Soikea Cassini

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15. maaliskuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Cassinin soikea on käyrä , joka on pisteiden paikka, tulo etäisyyksistä, joista kahteen annettuun pisteeseen (foci) on vakio ja yhtä suuri kuin tietyn luvun neliö . Se on toorisen osan ja Perseus-käyrän erikoistapaus . $a$

Erikoistapaus Cassini-ovaalista, jonka polttoväli on yhtä suuri , on Bernoullin lemniskaatti . $2a$

Nykyaikana tähtitieteilijä Giovanni Cassini esitteli (löysi sen uudelleen) käyrän . Hän uskoi virheellisesti, että se määrittää tarkemmin Maan kiertoradan kuin ellipsi [ 1] . Vaikka tätä linjaa kutsutaan Cassini- ovaliksi , se ei aina ole soikea (katso alla - Muotoominaisuudet ).

Muunnelmia (muut tapaukset)

Kahden annetun pisteen etäisyyksien vakiosumman käyrä - ellipsi , vakiosuhde - Apolloniuksen ympyrä , vakioero - hyperbola .

Yhtälöt

Focien välinen etäisyys . $2c$

Suorakaiteen muotoisina koordinaatteina :

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Johtopäätös
Keskittyy - ja . Ota mielivaltainen piste , etsi etäisyys polttopisteestä siihen ja vertaa se : $F_{1}(-c;0)$ $F_{2}(c;0)$ $M(x;y)$ $a^2$ $\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}=a^{2}$ Neliöimme yhtälön molemmat puolet: $\textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(xc)^{2}+y^{2}{\Big )}=a^{4}$ Laajenna vasemmalla puolella olevia kiinnikkeitä: $\textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=a^{4}$ Avaamme sulut, tiivistämme summan uuden neliön ja poistamme yhteisen tekijän: $\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$

Johtopäätös

Keskittyy - ja . Ota mielivaltainen piste , etsi etäisyys polttopisteestä siihen ja vertaa se :

F_{1}(-c;0)

F_{2}(c;0)

M(x;y)

a^2

\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}=a^{2}

Neliöimme yhtälön molemmat puolet:

\textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(xc)^{2}+y^{2}{\Big )}=a^{4}

Laajenna vasemmalla puolella olevia kiinnikkeitä:

\textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=a^{4}

Avaamme sulut, tiivistämme summan uuden neliön ja poistamme yhteisen tekijän:

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Eksplisiittinen yhtälö suorakaiteen muotoisina koordinaatteina:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4c^{2}x^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

Johtopäätös
$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$ Neliöimme ja avaamme sulut: $\textstyle x^{4}+2x^{{2}}y^{2}+y^{4}-2c^{{2}}x^{2}+2c^{{2}}y^{ 2}=a^{4}-c^{4}$ Tuomme mieleen $\textstyle y^{4}+2y^{{2}}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{{2}}x^{2}-a^ {4}+c^{4}=0$ Tämä on toisen asteen yhtälö . Ratkaisemme sen $y^{2}$ $\textstyle y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {a^{4}+4x^{{2}}c^{2}}}$ Ottamalla juuri ja hylkäämällä vaihtoehdon negatiivisella toisella termillä, saamme: $\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}$ missä positiivinen variantti määrittää käyrän ylemmän puoliskon, negatiivinen variantti määrittää alemman.

Johtopäätös

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Neliöimme ja avaamme sulut:

\textstyle x^{4}+2x^{{2}}y^{2}+y^{4}-2c^{{2}}x^{2}+2c^{{2}}y^{ 2}=a^{4}-c^{4}

Tuomme mieleen

\textstyle y^{4}+2y^{{2}}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{{2}}x^{2}-a^ {4}+c^{4}=0

Tämä on toisen asteen yhtälö . Ratkaisemme sen $y^{2}$

\textstyle y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {a^{4}+4x^{{2}}c^{2}}}

Ottamalla juuri ja hylkäämällä vaihtoehdon negatiivisella toisella termillä, saamme:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

missä positiivinen variantti määrittää käyrän ylemmän puoliskon, negatiivinen variantti määrittää alemman.

Napakoordinaatistossa : _

\rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos {2\varphi }=a^{4}-c^{4}

Johtopäätös
$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$ Käyttämällä kaavoja siirtymiseksi napakoordinaattijärjestelmään saamme : $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$ ${\Big (}\rho ^{2}\cos ^{{2}}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{{2}}\varphi {\Big )}^{2}-2c^ {2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}=a^{4}-c ^{4}$ Otamme pois yleiset tekijät ja käytämme trigonometristä identiteettiä : $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$ $\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )=a^{4}-c^{4}$ Käytetään toista identiteettiä : $\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha$ $\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi =a^{4}-c^{4}$

Johtopäätös

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Käyttämällä kaavoja siirtymiseksi napakoordinaattijärjestelmään saamme : $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$

{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{{2}}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{{2}}\varphi {\Big )}^{2}-2c^ {2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}=a^{4}-c ^{4}

Otamme pois yleiset tekijät ja käytämme trigonometristä identiteettiä : $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$

\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )=a^{4}-c^{4}

Käytetään toista identiteettiä : $\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha$

\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi =a^{4}-c^{4}

Lomakkeen ominaisuudet

Käyräyhtälö sisältää kaksi riippumatonta parametria: - puolet polttopisteiden välisestä etäisyydestä ja - neliöjuuri polttopisteestä mihin tahansa käyrän pisteeseen olevien etäisyyksien tulosta. Muodon kannalta merkittävin on parametrien suhde , ei niiden arvot, jotka vakiosuhteella määräävät vain kuvion koon. Suhteen suuruudesta riippuen voidaan erottaa kuusi muototyyppiä : $c$ $a$ $\textstyle {\frac {c}{a}}$

$\textstyle {\frac {c}{a}}=\infty$ , eli klo . $\textstyle a=0$ $\textstyle c\neq 0$

Käyrä degeneroituu kahdeksi pisteeksi, jotka ovat yhtäpitäviä polttopisteiden kanssa. Kun käyrän muoto pyrkii kahteen pisteeseen.

c\to\infty

$\textstyle 1<{\frac {c}{a}}<\infty$ , tuo on $\textstyle 0<a<c$

Käyrä jakautuu kahteen erilliseen soikeaan , joista kumpikin on jatkettu toisiaan kohti ja on munan muotoinen .

$\textstyle {\frac {c}{a}}=1$ , tuo on $\textstyle a=c$

Yhtälön oikea puoli suorakaiteen muotoisina koordinaatteina (katso edellä) katoaa ja käyrästä tulee Bernoulli-lemniskaatti .

$\textstyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}}}<{\frac {c}{a}}<1$ , tuo on $\textstyle c<a<c{\sqrt {2}}$

Käyrässä on neljä symmetristä käännepistettä (yksi jokaisessa koordinaattineljänneksessä). Kaarevuus akselin leikkauspisteissä pyrkii nollaan, kun se pyrkii, ja äärettömyyteen, kun se pyrkii .

OY

a

c

a

c{\sqrt {2}}

$\textstyle 0<{\frac {c}{a}}\leqslant {\frac {1}({\sqrt {2}}}}$ , tuo on $\textstyle a\geqslant c{\sqrt {2}}$

Käyrästä tulee soikea , eli kupera suljettu käyrä .

$\textstyle {\frac {c}{a}}=0$ , eli milloin $\textstyle c=0$ $\textstyle a\neq 0$

Kun suhde kasvaa (eli pyrkii nollaan), käyrä pyrkii ympyrään , jonka säde on . Jos , niin suhde saavuttaa nollan, jolloin käyrä degeneroituu ympyräksi.

a

\textstyle {\frac {c}{a}}

a

c = 0

\textstyle {\frac {c}{a}}

Ominaisuudet

Cassinin ovaali on neljännen kertaluvun algebrallinen käyrä .
Se on symmetrinen polttopisteiden välisen segmentin keskikohdan suhteen.
At :lla on kaksi absoluuttista maksimiarvoa ja kaksi minimiä: $0<a<c{\sqrt {2}}$

{\begin{cases}x=\pm {\frac {{\sqrt {4c^{4}-a^{4)))){2c}}\\y=\pm {\frac {a^{2 }}{2c}}\end{cases}}

Absoluuttisten maksimien ja minimien pisteiden paikka on sädeympyrä, joka on keskitetty polttopisteiden välisen segmentin keskelle.

c

Kohteessa , käyrällä on neljä käännepistettä . Niiden napakoordinaatit ovat: $c<a\leqslant c{\sqrt {2}}$

{\begin{cases}\rho ={\sqrt[ {4}]{{\frac {a^{4}-c^{4}}{3))))\\\cos 2\varphi =-{ \sqrt {{\frac {1}{3}}\left({\frac {a^{4}}{c^{4}}}-1\right)))\end{cases}}

Käännepisteiden lokus on kärkipisteinen lemniskaatti .

\left(0;\pm c\oikea)

Kaarevuussäde esitystä varten napakoordinaateissa :

R={\frac {a^{2}\rho }{\rho ^{2}+c^{2}\cos {2\varphi ))}={\frac {2a^{2}\rho ^{ 3}}{c^{4}-a^{4}+3\rho ^{4}}}

Sovellus

Kaksiasentoisella tutkalla kohteen havaitsemisalue on Cassinin ovaalin rajoittama luku, jos otamme yhdeksi sen fokuksen säteilylähteen sijainnin ja toiseksi vastaanottimen sijainnin. Vastaavasti tähtitieteessä, kun tarkkaillaan esimerkiksi Auringon heijastuneen valon kanssa loistavia asteroideja , niiden havaitsemisen olosuhteet tietyllä kaukoputken herkkyydellä kuvataan Cassinin ovaalikaavalla. Tässä tapauksessa havaittavuusraja on pinta, joka muodostuu ovaalin kiertymisestä Auringon ja havaitsijan yhdistävän akselin ympäri.

Cassini soikeat toruksessa (toroidi)

Cassini-ovaalit näkyvät toruksen litteinä osina , mutta vain silloin, kun leikkaustaso on yhdensuuntainen toruksen akselin kanssa ja sen etäisyys akselista on yhtä suuri kuin ympyrän generatrixin säde (katso kuva).

Yleistykset

Cassini-ovaali on lemniskaatin erikoistapaus .

Cassinin soikea on Perseuksen käyrän erikoistapaus .

Erityisesti Perseus-käyrän yhtälö suorakulmaisessa koordinaatistossa

(x^2 + y^2)^2 = ax^2 + by^2 + c

kun menee Cassinin soikean yhtälöön ${\displaystyle a=-b=2c^{2},c=a^{4}-c^{4))$

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Katso myös

Kirjallisuus

Mathematical Encyclopedia (5 osassa), Moskova, "Soviet Encyclopedia", 1982, v. 2 D - Koo, s. 759.
Markushevich A. I. Merkittäviä käyriä , Suosittuja matematiikan luentoja Arkistoitu 26. elokuuta 2017 Wayback Machinessa , numero 4, Gostekhizdat 1952 , 32 s.

Muistiinpanot

↑ E. Sklyarevsky . Cassini space ovals Arkistoitu 5. joulukuuta 2008 Wayback Machinessa .

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
muu	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

muu

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
muu	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto