Karteesinen arkki

Karteesinen arkki on kolmannen asteen tasoalgebrallinen käyrä , joka täyttää yhtälön suorakaiteen muotoisessa järjestelmässä . Parametri määritellään neliön diagonaaliksi, jonka sivu on yhtä suuri kuin silmukan suurin jänne . $x^{3}+y^{3}=3axy$ $3a$

Historia

Ensimmäisen kerran käyrän yhtälöä tutki R. Descartes vuonna 1638 , mutta hän rakensi vain silmukan ensimmäiseen koordinaattikulmaan, jossa ja ottaa positiiviset arvot. Descartes uskoi, että silmukka toistuu symmetrisesti kaikissa neljässä koordinaattineljänneksessä neljän terälehden muodossa. Tuolloin tätä käyrää kutsuttiin jasmiinikukkaksi ( englanniksi jasmine flower , ranskaksi fleur de jasmin ). $x$ $y$

Nykyaikaisessa muodossaan tämän käyrän esitteli ensimmäisen kerran H. Huygens vuonna 1692 .

Yhtälöt

Suorakaiteen muotoisessa järjestelmässä määritelmän mukaan:

\textstyle x^{3}+y^{3}=3axy.

Napajärjestelmässä : _

\rho ={\frac {3a\cos \varphi \sin \varphi }{\cos ^{3}\varphi +\sin ^{3}\varphi )).

Parametrinen yhtälö suorakaiteen muotoisessa järjestelmässä:

{\begin{cases}x={\dfrac {3at}{1+t^{3}}}\\y={\dfrac {3at^{2}}{1+t^{3}} }\end{cases}}

, missä .

t=\operaattorinimi {tg} \varphi

Usein katsotaan kääntyneenä käyrälle. Hänen yhtälönsä näyttävät tältä: $135^{\circ }$

Suorakaiteen muotoisessa järjestelmässä:

{\displaystyle y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x))))

, missä

l={\frac {3a}{\sqrt {2}}}.

Parametrinen:

x=l{\frac {t^{2}-1}{3t^{2}+1)),\ y=l{\frac {t(t^{2}-1)}{3t ^{2}+1}}.

Napakoordinaateissa:

\rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\ varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}.

Kierretyn käyrän yhtälöiden johtaminen
XOY-koordinaattijärjestelmä muunnetaan UOV-koordinaatistoksi, joka saadaan kiertämällä OX- ja OY-akseleita myötäpäivään kulman verran ja suuntaamalla OX-akselia vastakkaiseen suuntaan: $\alpha ={\frac {\pi }{4))$ ${\begin{vmatrix}x\\y\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-u\\v\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\cos \alpha &-\ sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{vmatrix}}$ Vanhojen XY-koordinaattien ilmaiseminen uusilla UV-säteilyillä näyttää tältä: $\textstyle x=-u\cos \alpha -v\sin \alpha$ $\textstyle y=-u\sin \alpha +v\cos \alpha$ , tai $\textstyle x=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}-{\frac {v}{\sqrt {2}}}$ $\textstyle y=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}+{\frac {v}{\sqrt {2}}}$ , Kun vanhojen koordinaattien lausekkeet on korvattu uudella yhtälöllä, karteesinen arkki muunnetaan seuraavaan muotoon: $v^{2}={\frac {u^{2}}{3}}{\frac {3a+u{\sqrt {2}}}{au{\sqrt {2}}}}$ . Annamme parametrin , viimeinen yhtälö kirjoitetaan uudelleen seuraavasti: ${\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2))))$ $v^{2}=u^{2}{\frac {l+u}{l-3u))$ tai ${\displaystyle v=\pm u{\sqrt {\frac {l+u}{l-3u))))$ . Korvataan muuttujat u ja v tavanomaisilla x ja y ja saadaan karteesinen arkkiyhtälö uudessa koordinaattijärjestelmässä: ${\displaystyle y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x))))$ Kun edellinen yhtälö korvataan yhtälöllä , saadaan karteesinen arkkiyhtälö napakoordinaatistossa: $x=\rho \cos \varphi ,\ y=\rho \sin \varphi$ ${\displaystyle \rho \sin \varphi =\rho \cos \varphi {\sqrt {\frac {t+\rho \cos \varphi }{t-3\rho \cos \varphi )))$ . Ratkaisemalla tämän lausekkeen suhteessa , saamme: $\rho$ $\rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\ varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}$ .

Kierretyn käyrän yhtälöiden johtaminen

XOY-koordinaattijärjestelmä muunnetaan UOV-koordinaatistoksi, joka saadaan kiertämällä OX- ja OY-akseleita myötäpäivään kulman verran ja suuntaamalla OX-akselia vastakkaiseen suuntaan:

\alpha ={\frac {\pi }{4))

{\begin{vmatrix}x\\y\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-u\\v\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\cos \alpha &-\ sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{vmatrix}}

Vanhojen XY-koordinaattien ilmaiseminen uusilla UV-säteilyillä näyttää tältä:

\textstyle x=-u\cos \alpha -v\sin \alpha

\textstyle y=-u\sin \alpha +v\cos \alpha

, tai

\textstyle x=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}-{\frac {v}{\sqrt {2}}}

\textstyle y=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}+{\frac {v}{\sqrt {2}}}

Kun vanhojen koordinaattien lausekkeet on korvattu uudella yhtälöllä, karteesinen arkki muunnetaan seuraavaan muotoon:

v^{2}={\frac {u^{2}}{3}}{\frac {3a+u{\sqrt {2}}}{au{\sqrt {2}}}}

Annamme parametrin , viimeinen yhtälö kirjoitetaan uudelleen seuraavasti: ${\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2))))$

v^{2}=u^{2}{\frac {l+u}{l-3u))

tai

{\displaystyle v=\pm u{\sqrt {\frac {l+u}{l-3u))))

Korvataan muuttujat u ja v tavanomaisilla x ja y ja saadaan karteesinen arkkiyhtälö uudessa koordinaattijärjestelmässä:

{\displaystyle y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x))))

Kun edellinen yhtälö korvataan yhtälöllä , saadaan karteesinen arkkiyhtälö napakoordinaatistossa: $x=\rho \cos \varphi ,\ y=\rho \sin \varphi$

{\displaystyle \rho \sin \varphi =\rho \cos \varphi {\sqrt {\frac {t+\rho \cos \varphi }{t-3\rho \cos \varphi )))

Ratkaisemalla tämän lausekkeen suhteessa , saamme: $\rho$

\rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\ varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}

Ominaisuudet

Suora on symmetria -akseli , sen yhtälö on: . $OA$ ${\näyttötyyli y=x}$
Pistettä A kutsutaan pisteeksi , sen koordinaatit ovat . $\left({\frac {3a}{2)),{\frac {3a}{2}}\right)$

Molemmilla haaroilla on asymptootti , jonka yhtälö on: . $UV$ $x+y+a=0$

Asymptoottiyhtälön johtaminen
Käännetylle karteesiselle arkkille: Kun meillä on $y = 0$ $x=0$ tai , $\textstyle {\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}=0$ Harkitse toista tapausta: , eli , eli tarkoittaa . $l+x=0$ $x=-l$ ${\displaystyle \textstyle x=-{\frac {3a}{\sqrt {2))))$ ${\displaystyle \textstyle OA={\frac {3a}{\sqrt {2))))$ UV-asymptoottiyhtälö määritetään lausekkeesta: $l-3x=0$ , siis . $\textstyle x={\frac {l}{3}}={\frac {a}{\sqrt {2}}}$ Kun akselit on käännetty, saamme lopullisen yhtälön ${\displaystyle -135^{\circ ))$ $x+y+a=0$

Asymptoottiyhtälön johtaminen

Käännetylle karteesiselle arkkille:

Kun meillä on $y = 0$

x=0

tai ,

\textstyle {\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}=0

Harkitse toista tapausta: , eli , eli tarkoittaa . $l+x=0$ $x=-l$ ${\displaystyle \textstyle x=-{\frac {3a}{\sqrt {2))))$ ${\displaystyle \textstyle OA={\frac {3a}{\sqrt {2))))$

UV-asymptoottiyhtälö määritetään lausekkeesta:

l-3x=0

, siis .

\textstyle x={\frac {l}{3}}={\frac {a}{\sqrt {2}}}

Kun akselit on käännetty, saamme lopullisen yhtälön ${\displaystyle -135^{\circ ))$

x+y+a=0

Kaarien ja kaarien välisen alueen pinta-ala $ACO$ $ABO$ $\textstyle S_{1}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}$

Alueen löytäminen $S_{1}$
Kaarien ACO ja ABO välissä oleva pinta -ala lasketaan seuraavasti: ${\displaystyle S_{1))$ ${\frac {1}{2}}S_{1}=-\int \limits _{-l}^{0}x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}} }\,dx$ , missä . ${\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2))))$ Tämä integraali lasketaan käyttämällä substituutiota: $u=l-3x,\ l+x={\frac {4}{3}}l-{\frac {1}{3}}u,\ dx=-{\frac {1}{3 }}du$ . Integrointirajat: $x=-l\Rightarrow \;u=4l,\qquad x=0\Rightarrow \;u=l$ Integraali muunnetaan muotoon: ${\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}\left( lu\right){\sqrt {\frac {4l-u}{u))}\,du$ tai ${\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}l{\ sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du-{\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}u{\ sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du$ Ensimmäinen integraali tästä yhtälöstä on: ${\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{4l}^{l}l{\sqrt {\frac {4l-u}{u))}\ ,du$ . Korvaus: $u=v^{2},\qquad du=2vdv$ . Integrointirajat: $u=4l\Rightarrow \;v=2{\sqrt {l)),\qquad u=l\Rightarrow \;v={\sqrt {l))$ . Integraali muunnetaan muotoon: ${\frac {2l}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{2{\sqrt {l))}^{\sqrt {l)){\sqrt {\left( 2{\sqrt {l}}\right)^{2}-v^{2}}}\,dv=$ $={\frac {2l}{\sqrt {3}}}\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {\left(2{\sqrt {t}}\right)^ {2}-v^{2}}}+{\frac {\left(2{\sqrt {l}}\right)^{2}}{2}}\arcsin \left({\frac {v} {2{\sqrt {l}}}}\right)\right]{\Bigg \|}_{2{\sqrt {l}}}^{\sqrt {l}}={\frac {l^{2 }}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\sqrt {3}}-{\frac {4}{3}}\pi \right]$ . Toinen integraali: $-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{4l}^{l}{\sqrt {4tu^{2}-u^{2))} \,du$ Korvaus: $u=v+2l,\qquad du=dv$ . Integrointirajat: $u=4l\Rightarrow \;v=2t,\qquad u=l\Rightarrow \;v=-l$ . Integraali muunnetaan muotoon: $-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{2l}^{-l}{\sqrt {\left(2l\oikea)^{2}- v^{2}}}\,dv=$ $=-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {\left(2l\oikea)^{2} -v^{2}}}+{\frac {\left(2l\right)^{2}}{2}}\arcsin \left({\frac {v}{2l}}\oikea)\oikea] {\Bigg \|}_{2l}^{-l}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\frac {\sqrt {3}}{ 2))+{\frac {4}{3}}\pi \right]$ . Niin: ${\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\sqrt {3}}- {\frac {4}{3}}\pi \right]+{\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\frac {\sqrt {3}} {2}}+{\frac {4}{3}}\pi \right]$ . Alue on $S_{1}$ $S_{1}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}$ .

Alueen löytäminen

S_{1}

Kaarien ACO ja ABO välissä oleva pinta -ala lasketaan seuraavasti:

{\displaystyle S_{1))

{\frac {1}{2}}S_{1}=-\int \limits _{-l}^{0}x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}} }\,dx

, missä .

{\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2))))

Tämä integraali lasketaan käyttämällä substituutiota:

u=l-3x,\ l+x={\frac {4}{3}}l-{\frac {1}{3}}u,\ dx=-{\frac {1}{3 }}du

Integrointirajat:

x=-l\Rightarrow \;u=4l,\qquad x=0\Rightarrow \;u=l

Integraali muunnetaan muotoon:

{\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}\left( lu\right){\sqrt {\frac {4l-u}{u))}\,du

tai

{\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}l{\ sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du-{\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}u{\ sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du

Ensimmäinen integraali tästä yhtälöstä on:

{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{4l}^{l}l{\sqrt {\frac {4l-u}{u))}\ ,du

Korvaus:

u=v^{2},\qquad du=2vdv

Integrointirajat:

u=4l\Rightarrow \;v=2{\sqrt {l)),\qquad u=l\Rightarrow \;v={\sqrt {l))

Integraali muunnetaan muotoon:

{\frac {2l}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{2{\sqrt {l))}^{\sqrt {l)){\sqrt {\left( 2{\sqrt {l}}\right)^{2}-v^{2}}}\,dv=

={\frac {2l}{\sqrt {3}}}\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {\left(2{\sqrt {t}}\right)^ {2}-v^{2}}}+{\frac {\left(2{\sqrt {l}}\right)^{2}}{2}}\arcsin \left({\frac {v} {2{\sqrt {l}}}}\right)\right]{\Bigg |}_{2{\sqrt {l}}}^{\sqrt {l}}={\frac {l^{2 }}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\sqrt {3}}-{\frac {4}{3}}\pi \right]

Toinen integraali:

-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{4l}^{l}{\sqrt {4tu^{2}-u^{2))} \,du

Korvaus:

u=v+2l,\qquad du=dv

Integrointirajat:

u=4l\Rightarrow \;v=2t,\qquad u=l\Rightarrow \;v=-l

Integraali muunnetaan muotoon:

-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\int \limits _{2l}^{-l}{\sqrt {\left(2l\oikea)^{2}- v^{2}}}\,dv=

=-{\frac {1}{9{\sqrt {3))))\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {\left(2l\oikea)^{2} -v^{2}}}+{\frac {\left(2l\right)^{2}}{2}}\arcsin \left({\frac {v}{2l}}\oikea)\oikea] {\Bigg |}_{2l}^{-l}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\frac {\sqrt {3}}{ 2))+{\frac {4}{3}}\pi \right]

Niin:

{\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\sqrt {3}}- {\frac {4}{3}}\pi \right]+{\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\frac {\sqrt {3}} {2}}+{\frac {4}{3}}\pi \right]

Alue on $S_{1}$

S_{1}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}

Asymptootin ja käyrän välisen alueen pinta-ala on yhtä suuri kuin silmukan pinta-ala . $\textstyle S_{2}=S_{1}={\frac {3}{2}}a^{2}$

Alueen löytäminen $S_{2}$
Käyrän haarojen ja UV-asymptootin välinen pinta -ala lasketaan täsmälleen samalla tavalla kuin pinta-ala ; integraali otetaan alueella 0 - . ${\displaystyle S_{2))$ ${\displaystyle S_{1))$ $\textstyle {\frac {l}{3))$ ${\frac {1}{2}}S_{2}=\int \limits _{0}^{\frac {l}{3}}x{\sqrt {\frac {l+x}{ l-3x}}}\,dx$ Tämä integraali lasketaan samalla tavalla kuin edellisessä tapauksessa. $S_{2}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}$ , eli alueet ja ovat keskenään yhtä suuret. ${\displaystyle S_{1))$ ${\displaystyle S_{2))$

Alueen löytäminen

S_{2}

Käyrän haarojen ja UV-asymptootin välinen pinta -ala lasketaan täsmälleen samalla tavalla kuin pinta-ala ; integraali otetaan alueella 0 - .

{\displaystyle S_{2))

{\displaystyle S_{1))

\textstyle {\frac {l}{3))

{\frac {1}{2}}S_{2}=\int \limits _{0}^{\frac {l}{3}}x{\sqrt {\frac {l+x}{ l-3x}}}\,dx

Tämä integraali lasketaan samalla tavalla kuin edellisessä tapauksessa.

S_{2}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}

, eli alueet ja ovat keskenään yhtä suuret.

{\displaystyle S_{1))

{\displaystyle S_{2))

Kappaleen tilavuus, joka muodostuu kaaren kiertymisestä x-akselin ympäri $ACO$ $\textstyle V_{1}={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)$

Pyörimismäärän löytäminen
Kappaleen tilavuus ( ), joka muodostuu kaaren kiertymisestä abskissa-akselin ympäri, lasketaan seuraavasti: $V_{1}$ $ACO$ $V_{1}=\pi \int \limits _{-l}^{0}x^{2}{\frac {l+x}{l-3x}}\,dx=$ $=-{\frac {\pi }{3}}\int \limits _{-l}^{0}x^{2}\,dx-{\frac {4\pi l}{9} }\int \limits _{-l}^{0}x\,dx-{\frac {4\pi l^{2}}{27}}\int \limits _{-l}^{0}\ ,dx+{\frac {4\pi l^{3}}{27}}\int \limits _{-l}^{0}{\frac {dx}{l-3x}}\,=$ $={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)$ . Niin: $V_{1}={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)$ . Yhden haaran kiertymisestä x-akselin ympäri muodostuvan kappaleen tilavuus ( ) pyrkii äärettömään. Tämä tilavuus lasketaan edellisestä integraalista välillä - . Tämä integraali on yhtä suuri kuin ääretön $V_{2}$ $0$ ${\frac {t}{3))$ $V_{2}=\infty$ .

Pyörimismäärän löytäminen

Kappaleen tilavuus ( ), joka muodostuu kaaren kiertymisestä abskissa-akselin ympäri, lasketaan seuraavasti:

V_{1}

ACO

V_{1}=\pi \int \limits _{-l}^{0}x^{2}{\frac {l+x}{l-3x}}\,dx=

=-{\frac {\pi }{3}}\int \limits _{-l}^{0}x^{2}\,dx-{\frac {4\pi l}{9} }\int \limits _{-l}^{0}x\,dx-{\frac {4\pi l^{2}}{27}}\int \limits _{-l}^{0}\ ,dx+{\frac {4\pi l^{3}}{27}}\int \limits _{-l}^{0}{\frac {dx}{l-3x}}\,=

={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)

Niin:

V_{1}={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)

Yhden haaran kiertymisestä x-akselin ympäri muodostuvan kappaleen tilavuus ( ) pyrkii äärettömään. Tämä tilavuus lasketaan edellisestä integraalista välillä - . Tämä integraali on yhtä suuri kuin ääretön $V_{2}$ $0$ ${\frac {t}{3))$

V_{2}=\infty

Käyrätutkimus

Kun meillä on tai , tai , eli . $y=0$ $x=0$ ${\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}=0$ ${\displaystyle l+x=0\Rightarrow x=-l\Rightarrow x=-{\frac {3a}{\sqrt {2))))$ ${\displaystyle OA={\frac {3a}{\sqrt {2))))$

UV-asymptoottiyhtälö määritetään lausekkeesta:

l-3x=0\Rightarrow x={\frac {l}{3}}={\frac {a}{\sqrt {2}}}

Johdannainen

Funktion maksimiarvon ja tangenttiyhtälön löytämiseksi laskemme funktion derivaatan:

y'=\left(x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x))}\right)'

{\displaystyle y'={\frac {2lx}{\left(l-3x\right)\left({\sqrt {l-3x}}{\sqrt {l+x}}\right)))+{ \sqrt {\frac {l+x}{l-3x))))

Yhdistä derivaatta y' nollaan ja ratkaise tuloksena oleva yhtälö x:lle. Saamme: . Tälle x:n arvolle funktiolla (2) on maksimi ylemmässä kaaripisteessä ja minimi alemmassa kaaripisteessä . Funktion arvo näissä pisteissä on: ${\displaystyle x=-{\frac {l}{\sqrt {3))))$ $ACO$ $C$ $ABO$ $B$

y\left(-{\frac {l}{\sqrt {3}}}\right)=\pm {\frac {l}{\sqrt {3}}}{\sqrt {\frac {3 } -{\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}+1}}}

Derivaatan y' arvo pisteessä on , eli pisteen tangentit ovat keskenään kohtisuorassa ja vinossa x-akseliin nähden kulmassa . $O$ $\pm 1$ $O$ $\pm {\frac {\pi }{4}}$

Katso myös

Soikea Descartes

Linkit

D.K. Bobylev . Karteesinen arkki // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 nidettä (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
muu	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

muu

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
muu	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto