Käyrän inversio

Käyrän inversio on tulos inversiooperaation soveltamisesta annettuun käyrään C . Kiinteän ympyrän suhteen, jonka keskipiste on O ja säde k , pisteen Q inversio on säteen OQ päällä oleva piste P ja OP • OQ = k 2 . Käyrän C inversio on joukko pisteitä P , jotka ovat käyrälle C kuuluvien pisteiden Q inversioita . Tämän konstruktion pistettä O kutsutaan inversiokeskukseksi , ympyrää inversioympyräksi ja k on inversion säde .

Käännös, jota käytetään kahdesti, antaa identtisen muunnoksen , joten käyrän käänteisversio samaan ympyrään nähden antaa alkuperäisen käyrän. Itse ympyrän pisteet muunnetaan itsekseen, jotta inversioympyrä ei muutu toiminnan aikana.

Yhtälöt

Pisteen ( x , y ) käänteisympyrän suhteen on ( X , Y ), jossa:

X={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},\ Y={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}

tai vastaavasti:

x={\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},\ y={\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}

Joten yhtälön f ( x , y ) = 0 määrittämän käyrän käänteisympyrän suhteen saadaan yhtälö:

f\left({\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},\ {\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}\ oikea)=0

Tästä yhtälöstä seuraa, että n-asteisen algebrallisen käyrän inversio ympyrän suhteen antaa algebrallisen käyrän, jonka aste on enintään 2 n .

Samalla tavalla kääntämällä parametristen yhtälöiden antama käyrä:

x = x(t),\ y = y(t)

yksikköympyrän suhteen on:

X=X(t)=\frac{x(t)}{x(t)^2 + y(t)^2},\ Y=Y(t)=\frac{y(t)}{x( t)^2 + y(t)^2}.

Tästä seuraa, että rationaalisen käyrän ympyräkäännös on myös rationaalinen käyrä.

Yleisemmin yhtälön f ( x , y ) = 0 antaman käyrän käänteisympyrän suhteen, jonka keskipiste on ( a , b ) ja säde k on

f\left(a+\frac{k^2(Xa)}{(Xa)^2+(Yb)^2},\ b+\frac{k^2(Yb)}{(Xa)^2+(Yb )^2}\oikea)=0.

Kääntämällä parametrisesti määritelty käyrä:

x = x(t),\ y = y(t)

samaan ympyrään nähden on:

X=X(t)=a+{\frac {k^{2}(x(t)-a)}{(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b )^{2}}},\ Y=Y(t)=b+{\frac {k^{2}(y(t)-b)}{(x(t)-a)^{2}+( y(t)-b)^{2}}}

Polaarisessa koordinaattijärjestelmässä yhtälöt ovat yksinkertaisempia, jos inversioympyrä on yksikköympyrä. Pisteen ( r , θ) käänteisympyrän suhteen on ( R , Θ), jossa

R={\frac {1}{r)),\ \Theta =\theta

tai vastaavasti:

r={\frac {1}{R)),\ \theta =\Theta

Siten käyrän inversio f ( r , θ ) = 0 saadaan yhtälöstä f (1/ R , Θ) = 0 ja käyrän käänteissuuntaus r = g (θ) olisi r = 1/ g ( θ ).

Esimerkkejä

Yllä olevan muunnoksen soveltaminen Bernoullin lemniskaattiin

(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})

tulee antamaan

a^{2}(u^{2}-v^{2})=1

on hyperbelin yhtälö. Koska inversio on birationaalinen muunnos ja hyperbola rationaalinen käyrä, tämä osoittaa, että lemniskaatti on myös rationaalinen käyrä, toisin sanoen käyrän suku on nolla. Jos käytämme inversiota Fermat-käyrään x n + y n = 1, jossa n on pariton, saamme

(u^{2}+v^{2})^{n}=u^{n}+v^{n}.

Jokaisella Fermat-käyrän rationaalisella pisteellä on vastaava rationaalinen piste tällä käyrällä, mikä antaa vastaavan lausunnon Fermatin viimeisestä lauseesta .

Erikoistapaukset

Yksinkertaisuuden vuoksi yksikköympyrää käytetään esimerkeissä käänteisympyränä. Inversion tulos muille ympyröille voidaan saada muuntamalla alkuperäinen käyrä.

Suora

Jos suora kulkee origon kautta, sen yhtälö napakoordinaateissa on θ = θ 0 , missä θ 0 on vakio. Yhtälö ei muutu käänteessä.

Yhtälö napakoordinaateissa suoralle, joka ei kulje origon kautta,

r\cos(\theta-\theta_0) = a

ja käyrän inversioyhtälö on

r = a\cos(\theta-\theta_0)

joka määrittää origon läpi kulkevan ympyrän. Inversion soveltaminen jo tähän ympyrään osoittaa, että origin läpi kulkevan ympyrän käänteissuunta on suora.

Piirit

Napakoordinaateissa ympyrän, joka ei kulje origon läpi, yleinen yhtälö on

r^2 - 2r_0 r\cos(\theta-\theta_0) + r_0^2 - a^2 = 0\quad(a,\r >0,\a \ne r_0),

missä a on säde ja ( r 0 , θ 0 ) ovat keskipisteen napakoordinaatit. Käänteiskäyrän yhtälö on

1 - 2r_0 r\cos(\theta-\theta_0) + (r_0^2 - a^2)r^2 = 0,

tai

r^2 - \frac{2r_0}{r_0^2 - a^2} r\cos(\theta-\theta_0) + \frac{1}{r_0^2 - a^2} = 0.

Tämä on ympyrän yhtälö, jolla on säde

A = \frac{a}{|r_0^2 - a^2|}

ja keskusta, jonka koordinaatit

(R_0,\ \Theta_0) = \vasen(\frac{r_0}{r_0^2 - a^2},\ \theta_0\oikea).

Huomaa, että R 0 voi olla negatiivinen.

Jos alkuperäinen ympyrä leikkaa yksikköympyrän, niin näiden kahden ympyrän keskipisteet ja leikkauspiste muodostavat kolmion, jonka sivut ovat 1, a, r0 ja tämä kolmio on suorakulmainen, jos

r_{0}^{2}=a^{2}+1.

Mutta yllä olevasta yhtälöstä seuraa, että alkuperäinen ympyrä osuu yhteen sen inversion kanssa vain siinä tapauksessa, että

r_{0}^{2}-a^{2}=1.

Siten ympyrän inversio osuu yhteen alkuperäisen ympyrän kanssa, jos ja vain jos ympyrä leikkaa yksikköympyrän suorassa kulmassa.

Yhteenveto ja yleistys kahdesta osasta:

Viivan tai ympyrän inversiosta tulee viiva tai ympyrä.
Jos alkuperäinen käyrä on suora, sen inversio kulkee inversiokeskuksen läpi. Jos alkuperäinen käyrä kulkee inversion keskustan läpi, inversio on suora.
Käänteinen käyrä osuu alkuperäiseen tarkalleen, kun käyrä leikkaa yksikköympyrän suorassa kulmassa.

Paraabelit, joiden inversion keskipiste on kärjessä

Paraabelin yhtälö, jos sitä kierretään niin, että akselista tulee vaakasuora, on x = y 2 . Napakoordinaateissa tästä tulee

r=\frac{\cos\theta}{\sin^2\theta}.

Käänteiskäyrän yhtälö olisi silloin

r=\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} = \sin\theta \tan\theta

ja tämä on Diokleksen cissoidi .

Kartioleikkaukset, joissa inversion keskipiste on kohdistettu

Kartioleikkauksen napakoordinaateissa oleva yhtälö, jossa fokus on origossa, on samankaltaisuuteen asti,

r={\frac {1}{1+e\cos \theta }}

missä e on epäkeskisyys. Tämän käyrän käänteisarvo olisi:

r=1+e\cos \theta

ja tämä on Pascalin etanayhtälö . Jos e = 0, tämä on inversion ympyrä. Jos 0 < e < 1, alkuperäinen käyrä on ellipsi ja sen käänteiskäyrä on suljettu käyrä, jonka origossa on eristetty piste . Jos e = 1, alkuperäinen käyrä on paraabeli ja sen käänteispiste on origossa kulmautunut kardioidi . Jos e > 1, alkuperäinen käyrä on hyperboli ja sen inversio muodostaa kaksi silmukkaa leikkauspisteen origossa.

Ellipsit ja hyperbolit, joiden inversiokeskukset ovat kärjessä

Ellipsin tai hyperbolin yleinen yhtälö on:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

Yhtälön muuntaminen siten, että origosta tulee kärki:

\frac{(xa)^2}{a^2}\pm\frac{y^2}{b^2}=1

ja muutoksen jälkeen:

\frac{x^2}{2a}\pm\frac{ay^2}{2b^2}=x

tai muuttamalla vakioita:

cx^{2}+dy^{2}=x

Huomaa, että edellä käsitelty paraabeli kuuluu nyt tähän kaavioon asettamalla c = 0 ja d = 1. Käänteiskäyrän yhtälö on:

\frac{cx^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{dy^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{x}{x^ 2+y^2}

tai

x(x^{2}+y^{2})=cx^{2}+dy^{2}

Tämä yhtälö kuvaa käyräperhettä, jota kutsutaan Sluze-konchoidiksi . Tämä perhe sisältää edellä kuvatun Diokles-kissoidin lisäksi Maclaurin-trisektorin ( d = −c /3) ja oikeanpuoleisen strofoidin ( d = −c ).

Ellipsit ja hyperbolit, joiden inversiokeskipisteet ovat keskellä

Ellipsi- tai hyperboliyhtälö:

cx^{2}+dy^{2}=1

käänteisoperaation jälkeen:

{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=cx^{2}+dy^{2))

ja tämä on Boothin lemniskaatti . Jos d = − c , tämä on Bernoullin lemniskaatti .

Kartioleikkaukset mielivaltaisella inversiopisteellä

Kartioleikkauksen (muu kuin ympyrä) inversio on kolmannen asteen ympyräkäyrä, jos inversion keskipiste on käyrällä, ja neljännen asteen kaksiympyrän muotoinen käyrä muuten. Kartioleikkaukset ovat rationaalisia, joten myös käänteiset käyrät ovat rationaalisia. Päinvastoin mikä tahansa rationaalinen kolmannen asteen ympyräkäyrä tai rationaalinen neljännen asteen kaksiympyräkäyrä on kartioleikkauksen käännös. Itse asiassa jokaisella näistä käyristä on oltava singulaarisuus, ja jos otamme tämän pisteen inversion keskipisteeksi, käänteiskäyrästä tulee kartioleikkaus. [1] [2]

Analagmaattiset käyrät

Analagmaattinen käyrä on käyrä, joka muuttuu itsestään käänteessä. Näitä ovat ympyrä , Cassinin soikea ja Maclaurin-trisector .

Katso myös

Käänteinen geometria
Inversio (geometria)

Muistiinpanot

↑ "Cubique Circulaire Rationnelle" Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquablesissa . Haettu 9. marraskuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 12. kesäkuuta 2021. (määrätön)
↑ "Quartique Bicirculaire Rationnelle" Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquablesissa . Haettu 9. marraskuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 12. kesäkuuta 2021. (määrätön)

Linkit

JW Stubbs. Uuden menetelmän soveltamisesta käyrien ja käyräpintojen geometriaan // Philosophical Magazine Series 3. - 1843. - Vol . 23 . — S. 338–347 .
J. Dennis Lawrence. Luettelo erityisistä tasokäyristä . - Dover Publications, 1972. - P. 43-46,121 . - ISBN 0-486-60288-5 .
Weisstein, Eric W. Inverse Curve (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Weisstein, Eric W. Anallagmatic Curve (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
"Inversion" Visual Dictionary Of Special Plane Curves -verkkosivustolla
"Inverse d'une Courbe par Rapport à un Point" Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquablesissa
Määritelmä MacTutor-sivustolla "Famous Curves" . Tämä sivusto sisältää myös esimerkkejä käänteiskäyristä ja Java-sovelman, jolla voit tarkastella käänteisiä käyriä luettelosta.

Käyrät

Määritelmät

Muuntunut

Ei-tasomainen

Litteä
algebrallinen

Kartioprofiilit

3. tilaus ( kuutio )

Elliptinen	Elliptinen käyrä Jacobin elliptiset funktiot Elliptinen integraali Elliptiset toiminnot
Muut	Verziera Agnesi Karteesinen arkki Maklauriinin trisektori Chirnhaus Ophiurida Strophoid Puolikuutioinen paraabeli Trident Diokleen sissoidi

4. tilaus

Lemniscates

Lähentäminen

Spline
- B-spline
- Kuutio
- monospline
- Tasoitus
- Täydellinen
- Eremiitti
beziers

Sykloidinen

Muut

Kiero maatila

Tasainen
transsendenttinen

Spiraalit	Arkhimedov Maatila Galilea hyperbolinen "Sauva" Kultainen clothoid logaritminen sinimuotoinen
Sykloidinen	trokoidi Cycloid Epitrochoid Episykloidi Hypotrochoid Hyposykloidi Quasitrochoid "Ruusu" quadrifolium Nopea laskeutuminen (brachistochrone, sykloidikaari)
Muut	Quadratrix sisäkorvakalvo ajojahti traktori trokoidi ketjun linja ylösalaisin kaareva vakio leveys sinusoidi Ribokura Super kaava Superellipsi Reuleaux'n kolmio monikulmio Lissajous-hahmot

fraktaali

Yksinkertainen	Gilbert Gosper lohikäärmeen käyrä Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologinen	Sierpinski-lautasliina Sierpinski matto Sieni Menger pyöreä fraktaali Apolloniuksen matto