Kultainen spiraali

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 4. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Kultainen spiraali tai Fibonacci-spiraali on logaritminen spiraali , jonka kasvutekijä on φ 4 , missä φ on kultainen suhde . Logaritmisen spiraalin kasvukerroin osoittaa, kuinka monta kertaa spiraalin napasäde on muuttunut, kun sitä kierretään 360°:n kulmassa [1] . Tämä spiraali sai nimensä, koska se on yhteydessä toisiinsa sisäkkäisten suorakulmioiden sekvenssiin, joiden kuvasuhde on yhtä suuri kuin φ ja joita kutsutaan yleisesti kultaisiksi . Kultainen spiraali voidaan sekä kirjoittaa tällaisten suorakulmioiden järjestelmään että kuvata sen ympärille. Kultainen kierre saavutti suosion, koska 1500-luvun alusta tunnettu ja taiteessa käytetty spiraali [2] , joka on rakennettu Dürerin menetelmällä [3] [4] , osoittautui hyväksi likiarvoksi kultainen spiraali (katso kuva).

Kaava

Kultaisen spiraalin yhtälö napakoordinaatistossa on sama kuin muilla logaritmisilla spiraaleilla , mutta kasvutekijälle - φ 4 on erityinen arvo :

{\displaystyle r=a\varphi ^{\pm {\frac {2\theta }{\pi ))))

missä a on mielivaltainen positiivinen reaalivakio ja a on kultainen suhde . $\varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$

Logaritmisen spiraalin pääominaisuus: napasta lähtevän sädevektorin ja spiraalin tangentin välinen kulma - μ - on vakio, ja kultaiselle spiraalille määräytyy kaava:

\operaattorinnimi {tg} \mu ={\dfrac {r}{r'}}={\dfrac {\pi }{2\ln \varphi }}

, missä .

r'={\dfrac {dr}{d\theta ))

Missä . ${\displaystyle \mu \noin 73^{\circ ))$

Kultaisen spiraalin likiarvot

On olemassa useita samanlaisia spiraaleja, jotka ovat lähellä, mutta eivät täsmälleen samoja kuin kultainen spiraali [5] , joihin ne usein sekoitetaan.

Kuten edellä jo mainittiin, kun kultainen spiraali kirjoitetaan sisäkkäisten kultaisten suorakulmioiden sekvenssiin, se approksoidaan spiraalilla, joka on rakennettu Dürer-menetelmän mukaan. Kultainen suorakulmio voidaan jakaa neliöön ja vastaavaan suorakulmioon, jotka puolestaan voidaan jakaa samalla tavalla, ja tätä prosessia voidaan jatkaa mielivaltaisen määrän kertoja. Jos toisiinsa yhdistettyjen ympyröiden neljännekset syötetään näihin neliöihin, saadaan spiraali, joka näkyy ensimmäisessä kuvassa.

Toinen likiarvo on Fibonacci-spiraali , joka on rakennettu kuten yllä oleva spiraali, paitsi että aloitat kahden neliön suorakulmiosta ja lisäät sitten samanpituisen neliön suorakulmion suurempaan sivuun. Kun vierekkäisten Fibonacci-lukujen suhde lähestyy kultaista leikkausta, spiraali lähestyy kultaista spiraalia yhä enemmän, kun neliöitä lisätään (katso toinen kuva).

Spiraalit luonnossa

Luonnossa on olemassa likiarvoja logaritmisille spiraaleille , joiden kasvutekijä on φ k . Niinpä nilviäisten Nautilus pompiliuksen ja kivettyneet ammoniittien kuoret kuvataan hyvin arvolla k = 2 ja joidenkin etanoiden kuoret arvolla k = 1. [ 6 ] spiraaligalaksit olemassa olevista väitteistä huolimatta [8] , jos niitä kuvataan logaritmisella, niin ei kultaisen kierteen kautta. Tässä tapauksessa hänen kuvaus on ilmentymä satunnaisesta läheisyydestä. Hiiren sarveiskalvon epiteelistä löydetyistä spiraaleista hiljattain tehty analyysi on osoittanut, että siellä esiintyy sekä kultaisia että muita logaritmisia spiraaleja. [9]

Katso myös

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
Muut	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

Muut

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
Muut	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto

Muistiinpanot

↑ Vygodsky M. Ya. Korkeamman matematiikan käsikirja. M.: Nauka, 1977, s. 884.
↑ Prokhorov A. Kultainen spiraali, Kvant, 1984, nro 9.
↑ Arakelyan. G. Kultaisen leikkauksen matematiikka ja historia, Moskova: Logos, 2014, s. viisikymmentä.
↑ Albrecht Durer (1525): Unterweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt, Linien Ebnen und gantzen Corporen. Verlag Dr. Alfons Uhl (Uusipainos 2000), Nordlingen, ISBN 3 921503 65 5 (Käännös englanniksi: The Painter's Manual, Abaris Books, New York 1977).
↑ Madden, 1999 , s. 14-16.
↑ A.N. Kovalev, Jälleen kerran kultaisista spiraaleista // Academy of Trinitarianism, M., El No. 77-6567, jul . pdf Arkistoitu 13. lokakuuta 2017 Wayback Machinessa
↑ Petukhov S. V. Matriisigenetiikka, geneettisen koodin algebrat, melunsieto. - Moskova: Regular and Chaotic Dynamics, 2008. - S. 107.
↑ Gazale, 1999 , s. 3.
↑ Rhee, 2015 , s. 22–38.

Kirjallisuus

David Darling. Universaali matematiikan kirja: Abrakadabrasta Zenon paradokseihin. - John Wiley & Sons, 2004. - ISBN 9780471270478 .
Ivar Peterson. Sea Shell spiraalit. - Society for Science & the Public, 2005-04-01.
Keith Devlin. Myytti, joka ei katoa. – toukokuu 2007.
Jerry Rhee, Talisa Mohammad Nejad, Olivier Comets, Sean Flannery, Eine Begum Gulsoy, Philip Iannaccone, Craig Foster. Konvergenssin edistäminen: Phi-spiraali hiiren sarveiskalvon käyttäytymisen sieppauksessa // Monimutkaisuus. - 2015. - T. 20 , nro 3 . — S. 22–38 . - doi : 10.1002/cplx.21562 .
Midhat Gazale. Gnomon: Faraoista fraktaaleihin. - Princeton University Press, 1999. - ISBN 9780691005140 .
Charles B Madden. Fractals in Music: johdantomatematiikka musiikilliseen analyysiin. - High Art Press, 1999. - ISBN 0-9671727-6-4 .
Klaus Mainzer. Luonnon symmetriat: Luonnon- ja tiedefilosofian käsikirja. - Walter de Gruyter, 1996. - ISBN 3-11-012990-6 .
Priya Hemenway. Jumalallinen osuus: Φ Phi taiteessa, luonnossa ja tieteessä . - Sterling Publishing Co, 2005. - ISBN 1-4027-3522-7 .