Kiharat numerot

Kuviolliset luvut ovat numeroita, jotka voidaan esittää geometristen muotojen avulla. Tämä historiallinen käsite juontaa juurensa pythagoralaisiin , jotka kehittivät algebran geometriseltä pohjalta ja esittivät mitä tahansa positiivista kokonaislukua pistejoukona tasossa [1] . Ilmaukset "neliöluku" tai "kuutio" [2] säilyivät tämän lähestymistavan kaikuina .

Perinteisesti kiharalukuja on kaksi pääluokkaa [3] :

Litteät monikulmioluvut ovat numeroita, jotka liittyvät tiettyyn monikulmioon. Ne on jaettu klassiseen ja keskitettyyn .
Spatiaaliset monitahoiset luvut ovat lukuja, jotka liittyvät tiettyyn monitahoiseen .

Jokainen kuviollisten numeroiden luokka on puolestaan jaettu lajikkeisiin , joista jokainen liittyy tiettyyn geometriseen kuvioon: kolmio, neliö, tetraedri jne.

On olemassa myös kiharalukujen yleistyksiä moniulotteisiksi avaruuksiksi . Muinaisina aikoina, kun aritmetiikkaa ei erotettu geometriasta, harkittiin useita muita kuviollisia lukutyyppejä, joita ei tällä hetkellä käytetä .

Numeroteoriassa ja kombinatoriikassa figuratiiviset luvut yhdistetään moniin muihin kokonaislukuluokkiin [ - binomikertoimiin , täydellisiin lukuihin , Mersennen lukuihin , Fermat -lukuihin , Fibonacci-lukuihin , Lucas -lukuihin ja muihin [4] .

Klassiset monikulmioluvut

Lyhyyden vuoksi tässä osiossa klassisia monikulmiolukuja kutsutaan yksinkertaisesti "monikulmioluvuiksi".

Geometrinen määritelmä

Monikulmioluvut ovat pisteiden lukumäärää osoittava sekvenssi, joka on rakennettu niiden sääntöjen mukaisesti, joita havainnollistetaan käyttämällä seitsemänkulmion esimerkkiä. Seitsenkulmaisten lukujen sarja alkaa luvulla 1 (peruspiste), jonka jälkeen tulee 7, koska 7 pistettä muodostaa säännöllisen seitsenkulmion , 6 pistettä lisätään. Kolmas numero vastaa seitsenkulmiota, jonka sivuilla ei ole jo kaksi, vaan kolme pistettä, ja kaikki edellisissä vaiheissa rakennetut pisteet otetaan myös huomioon. Kuvasta voidaan nähdä, että kolmas luku sisältää 18 pistettä, lisäys (Pythagoras kutsui sitä " gnomoniksi ") oli 11 pistettä. On helppo nähdä, että lisäykset muodostavat aritmeettisen progression , jossa jokainen termi on 5 enemmän kuin edellinen [5] .

Siirtymällä yleiseen -goniin voimme päätellä, että jokaisessa vaiheessa kuviollista lukua vastaavien pisteiden määrä kasvaa aritmeettisen progression [5] summana, kun ensimmäinen termi on 1 ja erotus. $k$ $k-2.$

Algebrallinen määritelmä

Yleinen k -hiililuvun määritelmä mille tahansa seuraa yllä esitetystä geometrisesta rakenteesta. Se voidaan muotoilla seuraavasti [6] : $k \geqslant 3$

$n$ järjestyksessä k -hiililuku on aritmeettisen progression ensimmäisten termien summa , jossa ensimmäinen termi on yhtä suuri kuin 1 ja erotus on yhtä suuri ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $n$ $k-2.$

Esimerkiksi kolmioluvut saadaan sarjan osittaisina summina ja nelikulmaiset (neliö) luvut vastaavat sarjaa ${\näyttötyyli 1+2+3+4\pisteet }$ ${\näyttötyyli 1+3+5+7\pisteet }$

K -kulmaisten lukujen sarja on muotoa [7] :

1,\;k,\;3k-3,\;6k-8,\;10k-15,\;15k-24,\;21k-35,\;28k-48,\;36k-63 ,\;45k-80\pistettä

Yleinen kaava k -hiilen luvun eksplisiittiselle laskemiselle voidaan saada esittämällä se aritmeettisen progression summana [8] : $n$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$

{\textstyle P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2))={\frac {(k-2)n^{2} -(k-4)n}{2}}={\frac {1}{2}}k(n^{2}-n)-n^{2}+2n}

(OKF)

Joissakin lähteissä kiharalukujen sarja alkaa nollasta (esimerkiksi A000217 :ssä ):

0,\;1,\;k,\;3k-3,\dots

Tässä tapauksessa yleisessä kaavassa se on sallittu Tässä artikkelissa kuviolliset numerot numeroidaan yhdestä alkaen ja laajennettu sarja on erikseen määritelty. ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $n=0.$

Monikulmioluvun laskemiseen on myös rekursiivinen kaava [8] :

P_{n}^{(k)}={\begin{cases}1,&n=1\\P_{n-1}^{(k)}+(k-2)(n-1) +1,&n>1\end{cases}}

Kun sivujen lukumäärä kasvaa yhdellä, vastaavat kuviolliset luvut muuttuvat Nicomachin kaavan [9] mukaan : $k$

{\displaystyle P_{n}^{(k+1)}=P_{n}^{(k)}+P_{n-1}^{(3)))

, missä .

n>1

(Nicomachus)

Koska se riippuu lineaarisesti kaavasta: ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $k,$

{\displaystyle P_{n}^{(k+s)}+P_{n}^{(ks)}=2P_{n}^{(k)))

, missä .

s=0,1,2\dots k-3

Toisin sanoen jokainen monikulmioluku on monikulmiolukujen aritmeettinen keskiarvo , jotka ovat siitä tasaetäisyydellä samalla numerolla. $k$

Jos on alkuluku , niin toinen -hiililuku, yhtä suuri kuin , on myös alkuluku; tämä on ainoa tilanne, jossa monikulmioluku on alkuluku, joka voidaan saavuttaa kirjoittamalla yleinen kaava seuraavassa muodossa: $k$ $k$ $k$

{\textstyle P_{n}^{(k)}={\frac {2+(n-1)(k-2)}{2}}n}

Todistus: anna Jos se on parillinen, niin kihara luku on jaollinen : llä , ja jos se on pariton, niin se on jaollinen . Molemmissa tapauksissa kuviollinen luku osoittautuu yhdistelmäksi [10] . $n>2.$ $n$ ${\textstyle {\frac {n}{2))}$ ${\textstyle {\frac {2+(n-1)(k-2)}{2))}$

Käänteisten monikulmiolukujen sarja

{\frac {1}{P_{1}^{(k)}}}+{\frac {1}{P_{2}^{(k)))}+{\frac {1}{ P_{3}^{(k)}}}+\pisteet +{\frac {1}{P_{n}^{(k)))}+\pisteet

lähentyä. Niiden summa voidaan esittää missä on Euler-Mascheronin vakio , digammafunktio [ 11 ] . $S$ ${\textstyle S=-{\frac {2}{k-4}}\left(\gamma +\psi ({\frac {2}{k-2}})\right),}$ $\gamma$ $\psi(x)$

Historiallinen ääriviiva

Pythagoralaisten mukaan kuvitetuilla luvuilla on tärkeä rooli maailmankaikkeuden rakenteessa. Siksi monet merkittävät antiikin matemaatikot osallistuivat tutkimukseensa: Eratosthenes , Hypsicles , Diophantus Aleksandrialainen , Theon Smyrna ja muut. Hypsicles (2. vuosisadalla eKr.) antoi yleisen määritelmän hiililuvulle aritmeettisen progression jäsenten summana , jossa ensimmäinen jäsen on , ja erotus on . Diophantus kirjoitti laajan tutkimuksen "Monikulmioista" (3. vuosisadalla jKr.), josta on säilynyt fragmentteja tähän päivään asti. Hypsiclesin määritelmä on annettu Diofantoksen kirjassa seuraavassa muodossa [12] [13] : $k$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $n$ $yksi$ $k-2$

Jos otamme joitain lukuja, alkaen yhdestä, joilla on samat erot, niin niiden summa, jos ero on yksi, on kolmio, jos kaksi, niin nelikulmio ja jos kolme, viisikulmio. Kulmien lukumäärä määräytyy kahdella lisätyllä erolla, ja sivu määräytyy otettujen numeroiden lukumäärällä, laskemalla ja yhdellä.

Numeroluvuista puhutaan paljon Pythagoralaisissa aritmeettisissa oppikirjoissa, jotka ovat luoneet Nikomachus Gerazista ja Theon Smyrnalainen (II vuosisata), jotka määrittelivät useita riippuvuuksia eri mittasuhteiden lukumäärien välille. Intialaiset matemaatikot ja keskiaikaisen Euroopan ensimmäiset matemaatikot ( Fibonacci , Pacioli , Cardano jne.) osoittivat suurta kiinnostusta kuviollisia lukuja kohtaan [14] [4] .

Nykyaikana Fermat , Wallis , Euler , Lagrange , Gauss ja muut käsittelivät monikulmiolukuja . Syyskuussa 1636 [15] Fermat muotoili kirjeessään Mersennelle lauseen, jota nykyään kutsutaan Fermatin monikulmiolukulauseeksi [14] :

Löysin ensimmäisenä hyvin kauniin ja melko yleisen lauseen, jonka mukaan jokainen luku on joko kolmio tai kahden tai kolmen kolmioluvun summa; jokainen luku on joko neliö tai kahden, kolmen tai neljän neliön summa; tai viisikulmainen, tai se on kahden, kolmen, neljän tai viiden viisikulmaisen luvun summa ja niin edelleen loputtomiin, olipa kyseessä kuusikulmio, seitsemänkulmainen tai mikä tahansa monikulmioluku. En voi tässä antaa todistetta, joka riippuu lukujen monista ja monimutkaisista mysteereistä, sillä aion omistaa tälle aiheelle kokonaisen kirjan ja saada tässä aritmeettisessa osassa hämmästyttäviä edistysaskeleita aiemmin tunnetuista rajoista.

Vastoin lupaustaan Fermat ei koskaan julkaissut todistetta tästä lauseesta, jota hän kutsui kirjeessään Pascalille (1654) pääsaavutuksekseen matematiikassa [15] . Monet merkittävät matemaatikot käsittelivät ongelmaa - vuonna 1770 Lagrange osoitti lauseen neliöluvuille ( Lagrangen lause neljän neliön summasta ), vuonna 1796 Gauss antoi todisteen kolmioluvuille. Täydellisen todisteen lauseesta antoi Cauchy vuonna 1813 [16] [17] .

Klassisten monikulmiolukujen lajikkeet

Kolmioluvut

Kolmion muotoinen numerosarja :

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210 …, … (sekvenssi A00027 :ssä OEIS )

{\textstyle {\frac {n(n+1)}{2}}}

Ominaisuudet [18] :

Sarjan elementin pariteetti muuttuu jaksolla 4: pariton, pariton, parillinen, parillinen. Mikään kolmioluku ei voi (desimaalimuodossa) päättyä numeroihin 2, 4, 7, 9 [19] .

Lyhyyden vuoksi merkitsemme kolmiolukua: Silloin rekursiiviset kaavat ovat voimassa: $n$ ${\textstyle T_{n}=P_{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)}{2)).}$

{\displaystyle T_{2n}=3T_{n}+T_{n-1))

;

T_{2n+1}=3T_{n}+T_{n+1}

Bacher de Meziriacin kaava : Monikulmioluvun yleinen kaava voidaan muuntaa niin, että se näyttää minkä tahansa monikulmioluvun ilmaisun kolmiomaisina:

{\textstyle P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}=(k-2)T_{n-1}+n= (k-3)T_{n-1}+T_{n}}

(basche)

Kahden peräkkäisen kolmioluvun summa antaa täyden neliön ( neliönumero ):

{\displaystyle T_{n}+T_{n+1}=(n+1)^{2}=P_{n+1}^{(4)))

Fermat'n lause monikulmioluvuista tarkoittaa, että mikä tahansa luonnollinen luku voidaan esittää enintään kolmen kolmioluvun summana.

Kolmiolukujen äärellisen sarjan summa lasketaan kaavalla:

S_{m-1}=1+3+6+\pisteet +{\frac {(m-1)m}{2}}={\frac {m^{3}-m}{6} }

Sarja kolmiolukujen käänteislukuja ( teleskooppisarja ) konvergoi [20] :

1+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+\ dots =2\sum _{n=1}^{\infty } \left({1 \over n}-{1 \over n+1}\right)=2

Kaksinkertaiset kolmioluvut antavat jonon (määritelty alla ) suorakaiteen muotoisia lukuja .

Luonnollinen luku on kolmio, jos ja vain jos luku on neliö [21] . $N$ $8N+1$

Mystiikassa tunnettu " pedon numero " (666) on 36. kolmio. Se on pienin kolmioluku, joka voidaan esittää kolmiolukujen neliöiden summana [22] : . $666=15^{2}+21^{2}$

Kolmioluvut muodostavat Pascalin kolmion kolmannen diagonaaliviivan .

Neliönumerot


$0+\color {blue}1\color {black}=1$	$1+\color {blue}3\color {black}=4$	$4+\color {blue}5\color {black}=9$	$9+\color {blue}7\color {black}=16$

Neliöluvut ovat kahden identtisen luonnollisen luvun tulo, eli ne ovat täydellisiä neliöitä:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400 …, … (sekvenssi A00290 :ssa OEI0290 ).

n^{2}

Jokainen neliöluku yhtä lukuun ottamatta on kahden peräkkäisen kolmioluvun summa [23] :

{\displaystyle n^{2}=T_{n-1}+T_{n))

. Esimerkkejä: jne.

4=1+3;\quad 9=3+6;\quad 16=6+10

Neliöluvun summa, jota edeltää kolmioluku, antaa viisikulmaisen luvun :

{\displaystyle n^{2}+T_{n-1}=P_{n}^{(5)))

Tämän lauseen julkaisi ensimmäisenä Nicomachus (" Johdatus aritmetiikkaan ", II vuosisata) [24] .

Ensimmäisten luonnollisten lukujen neliösumma lasketaan kaavalla [25] : $n$

{\textstyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6} }}

Käänteisten neliölukujen sarja konvergoi [26] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac { 1}{2^{2}}}+\pisteet +{\frac {1}{n^{2}}}+\pisteet ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

Jokainen luonnollinen luku voidaan esittää enintään neljän neliön summana ( Lagrangen neljän neliön summa -lause ).

Brahmagupta-Fibonacci-identiteetti : Kahden neliöluvun ja minkä tahansa muun kahden neliöluvun summan tulo voidaan esittää kahden neliöluvun summana.

(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}= (ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}.

Koska oikealla oleva toinen termi voi olla nolla, tässä kannattaa harkita laajennettua neliölukujen sarjaa, joka alkaa ei yhdestä, vaan nollasta (katso A000290 ).

Esimerkki:

(1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^ {2}

. Viisikulmaiset numerot

Viisikulmaisten numeroiden sarja näyttää tältä:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590…, … ( OEIS26 A0 ).

{\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}

Viisikulmaiset luvut liittyvät läheisesti kolmiomaisiin numeroihin [24] :

P_{n}^{(5)}={\frac {n(3n-1)}{2}}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{ n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}={\frac {1}{3}}T_{3n-1}

Kuten edellä mainittiin, viisikulmainen luku, joka alkaa toisesta numerosta, voidaan esittää neliön ja kolmioluvun summana:

{\displaystyle P_{n}^{(5)}=n^{2}+T_{n-1))

Jos määrität kaavassa yleisemmän sekvenssin : ${\textstyle {\frac {n(3n-1)}{2}}}$ $n$

n=0,\;1,\;-1,\;2,\;-2,\;3,\;-3\dots

sitten saamme yleistetyt viisikulmaiset luvut :

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155… ( OEIS - sekvenssi A001318 ).

Leonhard Euler löysi yleisiä viisikulmaisia lukuja seuraavasta identiteetistä :

{\näyttötyyli (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\ldots =1-xx^{2}+x^{5}+x^{7}-x ^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-x^{35}-x^{40}+\ldots }

Identiteetin oikealla puolella olevat potenssit muodostavat yleistettyjen viisikulmaisten lukujen sarjan [27] . $x$

Kuusikulmaiset luvut 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780…, … ( 0038 sekvenssi A ).

2n^{2}-n

Kuusikulmiolukujen sarja saadaan kolmiomaisten lukujen sarjasta poistamalla alkiot, joissa on parilliset luvut [28] : . ${\displaystyle P_{n}^{(6)}=P_{2n-1}^{(3)))$

Luonnollinen luku on kuusikulmainen silloin ja vain, jos luku on luonnollinen . $N$ ${\textstyle {\frac {{\sqrt {8N+1}}+1}{4}}}$

Seitsenkulmaiset numerot Kahdeksankulmaiset numerot Dodekagonaaliset numerot

Dodekagonaaliset luvut lasketaan kaavalla : $5n^{2}-4n$

1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065, 1216, 1377, 1548, 1377, 1548, 1548, 156, 1720… ( 01EI9220 , 01020 ) .

Desimaalijärjestelmässä kymmenkulmainen luku päättyy samaan numeroon kuin itse numero . Tämä seuraa ilmeisestä vertailusta : mistä saamme: ■ . $n$ $n$ $5n(n-1)\equiv 0{\pmod {10)),$ $5n^{2}-4n\equiv n{\pmod {10))$

Sen määrittäminen, onko tietty luku monikulmio

Tehtävä 1 (Diophantus-tehtävä): annettu luonnollinen luku . Selvitä, onko se monikulmioluku ja jos on, jolle ja . Diophantus muotoili tämän ongelman seuraavasti: " selvitä kuinka monta kertaa tietty luku esiintyy kaikkien mahdollisten monikulmiolukujen joukossa " [29] . $N>2$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $k$ $n$

Ongelman ratkaisu pelkistetään " Diofantiiniyhtälön " ratkaisuksi (katso yleinen kaava ):

N=P_{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n^{2}-(k-4)n}{2)),

tai: .

2N-2n=(k-2)(n^{2}-n)

Kirjoitetaan saatu yhtälö uudelleen muotoon: . $k-2={\frac {2N-2}{n-1}}-{\frac {2N}{n}}$

Oikeanpuoleisten murtolukujen nimittäjät ovat suhteellisen alkulukuja ; tällaisten murtolukujen summa tai ero voi olla kokonaisluku vain, jos jokainen murtoluku on kokonaisluku [30] , joten se on :n kerrannainen , mutta :n kerrannainen . $2N-2$ $n-1$ $2N$ $n$

Tämän seurauksena ratkaisualgoritmi saa seuraavan muodon [29] :

Kirjoita kaikki luvun luonnolliset jakajat ( mukaan lukien itse ). $2N$ $yksi$ $2N$
Kirjoita muistiin kaikki luvun luonnolliset jakajat . $2N-2$
Valitse ensimmäisestä joukosta ne luvut, jotka ovat suurempia kuin mikä tahansa numero toisesta sarjasta. Nämä luvut vastaavat . $yksi$ $n$
Laske jokaiselle valitulle . $n$ ${\textstyle k={\frac {2N-2}{n-1}}-{\frac {2N}{n}}+2}$
Poista parit , joissa . $(n,\;k)$ $k<3$

Tällöin kaikki jäljellä olevia pareja vastaavat luvut ovat yhtä suuret . ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $N$

Esimerkki [29] . Anna . $N=105$

Jakajat . $2N=210\colon \quad 1,\;2,\;3,\;5,\;6,\;7,\;10,\;14,\;15,\;21,\; 30,\;35,\;42,\;70,\;105,\;210$
Jakajat . $2N-2=208\colon \quad 1,\;2,\;4,\;8,\;13,\;16,\;26,\;52,\;104,\;208$
Valinta . $n=2,\;3,\;5,\;14,\;105$
Vastaavasti . Viimeinen arvo tulee hylätä. $k=105,\;36,\;12,\;14,\;2$

Vastaus: voidaan esittää muodossa , eli 2. 105-kulman, 3. 36-kulman, 5. 12-kulman ja 14. 14-kulman numerona. $105$ $P_{2}^{(105)},\;P_{3}^{(36)},\;P_{5}^{(12)},\;P_{14}^{(14 )}$

Tehtävä 2 : Kun luonnollinen luku on annettu , sinun on määritettävä, onko se -hiililuku . Toisin kuin tehtävä 1, tässä se on annettu. $N>2,$ $k$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ $k$

Ratkaisussa voit käyttää Diophantus-identiteettiä [31] :

{\displaystyle 8(k-2)P_{n}^{(k)}+(k-4)^{2}=(2n(k-2)-(k-4))^{2))

Tämä identiteetti saadaan yllä olevasta yleisestä kaavasta ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$ ja vastaa sitä. Ratkaisu seuraa identiteetistä: jos on -hiililuku, eli joillekin , niin on jokin neliöluku ja päinvastoin. Tässä tapauksessa luku saadaan kaavasta [31] : $N$ $k$ ${\displaystyle N=P_{n}^{(k)))$ $n,$ ${\displaystyle 8(k-2)N+(k-4)^{2))$ $R^2$ $n$

{\textstyle n={\frac {R+k-4}{2k-4))}

Esimerkki [31] . Selvitetään, onko luku 10-sivuinen. Arvo tässä on sama, joten vastaus on kyllä. tästä syystä on 20. 10-kulman luku. $1540$ ${\displaystyle 8(k-2)N+(k-4)^{2))$ $98596=314^{2},$ $n=20,$ $1540$

Luodaan funktio

Potenssisarja , jonka kertoimet ovat -hiililuvut, konvergoi pisteessä : $k$ $|x|<1$

{\textstyle P_{1}^{(k)}x+P_{2}^{(k)}x^{2}+P_{3}^{(k)}x^{3}+\pisteet = {\frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{3))))

Oikealla oleva lauseke on generoiva funktio -hiilen numerosarjalle [ 32] . $k$

Funktioiden generointilaitteisto mahdollistaa matemaattisen analyysin menetelmien soveltamisen lukuteoriassa ja kombinatoriikassa . Yllä oleva kaava selittää myös -hiililukujen esiintymisen Taylor-sarjan kertoimien joukossa eri rationaalisille jakeille. Esimerkkejä: $k$

Osoitteessa : ;

k = 3

{\textstyle \qquad {\frac {x}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(3)}x+P_{2}^{(3)}x^{2 }+P_{3}^{(3)}x^{3}+\pisteet +P_{n}^{(3)}x^{n}+\pisteet }

Osoitteessa : ;

k = 4

{\textstyle \qquad {\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(4)}x+P_{2}^{(4) }x^{2}+P_{3}^{(4)}x^{3}+\pisteet +P_{n}^{(4)}x^{n}+\pisteet }

osoitteessa :

k=5

{\textstyle \qquad {\frac {x(2x+1)}{(1-x)^{3}}}=P_{1}^{(5)}x+P_{2}^{(5) }x^{2}+P_{3}^{(5)}x^{3}+\pisteet +P_{n}^{(5)}x^{n}+\pisteet }

jne.

Joillekin monikulmiolukuluokille on olemassa erityisiä generointifunktioita. Esimerkiksi nelikulmaisten kolmiolukujen generointifunktiolla on seuraava muoto [33] : $1,\;36,\;1225,\;41616,\;1413721\dots$

{\tekstyyli {\frac {x(1+x)}{(1-x)(1-34x+x^{2})}}=x+36x^{2}+1225x^{3}+\pisteet }

; sarja lähestyy .

|x|<17-12{\sqrt {2}}

Klassiset monikulmioluvut useammasta kuin yhdestä lajikkeesta

On olemassa ääretön määrä "multi-figured" (tai "multi-polygonal") [34] numeroita, toisin sanoen numeroita, jotka kuuluvat samanaikaisesti useisiin eri kiharalukujen lajikkeisiin. Esimerkiksi on olemassa kolmiolukuja, jotka ovat myös neliön muotoisia (" neliön kolmionumerot ") [35] :

1,\;36,\;1225,\;41616,\;1413721\dots

(sekvenssi A001110 OEIS : ssä ).

Kolmioluku voi olla myös samaan aikaan

viisikulmainen (sekvenssi A014979 OEIS : ssä ):

1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315623646…

kuusikulmainen (kaikki kolmiomaiset luvut, joissa on pariton luku);
seitsemänkulmainen (sekvenssi A046194 OEIS : ssä ):

1, 21, 11781, 203841, 113123361, 1957283461, 1086210502741, 18793835590881, 10429793134197921, 818045, 818041

jne. Ei tiedetä, onko olemassa lukuja, jotka ovat samanaikaisesti kolmion, neliön ja viisikulmaisia; tätä pienempien lukujen tietokonetesti ei paljastanut sellaista lukua, mutta ei ole todistettu, että niitä ei olisi [34] . $10^{22166},$

Neliönumero voi olla samaan aikaan

viisikulmainen (sekvenssi A036353 OEIS : ssä ):

1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801…

kuusikulmainen (sekvenssi A046177 OEIS : ssä ):

1 1225 1413721 1631432881 1882672131025 2172602007770041 2507180834294496361 2893284510173845103,

seitsemänkulmainen (sekvenssi A036354 OEIS : ssä ):

1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449…

jne.

Viisikulmainen luku voi olla samanaikaisesti:

kuusikulmainen (sekvenssi A046180 OEIS : ssä ):

1, 40755 1533776805, 57722156241751

seitsemänkulmainen (sekvenssi A048900 OEIS : ssä ):

1, 4347, 16701685, 64167869935, 246532939589097, 947179489733441251, 3639063353022941697757…

jne.

Kuusikulmainen luku on välttämättä myös kolmio; se voi olla myös seitsemänkulmainen samanaikaisesti (sekvenssi A48903 OEIS : ssä ):

1, 121771, 12625478965, 1309034909945503, 135723357520344181225, 14072069153115290487843091…

Muut yhdistelmät kolmesta tai useammasta kuvionumerotyypistä ovat myös mahdollisia. Esimerkiksi, kuten yllä on todistettu , numeroa on neljä erilaista: Täydellinen luettelo tällaisista yhdistelmistä kolmiomaisista numeroista 16 kulman lukuihin on OEIS :n sekvenssissä A062712 . $105$ $P_{5}^{(12)},\;P_{14}^{(14)},\;P_{3}^{(36)},\;P_{2}^{(105 )}.$

Pivot-taulukko

k	Erilaisia kiharaisia numeroita	Yleinen kaava	n										Käänteisten summa [36]	OEIS numero
k	Erilaisia kiharaisia numeroita	Yleinen kaava	yksi	2	3	neljä	5	6	7	kahdeksan	9	kymmenen	Käänteisten summa [36]	OEIS numero
3	kolmion muotoinen	yksi2( n 2 + n )	yksi	3	6	kymmenen	viisitoista	21	28	36	45	55	2	A000217
neljä	neliö-	yksi2( 2n2 − 0n ) = n2 _	yksi	neljä	9	16	25	36	49	64	81	100	$\pi$ 26	A000290
5	viisikulmainen	yksi2(3 n 2 − n )	yksi	5	12	22	35	51	70	92	117	145	$3\ln 3-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{3}}$	A000326
6	kuusikulmainen	yksi2( 4n2 − 2n ) _	yksi	6	viisitoista	28	45	66	91	120	153	190	2 l 2	A000384
7	seitsemänkulmainen	yksi2( 5n2 − 3n ) _	yksi	7	kahdeksantoista	34	55	81	112	148	189	235	${\tfrac {\pi }{3}}{\sqrt {1-{\tfrac {2}{\sqrt {5}}}}}$ $+{\tfrac {5}{6}}\ln 5-{\tfrac {\sqrt {5}}{3}}\ln \left({\tfrac {1+{\sqrt {5}} }{2}}\oikea)$	A000566
kahdeksan	kahdeksankulmainen	yksi2( 6n2 − 4n ) _	yksi	kahdeksan	21	40	65	96	133	176	225	280	3neljäln 3+ $\pi$ √ 312	A000567
9	ei-kulmamainen	yksi2( 7n2 − 5n ) _	yksi	9	24	46	75	111	154	204	261	325	${\tfrac {1}{5}}(2\ln 14+4\cos {\tfrac {\pi }{7}}\ln \cos {\tfrac {3\pi }{14}}$ $+\ln \sin {\tfrac {\pi }{7}}\sin {\tfrac {\pi }{14}}-\ln \cos {\tfrac {\pi }{14}}\sin {\tfrac {3\pi }{14}}$ $+\pi \operaattorinimi {tg} {\tfrac {3\pi }{14)))$	A001106 A244646
kymmenen	kymmenkulmainen	yksi2( 8n2 − 6n ) _	yksi	kymmenen	27	52	85	126	175	232	297	370	ln 2+ $\pi$ 6	A001107
yksitoista	11-hiiltä	yksi2( 9n2 − 7n ) _	yksi	yksitoista	kolmekymmentä	58	95	141	196	260	333	415		A051682
12	12-hiiltä	yksi2( 10n2 − 8n ) _	yksi	12	33	64	105	156	217	288	369	460		A051624
13	13-hiiltä	yksi2( 11n2 − 9n ) _	yksi	13	36	70	115	171	238	316	405	505		A051865
neljätoista	14-hiiltä	yksi2( 12n2 − 10n ) _	yksi	neljätoista	39	76	125	186	259	344	441	550	25ln 2+3kymmenenln 3+ $\pi$ √ 3kymmenen	A051866
viisitoista	15-hiiltä	yksi2( 13n2 − 11n ) _	yksi	viisitoista	42	82	135	201	280	372	477	595		A051867
16	16-hiiltä	yksi2( 14n2 − 12n ) _	yksi	16	45	88	145	216	301	400	513	640		A051868
17	17-hiiltä	yksi2( 15n2 − 13n ) _	yksi	17	48	94	155	231	322	428	549	685		A051869
kahdeksantoista	18-hiiltä	yksi2( 16n2 − 14n ) _	yksi	kahdeksantoista	51	100	165	246	343	456	585	730	neljä7loki 2 -√2 _neljätoistalog (3 − 2 √ 2 ) + $\pi$ ( 1 + √2 )neljätoista	A051870
19	19-hiiltä	yksi2( 17n2 − 15n ) _	yksi	19	54	106	175	261	364	484	621	775		A051871
kaksikymmentä	kahdeksankulmainen	yksi2( 18n2 − 16n ) _	yksi	kaksikymmentä	57	112	185	276	385	512	657	820		A051872
21	21-hiiltä	yksi2( 19n2 − 17n ) _	yksi	21	60	118	195	291	406	540	693	865		A051873
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
1000	1000 hiiltä	yksi2( 998n2 − 996n ) _	yksi	1000	2997	5992	9985	14976	20965	27952	35937	44920		A195163
10 000	10 000 hiiltä	yksi2(9998 n 2 − 9996 n )	yksi	10 000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920		A167149

Keskitetyt monikulmioluvut

Määritelmä

Keskitetyt kulmaluvut ( ) ovat muotoiltuja lukuja, jotka saadaan seuraavalla geometrisella rakenteella. Ensinnäkin tietty keskipiste kiinnitetään tasoon. Sitten sen ympärille rakennetaan säännöllinen k -gon, jossa on kärkipisteitä, kummallakin sivulla on kaksi pistettä (katso kuva). Edelleen uusia kerroksia -goneja rakennetaan ulkopuolelle, ja niiden jokainen sivu uudessa kerroksessa sisältää yhden pisteen enemmän kuin edellisessä, eli toisesta kerroksesta alkaen jokainen seuraava kerros sisältää enemmän pisteitä kuin edellinen. Jokaisen kerroksen sisällä olevien pisteiden kokonaismäärä ja se otetaan keskitettynä monikulmiolukuna (keskellä olevaa pistettä pidetään alkuperäisenä kerroksena) [37] . $k$ $k \geqslant 3$ $k$ $k$ $k$

Esimerkkejä keskitettyjen monikulmiolukujen rakentamisesta:

kolmion muotoinen	Neliö	Viisikulmainen	Kuusikulmainen

Konstruktiosta voidaan nähdä, että keskitetyt monikulmioluvut saadaan seuraavan sarjan osasummaina : (esim. keskitetyt neliöluvut, joille ne muodostavat sekvenssin: ) Tämä sarja voidaan kirjoittaa muodossa , josta se näkyy että suluissa on generoiva sarja klassisille kolmioluvuille (katso kuva yllä ). Siksi jokainen keskitettyjen kulmalukujen sarja, alkaen 2. elementistä, voidaan esittää muodossa , jossa on kolmiolukujen sarja. Esimerkiksi keskitetyt neliöluvut ovat nelinkertaisia kolmiolukuja plus , niille generoiva sarja on: [38] $1+k+2k+3k+4k+\dots$ $k=4,$ ${\näyttötyyli 1,5,13,25,41\pisteet }$ ${\näyttötyyli 1+k(1+2+3+4+\pisteet )}$ $k$ $kT_{n-1}+1$ $T_{n}~(n=1,\;2,\;3\dots )$ $yksi$ ${\näyttötyyli 1+4+8+12\pisteet }$

Yllä olevasta kolmiolukujen kaavasta voidaan ilmaista yleinen kaava keskitetyn kulman numerolle [38] : $n$ $k$ ${\displaystyle C_{n}^{(k)))$

{\textstyle C_{n}^{(k)}=1+k{\frac {n(n-1)}{2))={\frac {kn^{2}-kn+2}{2} };\ n=1,\;2,\;3\pisteet }

(OCF)

Keskitettyjen monikulmiolukujen generointifunktio on muotoa [39] :

{\textstyle f(x)={\frac {x(1+(k-2)x+x^{2})}{(1-x)^{3))};\quad |x|<1 }

Keskitettyjen monikulmiolukujen lajikkeet

Keskitetyt kolmioluvut

$n$ Kolmiokolmioluku saadaan järjestyksessä:

{\textstyle C_{n}^{(3)}={\frac {3n^{2}-3n+2}{2))}

Seuraus (koskee ): . $n>1$ ${\textstyle C_{n}^{(3)}=3T_{n-1}+1}$

Keskitettyjen kolmiolukujen sarjan ensimmäiset elementit ovat:

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, 571…, ( OEIS4 sekvenssi 8005 ).

{\textstyle {\frac {3n^{2}-3n+2}{2))}

Jotkut kiinteistöt [40]

Jokainen keskitetty kolmioluku, joka alkaa 10:stä, on kolmen peräkkäisen klassisen kolmioluvun summa: $C_{n}^{(3)}=P_{n}^{(3)}+P_{n-1}^{(3)}+P_{n-2}^{(3)} .$
Yleisen kaavan seurauksesta voidaan nähdä, että jokainen keskitetty kolmioluku 3:lla jaettuna antaa jäännöksen 1:stä ja osamäärä (jos se on positiivinen) on klassinen kolmioluku . ${\displaystyle C_{n}^{(3)))$ ${\displaystyle T_{n-1))$
Jotkut keskitetyt kolmioluvut ovat alkulukuja [10] : 19, 31, 109, 199, 409 … (sekvenssi A125602 OEIS : ssä ).

Keskitetyt neliönumerot

yksi		5		13		25

$n$ Kolmas järjestyksessä keskitetty 4-kulmainen (neliö) luku saadaan kaavalla:

{\textstyle C_{n}^{(4)}={(2n-1)^{2}+1 \over 2}=2n^{2}-2n+1=(n-1)^{2} +n^{2}}

Keskitettyjen neliönumeroiden sarjan ensimmäiset elementit ovat:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761…, ( 018 - sekvenssi 440 ).

n^{2}+(n-1)^{2}\pisteet

Jotkut kiinteistöt [41]

Kuten yleisestä kaavasta voidaan nähdä , keskitetty neliönumero on kahden peräkkäisen neliön summa.
Kaikki keskitetyt neliöluvut ovat parittomia, ja niiden desimaalimuodon viimeinen numero muuttuu jakson aikana: 1-5-3-5-1.
Kaikki keskitetyt neliöluvut ja niiden jakajat jättävät jäännöksen 1, kun ne jaetaan 4:llä, ja kun ne jaetaan 6:lla, 8:lla tai 12:lla, jäännös on 1 tai 5.
Kaikki keskitetyt neliöluvut 1 lukuun ottamatta edustavat hypotenuusan pituutta jossakin Pythagoraan kolmiossa (esim. 3-4-5, 5-12-13). Siten jokainen keskitetty neliönumero on yhtä suuri kuin pisteiden lukumäärä tietyllä etäisyydellä, lohkoina, neliöruudukon keskipisteestä.
Kahden peräkkäisen klassisen kahdeksankulmaisen luvun välinen ero on keskitetty neliöluku.
Jotkut keskitetyt neliöluvut ovat alkulukuja (kuten yllä näkyy, klassiset neliöluvut, alkaen järjestyksessä kolmannesta, ovat ilmeisesti yhdistettyjä). Esimerkkejä yksinkertaisista keskitetyistä neliöluvuista:

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2113, 2381, 2521, 3613, 3613 , 2381 . Keskitetyt viisikulmaiset numerot

$n$ Järjestyksen mukainen keskitetty viisikulmioluku saadaan kaavalla:

{\textstyle C_{n}^{(5)}={\frac {5(n-1)^{2}+5(n-1)+2}{2))}

Useita ensimmäisiä keskitettyjä viisikulmaisia numeroita:

1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601, 681, 766, 856, 951 …, … 0 ( OEIS1 ) sekvenssi

{\textstyle {\frac {5(n-1)^{2}+5(n-1)+2}{2))}

Keskitettyjen viisikulmaisten lukujen pariteetti muuttuu säännön mukaan: parillinen-parillinen-pariton ja viimeinen desimaaliluku muuttuu syklissä: 6-6-1-1.

Jotkut keskitetyt viisikulmaiset luvut ovat alkulukuja [10] : 31, 181, 331, 391, 601. . . (sekvenssi A145838 OEIS : ssä ).

Keskitetyt kuusikulmioluvut

$n$ Kolmannen järjestyksessä keskitetty kuusikulmioluku saadaan kaavalla:

C_{n}^{(6)}=n^{3}-(n-1)^{3}=3n(n-1)+1

Useita ensimmäisiä keskitettyjä kuusikulmiolukuja:

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919 … … (sekvenssi A003215 OEIS : ssä ).

{\näyttötyyli 1+3n(n-1)}

Jotkut kiinteistöt [42]

Keskitettyjen kuusikulmiolukujen viimeinen desimaalipaikka muuttuu syklissä 1-7-9-7-1.
Ensimmäisen n keskitetyn kuusikulmioluvun summa on yhtä suuri kuin " kuutioluku " . $n^3$
Rekursiivinen yhtälö on totta: . $C_{n}^{(6)}=2C_{n-1}^{(6)}-C_{n-2}^{(6)}+6$
Jotkut keskitetyt kuusikulmioluvut ovat alkulukuja [10] : 7, 19, 37, 61, 127… (sekvenssi A002407 OEIS : ssä ).

Keskitetyt seitsemänkulmaiset numerot

$n$ Kolmannen järjestyksessä keskitetty seitsemänkulmainen luku saadaan kaavalla . Se voidaan myös laskea kertomalla kolmioluku 7:llä ja lisäämällä 1. ${\textstyle {\frac {7n^{2}-7n+2}{2))}$ $(n-1)$

Useita ensimmäisiä keskitettyjä seitsemänkulmaisia lukuja:

1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197, 253, 316, 386, 463, 547, 638, 736, 841, 953 …, … (sekvenssi A069099 OEIS : ssä ).

{\textstyle {\frac {7n^{2}-7n+2}{2))}

Keskitettyjen seitsemänkulmaisten lukujen pariteetti muuttuu pariton-parillinen-parillinen-pariton syklissä.

Jotkut keskitetyt seitsemänkulmaiset luvut ovat alkulukuja [10] :

43, 71, 197, 463, 547, 953, 1471, 1933, 2647, 2843, 3697… ( OEIS - sekvenssi A144974 ).

Twin alkulukupareihin sisältyy myös keskitettyjä seitsemänkulmaisia lukuja :

43, 71, 197, 463, 1933, 5741, 8233, 9283, 11173, 14561, 34651… ( OEIS - sekvenssi A144975 ). Keskitetyt kahdeksankulmaiset numerot

$n$ th järjestyksessä keskitetty kahdeksankulmainen numero on annettu . $(2n-1)^{2}=4n^{2}-4n+1$

Useita ensimmäisiä keskitettyjä kahdeksankulmaisia numeroita:

1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, 625, 729, 841, 961, 1089. Jotkut kiinteistöt [43]

Kaikki keskellä olevat kahdeksankulmaiset luvut ovat parittomia, ja niiden viimeinen desimaaliluku muuttuu syklissä 1-9-5-9-1.
Keskitetty kahdeksankulmainen luku on sama kuin klassinen pariton neliönumero: Toisin sanoen pariton luku on keskitetty kahdeksankulmainen luku, jos ja vain jos se on kokonaisluvun neliö. $C_{n}^{(6)}=P_{2n-1}^{(4)}.$
Edellisestä ominaisuudesta seuraa, että kaikki keskitetyt kahdeksankulmaiset luvut 1:tä lukuun ottamatta ovat yhdistelmälukuja.

Keskitetyt ei-heksagonaaliset luvut

$n$ Järjestyskeskitetty yhdeksänkulmainen luku määräytyy yleisellä kaavalla . ${\frac {(3n-2)(3n-1)}{2))$

Kerrotaan kolmioluku 9:llä ja lisätään 1, saadaan keskitetty kuusikulmioluku, mutta kolmiolukujen kanssa on myös yksinkertaisempi yhteys - joka kolmas kolmioluku (1., 4., 7. jne.) on myös keskitetty. ei-agonaaliluku, ja tällä tavalla voidaan saada kaikki keskitetyt ei-kulmaluvut. Muodollinen merkintä: . $(n-1)$ $n$ ${\displaystyle C_{n}^{(9)}=P_{3n-2}^{(3)))$

Ensimmäiset keskitetyt yhdeksänkulmaiset luvut:

1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, 595, 703, 820, 946… ( OEIS - sekvenssi A060544 ).

Lukua 6 lukuun ottamatta kaikki parilliset täydelliset luvut ovat myös keskitettyjä kuusikulmiolukuja. Vuonna 1850 amatöörimatemaatikko Frederick Pollock ehdotti , mitä ei ole vielä todistettu tai kumottu, että mikä tahansa luonnollinen luku on enintään yhdentoista keskitetyn yhdeksänkulmaisen luvun summa [44] .

Yleisestä kaavasta seuraa, että kaikki keskitetyt yhdeksänkulmaiset luvut yhtä lukuun ottamatta ovat yhdistettyjä.

Keskitetyt dekagonaaliset numerot

$n$ Kolmannen järjestyksessä keskitetty dekagonaaliluku saadaan kaavalla . $5(n^{2}-n)+1$

Keskitettyjen dekagonaalilukujen ensimmäiset edustajat:

1, 11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 361, 451, 551, 661, 781, 911, 1051… ( OEIS - sekvenssi A062786 ).

5(n^{2}-n)+1

Kuten muut k -kulmioluvut, -:nnes keskitetty kymmenkulmioluku voidaan laskea kertomalla -:s kolmioluku : llä , tässä tapauksessa 10, ja lisäämällä sitten 1. Tämän seurauksena keskitetyt kymmenkulmioluvut voidaan saada yksinkertaisesti lisäämällä numeroon 1. numeron desimaaliesitys. Siten kaikki keskitetyt kymmenkulmaiset luvut ovat parittomia ja päättyvät aina 1:een desimaalimuodossa. $n$ $(n-1)$ $k$

Jotkut keskitetyistä dekagonaaliluvuista ovat alkulukuja, esimerkiksi:

11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901, 2311, 2531, 3001, 2531, 3001, 2531, 3001, 2531, 3001, 3251, 5051 , 5851 , 508 , 581, 581, 581, 581, 1051 .

Monikulmioluvut, sekä klassiset että keskitetyt

Jotkut keskitetyt monikulmioluvut osuvat yhteen klassisten lukujen kanssa, esimerkiksi: ; lyhyyden vuoksi kutsumme tällaisia monikulmiolukuja double . $1,\;10,\;25,\;51$

1. Kaksinkertaiset luvut yhteisellä parametrilla (kulmien lukumäärä): identiteetti [45] pätee :

k

C_{k}^{(k)}=P_{k+1}^{(k)}\quad

. 2. Kaksoiskolmioluvut eri Esimerkki: (sekvenssi A128862 OEIS : ssä ). Niiden löytämiseksi sinun on ratkaistava Diofantin yhtälö :

k.

{\näyttötyyli 1,\;10,\;136,\;1891,\;26335\pisteet }

m^{2}+m=3n^{2}-3n+2,

sitten . Joitakin ratkaisuja:

{\displaystyle P_{m}^{(3)}=C_{n}^{(3)))

m=1,\;4,\;16,\;61,\;229\dots

(sekvenssi A133161 OEIS : ssä ), vastaavasti:

{\näyttötyyli n=1,\;3,\;10,\;36,\;133\pisteet }

(sekvenssi A102871 OEIS : ssä ). 3. Klassiset neliöluvut, jotka ovat keskitettyjä kolmiolukuja. Ne määritetään Diofantin yhtälöllä:

{\textstyle m^{2}={\frac {3n^{2}-3n+2}{2}}.\quad }

Sitten .

{\displaystyle C_{m}^{(3)}=P_{n}^{(4)))

Ratkaisut:

m=1,\;2,\;8,\;19,\;79\dots

(sekvenssi A129445 OEIS : ssä ), vastaavasti

n=1,2,7,16,65\pisteet

Ensimmäiset numerot ovat:

{\näyttötyyli 1,\;4,\;64,\;361,\;6241\pisteet }

4. Klassiset kolmiomaiset, jotka ovat keskitettyjä kuusikulmiolukuja. Ensimmäiset tällaiset numerot ovat: (sekvenssi A006244 OEIS : ssä ). Ne määritetään Diofantin yhtälöllä:

1,\;91,\;8911,\;873181,\;85562821\dots

{\frac {m(m+1)}{2}}=3n^{2}+3n+1.\quad

Sitten .

{\displaystyle P_{m}^{(3)}=C_{n+1}^{(6)))

Ratkaisut:

m=1,13,133,1321,13081\pisteet

(sekvenssi A031138 OEIS : ssä );

n=0,\;5,\;54,\;539,\;5340\pisteet

(sekvenssi A087125, OEIS ) . 5. Klassiset neliöluvut, jotka ovat keskitettyjä kuusikulmiolukuja. Ensimmäiset tällaiset numerot ovat: (sekvenssi A006051 OEIS : ssä ). Ne määritetään Diofantin yhtälöllä:

1,\;169,\;32761,\;6355441,\;1232922769\dots

m^{2}=3n^{2}+3n+1.\quad

Sitten .

{\displaystyle P_{m}^{(4)}=C_{n+1}^{(6)))

Ratkaisut:

m=1,\;13,\;181,\;2521,\;35113\pisteet

(sekvenssi A001570 OEIS : ssä );

n=0,\;7,\;104,\;1455,\;20272\pisteet

(sekvenssi A001921, OEIS ) .

Tilakuvalliset numerot

Yllä käsiteltyjen tasokuvioiden kuviollisten lukujen ohella voidaan määritellä niiden tila- tai jopa moniulotteiset analogit. Jo muinaiset matemaatikot tutkivat tetraedris- ja neliöpyramidilukuja . On helppo määrittää pyramideihin liittyvät luvut , jotka perustuvat mihin tahansa muuhun monikulmioon, esimerkiksi:

Viisikulmainen pyramidinumero .
Kuusikulmainen pyramidiluku .
Seitsenkulmainen pyramidinumero .

Klassiseen polyhedraan liittyy muitakin spatiaalisia kuviollisia lukuja .

Pyramidinumerot

Pyramidiluvut määritellään seuraavasti:

$n$ K - kulman pyramidiluku on järjestyksessä ensimmäisten litteiden kuviollisten lukujen summa, joilla on sama määrä kulmia : ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)))$ $n$ $k$

\Pi _{n}^{(k)}=P_{1}^{(k)}+P_{2}^{(k)}+P_{3}^{(k)}+\ pisteet +P_{n}^{(k)}

Geometrisesti pyramidiluku voidaan esittää kerrosten pyramidina (katso kuva), joista jokainen sisältää 1 (ylempi kerros) - (alempi) palloa. ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)))$ $n$ ${\displaystyle P_{n}^{(k)))$

Induktiolla ei ole vaikeaa todistaa pyramidiluvun yleiskaavaa, jonka jo Archimedes tiesi [46] :

\Pi _{n}^{(k)}={\frac {n(n+1)((k-2)n-k+5)}{6))

(OPF)

Tämän kaavan oikea puoli voidaan ilmaista myös litteinä monikulmiolukuina:

\Pi _{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n-k+5}{3}}P_{n}^{(3)}={\frac { n+1}{6}}(2P_{n}^{(k)}+n)

Pyramidiluvuille on olemassa kolmiulotteinen analogi Nicomachuksen kaavasta [47] :

{\displaystyle \Pi _{n}^{(k+1)}=\Pi _{n}^{(k)}+\Pi _{n-1}^{(3)))

Pyramidilukujen generointifunktio on muotoa [48] :

f(x)={\frac {x(1+(k-3)x)}{(1-x)^{4}}};\quad |x|<1

. Kolmiopyramidi (tetraedri) numerot

Kolmiopyramidiluvut, joita kutsutaan myös tetraedrisiksi luvuiksi, ovat kuviollisia lukuja, jotka edustavat tetraedria eli pyramidia, jonka pohjalla on kolmio. Yllä olevan pyramidilukujen yleisen määritelmän mukaan tetraedriluvun e-kertaluku määritellään ensimmäisten kolmiolukujen summana : $n-$ $n$

{\displaystyle \Pi _{n}^{(3)}=T_{1}+T_{2}+\pisteet +T_{n))

Yleinen kaava tetraedriselle luvulle: . $\Pi _{n}^{(3)}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6))$

Ensimmäiset tetraedriluvut:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969… ( OEIS - sekvenssi A000292 ).

Mielenkiintoista on, että viides luku on yhtä suuri kuin kaikkien edellisten summa.

Basche de Meziriacin kaavalla on kolmiulotteinen analogi , nimittäin mielivaltaisen pyramidiluvun laajentaminen tetraedrisissä luvuissa [47] :

{\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}=\Pi _{n}^{(3)}+(k-3)\Pi _{n-1}^{(3)))

Viisi tetraedrilukua ovat kolmion muotoisia samanaikaisesti (sekvenssi A027568 OEIS : ssä ):

1, 10, 120, 1540, 7140.

Vain kolme tetraedrilukua ovat neliölukuja (sekvenssi A003556 OEIS : ssä ):

1^{2}=1

, , .

2^{2}=4

140^{2}=19\,600

Yksi Pollockin "oletuksista " (1850): jokainen luonnollinen luku voidaan esittää enintään viiden tetraedrisen luvun summana. Sitä ei ole vielä todistettu, vaikka se on testattu kaikille alle 10 miljardille [49] [50] .

Neliöpyramidiluvut

Neliöpyramidilukuja kutsutaan usein lyhyesti yksinkertaisesti pyramidiluvuiksi. Heille pyramidilla on neliömäinen pohja. Aloitussarja:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819… ( OEIS - sekvenssi A000330 ).

Yleinen kaava neliöpyramidiluvulle on: . $\Pi _{n}^{(4)}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6))$

Neliön pyramidiluku ilmaisee myös neliöiden [51] kokonaismäärän neliöruudukossa . ${\displaystyle \Pi _{n}^{(4)))$ $n\ kertaa n$

Neliön ja kolmion pyramidilukujen välillä on seuraava suhde [52] :

{\displaystyle 4\Pi _{n}^{(4)}=\Pi _{2n}^{(3)))

Edellä todettiin, että peräkkäisten kolmiolukujen summa on neliöluku; samoin peräkkäisten tetraedrilukujen summa on neliöpyramidiluku [52] : . ${\displaystyle \Pi _{n}^{(4)}=\Pi _{n}^{(3)}+\Pi _{n-1}^{(3)))$

Monitahoiset numerot

Neliölukujen kanssa analogisesti voit syöttää "kuutiolukuja" sekä lukuja, jotka vastaavat muita säännöllisiä ja epäsäännöllisiä monitahoja - esimerkiksi platonisia solideja : $Q_{n}=n^{3},$

Tarjolla on myös keskitettyjä vaihtoehtoja.

Kuutioluvut

Kuutioluvut ovat kolmen identtisen luonnollisen luvun tulo ja niillä on yleinen muoto Alkuarvot: $Q_{n}$ $Q_{n}=n^{3}.$

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000. . . (sekvenssi A000578 OEIS : ssä ).

Kuutioluku voidaan ilmaista peräkkäisten kolmiolukujen neliöiden erotuksena [53] :

Q_{n}=(T_{n})^{2}-(T_{n-1})^{2}

, .

n\geqslant 2

Seuraus: ensimmäisten kuutiolukujen summa on yhtä suuri kuin kolmioluvun neliö: $n$ $n$

{\displaystyle Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}+\pisteet +Q_{n}=(T_{n})^{2))

Kahden vierekkäisen kuutioluvun välinen ero on keskitetty kuusikulmioluku. Seuraus: ensimmäisten keskitettyjen kuusikulmiolukujen summa on kuutioluku [53] . $n$ $Q_{n}$

Kuutioluvun ilmaisu tetraedrina [53] :

Q_{n}=\Pi _{n}^{(3)}+4\Pi _{n-1}^{(3)}+\Pi _{n-2}^{(3) }

, missä .

n > 2

Yksi " Pollockin olettamuksista " (1850): jokainen luonnollinen luku voidaan esittää enintään yhdeksän kuutioluvun summana. Todistettu 1900-luvun alussa. Yleensä seitsemän kuutiota riittää, mutta 15 numeroa varten tarvitaan kahdeksan (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, sekvenssi A01888 ) ja kahdessa . luvut kaikki yhdeksän tarvitaan: 23 ja 239. Jos vähennyslasku on sallittua, niin viisi kuutiota riittää (mahdollisesti jopa neljä, mutta tätä ei ole vielä todistettu) [54] .

Kuutiolukujen generointifunktio on muotoa [53] :

{\displaystyle f(x)={\frac {x(x^{2}+4x+1)}{(x-1)^{4))))

; .

|x|<1

Oktaedriset numerot Dodekaedriluvut Ikosaedriluvut

Moniulotteiset yleistykset

Edellä kuvatut kolmiulotteiset rakenteet voidaan yleistää neljään tai useampaan ulottuvuuteen. Tetraedrilukujen analogi -ulotteisessa avaruudessa ovat " simplex - luvut", joita kutsutaan myös hypertetraedrisiksi [55] : $d$

S_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!)))

Niiden erikoistapaukset ovat:

$S_{n}^{[2]}$ ovat kolmion muotoisia lukuja .
$S_{n}^{[3]}$ ovat tetraedrilukuja .
$S_{n}^{[4]}$ ovat pentatooppilukuja .

Muut moniulotteisten lukujen lajikkeet ovat hyperkuutioisia : . Neliulotteisia hyperkuutiolukuja kutsutaan bi -neliöiksi [55] . ${\displaystyle Q_{n}^{[d]}=n^{d))$ ${\näyttötyyli (d=4)}$

Numeroita useammasta kuin yhdestä lajikkeesta

Jotkut kuviolliset luvut voivat kuulua useampaan kuin yhteen tyyppisiin litteisiin ja/tai moniulotteisiin lukuihin, esimerkkejä litteistä luvuista on jo annettu edellä . Moniulotteisten lukujen kohdalla tämä on melko harvinainen tilanne [56] .

Viisi numeroa (ja vain ne) ovat sekä kolmiomaisia että nelitahoisia (sekvenssi A027568 OEIS : ssä ). $1,10,120,1540,7140$
Neljä numeroa ovat sekä kolmion että neliön muotoisia pyramideja (sekvenssi A039596 OEIS : ssä ). $1,55,91,208335$
Kolme numeroa ovat sekä litteän neliön että tetraedrin muotoisia (sekvenssi A003556 OEIS : ssä ). $1,4,19600$
Kaksi numeroa ovat samanaikaisesti neliömäisiä ja neliömäisiä pyramideja. Tämä lausunto tuli tunnetuksi " Lucin hypoteesina " tai " tykinkuulaongelmana " (1875). Täydellisen ratkaisun antoi vuonna 1918 George Neville Watson [57] . $1.4900$

Mikään luonnollinen luku 1:tä lukuun ottamatta ei voi olla samanaikaisesti [58] [56] :

kolmiomainen ja kuutiomainen;
kolmion ja kaksinkertainen [59] ;
kolmio ja kokonaisluvun viides potenssi [58] ;
keskitetty kuusikulmainen ja kuutiomainen.

Vuonna 1988 F. Bakers ja J. Top osoittivat, että mikään muu luku kuin 1 ei voi olla sekä tetraedrinen että neliöpyramidi [60] . On myös todistettu, ettei ole olemassa numeroita, jotka samanaikaisesti [56] :

tetraedrinen ja kuutio;
neliömäinen pyramidi ja kuutio;
tetraedrinen ja kaksikvadraattinen;
neliön muotoinen pyramidi ja bi-neliö.

Arkaaiset kiharat numerot

Muinaisina aikoina, jolloin aritmetiikkaa ei erotettu geometriasta, pythagoralaiset (6. vuosisadalla eKr.) erottivat useita muita kuviollisia lukutyyppejä [61] .

Lineaariset luvut ovat lukuja, jotka "mittaa vain yksiköllä", toisin sanoen nykyaikaisessa terminologiassa alkulukuja (Euclid käyttää termiä " ensimmäiset luvut ", muu kreikkalainen πρώτοι αριθμοί ).
Tasaiset (tai tasaiset) luvut ovat lukuja, jotka voidaan esittää kahden tekijän tulona, joka on suurempi kuin yksi, eli yhdistelmänä .
- Erikoistapauksena ovat suorakaiteen muotoiset luvut ( joita kutsutaan joskus " pitkäksi " lähteissä ), jotka ovat kahden peräkkäisen kokonaisluvun tulo [62] eli muodoltaan $n(n+1),n\geqslant 0.$
Kiinteät luvut ovat lukuja, jotka voidaan esittää kolmen yhtä suuren tekijän tulona.

Eukleideen kommentaattori D. D. Mordukhai-Boltovskoy selittää [63] :

Käsitteet "taso" ja "kiinteä luku" ovat luultavasti jäänne aikaisemmasta matemaattisen ajattelun ajanjaksosta, jolloin numero ja geometrinen kuva olivat vieläkin tiiviimmin yhteydessä toisiinsa, jolloin esineiden määrän tuloa abstraktilla luvulla pidettiin näiden objektien järjestely objektiriveihin jokaisessa, täyttämällä suorakulmion alue. Sama tulee sanoa kolmen luvun tulosta, joka euklidisen terminologian mukaan on kiinteä luku. $a$ $b$ $b$ $a$

Tällä hetkellä alkulukuja ei luokitella kuviollisiksi, ja termit "litteä luku" ja "kiinteä luku" ovat poistuneet käytöstä [63] .

Rooli lukuteoriassa

Pascalin kolmio

Pascalin kolmion numerot osoittavat yhteyden moniin kiharalukuihin.

Pascalin kolmion kolmannella rivillä on kolmioluvut ja neljännellä tetraedriset numerot (katso kuva). Tämä johtuu siitä, että -th tetraedriluku on ensimmäisten kolmiolukujen summa, jotka sijaitsevat kolmannella rivillä. Samoin neliulotteiset pentatooppiluvut sijaitsevat viidennellä rivillä jne. Kaikki ne, kuten muutkin Pascalin kolmion sisällä olevat luvut, ovat binomiaalikertoimia . $n$ $n$

Siten kaikki Pascalin kolmion sisäiset elementit ovat kuviollisia lukuja, ja niiden eri lajikkeet ovat edustettuina. Jokaisella viivalla, vasemmalta oikealle, on hypertetraedrilukuja, joiden ulottuvuus kasvaa. Tiedetään, että kaikkien : nnen rivin lukujen summa on yhtä suuri , joten tästä seuraa, että kaikkien ensimmäisten rivien lukujen summa on yhtä suuri kuin Mersennen luku.Tämän vuoksi Mersennen luku voidaan esittää hypertetraedrilukujen summana [64] . $n$ $2^{n},$ $n$ $M_{n}.$

Muut käyttötarkoitukset

Monet lukuteorian lauseet voidaan muotoilla kiharalukuina. Esimerkiksi katalaani oletus väittää, että mielivaltaisten mittojen hyperkuutiolukujen joukossa vain yksi pari eroaa yhdellä: (todennettu vuonna 2002) [65] . $3^{2}=2^{3}+1$

Mikä tahansa parillinen täydellinen luku on kolmio [66] (ja samalla kuusikulmainen, ja kuusikulmaisen luvun luku on kahden potenssi). Tällainen luku ei voi olla samanaikaisesti neliö-, kuutio- tai muu hyperkuutioluku [67] .

Legendren arvelu (1808, tunnetaan myös nimellä Edmund Landaun kolmas ongelma ): peräkkäisten neliölukujen välillä on aina alkuluku . Ei vieläkään todistettu.

Ensimmäisten keskitettyjen kolmiolukujen summa on ulottuvuuden maagisen neliön "maaginen vakio" . Muita tapoja saada sama vakio on kolmioluku tai lisäämällä kaikki luonnolliset luvut luvusta mukaan lukien [68] . $n$ ${\näyttötyyli (n>2)}$ $n\ kertaa n$ ${\frac {T_{n^{2}}}{n}}$ ${\displaystyle T_{n-1))$ $T_{n}$

Mersennen luku , joka on suurempi kuin 1, ei voi olla neliö, kuutio tai muuten hyperkuutio, mutta se voi olla kolmion muotoinen. Kolmiomaisia Mersennen lukuja on vain neljä: , niiden haku vastaa Ramanujan-Nagel-yhtälön ratkaisemista luonnollisilla luvuilla : . Kuten käy ilmi, ratkaisu tähän yhtälöön on olemassa vain (sekvenssi A060728 OEIS : ssä ), ja vastaava Mersennen luku on tällöin kolmion muotoinen [64] . $1,3,5,4095$ $2^{n}-7=x^{2}$ $n=3,4,5,7,15$ $n>3$ ${\displaystyle M_{n-3))$

Fermat-luku ei myöskään voi olla neliö, kuutio tai muuten hyperkuutio, mutta ainoassa tapauksessa se voi olla kolmion muotoinen: . Fermat-luku ei myöskään voi olla tetraedrinen ja hypertetraedri, jonka mitat ovat yli 2 [64] . $F_{0}=3$

Fibonacci-lukujen joukossa on vain kolme neliölukua (0, 1 ja 144) ja neljä kolmiolukua (1, 3, 21, 55, OEIS - sekvenssi A039595 ). Jos käännät Pascalin kolmiota kuvan osoittamalla tavalla, Fibonacci-luvut voidaan saada summina nousevien diagonaalien mukaan; tämä tosiasia antaa Fibonaccin luvun laajennuksen hypertetraedrilukuina [69] .

Lucas- lukujen joukossa on kaksi neliölukua (1 ja 4) ja kolme kolmiolukua (1, 3, 5778) [69] .

Katalonian luvut ilmaistaan hypertetraedrisina lukuina seuraavasti [70] : $Cat_{n}$

Cat_{n}=S_{n+1}^{[n]}-S_{n+2}^{[n-1]}

Toinen lukujen luokka, joka liittyy läheisesti kiharaisiin numeroihin, ovat toisen tyyppiset Stirling-luvut . Tämä luokka sisältää kaikki kolmioluvut: , ja lauseke on yhtä suuri kuin 2. järjestyksessä -ulotteinen hyperkuutioluku . Lopuksi mikä tahansa -ulotteinen hyperkuutioluku voidaan laajentaa seuraavalla tavalla [70] : $S(n,m)$ $T_{n}=S(n+1,n)$ $S(n,2)+1$ $n$ $Q_{2}^{[n]}$ $n$ $S(n,m)$

{\displaystyle Q_{n}^{[d]}=\summa _{m=0}^{d}{S(d,m)n(n-1)\pisteet (n-m+1)))

Muistiinpanot

↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 9.
↑ Matematiikan historia. Muinaisista ajoista uuden ajan alkuun // Matematiikan historia / Toimittanut A.P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M .: Nauka, 1970. - T. I. - S. 68. - 352 s.
↑ Kiharat numerot // Matemaattinen tietosanakirja . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja, 1988. - S. 607 . — 847 s.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. kymmenen.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. 12-13.
↑ Ozhigova E.P. Mikä on lukuteoria. - M . : Knowledge, 1970. - S. 56-57.
↑ Aritmeettinen sarja // Mathematical Encyclopedia (5 osassa) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - V. 1. Arkistokopio päivätty 13. marraskuuta 2013 Wayback Machinessa
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. viisitoista.
↑ Matematiikan oppikirjan sivujen takana, 1996 , s. viisikymmentä.
↑ 1 2 3 4 5 Deza E., Deza M., 2016 , s. 217.
↑ Sameen Ahmed Khan. Monikulmiolukujen käänteislukujen potenssien summat (kaava 23)
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. neljätoista.
↑ Diophantus Aleksandrialainen . Aritmetiikka ja monikulmiolukujen kirja / Per. I. N. Veselovsky; Ed. ja kommentoida. I. G. Bashmakova. - M .: Nauka, 1974. - S. 48. - 328 s. Arkistoitu 24. huhtikuuta 2007 Wayback Machinessa
↑ 1 2 Matvievskaya G.P. Lukuoppi keskiaikaisessa Lähi- ja Lähi-idässä. - Tashkent: FAN, 1967. - S. 22-23. — 344 s. Nimestä huolimatta kirja jäljittää lukukäsitteen historiaa vanhimmista ajoista lähtien.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. 237.
↑ Vilenkin N. Ya. Suosittu kombinatoriikka . - M .: Nauka, 1975. - S. 10-11. — 208 s. Arkistoitu 5. kesäkuuta 2016 Wayback Machineen
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. kymmenen.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 19-24.
↑ Dickson, 2005 , s. 27.
↑ Weisstein, Eric W. Telescoping Sum Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Dickson, 2005 , s. 3.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 225.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 19.
↑ 12 Dickson , 2005 , s. 2.
↑ Jotkut äärelliset lukusarjat . Math24.ru . Haettu 14. kesäkuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 14. kesäkuuta 2019. (Venäjän kieli)
↑ Kokhas K. P. Käänteisten neliöiden summa // Matemaattinen koulutus. - 2004. - Numero. 8 . - S. 142-163 .
↑ Weinstein F.V. Numeroiden osiointi. : [ arch. 9. elokuuta 2019 ] // Kvant-lehti. - 1988. - Nro 11.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 22.
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , s. 37-38.
↑ Todellakin, anna (kaikki luvut ovat kokonaislukuja) on kokonaisluku , ja , ovat koprime. Kerrotaan molemmat puolet arvolla , saadaan: . Oikealla on kokonaisluku, joten se jakaa , ja yleisen Eukleideen lemman mukaan jakaa . ${\frac {a}{n_{1}}}+{\frac {b}{n_{2}}}$ $K$ $n_{1}$ $n_{2}$ $n_{1}$ ${\frac {bn_{1}}{n_{2}}}=Kn_{1}-a$ $n_{2}$ ${\displaystyle bn_{1))$ $n_{2}$ $b$
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , s. 38-39.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 17-19.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 33.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. 34-37.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 25-34.
↑ Lawrence Downey, Boon W. Ong . Beyond the Basel Problem: Summit of Reciprocals of Figurate Numbers arkistoitu 29. joulukuuta 2019 Wayback Machinessa
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 39-40.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. 40-41.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 42.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 43.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 44-46.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 45-46.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 46.
↑ Dickson, 2005 , s. 23.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 48.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 70-71.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. 76.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 74-75.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 239.
↑ Frederick Pollock. Fermat'n lauseen periaatteen laajentamisesta monikulmiolukujen lopullisille sarjoille, joiden erot ovat vakioita. Ehdotetulla uudella lauseella, joka soveltuu kaikkiin tilauksiin // London Royal Societylle toimitettujen papereiden tiivistelmät : lehti. - 1850. - Voi. 5 . - s. 922-924 . — .
↑ Robitaille, David F. Matematiikka ja shakki // Aritmeettinen opettaja. - 1974. - Voi. 21, ei. 5 (toukokuu). - s. 396-400. — .
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. 75.
↑ 1 2 3 4 Deza E., Deza M., 2016 , s. 78-81.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 231-232.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. 126-134.
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , s. 77-78.
↑ Watson GN Neliön pyramidin ongelma // Messenger. Matematiikka. 1918 Voi. 48. S. 1-16.
↑ 1 2 Pingviinien sanakirja uteliaista ja mielenkiintoisista numeroista . Haettu: 9. maaliskuuta 2021.
↑ Dickson, 2005 , s. kahdeksan.
↑ Beukers F., Top J. Oransseista ja integraalipisteistä tietyillä tasokuutiokäyrillä // Nieuw Archief voor Wiskunde (4). - 1988. - Voi. 6, ei. 3. - s. 203-210.
↑ Gaidenko P. P. Tieteen käsitteen kehitys (ensimmäisten tieteellisten ohjelmien muodostuminen ja kehitys) Arkistokopio 19. elokuuta 2014 Wayback Machinessa , luku 1. M .: Nauka, 1980.
↑ Ben-Menahem, Ari. Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences, osa 1 : [ arch. 11. marraskuuta 2021 ]. - Springer-Verlag, 2009. - S. 161. - (Springer-viite). — ISBN 9783540688310 .
↑ 1 2 Eukleideen alku / Käännös kreikasta ja D. D. Mordukhai-Boltovskin kommentit M. Ya. Vygodskyn ja I. N. Veselovskin toimituksellisella osallistumisella . - M. - L. : GTTI, 1948. - T. 2. - S. 10, 268-270. - (Luonnontieteen klassikot).
↑ 1 2 3 Deza E., Deza M., 2016 , s. 203-205.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 196-197.
↑ Matematiikan oppikirjan sivujen takana, 1996 , s. 51.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 200-201.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , s. 222-223.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. 208.
↑ 1 2 Deza E., Deza M., 2016 , s. 214-215.

Kirjallisuus

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Matematiikan oppikirjan sivujen takana: Aritmetiikka. Algebra. Geometria . - M . : Koulutus, 1996. - S. 48 -52. – 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa (luokat 4-6). - M . : Koulutus, 1964. - S. 84-86. — 376 s.
Deza E. Luonnonsarjan erikoisnumerot: Oppikirja .. - M . : Kirjatalo "LIBROKOM", 2011. - 240 s. - ISBN 978-5-397-01750-3 .
Deza E., Deza M. Kiharat numerot. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 s. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .
Depman I. Ya. Aritmetiikan historia. Opas opettajille . - Toim. toinen. - M . : Koulutus, 1965. - S. 150-155.
Matvievskaya G.P. Huomautuksia monikulmioluvuista Eulerin muistikirjoissa // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus . - M . : Nauka , 1983. - Nro 27 . - S. 27-49 .
Serpinsky V. Pythagoraan kolmiot. - M . : Uchpedgiz, 1959. - 111 s.
Stillwell D. Luku 3. Kreikan lukuteoria // Matematiikka ja sen historia. - Moskova-Iževsk: Tietokonetutkimuslaitos, 2004.
Dickson LE monikulmio. pyramidi- ja kuvionumerot //Numeroteorian historia . - New York: Dover, 2005. - Voi. 2: Diofantiinianalyysi. - s. 22-23.

Linkit

Kiharat numerot . OSNOVA Publishing Group. Käyttöönottopäivä: 10.2.2021. (Venäjän kieli)
Weisstein, Eric W. Figurate Number (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
- Weisstein, Eric W. Keskitetty Polygonal Numbe (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 7532594-9

kiharat numerot

tasainen

Klassinen monikulmio	kolmion muotoinen Neliö Viisikulmainen Kuusikulmainen Seitsenkulmainen Kahdeksankulmainen Kaksikulmainen
Keskitetty	kolmion muotoinen Neliö Viisikulmainen Kuusikulmainen Seitsenkulmainen Kahdeksankulmainen Yhdeksänkulmainen Dekagonaalinen

Pyramidin muotoinen	tetraedrinen Neliön muotoinen pyramidi
moniulotteinen	kuutio Octahedral Dodekaedri ikosaedrinen Tähtikuvioinen oktaedri

moniulotteinen	Pentatopic Bisquare

Jaksot ja rivit
Jaksot	Numerosarja Perusjärjestys Lineaarinen toistuva sekvenssi Fibonaccin numerot kiharat numerot Factorial Barker-sekvenssi de bruijn sekvenssi
Rivit, perus	Rivin summa Loput rivistä Ehdollinen konvergenssi Vaihteleva sarja Rivien moniosa
Numerosarja ( operaatiot numerosarjoilla )	harmoninen sarja Leibniz-sarja Sarja käänteisiä neliöitä Käänteisten alkulukujen sarja Dirichlet rivi Mercator-sarja Rivi Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
toiminnallisia rivejä	Taylor-sarja Laurent-sarja Fourier-sarja Trigonometrinen Fourier-sarja trigonometrinen sarja Wiener-sarja
Muut rivityypit	Neumann-sarja Puiseux'n rivi