Neliö

Neliö
Neliö, jossa sivu ja diagonaali $a$ $d$
kylkiluut	neljä
Schläfli-symboli	{neljä}
Jonkinlainen symmetria	Kaksitahoinen ryhmä (D 4 )
Neliö	a 2
Sisäkulma	90°
Ominaisuudet
Kupera monikulmio , Isogonaalinen hahmo , Isotoksaalinen hahmo
Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Neliö ( lat. quadratus , nelikulmainen [1] ) - säännöllinen nelikulmio , eli tasainen nelikulmio, jossa kaikki kulmat ja sivut ovat yhtä suuret. Jokainen neliön kulma on suora [2] . $(90^{\circ })$

Määritelmän muunnelmia

Neliö voidaan karakterisoida yksilöllisesti monin tavoin [3] [4] .

Geometrinen kuvio , joka on sekä suorakulmio että rombi .
Suorakulmio, jonka kaksi vierekkäistä sivua ovat yhtä pitkiä.
Suorakulmio, jonka lävistäjät leikkaavat suorassa kulmassa .
Rombi, jonka lävistäjät ovat yhtä suuret.
Rombi, jonka kaksi vierekkäistä kulmaa ovat yhtä suuret.
Rombi, jonka yksi kulmista on suora kulma (muut kulmat, kuten on helppo todistaa, ovat silloin myös suoria kulmia).
Parallelogrammi , jossa kahden vierekkäisen sivun pituudet ovat yhtä suuret ja niiden välinen kulma on oikea.
Suuntaviiva, jonka lävistäjät ovat yhtä suuret ja niiden välinen kulma on oikea.
Deltoid , jonka kaikki kulmat ovat oikeat.

Ominaisuudet

Lisäksi tässä osiossa , tarkoittaa neliön sivun pituutta , - diagonaalin pituutta , - rajatun ympyrän sädettä , - piirretyn ympyrän sädettä . $a$ $d$ $R$ $r$

Neliön ympärysmitta on: $P$

P=4a=4{\sqrt {2}}R=8r

Neliön lävistäjät ovat yhtä suuret, keskenään kohtisuorassa, jakavat leikkauspisteen ja puolittavat itse neliön kulmat (toisin sanoen ne ovat neliön sisäkulmien puolittajia ). Kunkin diagonaalin pituus $d=a{\sqrt {2}}.$

Kaiverretut ja rajatut ympyrät

Neliön rajattujen ja piirrettyjen ympyröiden keskipiste on sama kuin sen diagonaalien leikkauspiste.

Neliön piirretyn ympyrän säde on puolet neliön sivusta:

r={\frac {a}{2}}.

Neliön rajatun ympyrän säde on yhtä suuri kuin puolet neliön lävistäjästä:

R={\frac {\sqrt {2}}{2}}a.

Näistä kaavoista seuraa, että rajatun ympyrän pinta-ala on kaksi kertaa piirretyn ympyrän pinta-ala.

Alue

neliön alue
Yhdistämällä neliön sivujen keskipisteet, saadaan neliö, jonka pinta-ala on puolet

Neliön pinta -ala on $S$

S=a^{2}=2R^{2}=4r^{2}={1 \over 2}d^{2}

Kaavasta , joka yhdistää neliön sivun sen pinta-alaan, käy selväksi, miksi luvun nostamista toiseen potenssiin kutsutaan perinteisesti " neliöiksi" ja tällaisen neliöinnin tuloksia kutsutaan " neliöluvuiksi " tai yksinkertaisesti neliöiksi . Vastaavasti toista juuria kutsutaan neliöjuureksi . $S=a^{2},$

Neliöllä on kaksi merkittävää ominaisuutta [5] .

Kaikista tietyn kehän omaavista nelikulmista neliön pinta -ala on suurin .
Kaikista tietyn alueen omaavista nelikulmista neliön ympärysmitta on pienin .

Neliöyhtälö

Suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä yhtälö neliöstä, jonka keskipiste on pisteessä ja diagonaalit, jotka ovat yhdensuuntaisia koordinaattiakselien kanssa (katso kuva), voidaan kirjoittaa muodossa [6] : $\{x_{0},y_{0}\}$

|x-x_{0}|+|y-y_{0}|=R,

missä on rajatun ympyrän säde , joka on yhtä suuri kuin puolet neliön diagonaalin pituudesta. Neliön sivu on silloin sen diagonaali on ja neliön pinta-ala on $R$ $R{\sqrt {2)),$ $2R,$ $2R^{2}.$

Origoon keskitetyn neliön yhtälö ja koordinaattiakselien suuntaiset sivut (katso kuva) voidaan esittää jollakin seuraavista muodoista:

$|xy|+|x+y|=a$ (saatavissa helposti käyttämällä 45° kiertoa edelliseen yhtälöön)
${\displaystyle \max(x^{2},y^{2})=r^{2))$
( napakoordinaateissa [7] ) $\quad r(\varphi )=\min \left({\frac {r}{|\cos \varphi |}},{\frac {r}{|\sin \varphi |}}\oikea)$

Matemaattiset tehtävät

Neliöihin liittyy useita ongelmia, joista joihinkin ei vieläkään ole ratkaisua.

Ympyrän neliöinti on ikivanha ongelma sellaisen neliön muodostamisessa kompassin ja viivaimen avulla , joka on pinta-alaltaan yhtä suuri kuin annettu ympyrä . Vuonna 1882 Ferdinand Lindemann osoitti, että tämä oli mahdotonta.

Neliöinti on ongelma, jossa neliö jaetaan rajalliseen määrään pienempiä neliöitä, joissa ei ole "reikiä", ja neliöiden sivujen pituuksien tulisi poiketa toisistaan (ihannetapauksessa niiden kaikkien tulisi olla erilaisia). Tähän ongelmaan on löydetty useita ratkaisuja.
Matemaatikko yritti pitkään todistaa, että janan jatkuva kartoitus neliöksi on mahdotonta, kunnes Giuseppe Peano rakensi vastaesimerkkinsä .
Toeplitzin arvelu : Mistä tahansa suljetusta tasosta Jordanin käyrästä löytyy neljä pistettä, jotka muodostavat neliön kärjet. Ei todistettu tai kiistetty.
Neliön jakaminen identtisten pienempien neliöiden ruudukolla johtaa myös moniin ongelmiin, joita käytetään erityisesti latinalaisten ja kreikkalais-latinalaisten neliöiden teoriassa , maagisten neliöiden teoriassa Sudoku -pelissä .

Symmetria

Neliöllä on suurin aksiaalinen symmetria kaikista nelikulmista. Hänellä on:

yksi neljännen asteen symmetria -akseli - akseli, joka on kohtisuorassa neliön tasoon nähden ja kulkee sen keskustan läpi;
neljä toista kertaluokkaa olevaa symmetria-akselia (eli niiden suhteen neliö heijastuu itsessään), joista kaksi kulkee neliön diagonaaleja pitkin ja kaksi muuta kulkevat yhdensuuntaisesti sivujen kanssa.

Sovellus

Matematiikassa

Yksikköneliötä käytetään vakiona pinta-alayksikössä sekä mielivaltaisten litteiden hahmojen pinta-alan määrittämisessä . Lukuja, joille pinta-ala voidaan määrittää, kutsutaan neliöiksi .

Pythagoraan lause muotoiltiin alun perin geometrisesti: hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin jalkoihin rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa .

Neliöt ovat kuution pinnat - yksi viidestä säännöllisestä polyhedrasta .

Matemaattisessa fysiikassa neliö voi tarkoittaa " d'Alembert-operaattoria " (dalamberia) - toisen asteen differentiaalioperaattoria :

{\displaystyle \square u:={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2 ))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2))}-{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial ^{2 }u}{\osittainen t^{2))))

Bolyai-Gervin-lauseesta seuraa , että mikä tahansa monikulmio on yhtä konstituoitu neliön kanssa, eli se voidaan leikata äärelliseen määrään neliön muodostavia osia (ja päinvastoin) [8] .

Kaaviot: K 4 :n kokoinen graafi kuvataan usein neliönä, jossa on kuusi reunaa.

3- simplex (3D)

Koristeet ja parketit

Mosaiikit, mukaan lukien neliöt

Neliöitä sisältävät mosaiikit, koristeet ja parketit ovat yleisiä.

Muut käyttötarkoitukset

Shakkilauta on neliön muotoinen ja jaettu 64 ruutuun, joissa on kaksi väriä. Kansainvälisen tammen neliölauta on jaettu 100 kahden värin ruutuun . Neliön muodossa on nyrkkeilyrengas , neliö neliön pelaamiseen .

Liman neliölippu on jaettu kahteen mustaan ja kahteen keltaiseen ruutuun, kun se nostetaan laivaan satamassa , se tarkoittaa, että laiva on karanteenissa .

Grafiikka

Useat symbolit ovat neliön muodossa.

Unicode - merkit U+25A0 - U+25CF
U+20DE ◌⃞ YHDISTÄMINEN SULKEAN NELIÖN
ロ ( japanilainen merkki "Ro" (katakana) )
口 ( kiinalainen merkki "suulle" )
囗 ( kiinalainen merkki "aidalle" )

Latexissa rakenteita\Box tai käytetään lisäämään neliömerkki \square.

HTML : ssä voit sulkea mielivaltaisen tekstin neliöön tai suorakulmioon käyttämällä rakennetta:

<span style="border-style: solid; border-width: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;">teksti</span>; tulos: teksti .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Moniulotteinen avaruus

Neliötä voidaan pitää kaksiulotteisena hyperkuutiona .

Ei-euklidinen geometria

Ei -euklidisessa geometriassa neliö (laajemmassa merkityksessä) on monikulmio , jolla on neljä yhtä suurta sivua ja samat kulmat. Näiden kulmien suuruuden perusteella voidaan arvioida tason kaarevuus - euklidisessa geometriassa ja vain siinä kulmat ovat oikeat, pallomaisessa geometriassa pallomaisen neliön kulmat ovat suurempia kuin suora kulma, Lobachevsky-geometriassa - vähemmän.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Neliö // Neuvostoliiton tietosanakirja. - 2. painos - M . : Soviet Encyclopedia, 1982. - S. 561. - 1600 s.
↑ Neliö // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 3. - S. 776. - 1184 s.
↑ Vygodsky M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja. - M .: AST, 2006. - 509 s. — ISBN 5-17-009554-6 .
↑ 1 2 Kaplun, 2014 , s. 171-173.
↑ Ponarin Ya. P. Elementary geometria: 2 osassa - Vol. 1: Planimetry, plane transformations. - M. : MTSNMO, 2004. - S. 117, 119. - 312 s. — ISBN 5-94057-171-9 .
↑ Neliön yhtälö suorakulmaisina koordinaatteina . Haettu 9. marraskuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 9. marraskuuta 2021. (määrätön)
↑ Mikä on neliön napayhtälö, jos sellainen on?
↑ Boltyansky V. G. Hilbertin kolmas ongelma . - M .: Nauka, 1977. - 208 s.

Kirjallisuus

Kaplun A. I. Matematiikka, Opetus- ja käytännön hakuteos. - Rostov n/a. : LLC "Phoenix", 2014. - 240 s. - ISBN 978-5-222-20926-3 .

Linkit

Neliö, geometrinen hahmo // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 osassa (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Hienoa norjalaista Iso venäläinen Brockhaus ja Efron Pieni Brockhaus ja Efron V. Dahl Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 16529362t GND : 4129044-6 J9U : 987007529423205171 LCCN : sh85127084

Monikulmiot

Sivujen lukumäärän mukaan

Monogon
Bigon
Kolmio
Nelikulmainen
Pentagon
Kuusikulmio
Seitsenkulmio
Kahdeksankulmio
viisikulmio
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Kolmetoista
tetradecagon
Pentagon
Kuusikulmio
Seitsemäntoista
kahdeksankulmio
Nineteenagon
Dodecagon
Kaksikymmentäyksipuolinen
Kaksikymmentäkaksi kulma
Twentytrigon
Kaksikymmentänelikulmainen
Kaksikymmentä viisikulmio
Kaksikymmentä kahdeksankulmio
Tridecagon
Thirty-Biagon
Neljäkymmentäneliö
Neljäkymmentä kaksikulmio
helluntailainen
helluntailainen
Kuusikulmio
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ fi
Millagon
Kymmenentuhattagon
Satatuhatosa
Milliogon
ääretön

oikea

kupera	Kolmio Neliö Pentagon Kuusikulmio Seitsenkulmio Kahdeksankulmio viisikulmio tetradecagon Seitsemäntoista 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
tähti	Pentagrammi Heksagrammi Heptagrammi Octagram ( Lakshmin tähti ) Enneagrammi Dekagrammi Endekagrammi Dodecagram

kolmiot

Nelikulmat

Katso myös

Schläfli-symboli
Monikulmiot	{yksi} {2} {3} {neljä} {5} {6} {7} {kahdeksan} {9} {kymmenen} {yksitoista} {12} {neljätoista} {viisitoista} {17} {kahdeksantoista} {kaksikymmentä} {kolmekymmentä} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
tähtipolygoneja	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Tasaiset parketit _	{3,6} {4,4} {6,3}
Tavalliset monitahoiset ja pallomaiset parketit	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Kepler-Poinsot-polyhedra	{5/2,5} {5.5/2} {5/2,3} {3,5/2}
hunajakennoja	{4,3,4}
Neliulotteinen polyhedra	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}