Säännöllinen moniulotteinen polyhedra

Säännöllinen n - ulotteinen polytooppi on n - ulotteinen euklidinen avaruuspolytooppi , joka on jossain mielessä symmetrisin. Säännöllisiä kolmiulotteisia monitahoja kutsutaan myös platonisiksi kiintoaineiksi .

Historia

Ludwig Schläfli teki säännöllisen moniulotteisen monitahoisen luokituksen . [yksi]

Määritelmä

N - ulotteisen polytoopin lippu on joukko sen kasvoja , jossa on polytoopin P -ulotteinen pinta ja . $P$ $F=(F_{0},F_{1},\pisteet ,F_{{n-1}})$ $F_{i}$ $i$ $F_{i}\subseteq F_{{n-1}}$ $i=1,2,\pisteet,n-1$

Säännöllinen n -ulotteinen polyhedron on kupera n - ulotteinen monitahoinen , Jolle tahansa kahdelle sen lipuista ja on liike , joka kestää . $P$ $F$ $F'$ $P$ $F$ $F'$

Luokitus

Dimension 4

Tavallisia neliulotteisia polyhedraja (monisoluisia) on kuusi:

Nimi	Schläfli- symboli	Cell	Solujen lukumäärä	Kasvojen lukumäärä	Reunojen lukumäärä	Huippupisteiden lukumäärä
Viisisoluinen	{3,3,3}	säännöllinen tetraedri	5	kymmenen	kymmenen	5
tesserakti	{4,3,3}	kuutio	kahdeksan	24	32	16
Heksadesimaalinen solu	{3,3,4}	säännöllinen tetraedri	16	32	24	kahdeksan
kaksikymmentäneljä solua	{3,4,3}	oktaedri	24	96	96	24
120 solua	{5,3,3}	dodekaedri	120	720	1200	600
Kuusisataa solua	{3,3,5}	säännöllinen tetraedri	600	1200	720	120

Mitat 5 ja enemmän

Jokaisessa korkeammassa ulottuvuudessa on 3 säännöllistä polyhedraa ( polytooppia ):

Nimi	Schläfli-symboli
n - mittainen säännöllinen simpleksi	{3;3;...;3;3}
n -ulotteinen hyperkuutio	{4;3;...;3;3}
n - ulotteinen hyperoktaedri	{3;3;...;3;4}

Geometriset ominaisuudet

Kulmat

Säännöllisen n-ulotteisen polytoopin (n-1)-ulotteisten vierekkäisten pintojen välinen dihedraalinen kulma, joka on annettu sen Schläfli-symbolilla , saadaan kaavalla [2] [3] [4] : $\{p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{{N-3}},p_{{N-2}},p_{{N-1}}\}$

\sin ^{2}\beta ={\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{{n-1))))}{1-{\frac {\cos ^{2 }{\frac {\pi }{p_{{n-2))))}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{{n-3))} )){{\frac {\ddots }{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{3)))){1-{\frac {\cos ^{2 }{\frac {\pi }{p_{2)))){1-\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{1))))))))))))))) )))) }

missä on puolet säännöllisen n-ulotteisen monitahoisen (n-1)-ulotteisten vierekkäisten pintojen välisestä kulmasta $\beeta$

Säteet, volyymit

Kirjoitetun N-ulotteisen pallon säde:

r_{N}=r_{N-1}\operaattorin nimi {tg} {\beta },

missä on kasvojen piirretyn (N-1)-ulotteisen pallon säde. $r_{{N-1}}$

N-ulotteisen polyhedronin tilavuus:

V_{N}={\frac {1}{N}}V_{{N-1}}A_{{N-1}}r_{N},

missä on (N-1)-ulotteisen pinnan tilavuus, on (N -1)-ulotteisten pintojen lukumäärä. $V_{{N-1}}$ $A_{{N-1}}$

Laatoitukset

Mitassa n = 4

Tesseact
kennot
Kaksikymmentäneljä

Mitassa n ≥ 5

Hyperkuutioiset hunajakennot

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Schläfli, L. (1901). "Theorie der vielfachen Kontinuität". Denkschriften der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft. 38:1-237.
↑ Sommerville DMY Johdatus n-mitan geometriaan . - Lontoo, 1929. - S. 189. - 196 s.
↑ Coxeter H.S.M. Regular Polytoopes . - Lontoo, 1948. - S. 134. - 321 s. Arkistoitu 5. toukokuuta 2016 Wayback Machinessa
↑ Rosenfeld B.A. Moniulotteiset tilat . - Tiede, 1966. - S. 193.

Linkit

Visuaalinen esimerkki YouTubesta

Tavalliset polytoopit (platoniset kiinteät aineet) 4D-muodossa (linkki ei saatavilla) (2003). Käyttöpäivä: 30. tammikuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 4. toukokuuta 2012. (määrätön)

E. Yu Smirnov. Heijastusryhmät ja säännölliset polyhedrat . - M. : MTSNMO, 2009. - 48 s. - ISBN 978-5-94057-525-2 .

E. B. Vinberg, O. V. Shvartsman. Diskreetit liikeryhmät vakiokaarevuusavaruuksista // Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderni prob. matto. Fundam. ohjeita. - 1988. - T. 29 . — S. 147–259 .

Polyhedra

oikea

Kolmiulotteinen (platoniset kiinteät aineet)	säännöllinen tetraedri Kuutio Oktaedri Dodekaedri ikosaedri
4D	Viisisoluinen tesserakti Heksadesimaalinen solu kaksikymmentäneljä solua 120 solua Kuusisataa solua
Suurempi koko (merkitty suluissa)	Tavallinen simpleksi Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaedri

Säännöllinen
ei-kupera

Kolmiulotteinen
kasvojen lukumäärän mukaan (merkitty suluissa)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraedri (4)
Pentaedri (5)
Heksaedri (6)
Heptahedron (7)
Oktaedri (8)
Enneaedri (9)
Dekaedri (10)
Endekaedri (11)
Dodekaedri (12)
Tridekaedri (13)
Tetradekaedri (14)
Pentadekaedri (15)
Heksadekaedri (16)
Heptadekaedri (17)
Oktadekaedri (18)
Enneadekaedri (19)
Ikosaedri (20)
Ikosotetraedri (24)
Triakontaedri (30)
Heksakontaedri (60)
Enneakontaedri (90)
Hektotriadioedri (132)
Apeiroedri (∞)

kupera

Archimedean kiinteät aineet

Katalonian ruumiit

Prismat
Kolmisivuinen prisma nelikulmainen prisma Viisikulmainen prisma Kuusikulmainen prisma Seitsenkulmainen prisma Kahdeksankulmainen prisma Yhdeksänkulmainen prisma Dekagonaalinen prisma 11-kulmainen prisma Kaksikulmainen prisma

Johnson polyhedra

Kaavat ,
lauseet ,
teoriat

Muut

Peruskuperat säännölliset ja homogeeniset polytoopit mitoissa 2–10
Perhe	A n	B n	I2(p ) / Dn	E6 / E7 / E8 / F4 / G2	H4
säännöllinen monikulmio	suorakulmainen kolmio	Neliö	Tavallinen p-gon	Tavallinen kuusikulmio	tavallinen viisikulmio
Tasainen monitahoinen	säännöllinen tetraedri	Säännöllinen oktaedri • Kuutio	puolikas kuutio		Säännöllinen dodekaedri • Säännöllinen ikosaedri
Tasainen monisoluinen	Viisisoluinen	16-soluinen • Tesseact	Semitesserakti	24-soluinen	120 solua • 600 solua
Homogeeninen 5-polytooppi	Tavallinen 5-simplex	5-ortoplex • 5-hyperkuutio	5-puolihyperkuutio
Homogeeninen 6-polytooppi	Tavallinen 6-simplex	6-ortoplex • 6-hyperkuutio	6-puolihyperkuutio	1 22 • 2 21
Homogeeninen 7-polytooppi	Tavallinen 7-simplex	7-ortoplex • 7-hyperkuutio	7-puolihyperkuutio	1 32 • 2 31 • 3 21
Homogeeninen 8-polytooppi	Tavallinen 8-simplex	8-ortoplex • 8-hyperkuutio	8-puolihyperkuutio	1 42 • 2 41 • 4 21
Homogeeninen 9-polytooppi	Tavallinen 9-simplex	9-ortoplex • 9-hyperkuutio	9-puolihyperkuutio
Homogeeninen 10-polytooppi	Tavallinen 10-simplex	10-ortoplex • 10-hyperkuutio	10-puolihyperkuutio
Univormu n - polytooppi	Säännöllinen n - simpleksi	n - ortoplex • n - hyperkuutio	n - puolihyperkuutio	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - viisikulmainen monitahoinen
Aiheet: Polytooppien perheet • Tavalliset polytoopit • Luettelo säännöllisistä polytoopeista ja niiden yhdisteistä