Käyrän pituus

Käyrän pituus (tai mikä on sama, käyrän kaaren pituus ) on tämän käyrän pituuden numeerinen ominaisuus [1] . Historiallisesti käyrän pituuden laskemista kutsuttiin käyrän oikaisemiseksi ( latinan sanasta rectificatio , suoristus).

Määritelmä

Euklidisessa avaruudessa käyrän segmentin pituus määritellään käyrään merkittyjen katkoviivojen pituuksien pienimmäksi ylärajaksi.

Oletetaan esimerkiksi jatkuva käyrä kolmiulotteisessa avaruudessa parametrisesti: $\gamma$

x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)

(yksi)

missä , kaikki kolme funktiota ovat jatkuvia eikä useita pisteitä ole, eli käyrän eri pisteet vastaavat eri arvoja. Rakennamme kaikki mahdolliset parametrivälin osiot segmenteiksi : . Yhdistämällä käyrän pisteet janoilla saadaan katkoviiva. Tällöin käyräsegmentin pituus määritellään kaikkien tällaisten katkoviivojen kokonaispituuksien pienimmäksi ylärajaksi [2] . $a\leqslant t\leqslant b$ $t$ $[a,b]$ $m$ $a=t_{0}<t_{1}<\pisteet <t_{m}=b$ $\gamma (t_{0}),\dots ,\gamma (t_{m})$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Jokaisella käyrällä on pituus, äärellinen tai ääretön. Jos käyrän pituus on äärellinen, käyrän sanotaan olevan tasoitettava , muuten se on ei- korjautuva . Kochin lumihiutale on klassinen esimerkki rajatusta mutta ei-korjautuvasta käyrästä; lisäksi mikä tahansa mielivaltaisen pieni kaari ei ole korjattavissa [3] .
Käyrän parametrisointia sen kaaren pituuden mukaan kutsutaan luonnolliseksi .
Käyrä on funktion erikoistapaus segmentistä avaruuteen. Matemaattisessa analyysissä määritelty funktion variaatio on käyrän pituuden yleistys (katso alla).

Ominaisuudet

Jos kaikki funktiot kohdassa (1) ovat rajallisen vaihtelun funktioita, käyrän pituus on olemassa ja se on äärellinen.

Matemaattisessa analyysissä johdetaan kaava yhtälöiden (1) antaman käyrän segmentin pituuden laskemiseksi edellyttäen, että kaikki kolme funktiota ovat jatkuvasti differentioituvia : $s$

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}(t)+{y'}^{2}(t)+{z'}^{2} (t)}}\,dt

(2)

Kaava tarkoittaa, että pituus lasketaan myös parametrin t kasvavan suuntaan . Jos otetaan huomioon kaksi eri suuntaa pituuden laskemiseen käyrän pisteestä, on usein kätevää antaa miinusmerkki kaarelle jossakin näistä suunnista.

a\leqslant b

N -ulotteisessa tapauksessa (2):n sijasta meillä on samanlainen kaava:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{{k=1}}^{n}{f'_{k}}^{2}(t)} }\,dt

Jos tasokäyrä annetaan yhtälöllä jossa on tasainen funktio parametriarvojen välillä, käyrän pituus määritetään kaavalla: $y=f(x),$ $f$ $[a,b]$

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2))}\,dx.

Napakoordinaateissa :

(r,\varphi )

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}}}\, d\varphi .

Croftonin kaava mahdollistaa käyrän pituuden tasossa ja sen leikkauspisteiden lukumäärän integraalin suhteuttamisen suorien luonnollisessa mittakaavassa suoraavaruudessa.

Historia

Oikaisuongelma osoittautui paljon vaikeammaksi kuin pinta-alan laskeminen , ja muinaisina aikoina ainoa onnistunut oikaisu tehtiin ympyrälle . Descartes jopa ilmaisi mielipiteen, että " suorien ja käyrien välistä suhdetta ei tunneta, ja mielestäni ihmiset eivät voi edes tietää sitä " [4] [5] .

Ensimmäinen saavutus oli Neilin paraabelin oikaisu ( 1657 ), jonka esittivät Fermat ja Neil itse . Sykloidin kaaren pituus löydettiin pian ( Renne , Huygens ). James Gregory (jo ennen laskennan löytämistä ) loi yleisen teorian kaaren pituuden löytämiseksi, jota käytettiin välittömästi erilaisiin käyriin.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Riemannilainen avaruus

N - ulotteisessa Riemannin avaruudessa , jossa on koordinaatit , käyrä annetaan parametriyhtälöillä: $x^{1}\cdots x^{n}$

x^{i}=x^{i}(t)\qquad \qquad

((3))

Riemannin avaruuden käyrän pituus saadaan seuraavasti:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{{ij}}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}\,dt

missä: on metrinen tensori . Esimerkki: käyrä pinnalla . $g_{ij}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Yleinen metriavaruus

Yleisemmässä mielivaltaisen metrisen avaruuden tapauksessa käyrän pituus on muunnelma käyrän määrittelevästä kuvauksesta, eli käyrän pituus määritetään kaavan mukaan: $(X,\rho)$ $S$ $\gamma :[a,b]\-X$

s=\sup \sum \limits _{{k=0}}^{m}\rho (\gamma (x_{{k+1}}),\gamma (x_{k})),

jossa yläraja otetaan, kuten ennenkin, segmentin kaikilta osioista . $a=x_{0}<x_{1}<\pisteet <x_{m}=b$ $[a,b]$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Pituus // Mathematical Encyclopedia (5 osassa) . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1982. - T. 2.
↑ Shibinsky, 2007 , s. 199.
↑ Shibinsky, 2007 , s. 201-202.
↑ Rene Descartes. Geometria. P. Fermatin valittujen teosten ja Descartesin kirjeenvaihdon avulla / A. P. Yushkevichin käännös, muistiinpanot ja artikkelit . - M. - L .: Gostekhizdat , 1938. - S. 49. - 297 s. - (Luonnontieteen klassikot).
^ Alkuperäinen ranskalainen lainaus : "la ratio qui est entre les droites et les courbes n'étant pas connue, et même, je crois, ne le pouvant être par les hommes", ks . Descartes, René. Discours de la method ... - 1637. - S. 340.

Kirjallisuus

Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja (tutkijoille ja insinööreille) . - M .: Nauka, 1973.
Merzon G. A., Yashchenko I. V. Pituus, pinta-ala, tilavuus. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .
Fikhtengol'ts G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi kolmessa osassa. - Toim. 6. - M .: Nauka, 1966.
Shibinsky VM Esimerkkejä ja vastaesimerkkejä matemaattisen analyysin aikana. Opastus. - M . : Higher School, 2007. - 543 s. - ISBN 978-5-06-005774-4 .

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
muu	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

muu

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
muu	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto