Monimutkainen luku

Kompleksiluvut ( lat. kompleksus - yhteys, yhdistelmä [1] ; kaksoisjännitys, katso huomautus [K 1] ) - numerot, joiden muoto on jossa - reaaliluvut , - imaginaariyksikkö [2] , eli luku, jolle yhtälö on totta: Kompleksilukujoukkoa merkitään yleensä symbolilla Reaalilukuja voidaan pitää kompleksilukujen erikoistapauksena, niillä on muoto Pääominaisuus on, että algebran päälause täyttyy siinä , eli , millä tahansa th asteen polynomilla ( ) on juuret . On todistettu , että kompleksilukujärjestelmä on loogisesti johdonmukainen [K 2] . $a+bi,$ $a,b$ $i$ $i^{2}=-1.$ $\mathbb {C} .$ $a+0i.$ $\mathbb {C}$ $n$ $n\geqslant 1$ $n$

Kuten reaaliluvuille, kompleksiluvuille on määritelty yhteen- , vähennys- , kerto- ja jakotoiminnot . Monet kompleksilukujen ominaisuudet eroavat kuitenkin reaalilukujen ominaisuuksista; ei esimerkiksi voida määrittää, kumpi kahdesta kompleksiluvusta on suurempi tai pienempi kuin . Kompleksiluvut on kätevä esittää pisteillä kompleksitasolla ; esimerkiksi konjugoitujen lukujen näyttämiseen käytetään vaaka-akselin ympäri heijastusoperaatiota . Vaihtoehtoinen kompleksiluvun esitys trigonometrisessa merkinnässä on osoittautunut hyödylliseksi potenssien ja juurien laskemisessa . Monimutkaisia argumenttifunktioita tutkitaan kompleksisessa analyysissä . $a+bi$

Aluksi ajatus tarpeesta käyttää kompleksilukuja syntyi kuutioyhtälöiden muodollisen ratkaisun seurauksena , jossa Cardanon kaavassa saatiin negatiivinen luku neliöjuuren merkin alla [3] . Suuren panoksen kompleksilukujen tutkimukseen antoivat sellaiset matemaatikot kuin Euler , joka otti käyttöön yleisesti hyväksytyn imaginaariyksikön merkintätavan Descartes , Gauss . Termin "kompleksiluku" otti tieteeseen käyttöön Gauss vuonna 1831 [4] . $i$

Kompleksilukujen ja funktioiden ainutlaatuiset ominaisuudet ovat löytäneet laajan sovelluksen monien käytännön ongelmien ratkaisemiseen matematiikan, fysiikan ja tekniikan eri aloilla: signaalinkäsittelyssä , ohjausteoriassa , sähkömagnetismissa , värähtelyteoriassa , elastisuusteoriassa ja monilla muilla [5] . Monimutkaiset tasomuunnokset ovat osoittautuneet hyödyllisiksi kartografiassa ja nestedynamiikassa . Nykyaikainen fysiikka luottaa maailmankuvaukseen kvanttimekaniikan avulla , joka perustuu kompleksilukujärjestelmään.

Tunnetaan myös useita kompleksilukujen yleistyksiä - esimerkiksi kvaternionit .

Monimutkainen aritmetiikka

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Mikä tahansa kompleksiluku koostuu kahdesta komponentista [6] : $z=a+bi$

Arvoa kutsutaan luvun todelliseksi osaksi ja kansainvälisten standardien ISO 31-11 ja ISO 80000-2 mukaan merkitään tai Lähteissä goottilainen symboli löytyy joskus [7] : $a$ $z$ $\operaattorin nimi {Re} \,z$ $\operaattorin nimi {Re} (z).$ $\Re(z).$
- Jos , niin sitä kutsutaan
puhtaasti imaginaarilukuksi . Sen sijaan he yleensä kirjoittavat yksinkertaisesti . Joissakin lähteissä tällaisia lukuja kutsutaan yksinkertaisesti imaginaarisiksi , mutta toisissa lähteissä [8] mitä tahansa kompleksilukuja , joissa voidaan kutsua imaginaarilukuja . Siksi termi imaginaariluku on moniselitteinen eikä sitä suositella käyttää sitä ilman lisäselvityksiä. $a = 0$ $z$ $0+bi$ $bi.$ $z=a+bi,$ $b\neq 0.$

Arvoa kutsutaan luvun imaginaariseksi osaksi ja kansainvälisten standardien ISO 31-11 ja ISO 80000-2 mukaan merkitään tai Lähteissä joskus löytyy goottilainen symboli [9] :

b

z

\operaattorin nimi {Im} \,z

\operaattorin nimi {Im} (z).

\Im (z).

Jos , niin on

reaaliluku . Sen sijaan he yleensä kirjoittavat yksinkertaisesti . Esimerkiksi kompleksinen nolla merkitään yksinkertaisesti nimellä

b = 0

z

a+0i

a.

0+0i

0.

Kompleksiluvun vastakohta on lukuEsimerkiksi luvunvastakohta on luku $z=a+bi$ $-z=-a-bi.$ $1-2i$ $-1+2i.$

Toisin kuin reaalilukuja, kompleksilukuja ei voi verrata enemmän/vähemmän ; on todistettu, ettei reaaliluvuille annettua järjestystä voida laajentaa kaikkiin kompleksilukuihin siten, että järjestys on yhdenmukainen aritmeettisten operaatioiden kanssa (esimerkiksi niin, että alkaen seuraa ). Kompleksilukuja voidaan kuitenkin verrata yhtäläisiksi/ei yhtä suuriksi [6] : $a<b$ $a+c<b+c$

$a+bi=c+di$ tarkoittaa, että ja (kaksi kompleksilukua ovat yhtä suuret , jos ja vain jos niiden reaali- ja imaginaariosa ovat yhtä suuret). $a=c$ $b=d$

Neljällä kompleksilukujen aritmeettisella operaatiolla (määritelty alla) on samat ominaisuudet kuin reaaliluvuilla .

Yhteen- ja vähennyslasku

Kompleksilukujen yhteen- ja vähennyslasku [ 6] :

\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i,

\left(a+bi\right)-\left(c+di\right)=\left(ac\right)+\left(bd\oikea)i.

Seuraava taulukko [6] näyttää minkä tahansa kompleksin lisäyksen perusominaisuudet $u,v,w.$

Omaisuus	Algebrallinen merkintä
Kommutatiivisuus ( siirrettävyys )	$u+v=v+u$
Assosiaatio ( yhteensopivuus )	$u+(v+w)=(u+v)+w$
Nolla omaisuutta	$u+0=u$
Vastakkaisen elementin ominaisuus	$u+(-u)=0$
Suoritetaan vähennyslasku yhteenlaskennan kautta	$uv=u+(-v)$

Kertominen

Määritellään kompleksilukujen ja tulo [6] $a+bi$ $c+di\colon$

(a+bi)\cdot (c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac+bdi^{2})+(bc+ad)i=(ac-bd) +(bc+ad)i.

Seuraava taulukko [6] näyttää kertolaskujen perusominaisuudet mille tahansa kompleksille $u,v,w.$

Omaisuus	Algebrallinen merkintä
Kommutatiivisuus ( siirrettävyys )	$u\cdot v=v\cdot u$
Assosiaatio ( yhteensopivuus )	$u\cdot (v\cdot w)=(u\cdot v)\cdot w$
yksikön omaisuutta	$u\cdot 1=u$
Nolla omaisuutta	$u\cdot 0=0$
Kertolaskun distributiivisuus (distributiivisuus) summauksen suhteen	$u\cdot (v+w)=u\cdot v+u\cdot w$

Säännöt kuvitteellisen yksikön tehoille:

i^{2}=-1;\;i^{3}=-i;\;i^{4}=1;\;i^{5}=i

jne.

Eli mille tahansa kokonaisluvulle kaava on tosi , jossa lauseke tarkoittaa jäännöksen saamista 4:llä jakamisen jälkeen. $n$ ${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4))))$ $n{\bmod {4}}$ $n$

Kun operaatiot on määritelty kompleksiluvuilla, lauseketta ei voida pitää muodollisena merkintänä, vaan lausekkeena, joka on koottu yllä olevien yhteen- ja kertolaskusääntöjen mukaisesti. Tämän osoittamiseksi laajennetaan kaikkia siihen sisältyviä muuttujia noudattaen yllä olevia käytäntöjä ja yhteen- ja kertolaskujen määritelmää: $a+bi$

(a+0i)+(b+0i)\cdot (0+1i)=(a+0i)+(0+bi)=a+bi.

Jaosto

Kompleksilukua kutsutaan konjugaatiksi kompleksiluvuksi (lisätietoja alla ). ${\bar z}=x-iy$ $z=x+iy$

Jokaiselle kompleksiluvulle nollaa lukuun ottamatta löydät sen käänteisen [10] kompleksiluvun . Tätä varten kerrotaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä nimittäjän kompleksikonjugaatilla. $a+bi,$ ${\frac {1}{a+bi}}.$ $a-bi,$

{\frac {1}{a+bi}}={\frac {a-bi}{(a+bi)(a-bi)))={\frac {a-bi}{a^{ 2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2} }}i.

Määritellään kompleksiluvun jaon [6] tulos nollasta poikkeavalla luvulla $a+bi$ $c+di\colon$

{\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {\left(a+bi\right)\left(c-di\right)}{\left(c+di\right) )\left(c-di\right)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+\left({\frac {bc-ad}{c^ {2}+d^{2}}}\oikea)i.

Kuten reaalilukujenkin kohdalla, jako voidaan korvata kertomalla osinko jakajan käänteisluvulla .

Muut toiminnot

Kompleksiluvuille määritellään myös juurierotus , eksponentio ja logaritmi .

Tärkeimmät erot kompleksilukujen ja reaalilukujen välillä

On jo mainittu, että kompleksilukuja ei voi verrata enemmän tai vähemmän (toisin sanoen järjestyssuhdetta ei ole asetettu kompleksilukujen joukkoon ). Toinen ero: millä tahansa astepolynomilla, jolla on kompleksiset (erityisesti todelliset) kertoimet, on monikertaisuus huomioon ottaen täsmälleen kompleksiset juuret ( Algebran peruslause ) [11] . $n>0$ $n$

Reaalilukujärjestelmässä on mahdotonta erottaa parillisen asteen juuria negatiivisesta luvusta. Kompleksilukujen kohdalla on mahdollista erottaa juuri mistä tahansa asteen luvusta, mutta tulos on moniselitteinen - : nnen asteen kompleksijuurella nollasta poikkeavasta luvusta on erilaiset kompleksiarvot [12] . Katso esimerkiksi yhtenäisyyden juuret . $n$ $n$

Lisäeroilla on kompleksisen muuttujan funktioita .

Muistiinpanot

Numero ei ole ainoa luku, jonka neliö on Numerolla on myös tämä ominaisuus. $i$ $-yksi.$ $-i$

Nykyaikaisissa oppikirjoissa sen sijaan usein käytetty lauseke pidetään virheellisenä, ja vain ei-negatiiviset lausekkeet ovat sallittuja radikaalin merkin alla (katso " Aritmeettinen juuri "). Virheiden välttämiseksi lauseke negatiivisten arvojen neliöjuurilla kirjoitetaan tällä hetkellä niin kuin ei , vaikka 1800-luvullakin merkinnän toista versiota pidettiin hyväksyttävänä [13] [14] . ${\sqrt {-1}),$ $minä,$ $5+i{\sqrt {3)),$ $5+ {\sqrt {-3)),$

Esimerkki mahdollisesta virheestä käytettäessä vanhentunutta merkintää huolimattomasti:

{\sqrt {-3}}\cdot {\sqrt {-3}}={\sqrt {\left(-3\right)\cdot \left(-3\right)))={\sqrt {\left(-3\right)^{2}}}={\sqrt {9}}=3.

Tämä virhe johtuu siitä, että neliöjuuri on määritelty moniselitteisesti (katso alla #De Moivren kaava ja juurien purkaminen ). Nykyaikaisella merkinnällä tätä virhettä ei olisi tapahtunut [14] : $-3$

\left(i{\sqrt {3}}\right)\cdot \left(i{\sqrt {3}}\right)=\left(i\cdot {\sqrt {3}}\oikea) ^{2}=i^{2}\cdot \left({\sqrt {3}}\right)^{2}=-3.

Geometrinen esitys

Monimutkainen taso

Kompleksiluvut voidaan esittää tasossa suorakaiteen muotoisella koordinaattijärjestelmällä : luku vastaa pistettä tasossa koordinaatteineen (sekä sädevektoria, joka yhdistää origon tähän pisteeseen). Tällaista tasoa kutsutaan kompleksiksi . Sen todelliset luvut sijaitsevat vaaka-akselilla, kuvitteellista yksikköä edustaa pystyakselin yksikkö; tästä syystä vaaka- ja pystyakseleita kutsutaan vastaavasti todellisiksi ja imaginaarisiksi akseleiksi [15] . $z=x+iy$ $\left\{x,y\right\}$

Kompleksitasolla voi olla kätevää harkita myös napakoordinaatistoa (katso kuva oikealla), jossa pisteen koordinaatit ovat etäisyys origoon ( moduuli [ ) ja sädevektorin kulma pisteen vaaka-akselilla ( argumentti ). $r$ $\varphi$

Tässä esityksessä kompleksilukujen summa vastaa vastaavien sädevektoreiden vektorisummaa ja lukujen vähennys vastaa sädevektoreiden vähennystä. Kun kerrotaan kompleksilukuja, niiden moduulit kerrotaan ja argumentit lisätään (jälkimmäinen on helppo päätellä Eulerin kaavasta tai trigonometrisista summakaavoista ). Jos toisen tekijän moduuli on yhtä suuri kuin 1, niin kertominen sillä vastaa ensimmäisen luvun sädevektorin kiertoa kulmalla, joka on yhtä suuri kuin toisen luvun argumentti [16] . Tämä tosiasia selittää kompleksisen esityksen laajan käytön värähtelyteoriassa , jossa termien "moduuli" ja "argumentti" sijasta käytetään termejä " amplitudi " ja " vaihe " [17] .

Esimerkki : Kertomallaluvun sädevektoria pyöritetään suorassa kulmassa positiiviseen suuntaan, ja sädeellä kertomisen jälkeenvektori kääntyy suorassa kulmassa negatiiviseen suuntaan. $i$ $-i$

Moduuli

Kompleksiluvun moduuli ( absoluuttinen arvo ) on kompleksitason vastaavan pisteen sädevektorin pituus (tai vastaavasti etäisyys kompleksitason pisteestä origoon) . Kompleksiluvun moduuli merkitään (joskus tai ) ja määritetään lausekkeella [16] $z=x+iy$ $\left|z\right|$ $r$ $\rho$

\left|z\right|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Jos on reaaliluku , niin se on sama kuin tämän luvun itseisarvo sanan todellisessa merkityksessä. $z$ $\left|z\right|$

Minkä tahansa kompleksin kohdalla seuraavat moduulin ominaisuudet ovat voimassa [16] [18] : ${\näyttötyyli z,z_{1},z_{2}}$

1) ja vain

\left|z\right|\geqslant 0

\left|z\right|=0

z=0;

2) ( kolmion epäyhtälö );

\left|z_{1}+z_{2}\right|\leqslant \left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|

\left|z_{1}\cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|\cdot \left|z_{2}\right|;

neljä)

\left|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right|={\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}});

5) kompleksilukuparille ja niiden eron moduuli on yhtä suuri kuin kompleksitason vastaavien pisteiden välinen etäisyys;

z_{1}

z_{2}

\left|z_{1}-z_{2}\right|

6) luvun moduuli liittyy tämän luvun reaali- ja imaginaariosaan suhteilla:

z

-|z|\leqslant \operaattorinimi {Re} (z)\leqslant |z|;\quad -|z|\leqslant \operaattorinimi {Im} (z)\leqslant |z|;\quad |z| \leqslant |\operaattorinimi {Re} (z)|+|\operaattorinimi {Im} (z)|.

Argumentti

Nollasta poikkeavan kompleksiluvun argumentti on vastaavan pisteen sädevektorin ja positiivisen todellisen puoliakselin välinen kulma . Numeroargumentti mitataan radiaaneina ja on merkitty . Tästä määritelmästä seuraa, että [16] $\varphi$ $z$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {Arg} \left(z\oikea)}$

\operaattorinimi {tg} \ \varphi ={\frac {y}{x));\quad \cos \varphi ={\frac {x}{\left|z\right|));\quad \ sin \varphi ={\frac {y}{\left|z\right|}}.

Kompleksiselle nollalle argumentin arvoa ei ole määritetty; nollasta poikkeavalle luvulle argumentti määritetään aina , jossa on mikä tahansa kokonaisluku. Argumentin pääarvo on sellainen , että pääarvo voidaan merkitä [19] . $z$ $2\pi k$ $k$ $\varphi$ $-\pi <\varphi \leqslant \pi .$ $\operaattorin nimi {arg} \left(z\right)$

Joitakin argumentin ominaisuuksia [18] :

1) käänteisen luvun argumentti eroaa etumerkillä alkuperäisen argumentista:

\operaattorinnimi {Arg} \left({\frac {1}{z}}\right)=-\operaattorinimi {Arg} \left(z\right);

2) tuotteen argumentti on yhtä suuri kuin tekijöiden argumenttien summa:

\operaattorinnimi {Arg} (z_{1}z_{2})=\operaattorin nimi {Arg} (z_{1})+\operaattorin nimi {Arg} (z_{2});

3) jaon osamäärän argumentti on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan argumenttien erotus:

\operaattorinnimi {Arg} {\frac {z_{1}}{z_{2}}}=\operaattorinimi {Arg} (z_{1})-\operaattorinnimi {Arg} (z_{2}).

Konjugoidut luvut

Jos kompleksiluku on yhtä suuri, lukua kutsutaan konjugaatiksi (tai kompleksikonjugaatiksi) ja (merkitty myös ). Kompleksitasolla konjugaattiluvut saadaan toisistaan peiliheijastuksella todellisen akselin ympäri. Konjugaattiluvun moduuli on sama kuin alkuperäisen, ja niiden argumentit eroavat etumerkillä [20] : $z$ $x+iy,$ ${\bar z}=x-iy$ $z$ $z^{*}$

$\left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|;\quad \operaattorinimi {Arg} ({\bar {z)))=-\operaattorinimi {Arg} (z ).$

Konjugaattiin siirtymistä voidaan pitää yhden paikan operaationa , joka säilyttää kaikki aritmeettiset ja algebralliset ominaisuudet. Tällä toiminnolla on seuraavat ominaisuudet [20] :

$z={\bar {z))$ jos ja vain jos on reaaliluku. $z$
${\bar {{\bar {z))))=z$ (konjugaatti konjugaattiin on alkuperäinen; toisin sanoen konjugaatiooperaatio on involuutio ).

Kompleksikonjugaattilukujen tulo on ei-negatiivinen reaaliluku, joka on yhtä suuri kuin nolla vain nollalle z [18] :

$z\cdot {\bar {z}}=\left|z\right|^{2}=x^{2}+y^{2}.$

Kompleksikonjugaattilukujen summa on reaaliluku [18] :

$z+{\bar {z}}=2\operaattorin nimi {Re} \left(z\right)=2x.$

Muut suhteet [18] :

$\operaattorinimi {Re} \,z={\frac {z+{\bar {z))}{2));\quad \operaattorinimi {Im} \,z={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}.$
${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\bar {z}}_{1}+{\bar {z}}_{2};$
${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2};$
${\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\cdot {\bar {z}}_{2};$
${\overline {z_{1}/z_{2}}}={\bar {z}}_{1}/{\bar {z}}_{2};$

Tai yleisessä muodossa: missä on mielivaltainen polynomi todellisilla kertoimilla. Erityisesti, jos kompleksiluku on polynomin juuri, jolla on reaalikertoimet, konjugaattiluku on myös sen juuri. Tästä seuraa, että tällaisen polynomin oleellisesti kompleksiset juuret (eli juuret, jotka eivät ole todellisia) hajoavat monimutkaisiksi konjugaattipareiksi [18] . ${\overline {p\left(z\right)}}=p\left({\bar {z}}\oikea),$ $p\left(z\oikea)$ $z$ $\overline{z}$

Esimerkki

Sitä tosiasiaa, että tulo on reaaliluku, voidaan käyttää kompleksisen murtoluvun ilmaisemiseen kanonisessa muodossa, eli imaginaarisen nimittäjän poistamiseen. Tee tämä kertomalla osoittaja ja nimittäjä lausekkeella, joka konjugoidaan nimittäjään [21] , esimerkiksi: $z{\bar {z))$

{\frac {2+5i}{3-4i}}={\frac {(2+5i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)))={\frac {-14+23i}{25}}=-{\frac {14}{25}}+{\frac {23}{25}}i.

Kompleksiluvun esitysmuodot

Algebrallinen muoto

Yllä käytimme kompleksiluvun merkintää muodossa , jota kutsutaan kompleksiluvun algebralliseksi muodoksi . Muut kaksi merkintätapaa liittyvät kompleksiluvun esittämiseen napakoordinaatistossa . $z$ $x+iy;$

Trigonometrinen muoto

Jos kompleksiluvun reaali- ja imaginaariosa ilmaistaan moduulilla ja argumentilla (eli , , ), niin mikä tahansa kompleksiluku nollaa lukuun ottamatta voidaan kirjoittaa trigonometriseen muotoon [16] : $x$ $y$ $r=\left|z\right|$ $\varphi$ $x=r\cos \varphi$ $y=r\sin\varphi$ $z$

z=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)

Kuten edellä mainittiin, nollalla ei ole argumenttia; nollasta poikkeava luku määritetään kokonaislukukerrannaiseksi $\varphi$ $\varphi$ $2\pi .$

Ohjeellinen muoto

Eulerin kaava [ 21] on erittäin tärkeä monimutkaisessa analyysissä :

e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,

missä on Eulerin luku , on kosini ja sini , on kompleksieksponentti , joka jatkaa todellista yhteisen kompleksisen eksponentin tapauksessa. $e$ $\cos$ $\synti$ $e^{{i\varphi }}$

Kun tätä kaavaa sovelletaan trigonometriseen muotoon, saadaan kompleksiluvun eksponentiaalinen muoto [21] :

z=re^{i\varphi }.

Seuraukset

(1) Lausekkeen moduuli, jossa luku on todellinen, on 1.

e^{i\varphi },

\varphi

(2) — olennaisesti monimutkaisen argumentin kanssa nämä yhtäläisyydet voivat toimia (kompleksin) kosinin ja sinin määritelmänä .

\cos \varphi ={\frac {e^{i\varphi }+e^{-i\varphi }}{2));\quad \sin \varphi ={\frac {e^{i\ varphi }-e^{-i\varphi }}{2i}}

\varphi

Esimerkki [22] . Esitetään luku trigonometrisessa ja eksponentiaalisessa muodossa $z=-1-{\sqrt {3}}i\colon$

|z|={\sqrt {(-1)^{2}+(-{\sqrt {3)))^{2}}}={\sqrt {1+3}}=2;

\varphi =-\pi +\operaattorinnimi {arctg} {\Bigl (}{\frac {-{\sqrt {3}}}{-1}}{\Bigr )}=-\pi +\operaattorinnimi {arctg} ({\sqrt {3}})=-{\frac {2\pi }{3}}

(koska se on III koordinaattineljänneksellä).

z

Täältä:

z=2\left(\cos {\frac {-2\pi }{3}}+i\sin {\frac {-2\pi }{3}}\right)=2e^{i{ \frac {-2\pi }{3}}}.

De Moivren kaava ja juurien erottaminen

Tämä kaava auttaa nostamaan trigonometrisessa muodossa esitetyn nollasta poikkeavan kompleksiluvun kokonaislukupotenssiin. De Moivren kaava on muotoa [12] :

z^{n}=\left[r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\right]^{n}=r^{n}\left(\cos n\varphi +i\sin n\varphi \right),

missä on kompleksiluvun moduuli ja argumentti. Nykyaikaisessa symboliikassa sen julkaisi Euler vuonna 1722. Yllä oleva kaava pätee mille tahansa kokonaisluvulle , ei välttämättä positiiviselle. $r$ $\varphi$ $n$

Samanlaista kaavaa voidaan soveltaa myös laskettaessa th asteen juuria nollasta poikkeavasta kompleksiluvusta [21] : $n$

{\begin{alignedat}{2}z^{1/n}&=\left[r\left(\cos \left(\varphi +2\pi k\right)+i\sin \left( \varphi +2\pi k\right)\right)\right]^{1/n}=\\&={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),\\\end{alignedat}}

missä k ottaa kaikki kokonaislukuarvot arvosta . Tämä tarkoittaa, että nollasta poikkeavan kompleksiluvun th juuret ovat olemassa mille tahansa luonnolliselle luvulle ja niiden lukumäärä on yhtä suuri kuin . Kompleksisella tasolla, kuten kaavasta voidaan nähdä, kaikki nämä juuret ovat säännöllisen -gonin kärkipisteitä, jotka on piirretty sädeympyrään, jonka keskipiste on origossa (katso kuva). $k = 0$ $k=n-1$ $n$ $n,$ $n$ $n$ ${\sqrt[{n}]{r))$

Juuren tärkein merkitys

Jos Moivren kaavassa sen pääarvo valitaan argumentiksi , niin juuren arvoa at kutsutaan juuren pääarvoksi [23] . Esimerkiksi luvun pääarvo on $\varphi$ $k = 0$ ${\sqrt[{3}]{2+11i))$ $2+i.$

Neliöjuuri

Jos haluat erottaa kompleksiluvun neliöjuuren , voit muuntaa tämän luvun trigonometriseen muotoon ja käyttää Moivren kaavaa, mutta kahdelle juuriarvolle on myös puhtaasti algebrallinen esitys. Kun luvun juuret ovat lukupari: missä [24] : $n=2.$ $b\neq 0$ $a+bi$ $\pm (c+di),$

c={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2)))){2))},

d=\operaattorin nimi {sgn}(b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2)))){2))}.

Tässä on "merkki"-funktio , ja radikaalit osoittavat ei-negatiivisen reaaliluvun tavallista aritmeettista juuria . Kaava on helppo tarkistaa neliöimällä. Numero on neliöjuuren pääarvo. $\operaattorinimi{sgn}$ $c+di$ $c+di$

Esimerkki :kaavan neliöjuurelle annetaan kaksi arvoa: $3+4i$ $2+i;\;-2-i.$

Historia

Ensimmäistä kertaa kuvitteelliset suureet mainittiin ilmeisesti Cardanon teoksessa "Suuri taide eli algebralliset säännöt" (1545) osana kahden luvun, joiden summa on yhtä suuri, laskemisen ongelman muodollista ratkaisua. 10:een ja tulo on 40. Hän sai tälle tehtävälle toisen asteen yhtälön, jonka juuret ovat: ja Ratkaisun kommentissa hän kirjoitti: "nämä monimutkaisimmat suureet ovat hyödyttömiä, vaikkakin erittäin nerokkaita". ja "aritmeettiset näkökohdat tulevat yhä vaikeammiksi ja saavuttavat rajan, joka on yhtä hienostunut kuin hyödytön" [25] . $5+ {\sqrt {-15}}$ $5-{\sqrt {-15}}.$

Mahdollisuuden käyttää kuvitteellisia suureita kuutioyhtälön ratkaisemisessa kuvasi ensimmäisenä Bombelli (1572), hän antoi myös säännöt kompleksilukujen yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskuihin. Yhtälöllä on todellinen juuri , mutta Cardanon kaavojen mukaan saamme: Bombelli havaitsi, että niin näiden määrien summa antaa halutun reaalijuuren. Hän huomautti, että tällaisissa ( pelkistymättömissä ) tapauksissa yhtälön kompleksiset juuret ovat aina konjugoituja, joten summa on todellinen arvo. Bombellin selitykset loivat perustan kompleksilukujen menestyksekkäälle soveltamiselle matematiikassa [26] [25] . $x^{3}=15x+4$ $x=4,$ $x={\sqrt[{3}]{2+11i}}+{\sqrt[{3}]{2-11i}}.$ ${\sqrt[{3}]{2\pm 11i}}=2\pm i,$

