Ääretön

Infinity on ihmisen ajattelun luokka, jota käytetään luonnehtimaan rajattomia, rajattomia, ehtymättömiä esineitä ja ilmiöitä, joille on mahdotonta osoittaa rajoja tai määrällistä mittaa [1] . Käytetään toisin kuin äärellinen, laskettava, jolla on raja. Matematiikassa , logiikassa ja filosofiassa systemaattisesti tutkittuina tutkitaan myös kysymyksiä äärettömyyden käsityksestä, tilasta ja luonteesta psykologiassa , teologiassa ja fysiikassa .

Historiallisesti ensimmäiset äärettömyyden ongelmat ovat kysymyksiä tilan ja ajan äärellisyydestä, maailman asioiden määrästä, monimutkaisemmista ongelmista - jatkumon äärettömän jakamisen mahdollisuudesta , mahdollisuudesta toimia äärettömien kohteiden kanssa ( todellisen äärettömyyden ongelma ), äärettömän pienten suureiden luonne ja käyttäytyminen - infinitesimaalit , erityyppisten äärettömyyden esiintyminen ja niiden välinen suhde [1] . Syvin äärettömyyden tutkimus tehtiin matemaattisessa joukkoteoriassa , jossa rakennettiin useita erityyppisten äärettömien objektien mittausjärjestelmiä, mutta ilman keinotekoisia lisärajoituksia tällaiset rakenteet aiheuttavat lukuisia paradokseja , tapoja niiden voittamiseksi joukkoteoreettisten konstruktien asema, niiden yleistykset ja vaihtoehdot ovat nykyaikaisten filosofien äärettömyyden tutkimuksen pääsuunta .

Peruskäsitteet

Potentiaalinen ja todellinen ääretön

Äärettömyyttä voidaan pitää tietyn prosessin rajattomuudena, esimerkiksi kun Eukleideen toinen postulaatti väittää mahdollisuuden jatkaa mitä tahansa suoraa äärettömästi ja jatkuvasti, se tarkoittaa, että prosessia voidaan jatkaa jatkuvasti, mutta sellaisen itsenäisen olemassaolo. Objekti äärettömänä suorana ei seuraa siitä. Tällaisia prosesseja ja niitä kuvaavia objektijoukkoja luonnehditaan potentiaaliseksi äärettömyydeksi ( skolastiikassa käytetään termiä " synkategoremaattinen ääretön ", potentiaalisesti ääretön ei tarkoita integraalisia äärettömiä objekteja ja ilmiöitä, äärettömän prosessin jokaisessa vaiheessa vain äärellisiä kokonaisuuksia katsotaan, eli se on vain äärellisen [1] osittainen negaatio .

Vaihtoehtona on todellisen äärettömyyden käsite (skolastiikassa " kategoriemaattinen äärettömyys "), joka tarkoittaa äärettömän mittaamattomien esineiden pitämistä annetuina, todella olemassa olevina, mutta samalla yhtenäisinä ja yhtenäisinä, joiden kanssa on mahdollista toimia [ 1] . Tässä mielessä mystikot käyttävät todellista ääretöntä - äärellisen suorana ja täydellisenä negaationa - luonnehtimaan erilaisia jumalallisia luokkia, nykypäivän matemaatikot toimivat todella äärettömillä joukoilla ja itse asiassa äärettömän ulottuvuuden avaruuksilla . Käsitykset todellisen äärettömyyden hyväksyttävyydestä ja sisällöstä filosofiassa, teologiassa, logiikassa, matematiikassa ja luonnontieteissä ovat muuttuneet merkittävästi koko asian käsittelyn ajan.

Laadullinen ja kvantitatiivinen ääretön

Laadullinen äärettömyys on luokka, joka määrittää esineiden ja ilmiöiden yhteyksien universaalin, ehtymättömän, universaalin luonteen [2] , koska laadullisesti äärettömiä tarkastellaan eri aikoina eri filosofisissa kouluissa, kuten Absoluutti , Kosmos , Jumala , Mieli ja muut.

Kvantitatiivinen äärettömyys luonnehtii prosesseja ja objekteja, joiden mittaaminen on mahdotonta äärellisillä suureilla, matemaatikot toimivat kvantitatiivisella äärettömyydellä tutkien esimerkiksi äärettömien sarjojen, äärettömän ulottuvuuden avaruuden, äärettömän määrän elementtijoukkojen ominaisuuksia; logiikassa ja filosofiassa tutkitaan sellaisen kvantitatiivisen äärettömän työn mahdollisuuksia ja rajoituksia.

Continuum

Jatkuvuus ( lat. continuum ) on äärettömyyden muoto, joka viittaa ajatukseen jatkuvuudesta, esineiden eheydestä siinä mielessä, että ne voivat jakautua äärettömästi osiin ja tämän prosessin potentiaaliseen äärettömyyteen. Jatkuvuus vastustaa diskreettiä , epäjatkuvuutta, jakamattomien (atomien) komponenttien läsnäoloa. Jatkuvuus edustaa lukuakselin segmenttejä ( joukkoteoriassa jatkumo ), tietyntyyppisiä rajoitettuja ja erotettavia avaruuksia, jotka ovat tavallaan samanlaisia kuin lukuakselin segmentit ( topologiassa jatkumo ), jotka perustuvat äärettömän ominaisuuksien tutkimukseen. jatkuvuuden jaettavuudesta matematiikassa, jatkuvuuden käsite on muodostunut . Kysymykset jatkumon ontologisesta luonteesta, jatkumon asemasta luonnontieteessä ovat heijastuneet monissa filosofien teoksissa antiikista lähtien [3] .

Äärettömän pieni

Infinitesimaalit ovat infinitesimaalit, jotka esiintyvät potentiaalisesti äärettömissä prosesseissa, joille on ominaista peräkkäinen arvojen lasku, erityisesti kun jatkumoa jaetaan sen osiin, supistuvissa numerosarjoissa, joskus ajatuksessa maailmankaikkeuden tai tietoisuuden atomirakenteesta. Newtonin ja Leibnizin infinitesimaalilaskennassa luomasta infinitesimaalien matemaattisesta kuvauksesta tuli matemaattisen analyysin perusta [4] .

Matematiikassa

Numeroteoria

Yksi tärkeimmistä varhaisten äärettömyyttä koskevien käsitysten lähteistä olivat luonnolliset luvut ja luonnollisten sarjan potentiaalinen äärettömyys . Yksi ensimmäisistä ei-triviaalisista tuloksista äärettömyydestä lukuteoriassa katsotaan päinvastaiseksi todisteeksi alkulukujoukon äärettömyydestä Eukleideen "periaatteissa " [ 5] : jos oletetaan, että alkulukujen joukko on äärellinen , silloin luku, joka on yhtä suuri kuin yhden ja kaikkien tämän joukon lukujen summa, ei ole jaollinen yksikään niistä, mutta samalla joko se on itse alkuluku tai se on jaollinen jollakin alkuluvulla, joka ei sisälly joukossa. alkuperäinen sarja; molemmat ovat ristiriidassa alkuperäisen lähtökohdan kanssa. Lukuteoreettinen äärettömyyden arvio edustaa Galileon paradoksia : jokainen luku voidaan liittää sen neliöön , eli neliöitä on vähintään yhtä monta kuin kaikkia lukuja, mutta jokaista lukua ei voi juurtua, eli neliöt ovat vain osa kaikkien lukujen joukko [6] .

Lukuteoriassa minkään todellisen äärettömyyden abstraktion käyttöä ei vaadita, mutta monet sen ongelmista liittyvät äärettömyyden ehtojen muotoiluun, esimerkiksi vuodesta 2019 alkaen kysymyksiä alkulukujoukon äärettömyydestä modulo jonka annettu kokonaisluku on primitiivinen juuri ( Artinin hypoteesi ), kaksoisalkulukujen joukon äärettömyys, ääretön mille tahansa parilliselle joukolle naapurilukupareja, joiden välinen ero on yhtä suuri ( Polignacin hypoteesi ), alkulukujen joukon ääretön joukko täydellisiä lukuja .

Loputtomat rivit

Ensimmäinen todiste äärettömän sarjan käytöstä löytyy Arkhimedeksestä paraabelin kvadratuurista, jossa todistetaan väite suoran ja paraabelin välissä olevan segmentin pinta-alojen suhteesta 4:3 , ja kolmio , jolla on sama kanta ja sama korkeus sen kanssa, hän summaa äärettömän sarjan :

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n))}=1+{\frac {1}{4^{1))}+{\frac {1 }{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots ={4 \yli 3}

ja sitten tarkistaa tuloksen uudelleen ristiriitamenetelmällä [7] .

1340-luvulla Swainshead löytää ensimmäisen kerran äärettömän sarjan summan, joka ei ole yksinkertainen laskeva geometrinen progressio :

\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3 } + \frac{4}{2^4} +\cdots = 2

Myös 1300-luvulla Oresme työskentelee äärettömien sarjojen kanssa käyttämällä selkeitä geometrisia todisteita, hän saa melko ei-triviaalien numeeristen sarjojen summat, löytää (ilman todisteita) äärettömän geometrisen progression summan kaavan ja todistaa harmoninen sarja [7] .

1500-luvulla Tomas löytää Oremin tuloksia käyttäen joidenkin monimutkaisten lakien muodostamien äärettömien progressioiden summat [7] . Intiassa 1400-luvulla tehtiin trigonometristen funktioiden laajennuksia äärettömiksi potenssisarjoiksi [7] , joista merkittävin oli Sangamagramasta peräisin oleva Madhava [8] .

Mengoli vuonna 1650 julkaistussa tutkielmassa määrittää useita tärkeitä sarjan ominaisuuksia, esittelee sarjan loppuosan käsitteen, pitäen siten sarjaa implisiittisesti yhtenäisinä esineinä, ja myös todistaa yleisen harmonisen sarjan eron [9] . Mercator vuonna 1668 löysi logaritmisen funktion laajennuksen potenssisarjassa [10] ja vuonna 1667 Gregory - trigonometristen funktioiden laajennuksen ja lopuksi Taylor yleistäen Mercatorin, Gregoryn ja myös Newtonin tulokset vuonna 1715 osoittaa mahdollisuus laajentaa mikä tahansa analyyttinen funktio tietyssä pisteessä äärettömäksi sarjaksi, mikä mahdollistaa laajan funktioluokan arvojen esittämisen äärettömillä summilla.

Infinitesimaalilaskenta

Vaikka antiikista lähtien tunnetussa uupumusmenetelmässä ja Cavalierin vuonna 1635 laatimassa jakamattomien menetelmässä käytetään jossain määrin pelkistämistä infinitesimaaleihin, ensimmäiset yritykset algebraisoida operaatioita infinitesimaalien kanssa tekivät Wallis , Barrow ja Gregory vuoden puolivälissä. 1600-luvulla. Eksplisiittisessä muodossa infinitesimaalien matemaattisen abstraktion loivat 1680-luvulla lähes samanaikaisesti Newton "vuomenetelmällään" (äärettömän pienet lisäykset ) ja Leibniz (joka määritti differentiaalin ) [4] .

Cauchy ja Weierstrass antoivat 1800-luvulla infinitesimaalien tiukat määritelmät rajan , konvergenssin ja jatkuvuuden käsitteillä, perinteisin näissä määritelmissä oli ns -formulaatio (esim. sitä pidetään Cauchyn rajana funktion pisteessä , jos jollekin on sellainen, että jokaiselle, joka täyttää ehdon , ). Uudemmissa infinitesimaalien määritelmissä käytetään naapurustojen - avoimien osajoukkojen ( Heine ) -tekniikkaa, jotka ovat luonnollisesti yleistettyjä yleisessä topologiassa (joka abstraktioi avoimen joukon käsitteen ). $\alpha$ $f$ $x_{0}$ $\varepsilon > 0$ $\delta > 0$ $x$ $0 < \left| x - x_0 \oikea| < \delta$ $\left| f \left( x \right) - \alpha \right| < \varepsilon$ $\mathbb {R}$

Robinsonin epästandardissa analyysissä ( 1960 - luku) infinitesimaalit otetaan käyttöön eräänlaisina yleistetyinä lukuina, jotka eivät ylitä yhtäkään , kaikkien tällaisten lukujen luokka toteutuu "nollan monadilla" [11] . $1/n$ $n \in \mathbb N$ $\mu (0)$

Matemaattinen analyysi

Infinitesimaalilaskennan pohjalta luodussa matemaattisessa analyysissä otetaan käyttöön myös äärettömän suurten määrien abstraktio : äärettömän kaukana olevien pisteiden symbolit ja ne lisätään reaalilukujen joukkoon ( rakennettu lukuviiva ), joka käytetään raja-arvojen ja konvergenssin määrittämiseen. On mahdollista käyttää symboleja (tässä on reaaliluku): $+\infty$ $-\infty$ ${\overline {\mathbb {R} }}=\{-\infty \}\cup \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ $\alpha$

\pm \infty +\alpha =\pm \infty

(+\infty )+(+\infty )=+\infty

(-\infty )+(-\infty )=-\infty

\pm \infty \cdot 1=\pm \infty

\pm \infty \cdot -1=\mp \infty

\pm \infty \cdot +\infty =\pm \infty

\pm \infty \cdot \alpha =\operaattorinimi {sgn} \alpha \cdot \pm {\infty }\,(\alpha \neq 0)

\pm \infty {\big /}\alpha =\operaattorinimi {sgn} \alpha \cdot \pm \infty \,(\alpha \neq 0)

\alpha {\big /}\pm \infty =0\,(\alpha \neq \pm \infty )

\left(\left\vert {\frac {\alpha }{0}}\right\vert =+\infty \right)\,(\alpha \neq 0)

\left(\left\vert {\frac {\pm \infty }{0))\right\vert =+\infty \right)

kuitenkin tietyin rajoituksin: epävarmoissa tilanteissa

\left(\pm \infty -\pm \infty \right),\ \left({\frac {\infty }{\infty ))\right),\ \left({\frac {0}{ 0}}\oikea),\ \left(~0^{0}\oikea),\ \left(1^{\infty }\oikea),\ \left(\infty ^{0}\oikea),\ (0\cdot \infty )

epävarmuuksien paljastamisen sääntöjä sovelletaan (esim. L'Hopitalin sääntö ) periaatteen mukaan selkeyttää äärettömyyden ilmaantumiseen johtaneen rajoittavan lausekkeen sisältöä, eli tässä mielessä analyysissä käytetään symboleja yleisenä lyhenteenä rajoittavien lausekkeiden tallentamiseen, mutta ei täysimittaisena objektina (joissakin didaktisissa materiaaleissa käytetään yhtä pistettä äärettömyydessä , jota ei ole yhdistetty järjestyssuhteella reaalilukujen kanssa [12] ). $\pm \infty$ $\pm \infty$

Robinsonin epästandardianalyysissä malliteoreettisten keinojen avulla toteutetaan äärettömän suuria ja äärettömän pieniä määriä , ja tämän ansiosta ekspressiiviset keinot ja todistusmenetelmät epästandardissa analyysissä ovat monissa tapauksissa klassisia parempia, ja monet saadaan uusia tuloksia, jotka voitaisiin saada klassisessa analyysissä, mutta joita ei havaittu epäselvyyden vuoksi [13] .

Projektiivinen geometria

Tärkeää matematiikan äärettömyyden käsitteen päivittämisessä oli Ponceletin vuonna 1822 luoma projektiivinen geometria , jonka yksi keskeisistä ajatuksista on taittaa äärettömän kaukainen "ideaalipisteiksi" ja "ideaaliviivoiksi" projisoitaessa. Joten, jotta ääretön taso euklidisessa avaruudessa muutetaan projektiiviseksi tasoksi , on tarpeen lisätä ihanteellinen piste jokaiselle yhdensuuntaisten viivojen luokalle , ja kaikki nämä ideaaliset pisteet (ja vain ne) romahtavat ideaaliviivaksi . Todellinen projektioviiva näissä rakenteissa on numeroviivan jatke ideaalipisteellä ( ). $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb{R} P^{2}$ $\RP^1 = \R \kuppi \{ \infty \}$

Aivan kuten analyysissä , projektiivisessa geometriassa voidaan operoida tuloksena olevan äärettömyyden kanssa (projektiivisessa geometriassa, toisin kuin analyysissä, äärettömyydellä ei ole merkkiä, ): $\alpha \in \mathbb{R}$

\infty \pm \alpha = \infty

\infty \cdot \alpha = \infty, \, \alpha \ne 0

\infty \cdot \infty = \infty

\alpha \big / \infty = 0

\infty \big / \alpha = \infty

\alpha \big / 0 = \infty, \, \alpha \ne 0

mutta lausekkeita ei ole määritelty. $\infty + \infty, \, \infty - \infty, \, \infty \cdot 0, \, \infty / \infty, \, 0 / 0$

Luodessaan geometrisen tulkinnan kompleksiluvuista Riemann käytti vuonna 1851 projektiivisen geometrian keinoja ja rakensi projektiivisen avaruuden kompleksitasolle - numeerisen projektiivisen linjan monimutkaisen yleistyksen, joka tunnetaan nimellä Riemannin pallo : pallon navat ovat pisteitä. ja , ja stereografinen projektio (lävistetyllä pisteellä ) muuntaa sen kompleksitasolle . Toisin kuin todellisessa analyysissä, jossa käytetään etumerkillistä ääretöntä, kompleksisessa analyysissä käytetään äärettömyyden projektitiivista muotoa ( ). $\mathbb {C}$ $\mathbb {C} P^{1}$ $0$ $\infty$ $\infty$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \))$

Joukkoteoria

Suurin panos matematiikan äärettömyyden käsitteeseen tuli joukkoteorialla : todellisen äärettömyyden ajatus ja erilaiset äärettömyydet ovat olennainen osa tätä teoriaa.

Erityyppisten äärettömyyden mittaamiseksi joukkoteoriassa otetaan käyttöön potenssin (kardiaaliluku) käsite, joka on sama kuin äärellisten joukkojen alkioiden lukumäärä, ja äärettömille joukoille käyttämällä bijektioperiaatetta : jos on mahdollista muodostaa yksi- yhteen vastaavuus joukkojen välillä, niin ne ovat ekvivalentteja. Joten käy ilmi, että luonnollisten lukujen joukko vastaa kokonaislukujen joukkoa ( ), parillisia luonnollisia lukuja, kaikkia rationaalilukuja ( ), ja lukuviivan segmentti ( , jatkumo ) on bijektiivinen vastaavuus koko lukurivin ( ) sekä -ulotteisen euklidisen avaruuden ( ) kanssa. Luonnollisten lukujen ja vastaavien lukujen ( countable sets ) kardinaliteetti on merkitty , ja jatkumon kardinaalisuus on . Edelleen on todettu, että luonnollisten lukujen kaikkien osajoukkojen joukon ( ) ja jatkumon välillä on yksi yhteen vastaavuus, eli , ja että laskettava joukko on vähiten voimakkain kaikista äärettömistä joukoista. Continuum-hypoteesin mukaan ja välillä ei ole välipotenssia ( ), ja lisäksi, kuten Cohen osoitti vuonna 1962 , se tai sen kielto eivät ole todistamattomia joukkoteorian perusaksiomatiikassa . Yleistetty jatkumohypoteesi olettaa, että kaikki kardinaaliluvut noudattavat suhdetta , toisin sanoen kaikki mahdolliset äärettömät kardinaaliluvut edustavat tarkasti luonnollisten lukujen joukon Boolen peräkkäisen ottamisen tehoa: [14] . $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb I = [0,1]$ $\mathbb {R}$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\aleph_0$ $\mathfrak c$ $2^{\mathbb{N} }$ $\mathfrak c = 2^{\aleph_0}$ $\aleph_0$ $\mathfrak c$ $\mathfrak c = \aleph_1$ $2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}$ $\#\mathbb{N} ,\#{\mathcal P}(\mathbb{N} ),\#{\mathcal P}({\mathcal P}(\mathbb{N} )),\dots$

Toinen joukkoteorian käyttöönottama äärettömyyden tyyppi ovat järjestysluvut (järjestysluvut), ja niihin liittyvä transfiniittisen induktion periaate aiheuttivat suurimman keskustelun matemaatikoiden, logiikkojen ja filosofien keskuudessa. Jos kardinaaliluvut luonnehtivat ekvivalenssiluokkaa yksi-yhteen-vastaavuuden suhteen, järjestysluku syntyy ekvivalenssiluokan ominaisuutena hyvin järjestetyille joukoille suhteessa bijektiivisiin vastaavuuksiin, jotka säilyttävät täyden järjestyssuhteen. Äärillisillä joukoilla järjestysluku ja kardinaali ovat samat, mutta äärettömillä joukoilla näin ei aina ole, kaikki saman järjestysluvun joukot ovat ekvivalentteja, mutta päinvastoin ei pidä paikkaansa yleisessä tapauksessa. Ordinaalit on rakennettu siten, että ne jatkavat johdonmukaisesti luonnollista sarjaa äärettömän yli [15] :

0 = \varnothing

1 = \varnothing \cup \{0\} = \{\varnothing \}

, …

n+1 = n \kuppi \{n\}

jonka jälkeen, kun kaikkien äärellisten järjestyslukujen joukko on pidetty muodossa , otetaan käyttöön järjestyslukujen aritmetiikka järjestyslukujen yhteenlaskuoperaatioiden perusteella (ottamalla käyttöön järjestys erillisen liiton yli peräkkäin joukon ensimmäisen summan elementtien yli , sitten toinen) ja tuote (hyvin järjestettyjen sarjojen karteesisen tuotteen päälle leksikografista järjestystä käyttäen ), ja prosessi jatkuu: $\omega$

\omega + 1 = \omega \kuppi \{ \omega \}

\omega + 2 = (\omega + 1) \kuppi \{ \omega + 1 \}

, …

\omega \cdot 2 = \omega + \omega

\omega \cdot 2 + 1

, …

Seuraava rakennetaan , sitten - , sitten - numerot : $\omega ^2 = \omega \cdot \omega$ $\omega ^3, \dots, \omega ^\omega, \dots, \omega^{\omega^\omega}, \cdots,$ $\varepsilon_{0}$

\varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^\cdot)))) = \sup \{ \omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega ^{\omega)), \omega^{\omega^{\omega^\omega)), \dots \}

On todistettu, että kaikkien laskettavien ordinaalien joukolla (kaikki ja ) on kardinaliteetti , joka seuraa laskettavan joukon kardinaalisuutta, jolloin muodostetaan korkeamman kertaluvun ordinaaleja. Transfiniittinen induktio on matemaattisen induktion periaatteen yleistys, jonka avulla voidaan todistaa väitteitä mistä tahansa hyvin järjestetystä joukosta käyttämällä järjestyslukujen ideaa. Burali-Forti paradoksi osoittaa, että kaikkien järjestyslukujen joukko on epäjohdonmukainen, mutta monissa joukkoteorian aksiomatisoinneissa tällaisen joukon rakentaminen on kiellettyä. $\omega$ $\varepsilon$ $\aleph_1$ $\aleph_0$

Äärettömän ulottuvuuden avaruudet

Fraktaaligeometria

Fysiikassa

Fysiikassa äärettömyyden käsite liittyy tarkasteltavien ilmiöiden mittakaavaan ja käytettävissä olevaan mittaustarkkuuteen. Yleisessä tapauksessa äärettömyydellä tarkoitetaan sellaista tarkasteltavan suuren arvoa, jota valitulla ilmiömittakaavalla voidaan pitää niin suurena, että mitkään vaikutukset tarkasteltavan järjestelmän puitteissa eivät johda sen merkittäviin muutoksiin. . Kuitenkin suuren arvo, joka on ääretön yhdellä asteikolla, voi olla äärellinen ja jopa äärettömän pieni toisella. Esimerkki on Maan massa . Kun tarkastellaan keinotekoisten satelliittien kiertoradat , sitä voidaan pitää äärettömän suurena. Kun otetaan huomioon Maan kiertoliike Auringon ympäri, planeettamme massa on äärettömän pieni.

Käytettävissä olevan mittaustarkkuuden kasvaessa äärettömät suuret voivat muuttua äärellisiksi. Esimerkiksi relativistiset vaikutukset , jopa kosmisilla nopeuksilla , ovat liian pieniä mekaanisten tai elektronisten kellojen tarjoamassa tarkkuusjärjestelmässä. Käytettäessä atomikelloja , kuten satelliittinavigointijärjestelmissä , nämä vaikutukset on kuitenkin otettava huomioon. Maan säde, jota pidetään suhteellisen pienten esineiden rakentamisen aikana äärettömänä ja pinta on tasainen, on kuitenkin otettava huomioon rakennettaessa erittäin kapealla säteellä (yksiköt, asteen murto-osat) toimivia radioreleasemia . .

Ohjelmoinnissa

Machine infinity on konstruktio, jolla esitetään äärettömiä numeerisia arvoja ohjelmointikielissä ja järjestelmissä ja operaatioissa niiden kanssa. Vakioliukulukuaritmetiikka ( IEEE 754-2008 ) sisältää erikoisarvot +∞:lle ja −∞:lle: eksponentti on kaikki ykköset (11…11), mantissa kaikki nollia (00…00). Positiivinen ääretön on suurempi kuin mikä tahansa äärellinen luku, negatiivinen ääretön on pienempi kuin mikä tahansa. Ääretön operaatiot määritellään erityisesti: (+∞) + x = +∞, +∞ + (+∞) = +∞, +∞ − ∞ = NaN , log (+∞) = +∞, sin (+∞) = NaN ja niin edelleen.

Useat ohjelmointikielet mahdollistavat työskentelyn mahdollisesti loputtomien tietorakenteiden kanssa ; Esimerkiksi Haskellissa voit ilmoittaa äärettömän luettelon ja muokata sitä:

nat = [ 0 .. ] -- lista kaikista luonnollisista luvuista parillinen = kartta ( * 2 ) nat -- lista kaikista parillisista luonnollisista luvuista fstevens = ota 10 parillista -- kymmenen ensimmäistä parillista lukua

, kun taas ajonaika arvioi vain ne äärettömän rakenteen elementit, joille pyydetään välitöntä tulosta (käyttäen laiska arviointistrategiaa ja käyttämällä rekursiota ).

Erityinen äärettömyyden ilmentymä ohjelmoinnissa suoritusprosessin potentiaalisen ikuisuuden mielessä on ääretön silmukka : niiden soveltamistekniikkaa käytetään sekä tietoisesti (mahdollisuuden vuoksi keskeyttää ohjelma vain ulkoisilla vaikutuksilla) että se tapahtuu virhe (silmukasta poistumisehdon puuttuminen tai mahdottomuus: "ohjelma jumissa").

Logiikassa

Zenon aporia

Zenonin aporiat - sarja aporia , joka johtuu Zenon Eleasta (5. vuosisadan toinen puolisko eKr.) ja säilyi pääasiassa Aristoteleen esityksessä, ja se on yksi ensimmäisistä esimerkeistä loogisista vaikeuksista toimiessa äärettömien esineiden kanssa (tosin ennen kaikkea , joilla on diskreettejä ja jatkuvia ongelmia ). Aporiat on muotoiltu siten, että monet niistä ovat keskustelun ja tulkinnan kohteena koko logiikan olemassaolon ajan, mukaan lukien nykyaika [16] , ja niitä pidetään ensimmäisenä muotoiluna äärettömyyden käyttämisestä tieteellisessä kontekstissa [17] . Aporia " Achilles ja kilpikonna " osoittaa äärettömän pienten arvojen summaamisen vaikeuden, ja tämä antinomia ei ole niin yksinkertainen kuin joskus tulkitaan: kuten Hilbert ja Bernays huomauttavat matematiikan perusteissa, paradoksin ratkaisemiseksi se on tarpeen toteuttaa ääretön tapahtumasarja siten, että se hyväksytään edelleen loppuun asti [18] . " Dikotomia ", vaikka se voidaan ratkaista konvergentin sekvenssin rajan käsitteellä, Weil tarjoaa sille nykyaikaisen tulkinnan: jos tietokone on suunniteltu suorittamaan ensimmäinen operaatio 0,5 minuutissa, toinen 0,25 minuutissa, kolmas 0,125 minuutissa ja niin edelleen, sitten minuutissa hän pystyi laskemaan uudelleen koko luonnollisen sarjan [19] . $1/2 + 1/4 + 1/8 + \pisteet$

Joukkoteorian paradokseja

Filosofiassa

Muinainen intialainen filosofia

" Isha Upanishadissa ", joka on päivätty 4.-3. vuosisatoille eKr., havaitaan ajatus, että osan lisääminen tai poistaminen äärettömästä objektista jättää sen äärettömäksi [20] . Jainin tutkielmassa Surya Prajnapti Sutra ( englanniksi Sūryaprajñapti ) , joka on päivätty 400-luvulle eKr. e. , kaikki suureet on jaettu kolmeen luokkaan ja kolmeen alaluokkaan - lueteltavat (pienet, keskisuuret ja suuret), ei-numeroitavissa ("melkein ei-lukettavissa", "todella ei-luellistava" ja "ei-enumeroitavissa ei-luettavissa") ja ääretön ("melkein ääretön", "todella ääretön" ja "ääretön ääretön") [21] , tämä jako oli ilmeisesti ensimmäinen yritys paitsi erottaa äärettömän tyypit, myös mitata niiden ja idean välistä suhdetta. äärettömien määrien alakategorioiden erottaminen ja niiden järjestäminen on lähellä Cantorin transfiniittisten lukujen käsitettä.

Antiikin Kreikan filosofia

Antiikin kreikkalaisissa filosofeissa ääretön esiintyy yleensä jonakin muotoutumattomana, epätäydellisenä, lähellä kaaosta tai jopa samaistuneena siihen [22] , joten pythagoralaisessa vastakohtien luettelossa ääretön on asetettu pahan puolelle. Muinaisten kreikkalaisten filosofien joukossa, jotka positiivisesti käyttävät äärettömän luokkaa, erottuu Anaximander , joka esittelee kosmologisen periaatteen äärettömänä säiliönä - apeironina ( kreikaksi ἄπειρον ) ja atomistit ( Demokritos , Leucippus ), jonka mukaan on olemassa ääretön luku. maailmoista, jotka on muodostettu äärettömästä määrästä atomeja, jotka sisältyvät äärettömään tyhjään tilaan [23] . Samaan aikaan atomistinen käsite vastusti kontinualistista lähestymistapaa, jossa tilaa ja aikaa pidettiin äärettömästi jaettavissa olevina, kun taas atomistit olettivat ensisijaisia jakamattomia elementtejä ja Zenonin aporiat oli tarkoitettu osoittamaan molempien lähestymistapojen loogista epäjohdonmukaisuutta [24] . .

Mutta antiikin kreikkalaisessa filosofiassa vallitseva mielipide oli todellisen äärettömyyden kieltäminen, näiden näkemysten tyypillisimmän heijastuksen esittää Aristoteles " Fysiikassa ", jossa hän kieltää äärettömyyden kosmokselle, syiden sarjan äärettömyyden puhuen mahdollisuus luonnollisen sarjan äärettömään kasvuun ja segmentin jakamisen äärettömyyteen pieniin komponentteihin vain noin potentiaalisen äärettömänä . Aristoteles kuuluu myös äärettömyyden luokitukseen ekstensiiviseen - joka syntyy rajattomasta esineiden lisäämisestä kokonaisuuteen ja intensiiviseen - ilmenevä rajattomasta syventämisestä esineen rakenteeseen [25] Antiikkigeometrit, erityisesti Eukleides , ovat myös esillä. todellisen äärettömyyden kieltämisen ja vain potentiaalisen äärettömyyden kanssa toimimisen asemat " Periaatteissa " toisessa postulaatissa väittävät suoran mielivaltaisen pitkän jatkeen mahdollisuuden, mutta itse suoria viivoja ja tasoja pidetään äärellisinä, vaikkakin lähes äärettömän suurina. " [1] .

Uusplatonistien , ensisijaisesti Plotinoksen teoksissa itämaisen mystiikan ideoiden tunkeutumisen yhteydessä ja suurelta osin kristinuskon jumalasta hellenistisen tulkinnan antaneen Filon Aleksandrialaisen teosten vaikutuksesta muodostuu ajatus siitä, että Mielen todellinen äärettömyys äärettömän voimakkaana ja yhtenäisenä, ja rajattoman aineen potentiaalinen äärettömyys [26] .

Eurooppalainen keskiaikainen filosofia

Varhaiskristillisessä ja varhaiskeskiaikaisessa filosofiassa ( Origenes , Augustinus , Albert Suuri , Tuomas Akvinolainen ) Aristoteles peri Aristoteleelta maailman todellisen äärettömyyden kieltämisen, samalla kun hän tunnustaa kristitylle jumalalle muodossa tai toisessa todellisen äärettömän [1 . ] .

1200-1300 - luvun skolastiikkojen ( William of Sherwood , Haytsbury , Gregory of Rimini ) teoksissa potentiaalisen ja todellisen äärettömyyden käsitteiden ero on selkeästi osoitettu (varhaisissa kirjoituksissa potentiaalista ja todellista ääretöntä kutsutaan synkategoremaattiseksi ja Kategoremaattiset äärettömät , vastaavasti), mutta suhde todella äärettömään jumalallisena [1] tai todellisen äärettömyyden täydellinen kieltäminen on oletettu ( lat. infinitum actu non datur ). Kuitenkin jo Ockham kiinnittää huomion mahdollisuuteen tunnustaa jatkumon ja sen osien olemassaolo todellisuudessa olemassa olevina säilyttäen samalla niiden takana olevan äärettömän ominaisuudet - mahdollisuuteen jakaa äärettömästi osaosiin [27] ja Swainsheadiin , joka tukee hänen päättelynsä jatkumon äärettömästä jaollisuudesta todistaa matemaattisesti väitteen äärettömän numeerisen rivin summasta [28] . Swinsheadin rakenteita kehittävä Orem rakentaa geometristen todisteiden järjestelmän äärettömien sarjojen konvergenssista, rakentaa esimerkin litteästä hahmosta, jonka laajuus on ääretön, mutta jolla on rajallinen pinta-ala [7] .

1400-luvulla Nikolai Cusalainen loi opin "absoluuttisesta maksimista", jota hän pitää kaikkien äärellisten asioiden äärettömänä mittana, ja antaa siten käsityksen, joka ei ole ollenkaan sama kuin antiikin: kaikkea rajallista pidetään rajoituksena. tosiasiallisesti olemassa olevasta jumalallisesta äärettömyydestä ( latinaksi possest ), toisin kuin vallitseva ajatus äärellisten asioiden olemassaolosta ja äärettömän potentiaalisuudesta [29] .

Nykyajan filosofia

Spinoza on kehittänyt Nikolai Kusalaisen ideat, joiden mukaan asiat saavat olemuksensa äärettömässä jumalallisessa substanssissa itsemääräämisen kautta negation kautta [30] . Näistä ajatuksista tulee 1500-1600-luvuilla tunnustettu ajatus maailmankaikkeuden äärettömyydestä , joka syntyi Kopernikuksen heliosentrisen järjestelmän , Brunon valistustyön , Keplerin ja Galileon tutkimusten [31] ansiosta. [1] . Kepler ja Galileo alkavat käyttää äärettömyyden menetelmiä matemaattisessa käytännössä, joten Kepler, tukeutuen Nikolai Cusalaisen ideoihin, approksimoi ympyrän säännöllisellä monikulmiolla, jonka sivujen lukumäärä pyrkii äärettömyyteen [32] , ja Galileo, joka maksaa Huomio lukujen ja niiden neliöiden väliseen vastaavuuteen , panee merkille opinnäytetyön "kokonaisuus on suurempi kuin osa" mahdottomuus soveltaa äärettömiin objekteihin [6] .

Merkittävä rooli jatkuvan luonteen ja jatkuvuuden olemuksen käsitteessä esitteli Galileo Cavalierin opiskelija , joka tutkielmassa "Geometria totesi uudella tavalla jakamattoman jatkuvan avulla" ( 1635 ) litteitä hahmoja pidetään äärettöminä joukoina niitä täyttäviä segmenttejä ja tilavuuskappaleita, jotka koostuvat äärettömästä määrästä rinnakkaisia litteitä hahmoja, käyttämällä tällaisia metaforeja: viiva on tehty pisteistä, kuten helminauha, litteä hahmo on tehty viivoista, aivan kuten kangas on tehty langoista, runko on tehty tasoista, kuin kirja sivuista; käyttämällä tätä " jakamattomien menetelmää " Cavalieri sai merkittäviä matemaattisia tuloksia [33] .

Descartes väittää, että Jumalaa on mahdotonta tuntea hänen luomansa maailman olemassaolosta rajallisen ja todellisuudessa äärettömän suhteettomuudella, jonka käsittämättömyys sisältyy hänen mielestään äärettömän muodolliseen määritelmään [34] . Niinpä Descartes tunnustaa vain kaikkivaltiaan Jumalan todella äärettömäksi ja pitää sellaisia äärettömyyden ilmenemismuotoja kuin "ihmisen tahdon äärettömyys" ihmisessä olevan jumalallisen kuvan ilmentymäksi [1] .

Todellisen äärettömyyden olemassaolon johdonmukaisin kannattaja oli Leibniz , " monadologiassa " hän pitää johdonmukaisesti ajatusta monadien äärettömyydestä universumissa , sen jokaisessa osassa, ilmaistuna aineen muodossa, mikä aiheuttaa aineen vakauden. nämä osat ennalta määrätyn harmonian lain ja erityisten monadien alistamisperiaatteiden mukaan, samalla kun katsotaan monadeja puolestaan universumina, joka on ääretön tilassa ja ajassa [1] . Nämä Leibnizin ajatukset heijastuivat hänen perustavanlaatuisissa infinitesimaalilaskutöissään, joissa infinitesimaalit esitettiin monadeina . Newtonin ja Leibnizin luoma differentiaalilaskenta , joka selkeästi realisoi infinitesimaalit, aiheutti laajan ja pitkän keskustelun 1600-1700-luvun filosofien keskuudessa, Berkeley oli johdonmukaisin äärettömän pieniä määriä käyttävien menetelmien vastustaja, nämä keskustelut heijastuivat kulttuuriin juoneissa Swiftin Gulliverin matkat ja Voltairen " Micromegas " [ 35] .

