulmiota kussakin kärjessä). Kuusikulmaisesta laatoituksesta on 13 muunnelmaa isohedraalisilla pinnoilla. Symmetrian näkökulmasta kaikki pinnat ovat samanvärisiä, kun taas kuvien väritys edustaa sijaintia ruudukossa [5] . Yksiväriset (1-laattaiset) ruudukot koostuvat kuusikulmaisista suuntakulmista .

13 kuusikulmaista isohedristä laatoitusta

pg (××)		p2 (2222)	p3 (333)	pmg (22*)
pgg (22x)			p31m (3*3)	p2 (2222)	cm (2*22)	p6m (*632)

Muut topologisesti isohedraaliset kuusikulmiolaatat näyttävät nelikulmaisilta ja viisikulmaisilta, jotka eivät kosketa sivulta toiselle, mutta joiden monikulmioiden voidaan ajatella olevan kollineaarisia vierekkäisiä sivuja:

Isoedrisesti laatoitettu nelikulmio

pmg (22*)		pgg (22x)			cm (2*22)	p2 (2222)
Suunnikas	Trapetsi	Suunnikas	Suorakulmio	Suunnikas	Suorakulmio	Suorakulmio

Isohedrally-laatoitettu viisikulmio

p2 (2222)	pgg (22x)	p3 (333)

2-uniformisilla ja 3-uniformisilla tessellaatioilla on pyörimisvapausaste, joka vääntää 2/3 kuusikulmioista, mukaan lukien kollineaariset sivut, jotka voidaan nähdä kuusikulmioiden ja suurten kolmioiden laatoituksina, joiden sivut eivät täsmää (ei sivuttain). -puoli) [6] .

Mosaiikki voidaan kiertää kiraalisiksi 4-värisiksi kietoiksi kuvioiksi kolmeen suuntaan, ja osa kuusikulmioista muuttuu suunnikasiksi . Kietoutuneilla kuvioilla, joissa on 2 värillistä pintaa, on 632 (p6) kiertosymmetria .

Oikea	kierretty	Oikea	sidottu
p6m, (*632)	p6, (632)	p6m (*632)	p6 (632)
p3m1, (*333)	p3, (333)	p6m (*632)	p2 (2222)

Pakkaavat ympyrät

Kuusikulmaista laatoitusta voidaan käyttää ympyröiden pakkaamiseen sijoittamalla samansäteiset ympyrät laatoituksen kärkipisteiden keskelle. Jokainen ympyrä koskettaa 3 muuta pakkauksen ympyrää ( yhteysnumero ) [7] . Ympyrät voidaan maalata kahdella värillä. Kunkin kuusikulmion sisällä oleva tila mahdollistaa yhden ympyrän sijoittamisen, mikä luo tiheimmin pakatun kolmiomaisen laatoituksen , jolloin jokainen ympyrä koskettaa mahdollisimman montaa ympyrää (6).

Liittyvät säännölliset kompleksiset äärettömät

On 2 säännöllistä kompleksista apeirogonia , joilla on samat kuusikulmaiset laatoituspisteet. Säännöllisten kompleksisten apeirogonien reunat voivat sisältää 2 tai useampia kärkeä. Säännöllisillä apeirogonilla p { q } r on rajoitus: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Reunoilla on p pistettä ja kärkikuviot ovat r - kulmia [8] .

Ensimmäinen apeirogoni koostuu kahdesta reunasta, kolme kunkin kärjen ympärillä, toisessa on kuusikulmainen reuna, kolme kunkin kärjen ympärillä. Kolmas kompleksinen apeirogoni, jolla on samat kärjet, on lähes säännöllinen ja vuorottelee 2- ja 6-reunojen välillä.

2{12}3 tai	6{4}3 tai

Katso myös

• Kuusikulmainen ristikko
• Kolmion muotoinen prismaattinen hunajakenno
• Mosaiikit kuperista säännöllisistä monikulmioista euklidisella tasolla
• Luettelo yhtenäisistä laatoista
• Luettelo säännöllisistä moniulotteisista monitahoista ja yhdisteistä
• Kuusikulmaiset mosaiikkikennot

Muistiinpanot

1. ↑ 1 2 Golomb, 1975 , s. 147.
2. ↑ Weisstein, Eric W. Dual  Tessellation Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
3. ↑ Laatoitusta kutsutaan yksitahraiseksi, jos se koostuu yhteneväisistä laatoista.
4. ↑ Grünbaum ja Shephard 1987 , s. Sec. 9.3 Muut yksiedriset laatoitukset kuperilla polygoneilla.
5. ↑ Grünbaum ja Shephard 1987 , s. 473–481, luettelo 107 isoedristä laatoitusta.
6. ↑ Grünbaum ja Shephard 1987 , s. tasaiset laatoitukset, jotka eivät ole reunasta reunaan.
7. ↑ Critchlow, 1987 , s. 74–75, malli 2.
8. ↑ Coxeter, 1991 , s. 111-112, 136.

