Maxwellin yhtälöt

Maxwellin yhtälöt ovat differentiaali- tai integraalimuodossa oleva yhtälöjärjestelmä , joka kuvaa sähkömagneettista kenttää ja sen suhdetta sähkövarauksiin ja virtoihin tyhjiössä ja jatkuvassa väliaineessa . Yhdessä Lorentzin voiman lausekkeen kanssa, joka määrittää sähkömagneettisen kentän vaikutuksen varautuneisiin hiukkasiin, nämä yhtälöt muodostavat täydellisen klassisen sähködynamiikan yhtälöjärjestelmän , jota joskus kutsutaan Maxwell-Lorentz-yhtälöiksi. James Clerk Maxwellin 1800-luvun puoliväliin mennessä kertyneiden kokeellisten tulosten perusteella laatimilla yhtälöillä oli keskeinen rooli teoreettisen fysiikan käsitteiden kehityksessä ja niillä oli vahva, usein ratkaiseva vaikutus paitsi fysiikan kaikilla osa-alueilla. jotka liittyvät suoraan sähkömagnetismiin , mutta myös moniin myöhemmin esiin nouseviin perusteorioihin, joiden aihe ei rajoittunut sähkömagnetismiin (yksi selkeimmistä esimerkeistä tässä on erityinen suhteellisuusteoria ).

Historia

James Clerk Maxwellin muotoilemat yhtälöt syntyivät useista tärkeistä kokeellisista löydöistä, jotka tehtiin 1800- luvun alussa . Vuonna 1820 Hans Christian Oersted havaitsi [1] , että johdon läpi kulkeva galvaaninen virta saa kompassin magneettisen neulan poikkeamaan. Tämä löytö herätti laajan huomion tuon ajan tutkijoissa. Samana vuonna 1820 Biot ja Savart löysivät kokeellisesti lausekkeen [2] virran synnyttämälle magneettiselle induktiolle ( Biot-Savart-laki ), ja André Marie Ampère havaitsi myös, että vuorovaikutus tapahtuu etäisyyden päässä kahden johtimen välillä, joiden kautta virta on ohitettu. Ampere esitteli termin " elektrodynaaminen " ja esitti hypoteesin, että luonnollinen magnetismi liittyy ympyrävirtojen olemassaoloon magneetissa [3] .

Oerstedin löytämä virran vaikutus magneetiin johti Michael Faradayn ajatukseen, että magneetilla täytyy olla käänteinen vaikutus virtoihin. Pitkien kokeiden jälkeen vuonna 1831 Faraday havaitsi, että johtimen lähellä liikkuva magneetti synnyttää johtimeen sähkövirran . Tätä ilmiötä on kutsuttu sähkömagneettiseksi induktioksi . Faraday esitteli käsitteen " voimien kenttä " - tietty väliaine, joka sijaitsee varausten ja virtojen välissä . Hänen väitteensä olivat laadullisia, mutta niillä oli valtava vaikutus Maxwellin tutkimukseen.

Faradayn löytöjen jälkeen kävi selväksi, että vanhat sähkömagnetismin mallit ( Ampère , Poisson jne.) olivat epätäydellisiä. Weberin teoria , joka perustuu pitkän kantaman toimintaan , ilmestyi pian . Kuitenkin tähän mennessä kaikki fysiikka, paitsi gravitaatioteoria , käsitteli vain lyhyen kantaman toimintaa (optiikka, termodynamiikka, jatkumomekaniikka jne.). Gauss , Riemann ja monet muut tutkijat arvelivat, että valolla on sähkömagneettista luonnetta, joten sähkömagneettisten ilmiöiden teorian tulisi myös perustua lyhyen kantaman vuorovaikutukseen. Tästä periaatteesta tuli Maxwellin teorian olennainen piirre.

Kuuluisassa "Traitissa sähköstä ja magnetismista" ( 1873 ) Maxwell kirjoitti [4] :

Aloittaessani Faradayn työn tutkimista huomasin, että hänen menetelmänsä ilmiöiden ymmärtämiseen oli myös matemaattinen, vaikkakaan ei esitetty tavallisten matemaattisten symbolien muodossa. Huomasin myös, että tämä menetelmä voidaan ilmaista tavanomaisessa matemaattisessa muodossa ja siten verrata ammattimatemaatikoiden menetelmiin.

Korvaamalla Faradayn termin "voimien kenttä" käsitteellä "kenttävoimakkuus", Maxwell teki siitä teoriansa keskeisen kohteen [5] :

Jos hyväksymme tämän ympäristön hypoteesiksi, uskon, että sen tulisi olla tutkimuksessamme näkyvällä paikalla ja että meidän pitäisi yrittää rakentaa rationaalinen käsitys kaikista sen toiminnan yksityiskohdista, mikä on ollut jatkuva tavoitteeni tässä. tutkielma.

Tällainen sähködynaaminen väliaine oli täysin uusi käsite Newtonin fysiikassa. Jälkimmäinen tutki kappaleiden välistä vuorovaikutusta massan kanssa. Maxwell puolestaan kirjoitti muistiin yhtälöt, joita väliaineen on toteltava ja jotka määräävät varausten ja virtojen vuorovaikutuksen ja ovat olemassa myös niiden puuttuessa.

Analysoimalla tunnettuja kokeita Maxwell sai yhtälöjärjestelmän sähkö- ja magneettikentille. Vuonna 1855 hän kirjoitti aivan ensimmäisessä artikkelissaan " On Faraday's Lines of Force" [6] ("On Faraday's Lines of Force" [7] ) ensin sähködynamiikan yhtälöjärjestelmän differentiaalimuodossa, mutta ottamatta käyttöön siirtymää. nykyinen vielä . Tällainen yhtälöjärjestelmä kuvasi kaikki siihen mennessä tunnetut kokeelliset tiedot, mutta ei antanut varauksia ja virtoja toisiinsa eikä ennustaa sähkömagneettisia aaltoja [8] . Ensimmäistä kertaa Maxwell esitteli siirtymävirran teoksessa " On Physical Lines of Force" [9] ("On Physical Lines of Force" [10] ), joka koostui neljästä osasta ja julkaistiin vuosina 1861-1862. Yleistäen Ampèren lain , Maxwell ottaa käyttöön siirtymävirran , luultavasti suhteuttaakseen virtoja ja varauksia jatkuvuusyhtälön avulla , joka tunnettiin jo muista fysikaalisista suureista [8] . Näin ollen tässä artikkelissa täydellisen sähködynamiikan yhtälöjärjestelmän muotoilu saatiin päätökseen. Vuoden 1864 artikkelissa " Sähkömagneettisen kentän dynaaminen teoria" [ 12] tarkasteltiin aiemmin muotoiltua yhtälöjärjestelmää, jossa on 20 yhtälöä 20 tuntemattomalle. Tässä artikkelissa Maxwell muotoili ensin käsitteen sähkömagneettinen kenttä fysikaaliseksi todellisuudeksi, jolla on oma energia ja rajallinen etenemisaika, joka määrää sähkömagneettisen vuorovaikutuksen viivästyneen luonteen [8] .

Kävi ilmi, että ei vain virta, vaan myös ajan myötä muuttuva sähkökenttä (siirtymävirta) muodostaa magneettikentän . Faradayn lain vuoksi muuttuva magneettikenttä puolestaan synnyttää jälleen sähköisen. Tämän seurauksena sähkömagneettinen aalto voi levitä tyhjässä tilassa . Maxwellin yhtälöistä seurasi, että sen nopeus on yhtä suuri kuin valon nopeus , joten Maxwell päätteli valon sähkömagneettisesta luonteesta.

Jotkut fyysikot vastustivat Maxwellin teoriaa (erityisesti siirtymävirran käsite aiheutti paljon vastalauseita). Helmholtz ehdotti teoriaansa, kompromissia Weberin ja Maxwellin malleihin nähden, ja käski opiskelijaansa Heinrich Hertziä suorittamaan sen kokeellisen tarkastuksen. Hertzin kokeet vahvistivat kuitenkin yksiselitteisesti Maxwellin oikeellisuuden.

Maxwell ei käyttänyt vektorimerkintää ja kirjoitti yhtälönsä melko hankalaan komponenttimuotoon. Tutkielmassaan [13] hän käytti myös osittain kvaternion - formulaatiota. Maxwellin yhtälöiden moderni muoto ilmestyi noin vuonna 1884 Heavisiden , Hertzin ja Gibbsin työn jälkeen . He eivät vain kirjoittaneet Maxwellin järjestelmää vektorimuodossa, vaan myös symmetrisoivat sen, muotoillen sen uudelleen kentän suhteen, päästäen eroon sähköisistä ja magneettisista potentiaaleista, joilla oli merkittävä rooli Maxwellin teoriassa, koska he uskoivat näiden funktioiden olevan vain tarpeettomia aputoimintoja. matemaattiset abstraktiot [14] . On mielenkiintoista, että moderni fysiikka tukee Maxwellia, mutta ei jaa hänen varhaisten seuraajiensa negatiivista asennetta potentiaaliin. Sähkömagneettisella potentiaalilla on tärkeä rooli kvanttifysiikassa ja se esiintyy fyysisesti mitattavissa olevana suurena joissakin kokeissa, esimerkiksi Aharonov-Bohm-ilmiössä [15] .

Hertzin ja Heavisiden muotoilussa olevaa yhtälöjärjestelmää kutsuttiin jonkin aikaa Hertz-Heaviside-yhtälöiksi [16] . Klassisessa artikkelissaan "Liikkuvien kappaleiden sähködynamiikasta" [17] Einstein kutsui niitä Maxwell-Hertz-yhtälöiksi. Joskus kirjallisuudessa esiintyy myös Maxwell-Heaviside-yhtälön nimi [18] .

Maxwellin yhtälöillä oli tärkeä rooli erityissuhteellisuusteorian (SRT) syntymisessä. Joseph Larmor ( 1900 ) [19] ja hänestä riippumattomasti Henrik Lorenz ( 1904 ) [20] löysivät koordinaattien, ajan ja sähkömagneettisten kenttien muunnoksia, jotka jättävät Maxwellin yhtälöt muuttumattomiksi siirryttäessä yhdestä inertiasta toiseen. Nämä muunnokset erosivat klassisen mekaniikan Galilean muunnoksista ja Henri Poincarén [21] ehdotuksesta tunnettiin Lorentzin muunnoksina . Niistä tuli erityisen suhteellisuusteorian matemaattinen perusta .

Sähkömagneettisten aaltojen eteneminen valon nopeudella tulkittiin alun perin jonkin väliaineen, niin sanotun eetterin , häiriöiksi [22] . Lukuisia yrityksiä on tehty (katso historiallinen katsaus ) havaita Maan liikettä suhteessa eetteriin, mutta ne ovat aina antaneet negatiivisen tuloksen. [~ 1] Siksi Henri Poincaré hypoteesi tällaisen liikkeen havaitsemisen perustavanlaatuisesta mahdottomuudesta ( suhteellisuusperiaate ). Hän omistaa myös postulaatin valon nopeuden riippumattomuudesta sen lähteen nopeudesta ja näin muotoillun suhteellisuusperiaatteeseen perustuvan johtopäätöksen (yhdessä Lorentzin kanssa) Lorentzin muunnosten (ryhmän ominaisuudet ) tarkan muodon. näistä muunnoksista esitettiin myös). Nämä kaksi hypoteesia (postulaattia) muodostivat Albert Einsteinin artikkelin ( 1905 ) [17] perustan . Niiden avulla hän johti myös Lorentz-muunnokset ja hyväksyi niiden yleisen fyysisen merkityksen, korostaen erityisesti niiden soveltamismahdollisuutta siirtymiseen mistä tahansa inertiaalisesta viitekehyksestä mihin tahansa muuhun inertiaan. Tämä teos itse asiassa merkitsi erityisen suhteellisuusteorian rakentamista. SRT:ssä Lorentzin muunnokset heijastavat tilan ja ajan yleisiä ominaisuuksia, ja eetterimalli osoittautuu tarpeettomaksi. Sähkömagneettiset kentät ovat itsenäisiä esineitä, jotka ovat samanarvoisia materiaalihiukkasten kanssa.

Maxwellin yhtälöihin perustuva klassinen sähködynamiikka on useiden sovellusten taustalla sähkö- ja radiotekniikassa, mikroaaltouunissa ja optiikassa. Toistaiseksi ei ole löydetty vaikutusta, joka vaatisi yhtälöiden muuttamista. Ne osoittautuvat käyttökelpoisiksi myös kvanttimekaniikassa, kun tarkastellaan esimerkiksi varautuneiden hiukkasten liikettä ulkoisissa sähkömagneettisissa kentissä. Siksi Maxwellin yhtälöt ovat perusta aineen sähkömagneettisten ominaisuuksien mikroskooppiselle kuvaukselle.

Maxwellin yhtälöillä on kysyntää myös astrofysiikassa ja kosmologiassa, koska monilla planeetoilla ja tähdillä on magneettikenttä. Magneettikenttä määrittää erityisesti esineiden, kuten pulsareiden ja kvasaarien , ominaisuudet .

Nykyisellä ymmärrystasolla kaikki perushiukkaset ovat eri kenttien kvanttiviritystä ("kvantteja"). Esimerkiksi fotoni on sähkömagneettisen kentän kvantti ja elektroni spinorikentän kvantti [23] . Siksi Faradayn ehdottama ja Maxwellin merkittävästi kehittämä kenttälähestymistapa on nykyaikaisen perushiukkasfysiikan perusta, mukaan lukien sen standardimalli .

Historiallisesti, hieman aikaisemmin, hänellä oli tärkeä rooli kvanttimekaniikan syntymisessä Schrödingerin muotoilussa ja yleensä hiukkasten liikettä kuvaavien kvanttiyhtälöiden löytämisessä, mukaan lukien relativistiset ( Klein-Gordon- yhtälö , Diracin yhtälö ) . , vaikka alun perin analogia Maxwellin yhtälöiden kanssa nähtiin tässä melko yleisenä ideana, kun taas myöhemmin kävi ilmi, että se voidaan ymmärtää tarkemmin ja yksityiskohtaisemmin (kuten yllä on kuvattu).

Myös kenttälähestymistapa, joka palaa yleensä Faradayn ja Maxwelliin, on tullut keskeiseksi painovoimateoriassa (mukaan lukien yleinen suhteellisuusteoria ).

Maxwellin yhtälöiden ja yksiköiden tallentaminen

Useimpien fysiikan yhtälöiden kirjoittaminen ei riipu yksikköjärjestelmän valinnasta . Näin ei kuitenkaan ole sähködynamiikassa. Yksikköjärjestelmän valinnasta riippuen Maxwellin yhtälöissä esiintyy erilaisia kertoimia (vakioita). Kansainvälinen yksikköjärjestelmä (SI) on tekniikan ja opetuksen standardi, mutta fyysikkojen kiistat sen eduista ja haitoista kilpailevaan CGS -yksikköjärjestelmään verrattuna eivät väisty [24] ; täällä ja kaikkialla alla CGS tarkoittaa yksinomaan symmetristä Gaussin CGS-järjestelmää. CGS-järjestelmän etuna sähködynamiikassa on, että kaikilla sen kentillä on sama ulottuvuus ja yhtälöt on monien tutkijoiden mukaan kirjoitettu yksinkertaisemmin ja luonnollisemmin [25] . Siksi GHS:ää käytetään edelleen sähködynamiikkaa koskevissa tieteellisissä julkaisuissa ja teoreettisen fysiikan opetuksessa, esimerkiksi Landaun ja Lifshitzin teoreettisen fysiikan kursseilla . Käytännön sovelluksissa GHS:ään sisällytetyt mittayksiköt, joista monet ovat nimeämättömiä ja moniselitteisiä, ovat kuitenkin usein hankalia. SI-järjestelmä on standardoitu ja paremmin itsestään johdonmukainen; kaikki nykyaikainen metrologia on rakennettu tälle järjestelmälle [26] . Lisäksi SI-järjestelmää käytetään yleisesti yleisen fysiikan kursseilla. Tältä osin kaikki suhteet, jos ne on kirjoitettu eri tavalla SI- ja CGS-järjestelmissä, esitetään edelleen kahdessa versiossa.

Joskus (esimerkiksi joissakin Feynman Lectures on Physicsin osissa sekä nykyaikaisessa kvanttikenttäteoriassa) käytetään yksikköjärjestelmää, jossa valon nopeus, sähköiset ja magneettiset vakiot otetaan yksikkönä: . Tällaisessa järjestelmässä Maxwellin yhtälöt kirjoitetaan ilman kertoimia, kaikilla kentillä on yksi ulottuvuus ja kaikilla potentiaalilla on omat. Tällainen järjestelmä on erityisen kätevä sähködynamiikan lakien kovariantissa neliulotteisessa muotoilussa sähkömagneettisen kentän 4-potentiaalin ja 4-tensorin suhteen . $c=\varepsilon _{0}=\mu _{0}=1$

Maxwellin yhtälöt differentiaalimuodossa

Maxwellin yhtälöt ovat neljän yhtälön järjestelmä vektorimerkinnässä, joka pelkistyy komponenttien esittämisessä kahdeksaan (kaksi vektoriyhtälöä sisältää kumpikin kolme komponenttia plus kaksi skalaaria [~ 2] ) ensimmäisen kertaluvun lineaarisiin osittaisdifferentiaaliyhtälöihin 12 komponentille neljästä vektorista ja pseudovektorifunktiot ( ): $\mathbf {D} ,\;\mathbf {E} ,\;\mathbf {H} ,\;\mathbf {B}$

Nimi	GHS [~3]	SI	Likimääräinen sanallinen ilmaisu
Gaussin laki	$\nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$	Sähkövaraus on sähköisen induktion lähde.
Gaussin laki magneettikentästä	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	Magneettisia varauksia ei havaittu. [~4]
Faradayn induktiolaki	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$	Magneettisen induktion muutos synnyttää pyörteen sähkökentän. [~4]
Magneettikentän kiertolause	$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} } {\osittainen t))$	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))$	Sähkövirta ja sähköinduktion muutos synnyttävät pyörremagneettikentän

Lihavointi tarkoittaa seuraavassa vektori- ja pseudovektorisuureita , kursivoitu skalaarisuureita .

Esitellyt nimitykset:

$\rho\$ - kolmannen osapuolen sähkövarauksen tilavuustiheys (SI - yksiköissä - C / m³ );
$\mathbf {j}$ - sähkövirran tiheys (johtamisvirran tiheys) (SI-yksiköissä - A / m²); yksinkertaisimmassa tapauksessa yhden tyyppisten varauksenkuljettajien tuottaman virran tapauksessa se ilmaistaan yksinkertaisesti muodossa ] ; yleensä tämän lausekkeen keskiarvo on laskettava erityyppisille tietovälineille; $\mathbf {j} =\mathbf {u} \rho _{1}$ $\mathbf {u}$ $\rho_{1}$ $\rho$
$c$ - valon nopeus tyhjiössä (299 792 458 m / s );
$\mathbf {E}$ - sähkökentän voimakkuus (SI-yksiköissä - V / m);
$\mathbf {H}$ — magneettikentän voimakkuus (SI-yksiköissä — A/m);
$\mathbf {D}$ - sähköinen induktio (SI-yksiköissä - C / m²);
$\mathbf {B}$ - magneettinen induktio (SI-yksiköissä - Tl \ u003d Wb / m² \ u003d kg • s −2 • A −1 );
$\nabla$ on nabla-differentiaalioperaattori , kun taas: $\nabla \times \mathbf {E} \equiv \mathrm {rot} \,\mathbf {E}$ tarkoittaa vektorin roottoria , $\mathbf {E}$ $\nabla \cdot \mathbf {E} \equiv \mathrm {div} \,\mathbf {E}$ tarkoittaa vektorin divergenttiä . $\mathbf {E}$

Yllä olevat Maxwellin yhtälöt eivät vielä muodosta täydellistä sähkömagneettisen kentän yhtälöjärjestelmää , koska ne eivät sisällä sen väliaineen ominaisuuksia, jossa sähkömagneettinen kenttä virittyy . Suhteita, jotka yhdistävät suureet , , ja välineen yksittäiset ominaisuudet huomioon ottaen, kutsutaan konstitutiivisiksi yhtälöiksi . $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {j}$

Maxwellin yhtälöt integraalimuodossa

Käyttämällä Ostrogradsky-Gaussin kaavaa ja Stokes-lausetta Maxwellin differentiaaliyhtälöt voidaan antaa integraaliyhtälöiden muodossa :

Nimi	GHS	SI	Likimääräinen sanallinen ilmaisu
Gaussin laki	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =4\pi Q$	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =Q$	Sähköisen induktion virtaus suljetun pinnan läpi on verrannollinen tämän pinnan rajoittaman tilavuuden vapaan varauksen määrään.
Gaussin laki magneettikentästä	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =0$	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =0$	Magneettisen induktion virta suljetun pinnan läpi on nolla (magneettivarauksia ei ole havaittu [~ 4] ).
Faradayn induktiolaki	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =$ $-{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s}$	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =$ $-{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s}$	Avoimen pinnan läpi kulkevan magneettisen induktion vuon muutos päinvastaisella etumerkillä otettuna on verrannollinen sähkökentän kiertoon suljetulla ääriviivalla , joka on pinnan raja [~ 4] . $s$ $l$ $s$
Magneettikentän kiertolause	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =$ ${\frac {4\pi }{c}}I+{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s}$	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =$ $I+{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s}$	Vapaiden varausten kokonaissähkövirta ja sähköisen induktion virtauksen muutos avoimen pinnan läpi ovat verrannollisia magneettikentän kiertoon suljetulla ääriviivalla , joka on pinnan raja . $s$ $l$ $s$

Esitellyt nimitykset:

$s\$ - kaksiulotteinen suljettu pinta Gaussin lauseessa, joka rajoittaa tilavuutta , ja avoin pinta Faradayn ja Ampere-Maxwellin lakien tapauksessa (sen raja on suljettu ääriviiva ). $v\$ $l\$
$Q=\int \limits _{v}\rho \,dv\$ - sähkövaraus , joka on suljettu pinnan rajoittamaan tilavuuteen (SI-yksiköissä - C ); $v\$ $s\$
$I=\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {j} \cdot d\mathbf {s} \$ - pinnan läpi kulkeva sähkövirta (SI-yksiköissä - A ). $s\$

Suljetun pinnan yli integroitaessa alueelementin vektori suuntautuu tilavuudesta ulospäin. Suunta integroitaessa avoimen pinnan yli määräytyy oikeanpuoleisen ruuvin suunnasta , joka "kiertyy sisään" käännettäessä ääriviivaintegraalin ohitussuuntaan . $d\mathbf {s}$ $d\mathbf {s}$ $d\mathbf {l}$

Maxwellin lakien sanallinen kuvaus, esimerkiksi Faradayn laki, kantaa perinteen jälkiä, koska aluksi magneettivuon hallitulla muutoksella rekisteröitiin sähkökentän (tarkemmin sanottuna sähkömotorisen voiman ) ilmestyminen. Yleisessä tapauksessa Maxwellin yhtälöissä (sekä differentiaali- että integraalimuodossa) vektorifunktiot ovat yhtälöiden ratkaisemisen tuloksena määritettyjä tuntemattomia suureita. $\mathbf {E} ,\mathbf {B} ,\mathbf {D} ,\mathbf {H}$

Lorentzin voima

Maxwellin yhtälöitä ratkaistaessa varausten ja virtojen jakaumat pidetään usein annettuina. Ottaen huomioon reunaehdot ja materiaaliyhtälöt, tämä mahdollistaa sähkökentän voimakkuuden ja magneettisen induktion määrittämisen, jotka puolestaan määräävät voiman, joka vaikuttaa nopeudella liikkuvaan testivaraukseen . Tätä voimaa kutsutaan Lorentzin voimaksi : $\rho$ $\mathbf {j}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $q$ $\mathbf {u}$

GHS	SI
$\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} +{\frac {q}{c}}\,[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]$	$\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} +q\,[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]$

Voiman sähkökomponentti on suunnattu samansuuntaisesti sähkökentän kanssa, ja magneettikomponentti on kohtisuorassa varausnopeuteen ja magneettiseen induktioon nähden. Ensimmäisen magneettikentän varaukseen vaikuttavan voiman lausekkeen (sähkökomponentti tunnettiin) sai vuonna 1889 Heaviside [27] [28] kolme vuotta ennen Hendrik Lorentzia , joka johti lausekkeen tälle voimalle vuonna 1892 .

Klassisen ja kvanttifysiikan monimutkaisemmissa tilanteissa , kun sähkömagneettisten kenttien vaikutuksesta vapaat varaukset liikkuvat ja muuttavat kenttien arvoja, on tarpeen ratkaista itsestään johdonmukainen Maxwellin yhtälöiden ja liikeyhtälöiden järjestelmä. mukaan lukien Lorentzin joukot. Tällaisen täydellisen järjestelmän tarkan analyyttisen ratkaisun saamiseen liittyy yleensä suuria vaikeuksia. Tärkeä esimerkki tällaisesta yhtälöjärjestelmästä itseyhtälölle on plasmadynamiikkaa kuvaavat Vlasov-Maxwell-yhtälöt .

Dimensiovakiot Maxwellin yhtälöissä

Gaussin CGS-yksiköiden järjestelmässä kaikilla kentillä on sama ulottuvuus, ja ainoa perusvakio esiintyy Maxwellin yhtälöissä , jolla on nopeuden mitta , jota nyt kutsutaan valonnopeudeksi (se oli tämän vakion vakion yhtäläisyys). valon etenemisnopeus, joka antoi Maxwellille perusteet hypoteesille valon sähkömagneettisesta luonteesta [29] ) . $c$

SI -yksikköjärjestelmässä sähköisen induktion ja sähkökentän voimakkuuden suhteuttamiseksi tyhjiössä otetaan käyttöön sähkövakio ( ). Magneettivakio on sama suhteellisuuskerroin magneettikentälle tyhjiössä ( ). Nimet sähkövakio ja magneettivakio on nyt standardoitu. Aikaisemmin näille suureille käytettiin myös nimiä sähköinen (dielektrinen) ja magneettinen tyhjiön permeabiliteetti [30] [31] . $\varepsilon_{0}$ $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E}$ $\mu_{0}$ $\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H}$

Sähkömagneettisen säteilyn nopeus tyhjiössä ( valon nopeus ) SI :nä näkyy aaltoyhtälön johdossa :

c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0))))

SI -yksikköjärjestelmässä valon nopeus tyhjiössä määritetään tarkaksi mittavakioksi ja magneettivakio vuosien 2018–2019 muutoksen jälkeen on kokeellisesti määritetty suure. Niiden kautta sähkövakio ilmaistaan . $c$ $\mu_{0}$ $\varepsilon_{0}$

Valonnopeuden , sähköisten ja magneettisten vakioiden arvot [32] on annettu taulukossa:

Symboli	Nimi	Numeerinen arvo	SI-yksiköt
$c$	Valon nopeus vakio	$299\;792\;458$ (tarkalleen)	m / s
$\mu_{0}$	Magneettinen vakio	$1{,}256\;637\times 10^{-6}$	H /m
$\varepsilon _{0}=1/(\mu _{0}c^{2})$	Sähkövakio	$8{,}854\;188\times 10^{-12}$	f /m

Joskus otetaan käyttöön määrä, jota kutsutaan " tyhjiöaaltoimpedanssiksi" tai tyhjiö " impedanssiksi" :

Z_{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=\mu _{0}c\noin 120\pi

Ohm .

GHS - järjestelmässä . Tällä arvolla tarkoitetaan tasaisen sähkömagneettisen aallon sähkö- ja magneettikenttien vahvuuksien amplitudien suhdetta tyhjiössä . Aaltoresistanssin fyysistä merkitystä on kuitenkin mahdotonta selittää tälle suurelle, koska samassa CGS-järjestelmässä sen mitta ei ole sama kuin vastuksen mitta [33] . $Z_{0}=1$

Maxwellin yhtälöt välineessä

Täydellisen sähködynamiikan yhtälöjärjestelmän saamiseksi on tarpeen lisätä Maxwellin yhtälöjärjestelmään konstitutiiviset yhtälöt, jotka yhdistävät suureet , , , , , joissa väliaineen yksittäiset ominaisuudet otetaan huomioon. Tapa materiaaliyhtälöiden saamiseksi annetaan väliaineen polarisaation , magnetisoinnin ja sähkönjohtavuuden molekyyliteorioiden avulla käyttäen väliaineen idealisoituja malleja. Soveltamalla niihin klassisen tai kvanttimekaniikan yhtälöitä sekä tilastollisen fysiikan menetelmiä , on mahdollista muodostaa yhteys toisaalta vektorien , ja toisaalta välillä . $\mathbf {j}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {j}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

Aiheeseen liittyvät kulut ja virrat

Kun sähkökenttä kohdistetaan dielektriseen materiaaliin, jokainen sen molekyyli muuttuu mikroskooppiseksi dipoliksi . Tässä tapauksessa atomien positiiviset ytimet siirtyvät hieman kentän suuntaan ja elektronikuoret vastakkaiseen suuntaan. Lisäksi joidenkin aineiden molekyyleillä on aluksi dipolimomentti. Dipolimolekyylit pyrkivät orientoitumaan kentän suuntaan. Tätä vaikutusta kutsutaan dielektriseksi polarisaatioksi . Tällainen molekyylien sitoutuneiden varausten siirtyminen tilavuudessa vastaa jonkinlaisen varausjakauman ilmaantumista pinnalle, vaikka kaikki polarisaatioprosessiin osallistuvat molekyylit pysyvät neutraaleina (katso kuva).

Vastaavasti magneettista polarisaatiota ( magnetisaatiota ) tapahtuu materiaaleissa, joissa niiden ainesosissa olevilla atomeilla ja molekyyleillä on magneettimomentteja , jotka liittyvät ytimien ja elektronien spin- ja kiertomomenttiin . Atomien kulmamomentit voidaan esittää ympyrävirroina. Materiaalin rajalla tällaisten mikroskooppisten virtojen kokonaisuus vastaa pintaa pitkin kiertäviä makroskooppisia virtoja huolimatta siitä, että varausten liike yksittäisissä magneettisissa dipoleissa tapahtuu vain mikromittakaavassa (sidotut virrat).

Tarkasteltavat mallit osoittavat, että vaikka ulkoinen sähkömagneettinen kenttä vaikuttaa yksittäisiin atomeihin ja molekyyleihin, sen käyttäytymistä voidaan monissa tapauksissa tarkastella yksinkertaistetusti makroskooppisessa mittakaavassa, mikroskooppisen kuvan yksityiskohdat huomioimatta.

Väliaineessa ulkoiset sähkö- ja magneettikentät aiheuttavat aineen polarisaatiota ja magnetisoitumista, joita aineen polarisaatiovektori ja magnetointivektori kuvaavat makroskooppisesti , ja jotka aiheutuvat sitoutuneiden varausten ja virtojen ilmaantumisesta . Tämän seurauksena väliaineessa oleva kenttä osoittautuu ulkoisten kenttien ja sidottujen varausten ja virtojen aiheuttamien kenttien summaksi. $\mathbf {P}$ $\mathbf {M}$ $\rho _{b}\$ $\mathbf {j} _{b}$

GHS	SI
$\rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P}$ $\mathbf {j} _{b}=c\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t))$	$\rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P}$ $\mathbf {j} _{b}=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t))$

Aineen polarisaatio ja magnetoituminen liittyvät sähkö- ja magneettikenttien intensiteetin ja induktion vektoreihin seuraavilla suhteilla: $\mathbf {P}$ $\mathbf {M}$

GHS	SI
$\mathbf {D} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P}$ $\mathbf {B} =\mathbf {H} +4\pi \mathbf {M}$	$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$ $\mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M})$

Siksi, ilmaisemalla vektorit ja kautta , , ja , voimme saada matemaattisesti ekvivalentin Maxwellin yhtälöjärjestelmän: $\mathbf {D}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\rho _{b}\$ $\mathbf {j} _{b}$

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi [\rho _{f}+\rho _{b}]$	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}[\rho _{f}+\rho _{b}]$
$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$
$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}[\mathbf {j} _{b}+\mathbf {j} _{f}]+{\frac {1} {c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}[\mathbf {j} _{b}+\mathbf {j} _{f}]+{\frac {1}{c^{2} )){\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t))$

Tässä oleva indeksi ilmaisee ilmaisia maksuja ja virtoja. Maxwellin yhtälöt tässä muodossa ovat perustavanlaatuisia siinä mielessä, että ne eivät riipu aineen sähkömagneettisen laitteen mallista. Varausten ja virtojen erottaminen vapaiksi ja sidotuiksi sallii sinun "piiloutua" väliaineessa olevan sähkömagneettisen kentän monimutkaiseen mikroskooppiseen luonteeseen. $f\$ $\rho _{b}\$ $\mathbf {j} _{b}$ $\mathbf {P} ,\mathbf {M}$ $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$

Materiaaliyhtälöt

Materiaaliyhtälöt muodostavat yhteyden ja välillä . Tässä tapauksessa ympäristön yksilölliset ominaisuudet otetaan huomioon. Käytännössä konstitutiivisissa yhtälöissä käytetään yleensä kokeellisesti määritettyjä kertoimia (jotka yleensä riippuvat sähkömagneettisen kentän taajuudesta), jotka on kerätty erilaisiin fysikaalisten suureiden viitekirjoihin [34] . $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$ $\mathbf {E} ,\mathbf {B}$

Heikoissa sähkömagneettisissa kentissä , jotka muuttuvat suhteellisen hitaasti avaruudessa ja ajassa , isotrooppisten , ei- ferromagneettisten ja ei- ferrosähköisten välineiden tapauksessa pätee approksimaatio, jossa polarisoituvuus ja magnetoituminen riippuvat lineaarisesti käytetyistä kentistä:

GHS	SI
$\mathbf {P} =\chi _{e}\mathbf {E}$ $\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H}$	$\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E}$ $\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H},$

jossa otetaan käyttöön dimensittömät vakiot: on aineen dielektrinen susceptibiliteetti ja magneettinen suskeptibiliteetti ( SI -yksikköjärjestelmässä nämä vakiot ovat useita kertoja suurempia kuin Gaussin CGS -järjestelmässä ). Sen mukaisesti sähköisten ja magneettisten induktioiden konstitutiiviset yhtälöt kirjoitetaan seuraavassa muodossa: $\chi _{e}\$ $\chi _{m}\$ $4\pi\$

GHS	SI
$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} =(1+4\pi \chi _{e})\mathbf {E}$ $\mathbf {B} =\mu \mathbf {H} =(1+4\pi \chi _{m})\mathbf {H}$	$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\varepsilon \mathbf {E} =\varepsilon _{0}(1+\chi _{e})\mathbf {E}$ $\mathbf {B} =\mu _{0}\mu \mathbf {H} =\mu _{0}(1+\chi _{m})\mathbf {H},$

missä on suhteellinen permittiivisyys , on suhteellinen magneettinen permeabiliteetti . SI -järjestelmässä syntyviä mittasuureita (SI-yksiköissä - F / m ) ja (SI-yksiköissä - H / m ) kutsutaan vastaavasti absoluuttiseksi permittiivisyydeksi ja absoluuttiseksi magneettiseksi permeabiliteetiksi . $\varepsilon\$ $\mu\$ $\varepsilon _{0}\varepsilon$ $\mu _{0}\mu$

Johtimissa on suhde virrantiheyden ja sähkökentän voimakkuuden välillä, hyvässä likimäärässä, joka ilmaistaan Ohmin lailla :

\mathbf {j} =\sigma \mathbf {E} ,

missä on väliaineen ominaisjohtavuus (SI-yksiköissä — Ohm −1 • m −1 ). $\sigma$

Anisotrooppisessa väliaineessa ja ovat tensorit ja . _ _ Pääakseleiden koordinaattijärjestelmässä ne voidaan kuvata diagonaalimatriiseilla . Tässä tapauksessa kenttävoimakkuuksien ja induktioiden välisellä suhteella on eri kertoimet kullekin koordinaatille. Esimerkiksi SI -järjestelmässä : $\varepsilon$ $\mu$ $\sigma$ ${\hattu {\varepsilon ))$ ${\hattu {\mu ))$ ${\hattu {\sigma ))$

{\begin{array}{lll}D_{x}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{xx}\,E_{x},~~~~~&D_{y}=\varepsilon _{0}\ varepsilon _{yy}\,E_{y},~~~~~&D_{z}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{zz}\,E_{z},\\[3mm]B_{x} =\mu _{0}\mu _{xx}\,H_{x},~~~~~&B_{y}=\mu _{0}\mu _{yy}\,H_{y},~ ~~~~&B_{z}=\mu _{0}\mu _{zz}\,H_{z}.\end{array}}

Vaikka laajalle aineluokalle lineaarinen approksimaatio heikkoille kentille pätee hyvällä tarkkuudella, yleensä ja välillä voi olla epälineaarinen suhde . Tässä tapauksessa väliaineen permeabiliteetit eivät ole vakioita, vaan riippuvat kentän suuruudesta tietyssä pisteessä. Lisäksi monimutkaisempi suhde ja havaitaan ympäristöissä, joissa on spatiaalisia tai ajallisia dispersioita . Avaruusdispersion tapauksessa virrat ja varaukset tietyssä avaruuden pisteessä riippuvat kentän suuruudesta, ei vain samassa pisteessä, vaan myös naapuripisteissä. Aikadispersion tapauksessa väliaineen polarisaatio ja magnetoituminen eivät määräydy vain kentän suuruuden perusteella tietyllä ajanhetkellä, vaan riippuvat myös kenttien suuruudesta aikaisemmilla ajanhetkillä. Yleisimmissä epälineaaristen ja epähomogeenisten väliaineiden, joissa on dispersio, tapauksessa konstitutiiviset yhtälöt SI-järjestelmässä ovat integraalimuodossa: $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$ $\mathbf {E} ,\mathbf {B}$ $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$ $\mathbf {E} ,\mathbf {B}$

\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int \limits _{v}\!\int \limits _{-\infty }^{t}{\ hattu {\chi }}_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',tt',\mathbf {E} ,\mathbf {H} )\,\mathbf {E} (\mathbf { r} ',t')\,dt'd^{3}\mathbf {r} ';

\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)=\int \limits _{v}\!\int \limits _{-\infty }^{t}{\hat {\chi )) _{m}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',tt',\mathbf {E} ,\mathbf {H} )\,\mathbf {H} (\mathbf {r} ',t' )\,dt'd^{3}\mathbf {r} '.

Samanlaiset yhtälöt saadaan Gaussin CGS-järjestelmässä (jos asetamme muodollisesti ). $\varepsilon_{0}=1$

Yhtälöt isotrooppisissa ja homogeenisissa väliaineissa ilman dispersiota

Isotrooppisissa ja homogeenisissa väliaineissa, joissa ei ole dispersiota, Maxwellin yhtälöt ovat seuraavassa muodossa:

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon ))$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ $\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j} +{\frac {\varepsilon \mu }{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t))$	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon _{0}}}$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$ $\nabla \times \mathbf {B} ={\mu \mu _{0}}\mathbf {j} +{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial \ mathbf {E} }{\osittainen t))$

Optisella taajuusalueella käytetään permittiivisyyden sijasta taitekerrointa , joka näyttää eron monokromaattisen valoaallon etenemisnopeuden välillä väliaineessa ja valon nopeuden välillä tyhjiössä. Tässä tapauksessa optisella alueella permittiivisyys on yleensä huomattavasti pienempi kuin matalilla taajuuksilla, ja useimpien optisten välineiden magneettinen permeabiliteetti on käytännössä yhtä suuri kuin yksikkö. Useimpien läpinäkyvien materiaalien taitekerroin vaihtelee välillä 1 - 2 ja saavuttaa joidenkin puolijohteiden taitekertoimen [35] . Tyhjiössä sekä permittiivisyys että permeabiliteetti ovat yhtä kuin yksikkö: . $\varepsilon$ $n={\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $\varepsilon=\mu=1$

Koska Maxwellin yhtälöt lineaarisessa väliaineessa ovat lineaarisia kenttien ja vapaiden varausten ja virtojen suhteen , superpositioperiaate pätee : $(\mathbf {E} ,\mathbf {B})$ $(\rho ,\mathbf {j} )$

Jos varausten ja virtojen jakaumat luovat sähkömagneettisen kentän komponenteilla ja muut jakaumat vastaavasti kentän , niin lähteiden luoma kokonaiskenttä on yhtä suuri kuin . $(\rho _{1},\mathbf {j} _{1})$ $(\mathbf {E} _{1},\mathbf {B} _{1})$ $(\rho _{2},\mathbf {j} _{2})$ $(\mathbf {E} _{2},\mathbf {B} _{2})$ $(\rho _{1}+\rho _{2},\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2})$ $(\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2},\mathbf {B} _{1}+\mathbf {B} _{2})$

Kun sähkömagneettiset kentät etenevät lineaarisessa väliaineessa ilman varauksia ja virtoja, yhtälöiden yksittäisten ratkaisujen summa täyttää myös Maxwellin yhtälöt.

Rajaehdot

Monissa tapauksissa epähomogeeninen väliaine voidaan esittää kokoelmana paloittain jatkuvia homogeenisia alueita, joita erottavat äärettömän ohuet rajat. Tässä tapauksessa on mahdollista ratkaista Maxwellin yhtälöt kullakin alueella "liittämällä" tuloksena olevat ratkaisut rajoilla. Erityisesti harkittaessa ratkaisua äärellisessä tilavuudessa on tarpeen ottaa huomioon tilavuuden rajojen olosuhteet ympäröivän äärettömän avaruuden kanssa. Rajaehdot saadaan Maxwellin yhtälöistä siirtymällä rajaan. Helpoin tapa tehdä tämä on käyttää Maxwellin yhtälöitä integraalimuodossa.

Valitsemalla toisesta yhtälöparista integrointikäyrä suorakaiteen muotoisena, äärettömän pienikorkuisena kehyksenä, joka ylittää kahden väliaineen rajapinnan, voimme saada seuraavan suhteen kenttäkomponenttien välille kahdella rajan viereisellä alueella [36] :

GHS	SI
$(\mathbf {E} _{1}-\mathbf {E} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$ , $(\mathbf {H} _{1}-\mathbf {H} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}={\frac {4\pi }{c}}\mathbf { j} _{s}$ ,	$(\mathbf {E} _{1}-\mathbf {E} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$ , $(\mathbf {H} _{1}-\mathbf {H} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {j} _{s}$ ,

missä on yksikköpinnan normaalivektori , joka on suunnattu väliaineesta ;pituuteen 1 väliaineeseen 2 ja jonka mitta on käänteinen Ensimmäinen rajaehto voidaan tulkita jatkuvuudeksi sähkökenttävoimakkuuksien tangentiaalikomponenttien alueiden rajalla (toisesta seuraa, että magneettikentän voimakkuuden tangentiaaliset komponentit ovat jatkuvia vain ilman pintavirtoja raja). $\mathbf {n} _{1-2}$ $\mathbf {j} _{s}$

Vastaavasti valitsemalla integrointialue ensimmäisestä integraaliyhtälöparista rajapinnan ylittävän äärettömän pienen sylinterin muodossa siten, että sen generaattorit ovat kohtisuorassa rajapintaan nähden, voidaan saada:

GHS	SI
$(\mathbf {D} _{1}-\mathbf {D} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-4\pi \rho _{s}$ , $(\mathbf {B} _{1}-\mathbf {B} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$ ,	$(\mathbf {D} _{1}-\mathbf {D} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-\rho _{s}$ , $(\mathbf {B} _{1}-\mathbf {B} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$ ,

missä on vapaiden varausten pintatiheys (eli se ei sisällä sidotut varaukset, jotka syntyvät väliaineen rajalla itse väliaineen dielektrisestä polarisaatiosta johtuen). $\rho _{s}\$

Nämä rajaehdot osoittavat magneettisen induktiovektorin normaalikomponentin jatkuvuuden (sähköisen induktion normaalikomponentti on jatkuva vain, jos rajalla ei ole pintavarauksia).

Jatkuvuusyhtälöstä voidaan saada virtojen rajaehto:

(\mathbf {j} _{1}-\mathbf {j} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}={\frac {\partial }{\partial t))\rho _{s}

Tärkeä erikoistapaus on eristeen ja ihanteellisen johtimen välinen rajapinta . Koska ihanteellisella johtimella on ääretön johtavuus, sähkökenttä sen sisällä on nolla (muuten se synnyttäisi äärettömän virrantiheyden). Sitten muuttuvien kenttien yleisessä tapauksessa Maxwellin yhtälöistä seuraa, että magneettikenttä johtimessa on nolla. Tämän seurauksena sähkö- ja normaalimagneettikenttien tangentiaalinen komponentti ihanteellisen johtimen rajalla on nolla:

GHS	SI
$\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$ , $\mathbf {H} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{s}$ , $\mathbf {D} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-4\pi \rho _{s}$ , $\mathbf {B} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$ ,	$\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$ , $\mathbf {H} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {j} _{s}$ , $\mathbf {D} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-\rho _{s}$ , $\mathbf {B} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$ ,

Luonnonsuojelulainsäädäntö

Maxwellin yhtälöt sisältävät sähkömagneettisen kentän varauksen ja energian säilymisen lait.

Jatkuvuusyhtälö

Kenttälähteitä ( ) ei voi asettaa mielivaltaisesti. Soveltamalla divergenssioperaatiota neljänteen yhtälöön (Ampere-Maxwellin laki) ja käyttämällä ensimmäistä yhtälöä (Gaussin laki), voimme saada jatkuvuusyhtälön varauksille ja virroille: $\rho ,~\mathbf {j}$

\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t))=0.

Jatkuvuusyhtälön johtaminen

Poikkeama roottorista on nolla, joten SI -järjestelmän neljännelle Maxwell-yhtälölle (Ampère–Maxwellin laki) meillä on:

$0=\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ]=\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \nabla \cdot \mathbf {D} }{\partial t)) =\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t)),$

jossa ensimmäinen yhtälö korvataan viimeisellä yhtälöllä (Gaussin laki).

Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa Ostrogradsky–Gaussin integraalilausetta käyttäen seuraavassa muodossa:

\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {j} \cdot d\mathbf {s} =-{\frac {d}{dt))\int \limits _{v}\rho \,dv.

Yhtälön vasemmalla puolella on suljetun pinnan läpi kulkeva kokonaisvirta . Oikealla puolella - muutos latausajan mukaan äänenvoimakkuuden sisällä . Näin ollen varauksen muutos tilavuuden sisällä on mahdollista vain sen sisään- tai ulosvirtauksella tilavuutta rajoittavan pinnan läpi. $s\$ $v\$ $s\$

Jatkuvuusyhtälö, joka vastaa varauksen säilymisen lakia, ylittää paljon klassisen sähködynamiikan rajat ja pysyy voimassa myös kvanttiteoriassa. Siksi tätä yhtälöä sinänsä voidaan pitää sähkömagneettisen teorian perustana. Tällöin esimerkiksi siirtymävirran (sähkökentän aikaderivaatta) on välttämättä oltava läsnä Ampèren laissa.

Noudata sähkö- ja magneettikenttien Gaussin lakeja aina Maxwellin yhtälöistä roottoreille ja jatkuvuusyhtälölle mielivaltaisiin ajasta riippumattomiin funktioihin.

Energian säilymislaki

Jos kerrotaan kolmas Maxwellin yhtälö differentiaalimuodossa (Faradayn laki) skalaarisesti luvulla ja neljäs (Ampere-Maxwellin laki) ja lasketaan yhteen tulokset, saadaan Poyntingin lause : $\mathbf {H}$ $-\mathbf {E}$

\nabla \cdot \mathbf {S} +{\frac {\partial }{\partial t))\left(w_{E}+w_{H}\right)=-\mathbf {E} \mathbf {j} ,

missä

GHS	SI
$\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {H}$ $w_{E}={\frac {1}{8\pi }}\,\mathbf {E} \cdot \mathbf {D}$ $w_{H}={\frac {1}{8\pi }}\,\mathbf {H} \cdot \mathbf {B}$	$\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$ $w_{E}={\frac {1}{2}}\,\mathbf {E} \cdot \mathbf {D}$ $w_{H}={\frac {1}{2}}\,\mathbf {H} \cdot \mathbf {B}$

Poyntingin lauseen johtaminen

Käyttämällä kolmatta ja neljättä Maxwell-yhtälöä differentiaalimuodossa SI -järjestelmässä saat:

\mathbf {E} \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ]=\mathbf {E} \mathbf {j} +\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{ \partial t)),~~~~~~~~~~~~~\mathbf {H} \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ]=-\mathbf {H} \cdot {\frac { \partial \mathbf {B} }{\partial t}}.

Yhtälöiden vasemman puolen erotus taitetaan seuraavan vektorianalyysikaavan mukaisesti (tuotteen johdannainen):

$\nabla \cdot [\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]=\mathbf {H} \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ]-\mathbf {E} \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ].$

Lineaarisissa, mutta mahdollisesti ei-isotrooppisissa väliaineissa intensiteettien ja induktioiden välillä on lineaarinen suhde. Esimerkiksi sähkökenttään . Jos on ajasta riippumaton symmetrinen matriisi, niin: $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\,{\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {E}$ ${\hattu {\varepsilon ))$

$\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))=\varepsilon _{0}\,\mathbf {E} \cdot {\hat {\varepsilon ))\ cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t))={\frac {\varepsilon _{0)){2))\,{\frac {\partial (\mathbf {E} \ cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {E} )}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial (\mathbf {E} \cdot \ mathbf {D} )}{\partial t}}.$

Sama koskee magneettikenttää.

Vektoria kutsutaan Poynting-vektoriksi (sähkömagneettisen energian vuotiheysvektori) ja se määrittää yksikköpinta-alalla aikayksikköä kohti siirtyvän sähkömagneettisen energian määrän. Poynting-vektorin integraali etenevän aallon osan yli määrittää sen tehon. On tärkeää huomata, että kuten Heaviside huomautti ensimmäistä kertaa , vain Poynting-vektorin irrotaatio-osalla on energiavirran fyysinen merkitys. Pyörreosa, jonka divergenssi on yhtä suuri kuin nolla, ei liity energian siirtoon. Huomaa, että Heaviside johti säilyttämislain lausekkeen Poyntingista riippumatta . Venäjänkielisessä kirjallisuudessa Poynting-vektoria kutsutaan usein myös " Umov - Poynting-vektoriksi ". $\mathbf {S}$

Sähkö- ja magneettikenttien suuret ja määrittävät tilavuusenergiatiheydet. Virtojen ja niihin liittyvien häviöiden puuttuessa Poyntingin lause on jatkuvuusyhtälö sähkömagneettisen kentän energialle. Tässä tapauksessa integroimalla se jonkin suljetun tilavuuden yli ja käyttämällä Ostrogradsky-Gaussin lausetta , voimme saada sähkömagneettisen kentän energian säilymislain : $me}\$ $w_{H}\$

\oint \limits _{s}\mathbf {S} \cdot d\mathbf {s} +{\frac {d}{dt))\int \limits _{v}(w_{E}+w_ {H})\,dv=0.

Tämä yhtälö osoittaa, että sisäisten häviöiden puuttuessa tilavuuden sähkömagneettisen kentän energian muutos tapahtuu vain tämän tilavuuden rajan läpi siirtyneen sähkömagneettisen säteilyn tehon vuoksi.

Poynting-vektori liittyy sähkömagneettisen kentän liikemäärään [37] :

\mathbf {p} ={\frac {1}{c^{2}}}\int \mathbf {S} \,dv,

jossa integrointi suoritetaan koko tilassa. Tietystä pinnasta absorboituva tai heijastuva sähkömagneettinen aalto siirtää siihen osan liikemäärästään, joka ilmenee valopaineena . Tämän vaikutuksen havaitsi ensimmäisen kerran kokeellisesti PN Lebedev vuonna 1899 .

Potentiaalit

Skalaari- ja vektoripotentiaalit

Faradayn laki ja Gaussin laki magneettiselle induktiolle toteutuvat samalla tavalla, jos sähkö- ja magneettikentät ilmaistaan skalaari- ja vektoripotentiaalina [ 38] : $\varphi$ $\mathbf {A}$

GHS	SI
$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {1}{c))\,{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))$ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$	$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))$ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

Todiste

Koska Gaussin lain mukaan magneettikentän induktion divergentti on nolla, niin Helmholtzin lauseen mukaan on olemassa sellainen vektorikenttä, että Tällöin vektorin ( CGS -järjestelmässä ) tai vektorin ( SI -järjestelmä ) täyttää ehdon Esimerkiksi SI -järjestelmässä saamme: $\mathbf {B}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .$ $\mathbf {E} '=\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$ $\mathbf {E} '=\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))$ $\nabla \times \mathbf {E} '=0.$

\nabla \times \mathbf {E'} =\nabla \times \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right)=\nabla \times \mathbf {E} +\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))=\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial }{\partial t ))\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))+{\frac {\partial \mathbf {B} } {\osittainen t))=0.

Ehdosta, että roottori on yhtä suuri kuin nolla, Helmholtzin lauseen mukaan seuraa, että on olemassa skalaarifunktio, joka $\varphi ,$ $\mathbf {E} '=-\nabla \varphi .$

Käänteinen korvaaminen toimii samalla tavalla. Jos sähkö- ja magneettikentät ilmaistaan skalaari- ja vektoripotentiaalina yllä olevien kaavojen mukaisesti, magneettikentän induktion hajonta on automaattisesti yhtä suuri kuin nolla: $\varphi$ $\mathbf {A}$

\nabla \cdot \mathbf {B} =\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf {A} ]=[\nabla \times \nabla ]\cdot \mathbf {A} =0.

Sähkökentän voimakkuuden osalta Faradayn laki täyttyy automaattisesti. Esimerkiksi SI -järjestelmässä saamme: $\mathbf {E}$

\nabla \times \mathbf {E} =\nabla \times \left(-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right)=-\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}).

Tietyille sähkö- ja magneettikentille skalaari- ja vektoripotentiaalit on määritelty moniselitteisesti. Jos on mielivaltainen koordinaattien ja ajan funktio, niin seuraava muunnos ei muuta kenttien arvoa: $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\psi\$

GHS	SI
$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi$ $\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$	$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi$ $\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial \psi }{\partial t)).$

Tällaisilla muunnoksilla on tärkeä rooli kvanttielektrodynamiikassa ja ne ovat sähkömagneettisen vuorovaikutuksen paikallisen mittaussymmetrian taustalla . Paikallinen mittarin symmetria tuo riippuvuuden koordinaateista ja ajasta globaaliin ulottuman symmetriavaiheeseen, joka Noetherin lauseen mukaan johtaa varauksen säilymisen lakiin .

Potentiaalien määritelmän moniselitteisyys osoittautuu sopivaksi asetettaessa niille lisäehtoja, joita kutsutaan mittariksi . Tästä johtuen sähködynamiikan yhtälöt saavat yksinkertaisemman muodon. Tarkastellaan esimerkiksi Maxwellin yhtälöitä homogeenisissa ja isotrooppisissa väliaineissa , joilla on dielektrinen ( ) ja magneettinen ( ) permeabiliteetti. Datalle ja on aina mahdollista valita toiminto siten, että Lorentzin mittarin ehto [39] täyttyy : $\varepsilon$ $\mu\$ $\varphi$ $\mathbf {A}$ $f$

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {\varepsilon \mu }{c))\,{\frac {\partial \varphi }{\partial t))=0$	$\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}\,{\frac {\partial \varphi }{\partial t))=0.$

Tässä tapauksessa loput Maxwell-yhtälöt homogeenisissa ja isotrooppisissa väliaineissa voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa:

GHS	SI
$\square \varphi =-4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon }}$ $\square \mathbf {A} =-{\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j}$	$\square \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon _{0}}}$ $\square \mathbf {A} =-\mu \mu _{0}\,\mathbf {j},$

missä on d'Alembert-operaattori , jolla on sekä CGS- että SI -järjestelmässä muoto: $\neliö$

\square =\Delta -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}.

Siten 8 Maxwell-yhtälöä (ensimmäisen kertaluvun yhtälöt) sähkömagneettisen kentän komponenteille (2 vektoria ja 2 skalaaria) voidaan pelkistää 4 yhtälöksi, mutta jo toisen kertaluvun (skalaari for ja vektori for ) potentiaalien avulla. . Näiden yhtälöiden ratkaisuja mielivaltaisesti liikkuvalle pistevaraukselle kutsutaan Lienard-Wiechertin potentiaaliksi [40] . $\varphi$ $\mathbf {A}$

On mahdollista ottaa käyttöön muita kalibrointeja. Joten useiden ongelmien ratkaisemiseksi Coulombin mittari osoittautuu käteväksi :

\nabla \cdot \mathbf {A} =0

Tässä tapauksessa:

GHS	SI
$\Delta \varphi =-4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon }}$ $\square \mathbf {A} =-{\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j} _{\bot }$	$\Delta \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon _{0))}$ $\square \mathbf {A} =-\mu \mu _{0}\,\mathbf {j} _{\bot },$

missä on virran solenoidiosa ( ). $\mathbf {j} _{\bot }$ $\nabla \mathbf {\cdot } {j}_{\bot }=0$

Ensimmäinen yhtälö kuvaa Coulombin voiman hetkellistä (ilman viivettä) vaikutusta, koska Coulombin mittari ei ole invariantti Lorentzin muunnoksissa. Tässä tapauksessa Coulombin vuorovaikutuksen energia voidaan erottaa muista vuorovaikutuksista, mikä helpottaa kentän kvantisointia Hamiltonin formalismissa [41] .

Vektoripotentiaalilla on tärkeä rooli sähködynamiikassa ja kvanttikenttäteoriassa, mutta sähkömagneettisten aaltojen etenemisprosessien tutkimiseksi virtojen ja varausten puuttuessa sen käyttöönotto ei usein johda järjestelmän yksinkertaistamiseen, vaan tulee yksinkertainen sähkö- ja magneettikenttävektorien korvaaminen toisella samanlaisella vektorilla, jota kuvataan samoilla yhtälöillä. Joten harmonisilla kentillä vektoripotentiaali on yksinkertaisesti verrannollinen sähkökenttään (tässä tapauksessa skalaaripotentiaali voidaan asettaa nollaksi).

Hertz-vektorit

Vuonna 1887 Heinrich Hertz ehdotti Maxwellin yhtälöiden suoran ratkaisemisen sijasta kahdelle sähkö- ja magneettikenttien tai skalaari- ja vektoripotentiaalin vektorifunktiolle siirtymistä uuteen yksivektorifunktioon, joka nyt kantaa Hertzin sähkövektorin nimeä ja mahdollistaa joissakin tapauksissa. tapauksia sähködynaamisten ongelmien ratkaisun yksinkertaistamiseksi vähentämällä ne skalaariaaltoyhtälön ratkaisuksi. ${\mathbf {\Pi } }^{e}$

GHS	SI
$\varphi =-\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e},$ $\mathbf {A} ={\frac {\varepsilon \mu }{c)){\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e)){\partial t)),$	$\varphi =-\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e},$ $\mathbf {A} ={\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e)){\partial t)),$
$\mathbf {E} ^{e}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e})-{\frac {\mu \varepsilon }{c^{2))}{\frac { \partial ^{2}\mathbf {\Pi } ^{e)){\partial t^{2))},$ $\mathbf {B} ^{e}={\frac {\mu \varepsilon }{c))\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e)){\partial t)) .$	$\mathbf {E} ^{e}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e})-{\frac {\mu \varepsilon }{c^{2))}{\frac { \partial ^{2}\mathbf {\Pi } ^{e)){\partial t^{2))},$ $\mathbf {B} ^{e}={\frac {\mu \varepsilon }{c^{2))}\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e)){\ osittainen t}}.$

Huomaa, että skalaari- ja vektoripotentiaalit , jotka ilmaistaan Hertzi-vektorina, täyttävät automaattisesti Lorentzin mittarin ehdon . Hertzi-vektori ottaa huomioon kaikki ilmaisiin maksuihin liittyvät kentät ja niiden virrat. $\varphi$ $\mathbf {A}$

Korvaamalla sähkövektorin kenttien lausekkeet kahteen viimeiseen Maxwell-yhtälöön, saadaan [42] [43] :

GHS	SI
$\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e ))}{\partial t^{2))}=-{\frac {4\pi }{\varepsilon ))\mathbf {P} _{f},$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e)) }{\partial t^{2))}=-{\frac {4\pi }{\varepsilon }}\left[\mathbf {P} +\mathbf {P} _{f}\right].$	$\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e ))}{\partial t^{2))}=-{\frac {1}{\varepsilon \varepsilon _{0))}\mathbf {P} _{f},$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e)) }{\partial t^{2))}=-{\frac {1}{\varepsilon \varepsilon _{0))}\left[\mathbf {P} +\mathbf {P} _{f}\right ].$

Tässä esitellään vapaiden varausten ja virtojen polarisaatiovektori:

\mathbf {j} _{f}={\frac {\partial }{\partial t}}{\mathbf {P} }_{f},~~~~~~~~~~~~~~ ~ \rho _{f}=-\nabla \cdot {\mathbf {P} }_{f},

(tässä tapauksessa latauksen jatkuvuusyhtälö täyttyy automaattisesti).

Hertzin sähkövektori määräytyy siis aaltoyhtälöillä, joiden oikealla puolella on vapaista tai vapaista ja sidotuista varauksista johtuva polarisoituvuus eli sähköiset dipolimomentit.

Vuonna 1901 italialainen fyysikko Augusto Righi esitteli magneettisen vektorin, joka yhdistettiin sähköiseen Hertz-vektoriin, jota perinteisesti kutsutaan myös nimellä Hertz .

GHS	SI
$\varphi=0,$ $\mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m},$	$\varphi=0,$ $\mathbf {A} ={\frac {1}{c}}\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m},$
$\mathbf {D} ^{m}=-{\frac {\varepsilon \mu }{c))\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{m)){\partial t} },$ $\mathbf {H} ^{m}=\nabla \times [\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m}].$	$\mathbf {D} ^{m}=-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{m)){ \partial-t}},$ $\mathbf {H} ^{m}=\nabla \times [\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m}].$

Koska Hertzin magneettivektorin kuvaamat kentät eivät ole riippuvaisia vapaista varauksista ja virroista, eikä magneettisia monopoleja ole löydetty, potentiaalit täyttävät Lorentzin mittarin rappeutuneessa muodossa, ns. Coulombin mittana ( , ). $\varphi=0$ $\nabla \cdot \mathbf {A} =0$

Vastaavasti voidaan saada yhtälöt Hertzin magneettipotentiaalille korvaamalla sen kautta ilmaistut kentät kolmanteen ja neljänteen Maxwellin yhtälöön ilman virtaa:

GHS	SI
$\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m ))}{\osittainen t^{2))}=0,$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m)) }{\partial t^{2}}}=-{\frac {4\pi }{\mu }}\mathbf {M} .$	$\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m ))}{\osittainen t^{2))}=0,$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m)) }{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\mu }}\mathbf {M} .$

Ulkoisiin lähteisiin liittyvien ulkoisten magneettikenttien toiminta voidaan ottaa huomioon analogisesti Hertz-sähkövektorin kanssa lisäämällä oikeisiin osiin magneettinen lisäpolarisaatio . $\mathbf {M} _{f}$

Siten erotetaan kahden tyyppisiä sähkömagneettisia kenttiä, jotka ilmaistaan Hertzin sähkö- ja magneettipotentiaalina, ja mielivaltainen kenttä voidaan esittää tällaisten kenttien summana. Hertzin sähkövektorilla ilmaistuja kenttiä kutsutaan sähkötyyppisiksi kentiksi tai poikittaismagneettisiksi (TM) kentiksi, koska niiden magneettikenttä on ortogonaalinen Hertzin vektorin suuntaan. Vastaavasti Hertzin magneettivektorilla ilmaistuja kenttiä kutsutaan magneettikentiksi tai poikittaissähkökentiksi (TE), joissa sähkökenttä on ortogonaalinen generoivaan Hertzi-vektoriin nähden. TM-kentät voidaan esittää avaruuteen jakautuneiden sähköisten dipolien synnyttäminä kenttinä ja vastaavasti TE-kentät magneettisina. Hertzin vektoripotentiaalit puolestaan voidaan monissa tapauksissa ilmaista skalaaripotentiaalina.

Debye-potentiaalit

Sähködynamiikassa Debyen [45] ehdottamat skalaaripotentiaalit ovat laajalti käytössä .

Aaltoyhtälö on kolmen kytketyn skalaariyhtälön järjestelmä, jotka hajoavat kolmeksi skalaariksi Helmholtz-yhtälöksi vain karteesisessa koordinaatistossa . Rajaehdot täyttävien ratkaisujen löytämisen helpottamiseksi on toivottavaa valita koordinaattijärjestelmät, joiden koordinaattipinnat ovat lähellä rajapintoja tai yhtenevät niiden kanssa. Eräs lähestymistapa vektori-Helmholtzin yhtälön ratkaisemiseen on ottaa käyttöön skalaarifunktioita, jotka täyttävät skalaari-Helmholtzin aaltoyhtälön, joiden avulla vektorikentät [46] voidaan sitten ilmaista : $\psi$

\nabla ^{2}{\psi }+k^{2}\psi =0.

{\mathbf {M} }_{\psi }=\nabla \times ({\mathbf {f} }\psi),

{\mathbf {N} }_{\psi }={\frac {1}{k}}\nabla \times \nabla \times ({\mathbf {f} }\psi ),

{\mathbf {L} }_{\psi }=\nabla \psi .

Tässä on jokin koordinaattien vektorifunktio. Vektori kuvaa kentän potentiaalista osaa, ja se voidaan asettaa nollaksi, jos vapaita varauksia ei ole. $\mathbf {f}$ ${\mathbf {L} }_{\psi }$

Jos jollekin ortogonaaliselle koordinaattijärjestelmälle on olemassa koordinaattivektoriin verrannollinen funktio, niin mielivaltainen vektorikenttä, joka täyttää vektori Helmholtzin yhtälön tässä järjestelmässä, voidaan esittää vektoreihin ja vektoreihin verrannollisten vektorifunktioiden summana . Kuten Maxwellin yhtälöistä seuraa, sähkökenttä, joka on verrannollinen tyyppiin, vastaa tyyppistä magneettikenttää ja päinvastoin. Tässä tapauksessa vektoripotentiaalit vastaavat Hertz-vektoreita. Koska tässä tapauksessa kohtaan verrannollinen kenttä on normaali vektorille , sen komponentit ovat tangentiaalisia vastaavan koordinaattipinnan suhteen. Jos ratkaistavan ongelman rajat osuvat yhteen näistä koordinaattipinnoista, niin rajaehtojen täyttyminen yksinkertaistuu huomattavasti. ${\mathbf {f} }({\mathbf {r} })$ ${\mathbf {M} }_{\psi }$ ${\mathbf {N} }_{\psi }$ ${\mathbf {M} }_{\psi }$ ${\mathbf {N} }_{\psi }$ ${\mathbf {f} }\psi$ ${\mathbf {M} }_{\psi }$ ${\mathbf {f} }$ ${\mathbf {f} }$

Tällainen esitys on mahdollista vain rajoitetussa määrässä ortogonaalisia koordinaattijärjestelmiä [47] . Karteesisessa koordinaattijärjestelmässä mikä tahansa koordinaattivektori voi toimia vektorina. Vastaavat ratkaisut ovat tasoaaltoja. Sylinterimäiselle koordinaattijärjestelmälle , pallomaiselle koordinaattijärjestelmälle . Lisäksi tällainen esitys on mahdollista kartiomaisessa , samoin kuin suhteessa akseliin parabolisissa ja elliptisissä sylinterimäisissä koordinaattijärjestelmissä. ${\mathbf {f} }$ ${\mathbf {f} }={\mathbf {i} }_{z}$ ${\mathbf {f} }={\mathbf {r} }$ $z$

Riemann-Silberstein vektorit

Jos otamme käyttöön kompleksisen Riemann - Silberstein - vektorin $\mathbf {F}$ ja sen kompleksikonjugaattivektori [ 48] [49] [50] : $\mathbf {F} ^{*}$

GHS	SI
$\mathbf {F} ={\frac {1}{\sqrt {8\pi }}}\left[{\sqrt {\varepsilon }}\mathbf {E} +i{\sqrt {\mu } }\mathbf {H} \oikea],$	$\mathbf {F} ={\frac {1}{\sqrt {2))}\left[{\sqrt {\varepsilon \varepsilon _{0))}\mathbf {E} +i{\sqrt {\mu \mu _{0}}}\mathbf {H} \right],$

silloin Maxwellin yhtälöt pelkistyvät kahteen:

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\sqrt {\frac {2\pi }{\varepsilon }}}\rho ,$ $\nabla \times \mathbf {F} =i{\sqrt {2\pi \mu }}\mathbf {j} +i{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}{\frac { \partial \mathbf {F} }{\partial t}}.$	$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\sqrt {\frac {1}{2\varepsilon \varepsilon _{0))))\rho ,$ $\nabla \times \mathbf {F} =i{\sqrt {\frac {\mu \mu _{0}}{2}}}\mathbf {j} +i{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}.$

Jos ulkoisia varauksia ja virtoja ei ole, vain toinen yhtälö jää jäljelle (ensimmäinen, koska roottorin ero on yhtä suuri kuin nolla, täyttyy tässä tapauksessa automaattisesti ajasta riippumattomaan komponenttiin asti):

$\nabla \times \mathbf {F} =i{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}.$

Toisin kuin aaltoyhtälössä, joka saadaan tässä tapauksessa kenttä- tai potentiaalivektoreille, viimeinen vektoridifferentiaaliyhtälö on ensimmäistä kertaluokkaa, ei toista, ja siksi joissain tapauksissa se voi olla helpompi ratkaista.

Jos harmoninen kentä on riippuvainen , vektori on roottorioperaattorin ominaisvektori: $\mathbf {F} =\mathbf {F} ^{\pm }e^{\pm i\omega t}$ $\mathbf {F}$

$\nabla \times \mathbf {F} ^{\pm }=\mp k\mathbf {F} ^{\pm }.$

Valitulla normalisoinnilla sähkömagneettisen kentän kompleksinen amplitudi on järkevä ja sen moduuli neliö $\mathbf {F}$

$w=|\mathbf {F} |^{2}\equiv \mathbf {F} ^{*}\mathbf {F} =w_{E}+w_{H}$

sillä on kentän energiatiheyden merkitys.

Osoitusvektori :

$\mathbf {S} =-{\frac {ic}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}{\mathbf {F} }^{*}\times {\mathbf {F} }.$

Vektorit ja voidaan tulkita ympyräpolarisoituneiden fotonien aaltofunktioiksi [49] . $\mathbf {F}$ $\mathbf {F} ^{*}$

Kovarianttiformulaatio

Nykyajan näkökulmasta sähködynamiikan neliulotteinen kovarianttiformulaatio (ja erityisesti Maxwellin yhtälöiden kirjoittaminen tässä muodossa) on fyysisesti perustavanlaatuisin.

Käytännössä se johtaa eksplisiittisen kovarianssin lisäksi yhtälöiden paljon suurempaan tiivistymiseen ja siten tiettyyn kauneuteen ja joissakin tapauksissa mukavuuteen, ja se sisältää orgaanisemmin ja suoremmin sähkömagneettisen kentän yhtenäisyyden.

Kovarianttiformulaatiolla tarkoitetaan kahta erilaista, mutta suoraan ja suoraan toisiinsa liittyvää vaihtoehtoa: Lorentzin kovarianttiformulaatio tasaisessa Minkowski - avaruudessa -ajassa ja yleinen kovarianttiformulaatio kaarevan aika-avaruuden yleiselle tapaukselle (tavallisesti katsottuna yleinen suhteellisuusteoria ). Toinen vaihtoehto eroaa ensimmäisestä siinä, että aika- avaruusmetriikka ei ole siinä vakio (mikä voi tarkoittaa joko painovoiman läsnäoloa tai yksinkertaisesti laajemman koordinaattiluokan käyttöä, esimerkiksi vastaamaan ei-inertiaalisia kehyksiä. viite), ja pitkälti tavanomaisten neliulotteisten koordinaattien derivaattojen korvaaminen kovarianttiderivaatailla (merkittävässä osassa tapauksia tämä johtuu edellisen mekaanisesta korvaamisesta jälkimmäisellä). Muun muassa toisen vaihtoehdon avulla voit tutkia sähkömagneettisen kentän vuorovaikutusta painovoiman kanssa.

Alla tarkastellaan ensin (yksinkertaisempana) ensimmäistä varianttia, muunnelmaa Lorentz-kovarianttiformulaatiosta tasaisessa aika-avaruudessa.

Neliulotteiset vektorit

Sähködynamiikan yhtälöiden kovarianttikirjoituksella siirrytään kolmiulotteisista vektoreista ja skalaareista neliulotteisiin vektoreihin (4-vektorit). Yksikköjärjestelmästä riippumatta neliulotteiset koordinaatit (4-koordinaattivektori, jonka komponentit sisältävät aika- ja kolmiulotteiset tilakoordinaatit), näiden koordinaattien derivaatta (4-derivaata) ja virrantiheys määritellään seuraavasti: seuraa [~ 6] :

x^{\alpha }=(ct,~\mathbf {r} )=(ct,x,y,z),

\partial _{\alpha }={\frac {\partial }{\partial x^{\alpha ))}={\Bigl (}{\frac {1}{c))\,{\frac {\partial }{\partial t)),~\nabla {\Bigr )}={\Bigl (}{\frac {1}{c))\,{\frac {\partial }{\partial t)),{\ frac {\partial }{\partial x)),{\frac {\partial }{\partial y)),{\frac {\partial }{\partial z)){\Bigr )},

j^{\alpha }=\rho {\frac {dx^{\alpha }}{dt}}=(c\rho ,~\mathbf {j} )=(c\rho ,j_{x},j_{ y},j_{z}).

4-vektorin indeksi ottaa arvot . Vektorin komponenttimerkinnässä nolla (ajallinen) komponentti tulee ensin, sitten tilalliset. Esimerkiksi aika on , ja varaustiheys on . Näiden määritelmien perusteella varauksen säilymislaki kovarianttimuodossa saa seuraavan muodon: $\alpha =0,1,2,3\$ $t=x^{0}/c\$ $\rho =j^{0}/c\$

$\partial _{\alpha }j^{\alpha }=0.$

Toistuva indeksi olettaa summauksen välillä 0 - 3 ( Einsteinin sääntö ).

Esimerkki

Yllä oleva yhtälö on tiivis esitys jatkuvuusyhtälöstä:

$\osittais _{0}j^{0}+\osittinen _{1}j^{1}+\osittainen _{2}j^{2}+\osittinen _{3}j^{3}={\ frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla \mathbf {j} =0.$

Otetaan käyttöön potentiaalin 4-vektori, jolla on seuraavat komponentit CGS- ja SI -järjestelmissä:

GHS	SI
$A^{\alpha }=(\varphi ,~~\mathbf {A})$ $A_{\alpha }=(\varphi ,-\mathbf {A})$	$A^{\alpha }=(\varphi /c,~~\mathbf {A} )$ $A_{\alpha }=(\varphi /c,-\mathbf {A})$

Kovarianttimerkinnässä 4-vektorin indeksin sijainnilla on merkitystä. Jos indeksi on alareunassa, niin tällaista vektoria kutsutaan kovarianttivektoriksi (tai kovektoriksi), ja sen tilakomponenteilla on päinvastainen etumerkki verrattuna 4-vektorin komponentteihin. Indeksien nostaminen ja laskeminen suoritetaan metrisen tensorin avulla, joka neliulotteisessa Minkowski-avaruudessa on diagonaalimuodossa allekirjoituksella: . $A_{\alpha }=g_{\alpha \beta }A^{\beta }\$ $g_{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }={\rm {diagonaali}}(1,-1,-1,-1)\$

Käyttämällä tätä potentiaalin 4-vektorin määritelmää, Lorentzin mittarin ehto kovarianttimuodossa voidaan kirjoittaa seuraavasti:

$\partial _{\alpha }A^{\alpha }=0.$

Jos tämä ehto täyttyy, Maxwellin tyhjiöpotentiaalien yhtälöt varausten ja virtojen läsnäollessa ovat muotoa:

GHS	SI
$\partial ^{2}A^{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}\,j^{\alpha }$	$\partial ^{2}A^{\alpha }=\mu _{0}\,j^{\alpha }$ ,

missä on d'Alembert-operaattori vastakkaisella merkillä: $\osittainen ^{2}$

$\partial ^{2}=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }=-\square ={\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial ^{2} }{\partial t^{2))}-\Delta .$

Maxwellin yhtälöiden nollakomponentti potentiaalin 4-vektorille vastaa yhtälöä , ja spatiaalinen yksi, . $\varphi$ $\mathbf {A}$

Sähkömagneettisen kentän tensori

Määritellään sähkömagneettisen kentän kovarianttitensori käyttämällä potentiaalin 4-vektorin derivaatta [51] [52] :

F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }.

Tämän antisymmetrisen tensorin ( ) eksplisiittinen muoto voidaan esittää seuraavasti: $F_{\alpha \beta }=-F_{\beta \alpha }\$

GHS	SI
$F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_ {y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\oikea),$	$F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y }\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\oikea).$

Tensorin ajalliset komponentit koostuvat sähkökentän voimakkuuden komponenteista ja magneettikentän spatiaalisista komponenteista, jotka voidaan kirjoittaa seuraavasti: . Sähkömagneettisen kentän tensorissa yläindeksien kanssa nollakomponenttien etumerkki muuttuu (eli ennen sähkökentän komponentteja): . $F_{\alpha \beta }=(\mathbf {E},\mathbf {B})$ $F^{\alpha \beta }=(-\mathbf {E},\mathbf {B})$

Sähkömagneettisen kentän tensorin määritelmää käyttämällä on helppo varmistaa seuraava identiteetti:

\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }=0.

Se voidaan kirjoittaa uudelleen kompaktimpaan muotoon ottamalla käyttöön kaksoissähkömagneettisen kentän tensori:

\partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\tilde {F}} ^ {\alpha \beta }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\,F_{\gamma \delta },

missä on antisymmetrinen Levi-Civita-symboli ( ). Tämä yhtälö on kovarianttitietue Gaussin magneettikentän laista ja Faradayn sähkömagneettisen induktion laista. Duaalitensorin komponentit saadaan tensorista sähkö- ja magneettikenttien permutoinnin tuloksena [53] : , . $\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\$ $\epsilon ^{0123}=1\$ ${\tilde {F}}_{\alpha \beta }$ ${\displaystyle F_{\alpha \beta ))$ ${\tilde {F}}_{\alpha \beta }=(\mathbf {B} ,-\mathbf {E} )$ ${\tilde {F}}^{\alpha \beta }=(-\mathbf {B} ,-\mathbf {E} )$

Koko Maxwellin yhtälöjärjestelmä kovarianttimuodossa on muotoa:

GHS	SI
$\partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0$ $\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }={\frac {4\pi }{c}}j^{\beta },$	$\partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0$ $\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}\,j^{\beta }.$

Toistuva indeksi summataan välillä 0 - 3, ja virran 4-vektori löytyy toisen yhtälön oikealta puolelta. Tämän yhtälön nollakomponentti vastaa Gaussin lakia ja spatiaaliset komponentit vastaavat Ampère-Maxwellin lakia. $\alpha\$

Sähkömagneettisen kentän tensorin avulla voidaan saada sähkö- ja magneettikenttien komponenttien muunnoslait mitattuna eri inertiavertailukehyksien suhteen [54] [55] :

GHS	SI
$E'_{y}=\gamma \,(E_{y}-{u \over c}\,B_{z}),~~~E'_{z}=\gamma \,(E_{z} +{u \over c}\,B_{y}),$ $B'_{y}=\gamma \,(B_{y}+{u \over c}\,E_{z}),~~~B'_{z}=\gamma \,(B_{z} -{u \over c}\,E_{y}),$	$E'_{y}=\gamma \,(E_{y}-u\,B_{z}),~~~E'_{z}=\gamma \,(E_{z}+u\,B_ {y}),$ $B'_{y}=\gamma \,(B_{y}+{u \over c^{2}}\,E_{z}),~~B'_{z}=\gamma \,(B_ {z}-{u \over c^{2}}\,E_{y}),$

jossa "esikäsitellyt" suureet mitataan suhteessa referenssikehykseen, joka liikkuu akselia pitkin nopeudella suhteessa kehykseen, jossa "alustamattomat" kentän komponentit mitataan, ja se on Lorentzin tekijä. Kenttäkomponentit inertiavertailukehysten suhteellisen liikkeen suunnassa pysyvät muuttumattomina: . $x$ $u$ $\gamma =1/{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}$ $E'_{x}=E_{x},~~B'_{x}=B_{x}$

Maxwellin tyhjiöyhtälöt ovat invariantteja Lorentzin muunnoksissa . Tämä oli yksi sysäys erityisen suhteellisuusteorian luomiseen .

Sähkö- ja magneettikentät muuttuvat eri tavoin, kun spatiaalisen koordinaattijärjestelmän akselit käännetään. Sähkökenttä on napavektori ja magneettikenttä on aksiaalinen vektori . Lorentzin muunnoksilla on mahdollista rakentaa kaksi invarianttia suuretta:

$F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }=\mathrm {inv} ~~~~~~~~~~~~\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\alpha \beta }F_{\gamma \delta }=\mathrm {inv} .$

Ensimmäinen invariantti on skalaari ja toinen on pseudoskalaari , eli se muuttaa etumerkkiään, kun koordinaattiakselit käännetään.

Lagrangian

Toiminta ja Lagrange - funktio (Lagrange-funktio) ulkoisessa sähkömagneettisessa kentässä liikkuvalle testivaraukselle CGS- ja SI -järjestelmissä ovat muotoa [56] [57] : $S\$ $L\$

GHS	SI
$S=\int (-mc\,ds~-~{\frac {q}{c}}\,A_{\alpha }\,dx^{\alpha })$ $L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u^{2}} }{c^{2}}}}}+{\frac {q}{c}}\ ,\mathbf {A} \cdot \mathbf {u} -q\varphi$	$S=\int (-mc\,ds~-~q\,A_{\alpha }\,dx^{\alpha })$ $L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u^{2)) }{c^{2))))}+q\,\mathbf {A} \cdot \ mathbf {u} -q\varphi$

missä:

$m\$ on hiukkasen massa (SI-yksikköinä, kg);
$\mathbf {u}$ - sen nopeus (SI-yksiköissä - m / s);
$q\$ on hiukkasen varaus (SI-yksiköissä - C );
$ds={\sqrt {dx_{\alpha }dx^{\alpha }}}$ - 4. väli.

Varauksen liikeyhtälöt Lorentzin voiman vaikutuksesta kovarianttimuodossa ovat seuraavanlaisia:

GHS	SI
$mc{\frac {d^{2}x^{\alpha }}{ds^{2}}}={\frac {q}{c}}\,F^{\alpha \beta }\,{\ frac {dx_{\beta }}{ds}}$	$mc{\frac {d^{2}x^{\alpha }}{ds^{2}}}=q\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {dx_{\beta }}{ ds}}.$

Maxwellin yhtälöt johdetaan pienimmän toiminnan periaatteesta , jossa dynaamiset muuttujat ovat sähkömagneettisen kentän 4-potentiaalia . Tämä käyttää seuraavaa kovarianttilauseketta toiminnolle [57] [58] [59] : $A^{\alpha }\$

GHS	SI
$S=-{\frac {1}{16\pi c}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\,d^{4}x-{\frac {1}{c ^{2}}}\int A_{\alpha }\,j^{\alpha }\,d^{4}x$	$S=-{\frac {1}{4\mu _{0}c}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\,d^{4}x-{ \frac {1}{c}}\int A_{\alpha }\,j^{\alpha }\,d^{4}x,$

jossa integrointi invariantin 4-taltion yli suoritetaan . $d^{4}x=c\,dt\,dv$

Merkinnät differentiaalimuodoilla

Maxwellin yhtälöt kovarianttimuodossa, kuten vektoriesitys kolmiulotteisessa avaruudessa, voidaan kirjoittaa "ei-indeksimuotoon". Tätä varten otetaan käyttöön ulkotuotteen toiminta , jolla on antisymmetrian ominaisuus : . Ulkotuotteella voit kirjoittaa kaikkien indeksien päälle taitettuja lausekkeita antisymmetrisillä tensoreilla , kuten . Tästä syntyy objekteja, joita kutsutaan differentiaalimuodoiksi (tai yksinkertaisesti muodoiksi) [60] . Kenttäpotentiaalin 1-muoto määritellään seuraavasti (indeksillä summa on 0-3): $\kiila$ $\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }=-\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }$ $F_{\alpha \beta }\$ $\alpha\$

$\mathrm {A} =A_{\alpha }\mathrm {d} x^{\alpha }\ .$

1-muodosta, käyttämällä ulkoista differentiaatiota , saadaan sähkömagneettisen kentän 2-muoto (tai Faradayn 2-muoto): $\mathrm{d}\$

$\mathrm {F} =\mathrm {d} \,\mathrm {A} =\mathrm {d} A_{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }=\partial _{\beta } A_{\alpha }~\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }~\ mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }.$

Ulkoisella differentiaatiooperaatiolla on ominaisuus , joka johtaa Gaussin magneettikentän lakiin ja Faradayn lakiin: $\mathrm {d} ^{2}=0\$

$\mathrm {d} \,\mathrm {F} =\mathrm {d} ^{2}\,\mathrm {A} ={\frac {1}{2}}\,\partial _{\gamma }F_ {\alpha \beta }\,\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }={\frac { 1}{6))\,(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha })~\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }=0.$

Jäljellä olevien Maxwell-yhtälöiden kirjoittamiseksi otetaan käyttöön 2-muotoinen duaali k :lle, jota kutsutaan myös Maxwellin 2-muodoksi [61] : $\mathrm{F}\$ $^{*}\mathrm {F} \$

$^{*}\mathrm {F} ={\frac {1}{2}}\,{\tilde {F}}_{\alpha \beta }~\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }={\frac {1}{4}}\,F^{\alpha \beta }\,\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta } ~\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta },$

ja 3-muotoinen virta:

$^{*}\mathrm {J} =-{\frac {1}{3!}}\,j^{\alpha }\,\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }~\mathrm {d } x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta },$

missä on absoluuttinen antisymmetrinen Levi-Civita-symboli ( ). Differentiaalien ulkotuotteen Levi-Civita-symbolin konvoluutiota kutsutaan Hodge-tähtioperaattoriksi . $\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\$ $\epsilon _{0123}=-1\$

Näissä merkinnöissä Maxwellin yhtälöt CGS- ja SI -järjestelmissä ovat seuraavassa muodossa [62] :

GHS	SI
$\mathrm {d} \,\mathrm {F} =0,$ $\mathrm {d} ^{}\mathrm {F} ={\frac {4\pi }{c}}\,^{}\mathrm {J},$	$\mathrm {d} \,\mathrm {F} =0,$ $\mathrm {d} ^{}\mathrm {F} =\mu _{0}\,^{}\mathrm {J} .$

Todiste

Näiden yhtälöiden vastaavuuden osoittamiseksi Maxwellin yhtälöiden kanssa on tarpeen kirjoittaa ne kolmiulotteiseen vektorimuotoon. Tässä tapauksessa CGS -järjestelmässä virta- ja Maxwell 2 -muodolla on muoto:

$^{*}\mathrm {J} =c\rho \mathrm {d} v-\mathbf {j} \mathrm {d} \mathbf {s} \wedge \mathrm {d} t\,c,~~~ ~~~~~~~~~~~~~^{*}\mathrm {F} =\mathbf {E} \mathrm {d} \mathbf {s} -\mathbf {B} \mathrm {d} \ mathbf {r} \wedge \mathrm {d} t\,c,$

missä on kolmiulotteinen tilavuus ja pinta-alavektori kolmiulotteisessa avaruudessa. Koska: $\mathrm {d} v=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z$ $\mathrm {d} \mathbf {s} =(\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z,~\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x,\mathrm {d} x\ kiila \mathrm {d} v)$

$\mathrm {d} ^{*}\mathrm {F} =(\nabla \mathbf {E} )\mathrm {d} v+{\Bigl (}{\frac {1}{c}}{\frac {\ osittainen \mathbf {E} }{\partial t}}-\nabla \times \mathbf {B} {\Bigr )}\mathrm {d} \mathbf {s} \wedge \mathrm {d} t\,c.$

sitten, kun otetaan huomioon Maxwellin yhtälöt differentiaalimuodossa, saadaan . $^{*}\mathrm {J} \$

Kun otetaan huomioon identiteetti , viimeinen differentiaalimuodoilla kirjoitettu Maxwell-yhtälö johtaa välittömästi jatkuvuusyhtälöön (varauksen säilymisen laki): $\mathrm {d} ^{2}=0\$

$\mathrm {d} ^{*}\mathrm {J} =0\ .$

Tässä muodossa Maxwellin yhtälöt pysyvät voimassa mielivaltaisessa 4-ulotteisessa monistossa, esimerkiksi yleisen suhteellisuusteorian kaarevassa aika-avaruudessa . Tässä tapauksessa metrisen tensorin determinantti esiintyy lisäksi suhteissa . Esimerkiksi nykyistä ja ulkoista erottelua varten: $g$

$^{*}\mathrm {J} =-{\frac {1}{3!}}\,j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }~\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta },~~~~~~~~ ~~~~~~\mathrm {d} ^{*}\mathrm {F} ={\frac {1}{4}}\,F_{~~;\alpha }^{\alpha \beta }{\ sqrt {-g}}\,\epsilon _{\beta \gamma \delta \eta }~\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }\wedge \mathrm {d}x^{\eta }.$

Komponenttien yleinen kovarianttimerkintä

Satunnaisessa 4-ulotteisessa monistossa, toisin sanoen yleisessä tapauksessa, joka sisältää nollasta poikkeavan kaarevuuden (sekä mielivaltaiset neliulotteiset koordinaatit, mukaan lukien ei-inertiaaliset vertailukehykset), sähködynamiikkaa voidaan myös käyttää. muotoiltu tavallisella indeksimerkinnällä.

Pohjimmiltaan resepti siirtymiseen aika-avaruuden nollakaarevuuden ja siinä olevien Lorentzin referenssijärjestelmien tapauksesta, joka on kuvattu yksityiskohtaisesti edellä, yleiseen tapaukseen on korvata tavanomaiset koordinaattien derivaatat kovarianttiderivaatailla , ottaen huomioon se tosiasia, että metriikka ei tässä tapauksessa ole vakio eikä sillä ole erityistä Lorentz-tyyppiä (eli käytännössä mielivaltaista), samoin kuin integroitaessa - esimerkiksi tallennettaessa toimintaa - ottaen huomioon, että mittari on sisältyy tilavuuselementtiin (tekijän kautta - juuri miinus metriikan determinantti). ${\sqrt {-g))$

Yleisessä kovarianttimuodossa Maxwellin yhtälöillä on muoto: [63]

F_{\mu \nu :\sigma }+F_{\nu \sigma :\mu }+F_{\sigma \mu :\nu }=0

{\displaystyle F_{:\nu }^{\mu \nu }=4\pi J^{\mu ))

Tässä ":"-merkki tarkoittaa kovarianttijohdannaista, aivan kuten ","-merkki tarkoittaa tavallista johdannaista:

{\displaystyle A_{\mu :\nu }=A_{\mu ,\nu }-\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }A_{\alpha ))

missä on toisen tyypin Christoffel-symboli . ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\alpha ))$

Sähkövarauksen säilymislaki yleisessä kovarianttimuodossa seuraa . Kertomalla molemmat osat identiteetillä ja käyttämällä identiteettiä, löydämme . ${\displaystyle F_{:\nu }^{\mu \nu }=4\pi J^{\mu ))$ ${\sqrt {-g))$ $F_{:\nu }^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}=(F^{\mu \nu }{\sqrt {-g}})_{,\nu }$ $(F^{\mu \nu }{\sqrt {-g)))_{,\nu }=4\pi J^{\mu }{\sqrt {-g))$

Tästä saadaan sähkövarauksen säilymislaki yleisessä kovarianttimuodossa:

(J^{\mu }{\sqrt {-g)))_{,\mu }={\frac {1}{4\pi }}(F^{\mu \nu }{\sqrt {-g}})_{,\mu \nu }=0

Spinor-formulaatio

Maxwellin yhtälöt voidaan kirjoittaa spinorimuotoon :

$\osittais _{\lambda {\piste {\sigma }}}f_{\piste {\mu }}^{\piste {\sigma }}+\osittais _({\piste {\mu }}\sigma }f_ {\lambda }^{\sigma }=2s_{{\piste {\lambda }}\mu }$ ,

$\osittais _{\lambda {\piste {\sigma }}}f_{\piste {\mu }}^{\piste {\sigma }}-\partial _({\piste {\mu }}\sigma }f_ {\lambda }^{\sigma }=0$ ,

jossa toisen asteen spinori määräytyy yhtälön avulla _ _ $f$ $f_{\lambda \mu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\lambda {\piste {\sigma }}}\varphi _{\mu }^{\piste {\sigma }} +\osittais _{\mu \sigma }\varphi _{\sigma }^{\piste {\sigma )))$ $\varphi _{\mu \nu }$ $\osittainen _{\mu \nu }$ $s_{\mu \nu }$

Spektriesitys

Sähködynamiikassa harmonisilla värähtelyillä on suuri merkitys . Nämä kentät voidaan esittää muodossa

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{2}}\left[{\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} )e^{- i\omega t}+{\mbox{cc}}\right]=\Re [{\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}],$

$\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{2}}\left[{\tilde {\mathbf {H} }}(\mathbf {r} )e^{- i\omega t}+{\mbox{cc}}\right]=\Re [{\tilde {\mathbf {H} }}(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}].$

missä on kentän värähtelytaajuus . Merkintä "cc" tarkoittaa edellisen termin monimutkaista konjugaatiota . Joissakin kirjoissa kerrointa 1/2 ei käytetä harmonisia amplitudeja koskevassa sopimuksessa, mikä johtaa kaikkien tähän sopimukseen liittyvien lausekkeiden vastaavaan muutoksiin. Kirjallisuudessa on myös yleistä valita käänteinen etumerkki kompleksieksponentissa. Tässä tarkasteltu muunnos on yhdenmukainen kvanttiteoriassa hyväksytyn Schrödingerin esityksen kanssa . $\omega \$

Sähkö- ja magneettikenttien energiatiheydet keskiarvoistettuina ajanjakson aikana ovat vastaavasti

GHS	SI
$\mathbf {S} ={\frac {c}{16\pi }}\left[({\tilde {\mathbf {E} }}^{}}\times {\tilde {\mathbf {H} } }+{\tilde {\mathbf {E} }}\times ({\tilde {\mathbf {H} }}^{}}\oikea],$ $\langle w_{E}\rangle ={\frac {\tilde {\varepsilon }}{16\pi }}\,\|{\tilde {\mathbf {E} }}\|^{2},$ $\langle w_{H}\rangle ={\frac {\tilde {\mu }}{16\pi }}\,\|{\tilde {\mathbf {H} }}\|^{2}.$	$\mathbf {S} ={\frac {1}{4}}\vasen[{\mathbf {E} ^{}}\times {\tilde {\mathbf {H} }}+{\tilde {\mathbf {E} }}\times {{\tilde {\mathbf {H} }}^{}}\oikea],$ $\langle w_{E}\rangle ={\frac {\varepsilon _{0}{\tilde {\varepsilon }}\|{\tilde {\mathbf {E} }}\|^{2}}{4}},$ $\langle w_{H}\rangle ={\frac {\mu _{0}{\tilde {\mu }}\|{\tilde {\mathbf {H} }}\|^{2}}{4}}.$

Fourier-muunnoksen avulla harmonisia värähtelyjä voidaan käyttää laajentamaan kenttiä mielivaltaisella aikariippuvuudella.

\mathbf {E} (r,t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!{\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,\omega )e ^{-i\omega t}{\frac {d\omega }{2\pi )),

\mathbf {H} (r,t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!{\tilde {\mathbf {H} }}(\mathbf {r} ,\omega )e ^{-i\omega t}{\frac {d\omega }{2\pi }}.

Siirtyminen spektrikomponentteihin antaa mahdollisuuden keskittyä kenttien koordinaattiriippuvuuteen. Maxwellin yhtälöt spektrikomponenteille homogeenisissa väliaineissa saavat muodon

GHS	SI
$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {4\pi {\tilde {\rho }}}{\tilde {\varepsilon }}},$	$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {\tilde {\rho }}{\varepsilon _{0}{\tilde {\varepsilon }}}},$
$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}=0,$	$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}=0,$
$\nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=i{\frac {\omega }{c}}{\tilde {\mathbf {B} }}),$	$\nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=i\omega {\tilde {\mathbf {B} )),$
$\nabla \times {\tilde {\mathbf {B} }}=-i{\tilde {\varepsilon }}{\tilde {\mu }}{\frac {\omega }{c}}\left[1+ i{\frac {4\pi {\tilde {\sigma }}}{\omega {\tilde {\varepsilon }}}}\right]{\tilde {\mathbf {E} }}.$	$\nabla \times {\tilde {\mathbf {B} }}=-i{\tilde {\varepsilon }}{\tilde {\mu }}{\frac {\omega }{c^{2}}}\ vasen[1+i{\frac {\tilde {\sigma }}{\omega \varepsilon _{0}{\tilde {\varepsilon }}}}\oikea]{\tilde {\mathbf {E} }}.$

Väliaineen dielektrinen ja magneettinen permeabiliteetti spektriesityksessä liittyvät Fourier-muunnoksen integraaliesityksen konstitutiivisten yhtälöiden susceptibileihin:

GHS	SI
${\tilde {\varepsilon }}(\omega )=1+4\pi \int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{e}(\tau )e^{i\ omega\tau }d\tau ,$ ${\tilde {\mu ))(\omega )=1+4\pi \int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{m}(\tau )e^{i\ omega \tau }d\tau .$	${\tilde {\varepsilon }}(\omega )=1+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{e}(\tau )e^{i\omega \tau }d\tau ,$ ${\tilde {\mu ))(\omega )=1+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{m}(\tau )e^{i\omega \tau }d\tau .$

Yhtälöt ilman vapaita varauksia ja virtoja

Ilman vapaita varauksia ja virtoja , , isotrooppisissa ja homogeenisissa väliaineissa ilman dispersiota, Maxwellin yhtälöt ovat seuraavassa muodossa: $\rho =0$ $\mathbf {j} =0$

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~~~\nabla \cdot \mathbf {B} =0,$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t)),~~~~~~\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\varepsilon \mu }{c)){\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t)),$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~\nabla \cdot \mathbf {B} =0,$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t)),~~~~~~\nabla \times \mathbf {B} ={\frac { \varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.$

Näiden yhtälöiden ratkaisut ovat sähkökentän voimakkuus ja magneettinen induktio . Dielektrinen ja magneettinen permeabiliteetti määräytyvät väliaineen ominaisuuksien mukaan. Tyhjiölle , . $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\varepsilon$ $\mu$ $\varepsilon=1$ $\mu=1$

Aaltoyhtälö

Maxwellin yhtälöt ovat ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä koordinaateissa ja ajassa. Kuitenkin toisessa parissa jokainen yhtälö sisältää sekä tuntemattomia vektorifunktioita että . Varausten ja virtojen puuttuessa voidaan siirtyä toisen kertaluvun yhtälöihin, joista jokainen riippuu vain yhdestä (sähkö- tai magneettikentästä) [66] : $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

$\Delta \mathbf {E} -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{ 2}}}=0,$ $\Delta \mathbf {B} -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{ 2}}}=0.$

Tällaisia yhtälöitä kutsutaan aaltoiksi .

Aaltoyhtälön johtaminen

Ottamalla roottori Faradayn laista ja käyttämällä Ampere-Maxwellin lakia, saamme ( SI -järjestelmässä ):

\nabla \times [\nabla \times \mathbf {E} ]=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))\right)=-{\frac {\partial }{\partial t))[\nabla \times \mathbf {B} ]=-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2} \mathbf {E} }{\osittainen t^{2}}}.

Toisaalta kaksoisristituotteen laajentamisen myötä meillä on:

\nabla \times [\nabla \times \mathbf {E} ]=\nabla \,(\nabla \cdot \mathbf {E} )-\Delta \mathbf {E} =-\Delta \mathbf {E} ,

koska sähkökentän hajonta tyhjiössä on nolla. Yhtälöimällä nämä kaksi lauseketta, saamme sähkökentän aaltoyhtälön. Magneettikentän aaltoyhtälö saadaan samalla tavalla.

Lorentz-mittarissa , jos varauksia ja virtoja ei ole, aaltoyhtälö täyttyy myös skalaari- ja vektoripotentiaalilla:

\Delta \varphi -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2))}=0,~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Delta \mathbf {A} -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\ osittainen ^{2}\mathbf {A} }{\osittais t^{2))}=0.

Aaltoyhtälöiden sisältämä arvo määrittää sähkömagneettisten kenttien etenemisnopeuden väliaineessa. Sen maksimiarvo saavutetaan tyhjiössä, kun ja . $c/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $c$ $\varepsilon=1$ $\mu=1$

Helmholtzin yhtälö

Antaa olla pyöreä taajuus harmonisen signaalin, ja aikariippuvuus valitaan . Jos väliaineessa ei ole sähkövarauksia, Helmholtzin yhtälö on seuraavanlainen: $\omega$ ${\displaystyle e^{-i\omega t))$

$\Delta \mathbf {E} +k^{2}\mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Delta \mathbf {B } +k^{2}\mathbf {B} =0,$

missä . $k^{2}=\mu \varepsilon {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}$

Maxwellin yhtälöt meirami-muodossa

Kun tutkitaan fotonin kvanttimekaanisia ominaisuuksia , on kätevää esittää Maxwellin tyhjyyden yhtälöt Majoranan muodossa, joka on samanlainen kuin massattoman hiukkasen Diracin yhtälö . [67]

Maxwellin yhtälöillä Majorana-muodossa on muoto: [68]

i{\frac {\partial \xi }{\partial t))={\vec {s}}{\vec {p}}\xi

. _

{\vec {p}}{\vec {\xi }}=0

i{\frac {\partial \eta }{\partial t))={\vec {s}}{\vec {p}}\eta

. _

{\vec {p}}{\vec {\eta }}=0

Täällä: , , ${\vec {\xi }}={\vec {E}}+i{\vec {H}}$ ${\vec {\eta }}={\vec {E}}-i{\vec {H}}$

${\vec {E}},{\vec {H}}$ - sähkö- ja magneettikenttien vektorit Maxwellin tyhjyysyhtälöissä ( relativistisessä yksikköjärjestelmässä ):

{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=-\operaattorinimi {rot} {\vec {E}}

. _

\operatorname {div} {\vec {H}}=0

{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}=\operaattorinimi {rot} {\vec {H}}

. _

\operatorname {div} {\vec {E}}=0

${\vec {p}}=({\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {1}{i}}{ \frac {\partial }{\partial x_{2))},{\frac {1}{i)){\frac {\partial }{\partial x_{3))})$ - liikemäärä-operaattori, - vektori matriisikomponenteilla: ${\vec {s))$

s_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix)),

s_{2}={\begin{pmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{pmatrix)),

s_{3}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix)),

Joitakin tarkkoja ratkaisuja

Liikkuvan pistevarauksen kenttä

Jos varaus liikkuu vakionopeudella , syntyy sen ympärille magneettikenttä ja sähkövoima lakkaa olemasta pallosymmetrinen [69] : $\mathbf {u}$ $\mathbf {B}$

GHS	SI
$\mathbf {E} ={\frac {Q}{\varepsilon }}\,{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\,{\frac {1-u^{2} /c^{2}}{(1-[\mathbf {n} \times \mathbf {u} ]^{2}/c^{2})^{3/2}}}$ $\mathbf {B} ={\frac {\varepsilon \mu }{c))\,[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]$	$\mathbf {E} ={\frac {Q}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\,{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\,{\ frac {1-u^{2}/c^{2}}{(1-[\mathbf {n} \times \mathbf {u} ]^{2}/c^{2})^{3/2 }}}$ $\mathbf {B} ={\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}\,[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]$

Yksikkövektori suunnataan varauksesta kentänvoimakkuuden mittauspisteeseen. on vektorin moduuli . Jos esittelemme vektorien välisen kulman ja , Sitten . Kiinteällä etäisyydellä varauksesta sähkökentän voimakkuus on minimaalinen pisteissä, jotka sijaitsevat varauksen liikeviivalla. Maksimiarvo saavutetaan tasossa, joka kulkee varauksen läpi kohtisuorassa nopeuteen nähden. Magneettinen induktio on vektoritulon ansiosta kohtisuorassa nopeuteen ja sähkökenttään nähden. Koska varaus liikkuu kiinteässä pisteessä avaruudessa, sähkö- ja magneettikentät muuttuvat ajan myötä. Ne täyttävät Maxwellin yhtälöt varauksella ja virrantiheydellä, jotka ovat verrannollisia Diracin deltafunktioon : $\mathbf {n} =\mathbf {r} /r$ $r$ $\mathbf {r}$ $\theta$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {n}$ $[\mathbf {n} \times \mathbf {u} ]^{2}=u^{2}\sin ^{2}\theta$

\rho (\mathbf {r} )=Q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}),~~~~~~~~~~~\mathbf {j} (\mathbf {r} )=\mathbf {u} \,\rho (\mathbf {r} )

missä on latauksen nykyinen sijainti. $\mathbf {r} _{0}$

Samassa vertailukehyksessä liikkuvaan testivaraukseen vaikuttaa Lorentzin voima . Se voidaan saada käyttämällä Lorentzin muunnoksia Coulombin laista ja varausinvarianssin periaatetta [70] . Tässä mielessä magneettikenttä on luonnostaan relativistinen vaikutus. $q$

Jos pistevaraus liikkuu kiihtyvällä vauhdilla, niin sen luoma kenttä ei riipu pelkästään nopeudesta, vaan myös kiihtyvyydestä. Kentän komponentti, joka riippuu kiihtyvyydestä, vastaa sähkömagneettisen aallon säteilyä [40] .

Tason sähkömagneettiset aallot

Oletetaan, että sähkökentän voimakkuus ja magneettinen induktio ovat mielivaltaisia toimintoja seuraavasta koordinaattien ja ajan yhdistelmästä:

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} {\Bigl (}\mathbf {n} \mathbf {r} -{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}t{\Bigr )},~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} {\Bigl (} \mathbf {n} \mathbf {r} -{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}t{\Bigr )},

missä on jokin vakiovektori. Tässä tapauksessa ja täytä Maxwellin yhtälöt ilman varauksia ja virtoja, jos niiden välillä on seuraava suhde: $\mathbf {n}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

GHS	SI
$\mathbf {B} ={\sqrt {\varepsilon \mu }}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]$	$\mathbf {B} ={\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]$

ja ne ovat kohtisuorassa vektoriin , jonka on oltava yksikkö: $\mathbf {n}$

$\mathbf {n} \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {n} \mathbf {B} =0,~~~~~~~~~ ~~~~~~\mathbf {n} ^{2}=1.$

Tasoaallon ratkaisun johtaminen

Jos sähkökentän voimakkuus riippuu koordinaateista ja ajasta niiden seuraavan yhdistelmän muodossa , niin vektorin -:nnen komponentin derivaatalle -: nnen koordinaatin ja ajan suhteen voidaan kirjoittaa: $u=\mathbf {n} \mathbf {r} -ct/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $j\$ $\mathbf {E}$ $minä\$

$\nabla _{i}E_{j}={\frac {\partial E_{j}}{\partial r_{i}}}={\frac {dE_{j}}{du}}\,{\frac {\partial u}{\partial r_{i}}}=n_{i}E_{j},~~~~~~~~~~~~~~~~{\frac {\osittinen E_{j} } {\partial t}}=-{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}{\frac {dE_{j}}{du}},$

ja vastaavasti magneettiselle induktiolle. Siksi Maxwellin yhtälöt ilman varauksia ja virtoja ovat muodossa ( SI -järjestelmä ):

${\frac {d(\mathbf {n} \mathbf {E} )}{du}}=0,~~~~~~~{\frac {d(\mathbf {n} \mathbf {B} ) } {du}}=0,~~~~~~~~{\frac {d}{du}}{\bigl (}[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]-{\frac { c }{\sqrt {\varepsilon \mu }}}\mathbf {B} {\bigr )}=0,~~~~~~~~{\frac {d}{du}}{\bigl (}[ \ mathbf {n} \times \mathbf {B} ]+{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\mathbf {E} {\bigr )}=0.$

Integroimalla nämä suhteet ja jättämällä pois vakiokenttiä vastaavat integrointivakiot, saadaan: $u$

$\mathbf {n} \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~\mathbf {n} \mathbf {B} =0,~~~~~~~~\mathbf {B} = { \frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ],~~~~~~~~~\mathbf {E} =- { \frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {B} ].$

Korvaamalla neljännen yhtälön kolmanteen, saamme . $\mathbf {n} ^{2}=1$

Tasoaallon muodossa olevan ratkaisun fyysinen merkitys on seuraava. Valitsemme karteesisen koordinaattijärjestelmän akselin siten, että vektori suuntautuu sitä pitkin. Tällöin aallon sähkö- ja magneettikentät riippuvat koordinaatista ja ajasta seuraavasti: $z\$ $\mathbf {n}$ $z\$ $t\$

$\mathbf {E} (z,t)=\mathbf {E} {\Bigl (}z-{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}t{\Bigr )},~~~ ~~~~~~~~~~~~\mathbf {B} (z,t)=\mathbf {B} {\Bigl (}z-{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu } }}t{\Bigr )},$

Oletetaan, että alkuhetkellä kentänvoimakkuus on mielivaltainen vektorifunktio . Ajan myötä tämä toiminto siirtyy avaruudessa akselia pitkin nopeudella . $t=0\$ $z\$ $z\$ $c/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$

Sähkömagneettisessa aallossa kentänvoimakkuus voi yleensä olla mielivaltainen ei-jaksollinen funktio . Esimerkiksi tasoaaltoratkaisu voi kuvata sähkömagneettista pulssia, joka on lokalisoitu liikkeen suunnassa. Tasossa, joka on kohtisuorassa kohtaan , sähkömagneettiset kentät eivät muutu, mikä tarkoittaa, että tässä tasossa tasoaalto ei ole rajoitettu ja sillä on tasainen vaiherintama (siksi aaltoa kutsutaan tasoksi ). Koska sähkö- ja magneettikentät tasoaallon etenemisen aikana pysyvät koko ajan kohtisuorassa vektoriin nähden , tällaisia aaltoja kutsutaan "transversaaliseksi" tai "poikittaiseksi". Vektorit ja ristitulon ominaisuuksista johtuen ovat myös kohtisuorassa toisiinsa nähden. $u=\mathbf {n} \mathbf {r} -ct/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $\mathbf {n}$ $\mathbf {n}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

$\bullet$ Tasoaallon sähkö- ja magneettikenttien energiatiheydet ovat yhtä suuret:

GHS	SI
$w_{E}=w_{H}={\frac {\varepsilon }{8\pi }}\,\mathbf {E} ^{2}$	$w_{E}=w_{H}={\frac {\varepsilon \varepsilon _{0}}{2}}\,\mathbf {E} ^{2}$

Poynting-vektori (energiavuon tiheys) on yksikköjärjestelmästä riippumatta suhteessa kokonaisenergiatiheyteen seuraavasti:

$\mathbf {S} ={\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}\,\mathbf {n} \,(w_{E}+w_{H}).$

Tämä suhde vastaa massattoman hiukkasen liikemäärän ja energian yhtälöä relativistisessa teoriassa . Nopeus väliaineessa on kuitenkin pienempi kuin valon nopeus tyhjiössä . $c/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $c$

Taso- ja poikittaiset aallot ovat matemaattisia abstraktioita. Diffraktion vaikutuksesta äärellisen aukon todellisia aaltoja voidaan pitää tasoina ja poikittaisina vain jossain approksimaatiossa.

$\bullet$ Tasoaaltoratkaisun tärkeä erikoistapaus syntyy, kun kentänvoimakkuudet ovat harmonisia jaksollisia funktioita. Valitsemme koordinaattiakselin aaltovektoria pitkin . Silloin sähkökentän vektori (samoin kuin magneettikenttä) on tasossa , eli . Jos jokaisessa tämän tason projektiossa sähkökenttä värähtelee jaksottaisesti, niin tällaista aaltoa kutsutaan monokromaattiseksi tasoaaltoksi: $z$ $\mathbf {k}$ $(x,y)$ $\mathbf {E} =(E_{x},E_{y},0)$

$E_{x}=a\,\cos(\omega t-\mathbf {k} \mathbf {r} +\phi _{1}),~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~E_{y}=b\,\cos(\omega t-\mathbf {k} \mathbf {r} +\phi _{2}).$

Vertailu yleiseen tasoaaltoratkaisuun johtaa seuraavaan vektorin ja vakion väliseen suhteeseen , jota kutsutaan dispersioyhtälöksi : $\mathbf {k}$ $\omega$

$\mathbf {k} =\mathbf {n} \,{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\,\omega ,~~~~~~~~~~~~\mathbf { k} ^{2}={\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}\,\omega ^{2}.$

Tässä tapauksessa vektoria kutsutaan monokromaattisen sähkömagneettisen aallon aaltovektoriksi ja ympyrätaajuudeksi . Aaltovektorimoduuli ja ympyrätaajuus liittyvät aallonpituuteen ja taajuuteen seuraavasti: $\mathbf {k}$ $\omega$ $\lambda$ $\nu$

$k={\frac {2\pi }{\lambda )),~~~~~~~~~\omega =2\pi \nu ,~~~~~~~~~~~~\lambda \nu = {\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}.$

Vakiot ja ovat vaihesiirtoja, ja ja ovat värähtelyamplitudeja kutakin akselia pitkin. $\phi _{1}$ $\phi _{2}$ $a$ $b$

Kiinteässä pisteessä avaruudessa ( ) sähkökenttävektori kuvaa yleisesti tasossa olevaa ellipsiä, joten tällaisia aaltoja kutsutaan elliptisesti polarisoiduiksi . Niiden erikoistapaus ovat ympyrässä polarisoidut aallot. Suoraksi viivaksi rappeutunut ellipsi vastaa kentänvoimakkuuden heilahteluja yhtä suoraa pitkin tasossa . Tällaisia aaltoja kutsutaan lineaarisesti polarisoiduiksi. Tilanne on samanlainen magneettisen induktiovektorin kanssa, joka on aina kohtisuorassa sähkökentän voimakkuuteen nähden. $\mathbf {k} \mathbf {r} =\mathrm {const}$ $(x,y)\$ $(x,y)\$

Suhde muihin teorioihin

Maxwellin yhtälöt ovat täysin yhteensopivia erikoissuhteellisuusteorian periaatteiden kanssa . Ne soveltuvat myös aineen mikroskooppiseen kuvaukseen, kun varautuneet hiukkaset noudattavat kvanttimekaniikan periaatteita ja sähkömagneettinen kenttä pysyy klassisena (ei kvanttina). Tässä tapauksessa kvanttiobjektit (esimerkiksi elektronit ) kuvataan Schrödingerin yhtälöllä tai Diracin yhtälöllä , mutta sähkömagneettiset vuorovaikutuspotentiaalit näissä yhtälöissä määräytyvät klassisilla Maxwell-yhtälöillä.

Siitä huolimatta on ilmiöitä, jotka vaativat Faraday-Maxwellin kenttälähestymistavan johdonmukaisempaa yhdistämistä kvanttimekaniikan periaatteisiin. Se suoritetaan käyttämällä kvanttikenttäteorian menetelmiä kvanttielektrodynamiikassa . Tässä tapauksessa Maxwellin yhtälöiden muoto (Lagrangian) pysyy muuttumattomana, mutta kentistä tulee operaattoreita ja Maxwellin yhtälöistä tulee Heisenbergin operaattoriyhtälöitä . Tällaisten yhtälöiden ratkaisu johtaa uusien vaikutusten ilmaantumista, jotka puuttuvat klassisesta kenttäteoriasta. Nämä vaikutukset ovat merkittäviä erityisesti seuraavissa fyysisissä tilanteissa:

Supervoimakkaat kentät ( ≈1,32×10 18 V/m, missä on elektronin massa , on sen varaus, on Planckin vakio ) - tällaisen kentän työ elektronin Compton-aallonpituudella on suuruusluokkaa elektronin lepoenergiaan , mikä johtaa spontaanin elektroni-positronihöyryn muodostumiseen tyhjiöstä ( Schwinger-ilmiö ) [71] . Tämän seurauksena syntyy tehokas fotonien vuorovaikutus, joka puuttuu klassisesta sähködynamiikasta, mikä johtaa tehokkaaseen muutokseen Lagrangian kentässä (esimerkiksi matalan energian rajalla kenttää kuvaa Heisenberg-Euler Lagrangian [72 ] ). $E\sim m_{e}^{2}c^{3}/e\hbar$ $minä}\$ $e\$ $\hbar$
Superheikot kentät energialla , missä on kentän taajuus (katso Planckin kaava ). Tässä tapauksessa sähkömagneettisen kentän yksittäiset kvantit tulevat havaittaviksi - fotonit . $\sim \hbar \omega$ $\omega \$
Kuvaa atomien ja molekyylien valon absorption ja emission vaikutuksia.
Kuvaamaan ei-klassisia, esimerkiksi kompressoituja kenttätiloja [73] .
Lyhyillä etäisyyksillä, jotka ovat verrattavissa elektronin Compton-aallonpituuteen ≈ 3,86 × 10 −13 m, kun esimerkiksi Coulombin lakia muutetaan tyhjiövaikutusten seurauksena . $\lambda _{e}=\hbar /m_{e}c$

Aksiomaattinen lähestymistapa

Historiallisesti Maxwellin yhtälöt syntyivät useiden kokeellisten löytöjen yleistyksen seurauksena. Aksiomaattisesta näkökulmasta ne voidaan kuitenkin saada käyttämällä seuraavaa vaihesarjaa [74] :

Oletuksena:
- Coulombin laki ( pakottaen koepanoksen kiinteästä panoksesta ); $\mathbf {F}$ $q$ $K$
- varausinvarianssi erilaisissa inertiaalisissa viitekehyksessä;
- superpositioperiaate .
Lorentzin muunnoksilla saadaan testivaraukseen vaikuttavan voimavektorin arvo tasaisesti nopeudella liikkuvan varauksen puolelta , joka osuu yhteen Lorentzin voiman kanssa . $\mathbf {F}$ $\mathbf {u}$ $K$
Voiman sähköisistä ( ) ja magneettisista ( ) komponenteista laskettu divergentti ja kihara antavat Maxwellin yhtälön pistevaraukselle. Superpositioperiaatteen nojalla ne on kirjoitettu mielivaltaiseen varausten ja virtojen jakautumiseen. Yhteenvetona voidaan todeta, että näiden yhtälöiden soveltuvuus varausten kiihdytettyyn liikkeeseen oletetaan. $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

Toinen lähestymistapa perustuu Lagrangin formalismiin [75] . Samanaikaisesti oletetaan, että sähkömagneettista kenttää kuvaa neliulotteisen potentiaalin lineaarinen vuorovaikutus nelivektorisen sähkövirran kanssa , ja vapaa Lagrange on verrannollinen sähkömagneettisen kentän tensorin neliön invarianttikonvoluutioon. . ${\displaystyle A^{\alpha ))$ ${\displaystyle j^{\alpha ))$ $F^{\alpha \beta }$

Sekä ensimmäisessä että toisessa lähestymistavassa suhteellisuusteorian periaatteet oletetaan vakiintuneen . Vaikka se historiallisesti syntyi Maxwellin yhtälöiden ja Einsteinin toisen postulaatin perusteella, on olemassa aksiomaattinen menetelmä SRT :n rakentamiseen, joka juontaa juurensa Ignatovskyn [76] , Frankin ja Rothen [77] teoksiin eikä käytä invarianssin postulaattia. valonnopeudesta ja Maxwellin yhtälöistä.

Molemmissa aksiomaattisissa lähestymistavoissa Maxwellin yhtälöt saadaan tyhjiössä vapaiden varausten läsnä ollessa. Näiden yhtälöiden laajentaminen jatkuvien väliaineiden sähködynamiikkaan edellyttää erilaisten malliideoiden lisäämistä aineen rakenteesta.

Maxwellin yhtälöiden ratkaisujen ainutlaatuisuus

Maxwellin yhtälöt ovat osittaisdifferentiaaliyhtälöitä . Siksi niiden ratkaisemiseksi on tarpeen asettaa alku- ja reunaehdot . Ei-stationaaristen kenttien varaustiheyden ja virran kiinteille funktioille tuloksena oleva ratkaisu on ainutlaatuinen. Tämä tosiasia on muotoiltu lauseeksi [78] [79] [80] :

Jos sähkö- ja magneettikenttien vahvuudet annetaan alkuhetkellä tietyn avaruuden alueen kussakin pisteessä ja koko ajan sähkö- tai magneettikentän voimakkuuden tangentiaaliset (tangentiaaliset) komponentit tämän rajalla. alue on annettu , niin Maxwellin yhtälöille on ainutlaatuinen ratkaisu. $t = 0$ $v$ $t\geq 0$ $s$

Todiste

Olkoon sähköiset ja magneettiset induktiot suhteutettuja kentänvoimakkuuksiin seuraavien konstitutiivisten yhtälöiden avulla:

$\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)={\hattu {\varepsilon }}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t),~~~ ~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\hattu {\mu }}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {H } (\mathbf {r} ,t),$

missä ja ovat positiivisia määrättyjä, symmetrisiä, stationaarisia matriiseja. Jos annetuissa alku- ja reunaehdoissa on kaksi erilaista ratkaisua, seuraavat suuret ovat nollia poikkeavia: ${\hattu {\varepsilon ))(\mathbf {r})$ ${\hattu {\mu ))(\mathbf {r} )$

$\mathbf {e} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{2}(\mathbf {r} ,t)-\mathbf {E} _{1}(\mathbf {r}, t),~~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {h} (\mathbf {r},t)=\mathbf {H} _{2}(\mathbf {r}, t)-\mathbf {H} _{1}(\mathbf {r} ,t),$

jossa indeksi osoittaa ratkaisun numeron. Koska alku- ja reunaehdot on annettu (sama molemmille mahdollisille ratkaisuille), niin:

$\mathbf {e} (\mathbf {r} ,0)=\mathbf {h} (\mathbf {r} ,0)=0,~~~~~~~~~~~~~~~[\mathbf { e} _{\tau }(\mathbf {r} ,t)\cup \mathbf {h} _{\tau }(\mathbf {r} ,t)]{\Big |}_{s}=0 .$

Ensimmäinen relaatio vastaa alkuehtoja ja toinen pinnan reunaehtoja , jossa . (Indeksi on pinnan normaalikomponentti ja tangentti. Samoin ) Roottoreiden funktioiden korvaaminen Maxwellin yhtälöihin johtaa seuraaviin yhtälöihin: $s$ $\mathbf {e} =\mathbf {e} _{n}+\mathbf {e} _{\tau }$ $n$ $\tau$ $\mathbf {h}$ $\mathbf {e} (\mathbf {r} ,t)$ $\mathbf {h} (\mathbf {r} ,t)$

$k\,\nabla \times \mathbf {e} =-{\frac {\partial ({\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )}{\partial t)),~~~~~ ~~~~~~~~~~~~k\,\nabla \times \mathbf {h} ={\frac {\partial ({\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {e} )}{ \partial-t}},$

jossa kerroin on yhtä suuri CGS- järjestelmässä ja yksikkö SI -järjestelmässä . Jos yksi erokentistä tai on yhtä suuri kuin nolla, niin nollan alkuehdoista johtuen ensimmäisestä tai toisesta yhtälöstä seuraa, että määrittelemätön erotuskenttä on vastaavasti nolla tai , ja uniikiteetti näissä erikoistapauksissa on todistettu. $k$ $c$ $\mathbf {e}$ $\mathbf {h}$ $\mathbf {h}$ $\mathbf {e}$

Oletetaan, että kumpikaan erotuskenttä ei ole nolla. Jos ensimmäinen yhtälö kerrotaan luvulla ja toinen luvulla ja vähennetään toisistaan, saadaan seuraava lauseke: $\mathbf {h}$ $\mathbf {e}$

-2k\,\nabla \cdot (\mathbf {e} \times \mathbf {h} )={\frac {\partial (\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon ))\cdot \mathbf { e} )}{\partial t}}+{\frac {\partial (\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )}{\partial t}}).

Tämä lauseke voidaan integroida tilavuuden yli ja soveltaa Gaussin lausetta : $v$

-2k\oint \limits _{s}[\mathbf {e} \times \mathbf {h} ]\,d\mathbf {s} ={\frac {d}{dt))\int \limits _{v}(\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {e} +\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )\,dv.

Vektorien komponentit, jotka ovat tangentiaalisia (tangentiaalisia) pintaa vastaan tai ovat yhtä suuria kuin nolla mille tahansa (rajaehdoille), joten pinnan yli oleva integraali on myös nolla. Näin ollen: $s$ $\mathbf {e} _{\tau }$ $\mathbf {h} _{\tau }$ $t\geq 0$

{\frac {d}{dt}}\int \limits _{v}(\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {e} +\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )\,dv=0.

Tuloksena oleva suhde integroituu ajan myötä. Koska funktion alkuvaiheessa integrointivakio on nolla, ja mille tahansa : $t = 0$ $\mathbf {e} (\mathbf {r} ,0)=\mathbf {h} (\mathbf {r} ,0)=0$ $t$

\int \limits _{v}(\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon ))\cdot \mathbf {e} +\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu )) \cdot \mathbf {h} )\,dv=0.

Integrandi on positiivinen määrätty (aina suurempi tai yhtä suuri kuin nolla). Tällaisen funktion integraali on nolla vain, jos integrandi on identtinen nolla. Siksi milloin tahansa äänenvoimakkuuden sisällä ja . Ratkaisut ovat siis samat. $\mathbf {e} (\mathbf {r} ,t)=0$ $\mathbf {h} (\mathbf {r} ,t)=0$

Maxwellin yhtälöiden ratkaisun ainutlaatuisuuden vuoksi kentän tangentiaalikomponenttien määrittämisen sijaan voidaan vaatia, että impedanssityypin ehto täyttyy rajalla.

\left(\mathbf {E} _{\tau }-Z[\mathbf {n} \times \mathbf {H} ]\oikea){\Big |}_{s}=0,

jossa impedanssi valitaan siten, että energian sisäänvirtaus ulkopuolelta suljetaan pois. Tämä ehto mahdollistaa ainutlaatuisuuslauseen muotoilemisen myös rajoittamattomassa tapauksessa, ja impedanssiehto muuttuu Sommerfeldin säteilyehdoksi äärettömässä. $Z$

Ajallisesti harmonisilla prosesseilla ongelman ratkaisun ainutlaatuisuus ilman alkuehtoja varmistetaan mielivaltaisen pienellä energian imeytymisellä tilavuuden sisällä tai sen vuotamisella pinnan läpi (lukuun ottamatta luonnollisia värähtelyjä todellisilla resonanssitaajuuksilla ). $v$ $s$

Kiinteissä sähköstaattisen ja magnetostaatiikan ongelmissa ainoa ratkaisu tasaisille kentille määräytyy vain reunaehtojen mukaan.

Maxwellin yhtälöiden numeerinen ratkaisu

Tietotekniikan kehittyessä on tullut mahdolliseksi ratkaista monia sähködynamiikan ongelmia numeerisilla menetelmillä [81] , jotka mahdollistavat sähkömagneettisen kentän jakautumisen määrittämisen annetuissa alku- ja reunaolosuhteissa Maxwellin yhtälöihin perustuvilla algoritmeilla.

Tärkeimmät menetelmät ovat projektiomenetelmät, joissa ratkaisu projisoidaan jollekin sopivalle toiminnalliselle pohjalle, ja diskretisointimenetelmät, joissa avaruuden alue jaetaan useisiin pieniin äärellisiin alueisiin.

Bubnov–Galyorkin- projektiomenetelmässä [82] raja-arvotehtävän ratkaisua pidetään likimääräisenä äärellisenä laajennuksena kantafunktioiden suhteen. Kun laajennus on korvattu alkuperäisillä yhtälöillä, ottaen huomioon vaatimus, että tuloksena oleva poikkeama on ortogonaalinen valittuihin kantafunktioihin nähden, saadaan laajennuskertoimien lineaarinen yhtälöjärjestelmä.

Tietokonelaskelmissa käytetään yleisempiä diskretisointimenetelmiä:

Finite Element Method (FEM), jota käytetään ratkaisemaan monia ongelmia, jotka pelkistyvät osittaisdifferentiaaliyhtälöihin. Sähkömagnetismin teoriassa sitä käytetään useammin sähköstaattisten, magnetostaattisten, aallon etenemisen ja kvasistationaaristen ilmiöiden ongelmien laskemiseen [83] [84] . Elementtimenetelmässä tarkasteltu avaruuden alue, jossa ratkaisua etsitään, jaetaan suureen määrään yksinkertaisia erillisiä elementtejä, yleensä, mutta ei välttämättä, kolmion muotoisia (kaksiulotteisessa tapauksessa) tai tetraedrisissä (kolmiulotteisessa tapauksessa). mittainen tapaus). Elementtien muoto ja tiheys mukautetaan tehtävän vaatimuksiin. Yksittäisten elementtien käyttäytymistä tarkastellaan osiohilan vierekkäisten solmujen lineaarisen vuorovaikutuksen tuloksena ulkoisten voimien vaikutuksesta ja sitä kuvataan matriisiyhtälöillä. Ongelman ratkaisu siis pelkistyy useiden lineaaristen matriisiyhtälöiden harvalukuisten järjestelmien ratkaisemiseen. Menetelmä on toteutettu monissa kaupallisissa ja ilmaisissa ohjelmistopaketeissa (katso artikkeli Finite Element Method ).

Aika-alueen äärellisen eron menetelmä (FDTD) ajan ja spektririippuvuuksien löytämiseen [85] [86] kehitettiin erityisesti Maxwell-yhtälöiden ratkaisemiseen, joissa sähkö- ja magneettikenttien muutos ajassa riippuu magneettisen muutoksesta. ja sähkökentät avaruudessa, vastaavasti. Tämän menetelmän puitteissa avaruusalue ja aikaväli alistetaan tasaiselle diskretisoinnille alkuehtojen osoittamalla. Maxwell-yhtälöistä saatuja äärellisdifferentiaaliyhtälöitä ratkaistaan jokaisella aikaruudukon myöhemmällä hetkellä, kunnes ongelman ratkaisu saadaan koko vaaditulla aikavälillä.

Lähteet

↑ Oersted H.K. "Kokeiluja, jotka liittyvät sähköisen konfliktin toimintaan magneettineulalla", kirjassa. Amper A. M. Elektrodynamiikka. - M .: AN SSSR, 1954. - S. 433-439. — 492 s. -5000 kappaletta.
↑ J.-B. Biot ja F. Savart , Note sur le Magnétisme de la pile de Volta Arkistoitu 2. marraskuuta 2009 Wayback Machinessa . Annales Chim. Phys. - vol. 15.-s. 222-223 (1820)
↑ Mario Gliozzi. Fysiikan historia. - M .: Mir, 1970. - S. 253-257. — 464 s.
↑ Maxwell J.K. Valitut teokset sähkömagneettisen kentän teoriasta. - M .: GITTL, 1952. - S. 349. - 687 s.
↑ Maxwell J.K. Valitut teokset sähkömagneettisen kentän teoriasta. - M .: GITTL, 1952. - S. 632. - 687 s.
↑ Maxwell J.K. Faradayn voimalinjoista kirjassa. Maxwell JK Selected käsittelee sähkömagneettisen kentän teoriaa. - M .: GITTL, 1952. - S. 11-88. — 687 s.
↑ Maxwell JC Faradayn voimalinjoista // Cambridge Philosophical Societyn liiketoimet. - 1856. - T. 10 , nro 1 . - S. 155-229 . Arkistoitu alkuperäisestä 17. joulukuuta 2008.
↑ 1 2 3 Shapiro I. S. Maxwellin yhtälöiden löytämisen historiasta // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Venäjän tiedeakatemia , 1972. - T. 108 , nro 2 . - S. 319-333 . Arkistoitu alkuperäisestä 22. toukokuuta 2013. (Venäjän kieli)
↑ Maxwell J.K. Fyysisistä voimalinjoista kirjassa. Maxwell JK Selected käsittelee sähkömagneettisen kentän teoriaa. - M .: GITTL, 1952. - S. 107-177. — 687 s.
↑ Maxwell JC fyysisistä voimalinjoista // Philosophical Magazine : Ser. 4. - 1861.1862. - T. 11.13 . - S. 161-175, 281-291, 338-347; 12-23, 85-95 . Arkistoitu alkuperäisestä 12. kesäkuuta 2009.
↑ Maxwell J.K. Sähkömagneettisen kentän dynaaminen teoria kirjassa. Maxwell JK Selected käsittelee sähkömagneettisen kentän teoriaa. - M .: GITTL, 1952. - S. 251-316. — 687 s.
↑ Maxwell JC Sähkömagneettisen kentän dynaaminen teoria // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : aikakauslehti. - 1865. - Voi. 155 . - s. 459-512 . Arkistoitu alkuperäisestä 28. heinäkuuta 2011.
↑ Maxwell JC : Trakaatti sähköstä ja magnetismista, 1873
↑ Paul J. Nahin. Oliver Heaviside: viktoriaanisen ajan sähköneron elämä, työ ja ajat (englanniksi) . - JHU Press, 2002. - s. 108-112. — ISBN 9780801869099 . Arkistoitu 1. lokakuuta 2014 Wayback Machinessa
↑ Aharonov, Y; Bohm, D. Sähkömagneettisten potentiaalien merkitys kvanttiteoriassa (englanniksi) // Physical Review : Journal. - 1959. - Voi. 115 . - s. 485-491 . - doi : 10.1103/PhysRev.115.485 .
↑ Nahin PJ Oliver Heaviside: viktoriaanisen ajan sähköneron elämä, työ ja ajat Arkistoitu 25. syyskuuta 2014 Wayback Machinessa . - JHU Press. - s. 108-112. — ISBN 978-0-8018-6909-9
↑ 1 2 Einstein A. Zur Elektrodynamik bewegter Körper Ann Phys. 1905. Bd 17. S. 891 _ _ _ _ - M . : Nauka, 1965. - T. 1. - S. 7-35. – 700 s. - 32 000 kappaletta.
↑ Myron Evans. Nykyaikainen epälineaarinen optiikka (neopr.) . - John Wiley and Sons , 2001. - S. 240. - ISBN 9780471389316 . Arkistoitu 29. syyskuuta 2014 Wayback Machineen
↑ Larmor J. Eetteri ja aine. – Cambridge. - 1900. - s. 162-193. Käännös: Larmor J. Eetteri ja aine kirjassa. Suhteellisuusperiaate. Kokoelma teoksia erityisestä suhteellisuusteoriasta / Kokoanut A. A. Tyapkin. - M .: Atomizdat , 1973. - S. 47-64. — 332 s.
↑ Lorentz H. A. Sähkömagneettiset ilmiöt järjestelmässä, joka liikkuu valoa pienemmällä nopeudella. — Amst. Proc. - V. 6. - P. 809; 1904. - V. 12. - P. 986. Käännös: Lorentz G. A. Sähkömagneettiset ilmiöt järjestelmässä, joka liikkuu millä tahansa nopeudella, joka on pienempi kuin kirjan valonnopeus. Suhteellisuusperiaate. Kokoelma teoksia erityisestä suhteellisuusteoriasta / Kokoanut A. A. Tyapkin. — M .: Atomizdat , 1973. — S. 67-86. — 332 s.
↑ Poincare H. Sur la dynainique de l'electron. — Comptes Rendues, Acad. sci. — Pariisi. - 1905. - V. 140. - P. 1504. Käännös: Poincare A. Elektronin dynamiikasta kirjassa. Suhteellisuusperiaate. Kokoelma teoksia erityisestä suhteellisuusteoriasta / Kokoanut A. A. Tyapkin. - M .: Atomizdat , 1973. - S. 90-93. — 332 s.
↑ Pauli W. Suhteellisuusteoria. - M . : Tiede. - S. 13-17.
↑ Berestetsky V. B. , Lifshits E. M. , Pitaevsky L. P. Quantum electrodynamics. - 4. painos, tarkistettu. — M .: Fizmatlit , 2002. — 720 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa IV). — ISBN 5-9221-0058-0 .
↑ L. B. Okun . Liite I // Alkuainehiukkasten fysiikka. - M .: Nauka, 1984.
↑ D. V. Sivukhin . Kansainvälisestä fyysisten suureiden järjestelmästä // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Venäjän tiedeakatemia , 1979. - T. 129 , nro 10 . - S. 335 . Arkistoitu alkuperäisestä 14. huhtikuuta 2010. (Venäjän kieli)
↑ S. G. Karshenboim. Fysikaaliset perusvakiot : rooli fysiikassa ja metrologiassa ja suositellut arvot // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Venäjän tiedeakatemia , 2005. - T. 175 , nro 3 . - S. 271 . Arkistoitu alkuperäisestä 28. maaliskuuta 2010. (Venäjän kieli)
↑ Bolotovsky B.M. Oliver Heaviside . - M .: Nauka, 1985. - S. 43-44. - 260 s. Arkistoitu 14. maaliskuuta 2022 Wayback Machinessa
↑ O. Haviside, "On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a dilectric" Arkistoitu 20. tammikuuta 2012 osoitteessa Wayback Machine , Phil.Mag. S.5 27 , s. 324, 1889.
↑ Kartsev V.P. "Suurien yhtälöiden seikkailut", M.: Tieto, 1986.
↑ Dengub V. M. , Smirnov V. G. Summien yksiköt. Sanakirjan viittaus. - M . : Publishing House of Standards, 1990. - S. 213. - 240 s. — ISBN 5-7050-0118-5 .
↑ Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2008). Fyysisten perusvakioiden CODATA-suositusarvot: 2006. Rev. Mod. Phys. 80: 633-730. doi : 10.1103/RevModPhys.80.633 .
↑ Fysikaalisten vakioiden arvot . Haettu 30. maaliskuuta 2007. Arkistoitu alkuperäisestä 31. elokuuta 2014. (määrätön)
↑ Sena L. A. Fysikaalisten suureiden yksiköt ja niiden mitat. - M.: Nauka. Ch. toim. Fys.-Math. lit., 1988. - 432 s., ill. ISBN 5-02-013848-7 , § 7.5.
↑ Esimerkiksi Fysikaalisten määrien taulukot / akad. I.K. Kikoin . - M .: Atomizdat , 1976.
↑ Taitekerrointietokanta . Haettu 17. huhtikuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 22. joulukuuta 2017. (määrätön)
↑ Stratton J.A. Sähkömagnetismin teoria. - M. - L .: GITTL, 1948. - S. 42-45. — 539 s. -8000 kappaletta.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Kenttäteoria. - 7. painos, tarkistettu. — M .: Nauka , 1988. — S. 112-113. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Kenttäteoria. - 7. painos, tarkistettu. — M .: Nauka , 1988. — S. 69-76,95-96. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Stratton J.A. Sähkömagnetismin teoria. - M. - L .: GITTL, 1948. - S. 34-35. — 539 s. -8000 kappaletta.
↑ 1 2 Landau L. D. , Lifshitz E. M. Kenttäteoria. - 7. painos, tarkistettu. — M .: Nauka , 1988. — S. 215-218. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Ginzburg V. L. Teoreettinen fysiikka ja astrofysiikka. - M .: Nauka, 1981. - S. 12. - 503 s.
↑ Stratton J.A. Sähkömagnetismin teoria. - M. - L .: GITTL, 1948. - S. 37-40. — 539 s. -8000 kappaletta.
↑ Essex EA Sähkömagneettisen teorian Hertz-vektoripotentiaalit. — American Journal of Physics . - 45. - 1977. - 1099-1101.
↑ A. Nisbet, "Hertzin sähkömagneettiset potentiaalit ja niihin liittyvät mittamuunnokset", Proc. Royal Soc. Lontoosta. Ser. A., 231, #1185, 250-263, 1955.
↑ P. Debye. Der Lichtdruck auf Kugeln von beliebigem Material (saksa) // Annalen der Physik . - 1909. - Bd. 30 . - S. 57-136 .
↑ Stratton J.A. Sähkömagnetismin teoria. - M. - L .: GITTL, 1948. - S. 345-348. — 539 s. -8000 kappaletta.
↑ R. Janaswamy. Huomautus sähkömagneettisten kenttien {TE/TM} hajoamisesta kolmiulotteisessa homogeenisessa avaruudessa // IEEE Transactions on Antennas and Propagation . - 2004. - Voi. 52 . - P. 2474-2476 .
↑ L. Silberstein. Electromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung (saksa) // Annalen der Physik . - 1907. - Bd. 22 . — S. 579 .
↑ 1 2 I. Bialynicky-Birula. Fotoniaaltofunktio // Optiikan edistyminen . - 1996. - Voi. 36 . - s. 245-294 .
↑ Stratton J.A. Sähkömagnetismin teoria. - M. - L .: GITTL, 1948. - S. 40-42. — 539 s. -8000 kappaletta.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Kenttäteoria. - 7. painos, tarkistettu. — M .: Nauka , 1988. — S. 88-90. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Müller-Kirsten HJW Elektrodynamiikka: Johdanto, joka sisältää kvanttiefektejä. - Singapore: World Scientific, 2004. - S. 398 399. — 522 s. — ISBN 981-238-807-9 .
↑ Müller-Kirsten HJW Elektrodynamiikka: Johdanto, joka sisältää kvanttiefektejä. - Singapore: World Scientific, 2004. - S. 399. - 522 s. — ISBN 981-238-807-9 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Kenttäteoria. - 7. painos, tarkistettu. — M .: Nauka , 1988. — S. 90-91. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Müller-Kirsten HJW Elektrodynamiikka: Johdanto, joka sisältää kvanttiefektejä. - Singapore: World Scientific, 2004. - S. 403. - 522 s. — ISBN 981-238-807-9 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Kenttäteoria. - 7. painos, tarkistettu. — M .: Nauka , 1988. — S. 70-73. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ 1 2 Müller-Kirsten HJW Elektrodynamiikka: Johdanto, joka sisältää kvanttiefektejä. - Singapore: World Scientific, 2004. - S. 428. - 522 s. — ISBN 981-238-807-9 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Kenttäteoria. - 7. painos, tarkistettu. - M .: Nauka , 1988. - S. 102. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Fedosin SG Pienimmän toiminnan periaate painovoiman kovarianttiteoriassa. Arkistoitu 12. maaliskuuta 2017 Wayback Machine Hadronic Journaliin, 2012, Vol. 35, ei. 1, s. 35-70; venäjänkielinen artikkeli: Pienimmän toiminnan periaate painovoiman kovarianttiteoriassa. Arkistoitu 12. maaliskuuta 2017 Wayback Machineen
↑ Bolibrukh A. A. Maxwellin yhtälöt ja differentiaalimuodot Arkistokopio, päivätty 1. helmikuuta 2019, Wayback Machine , MTsNMO, 2002.
↑ Misner C. , Thorn C. , Wheeler J. Gravity . - M .: Mir, 1977. - T. 1. - S. 195,196. — 474 s.
↑ Misner C. , Thorn C. , Wheeler J. Gravity . - M .: Mir, 1977. - T. 1. - S. 153-155. — 474 s.
↑ Dirac P.A.M. Yleinen suhteellisuusteoria. - M . : Atomizdat, 1978. - 64 s.
↑ Van der Werden B. L. Ryhmäteorian menetelmä kvanttimekaniikassa, M., Pääkirjoitus URSS, 2004, ISBN 5-354-00700-3
↑ Rumer Yu. B. Spinor-analyysi, M., NKTP, 104 sivua.
↑ Saveliev, 1970 , § 109. Aaltoyhtälö.
↑ Mignani, R., Recami, E., Baldo, M. , About a Dirac-like Equation for the Photon, mukaan Ettore Majorana, Lett. Nuovo Cimento 11:568-572 (1974)
↑ A. I. Akhiezer , V. B. Berestetsky Kvanttielektrodynamiikka. - M., Nauka, 1981. - s. 80
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Kenttäteoria. - 7. painos, tarkistettu. - M .: Nauka , 1988. - S. 128-130. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Berkeleyn fysiikan kurssi. Osa 2. Purcell E. Sähkö ja magnetismi. - M.: Nauka, 1971.
↑ Schwinger J. Mittarin invarianssista ja tyhjiöpolarisaatiosta // Phys . Rev. Lett. . - 1951. - Voi. 82 . - s. 664 .
↑ Heisenberg W. , Euler H. Folgerungen aus der Dlracschen Theorie des Positrons (saksa) // Z. Phys. . - 1936. - Bd. 98 . - S. 714 .
↑ A. V. Belinsky, A. S. Chirkin Pakattu tila - artikkeli Physical Encyclopediasta
↑ Purcell E. Berkeleyn fysiikan kurssi. - M . : Tiede. - T. II. sähköä ja magnetismia. - S. 149-181.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Kenttäteoria. - 7. painos, tarkistettu. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ von W. v. Ignatowsky "Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip" Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 ( venäjänkielinen käännös arkistoitu 2. heinäkuuta 2017 Wayback Machinessa )
↑ von Philipp Frank ja Hermann Rothe "Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme" Ann. der Physic, Ser. 4, voi. 34, nro. 5, 1911, s. 825-855 ( venäjänkielinen käännös arkistoitu 29. elokuuta 2014 Wayback Machinessa )
↑ Stratton J.A. Sähkömagnetismin teoria. - M. - L .: GITTL, 1948. - S. 429-430. — 539 s. -8000 kappaletta.
↑ Nikolsky V.V., Nikolskaya T.I. Radioaaltojen elektrodynamiikka ja eteneminen. M.: Nauka, 1989. - C. 128-130
↑ XL Zhou "Riippumattomuudesta, Maxwellin yhtälöiden täydellisyydestä ja ainutlaatuisuuslauseista sähkömagnetiikassa" Progress In Electromagnetics Research, PIER 64, 117-134, 2006 pdf Arkistoitu 2. kesäkuuta 2010 Wayback Machinessa
↑ Chew WC, Jin J., Michielssen E., Song J. Fast and Efficient Algorithms in Computational Electromagnetics . - Artech House, 2001. - ISBN 1-58053-152-0 .
↑ Nikolsky V.V., Nikolskaya T.I. Radioaaltojen elektrodynamiikka ja eteneminen. M.: Nauka, 1989. - C. 416-436
↑ Sylvester P. ja Ferrari R. Finite Element Method for Radio and Electrical Engineers. - M .: Mir, 1986. - 336 s.
↑ Monk, P. Finite Element Methods for Maxwellin yhtälöitä . – Oxford University Press , 2003.
↑ Taflove A. ja Hagness SC Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method . - Artech House, 2005.
↑ Jin, J. The Finite Element Method in Electromagnetics . – 2. - Wiley-IEEE Press , 2002. - ISBN 0-47143-818-9 .

Muistiinpanot

↑ Poikkeuksen olivat Millerin kokeet Mount Wilsonilla. Näiden kokeiden myöhempi toistaminen muiden tutkijoiden toimesta tarkemmilla laitteilla ei paljastanut vaikutusta. Katso Michelson- kokeen toistot, arkistoitu 12. tammikuuta 2020 Wayback Machinessa
↑ Toisin sanoen vektorikentät, jotka sisältävät divergensseja, jotka ovat skalaareja.
↑ Tässä käytetään symmetristä Gaussin GHS:ää. Maxwellin yhtälöt muissa CGS-versioissa ja universaalissa muodossa, joka ei riipu yksikköjärjestelmän valinnasta, katso artikkeli CGS § CGS:n laajennukset ja sähködynamiikan yhtälöiden universaali muoto .
↑ 1 2 3 4 Jos vapaita magneettisia monopoleja löydetään kokeellisesti, tämä edellyttää magneettisten varausten tiheyden ja niiden virtojen tiheyden sisällyttämistä magneettikenttään Gaussin lakiin Faradayn induktiolakiin.
↑ Esimerkiksi johtimessa on yleensä vähintään kahden tyyppisiä erimerkkisiä varauksenkuljettajia, joten johtimessa kokonaisvaraustiheys voi olla nolla, mutta virtaa voi silti olla (ja silloin sen tiheys ei ole nolla).
↑ Tässä ja alla on käytetty nykyajan kirjallisuudessa yleisimmin käytettyjä käytäntöjä (koordinaattien numerointiin, metriseen allekirjoitukseen jne.), jotka voidaan yleisesti ottaen valita hieman eri tavalla kuin kirjallisuudesta löytyy.

Katso myös

Kirjallisuus

Historiallisia julkaisuja

Amper A. M. Elektrodynamiikka. - M .: AN SSSR, 1954. - 492 s. -5000 kappaletta.
Maxwell JK Selected käsittelee sähkömagneettisen kentän teoriaa. - M .: GITTL, 1952. - 687 s.
Maxwell J.K. Artikkelit ja puheet . - M .: Nauka, 1968. - 423 s.
Faraday M. Sähkön kokeellinen tutkimus. - M .: Neuvostoliiton tiedeakatemia, 1947-1959. - Osa I-III.
Maxwell JC Sähkömagneettisen kentän dynaaminen teoria // Lontoon kuninkaallisen seuran filosofiset tapahtumat. - 1865. - T. 155 . - S. 459-512 .
Maxwell JC , Trakaatti sähköstä ja magnetismista - osa 1 - 1873 - Posner Memorial Collection - Carnegie Mellon University
Maxwell JC , Trakaatti sähköstä ja magnetismista - osa 2 - 1873 - Posner Memorial Collection - Carnegie Mellon University
Maxwell J.K. Trakaatti sähköstä ja magnetismista. - M . : Nauka, 1989. - T. 1.
Maxwell J.K. Trakaatti sähköstä ja magnetismista. - M . : Nauka, 1989. - T. 2.
Maxwell JC fyysisistä voimalinjoista // Philosophical Magazine : Ser. 4. - 1861.1862. - T. 11.13 . - S. 161-175, 281-291, 338-347; 12-23, 85-95 .
Maxwell JC Faradayn voimalinjoista // Cambridge Philosophical Societyn liiketoimet. - 1856. - T. 10 , nro 1 . - S. 155-229 .

Kehityksen historia

Bolotovsky B.M. Oliver Heaviside . — M .: Nauka , 1985. — 260 s.
Kartsev V.P. Maxwell (Merkittävien ihmisten elämä). - M . : Nuori vartija , 1976. - 336 s.
Kartsev VP Suurien yhtälöiden seikkailut . — M .: Tieto , 1986. — 288 s.
Shapiro I. S. Maxwellin yhtälöiden löytämisen historiasta // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Venäjän tiedeakatemia , 1972. - T. 108 , nro 2 . - S. 319-333 . (Venäjän kieli)
Cooper L. Fysiikka kaikille. v.1 = Leon N. Cooper Johdatus fysiikan merkitykseen ja rakenteeseen, 1968,1970. - M .: Mir , 1973.

Yleiset fysiikan kurssit

Astakhov AV, Shirokov Yu. M. Fysiikan kurssi, osa II, Sähkömagneettinen kenttä. — M .: Nauka , 1980. — 360 s.
Baskakov S.I. Sähködynamiikan perusteet. - M . : Neuvostoliiton radio , 1973. - 248 s.
Kalashnikov S. G. Sähkö (yleinen fysiikan kurssi, osa 2). - 6. painos — M .: Fizmatlit , 2003. — 624 s. — ISBN 5-9221-0312-1 .
Matveev A.N. Sähkö ja magnetismi. - M .: Korkeakoulu , 1983.
Nikolsky VV, Nikolskaya TI Radioaaltojen sähködynamiikka ja eteneminen. M.: Nauka , 1989.
Penner D. I., Ugarov V. A. Elektrodynamiikka ja erityinen suhteellisuusteoria. M.: Enlightenment , 1980.
Purcell E. Sähkö ja magnetismi. Berkeleyn fysiikan kurssi. Osa 2. M.: Nauka , 1971.
Saveljev I.V. Yleisen fysiikan kurssi, osa II. Sähkö. - Tiede, 1970.
Sivukhin DV Yleinen fysiikan kurssi. - Toim. 3., rev. ja muita .. - M . : Nauka , 1996. - T. III. Sähkö. – 320 s. — ISBN 5-02-014054-6 ..
Tonnela M. A. Sähkömagnetismin perusteet ja suhteellisuusteoria. M.: IL, 1962.
Feynman R. , Layton R., Sands M. The Feynman Lectures in Physics. Osa 5. Sähkö ja magnetismi. M.: Mir , 1965
Feynman R. , Layton R., Sands M. The Feynman Lectures in Physics. Volume 6. Elektrodynamiikka. M.: Mir , 1966

Teoreettisen fysiikan kurssit

Baranov A. M., Ovchinnikov S. G., Zolotov O. A., Paklin N. N., Titov L. S. Teoreettinen fysiikka: Elektrodynamiikka. Jatkuvan median elektrodynamiikka. Oppikirja kurssille "Elektrodynamiikka ja jatkuvuuden sähködynamiikan perusteet" . - Krasnojarsk: SFU , 2008. - 198 s.
Jackson J. Klassinen sähködynamiikka. - M .: Mir , 1965.
Landau L. D., Lifshits E. M. Field Theory (Teoreettinen fysiikka, osa II). — M .: Fizmatlit , 2003. — 536 s. — ISBN 5-9221-0056-4 .
Landau L.D., Lifshitz E.M. Electrodynamics of jatkuva media (Theoretical Physics, osa VIII). — M .: Fizmatlit , 2005. — 656 s. — ISBN 5-9221-0123-4 .
Batygin VV, Toptygin IN Moderni sähködynamiikka. Osa 1. Mikroskooppiteoria. - M. : NIC "säännöllinen ja kaoottinen dynamiikka", 2005. - 736 s. — ISBN 5-93972-492-2 .
Toptygin I. N. Moderni sähködynamiikka. Osa 2. Aineen sähkömagneettisten ilmiöiden teoria. - M. : NIC "säännöllinen ja kaoottinen dynamiikka", 2005. - 848 s. — ISBN 5-93972-493-0 .
Stratton J.A. Sähkömagnetismin teoria. - M. - L .: GITTL, 1948. - 539 s. -8000 kappaletta.
Tamm I. E. Sähköteorian perusteet. - M .: Nauka , 1989.
Fushchich V. I., Nikitin A. G. Maxwellin yhtälöiden symmetria. - Kiova: Naukova Dumka , 1983. - C. 200.
Bolibrukh AA Maxwellin yhtälöt ja differentiaalimuodot . – MTsNMO, 2002.

Ratkaisut Maxwellin yhtälöihin

Balandin M. Yu., Shurina E. P. Vector Finite Element Method: Oppikirja . - Novosibirsk: NSTU , 2001. - 69 s.
Vainshtein L.A. Sähkömagneettiset aallot. - M .: Radio ja viestintä , 1988.
Vonsovsky S. V. Magnetismi. Dia-, para-, ferro-, antiferro- ja ferrimagneettien magneettiset ominaisuudet. - M.: Nauka , 1971.
Ginzburg VL Sähkömagneettisten aaltojen leviäminen plasmassa. - 2. painos - M.: Nauka , 1967.
Sylvester P. ja Ferrari R. Elementtimenetelmä radio- ja sähköinsinööreille. — M .: Mir , 1986. — 336 s.

Linkit

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Hienoa norjalaista Iso venäläinen Suuri Neuvostoliitto (1 painos) Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 12043257h GND : 4221398-8 J9U : 987007558284105171 LCCN : sh85082387 NKC : ph218895

Matemaattinen fysiikka

Yhtälöiden tyypit

Yhtälötyypit

Reunaehdot

Matemaattisen fysiikan yhtälöt

Diffuusio ja konvektio	Lämpöyhtälö Diffuusioyhtälö Mason-Weaverin yhtälö
Hydrodynamiikka	Siirtoyhtälö Navier-Stokes yhtälöt Eulerin yhtälö Gromeka-Lamb yhtälö Pyörreyhtälö Burgers yhtälö Matalan veden yhtälöt Korteweg-de Vriesin yhtälö
Sähkömagnetismi	Maxwellin yhtälöt Helmholtzin yhtälö Landau-Lifshitzin yhtälö Seulottu Poisson-yhtälö
Kvanttimekaniikka	Schrödingerin yhtälö Heisenbergin yhtälö Rarita-Schwinger yhtälö Hartreen yhtälö Diracin yhtälö Klein-Gordonin yhtälö
Yleiset mallit	Jatkuvuusyhtälö aaltoyhtälö Fokker-Planck yhtälö Poissonin yhtälö

Ratkaisumenetelmät

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät

Ruudukkomenetelmät

Elementtimenetelmät	Elementtimenetelmä Galerkinin menetelmä Epäjatkuva Galerkin-menetelmä Moniasteinen äärellisten elementtien menetelmä Multigrid-menetelmä
Muut menetelmät	Äärillisen eron menetelmä Rajallisen tilavuuden menetelmä Godunovin menetelmä Rajaelementtimenetelmä

Ei-ruudukkomenetelmät

Yhtälötutkimus

liittyvät aiheet