Säännöllinen monitahoinen

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7.9.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Säännöllinen monitahoinen tai platoninen kiintoaine on kupera monitahoinen , joka koostuu identtisistä säännöllisistä monikulmioista ja jolla on spatiaalinen symmetria.

Määritelmä

Monitahoista kutsutaan säännölliseksi , jos:

se on kupera;
kaikki sen pinnat ovat yhtä suuret säännölliset monikulmiot ;
sama määrä reunoja suppenee kussakin sen kärjessä .

Luettelo tavallisista polyhedraista

Kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa on vain viisi säännöllistä monitahoa [1] (pintojen lukumäärän mukaan):

säännöllinen monitahoinen	Huippupisteiden lukumäärä	Reunojen lukumäärä	Kasvojen lukumäärä	Kasvojen sivujen lukumäärä	Huippupisteen vieressä olevien reunojen lukumäärä	Spatiaalisen symmetrian tyyppi
Tetrahedron	neljä	6	neljä	3	3	T d
Heksaedri	kahdeksan	12	6	neljä	3	O h
Oktaedri	6	12	kahdeksan	3	neljä	O h
Dodekaedri	kaksikymmentä	kolmekymmentä	12	5	3	I h
ikosaedri	12	kolmekymmentä	kaksikymmentä	3	5	I h

Kunkin monitahoisen nimi tulee kreikkalaisesta nimestä sen kasvojen lukumäärälle ja sanalle "kasvot".

Historia

Säännölliset polyhedrat on tunnettu muinaisista ajoista lähtien. Niiden koristekuvioita löytyy kaiverretuista kivipalloista , jotka ovat peräisin Skotlannin myöhäisestä neoliittikaudesta , vähintään 1000 vuotta ennen Platonia . Nopassa, jolla ihmiset pelasivat sivilisaation kynnyksellä, säännöllisten monitahojen muodot ovat jo arvattavissa.

Muinaiset kreikkalaiset tutkivat suurelta osin säännöllisiä monitahoja . Jotkut lähteet (kuten Proclus Diadochus ) antavat löytönsä kunnian Pythagoralle . Toiset väittävät, että vain tetraedri, kuutio ja dodekaedri olivat hänelle tuttuja, ja kunnia oktaedrin ja ikosaedrin löytämisestä kuuluu ateenalaiselle Theaitetukselle , Platonin aikalaiselle. Joka tapauksessa Theaetetus antoi matemaattisen kuvauksen kaikista viidestä säännöllisestä polyhedrasta ja ensimmäisen tunnetun todisteen siitä, että niitä on tarkalleen viisi.

Säännölliset polyhedrat ovat ominaisia Platonin filosofialle , jonka mukaan ne saivat nimen "platoniset kiinteät aineet". Platon kirjoitti niistä tutkielmassaan Timaius (360 eKr.), jossa hän vertasi jokaista neljästä elementistä (maa, ilma, vesi ja tuli) tiettyyn säännölliseen monitahoiseen. Tetraedri vastasi tulta, heksaedri maata, oktaedri ilmaa ja ikosaedri vettä. Nämä vertailut selitettiin seuraavilla assosiaatioilla: tulen lämpö tuntuu selvästi ja terävästi, kuten tetraedriset pyramidit; oktaedrin pienimmät ilmakomponentit ovat niin sileitä, että niitä tuskin voi tuntea; vettä valuu käteen otettaessa, ikään kuin se olisi tehty monista pienistä palloista, joita ikosaedrit ovat lähinnä; Toisin kuin vesi, kuusikulmaiset kuutiot, täysin toisin kuin pallo, muodostavat maan, mikä saa maan murenemaan käsissä, toisin kuin veden tasainen virtaus. Viidennestä elementistä, dodekaedrista, Platon teki epämääräisen huomautuksen: "...Jumala määritteli sen universumille ja turvautui siihen mallina."

Aristoteles lisäsi viidennen alkuaineen, eetterin , ja oletti, että taivaat tehtiin tästä elementistä, mutta hän ei rinnastanut sitä Platonin viidenteen alkuaineeseen.

Eukleides antoi täydellisen matemaattisen kuvauksen säännöllisistä polyhedraista viimeisessä, XIII alkukirjassa . Tämän kirjan lauseet 13-17 kuvaavat tetraedrin, oktaedrin, kuution, ikosaedrin ja dodekaedrin rakennetta tässä järjestyksessä. Jokaiselle monitahoiselle Eukleides löysi rajatun pallon halkaisijan suhteen reunan pituuteen. Lausunto 18 väittää, että muita säännöllisiä monitahoja ei ole olemassa. Andreas Speiser, matemaatikko Baselin yliopistosta, väitti, että viiden säännöllisen polyhedran rakentaminen on geometrian deduktiivisen järjestelmän päätavoite, koska sen loivat kreikkalaiset ja kanonisoitiin Eukleideen elementeissä [2] . Suuri osa elementtien kirjan XIII tiedoista on saattanut olla peräisin Theaitetuksen kirjoituksista.

Saksalainen tähtitieteilijä Johannes Kepler yritti 1500-luvulla löytää yhteyttä aurinkokunnan tuolloin tunnetun viiden planeetan (Maaa lukuun ottamatta) ja säännöllisten monitahojen välillä. The Secret of the World , joka julkaistiin vuonna 1596, Kepler esitti mallinsa aurinkokunnasta. Siinä viisi säännöllistä polyhedraa asetettiin toistensa sisään ja erotettiin sarjalla piirrettyjä ja rajattuja palloja. Jokainen kuudesta pallosta vastasi yhtä planeetoista ( Merkurius , Venus , Maa , Mars , Jupiter ja Saturnus ). Monitahot järjestettiin seuraavaan järjestykseen (sisemmästä ulompaan): oktaedri, jota seurasi ikosaedri, dodekaedri, tetraedri ja lopuksi kuutio. Näin ollen aurinkokunnan rakenne ja planeettojen välisten etäisyyksien suhde määräytyivät säännöllisillä polyhedrailla. Myöhemmin Keplerin alkuperäinen idea jouduttiin hylkäämään, mutta hänen etsintönsä tuloksena löydettiin kaksi kiertoradan dynamiikan lakia - Keplerin lait - jotka muuttivat fysiikan ja tähtitieteen kulkua, sekä säännölliset tähtikuviot ( Kepler-Poinsot-kappaleet ) .

Kombinatoriset ominaisuudet

Euler johti kaavan, joka kuvaa minkä tahansa kuperan polyhedronin kärkien (B), pintojen (G) ja reunojen (P) lukumäärää yksinkertaisella suhteella : C + D = P + 2.

Säännöllisen monitahoisen kärkien lukumäärän suhde sen yhden pinnan reunojen lukumäärään on yhtä suuri kuin saman monitahoisen pintojen lukumäärän suhde yhdestä sen kärjestä tulevien reunojen lukumäärään. Tetraedrin kohdalla tämä suhde on 4:3, heksaedrin ja oktaedrin osalta 2:1 ja dodekaedrin ja ikosaedrin osalta 4:1.

Säännöllinen monitahoinen voidaan kuvata kombinatorisesti Schläfli-symbolilla { p , q }, jossa: p on kunkin pinnan reunojen lukumäärä; q on kussakin kärjessä suppenevien reunojen lukumäärä.

Schläfli-symbolit tavallisille polyhedraille on annettu seuraavassa taulukossa:

Polyhedron	Huiput	kylkiluut	Fasetit	Schläfli-symboli
tetraedri	neljä	6	neljä	{3, 3}
heksaedri (kuutio)	kahdeksan	12	6	{4, 3}
oktaedri	6	12	kahdeksan	{3, 4}
dodekaedri	kaksikymmentä	kolmekymmentä	12	{5, 3}
ikosaedri	12	kolmekymmentä	kaksikymmentä	{3, 5}

Toinen monitahoisen kombinatorinen ominaisuus, joka voidaan ilmaista luvuilla p ja q , on pisteiden (B), reunojen (P) ja pintojen (D) kokonaismäärä. Koska mikä tahansa reuna yhdistää kaksi kärkeä ja on kahden pinnan välissä, seuraavat suhteet ovat voimassa: $p\Gamma =2{\mbox{P}}=q{\mbox{B}}.$

Näistä suhteista ja Eulerin kaavasta voimme saada seuraavat lausekkeet V:lle, P:lle ja G:lle:

{\mbox{B}}={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2))),\quad {\mbox{P}}={\frac {2pq}{4-( p-2)(q-2))),\quad \Gamma ={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2))).

Geometriset ominaisuudet

Kulmat

Jokaiseen säännölliseen polyhedriin liittyy tiettyjä kulmia , jotka kuvaavat sen ominaisuuksia. Dihedraalinen kulma säännöllisen monitahoisen {p, q} vierekkäisten pintojen välillä saadaan kaavalla:

$\sin {\theta \over 2}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /p))).$

Joskus on kätevämpää käyttää lauseketta tangentin kautta :

\operaattorinimi {tg}\,{\frac {\theta }{2}}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /h))),

jossa on arvot 4, 6, 6, 10 ja 10 vastaavasti tetraedrille, kuutiolle, oktaedrille, dodekaedrille ja ikosaedrille. $h$

Kulmavirhe monitahoisen kärjessä on 2π:n ja kunkin pinnan kulmien summan välinen ero kyseisessä kärjessä. Vika säännöllisen monitahoisen missä tahansa kärjessä: $\delta$

\delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).

Descartesin lauseen mukaan se on yhtä suuri kuin jaettuna pisteiden lukumäärällä (eli kaikkien pisteiden kokonaisvirhe on yhtä suuri kuin ). $4\pi$ $4\pi$

Tasokulman kolmiulotteinen analogi on avaruuskulma . Avaruuskulma Ω säännöllisen polyhedronin kärjessä ilmaistaan tämän monitahoisen vierekkäisten pintojen välisenä dihedraalisena kulmana kaavalla:

\Omega =q\theta -(q-2)\pi .

Avaruuskulma, jota rajoittaa säännöllisen monitahoisen pinta, jonka kärki on tämän monitahoisen keskellä, on yhtä suuri kuin täyden pallon avaruuskulma ( steradiaani) jaettuna pintojen lukumäärällä. Se on myös yhtä suuri kuin monitahoisen kulmavika, joka on kaksoisluku annettuun nähden. $4\pi$

Säännöllisten monitahojen eri kulmat on esitetty seuraavassa taulukossa. Avaruuskulmien numeeriset arvot on annettu steradiaaneina . Vakio on kultainen suhde . $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Polyhedron	Dihedraalinen kulma θ	$\operaattorinimi {tg}{\frac {\theta }{2}}$	Tasainen kulma reunojen välillä kärjessä	Kulmavika (δ)	Vertex-avaruuskulma (Ω)		Kiinteä kulma vähennettynä kasvolla
tetraedri	70,53°	${1 \yli {{\sqrt 2}}}$	60°	$\pi$	$\arccos \left({\frac {23}{27}}\oikea)$	$\noin 0,551286$	$\pi$
kuutio	90°	yksi	90°	${\pi \over 2}$	${\frac {\pi }{2))$	$\noin 1,57080$	${2\pi \over 3}$
oktaedri	109,47°	√2	60°, 90°	${{2\pi } \over 3}$	$4\arcsin \left({1 \over 3}\right)$	$\noin 1,35935$	${\pi \over 2}$
dodekaedri	116,57°	$\varphi$	108°	${\pi \over 5}$	$\pi -\operaattorinimi {arctg}\left({\frac {2}{11}}\oikea)$	$\noin 2,96174$	${\pi \over 3}$
ikosaedri	138,19°	$\varphi ^{2}$	60°, 108°	${\pi \over 3}$	$2\pi -5\arcsin \left({2 \over 3}\right)$	$\noin 2,63455$	${\pi \over 5}$

Säteet, alueet ja tilavuudet

Jokaiseen säännölliseen monitahoiseen liittyy kolme samankeskistä palloa:

Monitahoisen kärkien läpi kulkeva rajattu pallo;
Mediaanipallo koskettaa kutakin sen reunaa keskellä;
Piirretty pallo , joka tangentti sen kutakin pintaa sen keskellä.

Rajoitettujen ( ) ja merkittyjen ( ) pallojen säteet saadaan kaavoilla: $R$ $r$

R={a \over 2}\cdot \operaattorinimi {tg}{\frac {\pi }{q))\cdot \operaattorinimi {tg}{\frac {\theta }{2))

r={a \over 2}\cdot \operaattorinimi {ctg}{\frac {\pi }{p}}\cdot \operaattorinimi {tg}{\frac {\theta }{2)),

missä θ on monitahoisen vierekkäisten pintojen välinen dihedraalinen kulma. Keskipallon säde saadaan kaavalla:

\rho ={\frac {a\cos(\pi /p)}{2\sin(\pi /h))),

jossa h on edellä kuvattu arvo määritettäessä dihedraalisia kulmia (h = 4, 6, 6, 10 tai 10). Rajoitettujen säteiden suhteet merkittyihin säteisiin ovat symmetrisiä p:n ja q:n suhteen:

{R \over r}=\operaattorinimi {tg}{\frac {\pi }{p}}\cdot \operaattorinimi {tg}{\frac {\pi }{q}}.

Säännöllisen monitahoisen {p, q} pinta-ala S lasketaan säännöllisen p-gonin pinta-alana kerrottuna pintojen määrällä Г:

S=\left({a \over 2}\right)^{2}\Gamma p\,\operaattorin nimi {ctg}{\frac {\pi }{p)).

Säännöllisen monitahoisen tilavuus lasketaan säännöllisen pyramidin tilavuudella kerrottuna pintojen lukumäärällä , jonka kanta on säännöllinen p-kulmio ja korkeus on piirretyn pallon säde r:

V={1\yli 3}rS.

Alla oleva taulukko sisältää luettelon tavallisten polyhedrien eri säteistä, pinta-aloista ja tilavuuksista. Reunan pituuden arvo a taulukossa on yhtä suuri kuin 2.

Monitaho ( a = 2)	Piirretyn pallon säde ( r )	Pallon mediaanisäde (ρ)	Rajatun pallon säde ( R )	Pinta-ala ( S )	Volyymi ( V )
tetraedri	${1 \yli {{\sqrt 6}}}$	${1 \yli {{\sqrt 2}}}$	${\sqrt {3 \over 2}}$	$4 {\sqrt 3}$	${\frac {2{\sqrt 2}}{3}}$
kuutio	$yksi$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {3}}$	$24$	$kahdeksan$
oktaedri	${\sqrt {2 \over 3}}$	$yksi$	${\sqrt {2}}$	$8 {\sqrt 3}$	${\frac {8{\sqrt 2}}{3}}$
dodekaedri	${\frac {\varphi ^{2}}{\xi }}$	$\varphi ^{2}$	${\sqrt 3}\,\varphi$	$60{\frac {\varphi }{\xi }}$	$20{\frac {\varphi ^{3}}{\xi ^{2}}}$
ikosaedri	${\frac {\varphi ^{2}}{{\sqrt 3}}}$	$\varphi$	$\xi \varphi$	$20 {\sqrt 3}$	${\frac {20\varphi ^{2}}{3}}$

Vakiot φ ja ξ saadaan lausekkeilla

\varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5} ={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=5^{1/4}\varphi ^{-1/2}={\sqrt {3-\varphi } }.

Säännöllisistä polyhedreistä sekä dodekaedri että ikosaedri edustavat parasta likiarvoa palloon. Ikosaedrilla on eniten kasvoja, suurin dihedraalinen kulma, ja se on tiukimmin painettu sisään piirrettyä palloaan vasten. Toisaalta dodekaedrilla on pienin kulmavirhe, suurin avaruuskulma kärjessä ja se täyttää rajatun pallonsa mahdollisimman paljon.

Korkeammissa mitoissa

Neliulotteisessa avaruudessa on kuusi säännöllistä polyhedraa (polyhedraa) :

Viisisoluinen	tesserakti	Heksadesimaalinen solu	kaksikymmentäneljä solua	120 solua	Kuusisataa solua

Jokaisessa korkeamman ulottuvuuden tilassa on kolme säännöllistä polyhedraa ( polytooppia ) : $n>4$

n-ulotteinen säännöllinen simpleksi
n-ulotteinen hyperkuutio
n-ulotteinen hyperoktaedri

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Selivanov D. F. ,. Geometrinen runko // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 nidettä (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.
↑ Hermann Weil. "Symmetria". Käännös englannista B. V. Biryukov ja Yu. A. Danilov, toimittanut B. A. Rosenfeld. Kustantaja "Science". Moskova. 1968. s. 101

Linkit

Smirnov E. Yu. Coxeter-ryhmät ja tavalliset polyhedrat // Kesäkoulu "Moderni matematiikka". - Dubna, 2008.
Weisstein, Eric W. Platonic Solids (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Matematiikan/geometrian ystävät . (Englanti)
Paperimallit tavallisesta polyhedrasta . (Englanti)
Tiede/geometria/platoniset ja arkimedelaiset kiinteät aineet . (Englanti)
Platoniset, Arkhimedeen kiinteät aineet, prismat, Kepler-Poinsot-kiintoaineet ja typistetyt Kepler-Poinsot-kiintoaineet . (Englanti)
M. Weninger . polyhedra mallit. - Moskova: Mir, 1974. - 236 s.
Gonchar VV Polyhedramallit . - Moskova: Akim, 1997. - 64 s. — ISBN 5-85399-032-2 .
Gonchar V. V., Gonchar D. R. Polyhedramallit . - Rostov-on-Don: Phoenix, 2010. - 143 s. — ISBN 978-5-222-17061-8 .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4046302-3

Polyhedra

oikea

Kolmiulotteinen (platoniset kiinteät aineet)	säännöllinen tetraedri Kuutio Oktaedri Dodekaedri ikosaedri
4D	Viisisoluinen tesserakti Heksadesimaalinen solu kaksikymmentäneljä solua 120 solua Kuusisataa solua
Suurempi koko (merkitty suluissa)	Tavallinen simpleksi Hypercube ( Penteract (5) Hexeract (6) Hepteract (7) Octeract (8) Enneract (9) Deceract (10) ) Hyperoktaedri

Säännöllinen
ei-kupera

Kolmiulotteinen
kasvojen lukumäärän mukaan (merkitty suluissa)

Monohedron (1)
Dihedron (2)
Trihedron (3)
Tetraedri (4)
Pentaedri (5)
Heksaedri (6)
Heptahedron (7)
Oktaedri (8)
Enneaedri (9)
Dekaedri (10)
Endekaedri (11)
Dodekaedri (12)
Tridekaedri (13)
Tetradekaedri (14)
Pentadekaedri (15)
Heksadekaedri (16)
Heptadekaedri (17)
Oktadekaedri (18)
Enneadekaedri (19)
Ikosaedri (20)
Ikosotetraedri (24)
Triakontaedri (30)
Heksakontaedri (60)
Enneakontaedri (90)
Hektotriadioedri (132)
Apeiroedri (∞)

kupera

Archimedean kiinteät aineet

Katalonian ruumiit

Prismat
Kolmisivuinen prisma nelikulmainen prisma Viisikulmainen prisma Kuusikulmainen prisma Seitsenkulmainen prisma Kahdeksankulmainen prisma Yhdeksänkulmainen prisma Dekagonaalinen prisma 11-kulmainen prisma Kaksikulmainen prisma

Johnson polyhedra

Kaavat ,
lauseet ,
teoriat

muu