Rombotypistetty ikosidodekaedri

Jokaisessa sen 120 identtisestä kärjestä yksi neliöpinta, yksi kuusikulmainen ja yksi dekagonaalinen pinta yhtyvät. Avaruuskulma kärjessä on täsmälleen ${\frac {3}{2}}\pi .$

Siinä on 180 yhtä pitkää kylkiluuta. 60 reunassa (neliö- ja kuusikulmiopintojen välillä) dihedraaliset kulmat ovat yhtä suuret 60 reunassa (neliön ja dekagonaalisen pinnan välillä) 60 reunassa (kuusikulmio- ja dekagonaalisten pintojen välillä) $\arccos \left(-{\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}}{6}}\right)\noin 159{,}09^{\circ },$ $\arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}\right)\noin 148{,}28^{\circ },$ $\arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\noin 142{,}62^{\circ }.$

Nimi "typistetty ikosidodekaedri", jonka Kepler antoi tälle monitahoiselle alun perin , voi olla harhaanjohtava. Tosiasia on, että katkaisutoimenpiteen tuloksena "leikkaamalla" 30 nelikulmaista pyramidia ikosidodekaedrista saat vain hieman erilaisen monitahoisen, jonka nelikulmaiset pinnat ovat kultaisia suorakulmioita , eivät neliöitä. Tuloksena oleva monitahoinen ei ole puolisäännöllinen; se on kuitenkin isomorfinen todellisen rombisen katkaistun ikosidodekaedrin kanssa ja siitä voidaan tehdä sellainen, jossa on pieni muodonmuutos.

Koordinaateissa

Rombinen katkaistu ikosidodekaedri voidaan järjestää karteesiseen koordinaattijärjestelmään siten, että sen kärkien koordinaatit ovat kaikki mahdollisia lukujoukkojen syklisiä permutaatioita

$(\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi +3)),$
$(\pm (2\Phi -2);\;\pm \Phi ;\;\pm (2\Phi +1)),$
$(\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi +1);\;\pm (3\Phi -1)),$
$(\pm (2\Phi -1);\;\pm 2;\;\pm (\Phi +2)),$
$(\pm \Phi ;\;\pm 3;\;\pm 2\Phi ),$

missä on kultaleikkauksen suhde . $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Tässä tapauksessa koordinaattien origo on monitahoisen symmetriakeskus sekä sen rajattujen ja puolikirjoitettujen pallojen keskipiste . $(0;0;0)$

Metrinen ominaisuudet

Jos katkaistulla ikosidodekaedrin reunalla on pituus , sen pinta-ala ja tilavuus ilmaistaan $a$

S=30\left(1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\noin 174{,}2920303a ^{2},

V=(95+50{\sqrt {5}})a^{3}\noin 206{,}8033989a^{3}.

Piirretyn pallon (joka kulkee monitahoisen kaikkien kärkien läpi ) säde on tällöin yhtä suuri kuin

R={\frac {1}{2}}{\sqrt {31+12{\sqrt {5}}}}\;a\noin 3{,}8023945a;

puolikirjoitetun pallon säde (koskee kaikkia reunoja niiden keskipisteissä) -

\rho ={\sqrt {{\frac {15}{2}}+3{\sqrt {5}}}}\;a\noin 3{,}7693771a.

On mahdotonta sovittaa palloa katkaistuun ikosidodekaedriin niin, että se koskettaa kaikkia kasvoja. Suurimman pallon säde, joka voidaan sijoittaa rombmuotoisen katkaistun ikosidodekaedrin sisään, jossa on reuna (se koskettaa vain kaikkia dekagonaalisia pintoja niiden keskuksissa) on $a$

r_{10}={\frac {1}{2}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\;a\n. 3{,}4409548a.

Etäisyydet monitahoisen keskipisteestä kuusikulmaisiin ja neliöpintoihin ovat vastaavasti suuremmat ja yhtä suuret $r_{10}$

r_{6}={\frac {1}{2}}{\sqrt {27+12{\sqrt {5}}}}\;a\n. 3{,}6685425a,

r_{4}={\frac {1}{2}}{\sqrt {29+12{\sqrt {5}}}}\;a\noin 3{,}7360680a.

Huomattavia ominaisuuksia

Kaikista platonisista kiinteistä aineista , Arkhimedoksen kiinteistä aineista ja Johnsonin kiinteistä aineista , joilla on tietyn reunan pituus, rombisella katkaistulla ikosidodekaedrilla on suurin tilavuus, suurin pinta-ala ja suurin halkaisija.

Kaikista platonisista kiinteistä aineista, Arkhimedoksen kiinteistä aineista ja Johnson-kiinteistä rombisella katkaistulla ikosidodekaedrilla on eniten pisteitä ja eniten reunoja (mutta ei eniten kasvoja - tässä snub dodekaedri on ensimmäinen ).

Muistiinpanot

↑ Weninger 1974 , s. 20, 40.
↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1963 , s. 437, 434.
↑ Lyusternik, 1956 , s. 184.

Linkit

Weisstein, Eric W. Rhombotrekattu ikosidodekaedri Wolfram MathWorldissä .

Kirjallisuus

M. Weninger . polyhedra mallit. - Maailma , 1974.
Monikulmiot ja polyhedrat // Alkeismatematiikan tietosanakirja. Kirja neljä. Geometria / Toim. P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevich , A. Ya. Khinchin . - M .: Valtion fyysisen ja matemaattisen kirjallisuuden kustantamo , 1963. - S. 382-447.
L. A. Lyusternik . Kuperia hahmoja ja polyhedraja. - M . : Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo , 1956.

Polyhedra

Oikea

Kolmiulotteinen (platoniset kiinteät aineet)	säännöllinen tetraedri Kuutio Oktaedri Dodekaedri ikosaedri
4D	Viisisoluinen tesserakti Heksadesimaalinen solu kaksikymmentäneljä solua 120 solua Kuusisataa solua
Suurempi koko (merkitty suluissa)	Tavallinen simpleksi Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaedri

Säännöllinen
ei-kupera

Kolmiulotteinen
kasvojen lukumäärän mukaan (merkitty suluissa)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraedri (4)
Pentaedri (5)
Heksaedri (6)
Heptahedron (7)
Oktaedri (8)
Enneaedri (9)
Dekaedri (10)
Endekaedri (11)
Dodekaedri (12)
Tridekaedri (13)
Tetradekaedri (14)
Pentadekaedri (15)
Heksadekaedri (16)
Heptadekaedri (17)
Oktadekaedri (18)
Enneadekaedri (19)
Ikosaedri (20)
Ikosotetraedri (24)
Triakontaedri (30)
Heksakontaedri (60)
Enneakontaedri (90)
Hektotriadioedri (132)
Apeiroedri (∞)

kupera

Archimedean kiinteät aineet

Katalonian ruumiit

Prismat
Kolmisivuinen prisma nelikulmainen prisma Viisikulmainen prisma Kuusikulmainen prisma Seitsenkulmainen prisma Kahdeksankulmainen prisma Yhdeksänkulmainen prisma Dekagonaalinen prisma 11-kulmainen prisma Kaksikulmainen prisma

Johnson polyhedra

Kaavat ,
lauseet ,
teoriat

Muut