Ilmaisuja, jotka voidaan esittää esiintyvinä ratkaistaessa neliö- ja kuutioyhtälöitä, jolloin niitä alettiin kutsua "kuvitteellisiksi" 1500-1600-luvuilla Descartesin ehdotuksesta , joka kutsui niitä sellaiseksi hylkäämällä niiden todellisuuden. Myös monille muille 1600-luvun merkittäville tiedemiehille kuvitteellisten määrien luonne ja olemassaolon oikeus vaikuttivat hyvin kyseenalaisilta. Leibniz esimerkiksi kirjoitti vuonna 1702: "Jumalan Henki löysi hienovaraisimman ulostulon tässä analyysin ihmeessä, kumman ideamaailmasta, kaksoisolemuksen, joka sijaitsee olemisen ja ei-olemisen välissä, jota kutsumme kuvitteelliseksi juureksi. negatiivisesta yksiköstä." Näistä epäilyksistä huolimatta matemaatikot sovelsivat luottavaisesti "imaginaarisiin" lukuihin tavanomaisia algebrallisia sääntöjä todellisille suureille ja saivat oikeat tulokset [25] . $a+b{\sqrt {-1)),$ $b\neq 0,$

Pitkään ei ollut selvää, johtavatko kaikki kompleksilukujen operaatiot kompleksisiin tuloksiin vai voiko esimerkiksi juuren erottaminen johtaa jonkin muun uudentyyppisen luvun löytämiseen. Moivre (1707) ja Cotes (1722) ratkaisivat ongelman tietyn luvun juurien ilmaisemisesta [27] . $n$

Kuvitteelliselle yksikölle symbolin ehdotti Euler (1777, jul. 1794), joka otti tähän latinan sanan imaginarius - "imaginary" - ensimmäisen kirjaimen. Hän myös laajensi kaikki vakiofunktiot, mukaan lukien logaritmi , monimutkaiseen verkkotunnukseen. Euler ilmaisi myös ajatuksen vuonna 1751, että kompleksilukujärjestelmässä kaikilla polynomilla on juuri ( algebran peruslause , Albert Girard ja René Descartes tekivät samanlaisia oletuksia ennen Euleria ) [28] . d'Alembert (1747) tuli samaan johtopäätökseen , mutta ensimmäinen tiukka todiste tästä tosiasiasta kuuluu Gaussille (1799) [26] . Gauss ja otti termin "kompleksiluku" laajaan käyttöön vuonna 1831 (aikaisemmin ranskalainen matemaatikko Lazar Carnot käytti termiä samassa merkityksessä vuonna 1803, mutta silloin se ei saavuttanut suosiota) [29] . $i$

Kompleksilukujen geometrista esitystapaa, joka vaikutti suuresti niiden laillistamiseen, ehdottivat 1700-luvun lopulla ja 1800-luvun alussa ensin Wessel ja Argan (heidän teoksensa eivät herättäneet huomiota) ja sitten Gauss [30] . . Hamilton rakensi kompleksilukujen aritmeettisen (standardi) mallin reaalilukupareina (The Theory of Algebraic Pairs, 1837); tämä osoitti niiden ominaisuuksien johdonmukaisuuden. Termit "moduuli", "argumentti" ja "konjugaattiluku" otti käyttöön 1800-luvun alussa Cauchy , joka edistyi merkittävästi monimutkaisessa analyysissä . 1800-luvulta lähtien monimutkaisen muuttujan toimintojen tutkimuksen nopea ja erittäin hedelmällinen kehitys alkoi. [2] [31] .

Tämän onnistuneen lähestymistavan ansiosta alettiin etsiä tapaa esittää vektoreita kolmiulotteisessa avaruudessa , joka on samanlainen kuin kompleksinen taso. Viidentoista vuoden etsinnän tuloksena Hamilton ehdotti vuonna 1843 kompleksilukujen - kvaternionien - yleistämistä , josta hänet pakotettiin tekemään kolmiulotteisena, vaan neliulotteisena (kolmiulotteiset vektorit kuvasivat kvaternionien kuvitteellista osaa); Hamilton joutui myös luopumaan kertolaskuoperaation kommutatiivisuudesta [2] .

Vuonna 1893 Charles Steinmetz ehdotti kompleksilukujen käyttöä vaihtovirtapiirien laskemiseen (katso alla ).

Monimutkaiset funktiot

Analyyttiset funktiot

Yhden muuttujan kompleksifunktio on funktio , joka on määritelty kompleksitason jollekin alueelle ja joka antaa kompleksiarvoja tämän alueen pisteisiin [32] . Esimerkkejä: $w=f(z)$ $z$ $w$

w=z^{2}+z+1;\quad w=z+{\frac {1}{z)).

Jokaista kompleksista funktiota voidaan pitää kahden muuttujan reaalifunktion parina: määrittämällä sen reaali- ja imaginaariosat, vastaavasti. Funktioita , kutsutaan kompleksisen funktion komponenteiksi Samoin määritellään useiden kompleksisten muuttujien funktio [32] . $w=f(z)=f(x+iy)$ $f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y),$ $u$ $v$ $f(z).$

Monimutkaisen funktion visuaalinen esittäminen kaaviolla on vaikeaa, koska jopa yhden kompleksimuuttujan funktiolle graafi vaatii neljä ulottuvuutta (kaksi määritelmäalueelle ja kaksi muuta arvoalueelle). Jos funktion arvon sijaan tarkastelemme sen moduulia, niin tuloksena oleva funktion helpotus sijaitsee kolmessa ulottuvuudessa ja antaa jonkinlaisen käsityksen funktion käyttäytymisestä [33] . $|w|=|f(z)|,$

Kaikki standardianalyysifunktiot - polynomi , lineaarinen murtofunktio , potenssifunktio , eksponenttifunktio , trigonometriset funktiot , käänteiset trigonometriset funktiot , logaritmi - voidaan laajentaa kompleksitasolle. Tässä tapauksessa heille pätevät samat algebralliset, differentiaaliset ja muut identiteetit kuin todelliselle alkuperäiselle [32] , esimerkiksi:

\sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1;\qquad e^{u}\cdot e^{v}=e^{u+v}.

Monimutkaisille funktioille rajan , jatkuvuuden ja derivaatan käsitteet määritellään samalla tavalla kuin todellisessa analyysissä, ja absoluuttinen arvo korvataan kompleksisella moduulilla [32] .

Differentioitavissa olevilla kompleksifunktioilla (eli funktioilla, joilla on derivaatta) on useita ominaisuuksia verrattuna todellisiin [34] .

Differentioituvan funktion reaali- ja imaginaariosat ovat harmonisia funktioita , jotka on yhdistetty Cauchyn-Riemannnin ehdoilla .
Mikä tahansa monimutkainen funktio, joka on differentioituva jossain pisteen naapurustossa, on differentioituva rajoittamattoman määrän kertoja tässä pisteessä (eli se on analyyttinen tai holomorfinen ). $z$

Yhden kompleksisen muuttujan funktioiden määrätty integraali riippuu yleisesti ottaen integrointipolusta (eli käyrän valinnasta alkupisteestä loppupisteeseen kompleksitasossa). Kuitenkin, jos integroitava funktio on analyyttinen yksinkertaisesti yhdistetyssä toimialueessa , niin sen tämän alueen sisällä oleva integraali ei riipu polusta [35] .

Monimutkaiset tasomuunnokset

Mitä tahansa kompleksista funktiota voidaan pitää kompleksisen tason muunnoksena (tai kompleksisen tason muunnoksena toiseksi). Esimerkkejä:

$w=z+c$ - rinnakkainen translaatio , määräytyy pisteen sädevektorin mukaan $c.$
$w=uz,$ jossa on kompleksiluku yksikkömoduulilla, on kierto origon ympäri argumentin kanssa yhtä suurella kulmalla $u$ $u;$
$w={\bar {z))$ on peiliheijastus todellisen akselin ympäri.

Koska mikä tahansa liike tasossa on yhdistelmä edellä mainituista kolmesta muunnoksesta, funktiot ja antavat yleisen lausekkeen liikkeelle kompleksitasossa [36] . $w=uz+c$ $w=u{\bar {z}}+c$

Muut lineaariset muunnokset [36] :

$w=rz$ , jossa on positiivinen reaaliluku, määrittää venytyksen kertoimella if tai kutistumisajat if $r$ $r$ $r>1,$ ${\tfrac {1}{r))$ $r<1;$
muunnokset ja missä ovat mielivaltaiset kompleksiluvut, määritä samankaltaisuusmuunnos ; $w=az+b$ $w=a{\bar {z}}+b,$ $a,b$
muunnos missä on kompleksisen tason affiinin muunnoksen yleinen muoto (kun muunnos ei ole affiininen, koska se degeneroi tason suoraksi viivaksi). $w=az+b{\bar {z}}+c,$ $|a|\neq |b|,$ $|a|=|b|$

Tärkeä rooli monimutkaisessa analyysissä on lineaaristen murto-osien muunnoksilla [37] :

w={\frac {az+b}{cz+d)).

Tässä tapauksessa (muuten funktio muuttuu vakioksi). Lineaari-murto-muunnoksen tunnusomainen ominaisuus: se muuntaa ympyrät ja suorat ympyröiksi ja suoriksi (eli ns. yleistetyiksi ympyröiksi [38] [39] , jotka sisältävät "äärettömän säteen ympyröitä" - suoria viivoja ). Tässä tapauksessa ympyrän kuva voi osoittautua suoraksi ja päinvastoin [37] . ${\näyttötyylimainos\neq bc}$ $w(z)$

Muita käytännössä hyödyllisiä muunnosfunktioita ovat: Žukovski-funktion inversio . Inversio, kuten lineaarinen murtolukumuunnos, muuttaa yleistetyt ympyrät yleistetyiksi ympyröiksi. $w=1/{\bar {z)),$

Analyyttinen geometria kompleksitasolla

Tasohahmojen tutkimista helpottaa usein, jos ne siirretään kompleksitasolle. Monet planimetrian lauseet mahdollistavat selkeän ja kompaktin merkinnän käyttämällä kompleksilukuja, esimerkiksi [40] :

Kolme (erillistä) pistettä on samalla viivalla, jos ja vain, jos seuraava ehto täyttyy: ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3))$

{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}

on todellinen luku.

Neljä (erillistä) pistettä on samalla yleistetyllä ympyrällä (ympyrä tai suora) jos ja vain, jos seuraava ehto täyttyy: ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4))$

suhde on reaaliluku.

{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{\frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}- z_{4}}}

Jos suunnikkaalle annetaan kolme kärkeä : niin neljäs määräytyy yhtälöllä [41] : $z_{1},z_{2},z_{3},$ $z_{4}=z_{1}-z_{2}+z_{3}.$

Kompleksisen tason suoran parametrinen yhtälö on muotoa [42] :

z=ut+v,

missä ovat kompleksiluvut, on mielivaltainen reaaliparametri.

u, v

u\neq 0,t

Kahden suoran välinen kulma ja on Erityisesti suorat ovat kohtisuorassa vain, kun on puhtaasti kuvitteellinen luku. Kaksi suoraa ovat yhdensuuntaisia, jos ja vain jos on reaaliluku; jos myös todellisia, niin molemmat rivit ovat samat. Jokainen suora leikkaa kompleksisen tason kahteen puolitasoon: toisella lauseke on positiivinen, toisella negatiivinen [42] . $z=ut+v$ $z=u't+v'$ $\operaattorin nimi {arg} (u'/u).$ $u'/u$ $u'/u$ ${\näyttötyyli (v'-v)/u}$ $z=ut+v$ $t=\operaattorin nimi {Im} {\frac {zv}{u}}$

Ympyrän yhtälöllä , jolla on keskipiste ja säde , on erittäin yksinkertainen muoto: Epäyhtälö kuvaa ympyrän sisäpuolta ( avoin ympyrä) [42] . Ympyräyhtälön parametrinen muoto on usein kätevä [43] : $c$ $r$ $|zc|=r.$ $|zc|<r$ $z=c+e^{i\varphi }.$

Paikka yleisalgebrassa, topologiassa ja joukkoteoriassa

Kompleksilukujen joukko muodostaa kentän , joka on reaalilukukentän asteen 2 äärellinen jatke . Algebrallinen pääominaisuus on, että se on algebrallisesti suljettu , eli millä tahansa polynomilla siinä on (kompleksiset) juuret ja siksi , hajoaa lineaarisiin tekijöihin. Sanotaan myös , että kentällä on algebrallinen sulkeutuminen [44] $\mathbb {C}$ $\mathbb{R}.$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb{R}.$

Kompleksikentän ominaisuus on nolla, joukon potenssi on sama kuin reaalilukukentän, eli jatkumo . Frobenius-lause osoitti, että on olemassa vain kaksi vinokenttää , jotka ovat äärellisiä laajennuksia - kompleksilukujen kenttä ja kvaternionien vinokenttä [45] . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$

Kompleksilukujen kenttää on mahdotonta muuttaa järjestetyksi kentällä , koska järjestetyssä kentässä minkä tahansa elementin neliö on ei-negatiivinen, eikä siinä voi olla imaginaarista yksikköä.

Moduulin ominaisuuksista seuraa, että kompleksiluvut muodostavat kaksiulotteisen normaaliavaruuden rakenteen kentän yli $\mathbb{R}.$

Kenttä sallii äärettömän monta automorfismia , mutta vain yksi niistä (lukuun ottamatta identiteettiä) jättää reaaliluvut paikoilleen [46] . $\mathbb {C}$

Kentät ja ovat ainoita yhdistettyjä paikallisesti kompakteja topologisia kenttiä [47] . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Joitakin käytännön sovelluksia

Ne kompleksilukujen ja funktioiden ominaisuudet, jotka erottavat ne todellisista, ovat osoittautuneet hyödyllisiksi ja usein välttämättömiksi matematiikassa, luonnontieteissä ja tekniikassa.

Matematiikka

Itse kompleksilukujen sovellukset ovat näkyvästi esillä matematiikassa - erityisesti algebrallisten lukujen käsitteet , polynomien juurien löytäminen , Galois'n teoria , kompleksianalyysi jne.

Siirtämällä geometrisen ongelman tavallisesta tasosta kompleksiseen, saamme usein mahdollisuuden yksinkertaistaa sen ratkaisua merkittävästi [48] [49] .

Monet monimutkaiset ongelmat lukuteoriassa (esimerkiksi bikvadraattisten jäänteiden teoria ) ja todellisessa matemaattisessa analyysissä (esimerkiksi kompleksisten tai virheellisten integraalien laskenta ) voidaan ratkaista vain käyttämällä monimutkaisia analyysityökaluja . Tehokas työkalu lukuteorian löytöihin osoittautui esimerkiksi Gaussin luvuiksi muodossa jossa ovat kokonaislukuja [50] . Alkulukujakauman tutkimiseen tarvittiin kompleksinen Riemannin Zeta-funktio [51] . $a+bi,$ $a,b$

Usein todellisen analyysin ongelmat selkiytyvät niiden monimutkaisella yleistyksellä. Klassinen esimerkki on Taylor-laajennus

{\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots

Tämä sarja konvergoi vain välillä , vaikka pisteet eivät ole erityisiä pelkistetylle funktiolle. Tilanne selkenee siirryttäessä kompleksisen muuttujan funktioon , jossa on kaksi singulaaripistettä: navat Näin ollen tämä funktio voidaan laajentaa sarjaksi vain yksikkösäteen ympyrässä [52] . $(-1;\;1)$ $\pm 1$ $f(z)={\frac {1}{1+z^{2))},$ $\pm i.$

Lineaarisia differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa on tärkeää löytää ensin kaikki karakteristisen polynomin kompleksiset juuret ja sitten yrittää ratkaista systeemi peruseksponentiaalien suhteen [53] . Differenssiyhtälöissä käytetään samanlaiseen tarkoitukseen differentiaaliyhtälöjärjestelmän ominaisyhtälön kompleksisia juuria [54] . Monimutkaiseen analyysiin kuuluvan jäännösteorian avulla lasketaan monia kompleksisia integraaleja suljettujen ääriviivojen yli [55] ..

Funktion tutkiminen liittyy usein sen taajuusspektrin analysointiin käyttämällä kompleksista Fourier- tai Laplace-muunnosta [56] .

Kompleksilukujen esitys tietojenkäsittelytieteessä ja tietokonetuki monimutkaiselle aritmetiikalle on kuvattu artikkelissa Kompleksitietotyyppi .

Konformaalinen kartoitus

Kuten edellä todettiin, mitä tahansa monimutkaista funktiota voidaan pitää yhden kompleksisen tason muunnoksena toiseksi. Tasaisella ( analyyttisellä ) funktiolla on kaksi ominaisuutta: jos tietyssä pisteessä derivaatta ei ole nolla, niin venytys/puristussuhde tässä muunnoksessa on sama kaikkiin suuntiin, myös kiertokulma on vakio ( conformal mapping ) [ 57] . Tämä tosiasia liittyy monimutkaisten funktioiden laajaan soveltamiseen kartografiassa [58] [59] ja hydrodynamiikassa [60] .

Kvanttimekaniikka

Kvanttimekaniikan perustana on monimutkaisen aaltofunktion käsite.Kvanttijärjestelmän dynamiikan kuvaamiseen käytetään kompleksikertoimisia differentiaaliyhtälöitä, kuten Schrödingerin yhtälöä . Näiden yhtälöiden ratkaisut on annettu kompleksisessa Hilbert-avaruudessa . Havaittuja määriä vastaavat operaattorit ovat hermiittisiä . Paikka- ja liikemäärä - operaattorien kommutaattori on imaginaariluku [61] : ${\hattu {x}}$ ${\hat {p}}_{x}$

\left[{\hat {x)),{\hat {p}}_{x}\right]={\hattu {x}}{\hattu {p}}_{x}-{\ hattu {p}}_{x}{\hat {x}}=i\hbar

Tässä on pelkistetty Planckin vakio eli ( Diracin vakio ). $\hbar$ $h$ $h/2\pi$

Tärkeä rooli kvanttimekaniikassa on Pauli- ja Dirac-matriiseilla , joista osa sisältää kompleksisia arvoja [61] .

Sähkötekniikka

Koska vaihtovirta on värähtelevä prosessi, sitä on kätevää kuvata ja tutkia kompleksilukujen avulla. Impedanssin tai kompleksiresistanssin käsitteet otetaan käyttöön myös sähköpiirin reaktiivisille elementeille , kuten kapasitanssille ja induktanssille, - tämä auttaa laskemaan piirin virtoja [62] . Koska perinteisesti sähkötekniikassa symboli ilmaisee virran suuruutta, imaginaariyksikköä merkitään siellä kirjaimella [63] . Monilla sähkötekniikan aloilla (pääasiassa radiotaajuuksilla ja optiikalla) ei käytetä piirin virran ja jännitteen yhtälöiden tallennusta, vaan suoraan Maxwell-yhtälöitä niiden spektrimuodossa, joiden fyysiset suureet on annettu. kompleksitasossa ja siirtymisen aikana - avaruuteen (missä - aika , on kulmataajuus ) Fourier-muunnoksen avulla saadaan yksinkertaisempia yhtälöitä ilman derivaattoja [64] . $i$ $j\,$ ${\näyttötyyli (t,x)}$ $(\omega ,k)$ $t$ $\omega$

Loogiset perusteet

Reaalilukukentän laajentaminen kompleksisiin lukuihin , kuten mikä tahansa muukin algebrallisen rakenteen laajennus, herättää monia kysymyksiä, joista tärkeimmät ovat kysymyksiä siitä, miten määritellään operaatioita uudentyyppisille luvuille, mitä ominaisuuksia uusilla toiminnoilla on , ja (pääkysymys) onko se sallittua laajenemista, johtaako se poistamattomiin ristiriitoihin.

Tällaisten kysymysten analysoimiseksi kompleksilukujen teoriassa on tarpeen muodostaa joukko aksioomia.

Kompleksilukujen aksiomatiikka

Kompleksilukujoukon aksiomatiikka on mahdollista määritellä , jos luotamme reaalilukujen aksiomaattiseen teoriaan . Nimittäin määrittelemme imaginaariyksikön minimikenttään, joka sisältää joukon reaalilukuja ja vähintään yhden luvun, jonka toinen potenssi on −1 . Tarkemmin sanottuna kompleksiluvun aksioomit ovat seuraavat [65] [66] . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

C1 : Minkä tahansa kompleksiluvun summa on määritelty

u, v

u+v.

C2 : Lisäys on kommutatiivinen : Lisäksi joissakin aksioomissa lyhennyksen vuoksi jätetään pois lauseke "mikä tahansa ".

u+v=v+u.

u, v, w

C3 : Lisäys on assosiatiivinen :

{\näyttötyyli (u+v)+w=u+(v+w).}

C4 : On olemassa sellainen elementti 0 (nolla).

u+0=u.

C5 : Jokaiselle kompleksiluvulle on vastakkainen alkio , joka

u

-u

u+(-u)=0.

C6 : Minkä tahansa kompleksiluvun tulo on määritelty

u, v

uv.

C7 : Kertominen on kommutatiivista :

uv=vu.

C8 : Kertominen on assosiatiivista :

(uv)w=u(vw).

C9 : Kertominen liittyy yhteenlaskemiseen distributiivisen (distributiivisen) lain mukaan:

(u+v)w=uw+vw.

C10 : On elementti 1 (yksi), joka ei ole yhtä suuri kuin nolla ja sellainen, että

u\cdot 1=u.

C11 : Jokaiselle nollasta poikkeavalle luvulle on olemassa käänteisluku siten , että

u

u'

u\cdot u'=1.

C12 : Kompleksilukujoukko sisältää alikentän , joka on isomorfinen reaalilukukentän kanssa . Yksinkertaisuuden vuoksi tämä osakenttä on merkitty alla samalla kirjaimella

\mathbb {C}

\mathbb{R}.

\mathbb{R}.

C13 : On elementti ( imaginaariyksikkö ), joka on sellainen

i

i^{2}+1=0.

C14 ( minimaalisuuden aksiooma ): Olkoon osajoukko , joka: sisältää sekä imaginaariyksikön että on suljettu yhteen- ja kertolaskussa. Sitten sopii kaikkiin

M

\mathbb {C} ,

\mathbb {R}

M

\mathbb {C} .

Kaikki muut ominaisuudet seuraavat seurauksia näistä aksioomista. Ensimmäiset 11 aksioomia tarkoittavat sitä, mikä muodostaa kentän , ja 12. aksiooma sanoo, että tämä kenttä on laajennus . $\mathbb {C}$ $\mathbb{R}.$

Kompleksilukujen aksiomatiikasta on muitakin versioita. Esimerkiksi sen sijaan, että luottaisi jo rakennettuun reaalilukujen järjestykseen kenttään, voidaan käyttää perustana joukkoteorian aksiomatiikkaa [68] .

Johdonmukaisuus ja mallit

Tavallinen tapa todistaa uuden rakenteen johdonmukaisuus on mallintaa ( tulkinta ) sen aksioomia käyttämällä toisen rakenteen objekteja, joiden johdonmukaisuudesta ei ole epäilystäkään. Meidän tapauksessamme meidän on toteutettava nämä aksioomit reaalilukujen perusteella [69] .

Vakiomalli

Harkitse kaikkia mahdollisia järjestettyjä reaalilukupareja. Tässä mallissa jokainen tällainen pari vastaa kompleksilukua [70] $(a, b)$ $a+bi.$

Määritä seuraavaksi [69] :

paria ja katsotaan yhtäläisiksi, jos ja $(a, b)$ ${\näyttötyyli (c,d)}$ $a=c$ $b=d;$
summa : parien summa ja määritellään pariksi $(a, b)$ ${\näyttötyyli (c,d)}$ ${\näyttötyyli (a+c,b+d);}$
kertolasku : parien tulo ja määritellään pariksi $(a, b)$ ${\näyttötyyli (c,d)}$ ${\näyttötyyli (ac-bd,ad+bc).}$

Selitys: monimutkaiselta näyttävä kertolaskumäärittely on helposti johdettavissa suhteesta $i^{2}=-1\colon$

{\näyttötyyli (a+bi)(c+di)=(a+bi)c+(a+bi)di=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+i(ad+bc ).}

On helppo todentaa, että kuvattu parirakenne muodostaa kentän ja täyttää koko kompleksilukuaksioomien listan. Reaaliluvut mallinnetaan pareiksi, jotka muodostavat alikentän , ja operaatiot tällaisten parien kanssa ovat yhdenmukaisia reaalilukujen tavanomaisen yhteen- ja kertolaskujen kanssa. Parit ja vastaavat nollaa ja kentän yksikköä. Tämä menetelmä on Cayley-Dixon-menettelyn erikoistapaus . ${\näyttötyyli(a,0)}$ $\mathbb {R}$ $(0,0)$ $(1.0)$

Kuvitteellinen yksikkö on pari , jonka neliö on yhtä suuri eli mikä tahansa kompleksiluku voidaan kirjoittaa ${\näyttötyyli(0,1),}$ $\left(-1,\;0\right),$ $-yksi.$ ${\näyttötyyli (a,b)=(a,0)(1,0)+(b,0)(0,1)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi.}$

Kuvattu malli osoittaa, että kompleksilukujen annettu aksiomatiikka on johdonmukainen. Koska jos siinä olisi ristiriita, niin tämä merkitsisi ristiriitaa tämän mallin reaalilukujen perusaritmetiikassa, jonka oletimme etukäteen olevan johdonmukainen [69] .

Matriisimalli

Kompleksiluvut voidaan myös määritellä muodon todellisten 2 × 2 -matriisien renkaan alijoukoksi

{\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}

tavallisella matriisi- ja kertolaskulla [2] . Todellinen yksikkö vastaa

{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix)),

kuvitteellinen yksikkö -

{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

Tällaisten matriisien joukko on kaksiulotteinen vektoriavaruus . Kertominen kompleksiluvulla on lineaarinen operaattori . Pohjassa kertolaskua lineaarista operaattoria edustaa yllä oleva matriisi, koska [2] : $x+iy$ $e_{1}=1,e_{2}=i$ $x+iy$

(x+iy)\cdot 1=x\cdot 1+y\cdot i;

(x+iy)\cdot i=(-y)\cdot 1+x\cdot i.

Matriisimallin avulla on helppo osoittaa kompleksilukujen ja tietyn tason lineaarimuunnosten välinen suhde. Nimittäin kompleksilukujen ja tason rotaatiohomoteetioiden välillä on yksi yhteen vastaavuus ( pisteen ympäri ulottuvan ja rotaation yhdistelmät ): jokainen rotaatiohomoteettia voidaan esittää kompleksitasolla kertolaskuna kompleksiluvulla [71 ] .

Polynomien tekijärengasmalli

Tarkastellaan polynomirengasta, jolla on reaalikertoimet ja rakenna sen osamäärärengas moduloi polynomia (tai, mikä on sama, määritellyn polynomin generoiman ideaalin mukaan). Tämä tarkoittaa, että pidämme kahta polynomia osoitteesta ekvivalenttina , jos ne jaettuna polynomilla antavat saman jäännöksen. Esimerkiksi polynomi on ekvivalentti vakiolle , polynomi on ekvivalentti jne. [72] $\mathbb{R}[x]$ $x^{2}+1$ $\mathbb{R}[x]$ $x^{2}+1$ $x^{2}$ ${\näyttötyyli -1,}$ $x^{3}$ $-x$

Ekvivalenssiluokkien joukko muodostaa renkaan identiteetin kanssa. Koska polynomi on redusoitumaton , tämä tekijärengas on kenttä. Imaginaarisen yksikön roolia on polynomi, koska sen neliö (katso yllä) on ekvivalentti.Jokainen ekvivalenssiluokka sisältää muodon jäännöksen (jaosta luvulla ), joka voidaan sanotun perusteella kirjoittaa as Siksi tämä kenttä on isomorfinen kompleksilukujen kentän kanssa [72] . $x^{2}+1$ ${\näyttötyyli i(x)=x,}$ $-yksi.$ $a+bx$ $x^{2}+1$ $a+bi.$

Cauchy löysi tämän isomorfismin vuonna 1847. Tätä lähestymistapaa voidaan käyttää kompleksilukujen yleistyksiä, kuten Clifford-algebroita [73] .

Algebrallinen karakterisointi

Kuten edellä mainittiin , kompleksilukujen kenttä on algebrallisesti suljettu ja sillä on tyypillinen nolla (viimeisestä ominaisuudesta seuraa, että se sisältää rationaalilukujen alikentän ). Lisäksi millä tahansa transsendenssin perustalla on jatkumon kardinaalisuus [K 3] . Nämä kolme ominaisuutta ovat riittävät määrittelemään kompleksilukujen kentän kentän isomorfiaan asti – minkä tahansa kahden algebrallisesti suljetun kentän välillä, joiden ominaispiirre on 0 ja joiden jatkuva transsendenssi perustuu, on jonkin verran identifiointia, joka on yhdenmukainen näiden kenttien yhteen- ja kertolaskuoperaatioiden kanssa [74] [75] [K 4] . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {Q}$

Tämän tunnisteen alla ei välttämättä säilytetä muita rakenteita, kuten normi tai topologia . Esimerkiksi -adic-lukujen kentän algebrallinen sulkeminen täyttää myös kolme osoitettua ominaisuutta. Kuitenkaan -adic- normi ei ole Arkhimedean , ja siksi se ei vastaa tavallista kompleksilukujen normia millekään isomorfismin valinnalle [76] . Siksi ne määrittelevät topologisen vektoriavaruuden erilaisen rakenteen : minkä tahansa vektoriavaruuden elementin ja sen integraalikertoimien joukko on diskreetti kompleksisessa tapauksessa ja kompakti -adicissa [76] . ${\overline {\mathbb {Q} }}_{p}$ $s$ $s$ $s$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Lähin kompleksilukujen yleistys löydettiin vuonna 1843. Se osoittautui kvaternionien rungoksi , joka, toisin kuin kompleksilukujen kenttä, sisältää kolme imaginaarista yksikköä, joita perinteisesti merkitään Frobenius-lauseen mukaan kompleksiluvut ovat yksi kolmesta mahdollisesta äärellisulotteisen jakolalgebran tapauksesta kentän yli. todellisista luvuista. Vuonna 1919 kävi ilmi, että sekä kompleksiluvut reaaliluvuista että kvaternionit kompleksiluvuista voidaan saada yksiulotteisella tuplausmenettelyllä , joka tunnetaan myös nimellä " Cayley-Dixon-menettely " [77] . ${\näyttötyyli i,j,k.}$

Tätä menetelmää sovellettaessa edelleen muodostetaan Arthur Cayleyn vuonna 1845, ennen tämän menetelmän löytämistä, kuvaamat numerot, joita kutsutaan " Cayley-luvuiksi " (oktonionit, oktaavit). Menettelyn seuraavalla sovelluksella saatuja lukuja kutsutaan sedenioniksi . Huolimatta siitä, että tämä menettely voidaan toistaa edelleen, muita nimiä ei vielä ole [77] .

Muun tyyppiset kompleksilukulaajennukset ( hyperkompleksiluvut ):

Biquaternions
Hyperbolisen tyypin kompleksiluvut (kaksinkertaiset)
Paraboliset kompleksiluvut (kaksoisluku)

Muistiinpanot

Kommentit

↑
Kaksi mahdollista aksenttia on annettu seuraavien lähteiden mukaan.
- Great Soviet Encyclopedia , 3. painos. (1973), osa 12, s. 588, artikkeli Kompleksiluvut .
- Neuvostoliiton Encyclopedic Dictionary (1982), s. 613, artikkeli Kompleksinumero .
- Venäjän kielen vaikeuksien sanakirjan uusin painos (Rosenthal D. E., Telenkova M. A., Iris-press, 2005, s. 273) osoittaa molemmat vaihtoehdot: kompleksiset (monimutkaiset) numerot .
- The Great Russian Encyclopedia (nide 14, 2010) tarjoaa vaihtoehdot: Kompleksinumero (s. 691, tekijää ei ole määritelty), mutta monimutkainen analyysi Arkistokopio , päivätty 2. heinäkuuta 2019 Wayback Machinella (s. 695, kirjoittaja: vastaava jäsen Venäjän tiedeakatemia E. M. Chirka ).
- Venäjän kielen oikeinkirjoitussanakirja (toim. 6., 2010), Venäjän kielen kielioppisanakirja, Venäjän tiedeakatemian venäjän oikeinkirjoitussanakirja , toim. V. V. Lopatina (toim. 4., 2013) ja monet muut sanakirjat osoittavat vaihtoehtoja: kompleksi ja monimutkainen (mat.) .
↑ Reaalilukujärjestelmän johdonmukaisuudesta riippuen.
↑ Eli se eroaa ( rationaalisten funktioiden kentästä potenssijatkuvuuden muuttujien joukolle ) algebrallisen laajennuksen avulla $\mathbb {Q} (x_{i}),i\in \mathbb {R}$ $x_{i}$
↑ Koska kuvaus algebrallisesti suljettuun kenttään voidaan aina laajentaa algebralliseen laajennukseen, isomorfismin määrittämiseksi algebrallisten suljettujen kenttien välillä riittää, että vahvistetaan isomorfismi niiden yksinkertaisten alikenttien välille ja bijektio transsendenssikantojen välille.

Viitteet

↑ Vieraiden sanojen lyhyt sanakirja. - 7. painos - M . : Venäjän kieli , 1984. - S. 121. - 312 s.
↑ 1 2 3 4 5 Kompleksiluku // Matemaattinen tietosanakirja (5 osassa). - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1979. - T. 2. - S. 1007.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 , s. 227.
↑ Perusmatematiikan käsikirja, 2006 , s. 211, alaviite.
↑ Perusmatematiikan käsikirja, 2006 , s. 222.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Algebra ja matemaattinen analyysi, 1998 , s. 180-181.
↑ Oikea osa . Haettu 16. tammikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 31. maaliskuuta 2018. (määrätön)
↑ Kuvitteellinen luku // Matemaattinen tietosanakirja (5 osassa). - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 3. - S. 708.
↑ Kuvitteellinen osa . Haettu 16. tammikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 31. maaliskuuta 2018. (määrätön)
↑ Ahlfors Lars V., 1979 , s. 2.
↑ Matematiikan historia, osa III, 1972 , s. 72.
↑ 1 2 Encyclopedia of elementary Mathematics, 1951 , s. 237-239.
↑ Matematiikan historia, osa III, 1972 , s. 61-66.
↑ 12 joukkoa , Bryan. Matemaattisia virheitä ja paradokseja. Luku "Paradoksien poistaminen määritelmän mukaan" . - Dover Publications, 1997. - 240 s. — (Dover Books on Mathematics). — ISBN 978-0486296647 .
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 , s. 233-234.
↑ 1 2 3 4 5 Encyclopedia of elementary Mathematics, 1951 , s. 234-235, 239-240.
↑ GOST R 52002-2003. Sähkötekniikka. Peruskäsitteiden termit ja määritelmät Arkistoitu 16. maaliskuuta 2018 Wayback Machinessa . Kappale 152. (sinimuotoisen sähkövirran) kompleksiamplitudi on kompleksisuure, jonka moduuli ja argumentti ovat vastaavasti yhtä suuria kuin tietyn sinimuotoisen sähkövirran amplitudi ja alkuvaihe.
↑ 1 2 3 4 5 6 Ahlfors Lars V., 1979 , s. 6-10.
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N., 1967 , s. 14-15.
↑ 1 2 Algebra ja matemaattinen analyysi, 1998 , s. 183-1851.
↑ 1 2 3 4 Ahlfors Lars V., 1979 , s. 15-16.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , s. 7.
↑ Weisstein, Eric W. nth Root Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Ahlfors Lars V., 1979 , s. 3-4.
↑ 1 2 3 Cline Morris. Matematiikka. Varmuuden menetys. - M .: Mir, 1984. - S. 138-139.
↑ 1 2 Stillwell D. Matematiikka ja sen historia. - Moskova-Iževsk: Tietotekniikan tutkimuslaitos, 2004. - S. 258-266. — 530 s.
↑ Matematiikan historia, osa III, 1972 , s. 57-61.
↑ Yushkevich A.P. Leonard Euler. Elämä ja työ // Leonard Eulerin ja modernin tieteen ideoiden kehitys. la artikkeleita. — M .: Nauka, 1988. — ISBN 5-02-000002-7 . - S. 15-47.
↑ Sharp O. Kompleksisen muuttujan funktioiden teoria . Haettu: 30.11.2017. (määrätön)
↑ Rene Descartes. Geometria. P. Fermatin ja Descartesin kirjeenvaihdon valikoitujen teosten liitteenä. - M. - L .: Gostekhizdat , 1938. - S. 233. - 297 s. - (Luonnontieteen klassikot).
↑ Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa. IX-X luokat. - M . : Koulutus, 1983. - S. 193. - 351 s.
↑ 1 2 3 4 Smirnov V.I., 2010 , s. 7-15.
↑ Bronstein, Semendyaev, 1985 , s. 360.
↑ Smirnov V.I., 2010 , s. 15-22.
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N., 1967 , s. 44.
↑ 1 2 Zaslavsky A. A. Geometriset muunnokset. - 2. painos - M . : MTSNMO, 2004. - S. 58. - 86 s. — ISBN 5-94057-094-1 .
↑ 1 2 Evgrafov M. A., 1968 , s. 180-186.
↑ MAXimaalinen :: algo :: Geometrinen inversiomuunnos . e-maxx.ru . Haettu 9. toukokuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 7. toukokuuta 2021. (määrätön)
↑ E. A. Morozov, "yleistetty Apolloniuksen ongelma", Matem. valaistuminen, ser. 3, 23, Izd. MTSNMO, M., 2019, 80–111 . www.mathnet.ru _ Haettu 9. toukokuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 9. toukokuuta 2021. (määrätön)
↑ Privalov I.I., 1984 , s. 43.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , s. kymmenen.
↑ 1 2 3 Ahlfors Lars V., 1979 , s. 17-18.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , s. 12.
↑ Numerical Systems, 1975 , s. 165.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 , s. 249-251.
↑ Numerical Systems, 1975 , s. 167.
↑ Topologinen kenttä // Matemaattinen tietosanakirja (5 osassa). - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1985. - T. 5. - S. 386.
↑ Kompleksiluvut. Luokat 9–11, 2012 , luku 5.
↑ Imaginaaristen lukujen todellisia sovelluksia, 1988 , s. 78.
↑ Imaginaaristen lukujen todellisia sovelluksia, 1988 , s. 114-124.
↑ Derbyshire, John. Yksinkertainen pakkomielle. Bernhard Riemann ja matematiikan suurin ratkaisematon ongelma. - Astrel, 2010. - 464 s. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
↑ Privalov I.I., 1984 , s. neljätoista.
↑ Filippov A. F. Johdatus differentiaaliyhtälöiden teoriaan. - Pääkirjoitus URSS, 2004. - 240 s. — ISBN 5354004160 .
↑ Differenssiyhtälö // Matemaattinen tietosanakirja (5 osassa) . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1984. - T. 4. - S. 838.
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N., 1967 , luku 5.
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N., 1967 , luku 8.
↑ Smirnov V.I., 2010 , s. 22-25.
↑ Markushevich A.I. Kompleksiluvut ja konformaaliset kartoitukset . - M . : Gostekhizdat, 1954. - 52 s. - (Suosittuja matematiikan luentoja, numero 13).
↑ Shao-Feng Bian, Hou-Pu Li. Matemaattinen analyysi kartografiassa tietokonealgebrajärjestelmän avulla . Haettu 28. tammikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 29. tammikuuta 2018. (määrätön)
↑ Lavrentiev M. A., Shabat B. V. Hydrodynamiikan ongelmat ja niiden matemaattiset mallit. - M .: Nauka, 1973.
↑ 1 2 Landau, L. D., Lifshitz, E. M. Kvanttimekaniikka (ei-relativistinen teoria). - 6. painos, tarkistettu. — M.: Fizmatlit, 2004. — 800 s. - ("Teoreettinen fysiikka", osa III). — ISBN 5-9221-0530-2 .
↑ Imaginaaristen lukujen todellisia sovelluksia, 1988 , s. 132-144.
↑ Molchanov A.P., Zanadvorov P.N. Sähkö- ja radiotekniikan kurssi, luku "Lineaariset piirit". - BH V. - 608 s. - ISBN 978-5-9775-0544-4 .
↑ Afonsky A. A., Dyakonov V. P. Digitaalinen spektri, signaali- ja logiikka-analysaattorit / Toim. prof. V. P. Dyakonova. - M. : SOLON-Press, 2009. - S. 248 . — ISBN 978-5-913-59049-7 .
↑ Numerical Systems, 1975 , s. 164-165.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 , s. 227-233.
↑ Numerical Systems, 1975 , s. 166.
↑ Reaali- ja kompleksiluvut . Haettu 13. helmikuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 6. helmikuuta 2021. (määrätön)
↑ 1 2 3 Numeeriset järjestelmät, 1975 , s. 167-168.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1951 , s. 230-233.
↑ John Stillwell. Geometrian neljä pilaria . — Springer Science & Business Media, 30.12.2005. - S. 84-86. - 240 s. — ISBN 9780387290522 .
↑ 1 2 Faddeev D. K. Luennot algebrasta. - M .: Nauka, 1984. - S. 200-201. — 416 s.
↑ F. Brackx, R. Delanghe, H. Serras. Clifford-algebrat ja niiden sovellukset matemaattisessa fysiikassa: Deinzessä, Belgiassa, 1993 pidetyn kolmannen konferenssin julkaisuja . — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. - S. 33. - 405 s. — ISBN 9789401120067 .
↑ David Marker. Malliteoria: Johdanto, ISBN 978-0-387-22734-4 . Ehdotus 2.2.5. Springer Science & Business Media, 2002. Katso myös joitain selityksiä . Arkistoitu 14. toukokuuta 2018 Wayback Machinessa .
↑ William Weiss ja Cherie D'Mello. Malliteorian perusteet arkistoitu 13. huhtikuuta 2018 Wayback Machinessa . Lemma 7: Mitkä tahansa kaksi algebrallisesti suljettua kenttää, joilla on ominaisuus 0 ja kardinaliteetti, ovat isomorfisia $\aleph_1$ ja kommentti sen jälkeen.
↑ 1 2 p-adic number // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M . : Soviet Encyclopedia , 1977. - V. 1. - S. 100. : " Tämä laajennus on rationaalisten lukujen kentän täydennys suhteessa ei-arkimediseen arvostukseen... Kenttä on paikallisesti kompakti $Q_p$ ."
↑ 1 2 Dickson, L.E. (1919), Kvaternioneista ja niiden yleistyksestä ja kahdeksanneliölauseen historiasta , Annals of Mathematics , Toinen sarja (Matematiikan vuosikirjat). — T. 20 (3): 155–171, ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/1967865

Kirjallisuus

Balk M. B. , Balk G. D., Polukhin A. A. Imaginaarilukujen todelliset sovellukset. - Kiova: Radianska-koulu, 1988. - 255 s. — ISBN 5-330-00379-2 .
Bronshtein IN , Semendyaev KA Matematiikan käsikirja insinööreille ja lukiolaisille . - toim. 13. - M .: Nauka, 1985. - 544 s.
Bourbaki, N. Esseitä matematiikan historiasta. - M. , 1963.
Vilenkin N. Ya. , Ivashov -Musatov O. S. , Shvartsburd S. I. Algebra ja matemaattinen analyysi luokalle 11. Opastus. - Toim. 6. - M . : Koulutus, 1998. - 288 s. — ISBN 5-09-008036-4 .
Vygodsky M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja. - M .: AST, 2006. - 509 s. — ISBN 5-17-009554-6 .
Glazkov Yu.A., Varshavsky I.K., Gaiashvili M. Ya. Kompleksiluvut. 9-11 luokalla. - M . : Tentti, 2012. - 157 s. - ISBN 978-5-377-03467-4 .
Evgrafov M. A. Analyyttiset toiminnot. - 2. painos, tarkistettu. ja ylimääräistä — M .: Nauka , 1968. — 472 s.
Kirillov A. A. Mikä on numero?. - M. , 1993. - 80 s. — ISBN 5-02-014942-3 .
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Monimutkaisen muuttujan funktioteorian menetelmät. - 4. painos - M .: Nauka , 1972 .
1700-luvun matematiikka // Matematiikan historia / Toimittanut A. P. Yushkevich , kolmessa osassa. - M .: Nauka, 1972. - T. III.
Nechaev V. I. Numeeriset järjestelmät. - M . : Koulutus, 1975. - 199 s.
Privalov II Johdatus kompleksisen muuttujan funktioiden teoriaan. - 13. painos - M. : Fizmatlit, 1984. - 432 s.
Sveshnikov A. G. , Tikhonov A. N. Monimutkaisen muuttujan funktioiden teoria. - M .: Nauka, 1967. - 304 s.
Smirnov V. I. Korkeamman matematiikan kurssi kolmessa osassa. - Toim. 10. - Pietari. : BHV-Petersburg, 2010. - V. 3, osa 2. — 816 s. - ISBN 978-5-9775-0087-6 .
Solomentsev ED Kompleksisen muuttujan funktiot ja niiden sovellukset. - M . : Korkeakoulu, 1988. - 167 s. — ISBN 5-06-003145-6 .
Alkeismatematiikan tietosanakirja (5 nidettä). - M .: Fizmatgiz, 1951. - T. 1. - S. 160-168. — 448 s.
Ahlfors Lars V. Monimutkainen analyysi. Johdatus yhden kompleksisen muuttujan analyyttisten funktioiden teoriaan. — Kolmas painos. - Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. - 317 s. — ISBN 0-07-000657-1 .

Linkit

Glazer G. Kompleksiluvut (osa 1/2) . Aikakauslehti "Mathematics". - nro 10 (2001). Käyttöönottopäivä: 18.4.2017. (määrätön)
- (osa 2/2) , "Matematiikka" nro 11 (2001).
Pontryagin L. Kompleksiluvut // Kvant . - 1982. - Nro 3 .
Kompleksilukujen kaavalaskin Windowsin alla . Käyttöönottopäivä: 17.1.2018. (määrätön)
Etienne Gis , Jos Leys, Orellan Alvarez. Elokuvan mitat. Luvut5 ja6: Kompleksiluvut. (Venäjän kieli)

Numeeriset järjestelmät
Laskettavat sarjat	Luonnolliset luvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Kokonaisluvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Järkevä ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrallinen ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Jaksot Laskettavissa Aritmeettinen
Reaaliluvut ja niiden laajennukset	Todellinen ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Monimutkainen ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaternions ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayleyn numerot (oktaavit, oktoniot) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Vaihtoehdot Kaksinkertainen Hyperkompleksi Superrealistinen Hypermateriaali surrealistinen
Numeeriset laajennustyökalut	Cayley-Dixonin menettely Frobenius-lause Hurwitzin lause
Muut numerojärjestelmät	kardinaaliluvut Järjestysluvut (transfinite, ordinaals) p-adic Yliluonnollisia lukuja intervallinumerot
Katso myös	kaksoisnumerot Irrationaalisia lukuja transsendenttiset numerot numerosäde Biquaternion

Algebra renkaan päällä
Mitat - Teho 2	Kompleksiluvut (koko 2) $\mathbb {C}$ Quaternions (koko 4) $\mathbb {H}$ Cayley Numbers/Octonions/Octaves (koko 8) $\mathbb O$ Sedenions (koko 16) $\mathbb S$
Katso myös	Frobenius-lause Hyperkompleksiluku Algebra Runko kuvitteellinen yksikkö