Kupu (geometria)

Viisikulmainen kupoli (esimerkki)
Tyyppi	Monet kupolit
Schläfli-symboli	{ n } || t{ n }
kasvot	n kolmiota , n neliötä , 1 n - kulmio , 1 2 n - kulmio
kylkiluut	5n _
Huiput	3n _
Symmetria ryhmä	C n v , [1, n ], (* nn ), järjestys 2n
Kiertoryhmä	C n , [1, n ] + , ( nn ), kertaluku n
Kaksoispolyhedron	?
Ominaisuudet	kupera

Kupu  on kappale, joka on muodostettu yhdistämällä kaksi monikulmiota , joista toisella (alustalla) on kaksi kertaa niin monta sivua kuin toisella (yläpinta). Monikulmiot yhdistetään tasakylkisten kolmioiden ja suorakulmioiden avulla . Jos kolmiot ovat säännöllisiä ja suorakulmiot ovat neliöitä , kun taas kanta ja kärki ovat säännöllisiä monikulmioita , kupu on Johnson-polyhedron . Nämä kupolit, kolmi- , neli- ja viisikalteiset , voidaan saada ottamalla osia kuutioktaedrista , rombikubotaedrista ja rombikosidodekaedrista .

Kupua voidaan tarkastella prismana , jossa yksi monikulmioista on puoliksi supistettu yhdistämällä kärjet pareittain.

Kupulle voidaan antaa laajennettu Schläfli-symboli { n } || t{ n } edustaa säännöllistä monikulmiota {n}, joka on yhdistetty sen rinnakkaiseen typistettyyn kopioon, t{n} tai {2n}.

Kuput ovat prismatoidien alaluokka .

Esimerkkejä

Kuperien kupujen perhe

n	2	3	neljä	5	6
Nimi	{2} || t{2}	{3} || t{3}	{4} || t{4}	{5} || t{5}	{6} || t{6}
Kupoli	Diagonaalinen kupoli	Kolmikulmainen kupoli	Nelikulmainen kupoli	viiden rinteen kupoli	Kuusikulmainen kupoli (tasainen)
Aiheeseen liittyvä yhtenäinen polyhedra	Kolmisivuinen prisma	Cuboctahedron	Rombicubo- oktaedri	Rhombicos dodekaedri	Rombotry - kuusikulmainen mosaiikki

Edellä mainitut kolme polyhedraa ovat ei-triviaaleja kuperakupuja, joilla on säännölliset pinnat. " Kuusikulmainen kupoli" on litteä hahmo, ja kolmion muotoista prismaa voidaan pitää asteen 2 "kuvuna" (segmentin ja neliön kupoli). Kuitenkin kupolit, joissa on monia monikulmiosivuja, voidaan rakentaa vain epäsäännöllisillä kolmio- ja suorakaiteen muotoisilla pinnoilla.

Vertex-koordinaatit

Kupolin määritelmä ei vaadi pohjan ja yläpinnan oikeellisuutta, mutta on tarkoituksenmukaista ottaa huomioon tapaukset, joissa kupuilla on maksimaalinen symmetria, C n v . Tässä tapauksessa yläpinta on säännöllinen n -gon, kun taas pohja on säännöllinen 2n -gon tai 2n -gon, jolla on kaksi erilaista sivupituutta (yhden kautta) ja samat kulmat kuin tavallisella 2n -gonilla. Kupoli on kätevä sijoittaa koordinaattijärjestelmään siten, että sen pohja on xy -tasossa yläpinnan ollessa samansuuntainen tämän tason kanssa. Z - akseli on symmetria-akseli luokkaa n , peilitasot kulkevat tämän akselin läpi ja jakavat pohjan sivut. Ne myös puolittavat yläpinnan sivut tai kulmat tai molemmat. (Jos n on parillinen, puolet peileistä puolittaa sivut ja puolet kulmat. Jos n on pariton, jokainen peili puolittaa yläpinnan toisen sivun ja yhden kulman.) Numeroimme pohjan kärjet numeroilla V 1 - V 2 n , ja ylempien kasvojen kärjet - V 2 n +1 - V 3 n . Huippukoordinaatit voidaan sitten kirjoittaa seuraavasti:

• V 2 j −1 : ( r b cos[2π( j − 1) / n + α], r b sin[2π( j − 1) / n + α], 0)
• V 2 j : ( r b cos(2π j / n − α), r b sin(2π j / n − α), 0)
• V 2 n + j : ( r t cos(π j / n ), r t sin(π j / n ), h ),

jossa j = 1, 2, …, n .

Koska polygonit V 1 V 2 V 2 n +2 V 2 n +1 jne. ovat suorakulmioita, r b , r t ja α arvoille on rajoituksia . Etäisyys V 1 V 2 on

r b {[cos(2π / n − α) − cos α] 2 + [sin(2π / n − α) − sin α] 2 } 1⁄ 2 = r b {[cos 2 (2π / n − α) − 2cos(2π / n − α)cos α + cos 2 α] + [sin 2 (2π / n − α) − 2sin(2π / n − α) sin α + sin 2 α ] } 1⁄2 = r b {2[1 − cos(2π / n − α)cos α − sin(2π / n − α)sin α]} 1 ⁄ 2 = r b {2[1 − cos(2π / n − 2α)]} 1 ⁄ 2

ja etäisyys V 2 n +1 V 2 n +2 on

r t {[cos(π / n ) − 1] 2 + sin 2 (π / n )} 1 ⁄ 2 = r t {[cos 2 (π / n ) − 2cos(π / n ) + 1] + sin 2 (π / n )} 1 ⁄ 2 = r t {2[1 − cos(π / n )]} 1 ⁄ 2 .

Niiden on oltava yhtä suuret, joten jos tämän yhteisen reunan pituus on s ,

r b = s / {2[1 − cos(2π / n − 2α)]} 1 ⁄ 2 r t = s / {2[1 − cos(π / n )]} 1 ⁄ 2

Ja nämä arvot tulisi korvata yllä olevilla kärkien kaavoilla.

Tähtikupolit

Tähtikupolien perhe

n / d	neljä	5	7	kahdeksan
3	{4/3}	{5/3}	{7/3}	{8/3}
5	—	—	{7/5}	{8/5}

tähtikupolien perhe

n / d	3	5	7
2	Ristitetty kolmion muotoinen kupoli	pentagrammin kupoli	Heptagram-kupoli
neljä	—	Ristikkäinen pentagrammikupoli	Ristitetty heptagrammikupoli

Tähtikuvut ovat olemassa kaikille kanteille { n / d }, joissa 6 / 5  <  n / d  < 6 ja d on pariton. Reunoilla kupolit muuttuvat litteiksi hahmoiksi. Jos d on parillinen, alempi kanta {2 n / d } rappeutuu - voimme muodostaa kupolin tai puolikupolin poistamalla tämän rappeutuneen pinnan ja antamalla kolmioiden ja neliöiden liittyä toisiinsa. Erityisesti tetrahemiheksaedria voidaan pitää {3/2}-kuvuna. Kaikki kupolit ovat suunnattuja , kun taas kaikki kupolit ovat suuntaamattomia. Jos n / d > 2 kupulle, kolmiot ja neliöt eivät peitä koko alustaa ja pohjalle jää pieni kalvo, joka vain peittää reiän. Siten yllä olevan kuvan kupuissa {5/2} ja {7/2} on kalvot (ei täytetty), kun taas kupuissa {5/4} ja {7/4} ei ole.

Kupolin { n / d } tai kupolin korkeus h saadaan kaavalla . Erityisesti h = 0 rajoilla n / d = 6 ja n / d = 6/5, ja h on suurin, kun n / d = 2 (kolmioprisma, jossa kolmiot ovat pystysuorassa) [1] [2] .

Yllä olevissa kuvissa tähtikuvut on esitetty väreissä korostamaan niiden kasvoja - n / d - gon kasvot näkyvät punaisena, 2 n / d - gon kasvot näkyvät keltaisina, neliöt näkyvät sinisenä ja kolmiot ovat vihreitä. Kupuissa on punaiset n / d -kulmapinnat, keltaiset neliöpinnat ja kolmiomaiset pinnat, jotka on maalattu siniseksi, kun taas toinen pohja on poistettu.

Hyperdomes

Hyperkupu tai monitahoinen kupoli  on kuperia, epäyhtenäistä neliulotteista monitahoista perhettä, joka muistuttaa kupolia. Jokaisen tällaisen polyhedronin kanta on säännöllinen monitahoinen (kolmiulotteinen) ja sen jatke [3] .

Taulukossa käytetään käsitettä Segmentochora - luku, joka täyttää seuraavat ominaisuudet:

1. kaikki kärjet ovat samalla hyperpallolla 2. kaikki kärjet ovat kahdella rinnakkaisella hypertasolla 3. kaikkien reunojen pituus on 1

Tasossa on kaksi segmenttikulmiota (segmentogons) - säännöllinen kolmio ja neliö.

Kolmiulotteisessa avaruudessa ne sisältävät pyramideja, prismoja, antiprismoja, kupuja.

Nimi	Tetrahedraalinen kupoli		Cubic Dome		Octahedral kupoli		Dekahedrinen kupoli		Kuusikulmainen mosaiikkikupoli
Schläfli-symboli	{3,3} ∨ rr{3,3}		{4,3} ∨ rr{4,3}		{3,4} ∨ rr{3,4}		{5,3} ∨ rr{5,3}		{6,3} ∨ rr{6,3}
Segmentoitu kasvoindeksi [ 3]	K4.23		K4.71		K4.107		K4.152
Rajatun ympyrän säde	yksi		sqrt((3+sqrt(2))/2) = 1,485634		sqrt(2+sqrt(2)) = 1,847759		3+sqrt(5) = 5,236068
Kuva
Pääsolut
Huiput	16		32		kolmekymmentä		80		∞
kylkiluut	42		84		84		210		∞
kasvot	42	24 {3} + 18 {4}	80	32 {3} + 48 {4}	82	40 {3} + 42 {4}	194	80 {3} + 90 {4} + 24 {5}	∞
soluja	16	1 tetraedri 4 kolmioprismaa 6 kolmioprismaa 4 kolmioprismaa 1 kuutioktaedri	28	1 kuutio  6 neliöprismaa 12 kolmioprismaa  8 kolmiopyramidia  1  rombikuboktaedri	28	1 oktaedri  8 kolmioprismaa 12 kolmioprismaa  6 nelikulmaista pyramidia 1  rombikubotaedri	64	1 dodekaedri 12 viisikulmaista prismaa 30 kolmioprismaa 20 kolmiopyramidia  1  rombikosidodekaedri	∞	1 kuusikulmainen laatoitus ∞ kuusikulmainen prisma ∞ kolmioprisma ∞ kolmiopyramidi 1 rombinen kolmikulmainen laatoitus
Aiheeseen liittyvä yhtenäinen 4- polyhedra	Sijoitus 5-solu		Ranked Tesseract		Sijoitettu 24-soluinen		Sijoitettu 120 solu		Ranked Hexagonal Mosaic Honeycomb

Muistiinpanot

1. ↑ kupolit . Haettu 18. marraskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 3. kesäkuuta 2021. (määrätön)
2. ↑ puolikupolit . Haettu 18. marraskuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 13. huhtikuuta 2021. (määrätön)
3. ↑ 12 Klitzing, 2000 , s. 139-181.

Kirjallisuus

• NW Johnson . Kupera polyhedra säännöllisillä kasvoilla // Kanada. J Math. - 1966 .. - Numero. 18 . — S. 169–200 .
• DR. Richard Klitzing. Kupera Segmentochora. — Symmetria: kulttuuri ja tiede. - 2000. - T. 11. - S. 139-181.

Linkit

• Weisstein, Eric W. Cupola  (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
• Segmentotoopit

Polyhedra
Oikea	Kolmiulotteinen (platoniset kiinteät aineet) säännöllinen tetraedri Kuutio Oktaedri Dodekaedri ikosaedri 4D Viisisoluinen tesserakti Heksadesimaalinen solu kaksikymmentäneljä solua 120 solua Kuusisataa solua Suurempi koko (merkitty suluissa) Tavallinen simpleksi Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaedri
Säännöllinen ei-kupera	tähtikuvioinen dodekaedri Tähtikuvioinen ikosidodekaedri tähtikuvioinen ikosaedri tähti monitahoinen tähtikuvioinen oktaedri
Kolmiulotteinen kasvojen lukumäärän mukaan (merkitty suluissa)	Monohedron (1) Dihedron (2) Trihedron (3) Tetraedri (4) Pentaedri (5) Heksaedri (6) Heptahedron (7) Oktaedri (8) Enneaedri (9) Dekaedri (10) Endekaedri (11) Dodekaedri (12) Tridekaedri (13) Tetradekaedri (14) Pentadekaedri (15) Heksadekaedri (16) Heptadekaedri (17) Oktadekaedri (18) Enneadekaedri (19) Ikosaedri (20) Ikosotetraedri (24) Triakontaedri (30) Heksakontaedri (60) Enneakontaedri (90) Hektotriadioedri (132) Apeiroedri (∞)
kupera	Archimedean kiinteät aineet Cuboctahedron ikosidodekaedri katkaistu tetraedri katkaistu oktaedri Katkaistu ikosaedri katkaistu kuutio katkaistu dodekaedri Rombikuboktaedri Rombikosidodekaedri Katkaistu kuutioktaedri Rombotypistetty ikosidodekaedri snub-kuutio snub dodekaedri Katalonian ruumiit rombinen dodekaedri Rhombotriakontaedri Triakistetraedri Tetrakishexahedron Pentakisdodekaedri Triakisoktaedri Triakisikosaedri Deltoidaalinen ikositetraedri Deltoidaalinen heksekontaedri Heksakisoktaedri heksakisikosaedri Viisikulmainen ikositetraedri Viisikulmainen kuusikotaedri Prismat Kolmisivuinen prisma nelikulmainen prisma Viisikulmainen prisma Kuusikulmainen prisma Seitsenkulmainen prisma Kahdeksankulmainen prisma Yhdeksänkulmainen prisma Dekagonaalinen prisma 11-kulmainen prisma Kaksikulmainen prisma Johnson polyhedra neliön muotoinen pyramidi Viisikulmainen pyramidi Kolmikulmainen kupoli Nelikulmainen kupoli viiden rinteen kupoli viiden rinteen rotunda Pitkänomainen kolmiopyramidi Pitkänomainen nelikulmainen pyramidi Pitkänomainen viisikulmainen pyramidi Kierretty pitkänomainen nelikulmainen pyramidi Kierretty pitkänomainen viisikulmainen pyramidi kolmion muotoinen bipyramidi Viisikulmainen bipyramidi Pitkänomainen kolmion muotoinen bipyramidi Pitkänomainen nelikulmainen bipyramidi Pitkänomainen viisikulmainen bipyramidi Kierretty pitkänomainen nelikulmainen bipyramidi Pitkänomainen kolmion muotoinen kupoli Pitkänomainen lonkkakupoli Pitkänomainen viisisivuinen kupoli Pitkänomainen viiden rinteen rotunda Kierretty pitkänomainen kolmiokupoli Kierretty pitkänomainen nelikulmainen kupoli Kierretty pitkänomainen viisikulmainen kupoli Kierretty pitkänomainen viiden rinteen rotunda Gyrobifastigium Kolmikulmainen suora kaksikupu Nelikulmainen suora kaksikupu Nelikalteinen kaksikupu Viisi rinnettä suora kaksikupu Viisi kalteva kaksikupu Viisi rinnettä suora kupoli Viisi rinnettä käännetty kupoli-orotonda Viisi rinnettä suora birotunda Pitkänomainen kolmikulmainen suora kaksikupu Pitkänomainen kolmikulmainen pyörivä kaksikupu Pitkänomainen nelikulmainen gyrobicupole Pitkänomainen viisikulmainen suora kaksikupu Pitkänomainen viisikulmainen kaksikupu Pitkänomainen viisikulmainen suora kupoli Pitkänomainen viisirinteinen sorvattu kupoli Pitkänomainen viisirinteinen suora birotunda Pitkänomainen viisi rinnettä käännetty birotunda Kierretty pitkänomainen kolmikulmainen kaksikupu Kierretty pitkänomainen nelikulmainen kaksikupu Kierretty pitkänomainen viisikulmainen kaksikupu Kierretty pitkänomainen viisikulmainen kupoli Kierretty pitkänomainen viisikulmainen birotunda Jatkettu kolmioprisma Kaksinkertainen pidennetty kolmioprisma Kolminkertainen laajennettu kolmioprisma Jatkettu viisikulmainen prisma Kaksinkertainen pidennetty viisikulmainen prisma Jatkettu kuusikulmainen prisma Kaksoisvastakkainen laajennettu kuusikulmainen prisma Kaksinkertaisesti vinosti pidennetty kuusikulmainen prisma Kolminkertainen jatkettu kuusikulmainen prisma lisätty dodekaedri Dodekaedri kaksinkertaisesti laajennettu Dodekaedri kaksinkertaisesti laajennettu Kolminkertainen lisätty dodekaedri Kaksinkertainen vinosti leikattu ikosaedri Kolminkertaisesti leikattu ikosaedri Lisätty kolminkertaisesti leikattu ikosaedri Lisätty katkaistu tetraedri Lisätty katkaistu kuutio Kaksinkertaisesti lisätty katkaistu kuutio Lisätty katkaistu dodekaedri Dodekaedri katkaistu dodekaedri kahdesti laajennettuna Dodekaedri dodekaedri Kolminkertainen katkaistu dodekaedri Kierretty rombikosidodekaedri Kaksinkertaisesti kierretty rombikosidodekaedri Kaksinkertaisesti kierretty rombikosidodekaedri Kolmikierretty rombikosidodekaedri Leikkaa rombikosidodekaedri pois Vastakkaisesti kierretty katkaistu rombikosidodekaedri Vinosti kierretty katkaistu rombikosidodekaedri Kaksinkertaisesti kierretty katkaistu rombikosidodekaedri Kaksinkertainen vastakkainen leikkaus rombikosidodekaedri Kaksi kertaa vinosti leikattu rombikosidodekaedri Kierretty kaksinkertaisesti leikattu rombikosidodekaedri Trisektoitu rombikosidodekaedri squamous biclinoid Neliskulmainen antiprisma kiilakruunu Jatkettu kiilakruunu Suuri kiilakruunu Litistetty iso kiilakruunu Vyöllä varustettu klinikka Double Serporotonda Litistetty kolmiomainen klinorothondi Pyramidi Bipyramidi antiprisma Zonohedron Suuntaissärmiö Romboedri prismatoidinen Tetrahedron Katkaistu pyramidi Pentagondodekaedri yhdensuuntainen Kupoli Rotunda Birotonda Deltahedron Trapecerombinen dodekaedri Bilinsky dodekaedri Syklinen monitahoinen
Kaavat , lauseet , teoriat	Aleksandrovin pyyhkäisylause Bleeckerin lause Cauchyn polytooppilause Lindelöfin polytooppilause Minkowskin polyhedra-lause Sabitovin lause Eulerin lause polyhedralle Schläfli kaava
Muut	Schläfli-symboli Conway-merkintä Silashi-polyhedron Chasar-polyhedron Schoenhardtin monitaho Joustava polyhedron ( Steffen polyhedron ) Hanner-polyhedron Holyhedron Permutaatiopolyhedri Ortosentrinen tetraedri Isoedrinen tetraedri kuutiomainen Polyhedron ryhmä Dodekaedrit Kiinteä kulma yksikkökuutio Skannata Parketti Scutoid