Loksodromi

Loksodromi tai loksodromi [1] ( toisesta kreikasta "λοξός" - "vino", "kalteva" ja "δρόμος" - "polku" [2] ) - käyrä kierroksen pinnalla , joka leikkaa kaikki meridiaanit vakiokulmassa , jota kutsutaan loksodromiseksi raidekulmaksi.

Historia

Sen esitteli portugalilainen matemaatikko Nonius vuonna 1529 [3] .

Teoksessa " Tiphys batavus " (1624) hollantilainen matemaatikko Willebrord Snell kutsui käyrää, joka leikkaa kaikki meridiaanit vakiokulmassa "loxodrome" ja tutki sitä. Työ koostui kahdesta osasta - teoreettisista ja käytännön harjoituksista suosituksineen [4] .

Geodesiassa ja kartografiassa

Maan pinnalla loksodromit ovat kaikki yhdensuuntaisia (ratakulma voi olla 90°, 270° jne.) ja kaikki meridiaanit (ratakulma 0°, 180° jne.). Muissa kulmissa olevat loksodromit ovat spiraaleja, jotka tekevät rajattoman määrän kierroksia ja lähestyvät napoja . Siitä huolimatta, jos matkustaja liikkuu mitä tahansa loksodromia (paitsi rinnakkaiskohtia) pitkin tasaisella nopeudella pysähtymättä, hän tulee ehdottomasti jollekin napasta rajallisessa ajassa. Karttaprojektiota , jossa kaikki loksodromit on piirretty suorina viivoina, kutsutaan Mercator-projektioksi .

Navigaatiossa

Jos liikut maapallolla kiinteällä raidekulmalla, joka on ehdollisesti otettu palloksi tai geoidiksi , niin kohteen liikkeen rata on loksodromi [5] . Loxodromi ei ole lyhin reitti kahden pisteen välillä (poikkeuksena ovat meridiaanit ja päiväntasaaja). Siitä huolimatta vanhaan aikaan laivat ja matkailijat liikkuivat usein loksodromeja pitkin, koska on helpompaa ja kätevämpää mennä vakiokulmassa Pohjantähteen . Kompassin keksimisen myötä navigaattorit siirtyivät liikkumaan "magneettisia loksodromeja" pitkin, eli linjoja pitkin, joiden kulma on vakio magneettiseen pohjoiseen, mikä mahdollisti liikkumisen jatkamisen myös pilvisellä säällä. Mutta heti kun magneettiset deklinaatiot havaittiin kaikissa maan paikoissa, ihmiset siirtyivät jälleen tavallisiin loksodromeihin. Loksodromia käytettiin vielä 1900-luvulla vaadittavan kurssin laskemisessa lentokoneiden ja laivojen reittiä laskettaessa. Ajan myötä, kun laitteita, joilla oli riittävä laskentateho, ilmestyi laskemaan nykyinen tarvittava raidekulma, suuria ympyröitä (lyhintä polkua) alettiin käyttää aktiivisesti erityisesti pitkän matkan lentoreiteillä [6] .

Pallon loksodromin rakentaminen

Loksodromin polun asettamiseksi lentokarttoihin on tarpeen yhdistää reitin päätepisteet suoralla viivalla ja mitata radan kulma keskimeridiaanilla. Tarkemmin sanottuna loksodromin radan kulma lasketaan keskimääräisenä kulmana reitin alku- ja loppupisteestä. Tämän jälkeen tuloksena oleva raidekulma rakennetaan peräkkäin kaikille kartan meridiaaneille lähtöpisteestä alkaen. Rakentamisen aikana saatu katkoviiva on lähes lähellä loksodromia. Tarkemmin sanottuna loksodromin radan kulma voidaan laskea kaavalla: $\alpha$

${\mathrm {tg}}\alpha ={\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{\varphi _{2}-\varphi _{1}}}\cos \varphi _{ m}$ ,

missä on haluttu raidekulma; $\alpha$
$\varphi_{1}$ ja — lähtö- ja saapumispaikkojen leveysasteet; $\varphi _{2}$
$\lambda _{1}$ ja ovat näiden pisteiden pituusasteet; $\lambda _{2}$
$\varphi _{m}$ on keskimääräinen lennon leveysaste.

Esimerkki . Määritä loksodromin todellinen ratakulma lentäessäsi Reimsistä Potsdamiin . $\alpha$

Ratkaisu . Määritämme koordinaatit:

– Reims

\varphi _{1}=49^{\circ }15'=2955';\lambda _{1}=4^{\circ }02'=242';

– Potsdam

\varphi _{2}=52^{\circ }24'=3144';\lambda _{2}=13^{\circ }04'=784';

keskimääräinen leveysaste ; . Näin ollen $\varphi _{m}=50^{\circ }50'$ $\cos 50^{\circ }50'=0{,}6316$

\mathrm {tg} \alpha ={\frac {784-242}{3144-2955}}0{,}6316=1{,}806

\alpha =61^{\circ }

Tulos on oikea, jos reitin päätepiste on ensimmäisellä neljänneksellä (0 - 90°). Jos loppupiste on toisella neljänneksellä (90° - 180°), haluttu raitakulma saadaan vähentämällä saatu asteiden lukumäärä 180°:sta. Jos loppupiste on kolmannella neljänneksellä (180° - 270°), tuloksena olevaan kulmaan lisätään 180°, ja jos neljännellä neljänneksellä (270° - 360°), saatu kulma vähennetään 360°:sta.

Loksodromin pituus kilometreissä määritetään kaavoilla:

a) Lähellä 0° tai 180° kulmat , $\alpha$

S\approx {\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{\cos \alpha }}\cdot 1{,}852

km,

missä ja ovat lähtö- ja saapumispisteiden leveysasteet minuutteina ilmaistuna tai $\varphi_{1}$ $\varphi _{2}$

S\approx {\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{\cos \alpha }}\cdot 111{,}18

km,

missä ja ilmaistaan asteina. $\varphi_{1}$ $\varphi _{2}$

b) Lähellä 90° tai 270° kulmat, $\alpha$

S\approx {\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{\sin \alpha }}\cdot \cos \varphi _{m}\cdot 1{,}852

km.

Loksodromin ja ortodromin pituuksien ero DS saavuttaa maksimiarvonsa lentää pitkin suuntausta.

Joten esimerkiksi edellisen esimerkin Reimsin ja Potsdamin välisen loksodromin pituus voidaan laskea likimäärin kaavalla:

S\approx {\frac {784-242}{\sin 61^{\circ ))}\cdot 0{,}6316\cdot 1{,}852\noin 725

km.

Kaavat suorakulmaisina koordinaatteina

Parametriset kaavat , jotka määrittelevät loksodromin ratakulman kanssa sädepallolla karteesisessa koordinaatistossa : $\alpha$ $r$

x=r{\frac {\cos \lambda }{\mathrm {ch} [(\lambda -\lambda _{0})\operaattorin nimi {ctg} \alpha ]));

y=r{\frac {\sin \lambda }{\mathrm {ch} [(\lambda -\lambda _{0})\operaattorinimi {ctg} \alpha ])));

z=r\,\mathrm {th} [(\lambda -\lambda _{0})\operaattorin nimi {ctg} \alpha ];

jossa parametri vaihtelee 0:sta ja on pisteen pituusaste. Tässä ja ovat hyperbolinen kosini ja tangentti . $\lambda$ $2\pi$ $\mathrm {ch}$ $\mathrm {th}$

Katso myös

ortodromia

Muistiinpanot

↑ Loxodrome // Meren tietosanakirja / Toim. N. N. Isanina. - Leningrad: Laivanrakennus, 1987. - T. 1. - S. 398. - 512 s. – 30 000 kappaletta.
↑ Venäjän kielen gallismien historiallinen sanakirja. - M .: Sanakirjakustantaja ETS. Nikolai Ivanovitš Epishkin. 2010
↑ Huivi, Michel . Historiallinen katsaus geometristen menetelmien alkuperään ja kehitykseen . Ch. III, n. 39.
↑ MacTutor .
↑ Tätä ei ole vaikea todistaa käyttämällä polkukulman ja loksodromin määritelmiä.
↑ Polttoaineen säästämiseksi ja matka-ajan lyhentämiseksi.

Linkit

Online-laskin: Seuraa kulmaa ja kahden pisteen välistä etäisyyttä loksodromia pitkin (rummiviivat)
Laxodromia // Military Encyclopedia : [18 osassa] / toim. V. F. Novitsky ... [ ja muut ]. - Pietari. ; [ M. ] : Tyyppi. t-va I. D. Sytin , 1911-1915.
John J. O'Connor ja Edmund F. Robertson . Loxodrome (englanniksi) - elämäkerta MacTutor- arkistossa .

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
muu	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

muu

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
muu	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto