Jacobin elliptiset funktiot

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 2.1.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Jacobin elliptiset funktiot ovat joukko kompleksisen muuttujan elliptisiä perusfunktioita ja aputhetafunktioita , jotka liittyvät suoraan joihinkin sovellettuihin ongelmiin (esimerkiksi heiluriyhtälö ). Niillä on myös hyödyllisiä analogioita trigonometristen funktioiden kanssa , kuten vastaava merkintätapa osoittaa . Ne eivät ole helpoin tapa kehittää yleistä teoriaa, kuten äskettäin todettiin: tämä voidaan tehdä Weierstrassin elliptisten funktioiden perusteella . Jacobin elliptisissä funktioissa on kaksi yksinkertaista napaa ja kaksi yksinkertaista nollaa pääsuunnikasessa. $\operaattorinimi{\mathrm{sn))$ $\synti$

Johdanto

On olemassa elliptinen funktio, jolla on yksi toisen asteen napa ja kaksi yksinkertaista nollaa pääsuunnikasessa; tämä on "elliptinen Weierstrass-funktio". Hyödyllisempiä ovat kuitenkin "Jacobi-elliptiset funktiot", joissa on kaksi yksinkertaista napaa ja kaksi yksinkertaista nollaa kussakin pääsuunnikasessa. Jokainen näistä funktioista pääsuunnikasessa ottaa minkä tahansa arvon tarkalleen kahdesti.

Nimitys

Elliptisten funktioiden kohdalla voi kohdata erilaisia merkintöjä, jotka voivat sekoittaa asian olemuksen. Elliptiset funktiot ovat kahden muuttujan funktioita. Ensimmäinen muuttuja voidaan antaa amplitudina tai tavallisesti alla esitetyllä tavalla. Toinen muuttuja voidaan antaa parametrina , joko elliptisenä moduulina , missä , tai modulaarisena kulmana , missä . $\varphi$ $u$ $m$ $k$ $k^{2}=m$ ${\mbox{æ}}$ $m=\sin ^{2}{\mbox{æ))$

Määritelmä elliptisten integraalien käänteisarvoina

Yllä oleva määritelmä meromorfisten funktioiden suhteen on abstrakti. On olemassa yksinkertaisempi, mutta täysin vastaava määritelmä, joka määrittelee elliptiset funktiot ensimmäisen tyypin epätäydellisen elliptisen integraalin käänteismuodoissa. Päästää

u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}.

Elliptinen funktio on annettu muodossa ${\näyttötyyli \operaattorinimi {sn} u}$

\operaattorin nimi {sn} u=\sin \varphi

ja päättäväinen ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {cn} u}$

\operaattorinimi {cn} u=\cos \varphi ,

\operatorname {dn} u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi )).

Tässä kulmaa kutsutaan amplitudiksi . jota kutsutaan delta-amplitudiksi . Arvo on vapaa parametri, jonka oletetaan olevan todellinen alueella , joten elliptiset funktiot ovat kahden argumentin: amplitudin ja parametrin funktioita . $\varphi$ $\operaattorin nimi {dn} u=\Delta (u)$ $m$ $0\leqslant m\leqslant 1$ $\varphi$ $m$

Loput yhdeksän elliptistä funktiota on helppo rakentaa kolmesta yllä olevasta. Tämä tehdään alla.

Huomaa, että kun , sitten on yhtä suuri kuin neljännes jaksosta . $\varphi =\pi /2$ $u$ $K$

Määritelmä theta-funktioina

Vastaavasti Jacobin elliptiset funktiot voidaan määritellä θ-funktioilla . Jos määrittelemme muodon ja vastaavasti ( theta vakiot ) niin elliptinen moduuli on . Olettaen , saamme $\vartheta (0;\;\tau )$ $\vartheta$ $\vartheta _{01}(0;\;\tau ),\vartheta _{10}(0;\;\tau ),\;\vartheta _{11}(0;\;\tau )$ $\vartheta _{01},\;\vartheta _{10},\;\vartheta _{11}$ $k$ $k=\left({\frac {\vartheta _{10}}{\vartheta }}\right)^{2}$ $u=\pi \vartheta ^{2}z$

\operaattorinnimi {sn} (u;\;k)=-{\frac {\vartheta \vartheta _{11}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01 }(z;\;\tau )}},

\operaattorinnimi {cn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta _{10}(z;\;\tau )}{\vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\;\tau )}},

\operaattorinimi {dn} (u;\;k)={\frac {\vartheta _{01}\vartheta (z;\;\tau )}{\vartheta \vartheta _{01}(z;\ ;\tau )}}.

Koska Jacobin funktiot määritellään elliptisen moduulin avulla, on tarpeen löytää niiden käänteiset ja ilmaista ne funktiona . Aloitetaan lisämoduulilla . Kuinka kirjoittaa funktio $k(\tau )$ $\tau$ $k$ $k'={\sqrt {1-k^{2}}}$ $\tau$

k'(\tau )=\left({\frac {\vartheta _{01}}{\vartheta }}\right)^{2}.

Otetaan käyttöön merkintä

\ell ={\frac {1}{2}}{\frac {1-{\sqrt {k'}}}{1+{\sqrt {k'}}}}={\frac {1 }{2}}{\frac {\vartheta -\vartheta _{01}}{\vartheta +\vartheta _{01}}}.

Määrittelemme myös nomen nimellä ja laajennamme sitä nomen voimavaroilla . Saada $q$ $q=\exp(\pi i\tau )$ $\ell$ $q$

\ell ={\frac {q+q^{9}+q^{25}+\ldots }{1+2q^{4}+2q^{16}+\ldots )).

Käänteinen sarja antaa

q=\ell +2\ell ^{5}+15\ell ^{9}+150\ell ^{13}+1707\ell ^{17}+20910\ell ^{21}+268616\ ell ^{25}+\ldots

Koska voimme tarkastella erikoistapausta, jossa imaginaariosa on suurempi tai yhtä suuri kuin , voimme sanoa, että arvo on pienempi tai yhtä suuri kuin . Tällaisilla pienillä arvoilla yllä oleva sarja konvergoi hyvin nopeasti, mikä helpottaa sopivan arvon löytämistä . $\tau$ ${\sqrt {3}}/2$ $q$ $\exp(-\pi {\sqrt {3}}/2)$ $q$

Muut ominaisuudet

Muuttamalla kahden kirjaimen järjestystä funktioiden nimessä ne yleensä tarkoittavat käänteistä kolmelle yllä olevalle funktiolle:

\operaattorinnimi {ns} (u)=1/\operaattorin nimi {sn} (u),

\operaattorinnimi {nc} (u)=1/\operaattorin nimi {cn} (u),

\operaattorinnimi {nd} (u)=1/\operaattorin nimi {dn} (u).

Kolmen pääfunktion suhteet on merkitty osoittajan ensimmäisellä kirjaimella, joka seuraa nimittäjän ensimmäistä kirjainta:

\operaattorinnimi {sc} (u)=\operaattorin nimi {sn} (u)/\operaattorin nimi {cn(u)} ,

\operaattorinimi {sd} (u)=\operaattorinimi {sn} (u)/\operaattorinnimi {dn(u)} ,

\operaattorinnimi {dc} (u)=\operaattorin nimi {dn} (u)/\operaattorin nimi {cn(u)} ,

\operaattorinnimi {ds} (u)=\operaattorin nimi {dn} (u)/\operaattorin nimi {sn(u)} ,

\operaattorinnimi {cs} (u)=\operaattorin nimi {cn} (u)/\operaattorin nimi {sn(u)} ,

\operaattorinnimi {cd} (u)=\operaattorin nimi {cn} (u)/\operaattorin nimi {dn(u)} .

Kirjoitetaanpa lyhyesti

\operaattorinimi {pq} (u)={\frac {\operaattorinnimi {pr} (u)}{\operaattorinimi {qr(u)} )),

jossa kaikki kirjaimet , ja ovat mitä tahansa kirjaimia , , , (muista, että ). ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {p} }$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {q} }$ ${\näyttötyyli \operaattorinimi {r} }$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {s} }$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {c} }$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {d} }$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {n} }$ $\operaattorinnimi {ss} =\operaattorinnimi {cc} =\operaattorinnimi {dd} =\operaattorinnimi {nn} =1$

Lisälauseet

Funktiot täyttävät kaksi algebrallista relaatiota

\operaattorinnimi {cn} ^{2}+\operaattorin nimi {sn} ^{2}=1,

\operaattorinnimi {dn} ^{2}+k^{2}\operaattorin nimi {sn} ^{2}=1.

Voidaan nähdä, että ( , , ) parametrisoi elliptisen käyrän , joka on kahden edellä olevan kahdella yhtälöllä määritellyn nelikulman leikkauspiste. Voimme nyt määritellä ryhmälain tämän käyrän pisteille käyttämällä lisäkaavoja Jacobi-funktioille ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {cn} }$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {sn} }$ ${\näyttötyyli \operaattorinimi {dn} }$

\operaattorinimi {cn} (x+y)={\frac {\operaattorinimi {cn} (x)\,\operaattorinimi {cn} (y)-\operaattorinimi {sn} (x)\,\operaattorinimi { sn} (y)\,\operaattorinnimi {dn} (x)\,\operaattorin nimi {dn} (y)}{1-k^{2}\,\operaattorin nimi {sn} ^{2}(x)\, \operaattorin nimi {sn} ^{2}(y)}},

\operaattorinimi {sn} (x+y)={\frac {\operaattorinimi {sn} (x)\,\operaattorinimi {cn} (y)\,\operaattorinimi {dn} (y)+\operaattorinimi { sn} (y)\,\operaattorinnimi {cn} (x)\,\operaattorin nimi {dn} (x)}{1-k^{2}\,\operaattorin nimi {sn} ^{2}(x)\, \operaattorin nimi {sn} ^{2}(y)}},

\operaattorinnimi {dn} (x+y)={\frac {\operaattorinimi {dn} (x)\,\operaattorinimi {dn} (y)-k^{2}\,\operaattorinnimi {sn} ( x)\,\operaattorin nimi {sn} (y)\,\operaattorin nimi {cn} (x)\,\operaattorin nimi {cn} (y)}{1-k^{2}\,\operaattorin nimi {sn} ^{ 2}(x)\,\operaattorin nimi {sn} ^{2}(y)}}.

Trigonometriset ja hyperboliset funktiot elliptisen erikoistapauksena

Jos , niin $m = 1$

u=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\theta ))))=\operaattorinimi {ln } \left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\operaattorinimi {tg} \varphi \right).

Täältä

\sin \varphi =\operaattorinimi {sn} \,u={\frac {e^{2u}-1}{e^{2u}+1}}=\operaattorinimi {th} \,u.

Täältä

\operaattorinnimi {cn}\,u={\sqrt {1-\operaattorinnimi {sn}^{2}\,u}}={\frac {1}{\operaattorinnimi {ch}\,u}}

\operaattorinnimi {dn} \,u={\sqrt {1-\operaattorinimi {sn} ^{2}\,u}}={\frac {1}{\operaattorinimi {ch} \,u}} .

Siten klo , elliptiset funktiot rappeutuvat hyperbolisiksi . $m = 1$

Jos , niin $m = 0$

u=\int \limits _{0}^{\varphi }d\theta =\varphi .

Täältä

\sin \varphi =\sin \,u=\operaattorinimi {sn} \,u,

yhtä hyvin kuin

\operaattorin nimi {cn} \,u=\cos \,u,

\operaattorinimi {dn} \,u=1.

Siten klo , elliptiset funktiot rappeutuvat trigonometrisiksi funktioiksi . $m = 0$

Funktioiden neliöiden välinen suhde

Näiden funktioiden neliöille seuraavat suhteet ovat tosia

-\operaattorinnimi {dn} ^{2}(u)+m_{1}=-m\;\operaattorin nimi {cn} ^{2}(u)=m\;\operaattorinnimi {sn} ^{2 }(u)-m,

-m_{1}\;\operaattorinnimi {nd} ^{2}(u)+m_{1}=-mm_{1}\;\operaattorin nimi {sd} ^{2}(u)=m\ ;\operaattorinimi {cd} ^{2}(u)-m,

m_{1}\;\operaattorinnimi {sc} ^{2}(u)+m_{1}=m_{1}\;\operaattorin nimi {nc} ^{2}(u)=\operaattorinnimi {dc } ^{2}(u)-m,

\operaattorin nimi {cs} ^{2}(u)+m_{1}=\operaattorinimi {ds} ^{2}(u)=\operaattorin nimi {ns} ^{2}(u)-m,

missä ja . $m+m_{1}=1$ $m=k^{2}$

Neliöiden lisää yhtäläisyyksiä voidaan saada huomioimalla, että , ja , missä , ovat mitkä tahansa kirjaimet , , , ja . $\operaattorinimi {pq}^{2}\cdot \operaattorinimi {qp}^{2}=1$ $\operaattorinnimi {pq}=\operaattorinnimi {pr}/\operaattorinnimi {qr}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {p} }$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {q} }$ ${\näyttötyyli \operaattorinimi {r} }$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {s} }$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {c} }$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {d} }$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {n} }$ $\operaattorinnimi {ss} =\operaattorinnimi {cc} =\operaattorinnimi {dd} =\operaattorinnimi {nn} =1$

Nome

Olkoon nom yhtä suuri ja argumentin oltava . Tällöin funktiot voidaan esittää Lambertin summina $q=\exp(-\pi K'/K)$ $v=\pi u/(2K)$

\operatorname {sn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m))))\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^ {n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin(2n+1)v,

\operatorname {cn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m))))\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^ {n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos(2n+1)v,

\operatorname {dn} (u)={\frac {\pi }{2K}}+{\frac {2\pi }{K}}\sum _{n=1}^{\infty }{ \frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos 2nv.

Ratkaisut epälineaarisiin tavallisiin differentiaaliyhtälöihin

Kolmen Jacobin elliptisen perusfunktion johdannaiset kirjoitetaan seuraavasti:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {sn} \,(z;\;k)=\mathrm {cn} \,(z;\ ;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {cn} \,(z;\;k)=-\mathrm {sn} \,(z; \;k)\,\mathrm {dn} \,(z;\;k),

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {dn} \,(z;\;k)=-k^{2}\mathrm {sn} \,(z;\;k)\,\mathrm {cn} \,(z;\;k).

Käyttämällä lausetta, jonka muotoilu on annettu edellä , annetulle ( ) yhtälölle, jonka ratkaisut ovat Jacobin elliptisiä funktioita: $k$ $0<k<1$

$\mathrm {sn} \,(x;\;k)$ on ratkaisu yhtälöön ja ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+k^{2})y-2k^{2}y^ {3}=0$ $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2 }y^{2});$

$\mathrm {cn} \,(x;\;k)$ on ratkaisu yhtälöön ja ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^ {3}=0$ $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2 }+k^{2}y^{2});$

$\mathrm {dn} \,(x;\;k)$ on ratkaisu yhtälöön ja ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2))}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0$ $\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-k^{2 }-y^{2}).$

Linkit

Weisstein, Eric W. Jacobi Elliptic Functions (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Elliptiset funktiot (downlink) - Proseduurit Matlabille

Kirjallisuus

Bobylev D.K. Elliptiset integraalit ja funktiot // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 osassa (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. toim. Matemaattisten funktioiden käsikirja kaavoilla, kaavioilla ja matemaattisilla taulukoilla . – New York: Dover, 1972. Katso luku 16

Akhiezer N. I. Elliptisten funktioiden teorian elementit (neopr.) . - M .: Nauka, 1970.

Watson J. N., Whittaker E. T. Modernin analyysin kurssi. Osa 2. Transsendenttiset funktiot . - M . : Mir, 1963. (Venäjän kieli) tai Moskova: URSS, 2010

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
muu	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

muu

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
muu	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto