Brachistochrone

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 26.11.2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Brachistochrone ( kreikan sanasta βράχιστος "lyhyin" + χρόνος "aika") - nopeimman laskeutumisen käyrä. Johann Bernoulli asetti kesäkuussa 1696 tehtäväksi löytää se seuraavasti:

Etsi kahta annettua pistettä yhdistävien ja samassa pystytasossa ( alla ) olevien tasokäyrien joukosta se, joka liikkuu vain painovoiman vaikutuksesta , samassa suunnassa negatiivisen puoliakselin kanssa , materiaalipiste osoitteesta saavuttaa lyhin aika. $A$ $B$ $B$ $A$ $OY$ $A$ $B$

Brachistochrone-ongelman ratkaisu on vaakapohjaisen sykloidin kaari , jonka kärki on pisteessä tai toisin sanoen, jolla on pystytangentti pisteessä . $A$ $A$

On huomionarvoista, että laskeutumisaika pohjapisteeseen ei riipu alkupisteen sijainnista sykloidin kaarella.

Brachistochrone-ongelman ratkaiseminen

Isaac Newton , Jacob Bernoulli , G. V. Leibniz , G. F. Lopital , E. V. Tschirnhaus vastasivat Johann Bernoullin artikkeliin . Kaikki he, kuten Johann Bernoulli itse, ratkaisivat ongelman eri tavoin. Isaac Newtonin 26. tammikuuta 1697 hankkima ratkaisumenetelmä muodosti luonnontieteen tärkeimmän alan - variaatiolaskennan - perustan .

Olkoon kaksi mielivaltaista pistettä eri ordinaateilla . Lisäksi annetaan mielivaltaisen materiaalipisteen M rullata alas pisteestä A pisteeseen B vain painovoiman vaikutuksesta ( kitkavoimia ei ole ). Etsitään sellainen lentorata , jolla rullausaika on minimaalinen.

Suunnataan y-akseli alas ja verrataan ordinaatan nolla-arvoa aloituspisteeseen. Kirjataan ylös materiaalipisteen M energian säilymislaki :

{\frac {mv^{2}}{2}}=mgy,

missä

m

-kehon paino ,

g

on vapaa pudotuskiihtyvyys ,

y

- ordinaattinen ,

v

on kehon nopeus .

Saamme:

v={\sqrt {2gy)),

mistä löydät nopeuden projektion arvon akselilla : $x$

v_{x}={\frac {v}{\sqrt {1+(y')^{2))))={\frac {\sqrt {2gy)){\sqrt {1+(y ')^{2}}}}.

Koska laskeutumisaika on , ongelma pienenee integraalin arvon minimoimiseen $\int _{a}^{b}{\frac {1}{v_{x}}}\,dx$

{\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int _{a}^{b}{\sqrt {\frac {1+(y')^{2}}{y}}} \,dx.

Kirjallisuus

Kleiber I. A. Brachistochrone // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 osassa (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.

Linkit

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
muu	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

muu

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
muu	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto