Joustava polyhedron

Taivutettava monitahoinen on monitahoinen (tarkemmin sanottuna monitahoinen pinta ), jonka avaruudellista muotoa voidaan muuttaa jatkuvalla muodonmuutoksella ajassa, jossa jokainen pinta ei muuta kokoaan (eli se liikkuu kuin kiinteä kappale), ja muodonmuutos tapahtuu vain jatkuvan dihedral-kulmien muutoksen vuoksi . Tällaista muodonmuutosta kutsutaan monitahoisen jatkuvaksi taivutukseksi .

Esimerkkejä

• Ensimmäiset esimerkit joustavasta polyhedrasta rakensi belgialainen insinööri ja matemaatikko Raoul Bricard vuonna 1897 [1] . Niitä kutsutaan nykyään Bricard octahedraksi . Ne eivät ole vain ei-kuperia, vaan niissä on myös itsensä risteyksiä, mikä tekee niiden liikkuvan pahvimallin rakentamisen mahdottomaksi.

• Vuonna 1976 amerikkalainen matemaatikko Robert Connelly rakensi ensimmäisen kerran joustavan monitahoisen ilman itseleikkauksia [2] .

• Kaikista tällä hetkellä tunnetuista taivutettavista monitahoista , joissa ei ole itseleikkauskohtaa, saksalaisen matemaatikon Klaus Steffenin [3] rakentamassa polyhedrissä on pienin määrä pisteitä ( yhdeksän ) . Steffen-polyhedron on helppo leikata paperista (katso artikkeli).

• On esimerkkejä taipuisista polyhedraista, jotka ovat toruksen [4] tai Klein-pullon realisaatioita tai yleensä minkä tahansa topologisen suvun kaksiulotteista pintaa .

• Ensimmäisen tyypin taivutettava Bricard-oktaedri

• Toisen tyypin taivutettava Bricard-oktaedri

• Joustava Steffen-polyhedron

• Joustavan Steffen-polyhedronin kehittäminen

Ominaisuudet

Joustavan polyhedran teoriassa on monia kauniita ja ei-triviaaleja väitteitä. Seuraavat ovat tärkeimmät tähän mennessä todetut tosiasiat:

• Mikään kupera polyhedron ei voi olla joustava. Tämä seuraa välittömästi Cauchyn lauseesta kuperan monitahoisen ainutlaatuisesta määrittelystä, joka todistettiin vuonna 1813 .

• Schläflin kaavasta seuraa, että mikä tahansa taivutettava monitahoinen säilyttää taivutuksen aikana ns. kokonaiskeskimääräisen kaarevuuden, eli luku, joka on yhtä suuri kuin , missä on reunan pituus , on reunan sisäisen kaksitahoisen kulman arvo ja summa luettelee kaikki monitahoisen reunat [5] .

• Sabitovin lause : mikä tahansa taivutettava monitahoinen säilyttää tilavuutensa taivutuksen aikana , eli se taipuu, vaikka se olisi täytetty kokoonpuristumattomalla nesteellä [6] .

• Vuonna 2012 A. Gaifullin osoitti Sabitovin lauseen moniulotteisen analogin - mikä tahansa taivutettava monitahoinen ulottuvuus säilyttää tilavuutensa taivutuksen aikana. [7]

Muunnelmia ja yleistyksiä

Kaikki edellä mainitut viittasivat monitahoisiin kolmiulotteiseen euklidiseen avaruuteen. Yllä oleva joustavan polyhedronin määritelmä koskee kuitenkin sekä korkean ulottuvuuden avaruutta että ei-euklidisia avaruutta, kuten pallomaista avaruutta ja Lobatševskin avaruutta . Niistä tunnetaan myös sekä ei-triviaaleja lauseita että avoimia kysymyksiä. Esimerkiksi:

• Joustavia polyhedraja on kaikissa ulottuvuuksissa, sekä euklidisessa avaruudessa että pallomaisessa avaruudessa ja Lobatševskin geometriassa. Stachel rakensi esimerkkejä joustavan Bricard-oktaedrin analogeista kolmiulotteisessa pallossa ja Lobachevsky-avaruudessa . Ensimmäisen esimerkin joustavasta itsestään leikkaavasta neliulotteisesta monitahoisesta rakensi A. Waltz. Lopuksi Gaifullin rakensi esimerkkejä joustavista monitahoista kaikissa ulottuvuuksissa ja kaikissa kolmessa geometriassa (euklidinen, pallomainen, Lobatševski). [8] [9]

• Minkä tahansa ulottuvuuden pallomaisessa tilassa on joustava monitahoinen, jonka tilavuus ei ole vakio taivutusprosessin aikana. Aleksandrov [10] rakensi esimerkin tällaisesta itseleikkautuvasta polytoopista dimensiossa 3 vuonna 1997 , ja esimerkin ei-leikkautuvasta polytoopista minkä tahansa ulottuvuuden pallomaisessa tilassa rakensi A. A. Gaifullin vuoden 2015 artikkelissaan [ 11] . Päinvastoin, kolmiulotteisessa Lobatševskin avaruudessa ja yleensä minkä tahansa parittoman ulottuvuuden Lobatševskin avaruudessa joustavan polyhedronin tilavuus on säilytettävä (kuten euklidisessa tapauksessa). [12] [13] .

Avoimet kysymykset

• Onko totta, että Steffen-polyhedrissä on pienin määrä pisteitä kaikista taipuisista monitahoista, joilla ei ole itseleikkauskohtaa [14] ;

• Onko totta, että jos yksi monitahoinen, jolla ei ole itseleikkauksia, saadaan toisesta monitahoista, jolla ei myöskään ole itseleikkauksia, jatkuvalla taivutuksella, niin nämä monitahot ovat tasakoosteisia , eli ensimmäinen voidaan jakaa äärelliseksi määräksi tetraedrejä , jokainen näistä tetraedreistä voidaan siirtää avaruudessa muista riippumatta ja saada toisen monitahoisen osion [15] .

• Mitoista alkaen 4 ei tiedetä, onko olemassa joustavia ei-leikkautuvia monitahoja. [12]

• Ei tiedetä, päteekö paljelause (pitääkö tilavuus säilyttää taivutuksen alla) Lobatševskyn parillisen ulottuvuuden (4, 6,...) avaruudessa. [12]

Suosittu kirjallisuus

• V. A. Aleksandrov, Joustavat monitahoiset pinnat  (pääsemätön linkki) , Soros Educational Journal . 1997 nro 5. S. 112-117. Sama artikkeli julkaistiin uudelleen V. N. Soiferin ja Yu. P. Solovjovin toimittamassa kirjassa: Moderni luonnontiede . Tietosanakirja . Osa 3: Matematiikka ja mekaniikka M.: Nauka , M.: Flinta, 2000. ISBN 5-02-004299-4 .
• M. Berger , Geometry . M.: Mir, 1984. T. 1. S. 516-517.
• VA Zalgaller , Jatkuvasti joustava polyhedron , Kvant . 1978 nro 9. S. 13-19.
• A. I. Medyanik, The Connelly polyhedron model , Kvant . 1979 nro 7. S. 39. (Huomaa, että Connelly-polyhedronin kehitys on kerrottu samassa lehden takakannessa .)
• NIITÄ. Sabitov,. Monitahojen tilavuudet . — M.: MTsNMO , 2002. — 32 s.
• David A. Klarner . Matemaattinen kukkapuutarha. Artikkeli- ja tehtäväkokoelma = The Mathematical Gardner / Per. englannista. Yu. A. Danilova ; toim., esipuheella. ja sovellus. I. M. Yagloma . - M .: Mir, 1983. - S. 105-117. — 494 s.
• Luento 25, Tabachnikov S.L. Fuks D.B. Matemaattinen suuntaaminen . - MTSNMO, 2011. - 512 s. - 2000 kappaletta.  - ISBN 978-5-94057-731-7 .
• Elokuva " Flexible polyhedra ", sivusto Mathematical Etudes
• Todellinen matematiikka: joustava polyhedra YouTubessa

Tieteellinen kirjallisuus

• V. A. Aleksandrov, Uusi esimerkki joustavasta polyhedronista , Sibirsk. matto. -lehteä 1995. V. 36, nro 6. S. 1215-1224.
• N. H. Kuiper , Flexible polyhedral spheres , Robert Connellyn mukaan, Vol. toim. A. N. Kolmogorova ja S. P. Novikova : Pintojen metrinen teorian tutkimuksia. M.: Mir. 1980. S. 210-227.
• P. Connelly , Yhdestä lähestymistavasta joustamattomuuden ongelmaan . siellä. s. 164-209.
• R. Connelly , Joitakin oletuksia ja ratkaisemattomia kysymyksiä taivutusteoriassa . siellä. s. 228-238.
• I. G. Maksimov, Joustamaton polyhedra, jossa on pieni määrä pisteitä , Fundam. appl. matematiikka. 2006. Vol. 12, No. 1. S. 143-165.
• S. N. Mikhalev, Joitakin tarpeellisia metrisiä ehtoja jousituksen taivuttamiseksi , Vestnik MGU, Ser. Minä, 2001, ei. 3, 15-21.
• I. Kh. Sabitov , Monitahoisen tilavuus sen metriikan funktiona , Fundam. appl. matematiikka. 1996. Vol. 2, No. 4. S. 1235-1246.
• I. Kh. Sabitov , yleinen Heron-Tartaglia-kaava ja jotkut sen seurauksista , Mat. la 1998. Vol. 189, No. 10. S. 105-134.

Muistiinpanot

1. ↑ R. Bricard. Arkistoitu alkuperäisestä 17. heinäkuuta 2011, tällä hetkellä, Mémoire sur la théorie de l'octaèdre articulé . J Math. Pures Appl. 1897. 3 . s. 113-150 (katso myös englanninkielinen käännös ).
2. ↑ R. Connelly, Monitahoisten pintojen jäykkyys , Math. Mag. 52 (1979), nro. 5, 275-283.
3. ↑ M. Berger , Geometria . M.: Mir, 1984. T. 1. S. 516-517.
4. ↑ V. A. Aleksandrov, Uusi esimerkki joustavasta polyhedronista , Sib. matto. -lehteä 1995. V. 36, nro 6. S. 1215-1224.
5. ↑ R. Alexander, Lipschitzi-kartoitukset ja monitahoisten pintojen keskimääräinen kaarevuus. Minä , Trans. amer. Matematiikka. soc. 1985 Voi. 288, nro 2, 661-678.
6. ↑ I. Kh. Sabitov , Monitahoisen tilavuus sen reunojen pituuksien funktiona , Fundam. appl. matematiikka. 1996. V. 2, nro 1. S. 305-307.
7. ↑ A. Gaifullin. Sabitovin lauseen yleistys mielivaltaisiin mittoihin (2012). (määrätön)
8. ↑ H. Stachel , Flexible octahedra in the hyperbolic space , kirjassa toim. A. Prekopa: Ei-euklidiset geometriat. Janos Bolyain muistokirja. Papereita kansainvälisestä hyperbolista geometriaa käsittelevästä konferenssista, Budapest, Unkari, 6.-12.7.2002 . New York, NY: Springer. Mathematics and its Applications 581 , 209-225 (2006).
9. ↑ A. A. Gaifullin , Joustavat ristikkäiset polytoopit vakiokaarevissa tiloissa, Tr. MIAN , 286 (2014), 88–128.
10. ↑ V. Aleksandrov, Esimerkki joustavasta polyhedristä, jonka tilavuus ei ole vakio pallomaisessa avaruudessa, Beitr. Algebra Geom. 38 , nro 1, 11-18 (1997). ISSN 0138-4821.
11. ↑ A. A. Gaifullin, Sisäkkäiset joustavat pallomaiset ristikkäispolytoopit, joiden tilavuus ei ole vakio , Tr. MIAN, 288 (2015), 67–94.
12. ↑ 1 2 3 "Flexible polyhedra", Matemaattiset opinnot, http://www.etudes.ru/ru/etudes/sabitov/
13. ↑ A. A. Gaifullin, Tilavuuden analyyttinen jatko ja paljehypoteesi Lobatševskin tiloissa , Mat. la , 206 :11 (2015), 61–112
14. ↑ I. G. Maksimov, Joustamaton polyhedra, jossa on pieni määrä pisteitä , Fundam. appl. matematiikka. 2006. Vol. 12, No. 1. S. 143-165.
15. ↑ Katso kirjan s. 231, toim. AN Kolmogorova ja SP Novikova : Pintojen metrinen teorian tutkimukset . M.: Mir. 1980. Tämä olettamus julkaistiin ensimmäisen kerran englanniksi julkaisussa R. Connelly, The rigidity of polyhedral surfaces , Math. Mag. 1979 Voi. 52. s. 275-283.