Verziera Agnesi

Verziera (versiera) Agnesi (joskus Agnesin lukko ) on tasokäyrä , pisteiden paikka, joille suhde pätee , missä on ympyrän halkaisija, on tämän ympyrän puolijohdin, kohtisuorassa . Agnesi versiera sai nimensä italialaisen matemaatikon Maria Gaetana Agnesin kunniaksi , joka tutki tätä käyrää. $M$ $\textstyle {\frac {BM}{BC}}={\frac {OA}{OB}}$ $OA$ $eKr$ $OA$

Historia

Pierre Fermat löysi vuonna 1630 käyrän ja sen asymptootin välisen alueen. Vuonna 1703 Guido Grandi , Fermatista riippumatta, kuvasi tämän käyrän rakennetta, ja vuonna 1718 hän kutsui sitä versieraksi ( italialainen Versiera , latinasta Versoria ), koska sen rakentamisessa käytettiin sini-versus- funktiota . [yksi]

Maria Agnesi julkaisi vuonna 1748 tunnetun yleistysteoksen Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana , jossa käyrää, kuten Grandin teoksessa, kutsuttiin versieriksi. Sattumalta italialaisella sanalla Versiera/Aversiera , joka on johdettu latinan sanasta Adversarius , oli myös merkitys "noita" (englanniksi witch ) [2] . Ehkä tästä syystä Cambridgen professori John Colson, joka käänsi Agnesin teoksen englanniksi, käänsi tämän sanan väärin, minkä seurauksena käyrää kutsutaan usein englanninkielisessä kirjallisuudessa Agnesin noidana .

Yhtälöt

$O=(0,0)$ , $A=(0,a)$

Suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä:

y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}

Johtopäätös

Versiossa olevan pisteen koordinaatit ovat , . ja määritelmän mukaan rakennamme osuuden $M$ $x = BM$ $y = OB$ $OA=a$

\textstyle {\frac {x}{BC}}={\frac {a}{y}}

Täältä

\textstyle BC={\frac {xy}{a}}

Toisaalta ympyräyhtälöstä löytyy: $eKr$

\textstyle \left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}

Tiedämme , joten ilmaisemme : $y = OB$ $x^{2}$

\textstyle x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}

Yhdistä molemmat lausekkeet : $eKr$

\textstyle {\frac {x^{2}y^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac { a}{2}}\oikea)^{2}

Neliöinti, kääntäminen ja sulkeet: $y^{2}$

\textstyle \left({\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1\right)y^{2}=ay

Ilmaisemme y:n (y=0 ei ole määritelmän mukaan sopiva):

\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}

Jos - tämä ei ole halkaisija , vaan ympyrän säde , yhtälö on: $a$

\textstyle y={\frac {8a^{3}}{4a^{2}+x^{2}}}

Parametrinen yhtälö:

{\begin{cases}x=a\,\operaattorinnimi {tg}\,\varphi \\y=a\cos ^{2}\varphi \end{cases))

, missä on ja välinen kulma

\varphi

OA

OC

Johtopäätös

Pisteen koordinaatit määräytyvät yksiselitteisesti ja välillä olevan kulman perusteella . Jos , ja , niin versierin määritelmän mukaan suhde voidaan muodostaa $M$ $\varphi$ $OB$ $OC$ $OB=y$ $BM = x$

\textstyle {\frac {OA}{y}}={\frac {x}{BC}}

$OA$ oletuksena on yhtä suuri kuin . Kolmiosta : , siis $a$ $OBC$ $BC=y\,\operaattorinimi {tg}\,\varphi$

\textstyle {\frac {a}{y}}={\frac {x}{y\,\operaattorinnimi {tg}\,\varphi }}

täältä . Korvaamme tämän kaavan käyrän yhtälöön: $x=a\,\operaattorinimi {tg}\,\varphi$

\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+a^{2}\,\operaattorin nimi {tg}^{2}\,\varphi }}

\textstyle y={\frac {a}{1+\,\operaattorinimi {tg}^{2}\,\varphi }}

Käyttämällä identiteettiä saamme

y=a\cos ^{2}\varphi

Napajärjestelmässä versiera -yhtälö on melko monimutkainen: sen löytämiseksi sinun on ratkaistava kuutioyhtälö :

\textstyle \rho \sin {\varphi }={\frac {a^{3}}{a^{2}+\rho ^{2}\cos ^{{2}}\varphi }}

\textstyle \rho ^{3}(\cos ^{2}\varphi \sin \varphi )+\rho (a^{2}\sin \varphi )-a^{3}=0

Tuloksena oleva kaava on kuitenkin liian monimutkainen ja hankala ollakseen käytännön arvoa.

