Matematiikka ja kuvataide

Matematiikka ja taide liittyvät eri tavoin. Itse matematiikkaa voidaan pitää taiteena, koska siinä on omalaatuinen kauneus . Matemaattisen ajattelun jälkiä esiintyy musiikissa, tanssissa, maalauksessa, arkkitehtuurissa, kuvanveistossa ja kudontataiteessa. Tämä artikkeli on omistettu matematiikan yhteydelle kuvataiteeseen.

Matematiikalla ja taiteella on pitkä suhde. Taidemaalarit turvautuivat matemaattisiin käsitteisiin 4. vuosisadalta eKr. e. Muinainen kreikkalainen kuvanveistäjä Polikleitos vanhin loi luultavasti sävellyksen "Canon" ja veistoksellisen mallin (säilytetty likimääräisinä jäljennöksinä) urheilijan ihanteellisesta hahmosta. On toistuvasti ehdotettu, että muinaiset taiteilijat ja arkkitehdit käyttivät kultaista leikkausta , mutta siitä ei ole vakavaa näyttöä. Italialainen matemaatikko Luca Pacioli , tärkeä hahmo Italian renessanssissa , kirjoitti puupiirrokset Leonardo da Vincin piirustusten perusteella tutkielman The Divine Proportion ( latinaksi:  De Divina Proportione ) . Toinen italialainen taidemaalari Piero della Francesca kehitti Eukleideen ajatuksia perspektiivistä kirjoittamalla tutkielman Perspective in Painting ( italiaksi: De Prospectiva Pingendi ). Kaivertaja Albrecht Dürer antoi kuuluisassa kaiverruksessaan " Melancholia " monia piilotettuja symbolisia viittauksia geometriaan ja matematiikkaan. 1900-luvun graafikko M. C. Escher käytti matemaatikko Harold Coxeterin neuvonantajana laajasti parketin ja hyperbolisen geometrian kuvia . Theo van Doesburgin ja Piet Mondrianin johtamat " De Stijl " -liikkeen taiteilijat käyttivät eksplisiittisesti geometrisia aiheita. Matematiikka on vaikuttanut erilaisiin neulonta- , kirjonta- , kudonta- ja matonkudontamuotoihin . Islamilaiselle taiteelle on ominaista persialaisesta ja marokkolaisesta muurauksesta löytyvät symmetriat , rei'itetyt Mughal- kiviseinämät ja yleiset hunajakennoholvit .  

Juuri matematiikka tarjosi taiteilijoille työkaluja, kuten lineaarista perspektiiviä, symmetria-analyysiä ja kaikenlaisia ​​geometrisia esineitä, kuten polyhedra tai Möbius-nauha . Opetuskäytäntö inspiroi Magnus Wenningeriä luomaan monivärisiä tähtikuvioita . Rene Magritten maalauksissa ja Escherin kaiverruksissa käytetään rekursiota ja loogisia paradokseja. Fraktaaligrafiikka on saatavilla tietokonetaiteen muodoille , erityisesti Mandelbrot-sarjan renderöintiin . Jotkut paperit kuvaavat soluautomaatteja . Taiteilija David Hockney on keksinyt kiistanalaisen hypoteesin, jonka mukaan hänen kollegansa ovat käyttäneet camera lucidaa renessanssin ajasta lähtien auttaessaan kuvaamaan kohtauksia tarkasti. Arkkitehti Philip Steadman väittää, että Jan Vermeer käytti camera obscuraa .

Matematiikan ja taiteen yhteys ilmaistaan ​​monella muullakin tavalla. Taideesineille suoritetaan algoritminen analyysi käyttämällä röntgenfluoresenssispektroskopiaa . Perinteisen batikin eri puolilta Javaa havaittiin olevan fraktaalimitta 1-2. Lopulta taide sai aikaan matemaattista tutkimusta. Filippo Brunelleschi muotoili perspektiiviteorian tehdessään arkkitehtonisia piirustuksia, ja myöhemmin Gérard Desargues kehitti sen, loi perustan projektiiviselle geometrialle . Pythagoralainen ajatus jumala-geometristä on sopusoinnussa pyhän geometrian periaatteiden kanssa , mikä näkyy myös taiteessa. Tyypillinen esimerkki on William Blaken The Great Architect .

Alkuperä: Muinainen Kreikka renessanssiin

Polycleten "Canon" ja "symmetria"

Antiikin taiteen historiassa termi "neliömäiset hahmot" tunnetaan (( antiikin kreikkalainen τετραγωνος ). Muinainen roomalainen kirjailija Plinius Vanhin (23-79 jKr) kutsui antiikin kreikkalaisen kuvanveistäjän pronssisia patsaita "neliön näköisiltä" ( lat . .  signa quadrata ) Polycletus vanhemman (n. 450-420 eKr. ) Argiven koulusta , erityisesti kuuluisista Doryphorus ja Diadumen ". , mikä viittaa siihen, että sana "neliö" ei välttämättä tarkoita patsaan siluetin luonnetta, vaan suhteutusmenetelmää , joka on esitetty Polikletin teoreettisessa teoksessa " Canon " [2] . Tutkimus, jos sellainen on olemassa, ei ole Selviytyi, mutta kuvanveistäjän uskotaan luoneen kuvaksi saman keihäänkantajan, joka tunnettiin myöhemmin nimellä Doryphoros [3] . Tekijän tarkoituksen mukaan "Canon" oli asettaa standardi ihanteellisille anatomisille mittasuhteille kuvattaessa mieshahmo.

Muinainen kreikkalainen filosofi Platon (n. 427-347 eKr.) mainitsi geometrisen menetelmän neliön pinta-alan kaksinkertaistamiseksi rakentamalla suurempi neliö sen lävistäjälle. Toinen neliö sisältää neljä "puoliskoa" ensimmäisestä, joten sen pinta-ala on kaksi kertaa suurempi [4] . Tämä yksinkertaisin rakenne sisältää tärkeän säännöllisyyden. Neliön diagonaali on irrationaalinen suure. Jos otamme neliön sivun arvoksi 1, niin sen diagonaali on yhtä suuri tai 1,414 ... Näin ollen neliöön ja sen diagonaaliin perustuva mittajärjestelmä sisältää kaksinaisuuden, moniäänisen periaatteen yksinkertaisten kokonaislukujen ja irrationaalisten lukujen välisistä suhteista.

Polykleitosin kuvassa olevat urheilijoiden patsaat näyttävät todella "neliöiltä" (toisessa käännöksessä "leveät mittasuhteet"). Analysoitaessa niiden mittasuhteita käy ilmi, että hahmon moduuli on neliön sivu, jonka lävistäjä puolestaan ​​toimii suuremman neliön sivuna jne. Tämän seurauksena kaikki patsaan linjan osat suhteellisesti ylöspäin "parimittojen" järjestelmässä: rationaaliset ja irrationaaliset suhteet. Joten koko hahmon korkeus on jaettu kahteen, neljään ja kahdeksaan osaan (hahmon pää on 1/8 korkeudesta). Kuitenkin plastisen liikkeen aikana (urheilija lepää yhdellä jalalla, toinen jalka on taivutettu polvessa ja taaksepäin) syntyy irrationaalisia suhteita. Jos otamme yksikkönä (pienen neliön sivu) hahmon yläosan (sen todellisesta koosta riippumatta) - pään ja vartalon suoliluun harjalle (jolla vinot lihakset ovat) - yksikkönä, silloin hahmon alaosa (lantiovyö ja tukijalka) on yhtä suuri kuin 1,618 (suuremman neliön sivu). Näin ollen hahmon koko korkeus on 2,618. Näitä suhteita yhdistää " kultaisen leikkauksen " malli, jonka muinaiset egyptiläiset löysivät ja joka on universaali [5] .

"Canonin" vaikutus ulottui muinaisen Kreikan, antiikin Rooman ja renessanssin veistoksiin. Yksikään Polykleitosin teoksista ei ole säilynyt tähän päivään asti, säilyneet marmorikopiot ovat likimääräisiä ja eroavat toisistaan ​​merkittävästi. Myös itse tutkielman teksti on kadonnut, vaikka muinaisten kirjoittajien lainaukset ja kommentit ovat säilyneet [3] . Jotkut tutkijat väittävät, että Polikletiin puolestaan ​​vaikuttivat pythagoralaisten opetukset [6] . "Canon" toimii antiikin kreikkalaisen geometrian peruskäsitteiden kanssa: suhde, suhteet ja symmetria. "Canon"-järjestelmä mahdollistaa ihmishahmon kuvaamisen jatkuvien geometristen progressioiden avulla [7] .

Näkökulma ja suhteet

Antiikin aikana taiteilijat eivät turvautuneet lineaariseen perspektiiviin . Esineiden kokoa ei määrittänyt niiden syrjäinen sijainti, vaan niiden temaattinen merkitys. Jotkut keskiaikaiset maalarit käyttivät käänteistä perspektiiviä kiinnittääkseen huomion erityisen merkittäviin hahmoihin. Vuonna 1021 islamilainen matemaatikko Ibn al-Khaytham muotoili optiikkateorian , mutta ei soveltanut sitä taide-esineisiin [8] . Renessanssi liittyy antiikin kreikkalaisten ja roomalaisten kulttuuriperinteiden palauttamiseen. Myös ajatukset matematiikan soveltamisesta luonnon ja taiteen tutkimiseen heräsivät henkiin . Myöhään keskiajan ja renessanssin taiteilijat olivat kiinnostuneita matematiikasta kahdesta syystä. Ensinnäkin maalarit halusivat tietää, kuinka kolmiulotteisia esineitä voidaan kuvata tarkasti kaksiulotteisella kankaan pinnalla. Toiseksi, taiteilijat, kuten jotkut filosofit, uskoivat matematiikkaan fyysisen maailman todellisena olemuksena; kuvataide osana tätä universumia on geometrian lakien alainen [9] .

Perspektiivin alkuja nähdään Giottossa (1266-1337), joka maalasi kaukaisia ​​kohteita määrittämällä algebrallisesti viivojen sijainnin perspektiivissä. Vuonna 1415 arkkitehti Filippo Brunelleschi esitteli yhdessä ystävänsä Leon Battista Albertin kanssa Firenzessä geometrisen menetelmän luoda perspektiiviä. He laskivat kaukaisten kohteiden näennäiskorkeuden käyttämällä samanlaisia ​​Eukleideen kolmioita [10] [11] . Brunelleschin itsensä näkökulmasta maalatut maalaukset ovat kadonneet, mutta Masaccion kolminaisuus antaa meille mahdollisuuden nähdä periaate toiminnassa [8] [12] [13] . Italialainen taidemaalari Paolo Uccello (1397-1475) valloitti uuden tekniikan. " San Romanon taistelussa " hän asetti rikotut keihäät perspektiiviviivojen väliin [14] [15] .

Piero della Francescan (n. 1415-1492) työ on esimerkki Italian renessanssin siirtymisestä uuteen ideologiaan. Koska hän on merkittävä matemaatikko ja erityisesti geometria, hän kirjoitti teoksia stereometriasta ja perspektiiviteoriasta. Niitä ovat " Maalauksen näkökulmasta " ( italiaksi:  De Prospectiva Pingendi ), "Treatise on Account" ( italiaksi:  Trattato d'Abaco ) ja "säännöllisestä polyhedrasta" ( italia:  De corporibus regularibus ) [16] [17] [ 18] . Historioitsija Giorgio Vasari " Biografioissaan " kutsuu Pieroa "aikansa ja ehkä kaikkien aikojen suurimmaksi geometriksi" [19] . Pieron kiinnostus perspektiiviin näkyy hänen teoksissaan Pyhän Antoniuksen polyptyykki [ 20] , Pyhän Augustinuksen alttaritaulu ja Jeesuksen Kristuksen liputus . Hänen geometriset tutkimustyönsä vaikuttivat seuraaviin matemaatikoiden ja taiteilijoiden sukupolviin, muun muassa Luca Pacioliin ja Leonardo da Vinciin . Tiedetään, että Pierrot tutki muinaisten matemaatikoiden teoksia, mukaan lukien Archimedes [21] . Pierrot sai kaupallisen aritmeettisen koulutuksen " abacus-koulussa "; hänen tutkielmansa on suunniteltu samalla tyylillä kuin "koulun" [22] oppikirjat . Ehkä Piero tunsi Fibonaccin " Abacus-kirjan " (1202) . Lineaarinen perspektiivi tunkeutui vähitellen taiteen maailmaan. Alberti kirjoitti tutkielmassa "Maalauksesta" ( italiaksi: De pictura , 1435): "Valosäteet kulkevat kuvan pisteistä suoraan silmään muodostaen pyramidin , jossa silmä on huippu." Lineaarisen perspektiivin periaatteella maalattu kuva on osa tästä pyramidista [23] .  

Teoksessaan On Perspective in Painting Piero muuttaa perspektiiviä koskevat empiiriset havainnot matemaattisiksi ilmauksiksi ja todisteiksi. Eukleideen mukaan hän määrittelee pisteen "pienimmäksi silmällä havaittavaksi esineeksi" ( italia:  una cosa tanto picholina quanto e possible ad ochio comprendere ) [9] Piero johdattaa lukijan kolmiulotteisten kappaleiden esittämiseen kahdella -ulotteinen pinta käyttäen deduktiivista päättelyä [24] .

Nykytaiteilija David Hockney väittää , että hänen kollegansa käyttivät 1420-luvulta lähtien camera lucidaa , mikä johti dramaattiseen maalausten tarkkuuden ja realistisuuden lisääntymiseen. Hän uskoo, että Ingres , van Eyck ja Caravaggio [25] käyttivät myös tätä laitetta . Asiantuntijoiden mielipiteet tästä asiasta jakautuvat [26] [27] . Arkkitehti Philip Steadman esitti toisen kiistanalaisen hypoteesin [ 28] Vermeerin camera obscuran [29] käytöstä .

Vuonna 1509 Luukas (n. 1447-1517) julkaisi tutkielman "Jumalaisesta suhteesta", joka oli omistettu suhteuden matemaattisille ja taiteellisille puolille , mukaan lukien ihmisen kasvot. Leonardo da Vinci (1452–1519), joka opiskeli Paciolin kanssa 1490-luvulla, kuvitti tekstinsä säännöllisistä monitahoisista puupiirroksista . Da Vincin tekemät metallilankakuvat polyhedraista ovat ensimmäisiä tämän luonteisia kuvia, jotka ovat tulleet meille [30] . Hän oli yksi ensimmäisistä, joka kuvasi monitahoja (mukaan lukien rombikuboktaedri ), jotka oli rakennettu muiden hahmojen kasvoille - näin Leonardo osoitti perspektiiviä. Itse tutkielma on omistettu Piero della Francescan, Melozzo da Forlin ja Marco Palmezzanon teosten perspektiivin kuvaukselle [31] . Da Vinci opiskeli Paciolin "Summaa" kopioimalla taulukoita mittasuhteineen [32] . Sekä " Gioconda " että " Viimeinen ehtoollinen " on rakennettu lineaarisen perspektiivin periaatteelle, jossa on katoamispiste , joka antaa kuvalle näkyvän syvyyden [33] . Viimeinen ehtoollinen käyttää mittasuhteita 12:6:4:3 – ne ovat myös Rafaelin Ateenan koulussa . Siinä kuvattu Pythagoras pitää käsissään ihanteellisten mittasuhteiden taulukkoa, jolle pythagoralaiset kiinnittivät pyhän merkityksen [34] [35] . Vitruvian mies Leonardo heijastaa roomalaisen arkkitehdin Vitruviuksen ajatuksia ; kaksi päällekkäistä mieshahmoa on piirretty sekä ympyrään että neliöön [36] .

Jo 1400-luvulla visuaalisista vääristymistä kiinnostuneet maalarit käyttivät kaarevaa perspektiiviä . Jan van Eyckin " Arnolfinisten muotokuvassa " (1343) on kupera peili, joka heijastaa sankarien hahmoja [37] . "Omakuva kuperassa peilissä" (n. 1523-1524) Parmigianino kuvaa taiteilijan lähes vääristymättömiä kasvoja ja voimakkaasti kaarevaa taustaa ja kättä reunassa [38] .

Kolmiulotteiset esineet voidaan kuvata varsin vakuuttavasti ilman perspektiiviä turvautumatta. Vinot heijastukset , mukaan lukien cavalier-perspektiivi (jota ranskalaiset taistelumaalarit käyttivät 1700-luvulla linnoitusten maalaamiseen), havaitaan jatkuvasti ja kaikkialla kiinalaisten taiteilijoiden keskuudessa 1.-2.-1700-luvuilla. Tämä perinne tuli kiinalaisille Intiasta ja siellä antiikin Roomasta. Vino projektio näkyy japanilaisessa taiteessa, kuten Torii Kiyonagan ukiyo-e- maalauksissa [39] .

Kultainen suhde

Kultaisen leikkauksen, joka on suunnilleen yhtä suuri kuin 1,618, tunsi jopa Eukleides [40] . Monet aikalaiset väittävät [41] [42] [43] [44] , että sitä käytettiin muinaisen Egyptin ja antiikin Kreikan taiteessa ja arkkitehtuurissa , mutta tälle ei ole luotettavaa näyttöä [45] . Tämän oletuksen syntyminen voi johtua kultaisen leikkauksen ja "kultaisen keskikohdan" välisestä sekaannuksesta, jota kreikkalaiset kutsuivat "ylimäärän puuttumiselle mihinkään suuntaan" [45] . Pyramidologit ovat 1800-luvulta lähtien puhuneet kultaisen leikkauksen käytöstä pyramidien suunnittelussa ja perustelleet kantaansa kyseenalaisilla matemaattisilla perusteilla [45] [46] [47] . Todennäköisimmin pyramidit rakennettiin joko kolmion pohjalta, jonka sivut ovat 3-4-5 (kaltevuuskulma - 53 ° 8'), joka mainitaan Ahmesin papyruksessa , tai kolmion perusteella, jonka kosini π / 4 (kaltevuuskulma - 51 ° 50 ') [48] . 5. vuosisadalla eKr. rakennetun Parthenonin julkisivu ja lattia . e. Ateenassa väitetysti suunniteltu kultaisen leikkauksen [ 49] [50] [51] perusteella . Tämän väitteen kumoavat myös todelliset mittaukset [45] . Uskotaan, että kultaista leikkausta käytettiin myös Tunisian Kairouanin suuren moskeijan suunnittelussa [52] . Tätä arvoa ei kuitenkaan löydy moskeijan alkuperäisestä suunnittelusta [53] . Arkkitehtuurin historioitsija Frederic Makody Lund totesi vuonna 1919, että Chartresin katedraali (1100-luku), Lane (1157-1205) ja Pariisin Notre-Damen katedraali (1160) suunniteltiin kultaisen leikkauksen periaatteen mukaisesti [54] . Jotkut tutkijat väittävät, että ennen Paciolin teoksen julkaisua vuonna 1509, taiteilijat tai arkkitehdit eivät tunteneet osaa [55] . Esimerkiksi Notre-Dame de la Lanen julkisivun korkeuden ja leveyden suhde on 8/5 tai 1,6, mutta ei 1,618. Tämä suhde on yksi Fibonaccin suhdeluvuista , jota on vaikea erottaa kultaisesta leikkauksesta, koska ne konvergoivat arvoon 1,618 [56] . Kultaista suhdetta havaitaan Paciolin seuraajien keskuudessa, mukaan lukien Leonardon Gioconda [57] .

Tasosymmetriat

Tasomaisia ​​symmetrioita on havaittu useiden tuhansien vuosien ajan maton kudonnassa, päällystämisessä, kutomisessa ja hilaobjektien luomisessa [58] [59] [60] [61] .

Monet perinteiset matot, olivatpa sitten takkuisia tai kilim (tasakudottuja), on jaettu keskimedaljonkiin ja reunaosaan. Molemmat osat voivat sisältää symmetrisiä elementtejä, kun taas käsintehtyjen mattojen symmetria rikkoo usein tekijän yksityiskohdat, kuvio- ja värivaihtelut [58] . Anatolian kilimien aiheet ovat usein itsessään symmetrisiä. Yleinen kuvio tarkoittaa raitojen läsnäoloa, mukaan lukien ne, joissa on katkonaisia ​​kuvioita, ja kuusikulmaisten muotojen yhtäläisyyksiä. Keskiosa voidaan luonnehtia tapettiryhmällä pmm, kun taas kehys voidaan luonnehtia reunaryhmillä pm11 , pmm2 tai pma2. Turkista ja Keski-Aasiasta tulevilla kilimillä on yleensä vähintään kolme eri ryhmien kuvaamaa rajaa. Matontekijät tavoittelivat ehdottomasti symmetriaa, vaikka he eivät tunteneet sen matematiikkaa [58] . Matemaatikko ja arkkitehtiteoreetikko Nikos Salingaros uskoo, että mattojen esteettisen vaikutuksen antavat erityiset matemaattiset tekniikat, jotka ovat lähellä arkkitehti Christopher Alexanderin teorioita . Esimerkkinä hän mainitsee 1600-luvun Konian matot kahdella medaljongilla. Nämä tekniikat sisältävät vastakkaisten esineparien rakentamisen; värien kontrasti; alueiden geometrinen erottelu käyttämällä täydentäviä kuvioita tai terävien kulmien koordinointia; monimutkaisten kuvioiden esittely (alkaen yksittäisistä solmuista); pienten ja suurten symmetristen hahmojen rakentaminen; lukujen toisto suuremmassa mittakaavassa (kunkin uuden tason suhde edelliseen on 2,7). Salingaros väittää, että mikä tahansa onnistunut matto täyttää vähintään yhdeksän kymmenestä ehdosta. Lisäksi hän pitää mahdollisena pukea annetut indikaattorit esteettisen metriikan muotoon [62] .

Marmorista luodut taitavat intialaiset jaliritilät koristavat palatseja ja hautoja [59] . Kiinalaiset ristikot, joilla on aina jonkinlainen symmetria - usein peilattuja , kaksoispeilattuja tai pyöriviä  - ovat edustettuina 14:ssä 17 taustakuvaryhmästä. Joillakin on keskellä oleva medaljonki, joissakin reunaryhmään kuuluva reuna [63] . Daniel S. Dai on analysoinut monia kiinalaisia ​​verkkoja matemaattisesti. Hän pystyi osoittamaan, että tämän taiteen keskus on Sichuanin maakunta [64] .

Symmetriat ovat yleisiä tekstiilitaiteissa, kuten tikkauksessa [60] , neulomisessa [65] , virkkauksessa [66] , kirjonnassa [67] [68] , ristipistossa ja kutomisessa [69] . On huomionarvoista, että kankaan symmetria voi olla puhtaasti koristeellista tai symboloida omistajan asemaa [70] . Pyörimissymmetriaa esiintyy pyöreissä kohteissa. Monet kupolit on koristeltu symmetrisillä kuvioilla sisältä ja ulkoa, kuten Sheikh Lutfullan moskeija (1619) Isfahanissa [71] . Pöytäliinojen ja pöytämattojen brodeeratuille ja pitsielementeille on ominaista heijastus- ja pyörimissymmetria, jotka on luotu puola- tai tatting - tekniikalla . Näitä kohteita tutkitaan myös matemaattisesti [72] .

Islamilainen taide osoittaa symmetriaa monissa muodoissa, erityisesti persialaisessa girih- mosaiikkissa . Sen luovat viisi laatoitettua muotoa: säännöllinen kymmenkulmio, säännöllinen viisikulmio, pitkänomainen kymmenkulmio, rombi ja rusettia muistuttava hahmo . Näiden kuvien kaikki sivut ovat yhtä suuret, kaikki niiden kulmat ovat 36°:n (π/5 radiaanin ) kerrannaisia, mikä antaa viisi- ja kymmenkertaiset symmetriat. Laatta on koristeltu toisiinsa kietoutuvalla ornamentilla (oikea girih), joka on yleensä näkyvämpi kuin laatan reunat. Vuonna 2007 fyysikot Peter Lu ja Paul Steinhardt panivat merkille, että girih muistutti lähes kiteisiä Penrose-laattoja [73] . Geometrisesti säädetyt zellige- laatat ovat Marokon arkkitehtuurille tunnusomainen elementti [61] . Hunajakennosaodit tai muqarnat ovat kolmiulotteisia, mutta ne suunniteltiin - piirtämällä geometrisia soluja - kahdessa ulottuvuudessa [74] .

Polyhedra

Säännölliset polyhedrat  ovat yksi länsimaisen taiteen yleisimmistä aiheista. Pieni tähtikuvioinen dodekaedri löytyy esimerkiksi Venetsian Pyhän Markuksen basilikan marmorimosaiikeista ; tekijä on Paolo Uccello [14] . Da Vincin säännöllisiä polyhedraja havainnollistaa Luca Paciolin teos On Divine Proportion [14] . Lasinen rombikubotaedri löytyy Jacopo de Barbarin Paciolin muotokuvasta (1495) [14] . Katkaistu monitahoinen ja monia muita matematiikkaan liittyviä esineitä esiintyy Durerin kaiverruksessa " Melancholia " [14] . Salvador Dalin viimeinen ehtoollinen kuvaa Kristusta ja hänen opetuslapsiaan jättiläismäisen dodekaedrin sisällä .

Albrecht Dürer (1471–1528), saksalaisen renessanssin kaivertaja ja graafikko, vaikutti teoriaan julkaisemalla kirjan "Mittausopas" ( saksa:  Underweysung der Messung ) vuonna 1525. Teos on omistettu lineaariperspektiiville, arkkitehtuurin geometrialle, säännöllisille polyhedraille ja polygoneille. Luultavasti Dürer sai inspiraationsa Paciolin ja Piero della Francescan teoksista hänen matkoillaan Italiassa [75] . "Mittausoppaan" perspektiivinäytteet eivät ole täysin kehittyneitä ja epätarkkoja, mutta Dürer valaisi polyhedran täysin. Tässä tekstissä mainitaan ensimmäisen kerran polyhedronin kehittyminen, eli (esimerkiksi paperin) polyhedronin avautuminen litteäksi, painettavaksi kuvioksi [76] . Toinen Dürerin vaikutusvaltainen teos on Four Books on Human Proportions ( saksaksi:  Vier Bücher von Menschlicher Proportion , 1528) [77] .

Kuuluisa Dürerin kaiverrus "Melancholia" kuvaa surullista ajattelijaa istumassa katkaistun kolmion muotoisen puolisuunnikkaan ja maagisen neliön ääressä [1] . Nämä kaksi esinettä ja kaiverrus kokonaisuudessaan kiinnostavat eniten nykyajan tutkijoita kaikessa Dürerin työssä [1] [78] [79] . Peter-Klaus Schuster julkaisi kaksiosaisen kirjan Melankoliasta [80] , kun taas Erwin Panofsky käsittelee työtä monografiassaan [1] [81] . Salvador Dalin " Hypercubic body " sisältää kolmiulotteisen hyperkuution avautumisen  - neliulotteisen säännöllisen polyhedronin [82] .

Fraktaalimitat

Perinteinen indonesialainen batiikkimaalaus käyttää varana vahaa . Hänen motiivinsa voivat vastata ympäröivän maailman elementtejä (esimerkiksi kasveja) tai olla abstrakteja, jopa kaoottisia. Varastoa ei välttämättä levitetä tarkasti, vahan halkeilu (halkeilu) lisää satunnaisuuden vaikutusta. Maalauksen fraktaalimitta on 1-2, riippuen alkuperäalueesta. Esimerkiksi Cirebonin batikin mitat ovat 1,1, Yogyakartasta ja Surakartasta (Keski- Jaavan ) batikin mitat - 1,2 - 1,5; Lasem (Pohjois-Jaava) ja Tasikmalai (Länsi-Jaava) ovat mitat 1,5 - 1,7 [83] .

Nykytaiteilija Jackson Pollockin dripping - tekniikalla tehty työ on huomionarvoista myös fraktaaliulottuvuudestaan: Maalauksen "Number 14" ( esim .  Numero 14 , 1948) mitta on 1,45. Hänen myöhemmille teoksilleen on ominaista korkeampi ulottuvuus, mikä viittaa parempaan kuvioiden tutkimiseen. Yksi Pollockin viimeisistä maalauksista ,  Blue Poles , on 1,72 ja sen valmistuminen kesti kuusi kuukautta .

Monimutkaiset suhteet

Tähtitieteilijä Galileo Galilei kirjoitti tutkielmassaan "The Assay Master ", että maailmankaikkeus on kirjoitettu matematiikan kielellä ja että tämän kielen symboleja ovat kolmiot, ympyrät ja muut geometriset hahmot [85] . Galileon mukaan taiteilijoiden, jotka haluavat tuntea luontoa, on ensin ymmärrettävä matematiikka. Matemaatikot puolestaan ​​yrittivät analysoida kuvataidetta geometrian ja rationaalisuuden (sanan matemaattisessa merkityksessä) prisman kautta. Matemaatikko Felipe Kuker ehdotti, että tämä tiede ja erityisesti geometria toimivat säännöstönä "sääntöohjautuvalle taiteelliselle luomiselle" ( eng.  "rule-driven artistic creation" ), vaikkakaan ei ainoa [86] . Joitakin erityisen huomionarvoisia esimerkkejä tästä monimutkaisesta suhteesta kuvataan alla [87] .

Matematiikka taiteena

Matemaatikko Jerry P. King kirjoittaa matematiikasta taiteena väittäen, että sen avaimet ovat kauneus ja eleganssi, ei tylsä ​​formalismi. King uskoo, että kauneus motivoi tämän alan tutkijoita [88] . Hän lainaa toisen matemaatikon G. H. Hardyn esseen " Apology of a Mathematician " (1940) , jossa hän tunnustaa rakkautensa kahteen antiikin lauseeseen: todisteeseen Euklidesin alkulukujen äärettömyydestä ja todisteeksi kahden neliöjuuren irrationaalisuudesta . King arvioi jälkimmäistä Hardyn matematiikan kauneuskriteerien mukaan : vakavuus, syvyys, yleisyys, yllätys, väistämättömyys ja taloudellisuus (Kingin kursivoitu) ja päättelee, että todiste on "esteettisesti houkutteleva" [89] . Unkarilainen matemaatikko Pal Erdős puhuu myös matematiikan kauneudesta, jonka jokaista ulottuvuutta ei voi ilmaista sanoin: ”Miksi numerot ovat kauniita? Vastaisi kysymistä , miksi Beethovenin yhdeksäs sinfonia on kaunis . Jos et näe sitä, kukaan ei voi selittää sitä sinulle. "Tiedän", että numerot ovat kauniita. [90] [91]

Taiteen matemaattiset työkalut

Visuaalisen taiteen kontekstissa matematiikka antaa luojalle monia työkaluja, kuten lineaarisen perspektiivin, jonka ovat kuvanneet Brook Taylor ja Johann Lambert , tai kuvailevaa geometriaa , joka on havaittu jo Albrecht Dürerissä ja Gaspard Mongessa ja jota nykyään käytetään kolmiulotteisen mallintamisen ohjelmistossa. esineet [92] . Keskiajalta (Pacioli) ja renessanssista (da Vinci ja Dürer) lähtien taiteilijat ovat käyttäneet matematiikan saavutuksia luoviin tarkoituksiin [93] [94] . Muinaisen kreikkalaisen arkkitehtuurin perspektiivin alkeita lukuun ottamatta sen laaja käyttö alkoi 1200-luvulla, edelläkävijöiden joukossa oli Giotto . Kattopistesäännön muotoili Brunelleschi vuonna 1413 [8] . Hänen löytönsä inspiroi paitsi da Vinci ja Dürer, myös Isaac Newtonia , joka tutki optista spektriä , Goethea , joka kirjoitti kirjan " Väriteoriasta ", ja sitten uusia taiteilijoiden sukupolvia, joiden joukossa olivat Philip Otto Runge , William . Turner [95] , prerafaelitit ja Wassily Kandinsky [96] [97] . Taiteilijat tutkivat myös sävellyksessä esiintyviä symmetrioita [98] . Matemaattisia työkaluja voivat käyttää taidetutkijat tai käsityöläiset itse, kuten graafikko M.C. Escher ( Harold Coxeterin panoksella ) tai arkkitehti Frank Gehry . Jälkimmäinen väittää, että tietokoneavusteiset suunnittelujärjestelmät ovat antaneet hänelle täysin uusia tapoja ilmaista itseään [99] .

Taiteilija Richard Wright uskoo, että matemaattisten esineiden visuaaliset mallit joko simuloivat tiettyä ilmiötä tai ovat tietokonetaiteen esineitä . Wright havainnollistaa asemaansa kuvalla Mandelbrotin joukosta , joka on luotu soluautomaatilla ja tietokoneella ; Turingin testiin viitaten hän pohtii, voidaanko algoritmien tuotteita pitää taiteena [100] . Sama lähestymistapa on havaittu Sasho Kalaidzewskin kohdalla, joka tarkastelee visualisoituja matemaattisia kohteita: parkettia, fraktaaleja, hyperbolisen geometrian hahmoja [101] .

Yksi tietokonetaiteen pioneereista oli Desmond Paul Henry, joka loi "Drawing Machine 1:n". Pommitähtäintietokoneeseen perustuva analoginen laskentamekanismi esiteltiin yleisölle vuonna 1962 [102] [103] . Kone pystyi luomaan monimutkaisia, abstrakteja, epäsymmetrisiä, kaarevia, mutta toistuvia malleja [102] [104] . Hamid Naderi Yeganeh luo hahmoja kaloista, linnuista ja muista reaalimaailman esineistä käyttämällä käyräperheitä [105] [106] [107] . Nykytaiteilijat, mukaan lukien Mikael H. Christensen, työskentelevät algoritmisen taiteen parissa luoden käsikirjoituksia ohjelmistoille. Taiteilijan johtama järjestelmä soveltaa matemaattisia operaatioita tietylle datajoukolle [108] [109] .

Matematiikasta taiteeseen

Tiedetään, että matemaatikon ja fyysikon Henri Poincarén kirjaa "Science and Hypothesis" (1902) lukivat monet kubistit , mukaan lukien Pablo Picasso ja Jean Metzinger [111] [112] . Poincare näki euklidisessa geometriassa ei objektiivisen totuuden, vaan vain yhden monista mahdollisista geometrisista konfiguraatioista. Neljännen ulottuvuuden mahdollinen olemassaolo inspiroi taiteilijat haastamaan renessanssin klassisen näkökulman, ja he kääntyivät ei-euklidisten geometrioiden puoleen [113] [114] [115] . Yksi kubismin edellytyksistä oli ajatus juonen matemaattisesta ilmaisusta värissä ja muodossa. Abstraktionismin historia alkaa kubismista [116] . Vuonna 1910 Metzinger kirjoitti: "[Picasso] luo vapaan, liikkuvan perspektiivin, josta tuo nerokas matemaatikko Maurice Princet johti koko geometrian" [117] . Muistelmissaan Metzinger muisteli:

"Maurice Princet vieraili meillä usein; ... hän ymmärsi matematiikkaa kuin taiteilija, kuin esteetti, joka vetosi n - ulotteisiin jatkumoihin. Hän halusi herättää taiteilijoissa kiinnostusta uusia avaruusnäkymiä kohtaan , jotka Schlegel ja useat muut löysivät . Tässä hän loisti." [118]

Matemaattisten muotojen mallintaminen tutkimus- tai opetustarkoituksiin johtaa väistämättä outoihin tai kauniisiin kuvioihin. Heihin vaikuttivat dadaistit Man Ray [119] , Marcel Duchamp [120] ja Max Ernst [121] [122] ja Hiroshi Sugimoto [123] .

Man Ray valokuvasi geometristen hahmojen malleja Pariisin instituutissa. Poincare. Yksi tämän syklin tunnetuimmista teoksista on The Mathematical Object ( ranska:  Objet mathematique , 1934). Taiteilija osoittaa, että "Objekti" on Enneper-pintoja , joilla on jatkuva negatiivinen kaarevuus , johdettu pseudosfääristä . Matemaattinen perusta oli hänelle erittäin tärkeä; matematiikka antoi hänelle mahdollisuuden kumota "objektin" "abstraktin" luonteen. Man Ray väitti, että vangittu hahmo on yhtä todellinen kuin pisuaari, jonka Duchamp teki taide-esineeksi. Silti hän myönsi: "[Enneperin pintakaava] ei merkitse minulle mitään, mutta itse muodot olivat yhtä monipuolisia ja autenttisia kuin luonnossa esiintyvät." Hän käytti Poincaré-instituutin valokuvia Shakespearen näytelmiin perustuvissa teoksissa esimerkiksi luodessaan Antonius ja Kleopatra (1934) [124] . Kolumnisti Jonathan Keats, joka kirjoittaa ForbesLifeen , väittää, että Man Ray kuvasi "elliptisiä paraboloideja ja kartiomaisia ​​pisteitä samalla aistillisella tavalla kuin Kiki de Montparnasse " [125] ja että hän "ajatteli nokkelasti matemaatikoiden kylmät laskelmat paljastaakseen topologian. halusta” [126] [127] . 1900-luvun kuvanveistäjät, mukaan lukien Henry Moore , Barbara Hepworth ja Nahum Gabo , saivat inspiraatiota myös matemaattisista malleista [128] . Hänen luomistyöstään Stringed Mother and Child ( 1938 ) Moore sanoi :  "Epäilemättä jousifiguurini lähde oli tiedemuseo ; ... kiehtoivat siellä näkemäni matemaattiset mallit; ... minua ei innostunut näiden mallien tieteellinen tutkimus, mutta kyky nähdä lankojen läpi kuin lintu katsoo ulos häkistä, ja kyky nähdä yksi muoto toisessa." [129] [130]

Taiteilijat Theo van Doesburg ja Piet Mondrian perustivat " De Stijl " -liikkeen, jonka tarkoituksena oli "luoda perusgeometristen muotojen visuaalinen sanasto, joka on ymmärrettävä kaikille ja sovellettavissa mihin tahansa tieteenalaan" [132] [133] [134] . Monet heidän teoksistaan ​​näyttävät vuoratulta tasolta, jossa on suorakulmioita ja kolmioita, joskus ympyröitä. "De Stijlin" jäsenet maalasivat kuvia, loivat huonekaluja ja sisustusta sekä harjoittivat arkkitehtuuria [133] . Kun liike romahti, van Doesburg perusti avantgarde- ryhmän Art Concret ( ranska:  Art concret , "concrete art"). Omasta "aritmeettisesta koostumuksestaan" (1929-1930) van Doesburg kirjoitti: "rakenne, jota voidaan hallita, tietty pinta ilman satunnaisia ​​elementtejä tai henkilökohtaista mielijohteutta" [135] , vaikka "ei vailla henkeä, ei vailla universaali eikä ... tyhjä, koska kaikki vastaa sisäistä rytmiä” [136] . Kriitikko Gladys Fabre näkee "Sovelluksessa" kaksi edistystä: mustien neliöiden kasvun ja muuttuvan taustan [137] .

Parkettien, monitahojen, tilan muotojen ja itsensä jäljentämisen matematiikka antoi graafikko M. K. Escherille ( 1898-1972) elinikäisen tarjonnan tontteja [138] [139] . Alhambran mosaiikkeja esimerkkinä Escher osoitti, että taidetta voidaan luoda yksinkertaisilla kuvioilla. Hän käytti tason tehostamiseksi epäsäännöllisiä monikulmioita, heijastuksia, vilkkuvaa symmetriaa ja rinnakkaissiirtoa . Luoden ristiriitoja perspektiiviprojektion ja kolmiulotteisen tilan ominaisuuksien välille, hän kuvasi todellisessa maailmassa mahdottomia, mutta esteettisiä rakenteita. Litografia " Descending and Ascending " (1960) näyttää meille mahdottoman portaikon , jonka löytäminen liittyy Lionelin (isä) ja Rogerin (poika) Penrosen [140] [141] [142] nimiin .

Escherin luomia tessellaatioita on melko paljon, ja osa ideoista syntyi keskusteluissa matemaatikko Harold Coxeterin kanssa hyperbolisesta geometriasta [143] . Eniten Escher oli kiinnostunut viidestä polyhedrasta: tetraedrasta, kuutioista, oktaedreistä, dodekaedreista ja ikosaedreistä. Figuurit esiintyivät toistuvasti hänen töissään, mutta ne ovat erityisen havaittavissa teoksissa "Order and Chaos" (1950) ja "Four regular polyhedra" (1961) [144] . Nämä tähtimuodostelmat lepäävät toisen hahmon sisällä, mikä edelleen vääristää monitahojen katselukulmaa ja havaintoa [145] .

Parkettien ja polyhedronien visuaalinen monimutkaisuus muodosti perustan monille taideteoksille. Stuart Coffin luo monitahoisia arvoituksia harvinaisista metsistä, George W. Hart tutkii ja veistää polyhedraja ja Magnus Wenninger luo malleja tähtimuodostelmista [146] .

Anamorfoosin vääristyneet näkökulmat ovat olleet maalauksessa tunnettuja 1500-luvulta lähtien. Vuonna 1553 Hans Holbein Jr. maalasi " Ambassadors " asettamalla etualalle voimakkaasti vääristyneen kallon. Myöhemmin anamorfiset tekniikat lisättiin Escherin ja muun grafiikan arsenaaliin [147] .

Topologiset juonit ovat havaittavissa nykytaiteessa . Kuvanveistäjä John Robinson (1935-2007) tunnetaan teoksistaan ​​Gordian Knot ja Bands of Friendship ,  solmuteorian kuvituksista kiillotetussa pronssissa [9] . Jotkut Robinsonin muut veistokset käsittelevät tori topologiaa . "Luominen" ( eng. Genesis ) on rakennettu Borromean renkaiden periaatteelle : kolmea ympyrää ei ole yhdistetty pareittain, vaan ne voidaan irrottaa vain tuhoamalla koko rakenteen [148] . Helaman Ferguson veistää pintoja ja muita topologisia esineitä [149] . Hänen teoksensa The Eightfold Way perustuu projektiiviseen erikoislineaariryhmään PSL(2, 7) , äärelliseen ryhmään, jossa on 168 elementtiä [150] [151] . Kuvanveistäjä Bathsheba Grossman tunnetaan myös matemaattisten rakenteiden ilmentäjänä [152] [153] .    

Esineet, kuten Lorentzin jakoputki ja hyperbolinen taso, ovat kudontataiteen, mukaan lukien virkkauksen, luomia uudelleen [154] [155] [156] . Vuonna 1949 kutoja Ada Dietz julkaisi monografian Algebraic Expressions in Handwoven  Textiles , jossa hän ehdotti uusia kudontamalleja, jotka perustuivat moniulotteisten polynomien laajentamiseen [157] . Matemaatikko Jeffrey C. P. Miller loi kuvakudoksia , jotka kuvaavat puita ja abstrakteja kolmiokuvioita [158] käyttämällä solukkoautomaatin 90 sääntöä ; soluautomaatteja käytetään myös suoraan digitaalisen visuaalisen taiteen luomiseen [159] . Math Knitters [ 160] [ 161] Pat Ashforth ja Steve Plummer neulovat kuvioita kuusikulmioon ja muita opiskelijoiden hahmoja. On huomionarvoista, että he eivät onnistuneet sitomaan Mengerin sientä - se oli valmistettu muovista [162] [163] . Ashforthin ja Plummerin mathghans-projekti [ 164 ] on myötävaikuttanut neulomisteorian sisällyttämiseen Yhdistyneen kuningaskunnan matematiikan ja teknologian opetussuunnitelmiin [165] [166] .   


Havainnollistavaa matematiikkaa

Mallintaminen ei ole suinkaan ainoa tapa havainnollistaa matemaattisia käsitteitä. Giotton Stefaneschin triptyykki (1320 ) sisältää rekursion . Vastapuolen keskipaneelissa (vasemmalla) näkyy kardinaali Stefaneschi itse; polvistuessaan hän tarjoaa lahjaksi pienen kopion Triptyykistä [167] . Giorgio de Chiricon metafyysiset maalaukset , mukaan lukien The Great Metaphysical Interior (1917), käsittelevät taiteen esitystasojen teemoja; de Chirico maalaa kuvia kuvien sisään [168] .

Taide voi vangita loogisia paradokseja. Surrealisti René Magritte loi maalauksensa semioottisiksi vitseiksi, kyseenalaistaen pintojen välisen suhteen. Maalauksessa " The Conditions of Human Existence " (1933) on maalausteline, jossa on kangas; maisema tukee näkymää ikkunasta, jonka kehyksiä ilmaisevat verhot. Escher rakensi Kuvagallerian (1956) juonen samalla tavalla: vääristynyt näkymä kaupunkiin, galleria, joka sijaitsee kaupungissa, itse maalaus näyttelynä. Rekursio jatkuu loputtomiin [169] . Magritte vääristeli todellisuutta myös muilla tavoin. Mental Aritmetic (1931) kuvaa asutusta, jossa talot istuvat vierekkäin pallojen ja kuutioiden kanssa, ikään kuin lasten lelut olisivat kasvaneet jättimäisiksi [170] . The Guardianin toimittaja kommentoi, että "karmivasta lelukaupungin suunnitelmasta" [171] tuli ennustus, joka ennusti modernistien "vanhojen kätevien muotojen" [172] anastamista . Samaan aikaan Magritte leikkii ihmisen taipumuksella etsiä luonnosta malleja [173] .

Salvador Dalin viimeinen maalaus Swallow's Tail (1983) päättää sarjan René Thomasin katastrofiteorian inspiroimia töitä [174] . Espanjalainen taidemaalari ja kuvanveistäjä Pablo Palazuelo (1916-2007) kehitti tyylin, jota hän kutsui "elämän ja koko luonnon geometriaksi". Palazuelon taideteokset ovat huolellisesti jäsenneltyjä ja värillisiä sarjoja yksinkertaisista hahmoista. Itseilmaisukeinona hän käyttää geometrisia muunnoksia [9] .


Taiteilijat eivät aina ota geometriaa kirjaimellisesti. Vuonna 1979 julkaistiin Douglas Hofstadterin kirja Gödel , Escher, Bach , jossa hän pohtii ihmisen ajattelun malleja, mukaan lukien taiteen yhteyttä matematiikkaan:

"Ero Escherin piirustusten ja ei-euklidisen geometrian välillä on se, että jälkimmäisessä on mahdollista löytää merkityksellisiä tulkintoja määrittelemättömille käsitteille siten, että järjestelmä tulee ymmärrettäväksi, kun taas edellisessä lopputulos on ristiriidassa käsityksemme kanssa. maailmasta riippumatta siitä, kuinka kauan ajattelemme kuvaa." [175]

Hofstadter viittaa Escherin "Picture Galleryn" paradoksiin, luonnehtien sitä "outoksi silmukaksi tai monimutkaiseksi hierarkiaksi" [176] todellisuuden tasojen välillä. Taiteilija itse ei ole edustettuna tässä silmukassa; sen olemassaolo tai tekijän tosiasia ei ole paradokseja [177] . Kuvan keskellä oleva tyhjiö kiinnitti matemaatikot Bart de Smitin ja Hendrik Lenstran huomion. Ne viittaavat Droste-ilmiön olemassaoloon : kuva toistaa itseään käännetyssä ja pakatussa muodossa. Jos Droste-ilmiö on todellakin olemassa, rekursio on vielä monimutkaisempi kuin Hofstadter [178] [179] päätteli .

Taidehistorian analyysi

Taideteosten algoritminen analyysi, esimerkiksi röntgenfluoresenssi , mahdollistaa tekijän myöhemmin maalaamien kerrosten havaitsemisen, halkeilevien tai tummuneiden kuvien alkuperäisen ulkonäön palauttamisen, kopioiden erottamisen alkuperäisestä ja mestarin käden erottamisen opiskelijan [180] [181] .

Jackson Pollockin [182] "tiputus" -tekniikka on merkittävä fraktaalimittasuhteestaan ​​[183] . Mahdollisesti Pollockin hallitsemaan kaaokseen [184] vaikutti Max Ernst. Ernst loi Lissajous-figuurit [185] pyörittämällä maaliämpäriä, jossa oli rei'itetty pohja . Tietojenkäsittelytieteilijä Neil Dodgson yritti selvittää, voidaanko Bridget Rileyn raidallisia kankaita kuvata matemaattisesti . Nauhojen välisten etäisyyksien analyysi "antoi varman tuloksen", joissain tapauksissa hypoteesi globaalista entropiasta vahvistui , mutta autokorrelaatiota ei ollut , koska Riley vaihteli kuvioita. Paikallinen entropia toimi paremmin, mikä oli linjassa kriitikko Robert Koudelkan taiteilijan työstä tekemien teesien kanssa [186] .

Vuonna 1933 amerikkalainen matemaatikko George D. Birkhoff esitteli yleisölle teoksen "Aesthetic Measure" - kvantitatiivisen teorian maalauksen esteettisestä laadusta . Birkhoff jätti tarkastelun ulkopuolelle konnotaatiokysymykset ja keskittyi kuvan geometrisiin ominaisuuksiin ("järjestyksen elementteihin") monikulmiona. Lisäysmittari ottaa arvot -3:sta 7:ään ja yhdistää viisi ominaisuutta:

Toinen metriikka heijastaa niiden viivojen määrää, jotka sisältävät vähintään yhden monikulmion sivun. Birkhoff määrittelee esineen estetiikan mittasuhteen . Asenne voidaan tulkita tasapainoksi esineen pohdiskelun tuoman nautinnon ja rakentamisen monimutkaisuuden välillä. Birkhoffin teoriaa on kritisoitu useista eri näkökulmista, ja häntä on moitittu hänen aikomuksestaan ​​kuvata kauneutta kaavalla. Matemaatikko väitti, ettei hänellä ollut sellaista tarkoitusta [187] .

Ruokaa tutkimukseen

On tapauksia, joissa taide toimi virikkeenä matematiikan kehitykselle. Muotoiltuaan perspektiiviteorian arkkitehtuurissa ja maalauksessa Brunelleschi avasi joukon tutkimuksia, joihin kuului Brooke Taylorin ja Johann Lambertin työ perspektiivin matemaattisista perusteista [188] . Tälle perustalle Gerard Desargues ja Jean-Victor Poncelet rakensivat teorian projektiivisesta geometriasta [189] .

Matemaattisten menetelmien ansiosta Tomoko Fuse pystyi kehittämään japanilaista origamitaidetta . Moduulien avulla hän kokoaa yhteneväisistä paperipaloista - esimerkiksi neliöistä - polyhedraista ja parketeista [190] . Vuonna 1893 T. Sundara Rao julkaisi Geometric Exercises in Paper Folding, jossa hän antoi visuaalisia todisteita erilaisista geometrisista tuloksista [191] . Tärkeimpiä löytöjä origami-matematiikan alalla ovat Maekawan lause [192] , Kawasakin lause [193] ja Fujitan säännöt [194] .

Illuusiosta optiseen taiteeseen

Optiset illuusiot , mukaan lukien Fraser-spiraali, osoittavat ihmisen visuaalisen kuvan havainnoinnin rajoitukset. Taidehistorioitsija Ernst Gombrich kutsui heidän luomiaan vaikutuksia "käsittämättömiksi temppuiksi" [196] . Mustat ja valkoiset raidat, jotka ensi silmäyksellä muodostavat spiraalin , ovat itse asiassa samankeskisiä ympyröitä . 1900-luvun puolivälissä syntyi optisen taiteen tyyli, joka käytti illuusioita dynamiikkaa maalauksille, luoden välkkymisen tai värähtelyn vaikutelman. Tunnetun "op-taiteena" tunnetun analogian perusteella suunnan kuuluisia edustajia ovat Bridget Riley, Spyros Choremis [197] , Victor Vasarely [198] .

Pyhä geometria

Ajatus jumala-geometristä ja kaiken geometrian pyhyydestä on tunnettu antiikin Kreikasta lähtien ja se voidaan jäljittää länsieurooppalaisessa kulttuurissa. Plutarch huomauttaa, että Platonilla oli tällaisia ​​näkemyksiä : "Jumala geometrisoi lakkaamatta" ( Convivialium disputationum , liber 8,2). Platonin näkemykset juurtuvat pythagoralaiseen musiikillisen harmonian käsitteeseen, jossa nuotit asettuvat ihanteellisissa mittasuhteissa lyyran kielten pituuden sanelemana. Analogisesti musiikin kanssa säännölliset polyhedrat ("platoniset kiinteät aineet") asettavat ympäröivän maailman mittasuhteet ja sen seurauksena juonit taiteessa [199] [200] . Kuuluisa keskiaikainen esimerkki Jumalasta, joka loi maailmankaikkeuden kompassilla, viittaa Raamatun jakeeseen: ”Kun Hän valmisteli taivaita, olin siellä. Kun Hän piirsi ympyrän syvyyden poikki” ( Sananlaskujen kirja , 8:27) [201] . Vuonna 1596 matemaatikko ja tähtitieteilijä Johannes Kepler esitteli aurinkokunnan mallin  - joukon sisäkkäisiä platonisia kiinteitä aineita, jotka edustavat planeettojen kiertoratojen suhteellista kokoa [201] . William Blaken maalaus " Suuri arkkitehti " sekä hänen monotypiansa "Newton", jossa suuri tiedemies on kuvattu alastomana geometriana, osoittavat matemaattisesti täydellisen henkisen maailman ja epätäydellisen fyysisen maailman välisen kontrastin [202] . Samalla tavalla voidaan tulkita Dalin " Hyperkuutiota ruumista ", jossa Kristus ristiinnaulitaan neliulotteisen hyperkuution kolmiulotteiseen avautumiseen . Taiteilijan mukaan jumalallinen silmä voi mitata enemmän kuin ihmisen [82] . Dali kuvitteli Kristuksen viimeisen aterian opetuslasten kanssa tapahtuvan jättimäisen dodekaedrin sisällä [203] ,

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 3 4 Ziegler, Günter M. Dürerin monitahoinen: 5 teoriaa, jotka selittävät Melencolian hullun kuution . The Guardian (3. joulukuuta 2014). Haettu 27. lokakuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 11. marraskuuta 2020.
  2. ↑ Plinius vanhin. Luonnontiede. Taiteesta. - M .: Ladomir, 1994. S. 65 (XXXIV, 55-56)
  3. ↑ 1 2 McCague, Hugh. Pythagoralaiset ja kuvanveistäjät: Polykleitoksen kaanoni  //  Ruusuristiläinen Digest: lehti. - 2009. - Vol. 1 . - s. 23 .
  4. ↑ Platon. Menon // Platon. Sobr. op. 4 osassa - V.1. - M .: Thought, 1990. - S. 594-595 (85 a-s)
  5. ↑ Vlasov V. G. . Muotoilun teoria kuvataiteessa. Oppikirja lukioille. - Pietari: Pietarin kustantamo. un-ta, 2017. - C.121-122
  6. ↑ Raven, JE Polyclitus ja pythagoralaisuus // Classical Quarterly. - 1951. - V. 1 , nro 3-4 . - S. 147 - . - doi : 10.1017/s0009838800004122 .
  7. ↑ Tobin, Richard. Polykleitosin kaanoni  // American Journal of  Archaeology : päiväkirja. - 1975. - lokakuu ( nide 79 , nro 4 ). - s. 307-321 . - doi : 10.2307/503064 .
  8. ↑ 1 2 3 O'Connor, JJ; Robertson, E. F. Matematiikka ja taiteen näkökulma . St Andrewsin yliopisto (tammikuu 2003). Haettu 1. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 24. maaliskuuta 2019.
  9. ↑ 1 2 3 4 Visual Mind II / Emmer, Michelle. - MIT Press , 2005. - ISBN 978-0-262-05048-7 .
  10. ↑ Vasari, Giorgio . Erinomaisimpien maalareiden, kuvanveistäjien ja arkkitehtien elämää . - Torrentino, 1550. - C. Brunelleschin luku.
  11. ↑ Alberti, Leon Battista; Spencer, John R. Maalaustyöstä . - Yale University Press , 1956.
  12. ↑ Field, JV Infinity:  Renessanssin matematiikka ja taide . - Oxford University Press , 1997. - ISBN 978-0-19-852394-9 .
  13. ↑ Witcombe, Christopher LCE:n taidehistorian resurssit . Käyttöpäivä: 5. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 4. maaliskuuta 2016.
  14. ↑ 1 2 3 4 5 Hart, George W. Polyhedra in Art . Haettu 24. kesäkuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 21. huhtikuuta 2019.
  15. ↑ Cunningham, Lawrence; Reich, John; Fichner Rathus, Lois. Kulttuuri ja arvot: Tutkimus länsimaisista  humanistisista tieteistä . - Cengage Learning, 2014. - s. 375. - ISBN 978-1-285-44932-6 . . — "jotka kuvaavat Uccellon kiehtovuutta perspektiivistä. Turnaajat taistelevat taistelukentällä, joka on täynnä rikkinäisiä lansseja, jotka ovat pudonneet lähes ristikkokuvioon ja osoittavat kohti katoamispistettä jossain kaukana."
  16. ↑ della Francesca, Piero. De Prospectiva Pingendi / G. Nicco Fasola. - Firenze, 1942.
  17. ↑ della Francesca, Piero. Trattato d'Abaco / G. Arrighi. – Pisa, 1970.
  18. ↑ della Francesca, Piero. Pietro Franceschin ooppera "De corporibus regularibus" detto della Francesca usurpata da Fra Luca Pacioli  (italia) / G. Mancini. – 1916.
  19. ↑ Vasari, G. Le Opere, osa 2 / G. Milanesi. - 1878. - S. 490.
  20. ↑ Zuffi, Stefano. Piero della Francesca . - L'Unità - Mondadori Arte, 1991. - s  . 53 .
  21. ↑ Heath, TL Eukleideen elementtien kolmetoista kirjaa. - Cambridge University Press , 1908. - S. 97.
  22. ↑ Grendler, P. Mitä Piero oppi koulussa: 1500-luvun kansankielinen koulutus  / M.A. Lavin. Piero della Francesca ja hänen perintönsä. – University Press of New England, 1995. - s. 161-176.
  23. ↑ Alberti, Leon Battista; Grayson, Cecil (käänn.). Maalaustyöstä / Kemp, Martin. - Penguin Classics , 1991.
  24. ↑ Peterson, Mark. Piero della Francescan geometria (linkki ei saatavilla) . "Kirjassa I, esitelläkseen ajatuksen siitä, että esineen näennäinen koko on itse asiassa sen kulma, joka kohdistuu silmään, ja viitaten Eukleideen Elements-kirjaan I ja VI sekä Eukleideen optiikkaan, hän ottaa esille joitakin alkeellisia rakenteita. Ehdotus 13 , esitys neliöstä, joka makaa maassa katsojan edessä. Mitä taiteilijan pitäisi oikeastaan ​​piirtää? Tämän jälkeen neliöön konstruoidaan objektit (laatoitus esim. laattalattiaa edustamaan) ja vastaavat objektit perspektiivissä; Kirjassa II prismat on pystytetty näiden tasomaisten esineiden päälle edustamaan taloja, pylväitä jne.; mutta menetelmän perusta on alkuperäinen neliö, josta kaikki muu seuraa." Haettu 2. kesäkuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 1. heinäkuuta 2016. 
  25. ↑ Hockney, David. Salainen tieto: Vanhojen mestareiden kadonneiden tekniikoiden uudelleen löytäminen  (englanniksi) . – Thames ja Hudson, 2006. - ISBN 978-0-500-28638-8 .
  26. ↑ Van Riper, Frank Hockneyn "Lucid" pommi Art Establishmentissa . Washington Post. Haettu 4. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 11. syyskuuta 2015.
  27. ↑ Marr, Andrew Mitä silmä ei nähnyt . The Guardian (7. lokakuuta 2001). Haettu 4. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 25. syyskuuta 2015.
  28. ↑ Janson, Jonathan Philip Steadmanin haastattelu . Essential Vermeer (25. huhtikuuta 2003). Haettu 5. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 6. syyskuuta 2015.
  29. ↑ Steadman, Philip. Vermeerin kamera: Totuuden paljastaminen mestariteosten takana  (englanniksi) . - Oxford, 2002. - ISBN 978-0-19-280302-3 .
  30. ↑ Hart, George. Luca Paciolin Polyhedra . Haettu 13. elokuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 18. lokakuuta 2018.
  31. ↑ Morris, Roderick Conway Palmezzanon renessanssi: Varjoista taidemaalari nousee esiin . New York Times (27. tammikuuta 2006). Haettu 22. heinäkuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 18. huhtikuuta 2021.
  32. ↑ Calter, Paul. Geometria ja taideyksikkö 1 (linkki ei saatavilla) . Dartmouth College . Haettu 13. elokuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 21. elokuuta 2009. 
  33. ↑ Brizio, Anna Maria. Leonardo taiteilija . - McGraw-Hill Education , 1980.
  34. ↑ Ladwein, Michael. Leonardo Da Vinci, Viimeinen ehtoollinen: Kosminen draama ja lunastustoimi  (englanniksi) . - Temple Lodge Publishing, 2006. - S. 61-62. - ISBN 978-1-902636-75-7 .
  35. ↑ Turner, Richard A. Leonardon keksiminen. - Alfred A. Knopf, 1992.
  36. ↑ Wolchover, Natalie kopioiko Leonardo da Vinci kuuluisaa "Vitruvian miestään"? . NBC News (31. tammikuuta 2012). Haettu 27. lokakuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 28. tammikuuta 2016.
  37. ↑ Criminisi, A.; Kempz, M.; Kang, SB Reflections of Reality in Jan van Eyck ja Robert Campin  //  Historical Methods: Journal. - 2004. - Voi. 37 , no. 3 . - s. 109-121 . - doi : 10.3200/hmts.37.3.109-122 .
  38. ↑ Liesi, Felix. Monipuoliset peilit: Taiteiden ja matematiikan risteytys  (englanniksi) . - Cambridge University Press , 2013. - S. 299-300, 306-307. - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  39. ↑ Liesi, Felix. Monipuoliset peilit: Taiteiden ja matematiikan risteytys  (englanniksi) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  269 -278. - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  40. ↑ Joyce, David E. Euclid's Elements, Book II, Proposition 11 . Clarkin yliopisto (1996). Haettu 24. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 30. syyskuuta 2015.
  41. ↑ Seghers, MJ; Longacre, JJ; Destefano, GA Kultainen osuus ja kauneus   // Plastiikka ja korjaava kirurgia : päiväkirja. - 1964. - Voi. 34 , nro. 4 . - s. 382-386 . - doi : 10.1097/00006534-196410000-00007 .
  42. ↑ Mainzer, Klaus. Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science  (englanniksi) . - Walter de Gruyter , 1996. - s. 118.
  43. ↑ Matemaattiset ominaisuudet muinaisissa teattereissa ja amfiteattereissa (downlink) . Haettu 29. tammikuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 15. heinäkuuta 2017. 
  44. ↑ Arkkitehtuuri: Ellipsi? . The-Colosseum.net. Käyttöpäivä: 29. tammikuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 11. joulukuuta 2013.
  45. ↑ 1 2 3 4 Markowsky, George.  Väärinkäsityksiä kultaisesta suhteesta  // College Mathematics Journal :lehti. - 1992. - tammikuu ( osa 23 , nro 1 ) . - s. 2-19 . - doi : 10.2307/2686193 . Arkistoitu alkuperäisestä 8. huhtikuuta 2008.
  46. ↑ Taseos, Sokrates G. Takaisin ajassa 3104 eKr. Suureen  pyramidiin . - SOC Publishers, 1990.
  47. ↑ Vinon korkeuden suhde puoleen pohjan pituuteen on 1,619, mikä eroaa alle 1 % kultaisesta leikkauksesta (1,618). Keplerin kolmion käyttö on oletettu (kaltevuuskulma on 51°49').
  48. ↑ Gazale, Midhat. Gnomon: Faraoista fraktaaleihin. - Princeton University Press , 1999. - ISBN 978-0-691-00514-0 .
  49. ↑ Huntley, H. E. Jumalallinen osuus. – Dover, 1970.
  50. ↑ Hemenway, Priya. Jumalallinen osuus : Phi taiteessa, luonnossa ja tieteessä  . - Sterling, 2005. - S.  96 .
  51. ↑ Usvat, Liliana Parthenonin matematiikka . Matematiikan lehti. Haettu 24. kesäkuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 14. syyskuuta 2015.
  52. ↑ Boussora, Kenza; Mazouz, sanoi. Kultaisen leikkeen käyttö Kairouanin suuressa moskeijassa  //  Nexus Network Journal : lehti. — Voi. 6 , ei. 1 . - s. 7-16 . - doi : 10.1007/s00004-004-0002-y . Arkistoitu alkuperäisestä 4. lokakuuta 2008. . — Kultaleikkauksen geometrinen rakennustekniikka näyttää määrittäneen tilaorganisaation tärkeimmät päätökset. Kultainen leikkaus näkyy toistuvasti jossain rakennuksen mitoissa. Se löytyy suunnitelman kokonaisosuudesta sekä rukoustilan, pihan ja minareetin mitoituksesta. Kultaisen leikkauksen olemassaolo joissakin Kairouanin moskeijan osissa osoittaa, että tällä periaatteella suunnitellut ja luodut elementit ovat saattaneet toteutua samaan aikaan." Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Haettu 4. kesäkuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 4. lokakuuta 2008. 
  53. ↑ Brinkworth, Peter; Scott, Paul. Matematiikan paikka // Australian matematiikan opettaja. - 2001. - T. 57 , nro 3 . - S. 2 .
  54. ↑ Chanfon Olmos, Carlos. Curso sobre Proportion. Procedimientos reguladors en construcción  (espanja) . — Convenio de intercambio Unam–Uady. Meksiko - Merica, 1991.
  55. ↑ Livio, Mario . Kultainen suhde: Phin tarina, maailman hämmästyttävin  luku . - Broadway Books, 2002.
  56. ↑ Smith, Norman AF Cathedral Studies: Engineering or History  // Transactions of the Newcomen Society. - 2001. - T. 73 . - S. 95-137 . - doi : 10.1179/tns.2001.005 . Arkistoitu alkuperäisestä 11. joulukuuta 2015. Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Haettu 4. kesäkuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 11. joulukuuta 2015. 
  57. ↑ McVeigh, Karen Miksi kultainen leikkaus miellyttää silmää: Yhdysvaltain akateemikko sanoo tietävänsä taiteen salaisuuden . The Guardian (28. joulukuuta 2009). Käyttöpäivä: 27. lokakuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 19. lokakuuta 2015.
  58. ↑ 1 2 3 Cucker, Felix. Monipuoliset peilit: Taiteiden ja matematiikan risteytys  (englanniksi) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  89 -102. - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  59. ↑ 12 Lerner , Martin. Liekki ja lootus: Intian ja Kaakkois-Aasian taidetta Kronos-kokoelmista  (englanniksi) . - Näyttelyluettelo. - Metropolitan Museum of Art, 1984.
  60. ↑ 1 2 Ellison, Elaine; Venters, Diana. Matemaattiset peitot: Ei vaadi ompelua. - Keskeinen opetussuunnitelma, 1999.
  61. ↑ 1 2 Castera, Jean Marc; Peuriot, Francois. Arabeskit. Koristeellinen taide Marokossa. - Taiteen luomisen toteutus, 1999. - ISBN 978-2-86770-124-5 .
  62. ↑ Salingaros, Nikos. Maton "elämä": Alexanderin sääntöjen soveltaminen  (englanniksi)  // 8th International Conference on Oriental Carpets : aikakauslehti. - Philadelphia, 1996. - marraskuu. Uusintapainos julkaisussa Oriental Carpet and Textile Studies V / Eiland, M.; Pinner, M.. - Danville, CA: Conference on Oriental Carpets, 1998.
  63. ↑ Liesi, Felix. Monipuoliset peilit: Taiteiden ja matematiikan risteytys  (englanniksi) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  103-106 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  64. ↑ Dye, Daniel S. Chinese Lattice Designs . - Dover, 1974. - S.  30 -39.
  65. ↑ belcastro, sarah-marie. Seikkailuja matemaattisessa neulomisessa   // American Scientist :lehti. - 2013. - Vol. 101 , ei. 2 . - s. 124 . doi : 10.1511 / 2013.101.124 .
  66. ↑ Taimina, Daina. Virkkausseikkailut hyperbolisilla tasoilla  . – A. K. Peters, 2009. - ISBN 1-56881-452-6 .
  67. ↑ Snook, Barbara. Firenzen kirjonta . Scribner, toinen painos 1967.
  68. ↑ Williams, Elsa S. Bargello: Florentine Canvas Work . Van Nostrand Reinhold, 1967.
  69. ↑ Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. Satiinit ja Twills: Johdatus kankaiden geometriaan  // Mathematics Magazine  : aikakauslehti  . - 1980. - toukokuu ( osa 53 , nro 3 ) . - s. 139-161 . - doi : 10.2307/2690105 . — .
  70. ↑ 1 2 Gamwell, Lynn. Matematiikka ja taide: kulttuurihistoria. - Princeton University Press , 2015. - S. 423. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  71. ↑ Baker, Patricia L.; Smith, Hilary. Iran . — 3. — Bradtin matkaoppaat, 2009. - s. 107. - ISBN 1-84162-289-3 .
  72. ↑ Irvine, Veronica; Ruskey, Frank. Matemaattisen mallin kehittäminen Bobbin Lacelle  //  Journal of Mathematics and the Arts : päiväkirja. - 2014. - Vol. 8 , ei. 3-4 . - s. 95-110 . - doi : 10.1080/17513472.2014.982938 . - arXiv : 1406.1532 .
  73. ↑ Lu, Peter J.; Steinhardt, Paul J. Decagonal and Quasi-crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture  // Science  :  Journal. - 2007. - Voi. 315 , nro. 5815 . - s. 1106-1110 . - doi : 10.1126/tiede.1135491 . - . — PMID 17322056 .
  74. ↑ van den Hoeven, Saskia, van der Veen, Maartje. Muqarnas-Matematiikka islamilaisessa taiteessa . Haettu 6. toukokuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 6. toukokuuta 2019.
  75. ↑ Panofsky, E. Albrecht Durerin elämä ja taide. - Princeton, 1955.
  76. ↑ Hart, George W. Dürerin Polyhedra . Haettu 13. elokuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 19. elokuuta 2009.
  77. ↑ Dürer, Albrecht. Hierinn sind begriffen vier Bucher von menschlicher Proportion  (saksa) . - Nurenberg: Archive.org, 1528.
  78. ↑ Schreiber, P. Uusi hypoteesi Durerin arvoituksellisesta polyhedronista hänen kuparikaiverruksessa "Melencolia I"  //  Historia Mathematica : päiväkirja. - 1999. - Voi. 26 . - s. 369-377 . - doi : 10.1006/hmat.1999.2245 .
  79. ↑ Dodgson, Campbell. Albrecht Durer. - Lontoo: Medici Society, 1926. - S. 94.
  80. ↑ Schuster, Peter-Klaus. Melencolia I: Dürers Denkbild. Berliini: Gebr. Mann Verlag, 1991, s. 17-83.
  81. ↑ Panofsky, Erwin ; Klibansky, Raymond; Saxl, Fritz . Saturnus ja melankolia . - Peruskirjat , 1964.
  82. ↑ 1 2 Ristiinnaulitseminen (Corpus Hypercubus) . Metropolitan Museum of Art. Käyttöpäivä: 5. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 23. lokakuuta 2015.
  83. ↑ Lukman, Muhammad; Hariadi, Yun; Destiarmand, Achmad Haldani. Batik Fractal : Traditional Art to Modern Complexity  (englanniksi)  // Proceeding Generative Art X, Milano, Italia : Journal. – 2007.
  84. ↑ Pollockin fraktaalit  (marraskuu 2001). Arkistoitu alkuperäisestä 7. lokakuuta 2016. Haettu 26. syyskuuta 2016.
  85. ↑ Galilei, Galileo . Assayer. - 1623. , käännettynä kirjassa Drake, StillmanGalileon löydöt ja mielipiteet. - Doubleday, 1957. - S. 237-238. — ISBN 0-385-09239-3 .
  86. ↑ Liesi, Felix. Monipuoliset peilit: Taiteiden ja matematiikan risteytys  (englanniksi) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  381 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  87. ↑ Liesi, Felix. Monipuoliset peilit: Taiteiden ja matematiikan risteytys  (englanniksi) . - Cambridge University Press , 2013. - s  . 10 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  88. ↑ King, Jerry P. Matematiikan taide. - Fawcett Columbine, 1992. - S. 8-9. - ISBN 0-449-90835-6 .
  89. ↑ King, Jerry P. Matematiikan taide. - Fawcett Columbine, 1992. - S. 135-139. - ISBN 0-449-90835-6 .
  90. ↑ Devlin, Keith. Onko matemaatikoilla erilaiset aivot? // Matemaattinen geeni : Kuinka matemaattinen ajattelu kehittyi ja miksi numerot ovat kuin juoruja  . - Basic Books , 2000. - S. 140. - ISBN 978-0-465-01619-8 .
  91. ↑ Englanti.  "Miksi numerot ovat kauniita? Se on kuin kysyisi, miksi Beethovenin yhdeksäs sinfonia on kaunis. Jos et ymmärrä miksi, joku ei voi kertoa sinulle. Tiedän , että numerot ovat kauniita."
  92. ↑ Malkevitš, Joseph Matematiikka ja taide. 2. Matemaattiset työkalut taiteilijoille . American Mathematical Society. Haettu 1. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 14. syyskuuta 2015.
  93. ↑ Malkevitš, Joseph Matematiikka ja taide . American Mathematical Society. Haettu 1. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 29. elokuuta 2015.
  94. ↑ Matematiikka ja taide: hyvät, pahat ja kauniit . Amerikan matemaattinen yhdistys. Haettu 2. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 9. syyskuuta 2015.
  95. ↑ Cohen, Louise Kuinka pyörittää väripyörää, kirjoittaneet Turner, Malevich ja muut . Tate Gallery (1. heinäkuuta 2014). Haettu 4. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 11. syyskuuta 2015.
  96. ↑ Kemp, Martin. Taiteen tiede : Optiset teemat länsimaisessa taiteessa Brunelleschista Seuratiin  . - Yale University Press , 1992. - ISBN 978-968-867-185-6 .
  97. ↑ Gage, John. Väri ja kulttuuri : käytäntö ja merkitys antiikista abstraktioon  . - University of California Press , 1999. - P. 207. - ISBN 978-0-520-22225-0 .
  98. ↑ Malkevitš, Joseph Matematiikka ja taide. 3. Symmetria . American Mathematical Society. Haettu 1. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 14. syyskuuta 2015.
  99. ↑ Malkevitš, Joseph Matematiikka ja taide. 4. Matemaattiset taiteilijat ja taiteilijamatemaatikot . American Mathematical Society. Haettu 1. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 15. syyskuuta 2015.
  100. ↑ Wright, Richard. Joitakin kysymyksiä tietokonetaiteen kehittämisessä matemaattisena  taiteena //  Leonardo : päiväkirja. - 1988. - Voi. 1 , ei. Electronic Art, lisänumero . - s. 103-110 . - doi : 10.2307/1557919 . — .
  101. ↑ Kalajdzievski, Sasho. Matematiikka ja taide: Johdatus visuaaliseen matematiikkaan  (englanniksi) . - Chapman ja Hall , 2008. - ISBN 978-1-58488-913-7 .
  102. ↑ 1 2 Beddard, Honor Computer Art at V&A . Victoria and Albert Museum. Haettu 22. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 25. syyskuuta 2015.
  103. ↑ Tietokone piirtää: Tuhansia rivejä jokaisessa (17. syyskuuta 1962). Beddardissa, 2015.
  104. ↑ O'Hanrahan, Elaine. Piirustuskoneet: Kone teki piirustuksia Dr. D.P. Henry koneella tuotetun taiteen käsitteellisen ja teknologisen kehityksen suhteen (UK 1960–1968). Julkaisematon MPhil. Opinnäytetyö  (englanniksi) . - John Moores University, Liverpool, 2005 , Beddard, 2015.
  105. ↑ Bellos, Alex . Päivän saalis: matemaatikko verkot outoja, monimutkaisia ​​kaloja , The Guardian (24. helmikuuta 2015). Arkistoitu alkuperäisestä 30. marraskuuta 2016. Haettu 25. syyskuuta 2015.
  106. ↑ "A Bird in Flight (2016)," kirjoittanut Hamid Naderi Yeganeh . American Mathematical Society (23. maaliskuuta 2016). Haettu 6. huhtikuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 29. maaliskuuta 2017.
  107. ↑ Chung, Stephy . Seuraava da Vinci? Matematiikkanero luoden kaavoja upeita taideteoksia , CNN  (18. syyskuuta 2015). Arkistoitu alkuperäisestä 2. helmikuuta 2017. Haettu 7. kesäkuuta 2017.
  108. ↑ Levin, Golan Generative Artists . CMUEMS (2013). Haettu 27. lokakuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 21. syyskuuta 2015. Tämä sisältää linkin Hvidtfeldts Syntopiaan , joka on arkistoitu 31. lokakuuta 2015 Wayback Machinessa .
  109. ↑ Verostko, Roman Algoristit . Haettu 27. lokakuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 4. syyskuuta 2016.
  110. ↑ Liesi, Felix. Monipuoliset peilit: Taiteiden ja matematiikan risteytys  (englanniksi) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  315-317 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  111. ↑ Miller, Arthur I. Einstein, Picasso : Tila, aika ja kauneus, joka aiheuttaa tuhoa  . - New York: Basic Books, 2001. - S.  171 . - ISBN 0-465-01860-2 .
  112. ↑ Miller, Arthur I. Nerouden näkemyksiä : Kuvia ja luovuutta tieteessä ja taiteessa  . - Springer, 2012. - ISBN 1-4612-2388-1 .
  113. ↑ Henderson, Linda D. Neljäs ulottuvuus ja ei-euklidinen geometria modernissa taiteessa  . - Princeton University Press , 1983.
  114. ↑ Antliff, Mark; Leighten, Patricia Dee. Kubismi ja kulttuuri . – Thames & Hudson, 2001.  (linkki, jota ei voi käyttää)
  115. ↑ Everdell, William R. Ensimmäiset modernit: profiilit kahdennenkymmenennen vuosisadan ajattelun  alkuperästä . - University of Chicago Press , 1997. - S.  312 . - ISBN 0-226-22480-5 .
  116. ↑ Vihreä, Christopher. Kubismi ja sen viholliset, modernit liikkeet ja reaktio ranskalaisessa taiteessa, 1916-1928  (englanniksi) . - Yale University Press , 1987. - s. 13-47.
  117. ↑ Metzinger, JeanNote sur la peinture // Pan. - S. 60 . Millerissä . Einstein, Picasso . - Peruskirjat , 2001. - S.  167 .
  118. ↑ Metzinger, JeanLe cubisme etait né. - Editions Présence, 1972. - S. 43-44. paikassa Ferry, Luc Homo Aestheticus: Maun keksintö demokratian aikakaudella  (englanniksi) . - University of Chicago Press , 1993. - S.  215 . — ISBN 0-226-24459-8 .
  119. ↑ Man Ray – Ihmisyhtälöt Matka matematiikasta Shakespeareen. 7. helmikuuta – 10. toukokuuta 2015 . Phillipsin kokoelma. Haettu 5. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 6. syyskuuta 2015.
  120. ↑ Adcock, Craig. Duchampin eroottisuus: matemaattinen analyysi  // Iowa Research Online. - 1987. - T. 16 , nro 1 . - S. 149-167 .
  121. ↑ Vanhin, R. Bruce. DADA, surrealismi ja  elokuvaefekti . - Wilfrid Laurier University Press, 2013. - s. 602. - ISBN 978-1-55458-641-7 .
  122. ↑ Tubbs, Robert. Matematiikka 1900-luvun kirjallisuudessa ja taiteessa: sisältö, muoto,  merkitys . - JHU Press, 2014. - s. 118. - ISBN 978-1-4214-1402-7 .
  123. ↑ Hiroshi Sugimoto käsitteelliset muodot ja matemaattiset mallit 7. helmikuuta – 10. toukokuuta 2015 . Phillipsin kokoelma. Haettu 5. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 6. syyskuuta 2015.
  124. ↑ Tubbs, Robert. Matematiikka 1900-luvun kirjallisuudessa ja  taiteessa . - Johns Hopkins, 2014. - S. 8-10. — ISBN 978-1-4214-1380-8 .
  125. ↑ Englanti.  "elliptiset paraboloidit ja kartiopisteet samassa aistillisessa valossa kuin hänen kuvansa Kiki de Montparnassesta"
  126. ↑ Englanti.  "muokkaa nerokkaasti matematiikan hienot laskelmat paljastamaan halun topologian"
  127. ↑ Keats, Jonathon Katso, kuinka Man Ray teki elliptiset paraboloidit eroottisiksi Phillips Collection -valokuvanäyttelyssä . Forbes (13. helmikuuta 2015). Haettu 10. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 23. syyskuuta 2015.
  128. ↑ Gamwell, Lynn. Matematiikka ja taide: kulttuurihistoria. - Princeton University Press , 2015. - S. 311-312. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  129. ↑ Henry Moore: Teksti hänen veistoksestaan ​​/ Hedgecoe, John. - Henry Spencer Moore. - Simon ja Schuster , 1968. - s. 105.
  130. ↑ Englanti.  "Epäilemättä merkkijonojeni lähde oli Tiedemuseo... Minua kiehtoivat siellä näkemäni matemaattiset mallit... Se ei ollut näiden mallien tieteellinen tutkimus, vaan kyky katsoa lankojen läpi kuin linnun kanssa. häkissä ja nähdä yksi muoto toisessa, joka innosti minua."
  131. ↑ Jouffret, Esprit. Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions et bevezetés à la géométrie à n dimensions  (ranska) . - Pariisi: Gauthier-Villars, 1903.
  132. ↑ Englanti.  "perustaa visuaalinen sanasto, joka koostuu [ sic ] alkeellisista geometrisista muodoista, jotka ovat kaikkien ymmärrettävissä ja mukautettavissa mihin tahansa tieteenalaan"
  133. ↑ 12 De Stijl . Tate sanasto . Tate. Haettu 11. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 11. helmikuuta 2017.
  134. ↑ Curl, James Stevens. Arkkitehtuurin ja maisema-arkkitehtuurin  sanakirja . — Toiseksi. - Oxford University Press , 2006. - ISBN 0-19-860678-8 .
  135. ↑ Englanti.  "hallittava rakenne, määrätty pinta ilman sattumanvaraisia ​​elementtejä tai yksittäisiä oikkuja"
  136. ↑ Englanti.  "ei vailla henkeä, ei puutu universaalia eikä ... tyhjää, koska on kaikkea mikä sopii sisäiseen rytmiin"
  137. ↑ Tubbs, Robert. Matematiikka 1900-luvun kirjallisuudessa ja taiteessa: sisältö, muoto,  merkitys . - JHU Press, 2014. - s. 44-47. - ISBN 978-1-4214-1402-7 .
  138. ↑ Kiertue: MC Escher - Elämä ja työ (linkki ei käytettävissä) . NGA. Haettu 13. elokuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 3. elokuuta 2009. 
  139. ↑ M.C. Escher . Mathacademy.com (1. marraskuuta 2007). Haettu 13. elokuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 11. lokakuuta 2007.
  140. ↑ Penrose, L.S.; Penrose, R. Impossible objects: Erityinen visuaalisen illuusion tyyppi  (englanniksi)  // British Journal of Psychology : päiväkirja. - 1958. - Voi. 49 . - s. 31-33 . - doi : 10.1111/j.2044-8295.1958.tb00634.x . — PMID 13536303 .
  141. ↑ Kirousis, Lefteris M.; Papadimitriou, Christos H.Monitahoisten kohtausten tunnistamisen monimutkaisuus // 26th Annual Symposium on Foundations of Computer Science(FOCS 1985). - 1985. - S. 175-185 . - doi : 10.1109/sfcs.1985.59 .
  142. ↑ Cooper, Martin. Viivapiirustuksen tulkinta . - Springer-Verlag , 2008. - S.  217 -230. - ISBN 978-1-84800-229-6 . - doi : 10.1007/978-1-84800-229-6_9 .
  143. ↑ Roberts, Siobhan. "Coxetering" MC Escherin kanssa. - Äärettömän avaruuden kuningas: Donald Coxeter, mies, joka pelasti geometrian. - Walker, 2006. - S. Luku 11.
  144. ↑ Escher, MC MC Escherin maailma. - Random House , 1988.
  145. ↑ Escher, M.C.; Vermeulen, M.W.; Ford, K. Escher aiheesta Escher: Exploring the Infinite. - HN Abrams, 1989.
  146. ↑ Malkevitš, Joseph Matematiikka ja taide. 5. Polyhedrat, laatoitukset ja dissektiot . American Mathematical Society. Haettu 1. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 14. syyskuuta 2015.
  147. ↑ Marcolli, Matilde . Avaruuden käsite matematiikassa modernin taiteen linssin kautta  (englanniksi) . - Century Books, 2016. - S. 23-26.
  148. ↑ John Robinson . Bradshaw Foundation (2007). Haettu 13. elokuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 3. toukokuuta 2010.
  149. ↑ Helaman Fergusonin verkkosivusto . Helasculpt.com. Haettu 13. elokuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 11. huhtikuuta 2009.
  150. ↑ Thurston, William P. Kahdeksanosainen tapa: Helaman Fergusonin matemaattinen veistos  / Levy, Silvio. - Osa 35: Kahdeksanosainen tapa: Kleinin kvartsikäyrän kauneus. - MSRI Publications, 1999. - S. 1-7.
  151. ↑ MAA-kirja-arvostelu teoksesta ''The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve'' . Maa.org (14. marraskuuta 1993). Haettu 13. elokuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 21. joulukuuta 2009.
  152. ↑ Math Geekin lomalahjaopas . Scientific American (23. marraskuuta 2014). Haettu 7. kesäkuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 17. kesäkuuta 2015.
  153. ↑ Hanna, Raven Gallery: Bathsheba Grossman . Symmetry-lehti. Haettu 7. kesäkuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 26. huhtikuuta 2015.
  154. ↑ Osinga, Hinke Virkkaa Lorenz-jakotukia . Aucklandin yliopisto (2005). Haettu 12. lokakuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 10. huhtikuuta 2015.
  155. ↑ Henderson, David; Taimina, Daina Hyperbolisen tason virkkaaminen  //  Matemaattinen tiedustelu . - 2001. - Voi. 23 , ei. 2 . - s. 17-28 . - doi : 10.1007/BF03026623 . .
  156. ↑ Osinga, Hinke M; Krauskopf, Bernd. Lorenzin jakoputken virkkaaminen  //  Matemaattinen älykäs . - 2004. - Voi. 26 , nro. 4 . - s. 25-37 . - doi : 10.1007/BF02985416 .
  157. ↑ Dietz, Ada K. (1949), Algebraic Expressions in Handwoven Textiles , Louisville, Kentucky: The Little Loomhouse , < http://www2.cs.arizona.edu/patterns/weaving/monographs/dak_alge.pdf > Arkistoitu kopio osoitteesta 22. helmikuuta 2016 Wayback Machinessa 
  158. ↑ Miller, JCPStunted trees of stunted trees periodic forests  (englanniksi)  // Philosophical Transactions of the Royal Society of London  : Journal. - 1970. - Voi. 266 , no. 1172 . - s. 63-111 . doi :/ rsta.1970.0003 . — .
  159. ↑ Designing Beauty: The Art of Cellular Automata / A. Adamatzky, GJ Martínez (Toim.). - Springer International Publishing, 2016. - (Emergence, Complexity and Computation; v. 20). - ISBN 978-3-319-27270-2 , 978-3-319-27269-6.
  160. ↑ Englannista . matemaatikot  - "matemaatikot" ja englanti. neuloa  - neuloa.  
  161. ↑ Pat Ashforth & Steve Plummer - Mathekniticians . Hulluja ajatuksia . Haettu 4. lokakuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 15. syyskuuta 2015.
  162. ↑ Ward, Mark Knitting keksitty uudelleen: matematiikka, feminismi ja metalli . BBC (20. elokuuta 2012). Haettu 23. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 23. syyskuuta 2015.
  163. ↑ Ashforth, Pat; Plummer, Steve Menger Sponge . Hulluja ajatuksia: ovelaa matematiikkaa tavoittelemassa . Haettu 23. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 17. huhtikuuta 2021.
  164. ↑ Englannista . matematiikka  - "matematiikka" ja englanti. Atghans  - "neulottu huivi", "verho".  
  165. ↑ Ashforth, Pat; Plummer, Steve Afghans for Schools . Hulluja ajatuksia: Mathghans . Haettu 23. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 18. syyskuuta 2015.
  166. ↑ Mathghanit erolla . - Simply Knitting Magazine, 2008. - 1. heinäkuuta. Arkistoitu alkuperäisestä 25. syyskuuta 2015.
  167. ↑ Giotto di Bondone ja avustajat: Stefaneschi triptyykki . Vatikaani. Haettu 16. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 30. marraskuuta 2016.
  168. ↑ Gamwell, Lynn. Matematiikka ja taide: kulttuurihistoria. - Princeton University Press , 2015. - S. 337-338. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  169. ↑ Cooper, Jonathan Art and Mathematics (5. syyskuuta 2007). Haettu 5. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 25. syyskuuta 2015.
  170. ↑ Hofstadter, Douglas R. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid  (saksa) . - Pingviini, 1980. - S. 627. - ISBN 978-0-14-028920-6 .
  171. ↑ Englanti.  "aavemainen lelukaupungin kuva" .
  172. ↑ Englanti.  "mukavat perinteiset muodot" .
  173. ↑ Hall, James René Magritte: Pleasure Principle -näyttely . The Guardian (10. kesäkuuta 2011). Haettu 5. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 23. elokuuta 2015.
  174. ↑ Kuningas, Elliot. Dali / Ades, Dawn. - Milano: Bompiani Arte, 2004. - S. 418-421.
  175. ↑ "Ero Escher-piirustuksen ja ei-euklidisen geometrian välillä on se, että jälkimmäisessä määrittelemättömille termeille voidaan löytää ymmärrettäviä tulkintoja, mikä johtaa ymmärrettävään kokonaisjärjestelmään, kun taas edellisen lopputulos ei sovi yhteen oman käsityksen kanssa maailmasta riippumatta siitä, kuinka kauan katselee kuvia."
  176. ↑ Englanti.  "outo silmukka tai sotkeutunut hierarkia"
  177. ↑ Hofstadter, Douglas R. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid  (saksa) . - Pingviini, 1980. - S. 98-99, 690-717. - ISBN 978-0-394-74502-2 .
  178. ↑ de Smit, B. Escher's Print Galleryn matemaattinen rakenne  // Notices of the American Mathematical Society  : Journal  . - 2003. - Voi. 50 , ei. 4 . - s. 446-451 .
  179. ↑ Lenstra, Hendrik; De Smit, Bart Matematiikan soveltaminen Escherin Print Galleryyn (linkki ei ole käytettävissä) . Leidenin yliopisto. Haettu 10. marraskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 14. tammikuuta 2018. 
  180. ↑ Stanek, Becca Van Gogh ja algoritmi: Kuinka matematiikka voi pelastaa taiteen . Time Magazine (16. kesäkuuta 2014). Haettu 4. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 28. syyskuuta 2015.
  181. ↑ Sipics, Michelle Van Gogh -projekti: Taide kohtaa matematiikan meneillään olevassa kansainvälisessä tutkimuksessa (linkki ei ole käytettävissä) . Society for Industrial and Applied Mathematics (18. toukokuuta 2009). Haettu 4. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 7. syyskuuta 2015. 
  182. ↑ Emmerling, Leonhard. Jackson Pollock, 1912-1956 . - 2003. - s. 63. - ISBN 3-8228-2132-2 .
  183. ↑ Taylor, Richard P.; Micolich, Adam P.; Jonas, David. Fraktaalianalyysi Pollockin tippumaalauksista  (englanniksi)  // Nature  : Journal. - 1999. - kesäkuu ( nide 399 ). - s. 422 . - doi : 10.1038/20833 . Arkistoitu alkuperäisestä 16. elokuuta 2015. Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Haettu 9. kesäkuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 16. elokuuta 2015. 
  184. ↑ Taylor, Richard; Micolich, Adam P.; Jonas, David. Fraktaaliekspressionismi: Voidaanko tiedettä käyttää taiteen ymmärtämisen edistämiseen?  (englanniksi)  // Physics World  : aikakauslehti. - 1999. - lokakuu ( osa 12 ). - s. 25-28 . - doi : 10.1088/2058-7058/12/10/21 . Arkistoitu alkuperäisestä 5. elokuuta 2012. . – Pollock kuoli vuonna 1956, ennen kuin kaaos ja fraktaalit löydettiin. Siksi on erittäin epätodennäköistä, että Pollock ymmärsi tietoisesti maalaamiaan fraktaaleja. Siitä huolimatta hänen fraktaalien käyttöönotto oli tarkoituksellista. Esimerkiksi ankkurikerroksen väri valittiin tuottamaan terävin kontrasti kankaan taustaa vasten ja tämä kerros vie myös enemmän tilaa kuin muut kerrokset, mikä viittaa siihen, että Pollock halusi tämän erittäin fraktaalisen ankkurikerroksen hallitsevan maalausta visuaalisesti. Lisäksi maalausten valmistuttua hän kiinnitti kankaan poistaakseen kankaan reunan läheltä alueita, joissa kuviointiheys oli epätasainen." Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Haettu 9. kesäkuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 5. elokuuta 2012. 
  185. ↑ King, M. Max Ernstistä Ernst Machiin: epistemologia taiteessa ja tieteessä. (2002). Käyttöpäivä: 17. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 4. toukokuuta 2016.
  186. ↑ Dodgson, N.A. Bridget Rileyn raitamaalausten matemaattinen karakterisointi  //  Journal of Mathematics and the Arts : päiväkirja. - 2012. - Vol. 5 . - s. 1-21 . doi : 10.1080 / 17513472.2012.679468 . . "1980-luvun alun aikana Rileyn kuviot muuttuivat säännöllisemmistä satunnaisemmiksi (jolle on tunnusomaista globaali entropia), menettämättä rytmistä rakennettaan (kuten paikallinen entropia). Tämä kuvastaa Kudielkan kuvausta hänen taiteellisesta kehityksestään."
  187. ↑ Liesi, Felix. Monipuoliset peilit: Taiteiden ja matematiikan risteytys  (englanniksi) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  116-120 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  188. ↑ Treibergs, Andrews Perspektiivipiirroksen geometria tietokoneella . Utahin yliopisto (24. heinäkuuta 2001). Haettu 5. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 10. maaliskuuta 2010.
  189. ↑ Gamwell, Lynn. Matematiikka ja taide: kulttuurihistoria. - Princeton University Press , 2015. - s. xviii. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  190. ↑ Malkevitš, Joseph Matematiikka ja taide. 6. Origami . American Mathematical Society. Haettu 1. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 14. syyskuuta 2015.
  191. ↑ T. Sundara Rao. Geometriset harjoitukset paperin taittamisessa . - Addison, 1893.
  192. ↑ Justin, J. Mathematics of Origami, osa 9 // British Origami. - 1986. - kesäkuuta. - S. 28-30 . .
  193. ↑ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger. Viehättävät todisteet: Matka tyylikkääseen  matematiikkaan . - Mathematical Association of America , 2010. - Voi. 42. - S. 57. - (Dolciani Mathematical Expositions). - ISBN 978-0-88385-348-1 .
  194. ↑ Alperin, Roger C.; Lang, Robert J. Yksi-, kaksi- ja monitaittoiset origami-aksioomit  // 4OSME. – A. K. Peters, 2009.
  195. ↑ The World of Geometric Toys Arkistoitu 22. heinäkuuta 2020 Wayback Machinessa , Origami Spring Arkistoitu 19. kesäkuuta 2017 Wayback Machinessa , elokuussa 2007.
  196. ↑ Englanti.  "hämmentävä temppu" .
  197. ↑ Liesi, Felix. Monipuoliset peilit: Taiteiden ja matematiikan risteytys  (englanniksi) . - Cambridge University Press , 2013. - S.  163-166 . - ISBN 978-0-521-72876-8 .
  198. ↑ Gamwell, Lynn. Matematiikka ja taide: kulttuurihistoria. - Princeton University Press , 2015. - S. 406-410. - ISBN 978-0-691-16528-8 .
  199. ↑ Ghyka, Matila. Taiteen ja elämän geometria. - Dover, 2003. - S. ix-xi. - ISBN 978-0-486-23542-4 .
  200. ↑ Lawlor, Robert. Pyhä geometria: Filosofia ja käytäntö. – Thames & Hudson, 1982. - ISBN 978-0-500-81030-9 .
  201. ↑ 1 2 Calter, Paul taivaalliset teemat taiteessa ja arkkitehtuurissa (linkki ei ole käytettävissä) . Dartmouth College (1998). Haettu 5. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 23. kesäkuuta 2015. 
  202. ↑ Ajatuksen ajatus - Edgar Allan Poe . MathPages. Haettu 5. syyskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 18. huhtikuuta 2021.
  203. ↑ Livio, Mario Kultainen leikkaus ja estetiikka . Haettu 26. kesäkuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 17. kesäkuuta 2015.

Kirjallisuus

Linkit

  Siirry Wikidata-kohteeseen  Sanakirjat ja tietosanakirjat