Viisikulmainen kuusikotaedri

Viisikulmainen heksekontaedri ( toisesta kreikasta πέντε - "viisi", γωνία - "kulma", ἑξήκοντα - "kuusikymmentä" ja ἕδρα - "kasvot") on puolisäännöllinen kaksikerroksinen runko . Koostuu 60 identtisestä epäsäännöllisestä viisikulmiosta .

Siinä on 92 kärkeä. 12 kärjessä (järjestetty samalla tavalla kuin ikosaedrin kärjet ) 5 kasvoja yhtyvät teräväkulmissaan; 20 kärjessä (sijaitsee samalla tavalla kuin dodekaedrin kärjet ) suppenee 3 pinnalla niiden tylpäiden kulmien kanssa, jotka ovat kauempana akuutista; Jäljellä olevissa 60 kärjessä kaksi pintaa konvergoi niiden tylppä kulman ollessa lähinnä terävää, ja toinen, jonka tylppä kulma kaukana terävästä kulmasta.

Viisikulmaisessa kuusikotaedrissa on 150 reunaa - 60 "pitkä" ja 90 "lyhyt".

Toisin kuin useimmat muut katalaanikiintoaineet, viisikulmainen heksekontaedri (yhdessä viisikulmaisen ikositetraedrin kanssa ) on kiraalinen ja se on olemassa kahdessa eri peilisymmetrisessä (enantiomorfisessa) versiossa - "oikealla" ja "vasemmalla".

Metrinen ominaisuudet ja kulmat

Viisikulmaisen heksekontaedrin metrisiä ominaisuuksia määritettäessä on ratkaistava kuutioyhtälöt ja käytettävä kuutiojuuria - kun taas akiraalisille katalaanikiintoaineille ei vaadita mitään monimutkaisempaa kuin neliöyhtälöt ja neliöjuuret . Siksi viisikulmainen heksekontaedri, toisin kuin useimmat muut katalonialaiset kiinteät aineet, ei salli euklidista rakennetta . Sama pätee viisikulmaiseen ikositetraedriin sekä sen kaksoisarkhimedeen kiintoaineisiin.

Alla olevissa kaavoissa vakio on yhtälön ainoa todellinen juuri [1] $\xi$

8x^{3}+8x^{2}=\Phi ^{2},

missä on kultaleikkauksen suhde ; tämä juuri on $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

\xi ={\frac {1}{12}}\left({\sqrt[{3}]{44+12\Phi \,(9+{\sqrt {81\Phi -15))) ))+{\sqrt[{3}]{44+12\Phi \,(9-{\sqrt {81\Phi -15))))))-4\oikea)\noin 0{,}4715756.

Jos kasvojen kolmella "lyhyellä" sivulla on pituus , niin kahdella "pitkällä" sivulla on pituus $b$

a={\frac {1+2\xi }{2(1-2\xi ^{2)))))b\noin 1{,}7498526b.

Monitahoisen pinta-ala ja tilavuus ilmaistaan sitten muodossa

S={\frac {30(2+3\xi ){\sqrt {1-\xi ^{2)))){1-2\xi ^{2))}\;b^{2 }\noin 162{,}6989642b^{2},

V={\frac {5(1+\xi )(2+3\xi )}{(1-2\xi ^{2}){\sqrt {1-2\xi ))))\ ;b^{3}\noin 189{,}7898521b^{3}.

Piirretyn pallon säde (koskee kaikkia monitahoisen pinnan keskipisteissään ) on tällöin yhtä suuri kuin

r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1+\xi }{(1-\xi )(1-2\xi )))}\;b\noin 3 {,}4995278b,

puolikirjoitetun pallon säde (koskee kaikkia reunoja) -

\rho ={\sqrt {\frac {1+\xi }{2(1-2\xi )}}}\;b\noin 3{,}5976248b,

kasvoon kirjoitetun ympyrän säde -

r_{\Gamma \mathrm {P} }={\sqrt {\rho ^{2}-r^{2))}={\frac {1}{2)){\sqrt {\frac { 1+\xi }{1-\xi }}}\;b\noin 0{,}8343915b,

kasvot diagonaalit yhden "lyhyen" sivun suuntaisesti -

e=(1+2\xi )b\noin 1{,}9431513b.

On mahdotonta kuvata palloa viisikulmaisen kuusikotaedrin ympärillä siten, että se kulkee kaikkien kärkien läpi.

Kasvojen kaikki neljä tylppäkulmaa ovat yhtä suuret ; kasvojen terävä kulma ("pitkien" sivujen välillä) on yhtä suuri $\arccos \,(-\xi )\noin 118{,}14^{\circ };$ $\arccos \,(8\xi ^{2}-8\xi ^{4}-1)\noin 67{,}45^{\circ }.$

Minkä tahansa reunan dihedral-kulma on sama ja yhtä suuri $\arccos \,{\frac {\xi }{\xi -1))\noin 153{,}18^{\circ }.$

Muistiinpanot

↑ Katso tämän yhtälön juuret .

Linkit

Weisstein, Eric W. Pentagonaalinen heksekontaedri Wolfram MathWorldissä .

Polyhedra

Oikea

Kolmiulotteinen (platoniset kiinteät aineet)	säännöllinen tetraedri Kuutio Oktaedri Dodekaedri ikosaedri
4D	Viisisoluinen tesserakti Heksadesimaalinen solu kaksikymmentäneljä solua 120 solua Kuusisataa solua
Suurempi koko (merkitty suluissa)	Tavallinen simpleksi Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaedri

Säännöllinen
ei-kupera

Kolmiulotteinen
kasvojen lukumäärän mukaan (merkitty suluissa)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraedri (4)
Pentaedri (5)
Heksaedri (6)
Heptahedron (7)
Oktaedri (8)
Enneaedri (9)
Dekaedri (10)
Endekaedri (11)
Dodekaedri (12)
Tridekaedri (13)
Tetradekaedri (14)
Pentadekaedri (15)
Heksadekaedri (16)
Heptadekaedri (17)
Oktadekaedri (18)
Enneadekaedri (19)
Ikosaedri (20)
Ikosotetraedri (24)
Triakontaedri (30)
Heksakontaedri (60)
Enneakontaedri (90)
Hektotriadioedri (132)
Apeiroedri (∞)

kupera

Archimedean kiinteät aineet

Katalonian ruumiit

Prismat
Kolmisivuinen prisma nelikulmainen prisma Viisikulmainen prisma Kuusikulmainen prisma Seitsenkulmainen prisma Kahdeksankulmainen prisma Yhdeksänkulmainen prisma Dekagonaalinen prisma 11-kulmainen prisma Kaksikulmainen prisma

Johnson polyhedra

Kaavat ,
lauseet ,
teoriat

Muut