Kirjallisuus

• S.V. Golomb. Polyomino \ u003d Polyominoes / Per. englannista. V. Firsova. Esipuhe ja toim. I. Yagloma. - M .: Mir, 1975. - S. 147. - 207 s.
• HSM Coxeter . Tavalliset monimutkaiset polytoopit. – 2 ed. - New York, Port Chester, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press, 1991. - ISBN 0-521-39490-2 .
• HSM Coxeter . Taulukko II: Tavalliset hunajakennot //Tavalliset polytoopit . – 3. - Dover, 1973. - S.  296 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• B. Grünbaum , G. C. Shephard. Laatat ja kuviot . - New York: W. H. Freeman & Co., 1987. - S.  58-65 . - ISBN 0-7167-1193-1 .
• R. Williams. Luonnonrakenteen geometrinen perusta: suunnittelun lähdekirja . - New York: Dover Publications , 1979. - s  . 35 . — ISBN 0-486-23729-X .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Asioiden symmetriat . - 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . Arkistoitu19. syyskuuta 2010Wayback Machinessa
• Keith Critchlow. Tilaa avaruudessa: Suunnittelun lähdekirja. - New York: Thames & Hudson, 1987. - ISBN 0-500-34033-1 .

Linkit

• Weisstein, Eric W. Hexagonal Grid  (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
  • Weisstein , Eric W. Säännöllinen tessellaatio  Wolfram MathWorldissä .
  • Weisstein, Eric W. Uniform tessellation  (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
• Klitsing, Richard. 2D euklidiset laatoitukset o3o6x-heksaat-O3
• Amit Patel. Ruudukkomatematiikka: neliö, kuusikulmio, kolmio . — Algoritmit kuusikulmaisten ja kolmiomaisten verkkojen esittämiseksi tietokonestrategiapeleissä. (määrätön)

Fundamentaaliset kuperat säännölliset ja yhtenäiset kennot mitoiltaan 2–10

Perhe // _ Homogeeninen mosaiikki {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Kuusikulmainen Homogeeniset kuperat hunajakennot {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4 yhtenäinen viisiulotteinen hunajakenno {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 24 solun hunajakenno yhtenäinen kuusiulotteinen hunajakenno {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6 yhtenäinen seitsemänulotteinen hunajakenno {3 [7] } δ7 _ hδ 7 qδ 7 222 _ yhtenäinen kahdeksanulotteinen hunajakenno {3 [8] } δ8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31 yhtenäinen yhdeksänulotteinen hunajakenno {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21 Tasaiset n -ulotteiset hunajakennot {3 [n] } δn _ hδn _ qδn _ 1 k2 • 2 k1 • k 21

geometriset mosaiikit
Jaksottainen	Pythagoraan Rombinen Schwartzin kolmio Suorakulmainen Domino Viisikulmainen Homogeeninen mosaiikki Honeycombs Väritys Kupera Jaettu mosaiikki Tasainen kristallografinen ryhmä Wythoffin rakentaminen
jaksoton	Ammann-Binker Ajoittainen sarja mosaiikkilaattoja Lista Yksi laatta haaste Sokolara - Taylor Gilbert Penrose väkkärä Domed Jakoiset ja itseliimautuvat sarjat Sfinksi Truche
muu	Ei -isoedrinen ja isohedraalinen Arkkitehtoninen ja heijastava Circle Limit III Tietokonegrafiikka hunajakennoja Reuna transitiivinen Paketti Tehtävät pakettiauto heesh neliöinti Mosaiikkilaatat Conwayn kriteeri Girih Lentokoneen säännöllinen jako Säännöllinen hila Korvaukset Voronoin kaavio Foderberg
Vertex- konfiguraation mukaan	Pallomainen 2n _ 3 3 n V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _ Oikea 2∞ _ 3 6 4 4 6 3 puoliksi oikein 3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 .4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2 .∞ 4.6.12 4.8 2 Hyperbolinen _ 3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 3 8 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3.4.6 2.4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3.7) 2 (3.8) 2 3.14 2 3.16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 4 5 4 6 4 7 4 8 4∞ _ (4.5) 2 (4.6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4.7) 2 (4.8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4.14 2 4.16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5.8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6.8) 2 6.8 2 6.10 2 6.12 2 6.16 2 7 3 74 _ 7 7 7.6 2 7.8 2 7.14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8.6 2 8.16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞.6 2 ∞.8 2