Kant kiistää puhtaan järjen kritiikissä mahdollisuuden tarkastella sekä äärettömiä lukuja että äärettömiä suuruuksia; Puhtaan järjen antinomioiden analyysin perusteella Kant luonnehtii maailmaa ei äärelliseksi eikä äärettömäksi, vaan "epämääräiseksi" [1] .

Hegel kehittää ajatusta lähimmästä yhteydestä, melkein identiteetistä, äärettömästä ja absoluuttisesta [36] , erityisesti pitää "pahaa äärettömyyttä" rajallisen negatiivisena ja esittelee "todellisen äärettömyyden" antagonismin dialektisena voittamisena; Hegelin mukaan vain Absoluuttinen Henki on todella ääretön [1] . Dialektisen materialismin filosofia korostaa ajatusta äärettömästä dialektisena prosessina [37] [38] , itse äärettömän käsitteellä siinä on erilaisia merkityksiä: yksinkertaisin, käytännöllinen äärettömyys; äärettömyys absoluuttisuutena, universaalisuutena, täydellisyytenä; älyllisen maailman äärettömyys; todellinen äärettömyys. Engels pitää tilan ja ajan ääretöntä esimerkkinä "pahasta äärettömyydestä".

1800-luvun merkittävin äärettömyyttä käsittelevä teos, enemmän filosofinen [39] kuin matemaattinen, oli Bolzanon monografia Paradoxes of the Infinite (julkaistu vuonna 1851, kirjailijan kuoleman jälkeen) [1] , jossa on ääretön joukko lukuja tutkitaan systemaattisesti, loogisia ja matemaattisia argumentteja esitetään todellisen äärettömän huomioimisen puolesta ja ehdotetaan työkalupakkia äärettömyyden sukujen tutkimiseen yksi-yhteen-vastaavuuden käsitteen avulla [39] .

Bolzanon työn ideologisella pohjalla ja 1800-luvun lopulla Cantorin teoksissa Dedekindin merkittävällä osallistumisella luotu joukkoteoria (termi "joukko" itsessään on saksalainen menge , käytettiin ensimmäisen kerran Bolzanon nimityksenä todella äärettömälle objektille), nimittäin joukkoteoriassa ensimmäistä kertaa eri tyyppisten äärettömyyden suhdetta tarkasteltiin perustellusti, erityisesti tehokäsitteen avulla Luonnollisen sarjan elementit ( Cantorin merkinnällä laskettava joukko) ja jatkumon pisteiden lukumäärä ( ) määritettiin, muotoiltiin transfiniittisen induktion periaate . Samaan aikaan Kantor yritti myös antaa filosofisen perustelun rakenteilleen ja esittelee transfiniittisten, tietoisuudella ymmärrettävien lukujen lisäksi käsittämättömän "äärettömän Jumalassa" [40] . Erityinen rooli äärettömyyden ymmärtämisessä joukkoteorian luomista koskevan työn puitteissa oli äärettömän joukon määritelmällä Dedekindin kirjassa "Mitä ovat luvut ja mitä ne palvelevat?" [41] yksi-yhteen itsensä osan kanssa, kun taas kaikki aiemmat äärettömän määritelmät olivat negatiivisia [42] . 1800-luvun loppuun mennessä (ensisijaisesti ensimmäisessä kansainvälisessä matemaatikoiden kongressissa vuonna 1897 järjestetyn raporttisarjan ansiosta) joukkoteoria oli laajalti tunnustettu ja sitä sovellettiin käytännössä matemaatikoiden keskuudessa, mutta teologien ja filosofien keskuudessa ajatukset todellisesta äärettömyydestä ja sen tyyppien väliset määrälliset erot saivat aikaan vakavaa keskustelua [42] . $\aleph_0$ $\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}$

Nykyfilosofia

1900-luvun filosofiassa äärettömyyteen liittyvien kysymysten tutkimuksen pääsisältö liittyy läheisesti matematiikan perusteisiin ja ennen kaikkea joukkoteorian ongelmiin [43] .

Russell , järjestelmässä, jonka hän rakensi yhdessä Whiteheadin kanssa Principia Mathematicassa voittaakseen joukkoteorian paradokseja , oletti äärettömyyden olemassaolon ottamalla käyttöön äärettömyyden aksiooman , lisäksi se ei ole siinä mahdollisuudessa sallittua. äärettömyyden johdosta muista a priori käsitteistä, äärettömyyden käsitettä ei pidetä puhtaasti johdettavissa analyyttisesti ristiriitojen myöntämättä jättämisen periaatteesta. Russell ei myöskään pitänyt mahdollisena löytää jälkikäteen terveen järkeen ja kokemukseen perustuvaa perustetta äärettömyydelle, varsinkin kun hän huomautti, ettei ole mitään syytä uskoa tilan äärettömyyteen, ajan äärettömyyteen tai esineiden äärettömään jaettavuuteen. Siten, Russellin mukaan äärettömyys on hypoteettinen pakko, jota voidaan käyttää tai ei voida käyttää eri järjestelmissä, mutta jota ei voida perustella tai kumota [44] .

Toteuttaessaan ohjelmaa joukkoteorian paradoksien voittamiseksi Hilbert ja Bernays muodostivat "Hilbertin finitismiksi" tunnistetut periaatteet, joiden mukaan lausunnot äärettömän joukon kaikille elementeille muotoilluista ominaisuuksista ovat mahdollisia vain, jos ne ovat toistettavissa jokaiselle tietylle elementille. ei rajoita äärettömän mahdollista abstraktiota, mukaan lukien transfiniittisen induktion . Wittgenstein , joka radikaaleimmin kehitti finitismin käsitteen analyyttisessä filosofiassa , piti mahdollisena pitää ääretöntä vain rekursiivisen prosessin tallenteena ja hylkäsi pohjimmiltaan mahdollisuuden tarkastella eri äärettömyyden luokkia [45] .

Uuskantialismista ja fenomenologiasta lähtevissä kouluissa tutkittiin myös äärettömyyden kysymyksiä, esimerkiksi Cassirer esittelee Heideggerin kanssa käydyssä keskustelussa ("Davosin keskustelu", 1929) immanentin äärettömyyden , joka syntyy sfäärin objektivisoitumisena. kokemuksista [46] , 1950-1960-luvulla äärettömyyteen omistetut ohjelmalliset teokset ovat kirjoittaneet Koyre ja Levinas [47] .

Induktio

Induktio on klassinen looginen menetelmä, jonka avulla voit siirtyä tietyistä lausunnoista universaaleihin lausumiin, mukaan lukien ne, jotka koskevat ääretöntä objektijoukkoa. Induktio suhteessa luonnollisiin sarjoihin ilman formalisaatiota on havaittu jopa Procluksessa ja Eukleidesissa , kun taas tietoisuus siitä matemaattisen induktion menetelmänä johtuu Pascalista ja Gersonidesista [48] . Nykyaikaisessa merkinnässä matemaattinen induktio on syllogismi:

P(1),\forall n\in \mathbb {N} (P(n)\rightarrow P(n+1))\vdash \forall n\in \mathbb {N} (P(n))

eli ominaisuuden johtaminen koko luonnollisten lukujen joukolle sen toteutumisesta yksikölle ja johtaminen jokaiselle seuraavalle luvulle edellisen ominaisuuden täyttymisen perusteella. $P$

Matemaattisen induktion menetelmää pidetään luotettavana, mutta se voidaan laajentaa vain laskettaviin, hyvin järjestettäviin joukkoihin. Yritys laajentaa induktio mielivaltaisiin hyvin järjestettäviin ryhmiin oli Cantorin transfiniittisen induktion menetelmän luominen joukkoteorian puitteissa käyttäen ajatusta äärellisistä (järjestys) luvuista.

Intuitionistisessa logiikassa pylväsinduktiota [49] käytetään soveltamaan induktiivista päättelyä lukemattomiin kokoelmiin (intuitionismissa kuvataan virtauksiksi ) .

Symbolit

Ääretön symboli esiintyi ensimmäisen kerran tutkielmassa "Kartioleikkauksista" ( latinaksi De sectionibus conicis , sivu 5) [50] [51] [52] , jonka julkaisi vuonna 1655 englantilainen matemaatikko John Wallis . Symbolin oletetaan olevan muinaisempaa alkuperää, ja se liittyy ouroborokseen - käärmeeseen, joka puree omaa häntäänsä [53] ; samanlaisia symboleja on löydetty tiibetiläisistä kalliokaiverruksista. Unicodessa äärettömyyttä edustaa symboli ∞ (U+221E). $\infty$

Kardiaaliluvuissa käytetyt äärettömyyden symbolit perustuvat heprean aakkosten ensimmäiseen kirjaimeen aleph , jossa on alaindeksi. Katso Alefien hierarkia . Cantor esitteli alefijärjestelmän vuonna 1893 uskoen, että kaikki kreikkalaiset ja latinalaiset kirjaimet ovat jo käytössä, ja heprealainen alefi on myös luvun 1 symboli; kun taas heprealaiset aakkoset olivat tuolloin saatavilla sarjoina monissa painotaloissa Saksassa [54] . Unicodessa aleph kirjoitetaan muodossa א (U+05D0). $\aleph_0, \aleph_1, \dots$

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 NFE, 2010 .
↑ Infinity filosofiassa / I. S. Alekseev // Bari - Rannekoru. - M . : Soviet Encyclopedia, 1970. - ( Great Soviet Encyclopedia : [30 osassa] / päätoimittaja A. M. Prokhorov ; 1969-1978, osa 3).
↑ Katasonov V. N. Jatkuvuus ja epäjatkuvuus // New Philosophical Encyclopedia. — 2. painos, korjattu. ja muita .. - M . : Ajatus, 2010. - T. 2. - 2816 s. -5000 kappaletta. - ISBN 978-5-244-01115-9 .
↑ 1 2 Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , s. 10-13.
↑ Kirja IX, lausunto 20
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , s. 39.
↑ 1 2 3 4 5 Paplauskas A. B. Äärettömän sarjan esinewtonilainen kehityskausi. I // Yushkevich A.P. (vastaava toimittaja) Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M .: Nauka , 1973. - T. XVIII . - S. 104-131 . (Venäjän kieli)
↑ Dani SG Muinainen intialainen matematiikka - Conspektus // Resonanssi. - 2012. - T. 17 , nro 3 . - S. 236-246 .
↑ Paplauskas A. B. Äärettömän sarjan esinewtonilainen kehityskausi. II. Pietro Mengoli // Yushkevich A.P. (päätoimittaja) Historiallinen ja matemaattinen tutkimus. - M .: Nauka, 1974. - T. XIX . - S. 143-157 . (Venäjän kieli)
↑ Paplauskas A. B. Äärettömän sarjan esinewtonilainen kehityskausi. III // Yushkevich A.P. (vastaava toimittaja) Historiallinen ja matemaattinen tutkimus. - M .: Nauka, 1975. - T. XX . - S. 257-281 . (Venäjän kieli)
↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , s. 26.
↑ Kudrjavtsev L. D. Matemaattisen analyysin lyhyt kurssi. - 3. painos tarkistettu .. - M . : Fizmatlit, 2005. - T. 1. - S. 19. - 400 s. — ISBN 5-9221-0184-6 .
↑ Infinity - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista . Dragalin A. G. N. a.:n avulla. havaittiin useita uusia tosiasioita. Monet klassikot. todisteet hyödyttävät huomattavasti selkeyttä, kun ne esitetään epästandardin analyysin menetelmin
↑ Joskus äärettömille kardinaaliluvuille, jotka edustavat Boolen peräkkäisen ottamisen tehoa laskettavasta joukosta, käytetään vetomerkintää ( heprean aakkosten toisesta kirjaimesta - bet ), näissä merkinnöissä yleistetty jatkumohypoteesi muotoillaan $\aleph_\alpha = \beth_\alpha$
↑ Von Neumann ehdotti tällaista määritelmää 1920-luvulla, Kantor käytti aluksi eri menetelmää
↑ Yanovskaya S.A. Onko moderni tiede voittanut "Zenon aporiat" tunnetut vaikeudet? // Logiikkaongelmat / Tavanets P.V. - M. , 1963. - S. 116-136 .
↑ Gaidenko P. P. Tieteen käsitteen evoluutio (ensimmäisten tieteellisten ohjelmien muodostuminen ja kehitys). Eleatic School ja ensimmäinen lausunto äärettömyyden ongelmasta . - M .: Nauka, 1980.
↑ Hilbert D. , Bernays P. Matematiikan perusteet. - M. : Nauka, 1979. - T. 1. Looginen laskenta ja aritmeettisen formalisointi. - S. 40. - 558 s.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , s. 236-238.
↑ serbi. पू पू पू पू पू पू पू पू पू पू - “Täytä se, täytä se. Täydestä otetaan täysi. Täydellinen valmis saapuu, kokonaisuus jää vain”, Syrkinin käännös
↑ Joseph, GG Riikinkukon harja. Ei-eurooppalaiset matematiikan juuret . – 3. - Princeton : Princeton University Press , 2011. - P. 349-355 . — 562 s. - ISBN 978-0-691-13526-7 .
↑ NFE, 2010 , Muinainen ajatus pitää ääretöntä pohjimmiltaan muotoutumattomana, epätäydellisenä ja siksi epätäydellisenä <...> Muinaisessa ajattelussa oleminen liittyy mitta- ja raja-kategoriaan. Ääretön näyttää rajattomalta, rajattomalta, lähes olemattomaksi - μὴὄν ja on siksi jotain lähellä kaaosta ja joskus samaistuu siihen.
↑ NFE, 2010 , ... muinaisessa filosofiassa oli ajattelijoita, jotka käyttivät äärettömän luokkaa positiivisemmin. Ensinnäkin niihin kuuluu Anaksimander, jossa apeiron on kosmologian pääperiaate <...> lisäksi tässä on mainittava atomistit Leucippus ja Demokritos, joissa ääretön tyhjä avaruus sisältää äärettömän määrän atomeja muodostaen äärettömän määrän maailmoja.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , s. 236.
↑ Vilenkin, 1983 , s. 14-15.
↑ NFE, 2010 , Mind Plotinus kutsuu sitä jo äärettömäksi seuraavissa merkityksissä: sen äärettömän voiman, yhtenäisyyden ja omavaraisuuden mielessä. Siten kaikki olemassa oleva on kahden äärettömyyden välissä: Mielen todellisen äärettömän ja meonaalisen aineen potentiaalisen äärettömyyden välillä, vailla rajoja ja muotoa ja joka saa määritelmänsä vain korkeamman olennon täydellisyyksien "heijastusten" kautta.
↑ lat. Sed omne continuum est todellisuudessa olemassa. Igitur quaelibet pars sua est vere existens in rerum natura. Sed partes continui sunt infinitae quia non tot quin plures, igitur partes infinitae sunt aktualiter existentes - "Mutta jokainen jatkumo on tosiasiassa olemassa. Siksi sen osat ovat olemassa myös luonnossa. Mutta jatkumon osat ovat äärettömiä, koska on mahdotonta sanoa kuinka monta niitä on, ja siksi äärettömät osat ovat todella olemassa.
↑ Bogolyubov A. N. Matematiikka. Mekaniikka. Elämäkertaopas. - Kiova: Naukova Dumka, 1983. - 639 s.
↑ NFE, 2010 , ... Kuzantsille päinvastoin mikä tahansa äärellinen asia toimii potentiaalisena rajoituksena todella äärettömälle jumalalliselle mahdollisuudelle - olemiselle (possest).
↑ NFE, 2010 , ... Samoin Spinozan panteismin puitteissa käy ilmi, että omnis determinatio est negatio (jokainen määritelmä on negaatio): asiat eivät saa olemassaoloaan rajan kautta, eivät muodottoman aineen rajoituksen kautta. , vaan nimenomaan taustalla olevasta äärettömästä jumalallisesta substanssista, jonka sisällä itsemääräämisoikeus toimii osittaisena negaationa.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , s. 43-44.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , s. 43-45.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , s. 249.
↑ Gartsev M. A. Absoluuttisen vapauden ongelma Descartesissa // Logos . - 1996. - Nro 8 . Arkistoitu alkuperäisestä 24. marraskuuta 2015.
↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , s. 13-14.
↑ "Infiniittistä sen yksinkertaisessa käsitteessä voidaan ensinnäkin pitää uutena absoluuttisena määritelmänä..." Hegel G. W. F. Logiikkatiede. // Teokset, osa V. - M .: Gosizdat, 1927. - s. 136.
↑ "Puhuttaessa äärettömän suuresta ja äärettömän pienestä, matematiikka tuo esiin sellaisen laadullisen eron, jolla on jopa ylitsepääsemättömän laadullisen vastakohdan luonne..." Marx K. , Engels F. Luonnon dialektiikka // Soch., vol. 20 . - M .: Politizdat, 1956 - S. 574.
↑ ”Infinity on ristiriita, ja se on täynnä ristiriitoja... Juuri siksi, että äärettömyys on ristiriita, se on loputon prosessi, joka kehittyy loputtomasti ajassa ja tilassa. Tämän ristiriidan tuhoaminen olisi äärettömyyden loppu." Marx K. , Engels F. Anti-Dühring // Soch., osa 20. - M .: Politizdat, 1956. - S. 51.
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , s. 39-40.
↑ NFE, 2010 , Joukkoteorian luoja Cantor yritti myös antaa teologisen sovelluksen rakenteilleen todellisella äärettömyydellä (Kantor katsoi joukkoteorian yleisesti liittyvän yhtä paljon metafysiikkaan kuin matematiikkaan). Hän erotti kolme ääretöntä tyyppiä: ääretön Jumalassa ("Jumalan mielessä") - Absoluuttinen, luodussa maailmassa - Transfiniitti, ihmismielessä - transfiniittiset luvut (järjestysluvut).
↑ Dedekind, R. Was sind und was sollen die Zahlen? . - Braunschweig: Drud und Berlag von Friedrich Bieweg, 1893. - 60 s.
↑ 1 2 F. A. Medvedev . Joukkoteorian kehitys 1800-luvulla. - M .: Nauka, 1965. - S. 133-137, 144-157. — 232 s. - 2500 kappaletta.
↑ NFE, 2010 , 1900-luvulla. Filosofiset keskustelut äärettömyyden ongelmista korreloivat joukkoteorian ja matematiikan perusteiden ongelman kanssa.
↑ Surovtsev V. A. B. Russell äärettömyydestä // Tomskin valtionyliopiston tiedote. Filosofia. Sosiologia. Valtiotiede. - 2010. - T. 12 , nro 4 . - S. 135-145 .
↑ Rodych, V. Wittgensteinin matematiikan filosofia . Stanfordin filosofian tietosanakirja . Stanford University Press (21. syyskuuta 2011). Haettu 25. toukokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 25. toukokuuta 2013.
↑ Weinmeister A. V. Davosin keskustelu Cassirerin ja Heideggerin välillä // Orenburgin osavaltion yliopiston tiedote. - 2007. - Nro 2 .
↑ Yampolskaya A. V. Ajatus äärettömästä Levinasissa ja Koiressa // Filosofian kysymyksiä . - 2009. - Nro nro 8 . - S. 125-134 . (Venäjän kieli)
↑ Nachum L. Rabinovih. Rabbi Levi ben Gershom ja matemaattisen induktion alkuperä // Tarkkojen tieteiden historian arkisto. - 1970. - Numero. 6 . - S. 237-248 .
↑ Infinity - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista . Dragalin A.G.
↑ De sectionibus conicis Arkistoitu 2. tammikuuta 2014 Wayback Machinessa
↑ Scott, Joseph Frederick (1981), John Wallisin matemaattinen työ, DD, FRS, (1616-1703) (2 painos), AMS Bookstore, s. 24, ISBN 0-828-40314-7 , < https://books.google.com/books?id=XX9PKytw8g8C > Arkistoitu 25. syyskuuta 2014 Wayback Machinessa , luku 1, sivu 24 Arkistoitu 18. marraskuuta 2016 Waybackissa Kone
↑ Martin-Löf, Per & Mints, GE (1990), COLOG-88: Kansainvälinen tietokonelogiikan konferenssi Tallinna, Neuvostoliitto, 12.–16. joulukuuta 1988: julkaisut , Springer, s. 147, ISBN 3-540-52335-9 , < https://books.google.com/books?id=nfnGohZvXDQC > Arkistoitu 1. lokakuuta 2014 Wayback Machinessa , sivu 147 Arkistoitu 2. lokakuuta 2014 Wayback Machinessa
↑ Robertson, Robin; Kammat, Allan. Uroborot // Indran verkko: Alkemia ja kaaosteoria transformaatiomalleina. — Quest Books, 2009. — ISBN 978-0-8356-0862-6
↑ Dauben J. Georg Cantor ja transfiniittisen joukkoteorian synty . Scientific American , venäläinen painos, nro 8 (elokuu), s. 76–86 (1. heinäkuuta 1983). Haettu 5. toukokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 10. toukokuuta 2013. (Venäjän kieli)

Kirjallisuus

N. Bourbaki . Matematiikan perusteet. Logiikka. Joukkoteoria // Esseitä matematiikan historiasta / I. G. Bashmakova (käännetty ranskasta). - M . : Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1963. - S. 37-53. — 292 s. — (Matematiikan elementit).
Vilenkin N. Ya. Infinity. - M .: Nauka, 1983.
Gordon E. I., Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Äärettömän pieni analyysi: valitut aiheet. — M .: Nauka, 2011. — 398 s. - ISBN 978-5-02-036137-9 .
Gracien, Enrique. Avautuu ilman rajoja. Ääretön matematiikassa. — M .: De Agostini, 2014. — 144 s. — (Matematiikan maailma: 45 nidettä, nide 18). — ISBN 978-5-9774-0713-7 .
Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Ways and labyrinths. Esseitä matematiikan historiasta = Routes et dédales / Ranskan kielestä kääntänyt A. A. Bryadinskaya, toimittanut I. G. Bashmakova. - M .: Mir, 1986. - S. 394-402. — 432 s. — (Moderni matematiikka. Suosittu sarja). – 50 000 kappaletta.
Infinity / Katasonov V. N. // "Juhlakampanja" 1904 - Big Irgiz. - M . : Suuri venäläinen tietosanakirja, 2005. - S. 413-415. - ( Great Russian Encyclopedia : [35 nidettä] / päätoimittaja Yu. S. Osipov ; 2004-2017, osa 3). — ISBN 5-85270-331-1 .
Katasonov VN Infinite // Uusi filosofinen tietosanakirja / Filosofian instituutti RAS ; kansallinen yhteiskuntatieteellistä rahoittaa; Ed. tieteellinen toim. neuvosto V. S. Stepin , varapuheenjohtajat: A. A. Guseynov , G. Yu Semigin , kirjanpitäjä. salaisuus A. P. Ogurtsov . — 2. painos, korjattu. ja lisää. - M .: Ajatus , 2010. - ISBN 978-5-244-01115-9 .
Kline M. Matematiikka. Varmuuden menetys. — M .: Mir , 1984. — 446 s.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen Brockhaus ja Efron Ortodoksinen Britannica (verkossa) Universalis
Bibliografisissa luetteloissa	NDL : 00576691