Ominaisuudet

Verzier on kolmannen asteen käyrä .
Halkaisija on käyrän ainoa symmetria- akseli. $OA$
Käyrällä on yksi maksimi - ja kaksi käännepistettä - $A(0;a)$ $\textstyle P_{{1,2}}\left(\pm {\frac {a}({\sqrt {3))));{\frac {3a}{4}}\oikea)$
Vertexin läheisyydessä versier lähestyy halkaisijaltaan ympyrää . Pistettä kosketetaan ja käyrä osuu ympyrän kanssa. Tämä näkyy kaarevuussäteen arvona pisteessä : . $A$ $OA$ $A$ $A$ $\textstyle R_{A}={\frac {a}{2}}$
Kaavion alla oleva alue . Se lasketaan integroimalla yhtälö kaikille . $S=\pi a^{2}$ $\textstyle {\mathbb {R}}$
Version kiertokappaleen tilavuus asymptoottinsa ympäri (akseli ) . $HÄRKÄ$ $\textstyle V={\frac {\pi ^{2}a^{3}}{2}}$

Rakennus

Halkaisijaltaan ympyrä ja sen tangentti muodostetaan. Tangentilla valitaan referenssijärjestelmä, jonka origo on kosketuspisteessä. Valitun tangenttipisteen ja tangenttipisteen vastakkaisen ympyrän pisteen läpi rakennetaan suora viiva. Tämä viiva leikkaa ympyrän jossain pisteessä. Tämän pisteen läpi vedetään tangentin suuntainen viiva. Versiopiste sijaitsee tämän suoran ja valitun pisteen tangentin kohtisuoran leikkauskohdassa. $a$

Mielenkiintoisia faktoja

Ponnahduslauta - Neuvostoliiton laivaston Admiral Kuznetsov -lentokoneen rampin muodosti versier Agnesi. Kun kone poistuu rampilta, se on ihanteellisessa hyökkäyskulmassa nopeudella 180-200 km/h ( Su-27 :lle ). Teoriassa mikä tahansa lentoonlähtöpainoinen lentokone voi nousta ponnahduslaudalta. [3]

Katso myös

Kirjallisuus

Vygodsky M. Ya. Korkeamman matematiikan käsikirja. — M .: AST : Astrel , 2006.

Linkit

I. M. Vinogradov. Agnesi curl // Matemaattinen tietosanakirja. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja . - 1977-1985. (Venäjän kieli)
Yhtenäinen kokoelma digitaalisia koulutusresursseja . Haettu: 13. tammikuuta 2012. (määrätön)
Rakennusanimaatio . _ Käyttöpäivä: 13. tammikuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 14. maaliskuuta 2012.
Artikkeli Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquablesissa (fr.) . Haettu 15. kesäkuuta 2010. Arkistoitu alkuperäisestä 14. maaliskuuta 2012.
Artikkeli Wolfram MathWorld -verkkosivustolla . Haettu: 15. kesäkuuta 2010.
XahLee.org (englanniksi) . Haettu: 13. tammikuuta 2012.
Leslie Pacher. Matemaattinen "Wittch" (eng.) (linkki ei ole käytettävissä) . Käyttöpäivä: 13. tammikuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 14. maaliskuuta 2012.

Muistiinpanot

↑ C. Truesdell . Korjaus ja lisäykset sanaan 'Maria Gaetana Agnesi // Tarkan tieteen historian arkisto. - 1991. - Voi. 43. - s. 385-386. - doi : 10.1007/BF00374764 .
↑ Pietro Fanfani . Vocabolario dell' uso toscano, s. 334 Arkistoitu 2. toukokuuta 2014 Wayback Machinessa
↑ Kauneuden kihara ja jättiläisen varsijousi: Thread-simulaattori - menneisyys ja tulevaisuus . Haettu 21. elokuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 20. huhtikuuta 2012. (määrätön)

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Hienoa norjalaista Britannica (verkossa) Treccani

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
Muut	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

Muut

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
Muut	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto